บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่อง

เอกสารประกอบการเรียน

วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม

บทท่ี 2 ลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน

ชื่อนักเรียน.........................................................
ชั้น ม.6/....... ตอน....... เลขท่ี............

ครผู สู้ อน นางปณุ ณดา ภพู่ ชิ ิต
ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ปีการศกึ ษา 2565
โรงเรยี นสระบรุ ีวทิ ยาคม อำเภอเมอื ง จังหวัดสระบุรี

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 41

บทที่ 2 ลมิ ิตและความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชัน

2.1 ลิมิตของฟังก์ชัน

การพจิ ารณาว่า คา่ ของฟงั กช์ ัน y = f(x) ทม่ี โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจำนวนจรงิ
จะเขา้ ใกลค้ ่าใด ขณะที่ x เข้าใกลจ้ ำนวนจรงิ จำนวนหนงึ่

การพจิ าณาค่าของฟงั กช์ นั f(x) = x2 – x + 4 เมอื่ x เข้าใกล้ 2 แต่ x  2
ดงั ตารางต่อไปน้ี ตารางที่ 1 แสดงคา่ ของ f(x) เม่ือ x เข้าใกล้ 2 แต่ x  2

x f(x) x f(x)

1.0 4.000000 3.0 10.000000
1.5 4.750000 2. 5 7.750000
1.8 5.440000 2.2 6.640000
1.9 5.710000 2.1 6.310000
1.95 5.852500 2.05 6.152500
1.99 5.970100 2.01 6.030100
1.995 5.985025 2.005 6.015025
1.999 5.997001 2.001 6.003001

จากตารางจะเหน็ ได้ชดั เจนวา่ เมือ่ x เพิ่มข้ึนจาก 1 และเขา้ ใกล้ 2 ค่าของ f(x) จะเพมิ่ ขนึ้ จาก 4
และเข้าใกล้ 6 ขณะเดียวกนั เมอื่ x ลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) จะลดลงจาก 10 และเข้าใกล้ 6
ซ่งึ ถา้ พจิ ารณาจากกราฟของฟงั ก์ชนั f(x) จะเห็นสมบัตินี้เช่นกัน

เชยี นกราฟของฟงั ก์ชนั f(x) = x2 – x + 4 ได้ดงั รูปท่ี 1

y

f(x) เข้าใกล้ 6 6 y = x2 – x + 4

2 x
รปู ที่ 1

จากตารางที่ 1 และกราฟของฟังกช์ นั f ในรปู ที่ 1 จะเห็นวา่ ขณะท่ี x เขา้ ใกล้ 2 (นน่ั คือเมอื่ x > 2)

ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 6 ในกรณนี ้ี จะกล่าววา่ “ลิมติ ของฟงั ก์ชัน f(x) = x2 – x + 4 เมือ่ x เขา้ ใกล้ 2

เท่ากับ 6 “ เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ lim f (x) = 6 หรือ lim f (x2 − x + 4) = 6
x→2 x→2

ลิมิตและความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 42

ตอ่ ไปพจิ ารณากราฟของฟังกช์ นั ท้ังสามฟงั กช์ ัน ดงั รปู ที่ 2 ถงึ 4

LL L

aa a

รูปท่ี 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4

สังเกตว่ากราฟของฟังก์ชันในรปู ท่ี 2 f(a) เท่ากบั L และ กราฟของฟงั ก์ชันในรปู ท่ี 3 f(a) ไมเ่ ท่ากับ
L ส่วนกราฟของฟังกช์ นั ในรูปที่ 4 f(x) ไมน่ ิยามท่ี x = a ไม่ว่าในกรณี y = f(x) ในรูปท่ี 2 หรือรปู ที่ 3 หรือ
รปู ท่ี 4 กจ็ ะไดว้ ่า lim f (x) = L

x→a

ตวั อย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ lim x −1 โดยการสรา้ งตารางแสดงคา่ ของฟังกช์ นั
x2 −1
x→1

วธิ ีทำ สงั เกตว่าฟังกช์ ัน f(x) = x −1 ไมน่ ยิ ามท่ี x = 1

x2 −1

แต่อยา่ งไรก็ตาม การหา lim f (x) จะพจิ ารณาค่าของ f(x)
x→1

เมือ่ x เขา้ ใกล้ 1 แต่ x  1 เทา่ นั้น
ตารางที่ 2 แสดงคา่ ของ f(x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ 1 แต่ x  1

x<1 f(x) x>1 f(x)

