TRIGONOMETRI

BAB
TRIGONOMETRI

Kegiatan Belajar 1 : Perbandingan trigonometri

A. Nilai Perbandingan Trigonometri

Perhatikan segitiga berikut !

Y Sin  = y Cosec  = r
r y
ry X
Cos  = x Sec  = r
 r x
Ox
Tg  = y Ctg  = x
x y

Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan
menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.

B. Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut Istimewa

Perhatikan gambar berikut !

45 2 60
21 30 1

45  
1 3

Sin 30 = 1 Sin 60 = 1 3 Cos 60 = 1
2 2 2

Sin 45 = 1 2 Cos 30 = 1 3 Tg 30 = 1 3
2 2 3

Cos 45 = 1 2 Tg 45 = 1
2 Tg 60 = 3

Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa 90
1
 0 30 45 60
0
Sin  0 1 12 13

22 2

Cos  1 13 12 1
2 2 2

Tg  0 13 1 3
3

By Dwi Murwati Page 1

C. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

a. Kwadran I (0 <  < 90) e. Kwadran III (180 <  < 270)
Sin (90 - ) = Cos  Sin (270 - ) = - Cos 
Cos (90 - ) = Sin  Cos (270 - ) = - Sin 
Tg (90 - ) = Ctg  Tg (270 - ) = Ctg 
Cosec (90 - ) = Sec  Cosec (270 - ) = - Sec 
Sec (90 - ) = Cosec  Sec (270 - ) = - Cosec 
Ctg (90 - ) = Tg  Ctg (270 - ) = Tg 

b. Kwadran II (90 <  < 180) f. Kwadran IV (270 <  < 360)
Sin (90 + ) = Cos  Sin (270 + ) = - Cos 
Cos (90 + ) = - Sin  Cos (270 + ) = Sin 
Tg (90 + ) = - Ctg  Tg (270 + ) = - Ctg 
Cosec (90 + ) = Sec  Cosec (270 + ) = - Sec 
Sec (90 + ) = - Cosec  Sec (270 + ) = Cosec 
Ctg (90 + ) = - Tg  Ctg (270 + ) = - Tg 

c. Kwadran II (90 <  < 180) g. Kwadran IV (270 <  < 360)
Sin (180 - ) = Sin  Sin (360 - ) = -Sin 
Cos (180 - ) = - Cos  Cos (360 - ) = Cos 
Tg (180 - ) = - Tg  Tg (360 - ) = -Tg 
Cosec (180 - ) = Cosec  Cosec (360 - ) = - Cosec 
Sec (180 - ) = - Sec  Sec (360 - ) = Sec 
Ctg (180 - ) = - Ctg  Ctg (360 - ) = - Ctg 

d. Kwadran III (180 <  < 270) h. Kwadran IV (270 <  < 360)
Sin (180 + ) = - Sin 
Cos (180 + ) = - Cos  Sin (- ) = - Sin 
Tg (180 + ) = Tg 
Cosec (180 + ) = - Cosec  Cos (- ) = Cos 
Sec (180 + ) = - Sec 
Ctg (180 + ) = Ctg  Tg (- ) = - Tg 

Cosec (- ) = - Cosec 

Sec (- ) = Sec 

Ctg (- ) = - Ctg 

Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :

Y

Sin : + Sin : +

Cos : - Cos : +

Tg : - Tg : +

O X
Sin : -
Cos : - Sin : -
Tg : + Cos : +
Tg : -

Contoh: = Cos (90 – 65) = Cos 25
(i) Sin 65 = Cos (180 – 60) = - Cos 60 = - 1
(ii) Cos 120
2
(iii) Tg 210 = Tg (180 + 30) = Tg 30 = 1 3

(iv) Sin 315 3
= Sin (360 – 45) = - Sin 45 = - 1 2
By Dwi Murwati
2

Page 2

(v) Cos (-60) = Cos 60 = 1
2

D. Nilai Periodik

Sin ( + k.360) = Sin 
Cos ( + k.360) = Cos 
Tg ( + k.180) = Tg  ; k  B

Contoh: (i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360) = Sin 40
(ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360) = Cos 60
(iii) Tg 480 = Tg (120 + 2. 180) = Tg 120

