Persamaan dan Fungsi Kuadrat

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Kegiatan Belajar 1 : Persamaan Kuadrat

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x yang dinyatakan dengan :
ax2 + bx + c = 0; a, b, cR ; a 0
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
Contoh:
x2 + 2x - 15 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
x2 – 9 = 0

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain :

a. Memfaktorkan

Contoh:
1) Selesaikan x2 – 5x + 6 = 0 !

Jawab:
x2 – 5x + 6 = 0
 (x – 3)(x – 2)= 0
 x – 3 = 0 atau x -2 = 0

x = 3 atau x = 2
Jadi HP = {3, 2}

2) Selesaikan x2 – 25 = 0 !
Jawab:
x2 – 25 = 0
 (x + 5)(x – 5)= 0
 x + 5 = 0 atau x - 5 = 0
x = -5 atau x = 5
Jadi HP = {-5, 5}

b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Contoh:

1) Selesaikan x2 + 10x + 21 = 0 !
Jawab:
x2 + 10x + 21 = 0
 x2 + 10x = -21
 x2 + 10x + 25 = -21 + 25

( 1 koefisien x)2
2

 (x + 5)2 = 4

 x + 5 =  4  2

 x + 5 = 2 atau x + 5 = -2

x = -3 atau x = -7

Jadi HP ={-3, -7}

2) Selesaikan 4x2 + 8x + 3 = 0 ! 1
Jawab:
4x2 + 8x + 3 = 0

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

 4x2 + 8x = -3
 x 2 + 2x =  3

4
 x 2 + 2x + 1 =  3 + 1

4
 (x + 1)2 = 1

4

x+1=  1 1
42

 x + 1 = 1 atau x + 1 = - 1
22

x = - 1 atau x = - 3
22

Jadi HP =  1 , 3 
 2 2 


c. Dengan Rumus ABC

x1,2   b  b2  4ac
2a

Contoh:

1) Selesaikan x2 + 6x - 16 = 0 !

Jawab:

a = 1, b = 6, c = -16

x1,2   6  62  4(1)(16)

2(1)

=  6  100
2

=  6  10
2

x1   6  10  4  2 atau x2   6 10   16  8
2 2 2 2

Jadi HP = {2, -8}

3. Sifat-sifat Akar persamaan Kuadrat

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang menyangkut banyaknya akar persamaan kuadrat,
ditentukan oleh nilai diskriminannya yaitu D = b2 – 4ac.

(i) D > 0  kedua akar real dan berbeda

(ii) D = 0  kedua akar sama (kembar)

(iii) D < 0  Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata

Contoh:

Tentukan sifat-sifat akar persamaan berikut ini !
1) x2 – 4x + 3 = 0
2) x2 + 6x + 9 = 0
3) x2 + 3x + 3 = 0

Jawab:
1) x2 – 4x + 3 = 0

a = 1, b = -4, c = 3
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4

D > 0, kedua akar real dan berbeda.

2) x2 + 6x + 9 = 0 2
Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

a = 1, b = 6, c = 9
D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0
D = 0, kedua akar sama (kembar)

3) x2 + 3x + 3 = 0
a = 1, b = 3, c = 3
D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(3) = 9 – 13 = -3
D < 0, persamaan tidak mempunyai akar nyata.

LATIHAN

1.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan

pemfaktoran! b. x2 – 13x + 22 = 0
a. x2 – 5x - 36 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan

kuadrat sempurna ! b. x2 – 11x + 24 = 0
a. x2 + 5x + 4 = 0

3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus

abc !

a. x2 – 4x - 45 = 0 b. . x2 + 2x - 3 = 0
4

4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dari x2 + 4x – 60 = 0 !

5. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x - 36 = 0, tentukan x1 dan x2 !
7. Tentukan jenis akar dari peramaan kuadrat 2x2 + 3x – 1 = 0 !

9. Diketahui persamaan kuadrat mx2 - 6x + 3 = 0 mempunyai dua akar real yang sama. Tentukan

nilaim !
10.Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2p2 + (2p – 2)x – (3m – 3) mempunyai dua akar real

yang sama !

11. Tentukan jenis dari akar persamaan kuadrat berikut ini !

a. x2 - x + 36 = 0 b. 3x2 - 2x + 1 = 0 c. x2 + 4x + 4 = 0

Kegiatan Belajar 2 : Menerapkan Persamaan Kuadrat

A. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0, maka :

x1 + x2 =  b ; x1 . x2 = c ; x1 - x2 = D
a aa

Contoh:
1) Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x – 8x – 20 = 0 !

