BAHAN AJAR KONGRUENSI MODULO - FAZLURRAHMAN, S. Pd 2008721032

Modul Ajar
Kongruensi Modulo
Penentuan Hari dan Pasaran

Fazlurrahman, S. Pd.
2008721032

PPG KEMENTERIAN AGAMA
ANGKATAN II

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2021

Page 1

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang senantiasa memberikan taufiq dan hidayah-Nya
sehingga penulis bisa menyelesaikan salah satu tugas mata kuliah Pendidikan Profesi Guru
yaitu membuat bahan ajar berbasis Problem Based Learning. Dalam bahan ajar ini,
mahasiswa harus mengangkat materi-materi yang sulit atau mengalami miskonsepsi ketika
pembahasan modul profesional.
Modul Kongruensi Modulo yaitu topik Penentuan Hari dan Pasaran diambil sebagai ide
penulisan karena ketika pembahasan Modul 5 Kegiatan Belajar 2, mahasiswa banyak yang
mengalami kesulitan ketika menyelesaikan masalah tersebut di samping pentingnya
mengetahui hari dan pasaran peristiwa bersejarah.
Semoga modul ini memberikan manfaat bagi para pembaca. Penulis sangat mengharapkan
saran dan masukan untuk penyempurnaan modul ini.

Kendal, September 2021

Penulis

Page 2

Daftar Isi

Kata Pengantar........................................................................................................................2
Daftar Isi...................................................................................................................................3

I. Pendahuluan
1.1 Deskripsi .................................................................................................................4
1.2 Capaian Belajar......................................................................................................5

II. Uraian Materi
2.1 Teori Relasi Kongruensi........................................................................................5
2.2 Sifat Relasi Kongruensi.........................................................................................7
2.3 Sistem Modulo 7.....................................................................................................8
2.4 Sistem Modulo 5.....................................................................................................8
2.5 Menentukan Sisa Hasil Bagi Sistem Modulo.......................................................9
2.6 Forum Diskusi.......................................................................................................12

III. Penutup
3.1 Rangkuman...........................................................................................................12
3.2 Tes Formatif..........................................................................................................13
3.3 Daftar Pustaka......................................................................................................17

Page 3

1. PENDAHULUAN
1.1 Deskripsi
Fase 1 Orientasi Masalah

Setiap tanggal 17 Agustus, seluruh warga negara Indonesia merayakan hari
kemerdekaan Indonesia. Kemerdekaan yang diperoleh oleh Indonesia sudah mencapai
yang ke-76 pada tahun 2021 ini. Kemerdekaan yang sejatinya rahmat dari Allah SWT atas
perjuangan para pahlawan melawan para penjajah. Tahukah Anda jatuh pada hari dan
pasaran apa kemerdekaan Indonesia pada tahun 1945?

Gambar 1. Proklamasi Kemerdekaan RI
(Sumber : photo attributed to the Department of Information)
Melihat permasalahan di atas, bagaimana menurut rekan-rekan mahasiswa dalam
menentukan hari dan pasaran kemerdekaan Indonesia pada 17 Agustus 1945?
Mengajarkan matematika perlu pemahaman ekstra khususnya kepada peserta didik yang
belum mampu atau masih bingung dalam menyelesaikan permasalahan yang diberikan.
Ini menjadi sebuah tugas dan peranan guru dalam menjelaskan sekaligus memberikan
pemahaman konsep yang bisa ditangkap oleh para peserta didik. Kemudian sudahkah kita
benar-benar memahami konsep yang akan disampaikan? Lalu bagaimana cara kita sebagai
guru mengajarkannya kepada peserta didik?.