LATIHAN 12 B
C
1. Tentukan :
a) Sin A, Cos A, Tg A, 5 13
Ctg A, Sec A, Cosec A A
b) Sin B, Cos B, Tg B,
Ctg B, Sec B, Cosec B

2. Jika  lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui :

a) Sin  = 0,5 b) Cos  = 7 c) Tg  = 4
25 3

3. Sin 30 + Tg 60 . Cos 60 = …

4. Sin45 =…
Cos45

5. Tg 30 + Tg 60 = …

6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = …

7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !

8. QR = …cm R
PQ = …cm
1320cm

PQ

9. AB = …cm C
30 15 cm

AB

10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !



120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Sin  … … … … … … … … … … … …
Cos  … … … … … … … … … … … …
Tg  … … … … … … … … … … … …

By Dwi Murwati Page 3

Kegiatan Belajar 2 : Koordinat Kartesius dan Kutub

Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat

titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya
P(r, ) dengan :

R = jarak titik O ke titik P
 = sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X

YY Y

P(x,y) P(r, ) P(r cos , r. sin )

yr ry

 

 

Ox XO X Ox X

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :

(i) Kartesius  Kutub (ii) Kutub  Kartesius
P(x, y) P(r, ) P(r, ) P(x, y)
x = r cos 
r = x2  y2 y = r sin 

tg  = y
x

Contoh:

1) Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub !
Jawab:

r = x2  y2 = 42  32  5

tg  = y = 3  0,75   = tg -1 0,75 = arc tg 0,75 = 36,87
x4

Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87).

2) Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150) !
Jawab:
x = r cos  = 4.cos 150 = 4 (- 1 3 ) = -2 3
2
y = r sin  = 4.sin 150 = 4 ( 1 ) = 2
2

Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).

LATIHAN 7.2 (hasil akhir dua desimal)

1. Tentukan koordinat kartesius dari :

a) (4, 60) c) (8, 300)

b) (5, 120) d) (3 2 , 225)

2. Tentukan koordinat kutub dari : c) (-5 3 , 5)
a) (1, 3 ) d) (-3 2 , -3 6 )
b) (6, -2 3 )

By Dwi Murwati Page 4

Kegiatan Belajar 3 : Aturan Sinus dan Kosinus

A. Aturan Sinus

A Pada setiap segitiga ABC berlaku :

cb abc
Ba C sin A sin B sin C

Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsure-unsur segitiga yang lain, jika diketahui :
(i) sisi, sudut, sudut
(ii) sudut, sisi, sudut
(iii) sisi, sisi, sudut

Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30.

Hitunglah unsure-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !

Jawab:

abc
sin A sin B sin C

(i) a b  sin A = a.sin B  15.sin 30  15. 1  15  0,375
2

sin A sin B b 20 20 40

A = sin -1 0,375 = 22

(ii) C = 180 – (A + B) = 180 - (22 + 30) = 180 - 52 = 128.

(iii) b  c  c = b.sin C  20.sin128  20.0,788  15,76  31,5 cm
sin B sin C sin B sin 30 0,5 0,5

B. Aturan Kosinus

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui :
(i) sisi, sudut, sisi
(ii) sisi, sisi, sisi

Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64.

Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !

Jawab:

(i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

= 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64

= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774

c = 27,8

(ii) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B  cos B = a 2  c2  b2  202  (27,8)2  302  274  0,25
2ac 2(20)(27,8) 1112

By Dwi Murwati Page 5

B = 75,7
(iii) A = 180 - (C + B) = 180 - (64 + 75,7) = 40,2

LATIHAN (hasil akhir dua desimal)

1. Diketahui  ABC , A = 60, B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm.

Tentukan panjang sisi AC !
2. Pada segitiga DEF, sudut D = 135, EF = 6 cm, sudut E = 20.

Tentukan DF, sudut F dan DE !
3. Diketahui  ABC dengan A = 60,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur

berikut!

a) panjang sisi a
b) besar B
c) besar C
4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?

