Matriks

BAB
MATRIKS

Kegiatan Belajar 1 : Macam-macam Matriks

A. Pengertian Matriks

1. Pengertian dan Notasi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk

persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung

siku “[ ]”

Contoh :

A =  6 8 150 
3 4

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai

berikut:

 a11 a12 . . . a1n   baris.ke  1
   baris.ke  2
 a21 a22 . . . a2n 
 . . . 
Amxn  .
. .

 . . . 
am1 am2 . . . a  baris.ke  m
mn

kolom ke-n

kolom ke-2

kolom ke-1

Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n.
Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen matriks
dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan dengan huruf
kecil sesuai dengan nama matriknya.
a11 = elemen baris pertama kolom pertama.
a12 = elemen baris pertama kolom kedua.
a1n = elemen baris pertama kolom ke-n.
a21 = elemen baris kedua kolom pertama.
a22 = elemen baris kedua kolom kedua.
a2n = elemen baris kedua kolom ke-n.
am1 = elemen baris ke-m kolom pertama.
am2 = elemen baris ke-m kolom kedua.
amn = elemen baris ke-m kolom ke-n.

Contoh:
 4 3 8 

A = 2 5 9 
7 6 10

By Dwi Murwati Page 1

6 = elemen baris ketiga kolom kedua.
5 = elemen baris kedua kolom kedua.
9 = elemen baris kedua kolom ketiga.
10 = elemen baris ketiga kolom ketiga.
dan seterusnya.

2. Ordo Matriks
Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian antara baris
dan kolom.
Contoh:

A =  5 21 ; A berordo 2x2 atau A2x2.
4

B =  3 2 50 ; B berordo 2x3 atau B2x3.
3 1

 1 
C =  2 ; C berordo 3x1 atau C3x1.

 5

D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3.

B. Macam-Macam Matriks

1. Matriks nol.

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”.

Contoh:

O2x2 =  0 0  O2x3 =  00 0 00 
0 0 0

2. Matriks bujur sangkar (persegi).

Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh:

A =  4 23  1 2 3
1 B = 4 5 6

7 9 8

3. Matriks baris.

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

Contoh:

A=(2 5) B=(1 2 3 5)

4. Matriks kolom.

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

Contoh:

A =  24  2 1 
C = 4 5
D =  
 6  6 
7

By Dwi Murwati Page 2

5. Matriks diagonal.

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal

utamanya ada yang tidak nol.

Contoh:

A =  2 0   2 0 0
0 1 B = 0 2 0

 0 0 1

6. Matriks identitas.

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai

satu, dilambangkan dengan “I” .

Contoh:

I2 =  1 10  1 0 0
0 I3 =  0 1 0

0 0 1

C. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen yang

seletak besarnya sama.

Contoh:

Jika A = 53 21 dan B = 53 21 maka dikatakan A = B.

Jika M =  2 3 85 dan N = 72 3 5  maka dikatakan M = N.
7 1 1 8

D. Transpos Matriks

Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu merupakan

matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks transpos dari A

dilambangkan dengan At yang berordo nxm.

Contoh:

 4 5 6 5   4 1 3 
A = 1 3 0 5 3 2
2 2 1  maka matriks transposnya At =  2 13
 3 3  6 0
5

LATIHAN B =  1 2 6 02 
4 5 1
1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut:
a. b. Page 3
 2 1
A = 5 7
 9 0

By Dwi Murwati

2. Diketahui matriks berikut:

 3 1 2  1 1 2  2
A = 1 2 4 dan B =  1 1 1 1 
 2 4 9  1 1 1 1 

a. Tentukan nilai a11, a23, a32 dan a31.

b. Tentukan nilai dari b11 + b12 + b13 + b14.

3. Tentukan nilai dari x dan y dari persamaan berikut :

a.  2x y    81 b. 34x 2    x  8 320  c.  x  y 7    5 7 
x  2y 5y 4 4 9 4 3x 
 y

4. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut :

a. b. c.
 3 1 2
A =  2 4 01  4 6 
1 2 B = 1  2 C = 1 2 4
3   2 4 9
 0

Kegiatan Belajar 2 : Operasi Matriks

A. Penjumlahan Matriks

Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen
matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya. Apabila matriks A dan
matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak didefinisikan.

Contoh:

Diketahui matriks A =  1 2  dan B =  5 7 
3 4 6 1

a. Tentukan A + B

b. Tentukan B + A

Jawab:

a. A + B = 13 24  +  5 7  =  13  5 2  7  =  6 9 
6 1  6 4  1 9 5

b. B + A =  5 71 + 13 2  =  5  1 7  2  =  6 9 
6 4 6  3 1  4 9 5

Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif
penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif penjumlahan
yaitu (A+B)+C = A+(B+C).

By Dwi Murwati Page 4

B. Pengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama
artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis sebagai
berikut:
A – B = A + (-B).

