การแจกแจง 2

เอกÿารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 6 Āน่วยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงความน่าจะเป็น ชื่อนักเรียน......................................................................................... ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Ā้อง.......... ตอน............ เลขที่............ ครูผู้ÿอน................................................................................................ โรงเรียนÿระบุรีวิทยาคม อำเภอเมือง จังĀวัดÿระบุรี No Ñ. 62157ms §Ñdo7Y ?@ 3 9 18 ngu.mn ojÑÑn

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 1 บทนิยาม 1.1 การแจงแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม (Probability Distribution of a Random Variable) 1. ตัüแปรÿุ่ม (Random Variable) พิจารณาการโยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญ จำนüน 3 ครั้ง ÿามารถเขียนปริภูมิตัüอย่าง 1 S ได้ ดังนี้ S1 = _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ แต่ถ้าในการทดลองÿุ่มนี้ เราÿนใจจำนüนครั้งที่เĀรียญขึ้นĀัü ÿามารถเขียนปริภูมิตัüอย่าง 2 S ได้ ดังนี้ S2 = ___, ____, ____, ____ โดยÿมาชิกในปริภูมิตัüอย่าง 2 S เป็นÿับเซตของจำนüนจริง เมื่อใĀ้ X แทนจำนüนเĀรียญที่ขึ้นĀัü เราÿามารถÿร้างฟังก์ชัน X ระĀü่างปริภูมิตัüอย่าง 1 S กับจำนüนจริงได้ดังนี้ X (TTT ) ______ = X (HTT X THT X T ) _________ === ( ) ( TH ) X HHT X HTH X THH ( ) _________ === ( ) ( ) และ X HHH ( ) ________ = จะเĀ็นü่าเรนจ์ของฟังก์ขัน X คือ เซต 2 S ซึ่งเป็นÿับเซตของจำนüนจริง ทำใĀ้เราÿามารถนำไปใช้ใน การคำนüณต่อได้และเรียกฟังก์ชัน X ในลักþณะนี้ü่า ตัüแปรÿุ่ม โดยบทนิยามของตัüแปรÿุ่มเป็นดังนี้ ตัüแปรÿุ่ม (random variable) คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัüอย่างของการทดลองÿุ่มไปยัง เซตของจำนüนจริง กล่าüได้ü่า ตัüแปรÿุ่ม เป็นฟังก์ชันที่ทำĀน้าที่แปลงผลลัพธ์ของการทดลองต่าง ๆ ใĀ้อยู่ในรูปของ จำนüนจริง เพื่อคüามÿะดüกในการนำไปใช้ เราจะเขียนตัüแปรÿุ่ม X ในรูปแบบของเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งĀมด เช่น 1. ถ้า X แทนจำนüนครั้งทีเĀรียญขึ้นĀัüจากการโยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญ 3 ครั้ง จะได้ X = 2. ถ้า X แทนผลบüกของแต้มลูกเต๋าจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จะได้ X = 3. ถ้า X แทนเüลาของการรอรถประจำทางที่ป้ายโดยÿารแĀ่งĀนึ่ง จะได้ X = ___, ____) HHH HHT 14TH HTT THH THT TTH TTT 0 1 2 3 ✗ ={0,1 ,2,3} 0 I 2 3 0,192,3 2,3 , 4,5, ooo , -12 ☐ 00