Kegiatan Belajar 4 : Luas Segitiga

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

1
L ABC = bc sin A

2
= 1 ac sin B

2
= 1 ab sin C

2

Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang
diapitnya.

Rumus luas  ABC jika diketahui ketiga sisinya :

L ABC = s(s  a)(s  b)(s  c) dengan s = 1 (a + b + c)
2

Contoh:
Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !

Jawab:

L ABC = 1 ac sin B
2

= 1 . 4 . 3 . sin 30
2

= 1.4.3. 1
22

= 3 cm2.

LATIHAN

1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !
2. Pada  ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka

tentukan luas  ABC !
3. Diketahui  ABC dengan B = 135, AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas  ABC !

4. Luas  ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !

By Dwi Murwati Page 6

Kegiatan Belajar 5 : Rumus Trigonometri Jumlah dan selisih Dua sudut

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus – rumus :

1. Sin (  ) = Sin  . Cos  + Cos  . Sin 

2. Sin (  ) = Sin  . Cos   Cos  . Sin 

3. Cos (  ) = Cos  . Cos   Sin  . Sin 

4. Cos (  ) = Cos  . Cos  + Sin  . Sin 
Tg  Tg
5. Tg (  ) = 1 Tg.Tg

6. Tg (  ) = Tg  Tg
1 Tg.Tg

Contoh:

1) Jika Sin  = 6 dan Cos  = 12 dengan  dan  sudut lancip, hitunglah :
10 13

a. Sin (  )
b. Cos (  )
c. Tg (  )

Jawab:

Sin  = 6 ; Cos  = 8 ; Tg  = 6
10 10 8

Cos  = 12 ; Sin  = 5 ; Tg  = 5
13 13 12

a. Sin (  ) = Sin  . Cos  + Cos  . Sin 

= 6 . 12 + 8 . 5 = 72  40  112  56
10 13 10 13 130 130 130 65

b. Cos (  ) = Cos  . Cos   Sin  . Sin 

= 8 . 12  6 . 5 = 96  30  66  33
10 13 10 13 130 130 130 65
Tg  Tg
c. Tg (  ) = 1 Tg.Tg

6  5 112  112  56
8 12 96 66 33
= 1 6. 5 = 66

8 12 96

2) Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !

Jawab:

Cos 75 = Cos (45 + 30)

= Cos 45 . Cos 30  Sin 45 . Sin 30

= 1 2.1 3  1 2.1
22 22

= 1 61 2
44

= 1 ( 6  2)
4

3) Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25  Sin 110 . Sin 25 !
Jawab:

By Dwi Murwati Page 7

Cos 110 . Cos 25  Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 =  1 2
2

4) Jika Tg  = 3 dan Tg  = 8 , untuk  dan  sudut lancip, hitunglah nilai :
4 15

a. Sin (  )
b. Cos (  )
c. Tg (  )

Jawab:

Tg  = 3  Sin  = 3 ; Cos  = 4
4 55

Tg  = 8  Sin  = 8 ; Cos  = 15
15 17 17

a. Sin (  ) = Sin  . Cos   Cos  . Sin 

= 3 . 15  4 . 8 = 45  32  13
5 17 5 17 85 85 85

b. Cos (  ) = Cos  . Cos  + Sin  . Sin 

= 4 . 15 + 3 . 8 = 60  24  84
5 17 5 17 85 85 85
Tg  Tg
c. Tg (  ) = 1 Tg.Tg

3  8 45  32 13
= 4 15  60  60  13

1  3 . 8 1  24 84 84
4 15 60 60

5) Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o !

Jawab:
Sin 15o = Sin (45o – 30o)

= Sin 45o . Cos 30o  Cos 45o . Sin 30o

= 1 2.1 3  1 2.1
22 22

1 61 2
=
44

= 1 ( 6  2)
4

6) Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tg 28o !

Jawab:

Cos 56o + Sin 56o.Tg 28o = Cos 56o + Sin 56o. Sin 28
Cos 28

= Cos 56.Cos28 + Sin 56.Sin 28
Cos28

= Cos(56  28)  Cos28 1
Cos28 Cos28

B. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Page 8

Rumus – rumus :
1. Sin 2 = 2.Sin  . Cos 
2. Cos 2 = Cos2 - Sin2

By Dwi Murwati

= 2 Cos2 - 1

= 1 – 2 Sin2
2Tg
3. Tg 2 = 1  Tg 2

Contoh:
1) Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin  !