0.5 0.666667 1.5 0.400000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

จากตารางจะเห็นว่า f(x) เข้าใกล้ 0.5 เมื่อ x เข้าใกล้ 1

ดังนัน้ lim x −1 = 0.5
ตัวอยา่ งที่ 2 กำหนดให้ f(x) = x2 −1
x→1

–1 เม่ือ x < 0

1 เมือ่ x  0
จงหาวา่ lim f (x) หาคา่ ไดห้ รือไม่ ถ้าได้ คือจำนวนจริงใด

x→0

วิธีทำ เขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั f ไดด้ งั รปู
y

1

x
–1

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 43

วธิ ีทำ เขยี นกราฟของฟังกช์ ัน f ไดด้ ังรปู จากกราฟ พจิ ารณาค่าของ f(x)
เมอื่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย (x < 0)
y จะเห็นว่าค่าของ f(x) เขา้ ใกล้ –1
และเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา (x > 0)
1 จะเห็นว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 1

x
–1

ในกรณนี ี้ ไม่มีจำนวนจรงิ จำนวนใดเพยี งจำนวนเดียวซึ่ง เมื่อ x เข้าใกล้ 0 แลว้ ทำให้ f(x) เขา้ ใกลจ้ ำนวนนั้น
ดงั น้นั lim f (x) หาคา่ ไม่ได้

x→0

จากตวั อย่างที่ 2

เม่อื x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซา้ ย (x < 0) ค่าของฟงั กช์ ัน f(x) เข้าใกล้ –1 เรียก –1 ว่า “ลิมิตซ้ายของ

ฟงั กช์ นั (left-handed limit)

เม่ือ x เขา้ ใกล้ 0 ทางด้านซ้าย” และเขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ lim f (x) = –1 สญั ลกั ษณ์ “ x → 0”
x→0−

แสดงถงึ การพจิ ารณาค่าของ x ทน่ี อ้ ยกวา่ 0 เท่าน้นั เมอื่ x เขา้ ใกล้ 0 ทางด้านขวา ค่าของฟงั ก์ชัน f(x) เขา้
ใกล้ 1 เรยี ก 1 วา่ “ ลิมติ ขวาของฟังก์ชัน (right-handed limit) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา” และ

เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ lim f (x) = 1 สัญลกั ษณ์ “ x → 0”แสดงถงึ การพจิ ารณาค่าของ x ที่มากกวา่ 0
x→0+

เทา่ นั้น

โดยทว่ั ไป สำหรบั ฟังกช์ นั f ใดๆทีม่ โี ดเมนและเรนจ์เปน็ สับเซตของเซตของจำนวนจรงิ ถ้า f(x) เข้า

ใกลจ้ ำนวนจรงิ L1 เม่อื x เข้าใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย เรียก L1 วา่ ลมิ ติ ซ้ายของฟงั กช์ ัน f(x) เม่ือ x เขา้ ใกล้ a

ทางดา้ นซ้าย เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim f (x) = L1 และถ้า f(x) เขา้ ใกลจ้ ำนวนจริง L2 เม่ือ x เข้า
x→0−

ใกล้ a ทางด้านขวา เรียก L ว่าลมิ ติ ขวาของฟังกช์ ัน f(x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา เขียนแทนดว้ ย

สญั ลกั ษณ์ lim f (x) = L2 y
x→0+
y

f(x) L1 L2 f(x)

xa ax

(ทางซ้าย) lim f (x) = L1 (ทางขวา) lim f (x) = L2
x→a−
x→a+

ดังน้ัน ถา้ L1 = L2 = L จะไดว้ ่าฟงั ก์ชนั f มีลิมิตเป็น L เม่ือ x เข้าใกล้ a นน่ั คือ lim f (x) = L

x→a

แต่ ถา้ L1  L2 จะได้วา่ ฟงั กช์ นั f ไมม่ ีลิมิต เมื่อ x เขา้ ใกล้ a นั่นคอื lim f (x) หาค่าไม่ได้

x→a

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 44

ตวั อยา่ งที่ 3 กำหนดกราฟของฟงั กช์ ัน g ใหด้ ังน้ี

จากโจทย์ ค่าของลมิ ติ คอื
ค่าของลิมติ คือ
1) lim g(x) ค่าของลมิ ิตคอื
x→2−

2) lim g(x)
x→2+

3) lim g(x)
x→2

4) lim g(x)
x→5−

5) lim g(x)
x→5+

6) lim g(x)
x→5

x+2 เมือ่ x < 1

ตัวอย่างท่ี 4 กำหนดให้ f(x) =

2x2 เมือ่ x  1
โดยการเขยี นกราฟของ f จงหา

ตวั อยา่ งที่ 5 จากโจทย์

1) lim f (x)
x→1−

2) lim f (x)
x→1+

3) lim f (x)
x→1

x2+ 1 เมอ่ื x > 1
กำหนดให้ f(x) =

1 − 2x เมอื่ x ≤ 1
โดยการเขยี นกราฟของ f จงหา

จากโจทย์

1) lim g(x)
x→2−

2) lim g(x)
x→2+

3) lim g(x)
x→2

4) lim f (x)
x→1−

5) lim f (x)
x→1+

6) lim f (x)
x→1

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 45

แบบฝกึ หัดที่ 2.1 ก

1. จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี โดยใชต้ ารางแสดงคา่ ของฟงั กช์ นั ที่กำหนดให้