Page 4

Pada Kegiatan Belajar 2 Modul 5 ini juga ditemukan masalah pada latihan soal formatif 2
nomor 4 berikut :
Nilai x yang memenuhi 9101  x mod 5 dan 0  x  5 adalah...
Dalam forum diskusi di LMS, ada beberapa mahasiswa yang menanyakan “bagaimana
pengerjaan masalah nomor 4 tersebut? lalu kenapa pengerjaannya dengan cara seperti itu?
Karena masalah-masalah tersebut di atas, penulis sangat tertarik untuk mengkajinya. Apa
hubungan kongruensi modulo dengan hari dan pasaran serta sisa bilangan.
Proses pembelajaran materi ini dapat berjalan dengan lancar dengan dipenuhinya hal-hal
berikut:
1) menguasai materi prasyarat
2) mempelajari materi ini, diskusikan, kemudian selesaikan tes formatif secara mandiri
3) tingkat penguasaan materi 80%
4) kesungguhan dalam belajar secara mandiri maupun berkelompok dengan teman sejawat

serta mengerjakan tugas dan latihan.
Selamat belajar, semoga berhasil dalam memahami dan mengimplementasikan

pengetahuan yang diperoleh dari kegiatan belajar ini.

1.2 Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan mahasiswa dapat memahami,

mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi
kongruensi modulo dalam penyelesaian masalah.

II. URAIAN MATERI

Fase 2 Mengorganisasikan Pengetahuan

Dalam memahami permasalahan dalam kegiatan belajar ini diperlukan materi prasyarat
yaitu
2.1 Teori Relasi Kongruensi

Kongruensi atau kesetaraan diformulasikan pertama kali oleh Carl Friedrich
Gauss pada tahun 1790 dengan formula x  r(mod d ) jika dan hanya
jika x  kd  r untuk sembarang bilangan bulat k.

Page 5

Dalam himpunan bilangan bulat, kekongruenan merupakan metode atau cara
untuk menelaah atau menjelaskan tentang keterbagian suatu bilangan. Adapun
definisi suatu kekongruenan adalah :
Definisi 1 : Jika m suatu bilangan bulat positif membagi a  b maka dikatakan a

kongruen terhadap b modulo m dan ditulis a  bmod m .

Jika m tidak membagi a  b maka dikatakan a tidak kongruen

terhadap b modulo m dan ditulis a  bmod m .
Jika m  0 dan m a  b maka ada suatu bilangan bulat k sehingga
a  b  mk. Dengan demikian a  bmod m dapat dinyatakan

sebagai a  b  mk , atau beda di antara a dan b merupakan
kelipatan m. Atau a  b  mk , yaitu a sama dengan b ditambah
kelipatan m.
Dari definisi 1 di atas, muncul beberapa teorema sebagai berikut :

Teorema 1 : Untuk bilangan bulat sebarang a dan b, a  bmod m jika dan hanya

jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti :

Pandang a  bmod m ini berarti a  b  mk dengan k bilangan bulat.

Menurut Algoritma Pembagian, b  qm  r dengan 0  r  m .

Maka a  b  mk  qm  r mk  q  km  r

Ini berarti a seperti b memiliki sisa r, jika dibagi m.
Misalkan a  q1m  r dan b  q2m  r dengan r yang sama, 0  r  m .

Maka a  b  q1  q2 m yang berarti m a  b.
Ini berarti a  bmod m.

Teorema 2 : Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu di antara
0,1,2,3,...,(m-1).

Bukti :
Menurut Algoritma Pembagian, jika a dan m adalah bilangan bulat dan m>0 maka
a dapat dinyatakan a  qm  r dengan 0  r  m .
Hal ini berarti bahwa a  r  qm .
Maka a  r(mod m)

Page 6

Karena 0  r  m maka terdapat m pilihan untuk r yaitu 0,1,2,3,...,(m-1).
Jadi, setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu di antara
0,1,2,3,...,(m-1).

Definisi 2 : Suatu bilangan bulat dikatakan suatu sistem residu lengkap modulo m
jika setiap bilangan bulat kongruen dengan salah satu dari himpunan
itu. Atau dengan kata lain himpunan x1, x2.x3..., xm dikatakan
sebagai sistem residu lengkap jika y  Bx0 sehingga
y  x0 (mod m).