Jawab:
Sin 3 = Sin (2 + )

= Sin 2 . Cos  + Cos 2 . Sin 
= 2.Sin  . Cos  . Cos  + (Cos2 - Sin2) .Sin 
= 2.Sin  . Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3
= 3. Sin  . Cos2 - Sin3
= 3. Sin  (1 – Sin2 ) - Sin3
= 3. Sin  - 3. Sin3 - Sin3
= 3. Sin  - 4 Sin3

2) Dengan menggunakan Sin 60o = 1 3 , buktikan bahwa Sin 180o = 0 !
2

Jawab:
Sin 180o = Sin (3 . 60o)

Berdasarkan hasil contoh 1
Sin 180o = 3. Sin 60o – 4 . Sin360o

= 3 ( 1 3 ) – 4 ( 1 3 )3
22

= 3 3 -4(3 3)
28

= 3 3 - 3 3 =0
22

3) Jika Sin  = 4 dan  terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !
5

(a) Sin 2 (b) Cos 2 (c) Tg 2

Jawab:

Sin  = 4  Cos  = 3 dan Tg  = 4
553

(a) Sin 2 = 2.Sin  . Cos  = 2. 4 . 3 = 24
5 5 25

(b) Cos 2 = Cos2 - Sin2 = ( 3 )2 – ( 4 )2 = 9  16   7
5 5 25 25 25

2 4  88
3
(c) Tg 2 = 2Tg = 1   4 2 3  3  8   9    24
1  Tg 2 3 1  16 7 3 7 7

99

C. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus – rumus : Page 9
1. 2 Sin  Cos  = Sin ( + ) + Sin( - )
2. 2 Cos  Sin  = Sin ( + ) - Sin( - )
3. 2 Cos  Cos  = Cos ( + ) + Cos( - )
4. 2 Sin  Sin  = Cos( - ) - Cos ( + )

By Dwi Murwati

Contoh:

1) Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !

(a) 2 Sin 3 Cos 2 (c) 2 Sin 60o Cos 30o

(b) Cos 8 Cos 2 (d) Cos 105o Cos 15o

Jawab:
(a) 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2) + Sin (3 - 2)

= Sin 5 + Sin 

(b) Cos 8 Cos 2 = 1 [Cos (8 + 2) + Cos (8 - 2)]
2

= 1 [Cos 10 + Cos 6]
2

(c) 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o)
= Sin 90o + Sin 30o

(d) Cos 105o Cos 15o = 1 [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)]
2

= 1 [Cos 120o + Cos 90o]
2

2) Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini !
(a) 2 Sin 75o Cos 15o
(b) 2 Cos 120o Sin 30o
(c) Cos 135o Cos 15o

Jawab:
(a) 2 Sin 75o Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o)

= Sin 90o + Sin 60o = 1 + 1 2
2

(b) 2 Cos 120o Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o)

= Sin 150o - Sin 90o = 1 - 1 = - 1
22

(c) Cos 135o Cos 15o = 1 [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)]
2

= 1 [ Cos 150o + Cos 120o] = 1 [- 1 3 - 1 ] =  1 ( 3 1)
2 22 24

D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Rumus –rumus :
1. Sin A + Sin B = 2 Sin 1 (A + B) Cos 1 (A - B)
22
2. Sin A - Sin B = 2 Cos 1 (A + B) Sin 1 (A - B)
22
3. Cos A + Cos B = 2 Cos 1 (A + B) Cos 1 (A - B)
22
4. Cos A - Cos B = -2 Sin 1 (A + B) Sin 1 (A - B)
22

Contoh:
1) Nyatakan dalam bentuk perkalian !