Jawab:

x2 – 8x – 20 = 0  a = 1, b = -8, c = -20

 b  (8) =8
x1 + x2 = =
a1

x1 . x2 =c =  20
a 1

2) Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 5x + 12 = 0, maka tentukanlah nilai-nilai

dari yang berikut ini !

a) x1 + x2
b) x1 . x2

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati 3

c) 1  1
x1 x2

d) x12  x22

Jawab:

2x2 - 5x + 12 = 0  a = 2, b = -5, c = 12

a) x1 + x2 =  b =  (5) = 5
a 22

b) x1 . x2 = c = 12 = 6
a2

c) 1 1 = x1  x2  5  5
2

x1 x2 x1x2 6 12

d) x1 2  x2 2 = (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 =  5 2  2(6)  25  12  25  48   23
2 4 4 4

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu :

(i) Dengan perkalian faktor.
(x -x1)(x - x2) = 0

(ii) Dengan menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0

Contoh:

1) Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 dan -3 !

Jawab:

(x -x1)(x - x2) = 0
(x – 2)(x –(-3)) = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
x2 + x – 6 = 0

2) Susunlah persamaan kuadrat baru jika diketahui jumlah akar-akarnya 2 dan hasil kali akar-

akarnya -15 !

Jawab:

x1 + x2 = 2 dan x1 . x2 = -15
Sehingga : x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0

x2 – 2x – 15 = 0

3) Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 – 1 dan x2 – 1 jika x1 dan x2 akar-akar
dari : x2 – 3x + 5 = 0 !

Jawab:

Jika persamaan kuadrat yang akan disusun mempunyai akar-akar y1 dan y2, maka:

y1 = x1 – 1 x1 + x2 = 3

y2 = x2 – 1 x1 . x2 = 5

y1 + y2 = (x1 – 1) + (x2 – 1)

= ( x1 + x2) – 2

=3–2

=1
y1 . y2 = (x1 – 1)(x2 – 1)

= x1 . x2 - (x1 + x) +1
=5–3+1

=3

Sehingga persamaan kuadrat baru :
x2 – (y1 + y2) x + y1 . y2 = 0
x2 – x + 3 = 0

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati 4

LATIHAN

1. Susunlah persamaan kuadrat dengan akar-akarnya sebagai berikut !

a. x1 = -8 dan x2 = 5 b. x1 = -4 dan x2 = -9

2. Diketahui persamaan kuadrat 2x2 + 3x - 5 = 0. Jika akar-akarnya adalah x1 dan x2, tentukan hasil

operasi berikut !

a. 2(x1 + x2) b. 2(x1 + x2) - 3x1 – 3x2 c. x13  x23

3. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari x2 – x – 1 = 0, tentukan hasil operasi berikut !

a. x12  x2 2 b. x12  x2 2 c. x13  x23

4. Akar-akar dari persamaan x2 + 6x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru

dengan akar-akarnya (x1 + 3) dan (x2 + 3) !
5. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 9x + 22 = 0, susunlah persaman kuadrat

baru yang akar-akrnya p2 dan q2 !
6. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 akar-akarnya adalah dua kurangnya dari akar-akar persamaan

kuadrat x2 + 5x - 24 = 0. Tentukan nilai a, b, dan c !

FUNGSI

Kegiatan Belajar 3 : Pengertian Relasi dan Fungsi

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

Perhatikan diagram berikut !

AB A B AB

a1 a 1 a1
b2 b 2 b
c3 c 3 c2
4 d

(i) (ii) (iii)

Keterangan:
Gambar (i) adalah fungsi, sebab setiap anggota A hanya berpasangan (mempunyai) kawan tepat

satu anggota B.
Gambar (ii) bukan fungsi, sebab ada anggota A yang mempunyai 2 kawan anggota B.
Gambar (iii) bukan fungsi, sebab ada anggota A yang tidak mempunyai kawan di B.
1. Pengertian Relasi

Relasi dari dari dua himpunan A dan B adalah hubunganantara dua himpunan A dan B, yang
memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B, atau relasi adalah himpunan
bagian dari perkalian himpunan.