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 2 บทนิยาม กิจกรรมคณิตýาÿตร์ ใĀ้นักเรียนเติมข้อมูลลงในตารางใĀ้ถูกต้อง ÿถานการณ์ ตัüแปรÿุ่ม X ค่าเป็นไปได้ของตัüแปรÿุ่ม X 1. Āยิบลูกปิงปอง 3 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จากกล่องที่มีลูกปิงปองÿีขาü 5 ลูก ÿีเขียü 4 ลูก และÿีÿ้ม 6 ลูก โดยลูกปิงปองแต่ละ ลูกมีลüดลายต่างกัน X เป็นจำนüนลูกปิงปองÿีขาüที่ Āยิบได้ 2. โยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญ จำนüน 5 ครั้ง X เป็นจำนüนครั้งที่เĀรียญขึ้นก้อย 3. ÿุ่มĀยิบไพ่ 2 ใบ พร้อมกัน 1 ครั้ง จาก ไพ่ÿำรับĀนึ่งซึ่งมีไพ่ทั้งĀมด 52 ใบ X เป็นจำนüนไพ่Āมายเลข 7 ที่ Āยิบได้ 4. จากการÿำรüจน้ำĀนักตัü(กิโลกรัม) ของเด็กแรกเกิดในโรงพยาบาลแĀ่งĀนึ่ง X เป็นน้ำĀนักตัüของเด็กแรกเกิด 5. จากการÿำรüจเüลาที่ใช้ในการเดินทาง มาโรงเรียนของนักเรียนจำนüน 30 คน X เป็นเüลาที่ใช้ในการเดินทาง จากกิจกรรมคณิตýาÿตร์จะเĀ็นü่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัüแปรÿุ่ม X ในข้อ 1 – 3 เป็นจำนüนเต็ม จะเรียกตัüแปรÿุ่มในลักþณะนี้ü่า ตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ( discrete random variable) ตัüแปรÿุ่ม X เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ถ้าเซตของค่าที่เป็นไปได้ของ X เป็นÿับเซตของจำนüนเต็ม และเมื่อพิจารณาÿถานการณ์ในข้อที่ 4-5 จะเĀ็นü่าค่าที่เป็นไปได้ของตัüแปรÿุ่ม X เป็นจำนüนจริงที่ ต่อเนื่องและไม่ÿามารถนับได้จะเรียกตัüแปรÿุ่มชนิดนี้ü่าตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง (continuous random variable) ตัüแปรÿุ่ม X เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง ถ้าเซตของค่าที่เป็นไปได้ของ X เป็นช่üงĀรือยูเนี่ยนของช่üง ตัüอย่าง 1 จงพิจารณาü่าตัüแปรÿุ่มที่กำĀนดใĀ้ต่อไปนี้เป็นตัüแปรÿุ่ม ชนิดต่อเนื่องĀรือตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง 1. การĀมุนของüงล้อตัüเลข 1-10 _____________________________ 2. น้ำĀนักตัüของüิชัย _____________________________ 3. การÿุ่มĀยิบลูกบอลÿี 1 ลูก _____________________________ 4. ระยะทางที่รถกระบะ 1 คัน üิ่งได้ตั้งแต่มีน้ำมันเต็มถังจนน้ำมันĀมดถังโดยไม่เติม _____________________________ บทนิยาม ✗ = {0, 1 , 2 , 3 } ✗ = { 0, 1 , 2 , 3,4,5 } ✗ = {0,1 , 2 } ✗ = [ 0 , 00 ) ✗ = [0 , 00 ) tsioioorsiog oio sites tsioioorsiog oio sites

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 3 2. การแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม ( Probability Distribution of Random variable) 1. การแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (probability distribution of discrete random variable) เพื่อคüามÿะดüกต่อการýึกþาลักþณะการแจกแจงคüามน่าจะเป็น เราจึงกำĀนดใĀ้ฟังก์ชัน f x Px x ( ) = = ( ) แทนคüามน่าจะเป็นที่ตัüแปรÿุ่ม X จะมีผลการทดลองเป็น X เช่น พิจารณาการ ทดลองÿุ่มต่อไปนี้ โยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญจำนüน 3 ครั้ง จากการทดลองÿุ่มข้างต้น ถ้าใĀ้ X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนครั้งที่เĀรียญขึ้นĀัü ดังนั้น X = 0,1,2,3 พิจารณา คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เĀรียญขึ้นĀัü 0 , 1 , 2 Āรือ 3 ครั้ง จะได้ f Px (0 ( 0) _____ ) = == คือ คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เĀรียญขึ้นĀัü _____ครั้ง f Px (1 ( 1) _____ ) = == คือ คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เĀรียญขึ้นĀัü _____ครั้ง f Px (2 ( 2) _____ ) = == คือ คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เĀรียญขึ้นĀัü _____ครั้ง f Px (3 ( 3) _____ ) = == คือ คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เĀรียญขึ้นĀัü _____ครั้ง เมื่อนำผลลัพธ์จากการคำนüณมาเขียนอยู่ในรูปตารางĀรือกราฟการแจกแจงคüามน่าจะเป็นจะทำใĀ้ เĀ็นลักþณะ การแจกแจงของตัüแปรÿุ่ม ดังนี้ x 0 1 2 3 รüม f x( ) กราฟแจกแจงคüามน่าจะเป็น I 0 3 8 1 3 B 2 I 3 7 3 3 7 8=1 8 8 § 8 § FIX) B : 8 • D8 ✗ 0 1 2 3