(a) Sin 7A – Sin 5A
(b) Cos 10 + Cos 6
(c) Cos x – Cos y

By Dwi Murwati Page 10

Jawab:

(a) Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos 1 (7A + 5A) Sin 1 (7A – 5A)
22

= 2 Cos 6A Sin A

(b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos 1 (10 + 6) Cos 1 (10 - 6)
22

= 2 Cos 8 Cos 2

(c) Cos x – Cos y = -2 Sin 1 (x + y) Sin 1 (x - y)
22

2) Sederhanakan ! (c) Cos 200o - Cos 20o
(a) Sin 150o + Sin 30o (d) Sin 75o - Sin 15o
(b) Cos 125o + Cos 55o

Jawab:

(a) Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin 1 (150o + 30o) Cos 1 (150o - 30o)
22

= 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1. 1 = 1
2

(b) Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos 1 (125o + 55o) Cos 1 (125o - 55o)
22

= 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0

(c) Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin 1 (200o + 20o) Sin 1 (200o - 20o)
22

= -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o

(d) Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos 1 (75o + 15o) Sin 1 (75o - 15o)
22

= 2 Cos 45o Sin 30o = 2. 1 2 . 1 = 1 2
2 22

LATIHAN

Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o !

1. Diketahui Sin A = 3 untuk A sudut lancip, dan Cos B =  12 untuk B sudut tumpul.
5 13

Tentukan nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut !

a. Sin (A + B) b. Cos (B – A) c. Tg (A – B)

3. Diketahui Sin A = 3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!
5

a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tg 2A

4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus !

5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !

a. Cos 75o + Cos 15o b. Sin 75o + Sin 15o

6. Diketahui Tg A =  4 dan Tg B = 7 , dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan
5 24

nilai dari bentuk trigonometri berikut !

a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tg (A – B)

7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut !

a. Cos75  Cos15 b. Sin7 A  Sin3A
Sin75  Sin15 Sin9A  Sin3A

By Dwi Murwati Page 11

8. Diketahui Sin A = 1 , Cos B = 3 , A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai Cos
22

(A – B) !

Kegiatan Belajar 6 : Persamaan Trigonometri

A. Rumus yang Menghubungkan Perbandingan Trigonometri

1. Cos2 + Sin2 = 1 4. Sec = 1
Cos
2. Tg  = Sin Cos
Cos 1 Sin
5. Ctg = Tg 
1
3. Cosec  = Sin 6. 1 + Tg2 = Sec2

7. 1 + Ctg2 = Cosec2

B. Menentukan Nilai Sin A, Cos A, Tg A, Cosec A, Sec A, dan Ctg A Jika Salah
Satu Diketahui

Contoh:

1) Tentukan nilai Cos A, Tg A, Cosec A, Sec A, dan Ctg A jika Sin A = 4 dan A sudut lancip !
5

Jawab:
Cos2A + Sin2A = 1  Cos2A = 1 - Sin2A

Cos2A= 1 – ( 4 )2 = 1 - 16  9 Cosec A = 1 = 1 = 5
5 25 25 SinA 4 4

Cos A =  9   3 5
25 5
Sec A = 1 = 1  5
A lancip  Cos A = 3 CosA 3 3
5
5

4 Ctg  = 1  1  3
TgA 4 4
Tg A = SinA = 5  4
CosA 3 3 3

5

2) Jika Sin A = 5 dan 90o < A < 180o (A tumpul), tentukan Cos A dan Tg A !
13

Jawab:
Cos2A = 1 - Sin2A = 1 – ( 5 )2 = 1 - 25  144

13 169 169

Cos A =  144   12
169 13

Karena 90o < A < 180o maka Cos A =  12
13

5
Tg A = SinA = 13   5

CosA  12 12
13

By Dwi Murwati Page 12

C. Identitas

Identitas = kesamaan, lambangnya “ = “
Identitas trigonometri adalah kesaman nilai-nilai perbandingan trigonometri.
Langkah-langkah untuk membuktikan identitas trigonometri yaitu merubah ruas kiri sedemikian
rupa sehingga sama dengan ruas kanan atau sebaliknya dengan menggunakan hubungan-
hubungan yang ada dari Sin A, Cos A dan Tg A.