Contoh:

1) Jika P =  4 7  dan Q =  2 1  , maka tentukan P – Q !
3 2 3 2

Jawab:

P – Q =  4 72  -  2 12  =  4 7  +   2 21 =  2 64 
3 3 3 2  3 0

2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :

X +  5 43 =  1 42 
2 3

Jawab:

X +  5 43 =  1 42 
2 3

X =  1 42  -  5 43 =  1 4  +   5 34  =  6 76 
3 2 3 2  2 1

Jadi matriks X =  6 7 
1 6

C. Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar Dengan Matriks
Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah matriks yang
diperoleh dengan cara mengalikan k (bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.

Contoh:

Jika A =  4 6  dan B = 13 2  , tentukan :
5 9 4

a. 3A c. 3A + 4B

b. 4B d. 1 A + 1 B
2 2

Jawab:

a. 3A = 3  4 6  =  12 18 
5 9  15 27

b. 4B = 4  1 2  = 142 8 
3 4 16

c. 3A + 4B =  12 1287 + 142 186  =  16 2463
 15 3

By Dwi Murwati Page 5

d. 1 A + 1 B = 1  4 96  + 1  1 2  =  2 3  +  1 12  =  5 4 
2 2 2 5 2 3 4 5 2 2
9 13
2 2 3 1 2
2

2. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B. Hasil perkaliannya adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah baris
matriks A kali jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :

Amxp x Bpxn = Cmxn

Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan setiap baris pada
matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan.
Contoh:

1) Jika A =  4 13 dan B =  23 , tentukan A x B !
2

Jawab:

A x B =  4 13  32 =  4.3  13..22  = 188
2 2.3 

2) Jika A =  2 15 dan B =  3 1  , tentukan A x B !
4 2 6

Jawab:

A x B =  2 15  3 61  =  2.3  5.(2) 2.1  15..66  = 162102 24360  =  4 1302 
4 2 4.3  1.(2) 4.1  10

3) Jika C =  3 2 16  dan D =  6 tentukan C x D !
4 5 2 ,
 1 

Jawab:

C x D =  3 2 1   6  =  3.6  2.2  16..11 =  4203
4 5 6  2 4.6  5.2 
 1 

 4 6  4
4) Jika M =  2 3 dan N =  3 , tentuakn M x N !
 5 1  5

Jawab:

M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi Amxp x Bpxn = Cmxn

By Dwi Murwati Page 6

LATIHAN 4.2

1. Diketahui matriks-matriks:

 1 2 4  B=  05 2  , C=  8 1 0
A=  6 4 3, 1 1 3
5 4   2 1 1 
 0 4

Tentukan:

a. AB c. AC e. 2A + C
f. 3(A – C)
b. BA d. CA

 1  4  2 7
2. Jika  2  + 3  0 + k 1 =  0 , tentukan nilai k !
  2  3  3 1

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :

 4 x  2  +  6 8  = 2  3 14   0 13
3 2  11 6 2 1

4. Tentukan nilai x + y + z dari :

5  x  7
a. 1 +  y  = 8

6  z   3

b.  3 6  +  x y  =  6 4 
4 1 7 z 8 4

5. Tentukan nilai x dan ydari persamaan berikut :

 2 23   x  =  10 
1 y

Kegiatan Belajar 3 : Determinan dan Invers Matriks

A. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 2x2

Jika A =  a b  , maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A)  0 atau  A = a.d – b.c 
c d

0.

Secara umum hubungan ini dinyatakan :

Jika A =  a b  , maka A-1 = 1 A)  d ab 
c d det( c

Keterangan :
A-1 = Invers dari matriks A

det(A) = determinan dari matriks A

Contoh:

Diketahui A =  3 5  , tentukan A-1 !
1 2

By Dwi Murwati Page 7

Jawab:

det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1

A =  3 5   A-1 = 1 A)  d b 
1 2 det( c a

= 11  2 35 =  2 5 
1 1 3

Jadi, invers matriks A adalah  2 35 .
1

Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa matriks yang

determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular;

misalnya B =  6 13 .
2

Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaiakn persamaan matriks.

Contoh:

Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :

 2 31 A =  14 34 !
4 2

Jawab:

Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.

Invers matriks P =  2 31 adalah P-1 = 2 1 1 . 3 12   1  3 1 
4  4 10 4 2

43

1  3 12   2 31 A = 1  3 1   14 3 
10 4 4 10 4 2 2 4

 1 0  A = 1  40  5  =  4 1 
0 1 10  60 20 6 2

2

Jadi, matriks A =  4 1  .
6 2

2

Dua matriks yang saling invers.

Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I
(matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1) atau A invers dari B (ditulis A =
B-1).

Contoh:

Diketahui A=  3 2  dan B =  5 2  . Apakah A invers dari B ?
7 5 7 3

Jawab:

AB =  3 52   5 2  =  3.5  2.(7) 3.(2)  52..33 =  1 10 = I
7 7 3 7.5  5.(7) 7.(2)  0

By Dwi Murwati Page 8

BA =  5 32   3 2  =  5.3  (2).7 5(.27).2(23)..55  =  1 10 = I
7 7 5 (7).3  3.7 0

Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.

B. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 3x3

 a11 a12 a13 
 
Misal A =  a21 a22 a23 
a31 a23 a33

.

Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan aturan :

A-1 = 1 .Adj( A)
det( A)

Keterangan :
A-1 = Invers dari matriks A
Adj(A) = matriks Adjoin dari A
det(A) = determinan dari matriks A

Cara menghitung determinan A adalah :
Cara I (metode sarrus)

---
a11 a12 a13 a11 a12

det (A) = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

++ +
= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)

Cara II (metode cramer)

a11 a12 a13 = a11 a22 a23 - a12 a21 a23 + a13 a21 a22
det (A) = a21 a22 a23 a32 a33 a31 a33 a31 a32
a32 a33
a31

= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22)

Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :

 a22 a23  a12 a13  a12 a13 
 a33 a32 a33 a22 
 a32 a23 a13 a23 
 a33  a11 a33  a11 
Ajd(A) =  a21 a22 a31 a12 a21 a13 
a32 a32
 a31  a11  a11 a23 
 a21 a31 a21 
 a31 a12 

a22 

By Dwi Murwati Page 9

Contoh:
 1 2 1

Hitunglah invers matriks A =  0  2 3  !
  3 4 5 

Jawab:
Pertama-tama kita hitung determinan A.

- --
1 2 1 1 2

det(A) = 0  2 3 0  2

3 4 5 3 4

+++

= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]

= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34

atau

1 2 1  2 30 30 2
2 3 =1 5 -2 3 5 + (-1)  3 4
det(A) = 0
3 4 4
5

= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)
= -22 -18 + 6 = -34
Jadi, determinan A adalah -34.

Adjoin dari A adalah:

  2 3  2 1 2 1
 45 2 
 45
 1 1 1 3  22  14 4
 3 5 3 1   3
Adj(A) =   0 3  =   9 2  2
3 5  1 2 1 0   10
 3 4 0   6
 2 2
 0 4 
3 2 

Invers dari matriks A adalah :

A-1 = 1 .Adj( A)
det( A)

Diperoleh :

 22 14  4 
 
 22  14 4  34 34 34 
1   3  9 2 3 
A-1 =  34   9 2  2 =
 10  34 34 34 
  6 6 10 2

34 34 34 

C. Penyelesaian Persamaan Matriks

Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah

matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A
mempunyai invers (A-1).

By Dwi Murwati Page 10

1. Persamaan bentuk A.X = B
Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1 dari arah kiri.

A-1.(A.X) = A-1 .B
(A-1.A).X = A-1 .B

I.X = A-1 .B (sebab A-1 .A = I)
X = A-1 .B (sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1 .B

2. Persamaan bentuk X.A = B
Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1 dari arah kanan.

(X.A) A-1 = B. A-1
X.(A. A-1) = B. A-1

X.I = B. A-1 (sebab A.A-1 = I)
X = B. A-1 (sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1

Contoh:

Diketahui matriks-matriks A =  3 52  dan B =  5 13 .
7 2

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !

a. A.X = B b. X.A = B

Jawab:

3 2 = 15 – 14 = 1, sehingga A-1 =  5 2  .
det(A) = 5 7 3

7

a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :

X = A-1 .B =  5 2   5 13 =  21 21
7 3 2  29

b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah :

X = B. A-1 =  5 13  5 32  =  18 7 
2 7  11 5

D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Denganinvers Matriks

ax  by  p
Untuk persamaan linear berbentuk : 
 cx  dy  q

Dapat diubah menjadi perkalian matriks sebagai berikut :

 a b  x    p  dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks  a b 
c d y q c d

diperoleh :

 a b  1  a b  x   a b  1  p 
c d c d y c d q


 1 0  x   a b  1  p 
0 1 y c d q
 

By Dwi Murwati Page 11

 x   1  d ab  p 
y  c q
ad bc

Contoh:

4x  5 y  17
Selesaikan persamaan :  dengan menggunakan invers matriks !
 2x  3y  11

Jawab:

 4 5  x   1171
2 3 y

 x   1  3 5 1171  1  4    2 
y  10 2 4 2 10 5
12

Jadi x = -2 dan y = 5.

LATIHAN 2 3 4

1. Hitunglah ! b. 1 1 1
3 0 5
56
a. 1 3

2. Tentukan invers matriks-matriks berikut !

a. 130 72 b.  4 8  c.  2 4 
3 6 4 7

3. Tentukan matriks adjoin dari:
 2 3  4

P = 0 4 2 
1 1 5 

4. Tentukan invers matriks-matriks berikut ! 1 0 1
 2 0 3  b.  2 3 7

a. 1 4 5   4 1 6
 0 2 1

5. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga A.X = B, jika :

A =  2 14 dan B = 151 7 
3 3

6. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga X.A = B, jika :

A =  2 14 dan B = 151 7 
3 3

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan matriks !

a. 2x  3y 1 b.  1 x  1 y 9  0
 3x  y 5  2 3 y20

x

By Dwi Murwati Page 12

8. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan matriks !

 2x  y  z  5  xyz3
 
a. x  2y  3z  9 b. 2x  y  z  5

 x  3y  z  0 x  2 y  z  7

By Dwi Murwati Page 13