Untuk kekongruenan modulo m ini, x1, x2.x3..., xm atau 0,1,2,3,...,(m-1). disebut
sebagai himpunan residu terkecil modulo m.
Dari definisi 2 di atas, maka muncul teorema sebagai berikut:
Teorema 3 : Untuk sembarang bilangan a dan b, a  b(mod m) jika dan hanya

jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi oleh m.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa jika a  b(mod m) maka a dan b memiliki sisa yang
sama jika dibagi oleh m.

Karena a  b(mod m) maka a  r(mod m) dan b  rmod m dengan r adalah

residu terkecil modulo m atau 0  r  m.
Jika a  qm  r berarti untuk suatu bilangan bulat q.
Jika b  tm  r berarti untuk suatu bilangan bulat t.
Jadi, a dan b memiliki sisa yang sama yaitu r jika dibagi oleh m.

2.2 Sifat Relasi Kekongruenan
Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara
bilangan-bilangan bulat. Relasi kekongruenan juga merupakan relasi ekuivalensi.
Untuk m bilangan bulat positif, dan p,q,dan r berlaku :
1) Sifat Refleksif

p  pmod m

Bukti :

p  p  0  0.m , maka p  pmod m.

2) Sifat Simetris

Page 7

p  qmod m jika dan hanya jika q  pmod m

Bukti :

Karena p  qmod m maka p  q  mk untuk suatu bilangan bulat k,
sehingga q  p  mk yang berarti bahwa q  pmod m.

3) Sifat Transitif

Jika p  qmod m dan q  rmod m maka p  rmod m

Bukti:

Karena p  qmod m maka p  q  mk untuk suatu bilangan bulat k
Karena q  rmod m maka q  r  ml untuk suatu bilangan bulat k
Jika kedua ruas dijumlahkan maka akan diperoleh : p  r  k  lm yang
berarti bahwa p  rmod m.

2.3 Sistem Modulo 7
Jumlah hari dalam 1 minggu adalah 7 yaitu Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at,
Sabtu, dan Ahad sehingga dalam penentuan hari menggunakan sistem modulo 7.
Sistem ini menggunakan 7 lambang bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5,dan 6.

+0123456
00123456
11234560
22345601
33456012
44560123
55601234
66012345

Tabel 1. Sistem Modulo 7
2.4 Sistem Modulo 5

Jumlah nama pasaran adalah 5 yaitu Wage, Kliwon, Legi, Pahing, dan Pon sehingga
dalam penentuan nama pasaran menggunakan sistem modulo 5. Sistem ini
menggunakan 5 lambang bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, dan 4.

Page 8

+01234
001234
112340
223401
334012
440123

Tabel 2. Sistem Modulo 5

Fase 3 Mengembangkan Penyelidikan

2.5 Menentukan Sisa Hasil Bagi Sistem Modulo
Modulo merupakan sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian operasi dari
suatu bilangan terhadap bilangan lainnya sehingga sistem modulo merupakan bagian
yang penting dalam teori bilangan.

Kasus 1

Jika 102021 dibagi oleh 7, maka sisanya adalah...
Penyelesaian:
Misal r merupakan residu (sisa) pembagian

102021  rmod 7
 10 2021  1.7  32021mod 7

    10 2021  33 673. 32 mod 7

 10 2021  4.7 1673.1.7  2mod 7
 10 2021  1673.2mod 7
 10 2021  1.2mod 7
 10 2021   2mod 7
 10 2021  7  2mod 7
 10 2021  5mod 7

Page 9

Jadi, sisa dari 102021 dibagi oleh 7 adalah 5.

Kasus 2

Jika hari ini hari Rabu, maka hari apakah 97101 hari lagi?
Penyelesaian :
Dalam menentukan hari gunakan sistem modulo 7 untuk r merupakan residu/sisa.
Sehingga diperoleh :

97101  rmod 7
97101  13.7  6 101mod 7
97101  6101mod 7

 97101  62 50.6mod 7

97101  5.7  1 50.6mod 7
97101  150.6mod 7
97101  1.6mod 7
97101  6mod 7

Dengan sisa 6 maka diperoleh 97101 hari lagi adalah hari Rabu + 6 hari yaitu hari
Selasa.