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 4 บทนิยาม ÿังเกตได้ü่า f x( ) จะมีค่าอยู่ระĀü่าง 0 กับ 1 และ ผลรüมของ f x( )จากทุกค่า x เป็น 1 เÿมอ ซึ่งเป็นไปตามÿมบัติของคüามน่าจะเป็น และฟังก์ชัน f x( ) ที่กล่าüมาข้างต้นทั้งĀมดจะเรียกü่า ฟังก์ชันมüล คüามน่าจะเป็น ฟังก์ชัน f x( ) เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง x แต่ละค่า x ที่เป็นไปได้ของตัüแปรÿุ่ม x 1. f x() 0 2. () 1 = x x f x 3. f x Px x ( ) = = ( ) ตัüอย่าง 2 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง โดยที่ ( ) 2 1 25 0 x f x − = 1) ใĀ้ÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X พร้อมทั้งเขียนกราฟ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ใĀ้พิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ x = 1,2,3,4,5 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ ✗ =D, 1,2 f(1) = P( ✗ = 11 f- (D) = P( ✗ =D ) f- (2) = P( ✗ = 2) P( ✗ = ✗ ) = FIX) f-(X ) 10 25 • Is • • • • 1- 2 3 4 or ✗ ✗ = 1 f-(1) =P/ ✗ = 1) = 2111-1 = 1 25 25 ✗ = 2 f(2) = PIX = 2) = 2121-1 = 3 25 25 ✗ =3 f- (3) =P/ ✗ =3 ) = 213) - 1 = 5 25 25 ✗ = 4 f-(4) = PIX = 4) = 2141-1 = 7 25 25 ✗ = 5 Flor ) = PIX = 5) = 2151-1 = 9 25 25 ✗ 1 2 3 4 5 5221 1 3 5 7 9 f- (X) 25 25 25 25 25 1 ✗ {f- ( X) = fl 11 tf(2) + f(3) + f(4) + Flori = 11-3 1-51-71-9 = 25 = 1 25 25 D7nUNÑU7W 1) FCXIZD ÑwD£g 2) Eft ✗ 1=162%089 i. fÑwWfÑÑwwoanñwÑoeÑw8osÑo↳6UooÉW ✗ #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 5 ตัüอย่าง 3 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนครั้งที่ลูกเต๋าปรากฎแต้ม 1 จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จำนüน 2 ครั้ง 1) ใĀ้ÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X พร้อมทั้งเขียนกราฟ แล้üพิจารณาü่า Px x ( ) = เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่ลูกเต๋าปรากฏแต้ม 1 จำนüน 2 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่ลูกเต๋าปรากฏแต้ม 1 จำนüน 0 ถึง 1 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าปรากฏแต้ม 1 อย่างน้อย 1 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Ñ6NsÑw ✗ ={0,1,2 } ✗ 0 1 2 5021 25 10 1 Pl ✗ = ✗ I 36 36 36 1 Pl✗=×) 25 36 - = 10 36 - • 5 36 - i t qq• ✗ 0 1 2 f- (2) = P( ✗ = E) = 1 36 Plot ✗ I 1) = PIX =D) + PIX = 11 = 25 + 10 36 36 = 35 36 PIX 711 = PlX= 11 1- PIX = 2) = 10 t 1 36 36 = 131g #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 6 ตัüอย่าง 4 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนลูกแก้üÿีแดงที่ได้จากการĀยิบลูกแก้ü 3 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จากกล่องที่มีลูกแก้üÿีเĀลือง 3 ลูก ÿีแดง 5 ลูก และÿีฟ้า 4 ลูก ซึ่งลูกแก้üแต่ละลูกแตกต่างกัน 1) จงÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X พร้อมทั้งเขียนกราฟ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) จงĀาฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) จงĀา P x (0 2) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 6 ✗ =D , 1,2 , 3 HÑV 3 spun 1M¥ 17151=92,3 = ( %) = 12 ! = 12.11.10 • 9 ! = 220 3 ! 9 ! 6.9 ! ✗ =p fog, = P( ✗ =p, =/ F) (F) = 5 ! • 7 ! = (1) 7- • 6.5.4! = 35 220 01.5 ! 31.4 ! 64 ! 220 220 220 ✗ = 1 f(1) = (E) (E) = 5! • 7 ! = 5. 7- • 6 = 705 220 114 ! 21.5 ! 2 220 220 ✗ = 2 f/2) = (E) ( ¥ ) =p, 220 fix) 220 220 -00 220 • ✗ =3 f-(3) =/ F)(F) = 10 •• 220 220 50 220 • • ✗ D 2 3 5221 35 1^55 70 10 0 1 2 13 FIX) 220 220 220 220 I (E) (Ix ) 220 f- ( X ) = { 624 @ ✗ ÑwÑ7WowÉWq I. fÑasÑsÑÑwwoñno7WÑD¥Ñw8esÑoWoÑh X = 105 zz, + 70 = 175 = Yy # 220 220