Suatu relasi dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius atau
himpunan pasangan berurutan.

Contoh:

A = {bilangan pembagi habis 15}

B = {factor dari 10}
a. Gambarkan diagram panah yang menyatakan relasi dari A ke B dengan hubungan “lebih

dari” !

b. Nyatakan relasi tersebut dengan diagram kartesius !

c. Tuliskan himpunan pasangan berurutannya !

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati 5

Jawab: B
A = {1, 3, 5, 15}
B = {1, 2, 5, 10}
a. Diagram panah

lebih dari

A

11
32
55
15 10

b. Diagram kartesius
B

10

5

2
1

O13 5 15 A

c. Himpunan pasangan berurutan = {(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(15,1),(15,2),(15,5),(15,10)}
2. Pengertian Fungsi

Fungsi disebut juga sebagai pemetaan. Suatu fungsi f dari A ke B adalah relasi yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Fungsi f dari A ke B, sering ditulis sebagai: f : A  B.
Jika fungsi f memetakan x  A ke y  B maka ditulis: f : x  y.
y dinamakan peta atau bayangan x oleh f.

Himpunan semua peta membentuk daerah hasil (range) fungsi dari fungsi f. Himpunan A
dinamakan daerah asal (domain) dari fdan himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain)
dari f. Domain fungsi sering ditulis sebagai Df, kodomain fungsi serimg ditulis Kf dan range
fungsi ditulis Rf.

Perhatikan gambar diagram berikut :

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati 6

A B

a 1
b 2
c 3
d 4
5
Df = {a, b, c, d}
Kf = {1, 2, 3, 4, 5}
Rf = {1, 2, 3}

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati 7

B. Macam-Macam Fungsi

Berdasarkan rumus fungsinya, fungsi dibedakan menjadi 2, yaitu :
1. Fungsi aljabar

missal: f(x) = x2 + 2x – 5
2. fungsi transenden, yang dibedakan lagi menjadi:

a) Fungsi trigonometri
Misal: f(x) = Sin 2x + Cos x
g(x) = 3 Cos x

b) Fungsi eksponen
misal: f(x) = 5x + 3

c) Fungsi logaritma
Misal: f(x) = log(2x – 7) + log x

C. Fungsi Konstan, Fungsi Tangga, dan Fungsi Modulus

1. Fungsi Konstan / Fungsi Tetap
Fungi konstan adalah jenis fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu
kesebuah nilai konstanta, sehingga bentuknya : f : x  c atau f(x) = c.

Contoh:
f(x) = 2 dengan Df = {-2, -1, 0, 1, 2}
Diagram panahnya:

f(x) = 2

-2
-1
02
1
2

b. Fungsi Tangga
Fungsi tangga adalah fungsi yang domainnya merupakan bilangan real, sedangkan rangenya
berupa bilangan bulat, biasa ditulis: f(x) = [x].

Contoh: -2 untuk -2  x < -1
f(x) = [x] = -1 untuk -1  x < 0
0 untuk 0  x < 1
1 untuk 1  x < 2
2 untuk 2  x < 3

Sketsa grafiknya:

f(x)

2 X
1
-2 -1
O 123

-1
-2

8

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

c. Fungsi Modulus
Fungsi modulus adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real dengan nilai mutlaknya.
x, untuk x  0
f(x) = x =
-x, untuk x < 0

Contoh: x + 1, untuk x + 1  0
f(x) = x + 1 =
-(x + 1), untuk x + 1 < 0
= x + 1, untuk x  -1
Sketsa grafiknya:
-x – 1, untuk x < -1

Y

1 X
-1 O

D. Fungsi Injektif, Fungsi Surjektif, dan Fungsi Bijektif

1. Fungsi Injektif
f(x) disebut fungsi injektif (disebut juga fungsi satu-satu) yang ditulis: f : A 11 B,

apabila f(x1) = f(x2) maka x1 = x2 atau ekuivalen dengan pernyataan jika x1  x2 maka f(x1) 
f(x2).

Contoh: B AB
A

-1 -1 14
00 5
12
26

b. Fungsi Surjektif
f(x) disebut fungsi surjektif (disebut juga fungsi “onto” / “pada”) apabila semua anggota

kodomain fungsi itu merupakan anggota rangenya, ditulis: f : A onto B dan Rf = B.