1) lim x − 2 x 3.9 3.99 3.999 x 4.001 4.01 4.1
f(x) f(x)
x→4 x − 4

2) lim x2 x−2 6 x 1.9 1.99 1.999 x 2.001 2.01 2.1
+x− f(x) f(x)
x→2

3) lim x −1 x 0.9 0.99 0.999 x 1.001 1.01 1.1
x3 −1 f(x) f(x)
x→1

4) lim ex −1
x
x→0

x -0.1 -0.01 -0.001 x 0.001 0.01 0.1
f(x) f(x)

5) lim sin x

x→0 x

x -1 -0.5 -0.1 -0.05 -0.01 x 0.01 0.05 0.1 0.5 1
f(x) f(x)

6) lim xInx
x→0+

x 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
f(x)

ลมิ ิตและความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 46

2. กำหนดกราฟของฟังก์ชนั y = f(x) ใหด้ ังแสดงในรูป
จงหา
1) lim f (x) = ……………………………….

x→1−

2) lim f (x) = ……………………………….
x→1+

3) lim f (x) = ……………………………….
x→1

4) lim f (x) = ……………………………….
x→5

5) f(5) = ………………………………………

3. กำหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y = f(x) ให้ดังแสดงในรูป

จงหา
1) lim f (x) = ……………………………….

x→0

2) lim f (x) = ………………………………
x→3−

3) lim f (x) = ……………………………...
x→3+

4) lim f (x) =…………..……………………
x→3

5) f(3) = …………………………………….

4. กำหนดกราฟของฟงั ก์ชัน y = g(x) ใหด้ งั แสดงในรปู

จงหา
1) lim g(x) = ……………………………….

x→0−

2) lim g(x) = ……………………………….
x→0+

3) lim g(x) = ……………………………….
x→0

4) lim g(x)= ……………………………….
x→2−

5) lim g(x)= ……………………………….
x→2+

6) lim g(x) = ……………………………….
x→2

7) g(2) = ……………………………………
8) lim g(x) = ……………………………..

x→4

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 47

5. จากกราฟของฟงั ก์ชัน y = f(x) ทกี่ ำหนดให้

จงหา

1) lim f (x) = ……………………………….
x→1−

2) lim f (x) = ……………………………….
x→1+

3) lim f (x) = ……………………………….
x→1

6. จากกราฟของฟงั ก์ชนั y = f(x) ท่ีกำหนดให้ จงหา

1) lim f (x) = ……………………………….
x→2−

2) lim f (x) = ……………………………….
x→2+

3) lim f (x) = ……………………………….
x→2

4) lim f(x) = ……………………………….
x→−2−

5) lim f(x) = ……………………………….
x→−2+

6) lim f(x) = ……………………………….
x→−2

7. จงหาลมิ ิตของฟงั ก์ชันต่อไปนโ้ี ดยอาศยั การเขยี นกราฟของฟังก์ชนั

7.1) lim (1+ x) =
x→4−

x+1 เมอ่ื x ≤ 2

7.2) lim f (x) เมอ่ื f(x) = เม่อื x > 2
x→2
2

lim f (x) =

x→2

ลิมิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 48

7.3) เมื่อกำหนดให้ f(x) = 2(x - 1) เมือ่ x < 6 จงหา limf(x)
x→6
+ 3 เม่ือ x > 6

2

limf(x) =

x→6

3x + 11 เมื่อ x < -2 จงหา lim f(x)
x→−2
7.4) เมอ่ื กำหนดให้ f(x) =

x2 + 1 เมือ่ x > -2

lim f(x) =

x→−2

2+ −2 เม่ือ x ≠ −2
+2

8. จงหา lim f(x) เม่ือ f(x) =
x→−2
−3 เมอ่ื x = −2

วิธีคดิ

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

9. จงหา limf(x) เมอื่ f(x) = | 2−16| 10. จงหา limf(x) เมื่อ f(x) = | 2−4|
x→4 +4 x→2 −2

วธิ คี ิด ............................................................. วธิ ีคดิ .............................................................
............................................................. .............................................................
............................................................. .............................................................