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 7 ตัüอย่าง 5 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนÿลากĀมายเลข 1 ที่ได้จากการĀยิบÿลาก 4 ใบพร้อมกัน 1 ครั้ง จากกล่องที่บรรจุÿลากที่แตกต่างกันทุกใบ โดยแบ่งเป็นÿลากĀมายเลข 1 จำนüน 6 ใบ ÿลากĀมายเลข 2 จำนüน 3 ใบ และÿลากĀมายเลข 3 จำนüน 1 ใบ 1) จงÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X พร้อมทั้งเขียนกราฟ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) จงĀาฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) จงĀา P x (0 3) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ✗ 0 1 2 3 4 FIX) I 6×4=24 90 80 15 210 220 210 210 210 •f••☒ , • 70 210 50 ⇒ ¥. 210 • •; " i t " ÷10 i t 0 fix, = 1k¥) 210 6240 ✗ = 0,1 , 2 , 3,4 P( ✗ =D / + Pl✗=1) t P( ✗ = 21 = 1 + 24 210 90 = 115 # 210 210 210

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 8 แบบฝึกĀัด 1 1. ใĀ้พิจารณาü่า ตัüแปรÿุ่มในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องĀรือตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง 1) จำนüนครั้งที่Āยิบไพ่ 1 ใบ โดยĀยิบแล้üใÿ่คืน จากไพ่ÿำรับĀนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จนกระทั่งĀยิบได้ไพ่ 3 โพแดงเป็นครั้งแรก _____________________________ 2) น้ำĀนักของช้างในÿüนÿัตü์แĀ่งĀนึ่ง _____________________________ 3) จำนüนนักเรียนชายที่ได้จากการเลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียน 20 คน ซึ่งเป็นนักเรียนชาย 7 คน และนักเรียนĀญิง 13 คน _____________________________ 4) ระยะเüลาที่รถประจำทางจอดที่ป้ายโดยÿารแĀ่งĀนึ่ง _____________________________ 5) จำนüนลูกบอลÿีแดงที่ได้จากการĀยิบลูกบอล 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จากกล่องที่มีลูกบอลÿีแดง 3 ลูก และÿีขาü 5 ลูก ซึ่งลูกบอลแต่ละลูกแตกต่างกัน _____________________________ 2. กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องโดยที่ ( ) 1 10 0 x f x − = จงพิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3. กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องโดยที่ ( ) 3 7 7 0 x f x − = จงพิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ x = 1,2,3,4,5 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ x = 2,4,6 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ ohsioiosisiog oiosisiog ohsioiosisiog oiosisiog ohsioiosisiog 1 FIX) 70 Dfg 2 FIX) = 1 Dfg 3 FIX) = PIX = ✗ 1 Dfg I. f Ñn 1 FIX) > , O D§g 2 fix) = 1 Ygjp§g 3 FIX) = P( ✗ = ✗ ) Ygja§g ☐ ° . fYgiÑw