Kasus 3

Zimam genap berusia 6 tahun pada tanggal 19 Agustus 2021. Pada hari dan pasaran
apa Zimam dilahirkan jika diketahui Kamis, 23 September 2021 memiliki hari
pasaran Kamis Pahing?
Penyelesaian:
Zimam dilahirkan pada tanggal 19 Agustus 2015.
Selisih dari 19 Agustus - 23 September pada tahun 2021 adalah 35 hari.
Karena 35 merupakan kelipatan 5 maka diperoleh hari pasaran pada 19 Agustus
2021 adalah Kamis Pahing.
Banyak hari dari 19 Agustus 2015 – 19 Agustus 2021 : ((6x365) + 2) = 2.192 hari.

Page 10

Kemudian untuk menentukan hari pasarannya menggunakan sistem modulo 5.

2.192  rmod 5
2.192  5.438  2mod 5
2.192  2mod 5

Diperoleh residu(sisa) r=2 sehingga hari pasarannya diperoleh Kamis Pahing – 2
hari yaitu Selasa Kliwon.

Fase 4 Pemecahan Masalah

Kasus 4

Setiap tanggal 17 Agustus, seluruh warga negara Indonesia merayakan hari
kemerdekaan Indonesia. Kemerdekaan yang diperoleh oleh Indonesia sudah mencapai
yang ke-76 pada tahun 2021 ini. Kemerdekaan yang sejatinya rahmat dari Allah SWT
atas perjuangan para pahlawan melawan para penjajah. Tahukah Anda jatuh pada hari
dan pasaran apa kemerdekaan Indonesia pada tahun 1945?
Penyelesaian:
HUT RI diperingati setiap tanggal 17 Agustus.
Selisih dari 17 Agustus - 23 September pada tahun 2021 adalah 37 hari.
Karena 37=5.7+2 sehingga hari pasaran pada tanggal 17 Agustus 2021 adalah Kamis
Pahing – 2 hari yaitu Selasa Kliwon.
Banyak hari dari 17 Agustus 1945 – 17 Agustus 2021 : ((76x365) + 19) = 27.759 hari.
Kemudian untuk menentukan hari pasarannya menggunakan sistem modulo 5.

27.759  rmod 5
27.759  5.5.551  4mod 5
27.759  4mod 5

Diperoleh residu(sisa) r=4 sehingga hari pasarannya diperoleh Selasa Kliwon – 4 hari
yaitu Jum’at Legi..

21K01asus 5

Nilai x yang memenuhi 9101  x mod 5 dan 0  x  5 adalah...

Page 11

Penyelesaian:
9101  x mod 5

 9101  92 50.9mod 5

9101  5.16  1 50.9mod 5
9101  150.9mod 5
9101  1.9mod 5

9101  9 mod 5
9101  4 mod 5
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4.

Fase 5 Analisis dan Evaluasi
2.6 Tugas
2.6 Forum Diskusi

Silahkan selesaikan soal-soal berikut untuk mengasah kemampuan analisis
Saudara. Soal terbagi ke dalam tipe soal mudah, sedang, dan sukar.
1. Menurut Saudara, apakah penyelesaian dengan cara kongruensi modulo adalah

salah satu cara yang efektif dalam menentukan hari ataupun pasaran? Jelaskan!
2. Apakah Saudara mempunyai alternatif lain dalam memecahkan masalah yang

berkaitan dengan penentuan hari ataupun pasaran? Jelaskan!
3. Pak Ahmad mempunyai anak laki-laki yang dilahirkan pada hari Senin, 13

September 2021. Jika pada tanggal 22 September 2021 memiliki nama pasaran
Rabu Legi, maka hari lahir anak Pak Ahmad memiliki nama pasaran...
4. Carilah sisa positif terkecil dari 1! + 2! + 3! + ...+100!
a. Modulo 5
b. Modulo 7
5. Hari Sumpah Pemuda yang diperingati setiap tanggal 28 Oktober 2021 jatuh
pada hari Kamis. Hari Pahlawan pada tahun 2030 yang akan datang jatuh pada
hari ...