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 49

ทฤษฎบี ทเก่ียวกับลิมิต

จากท่ีกล่าวมา ได้หาค่าลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนีโ้ ดยอาศัยการคำนวณค่าของฟังกช์ นั หรอื การเขยี น
กราฟของฟงั กช์ ัน ต่อไปจะกลา่ วถงึ ทฤษฎีบทเก่ียวกับลมิ ิตของฟงั ก์ชัน โดยจะไม่แสดงการพิสจู น์ และจะใช้
ทฤษฎบี ทเหลา่ น้ีช่วยในการหาลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

ทฤษฎีบทที่ 1 เม่ือ a , L และ M เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ถา้ f และ g เป็นฟังก์ชันทม่ี โี ดเมนและเรนจ์

เปน็ สบั เซตของเซตของจำนวนจรงิ โดยท่ี lim f (x) = L และ lim g(x) = M แล้วจะได้ว่า
x→a x→a

1. lim c = c เมอ่ื c เปน็ ค่าคงตัวใดๆ
x→a

2. lim x = a
x→a

3. lim xn = an เมือ่ n I+
x→a

4. lim cf (x) = c lim f (x) = cL เมอื่ c เป็นคา่ คงตัวใดๆ
x→a x→a

5. lim[ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = L + M
x→a x→a x→a

6. lim[ f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) = L - M
x→a x→a x→a

7. lim[ f (x)  g(x)] = lim f (x)  lim g(x) = L  M
x→a x→a x→a

8. lim  f (x)  = lim f (x) = L เมื่อ M  0
 g (x)  M
x→a   x→a

lim g(x)

x→a

9. lim[ f (x)]n = [lim f (x)]n = Ln เมือ่ n I+
x→a x→a

10. limn f (x) = n lim f (x) = n L เมื่อ n I+ - {1}, n f (x)  R และ n L  R
x→a x→a

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหา lim(2x2 − 3x + 4)
x→5

วิธีคิด...................................................................................................................... ..............................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................

ตวั อย่างที่ 7 จงหา lim x3 + 2x2 −1
5 − 3x
x→2

วธิ คี ิด....................................................................................................................................................

.................................................................................................. ...........................................................

............................................................................................................................. ................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 50

ตวั อย่างที่ 8 จงหา ( )lim x2 −1 4
x→2
วิธคี ิด....................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................

ตัวอย่างท่ี 9 จงหา lim 3 3x3 + 20x2
x→4

วธิ ีคิด....................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
................................................................................................. ............................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................

ตวั อยา่ งเช่น ทฤษฎบี ท 2 ถ้า p เป็นฟังก์ชนั พหุนาม แลว้ สำหรับจำนวนจรงิ a ใด
lim p(x) = pa

x→a

ถ้า p(x) = x2 – 5x + 7 แลว้ lim p(x) = p(2) = 22 – 5(2) + 7 = 1
x→2

ทฤษฎีบท 3 ถ้า f เป็นฟังกช์ นั ตรรกยะ โดยที่ f(x) = p(x)
q(x)

เมอ่ื p และ q เป็นฟังกช์ นั พหุนาม แล้ว

lim f (x) = p(a)

x→a q(a)

สำหรบั จำนวนจรงิ a ใดๆ ที่ q(a)  0

ตวั อย่างเช่น ถา้ f(x) = 2x2 − 3x + 4 แล้ว lim f (x) = 2(1)2 − 3(1) + 4 = –1
x2 − 4 (1)2 − 4
x→1

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหา lim x −1
x2 −1
x→1

วิธคี ิด....................................................................................................................................................

.................................................................................................. ...........................................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................................................. ................................

ตวั อย่างท่ี 11 จงหา √ 2+9−3
2
→0
วิธีคดิ ....................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................................................. ................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

ลิมิตและความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 51

lim f (x) = L ก็ต่อเมื่อ lim f (x) = L = lim f (x)
x→a x→a− x→a+

ตวั อย่างท่ี 12 กำหนดให้ f(x) = 8 – 2x เม่ือ x < 4 จงหา lim f (x)
เมอ่ื x > 4 x→4
x−4

วิธคี ดิ ....................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
................................................................................................ .............................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
............................................................................................................................. ................................

เมื่อ x < a
+2
ตัวอยา่ งท่ี 13 กำหนดให้ f(x) = , a > 0 และ g(x) = x2

+1 เม่อื x ≥ a


ถา้ xl→im +(fog)(√ ) − √ l i→m∞(gof)( ) = 11 แลว้ a มีคา่ เท่าใด
( +2)

วิธคี ิด....................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................

ตัวอยา่ งที่ 14 กำหนดให้ a เปน็ จำนวนจริงบวกทีส่ อดคลอ้ งกัน lim |5 +1|−|5 −1| = 80
→0 √ + −√
ค่าของ 2 + + 58 มคี า่ เท่าใด
วธิ คี ิด....................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
................................................................................................ .............................................................
............................................................................................................................. ................................