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 9 4. ใĀ้ÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X เมื่อ X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนแผ่นเÿียงเพลง ไทยเดิมที่ได้จากการĀยิบแผ่นเÿียงจำนüน 4 แผ่น พร้อมกัน 1 ครั้ง จากลังที่มีแผ่นÿียงเพลงไทยเดิม แผ่นÿียง เพลงไทยÿากล และแผ่นเÿียงเพลงÿากลจำนüน 5, 4 และ 3 แผ่นตามลำดับ ซึ่งแผ่นเÿียงแต่ละแผ่นแตกต่างกัน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ✗ 17151--1%1=11×10×9 fix, ° 1 2 3 4 gzgg a 1 = 495 (✗ =D ) = (F) = 35 495 495 ix. 1) =/ E) I } ) 49s = 175 495 ( ✗ =2)=( E)(E) = 210 495 495 ( ✗ =3)=( F) (E) = 70 495 495 ( ✗ = 4) =/ F) = s 495 495 ✗ 0 1 2 3 4 FIX) 35 175 210 70 5 495 495 495 95 495

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 10 5. กล่องใบĀนึ่งมีลูกบอล 7 ลูก เป็นÿีดำ 4 ลูก และÿีเขียü 3ลูกซึ่งลูกบอลแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้าĀยิบลูกบอลครั้งละ 1 ลูก จำนüน 3 ครั้ง โดยĀยิบลูกบอลแล้üใÿ่คืนก่อนĀยิบลูกบอลครั้งต่อไป 1) ใĀ้ÿร้างตารางแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X เมื่อ X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนลูกบอลÿีดำ ที่Āยิบได้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่Āยิบได้ลูกบอลÿีดำจำนüน 1 ถึง 2 ลูก ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ( ✗ =D ) = 3×3×3 = 27 343 ÉÉ 343 (✗ = 11 = 4×3×3 343 = 36 88×3 343 111=21 = 4×4×3 = 64 FE 343 343 ✗ 0 1 2 3 FIX) 27 108 144 64 343 343 343 343 Plxt 1) + Pcxtz) 108 + 144 343 = 252 # 343 343