Contoh: B AB
A

15 14
26 25
37 36

4

c. Fungsi Bijektif
f(x) disebut fungsi bijektif jika f(x) adalah fungsi satu-satu dan onto. Fungsi bijektif

disebut juga korespondensi satu-satu.

9

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

Contoh: B
A
5
1 6
2 7
3 8
4

LATIHAN

1. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dalam diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi
injektif, surjektif, atau bijektif ?

a. b. c.

d. e.

2. Suatu relasi R dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan R = {(a,1), (b,2), (b,3), (c,2), (a,6),

(d,7)}.

a. Tentukan domain dari R !

b. Tentukan kodomain dari R !

c. Apakah R merupakan fungsi ?

AB

3. Suatu relasi R dinyatakan dengan diagram panah

disamping. 22

a. Apakah R merupakan fungsi?
b. Jika R fungsi, nyatakan R sebagai rumus f(x) ! 3 3
44

7

4. Tuliskan range fungsi dari f(x) = 4x – 2 jika diketahui ketentuan sebagai berikut:
a. Domain fungsi Df = {-2, -1, 0, 1, 2}
b. Domain fungsi Df = {x -2  x  2}
c. Domain fungsi Df = {x  x  R}

5. Gambarlah grafik fungsi f(x) = x2 – 4 dengan domain fungsi sebagai berikut :
a. Df = {-2, -1, 0, 1, 2}
b. Df = {x -2  x  2}
c. Df = {x  x  R}

10

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

Kegiatan Belajar 4 : Fungsi Kuadrat

A. Grafik fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai beutuk umum :
y = f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c  R dan a  0.

Contoh: 1) y = x2
2) y = x2 - 4
3) y = x2 + x - 6
4) y = -x2 – 2x + 3

Jika bentuk umum fungsi kuadrat di atas diolah sedemikian rupa, maka:
f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a(x2 + b x )+ c
a

f(x) = a(x2 + bx+ b2 )- b2 +c
a 4a 2 4a

f(x) = a  x  b 2  b2  4ab
 2a  4a

f(x) = a  x  b 2  D dengan D = b2 - 4ac
 2a  4a

Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa:
a) Jika a > 0, maka f mencapai nilai balik minimum sebesar  D untuk x = - b .

4a 2a
b) Jika a < 0, maka f mencapai nilai balik maksimum sebesar  D untuk x = - b .

4a 2a
c) Titik balik minimum / maksimum fungsi f adalah [- b ,  D ].

2a 4a
d) Sumbu simetrinya pada garis x = - b .

2a

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

(1) Menentukan titik potong grafik drngan sumbu Y, artinya untuk x = 0.

(2) Menentukan titik potong grafik drngan sumbu X, artinya untuk y = 0.

(3) Menentukan persamaan sumbu simetri, artinya untuk x = - b .
2a

(4) Menentukan koordinat titik balik minimum / maksimum, artinya untuk (x,y) = [-

b ,  D ].
2a 4a

(5) Menentukan beberapa titik lain (bila diperlukan).

(6) Menggambar kurva mulus parabola melalui titik yang diperoleh dari nomor (1) sampai dengan

nomor (5).

B. Kemungkinan-Kemungkinan Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + bx + c

Berdasarkan Nilai a dan D = b2 - 4ac.

(a) (b) (c)

X 11
Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

X X
(f)
a>0 a>0 a>0
D>0 D=0 D<0

(d) (e) X
X

X

a<0 a<0 a<0

D>0 D=0 D<0

Selanjutnya gambar (c) disebut definit positif.

gambar (f) disebut definit negatif.

Contoh:
1. Gambarlah grafik fungsi y = x2 + 6x – 7

Jawab:
y = x2 + 6x – 7

a = 1, b = 6, c = -7
D = b2 - 4ac = 62 – 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64 > 0

a > 0 dan D > 0 maka kedudukan grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik.

(1) Titik potong dengan sumbu Y  x = 0.
y = x2 + 6x – 7

x = 0  y = 02 + 6.0 – 7 = -7

Jadi, koordinat titik potongnya (0,-7).

(2) Titik potong dengan sumbu X  y = 0.
y = 0  x2 + 6x – 7 = 0
 (x – 1)(x + 7) = 0

 x = 1 atau x = -7

Jadi, koordinat titik potongnya (1,0) dan (-7,0).

(3) Persamaan sumbu simetri
x = - b =  6   6  3
2a 2(1) 2

Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = -3.