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 52

แบบฝึกหดั ท่ี 2.1 ข
1. จงหาคา่ ของลิมติ ต่อไปนี้ ถ้าลมิ ิตหาค่าได้

จากโจทย์ คา่ ของลิมิตคอื

1. lim (3 2 + 7 − 100)
→0

2. lim ( 5 − 2 + 5)
→−1

3. lim ( 3)( − 1)
→5

4. lim ( 2 + 1)( − 3)
→−2

5. lim +8

→3 2 −5

6. lim 2−25

→−5 +5

7. lim +1
2− −2
→1

8. lim 2− −2
2+4 +3
→1

9. lim 1−√

→1 1−

10. lim 3−√

→9 9−

11. lim [1 − 1−3 3]

→1 1−

12. lim 3− −6
2−4
→2

13. lim 4+20 −21
3+3 2+ +3
→−3

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 53

จากโจทย์ แสดงวธิ คี ดิ หาคำตอบ

14. lim (1 − 41) ( −14)

→4

15. lim 3√( − 1)2
→0

16. lim 2−9

→3 −3

17. lim 2−√ +3
→1 −1

18. lim −2
√ 2+5−3
→2

19. lim 3−8

→2 2−

20. lim 3√ +1−2

→7 −7

21. lim | −2|

→2 −2

22. lim | 2−9|

→3 −3

23. lim 3√ −2
2−64
→8

24. lim 1 [ 1 − 1]

→0 2+ 2

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 54

2. กำหนดให้ | |−1 ; x < 1

f(x) = √1−

| −1| ; x > 1

1−√

จงหา 2.1 lim f(x) = ………………………………………………………………………………………..……………………………
x→1−
= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

2.2 lim f(x) = ……………………………………………………………………………………….……………………………
x→1+
= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

2.3 limf(x) = …………………………………………………………………………………………..….………….……………
x→1
= …………………………………………………………………….……………………..…………………………

3. กำหนดให้ | −2| ; x<2
12+4 −5 2
f(x) =

√ +2−2 ; x>2
| 2−4|

จงหา 3.1 lim f(x) = ……………………………………………………………………………………………………………………
x→2−
= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

3.2 lim f(x) = ……………………………………………………………………………………………………………………
x→2+
= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

= …………………………………………………………………….………………………………………………

3.3 limf(x) = ……………………………………………………………………………………………………….……………
x→2
= …………………………………………………………………….………………………………………………

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 55

2.2 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน

พิจารณากราฟของฟังกช์ ันในรปู ต่อไปนี้

จากรูปที่ 1 จะเห็นวา่ กราฟ y = f(x) ไมน่ ิยามที่ x = a แต่หาค่าของ lim f (x) ได้
x→a

สว่ นกราฟของฟังกช์ นั รปู ที่ 2 และรปู ที่ 3 จะเหน็ วา่ lim f (x) หาคา่ ไมไ่ ด้
x→a

จากกราฟของฟังกช์ นั รูปท่ี 4 จะเหน็ ว่า lim f (x) = L และ L  f(a)
x→a

สังเกตว่า กราฟของฟังกช์ ันข้างตน้ ทั้งหมดเป็นกราฟขาดตอนที่ x = a
ในลักษณะเช่นนี้ จะเรยี กฟงั กช์ นั f วา่ เป็นฟงั กช์ ันไมต่ ่อเนื่องที่ x = a

จากรูปท่ี 5 จะเห็นได้วา่ lim f (x) = f(a)
x→a

และกราฟของฟงั ก์ชันไมข่ าดตอนที่ x = a ใน
ลกั ษณะเช่นนีเ้ รยี กฟงั กช์ ัน f วา่ เป็นฟังก์ชนั ต่อเนอ่ื ง
ที่ x = a ซ่งึ มีบทนยิ ามฟังก์ชันต่อเนื่อง ดงั น้ี

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 56

บทนิยาม ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ซึง่ นิยามบนชว่ งเปิด (a, b) และ c  (a, b)

จะกล่าวว่า f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองที่ x = c กต็ ่อเมื่อ
1. f( c ) หาค่าได้
2. lim f (x) หาคา่ ได้

x→c

และ 3. lim f (x) = f( c )
x→c

ตวั อยา่ งที่ 1 จงพจิ ารณาวา่ f(x) = 2x2 − 4 เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่ืองท่ี x = 2 หรอื ไม่

x−2

วธิ คี ดิ ....................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................

x2 − 4 เมือ่ x  2
x−2

ตวั อย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) =

3 เม่ือ x = 2
จงพิจารณาวา่ ฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนือ่ งท่ี x = 2 หรอื ไม่
วิธีคิด...................................................................................................................... ..............................
.......................................................................................................................................................... ...
............................................................................................................................. ................................
............................................................................................................................. ................................
............................................................................................................................. ................................

x2 − 4 เมื่อ x  2
x−2

ตัวอยา่ งที่ 3 กำหนดให้ f(x) =

4 เมือ่ x = 2
จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องท่ี x = 2 หรอื ไม่
วิธีคิด...................................................................................................................... ..............................
............................................................................................................................. ................................
................................................................................................. ............................................................
............................................................................................................................. ................................
ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ f(x) = |x + 1|