Contoh:
Buktikan identitas berikut ini !
a) Tg2A + 1 = Sec2A
b) Tg A . Sin A + Cos A = Sec A
c) (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = 2

Jawab:
a) Ruas kiri = Tg2A + 1

= Sin2 A  1  Sin2 A  Cos 2 A  Sin2 A  Cos 2 A
Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A

= 1  Sec2 A = ruas kanan (terbukti)
Cos 2 A

b) Ruas kiri = Tg A . Sin A + Cos A

= SinA . Sin A + Cos A
CosA

= SinA.SinA  CosA.CosA
CosA CosA

= Sin2 A  Cos2 A  1  SecA
CosA CosA

= ruas kanan (terbukti)

c) Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2
= Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A
= 2 (Sin2A + Cos2A)

= 2.1 = 2

= ruas kanan (terbukti)

D. Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana

a. Sin x = Sin   x1 =  + k.360 atau
x2 = (180 - ) + k.360 ; k  B

b. Cos x = Cos   x1 =  + k.360 atau
x2 = - + k.360 ; k  B

c. Tg x = Tg   x =  + k.180 ; k  B

Contoh:
1) Tentukan penyelesaian dari Sin x = 1 ; 0  x  360 !

2
Jawab:
Sin x = 1

2
Sin x = Sin 30  x1 = 30 + k.360

k = 0  x1 = 30
x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360

By Dwi Murwati Page 13

k = 0  x2 = 150
HP = {30, 150}

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x = 1 ; 0  x  360 !
2

Jawab:

Cos 3x = 1
2

Cos 3x = Cos 60  (i) 3x1 = 60 + k.360
x1 = 20 + k.120
k = 0  x = 20
k = 1  x = 140
k = 2  x = 260

(ii) 3x2 = -60 + k.360
x2 = -20 + k.120
k = 1  x = 100
k = 2  x = 220
k = 3  x = 340

HP = {20, 100, 140o, 220o, 260o, 340o}

3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Tg 2x = 3 ; 0  x  180 !

Jawab:

Tg 2x = 3
Tg 2x = Tg 60o

2x = 60o + k.180o
x = 30o + k.90o
k = 0  x = 30
k = 1  x = 120

HP = { 30, 120}

E. Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A  Cos B dan Sin A  Sin B

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :

11
1. Sin A + Sin B = 2 Sin (A + B) Cos (A - B)

22
2. Sin A - Sin B = 2 Cos 1 (A + B) Sin 1 (A - B)

22
3. Cos A + Cos B = 2 Cos 1 (A + B) Cos 1 (A - B)

22
4. Cos A - Cos B = -2 Sin 1 (A + B) Sin 1 (A - B)

22
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0  x  360 !
a) Cos 4x + Cos 2x = 0
b) Sin 3x – Sin x = 0

Jawab; Page 14
a) Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos 1 (4x + 2x) Cos 1 (4x - 2x)

22
= 2 Cos 3x Cos x
Cos 4x + Cos 2x = 0
2 Cos 3x Cos x = 0
Cos 3x Cos x = 0
Cos 3x = 0 atau Cos x = 0

By Dwi Murwati

 Cos 3x = 0
Cos 3x = Cos 90  (i) 3x1 = 90 + k.360
x1 = 30 + k.120
k = 0  x = 30
k = 1  x = 150
k = 2  x = 270
(ii) 3x2 = -90 + k.360
x2 = -30 + k.120
k = 1  x = 90
k = 2  x = 210
k = 3  x = 330

 Cos x = 0
Cos x = Cos 90  (i) x1 = 90 + k.360
k = 0  x = 90
(ii) x2 = -90 + k.360
k = 1  x = 270

HP = {30o, 90o, 150o, 210o, 270o, 330o}

c) Sin 3x – Sin x = 2 Cos 1 (3x + x) Sin 1 (3x - x)
22

= 2 Cos 2x Sin x
Sin 3x – Sin x = 0
2 Cos 2x Sin x = 0
Cos 2x Sin x = 0
Cos 2x = 0 atau Sin x = 0

 Cos 2x = 0
Cos 2x = Cos 90  (i) 2x1 = 90 + k.360
x1 = 45 + k.180
k = 0  x = 45
k = 1  x = 225
(ii) 2x2 = -90 + k.360
x2 = -45 + k.180
k = 1  x = 135
k = 2  x = 315

 Sin x = 0
Sin x = Sin 0  (i) x1 = 0 + k.360
k = 0  x = 0
k = 1  x = 360
(ii) x2 = (180 – 0) + k.360
= 180 + k.360
k = 0  x = 180

HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}

F. Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c

Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x - ), dengan k suatu konstanta
dan 0  x  360.