(4) Koordinat titik balik minimum

(x,y) = [- b ,  D ]
2a 4a

x = - b = -3 dan y =  D =  64  16
2a 4a 4(1)

Jadi, kordinat titik puncaknya (-3, -16).

(5) Koordinat titik lain:

X -5 -1
y = x2 + 6x – 7 -12 -12

(6) Menggambar kurva mulus

x = -3 Y

X

-7 -5 -1 O 1

-7 12
Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

-12

(-3,-16) -16

2. . Gambarlah grafik fungsi y = -x2 + 6x – 9 !

Jawab:
y = -x2 + 6x – 9

a = -1, b = 6, c = -9
D = b2 - 4ac = 62 – 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0

a < 0 dan D = 0 maka kedudukan grafik terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu X.

(1) Titik potong dengan sumbu Y  x = 0.
y = -x2 + 6x – 9

x = 0  y = -02 + 6.0 – 9 = -9

Jadi, koordinat titik potongnya (0,-9).

(2) Titik potong dengan sumbu X  y = 0.
y = 0  -x2 + 6x – 9 = 0

 -(x2 - 6x + 9) = 0
 -(x – 3)(x - 3) = 0

x=3

Jadi, koordinat titik potongnya (3,0).

(3) Persamaan sumbu simetri

x=- b = 6  6 3
2a 2(1)  2

Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = 3.

(4) Koordinat titik balik minimum

(x,y) = [- b ,  D ]
2a 4a

x = - b = 3 dan y =  D = 0  0
2a 4a 4(1)

Jadi, kordinat titik puncaknya (3, 0).

(5) Koordinat titik lain:

x 12456
y = -x2 + 6x – 9 -4 -1 -1 -4 -9

(6) Menggambar kurva mulus

Y

X

-1 1 2 45 6

-4

(0,-9) (6,-9)

x=3

LATIHAN

1. Diketahui y = -x2 – x + 2 dengan Df = {x  -4  x  3}.

13

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

Tentukan unsur-unsur dari grafik berikut:
a. titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y
b. sumbu simetri
c. koordinat titik puncak

2. suatu fungsi f dirumuskan oleh f(x) = x2 – 6x -16, dengan daerah asal { x  x  R}.
Tentukan unsur-unsur dari grafik berikut:
a. pembuat nol fungsi
b. persamaan sumbu simetri
c. nilai ekstrimnya

3. Tentukan batas-batas nilai m supaya grafik y = (m – 2)x2 – 2mx + (m + 6) seluruhnya di atas sumbu X !

4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 9, jika domain fungsi Df = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} !

5. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut:

a. f(x) = x2 + 2x – 24 b. f(x) = x2 - 2x + 20 c. f(x) = x2 - 4x + 4

Kegiatan Belajar 5 : Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat

A. Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Dari persamaan fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat kita peroleh koordinat titik potong grafik
dengan sumbu X dan sumbu Y, persamaan sumbu simetri, titik balik maksimum / minimum, dan
bentuk grafiknya. Demikian sebaliknya, dari unsure-unsur tersebut dapat kita susun sebuah fungsi
kuadrat yang sesuai dengan rumus sebagai berikut :
1. Diketahui Koordinat Titik Potong Grafik dengan Sumbu X.

Apabila diketahui koordinat titik potong dengan sumbu X yaitu (x1,0) dan (x2,0) maka bentuk
persamaan kuadratnya adalah:

(x – x1)(x – x2)= 0
 x2 – (x1 + x2) x - x1x2 = 0
2. Diketahui Koordinat Titik Puncak dan Koordinat yang Lain
Apabila diketahui koordinat titik puncak (xp, yp) dan koordinat yang lain maka bentuk fungsi
kuadratnya adalah :

y = a(x - xp)2 + yp
3. Diketahui Grafiknya

Sebuah grafik fungsi kuadrat dilengkapi dengan unsur-unsur pada grafik, antara lain koordinat titik
potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y, persamaan sumbu simetri, dan titik maksimum /
minimum. Selanjutnya, unsur-unsur yang diketahui tersebut dapat digunakan untuk mencari bentuk
fungsi kuadrat seperti pada nomor 1 dan 2.

Contoh:
1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (1, -1) dan melalui (0, 3) !