จงพิจารณาว่าฟังกช์ ัน f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งที่ x = -1 หรอื ไม่
วิธีคิด...................................................................................................................... ..............................
............................................................................................................................... ..............................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 57

ทฤษฎีบท 4 ถ้า f และ g เป็นฟังกช์ ันต่อเนื่องที่ x = a แล้ว ได้ว่า

1. f + g เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x = a
2. f – g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a

3. f  g เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองที่ x = a

4. f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งท่ี x = a เม่อื g(a)  0
g

ทราบมาแลว้ วา่ ถา้ p เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามแล้ว สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ

จะไดว้ า่ lim p(x) = p(a) ดังนนั้ จะได้ทฤษฎีบทดังนี้
x→a

ทฤษฎบี ท 5 สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ

ฟงั ก์ชนั พหุนาม p เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนือ่ งที่ x = a

โดยอาศยั ทฤษฎบี ท 1 และ ทฤษฎบี ท 2 จะได้ข้อสรุปเก่ยี วกบั ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชันตรรกยะดังนี้

ทฤษฎบี ท 6 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ตรรกยะ โดยที่ f(x) = p(x)
q(x)

เมื่อ p และ q เปน็ ฟงั กช์ นั พหนุ าม แลว้ f เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองท่ี x = a

เมอ่ื a เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ซ่งึ q(a)  0

ตัวอยา่ งท่ี 5 กำหนดให้ f(x) = x2 −9
x2 − 5x + 6

จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองที่ x = 0 หรือไม่

วิธคี ดิ ....................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

3x2+1 ; x ≤ -1

ตัวอยา่ งที่ 6 กำหนดให้ f(x) = x2−2x−3 ; -1 < x < 0
x+1 ; x ≥0

x–3

จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องที่ x = -1 และ x = 0 หรือไม่

วิธคี ดิ ....................................................................................................................................................
.................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
............................................................................................................................. ................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................

ลิมติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 58

ความตอ่ เน่อื งบนช่วง

ตอ่ ไปจะพจิ ารณาความต่อเน่ืองของฟงั กช์ นั บนชว่ งดงั น้ี

1. ฟังก์ชนั f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนอื่ งบนชว่ ง (a, b) ก็ต่อเม่ือ f ต่อเน่ืองทท่ี ุกๆ จดุ ในชว่ ง (a, b)

2. ฟงั กช์ นั f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ก็ตอ่ เมื่อ

1) f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองท่ีทกุ ๆจดุ ในชว่ ง (a, b) และ

2) lim f (x) = f (a) และ lim f (x) = f (b)
x→a+ x→b−

3. ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนชว่ ง (a, b] ก็ต่อเมือ่

1) f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องท่ีทกุ ๆจดุ ในชว่ ง (a, b) และ

2) lim f (x) = f (b)
x→b−

4. ฟังก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a, b) กต็ ่อเมอื่

1) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุดในช่วง (a, b) และ

2) lim f (x) = f(a)
x→a+

ตัวอย่างท่ี 7 กำหนดให้ f(x) = 9 − x2
จงแสดงว่าฟังกช์ ัน f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งบนช่วง [-3, 3]

วธิ ที ำ ให้ c เป็นจุดใดๆ ในช่วง (-3, 3)

จาก f(x) = 9 − x2
จะได้ f(c) = 9 − c2

และ lim f (x) = lim 9 − x2
x→c x→c
= lim(9 − x2 )
x→c

= 9 − c2
ดังนน้ั lim f (x) = f(c)

x→c

สรุปไดว้ า่ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งบนช่วง (-3, 3)

ตอ่ ไปจะแสดงว่า lim f (x) = f (-3) และ lim f (x) = f(3)
x→3+ x→3−

lim f (x) = lim 9 − x2
x→3+ x→3+

= lim (9 − x2) = 0 = f (-3)
x→3+

และ lim f (x) = lim 9 − x2
x→3− x→3−

= lim (9 − x2) = 0 = f (3)
x→3−

ดงั นัน้ ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [-3, 3]

ลิมิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 59

แบบฝกึ หัดที่ 2.2

1. จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชันต่อไปนีเ้ ปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่อง ณ จุดทก่ี ำหนดหรือไม่
1.1 f(x) = 3x - 1 ที่ x = 2

วิธีทำ......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

................................................................................................................................................................... ...........

1.2 f(x) = −4 ที่ x = 4
x2−16
วิธที ำ....................................................................................................................... ...............................................

..............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

1.3 f(x) = 2−1 ท่ี x = 1
x3−1
วธิ ที ำ....................................................................................................................... ...............................................

..............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

..............................................................................................................................................................................