Untuk menentukan k dan  perhatikan hal berikut :
a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )

By Dwi Murwati Page 15

= k (Cos x Cos  + Sin x Sin )
= k Cos x Cos  + k Sin x Sin 

Dari persamaan di atas , diperoleh :
k Cos  = a
k Sin  = b

a2 + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2
= k2 (Cos2 + Sin2)
= k2 . 1

a2 + b2 = k2 , sehingga k = a2  b2

k.Sin  b
k.Cos a

Tg  = b , Jadi  diperoleh dari Tg .
a

Dengan demikian maka :

a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )
dengan k = a 2  b 2
Tg  = b
a

Besarnya sudut  tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan
keadaan kuadran di mana  berada.

Contoh:

1) Tentukan k dan  dari : -Cos x + Sin x !

Jawab:
-Cos x + Sin x = k Cos (x - )

a = -1 ; b = 1

k = a 2  b 2 = (1)2  (1)2  2

Tg  = b = 1  1 ( di kuadran II)
a 1

 = 135o

Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o)

2) Tentukan k dan  dari : 8 Cos x + 6 Sin x ! 2 ; 0  x  360 !
Jawab:
8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - )
a=8;b=6

k = a 2  b 2 = 82  62  100  10

Tg  = b = 6  3 ( di kuadran I)
a 84

 = 36,89o
Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)

3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x = 1
2

Jawab:
Cos x + Sin x = 1 2

2
a=1;b=1

By Dwi Murwati Page 16

k = a 2  b 2 = 12  12  2

Tg  = b = 1  1 ( di kuadran I)
a1

 = 45o

Cos x + Sin x = k Cos (x - )

2 Cos (x - 45o) = 1 2
2

1 2 1
Cos (x - 45o) = 2 22

Cos (x - 45o) = Cos 60o

(i) x1 - 45o = 60o + k.360o (ii) x2 - 45o = -60o + k.360o
x1 = 105o + k. 360o x2 = -15o + k. 360o
k = 0  x = 105o k = 1  x = 345o

HP = {105o, 345o}

4) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3 Sin x = 1 ; 0  x  360 !

Jawab:
Cos x - 3 Sin x = 1
a=1;b=- 3
k = a 2  b 2 = 12  ( 3)2  1  3  2
Tg  = b =  3   3 ( di kuadran IV)

a1
 = 300o

Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - ) (ii) x2 - 300o = -60o + k.360o
2 Cos (x – 300o) = 1 x2 = 240o + k. 360o
k = 0  x = 240o
Cos (x – 300o) = 1
2

Cos (x – 300o) = Cos 60o

(i) x1 - 300o = 60o + k.360o
x1 = 360o + k. 360o
k = 0  x = 360o

HP = { 240o, 360o}

By Dwi Murwati Page 17

LATIHAN

1. Buktikan : Sec A – Cos A = Tg A . Sin A !

2. Buktikan : Sec2x(1 – Sin4x) – 2 Sin2x = Cos2x !

3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = 1 3 untuk 0  x  360 !
2

4. Diketahui Cos x = 1 untuk 0  x  360. Tentukan himpunan penyelesaiannya !
2

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tg x = 1 3 untuk 0  x  2 !
3

6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0  x  360 !

a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = 1 c. 3 Tg 3x = -1
2

7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tg 1 x = 1 untuk 0  x  2 !
2

8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0  x  360 !
a. Sin (60o + x) – Sin (60o – x) = 1

b. Sin 5x – Sin x = 0

c. Cos 4x – Cos 2x = 0

9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0  x  360 !

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0  x  360

!

By Dwi Murwati Page 18