3 PENUTUP
3.1 Rangkuman

Penentuan hari dan pasaran dari beberapa peristiwa bersejarah yang terjadi dengan
diketahui hari, tanggal, bulan, dan tahun sebelumnya dapat dilakukan dengan

menggunakan sistem modulo 7 yaitu a  bmod 7 dengan a  b  7k untuk

Page 12

penentuan hari dan sistem modulo 5 yaitu a  bmod 5 dengan a  b  5k untuk

penentuan nama pasaran.
3.2 Tes Formatif

1, Jika 319 dibagi 7 maka sisanya adalah...
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2

2. Jika N  2mod 4 dan M  8mod16 maka sisanya jika MN dibagi 32 adalah...

A. 24
B. 16
C. 8
D. 4
E. 2

3. Sisa hasil bagi 2+7+12+⋯+1.002 oleh 5 adalah...
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8

4. Angka terakhir dari 7739 adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Page 13

5. Apabila Hari Pendidikan Nasional pada tanggal 2 Mei adalah hari Selasa, maka
HUT Kemerdekaan RI pada tahun yang sama adalah...
A. Rabu
B. Kamis
C. Jum’at
D. Sabtu
E. Minggu

6. Hari ini adalah hari Kamis. 22021 hari lagi adalah hari ...
A. Jum’at
B. Sabtu
C. Minggu
D. Senin
E. Selasa

7. Upik berulang tahun ke 20 pada hari Senin, 18 Mei 2015. Maka, pada hari apakah
Upik lahir?
A. Minggu
B. Senin
C. Selasa
D. Rabu
E. Kamis

8. Zidna dilahirkan pada tanggal 23 Agustus 1991. Jika Kamis, 23 September 2021
memiliki pasaran Pahing, maka pasaran hari kelahirannya adalah...
A. Senin Pahing
B. Selasa Wage
C. Rabu Legi
D. Kamis Kliwon
E. Jum’at Pon

Page 14

9. Hari ini adalah Kamis Pahing. Kamis minggu depan memiliki pasaran...
A. Wage
B. Pon
C. Pahing
D. Kliwon
E. Legi

10. Peringatan hari Sumpah Pemuda 10 November 2021 yang akan datang jatuh
pada pasaran Rabu...
A. Pon
B. Pahing
C. Wage
D. Kliwon
E. Legi

Page 15

Kunci Jawaban Tes Formatif

1. D 6. D
2. B 7. E
3. B 8. E
4. C 9. A
5. B 10. D

Kriteria Penilaian Tes Formatif

Cocokkan jawaban dengan kunci jawaban. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan

rumus untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi ini.

Tingkat Penguasaan = Banyak jawaban benar 100%
Banyak soal

Arti tingkat penguasaan:

90%  TP  100% : sangat baik

80%  TP  90% : baik

70%  TP  80% : cukup
TP  70% : kurang

Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, maka pengetahuan saudara akan

materi ini sudah bagus. Namun apabila tingkat penguasaan materi kurang dari 80%,

maka Saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.

Page 16

3.3 Daftar Pustaka
Agustina, Rina. 2015. Teori Bilangan. Metro. Universitas Muhammadiyah Metro
Handayanto, Agung. 2015. Peranan Sistem Modulo dalam Penentuan Hari dan
Pasaran.Semarang. IKIP PGRI
Rahma, Ade Novia. 2020. Aplikasi Sistem Modulo 7 dalam Prediksi Peringatan Hari
Rachmani, Dewi Nuriana. 2019. Modul 5 Bilangan. Semarang. Kemendikbud
Besar Nasional Indonesia Tahun 2030. Padang. UIN Imam Bonjol
https://hasbiansyah-cahyadi.blogspot.com/2021/01/pembahasan-soal-uas-teori-
bilangan.html (Diakses pada tanggal 23 September 2021)
https://www.kujawab.com/OSKKOM15/10 (Diakses pada tanggal 23 September 2021)
https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-kongruensi-modulo/(Diakses
pada tanggal 21 September 2021)

Page 17