1.4 f(x) = |x| ที่ x = 0

วิธที ำ....................................................................................................................... ...............................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

1.5 f(x) = | +1| ท่ี x = -1

x+1

วธิ ที ำ....................................................................................................................... ...............................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................

1.6 f(x) = 2+2 +1 ที่ x = -1

x+1

วธิ ีทำ....................................................................................................................... ...............................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................

ลิมติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 60

2. กำหนดให้ f(x) = 2+6 +9 จงพจิ ารณาวา่ f ไมต่ ่อเนื่องทค่ี ่า x เพราะเหตุใด
2+2 −15

วิธีทำ....................................................................................................................... ...............................................

............................................................................................................................................................................ ..

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

Kx2 + 1 ; x ≥ 2

3. กำหนดให้ f(x) =

2x + k ; x < 2
จงหาค่า k ทท่ี ำให้ f ต่อเน่ืองทุกค่า x
วิธีทำ....................................................................................................................... ...............................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

2x+ 1 ; x  1
4. กำหนดให้ f(x) =

3 – 2kx ; x > 1

จงหาค่า k ที่ทำให้ฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งในทุกค่าของจำนวนจริง x
วิธีทำ....................................................................................................................... ...............................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................

√4 +3−2 ; x > 1
2√ −1 4

5. กำหนดให้ f(x) =

1 ; x ≤ 1
|4 |+1 4

ณ จุด ที่ x = 1 เป็นฟงั กช์ ันต่อเนือ่ ง หรือไม่
4
วธิ ีทำ....................................................................................................................... ...............................................

..............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

..............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

..............................................................................................................................................................................

ลมิ ิตและความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 61

แบบทดสอบลมิ ิตและความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ นั

คำสั่ง ให้นักเรยี นวงกลมตวั เลือกทเ่ี ป็นคำตอบทถี่ กู ต้องทสี่ ุดเพยี งขอ้ เดียว และแสดงวิธีคดิ ส้ันๆ (20คะแนน)

1. ค่าของ lim x + 1 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 0 x
x→0 1
x
x −

2. 1 3. −1 4. หาคา่ ไมไ่ ด้

2. คา่ ของ lim x3 − 8 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 4
x→2 x2 − 4

1. 0 2. 1 3. 3

1 – x2 เมื่อ x2 < 1

3. กาหนดให้ f(x) = 3x − 2 − 5 เมื่อ x2 > 1
x
ขอ้ ใดต่อไปน้ีผิด
1. lim f(x) = 0 2. lim f(x) = − 4
x → −1+
x → −1−
4. lim f(x) = 0
3. lim f(x) = 0 x →1
x → −1
1.998 เมื่อ x < 0
4. กาหนดให้ f(x) = 2 เม่ือ 0≤ x ≤ 1 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
2x เม่ือ 1 < x
ก. lim f(x) = 2
x→0 ข. lim f(x) หาค่าไมไ่ ด้
x →1
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู
1. ก.ถกู และ ข. ถกู 2. ก.ถูก และ ข. ผดิ
3. ก.ผดิ และ ข. ถูก 4. ก.ผิด และ ข. ผิด

x2 , x < 3

5. กาหนดให้ f(x) = ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู

2x , x ≥ 3

1. lim f(x) < lim f(x) 2. lim f(x) > lim f(x)
x→3− x→3+ x→3− x→3+

3. lim f(x) = lim f(x) 4. lim f(x) = 75
x→3− x→3+ x→3

ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 62

6. กาหนดให้ f(x) = ax3 – 4x2 + 1 เมื่อ a เป็นคา่ คงตวั และ

f(x) เม่ือ x > 1

g(x) = f /(x) เม่ือ x < 1

0 เมื่อ x = 1

ถา้ g(x) มีลิมิตที่ 1 แลว้ a เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 0 2. 5 3. 8 4. 3
23

7. จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ข. lim x−2 = 1
ก. lim x2 − x − 2 = 1 x→2 x2 − 4 4

x→2 (x − 2)2 2. ก.ถูก และ ข. ผิด
4. ก.ผิด และ ข. ผิด
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก
1. ก.ถูก และ ข. ถกู
3. ก.ผดิ และ ข. ถูก

8. lim (1 − 1 2) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
2−3 +
→1 1−

1. 0 2. 1 3. -1 4. หาคา่ ไม่ได้

9. ให้ f(x) = (x − 4)( )x + 2 a เมื่อ x > 4
เม่ือ x = 4
x −2

1

x2 − b เมื่อ x < 4

โดยที่ a , b เป็นจานวนจริง ถา้ f ต่อเนื่องท่ีจุด x = 4 แลว้ f ( a + b ) เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
16