Jawab:
Diketahui koordinat titik puncak adalah (1, -1), diperoleh xp = 1 dan yp = -1 serta koordinat titik
yang lain (0, 3). Akan dicari nilai a terlebih dahulu.
yo = a(xo- xp)2 + yp
 3 = a (0 – 1)2 + (-1)
3=a–1

4=a
Dengan demikian bentuk persamaan fungsi kuadratnya adalah :
y = a(x - xp)2 + yp
 y = 4(x – 1)2 + (-1)
 y = 4(x2 – 2x + 1) + (-1)
 y = 4x2 – 8x + 4 + (-1)
 y = 4x2 – 8x + 3
Jadi, bentuk persamaan fungi kuadratnya adalah y = 4x2 – 8x + 3.

14

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

2. Tentukan bentuk persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti gambar berikut ini :
Y

(0,3) (3,1) X
1 3
O

Jawab:
Dari grafik diperoleh koordinat titik puncak adalah (3, 1) dan grafik melalui titik (0, 3). Kita cari
nilai a terlebih dahulu.
yo = a(xo- xp)2 + yp
 3 = a (0 – 3)2 + 1
 3 = 9a + 1
 2 = 9a

a= 2
9

Bentuk persamaan fungsi kuadratnya
y = a(x - xp)2 + yp

 y = 2 (x – 3)2 + 1
9

 y = 2 (x2 – 6x + 9) + 1
9

 y = 2 x2 – 12 x + 18 + 1
999

 y = 2 x2 – 12 x + 27
999

Jadi, bentuk persamaan fungsi kuadrat dari grafik tersebut adalah y = 2 x2 – 12 x + 27
999

B. Menyelesaikan Masalah Program Keahlian yang Berkaitan dengan Fungsi
Kuadrat

Contoh:
Selembar seng yang panjangnya p meter mempunyai lebar 64 cm. Kedua sisi pada panjangnya harus
dilipat ke atas sepanjang x cm untuk membuat talang. Tentukan :
a. Kapasitas talang dalam x
b. Lebar lipatan pada sisi panjang agar kapasitas maksimum
c. Kapasitas maksimum jika panjang seng adalah 3 cm

Jawab: X cm
a. Misalnya x = lebar sisi panjang yang dilipat.

X cm

64 64cm (64-2x)cm 100p cm

X cm

P m = 100p cm 100p cm

(64-2x)cm

Kapasitas talang air = volum talang air
=p.l.t

15

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati

= p . (64 – 2x) . x

= (64 – 2x) . px
Jadi, bentuk fungsi kuadratnya y = 64px – 2px2 .

b. Dari y = 64px – 2px2 diperoleh a = -2p, b = 64p dan c = 0.
Persamaan sumbu simetrinya:
x =  b   64 p   64 p  16
2a 2(2 p)  4 p

c. Nilai maksimum fungsi kuadrat untuk p = 3 dan x = 16.
y = f(x) = f(16)
= 64.3.16 – 2.3.(16)2
= 1.536
Jadi, untuk p = 3 cm talang memiliki kapasitas maksimum 1.536 cm2.

LATIHAN

1. Tentukan bentuk persamaan kuadrat yang memiliki koordinat titik potong grafik dengan sumbu X di

titik-titik berikut !

a. (-3, 0) dan (5, 0) b. (-2 1 , 0) dan (- 1 , 0) c. (2, 0) dan ( 9 , 0)
55 2

2. Tentukan bentuk persamaan kuadrat yang melalui titik puncak dan koordinat berikut ini !

a. Puncak (-6, -36) dan melalui (0, 0)

b. Puncak (-3, -25) dan melalui (2, 0)

c. Puncak ( 7 , 1 ) dan melalui (4, -12)
24

3. Tentukan bentuk persamaan kuadrat dari grafik-grafik berikut !

a. Y b.

Y

(-4,2) (2,0) X

O 3

(0,0) (4,0) X
2

4. Sebuah pelat baja akan dipotong menjadi bentuk persegi panjang. Jika keliling persegi panjang yang
diperoleh adalah 80 mm, tentukan panjang dan lebar pelat tembaga agar diperoleh luas maksimum !

5. Sebuah pelat dari tembaga dipotong menjadi bentuk segi empat dengan keliling 20 cm. Jika luas pelat
adalah 16 cm2 , tentukan panjang dan lebar pelat tersebut !

16

Modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat by Dwi Murwati