1. –16 2. –14 3. 14 4. 16

ลิมิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 63

10. ให้ k เป็นจานวนจริง และ fk : R – (2) → R

กาหนดโดย fk (x) = k x2 − 4 ทกุ คา่ x  R – {2}
x−2

จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ีวา่ ขอ้ ใดบา้ งถกู ตอ้ ง

1. สาหรับทุก k  R จะทาให้ lim fk (x) = –4k และ lim fk (x) = 4k

x→2− x→2+

2. สาหรับทุก k  R จะทาให้ lim fk (x) = 4k
x→2

3. สาหรับทกุ k  R จะทาให้ lim fk (x) ไมม่ ีค่า
x→2

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู

1. ขอ้ 1 – 3 ถูกตอ้ งเพียง 1 ขอ้ 2. ขอ้ 1 – 3 ถูกตอ้ งเพียง 2 ขอ้

3. ขอ้ 1 – 3 ถกู ตอ้ งท้งั 3 ขอ้ 4. ขอ้ 1 – 3 ผดิ ทุกขอ้

11. กาหนดให้ f(x) = x2 − 9 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก
x−3

1. lim f(x) = 0 และ lim f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้ 2. lim f(x) = 0 และ lim f(x) = 6
x → −3 x→3 x → −3 x→3

3. lim f(x) = 0 และ lim f(x) = – 6 4. lim f(x) หาค่าไม่ไดแ้ ละ lim f(x) = 0
x → −3 x→3 x → −3 x→3

x2 เม่ือ x > 1

12. ถา้ f(x) = x – 1 เมื่อ 0 < x ≤ 1

0 เมื่อ x ≤ 0

แลว้ lim f(x2) + lim  f (x −1) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

x→0− x →1+ x + 2 

1. – 4 2. –1 3. 0 4. 1
3 3

13. ถา้ f(x) = 1 − 1 และ g(x) = 1 ค่าของ lim [f(x)  g(x)] เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
x 4 x−4
x→4

1. – 1 2. 0 3. 1 4. หาคา่ ไมไ่ ด้
16 16

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั 64

14. กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่อง โดยที่

f(x) = x3 − x2 − 4x + 4 เม่ือ x ≠ ±2
4 − x2

และ f(2) = a , f(–2) = b แลว้ a และ b เป็นจริงตามขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. a = 1 , b = –3 2. a = 1 , b = 3

3. a = –1 , b = –3 4. a = –1 , b = 3

–6x + 4 เม่ือ x < –2

15. ถา้ f(x) = ax2 + bx เมื่อ –2 ≤ x ≤ 2

6x – 4 เม่ือ x > 2

ถา้ f มีความตอ่ เน่ืองบนช่วง (– ∞ , ) แลว้ a + b มีคา่ เท่าไร

1. –1 2. –2 3. 1 4. 2

–x ; x < 0 และ g(x) = –x , x < 0
16. กาหนดให้ f(x) = x , x≥0

1 ; x≥0 ข. g(x) ไมต่ ่อเน่ืองท่ี x = 0
พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. f(x) ไมต่ ่อเนื่องท่ี x = 0 2. ก.ถูก และ ข. ผิด
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 4. ก.ผิด และ ข. ผิด
1. ก.ถกู และ ข. ถกู
3. ก.ผดิ และ ข. ถกู

x2 − 2x เมื่อ x ≤ 0 หรือ x > 2

x−2

17. กาหนดให้ f(x) =

2 เมื่อ 0 < x ≤ 2

f เป็นฟังกช์ นั ไมต่ ่อเนื่อง ท่ี x เม่ือ x สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. x < 0 2. x = 0 3. 0 < x < 2 4. x = 2

ลิมิตและความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 65

x เมื่อ x ≥ 0

18. กาหนดให้ f(x) = พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

–x เมื่อ x < 0

ก. f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ือง ที่ x = 0 ข. lim f (x) = lim f (x)
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู x→0 x x→0+ x

1. ก.ถูก และ ข. ถูก 2. ก.ถกู และ ข. ผิด

3. ก.ผดิ และ ข. ถูก 4. ก.ผิด และ ข. ผดิ

3x2 เมื่อ x < –1

19. ถา้ f(x) = 2x + 5 เม่ือ –1 ≤ x < 3

3x –2 เม่ือ x ≥ 3

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก

1. f ตอ่ เนื่อง ท่ี x = –1 แต่ไม่ต่อเนื่อง ท่ี x = 3 2. f ตอ่ เน่ือง ที่ x = –1 และ x = 3
f ไมต่ ่อเนื่อง ที่ x = –1 และ x = 3
3. f ไม่ต่อเนื่อง ท่ี x = –1 แตต่ ่อเนื่อง ท่ี x = 3 4.

(x − 2)2 ; x<2
x =2
x2 − 4

20. ให้ f(x) = h;

2x + k ; x < 2

ถา้ ฟังกช์ นั f มีความต่อเนื่อง ท่ี x = 2 แลว้ h + k มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –4 2. –2 3. 0 4. 2