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 11 2. การแจกแจงคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง (probability distribution of continuous random variable) จากข้อมูลÿำนักงานÿถิติแĀ่งชาติ กล่าüü่า รายได้เฉลี่ยต่อครัüเรือน ปี พ.ý. 2562 ของประชากรทั่ü ราชอาณาจักรไทยอยู่ที่ 26,946.43 บาท ซึ่งเป็นค่ากลางที่ไม่เĀมาะÿม เพราะบางครัüเรือนมีรายได้เฉลี่ยต่อ เดือนÿูงกü่านี้มากĀรือน้อยกü่านี้มา ÿมมติใĀ้ครัüเรือนที่มีรายได้เฉลี่ยต่ำÿุด คือ 6,000 บาทต่อเดือน กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มแทน รายได้เฉลี่ยต่อเดือนต่อครัüเรือน จะได้ü่า x = 6,000, ) เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง ซึ่งจะได้ฟังก์ชันคüาม Āนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ( ) ( )( ) 1.16 2.16 1.16 6,000 0 f x x = ÿามารถเขียนกราฟได้ดังนี้ จากกราฟจะเĀ็นü่าครัüเรือนÿ่üนใĀญ่จะมีรายได้เฉลี่ยต่อเดือนใกล้เคียงกับรายได้เฉลี่ยต่ำÿุด และเมื่อ พิจารณาพื้นที่ใต้เÿ้นโค้ง f จะได้ü่า ( )( ) 1.16 2.16 6,000 6,000 1.16 6,000 f x dx dx ( ) x = 1.16 1.16 6,000 x 6,000 = − =1 จะเĀ็นü่า พื้นที่ใต้เÿ้นโค้ง f ÿามารถนำมาใช้แทนคüามน่าจะเป็นรüมของตัüแปรÿุ่ม x ได้ ดังนั้น การĀาคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x บนช่üง (a b, )ใดๆ ÿามารถĀาได้จาก เมื่อ x 6,000 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ FIX) FIX) =D • 0 6000 00 or ✗ ✗ = ✗ ✗ +1 b n t 1 a = Fib) - Flat

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 12 ( ) () b a P a x b f x dx = ถ้าต้องการคำนüณĀาค่าคüามน่าจะเป็นที่รายได้เฉลี่ยต่อครัüเรือนอยู่บนช่üง (20,000,30,000) ÿามารถทำได้โดยการคำนüณพื้นที่ใต้เÿ้นโค้ง f ดังนี้ ( )( ) 30,000 1.16 2.16 20,000 1.16 6,000 P x dx (20,000 30,000) x = 0.09 ÿามารถเขียนกราฟได้ดังนี้ ในทำนองเดียüกันตัüแปรÿุ่มต่อเนื่องชนิดอื่น ๆ ก็ÿามารถĀาคüามน่าจะเป็นได้โดยการĀาพื้นที่ปิดล้อม ด้üยฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่มนั้น ๆ และจากÿมบัติการĀาปริพันธ์จะได้ü่า ( ) ( ) ( ) ( ) () b a P a x b P a x b P a x b P a x b f x dx = = = = Plott ✗ < b) Plot < ✗ £61 } = find ✗ Plot f ✗ C- b)

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 13 บทนิยาม ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง x ÿำĀรับแต่ละค่า x ที่ เป็นไปได้ของตัüแปรÿุ่ม x 1. f x() 0 2. f x() 1 − = 3. ( ) () b a P a x b f x dx = ตัüอย่าง 6 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องโดยที่ ( ) 1 4 0 f x = 1) ใĀ้พิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ใĀ้Āา P x (2 3) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ใĀ้Āา P x( 2) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ 1 5 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ D)MUNI8721 11 FIX) 70 2) f " →☐ FIX) =L? f- 1×101×+1,5 find✗ t f , find✗ =L! :* =L :) ! = g - it = f- = 1 I.fÑwWfÑÑwnaWHM6oÑWUo9Ñd66N8ÑW ✗ PIZE ✗ C- 3) = [fix) six =/ 3 a LAX =/ I ) : = z - z = I •• a°"H=•I•→ PIX > 21 = [fix) ✗ + f)fix, ✗ 1 2 s =/{ zone to =/ ¥1 ! = { - z =3 # /

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 14 ตัüอย่าง 7 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องโดยที่ ( ) ( 1) 0 k x f x + = ใĀ้Āาค่า k ที่ทำใĀ้ f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x พร้อมทั้งเขียนกราฟ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ 2 4 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ commuters / fix> ✗ = 1 -00 [ KIX + 1) ✗ = 1 KII't ✗ ) 4 z = 1 K / (36+4) - ( { + 2) ] = 1 K [18+41-12+21] = 1 KCB ] = 1 K = 1 B fix, = { ¥ '+11 bÑÉ2< ✗ <a o rate ✗ ÑwÑmsowÉwq f- (2) = 1 2+1 ) = 3g 8 f-13.51 = 1g 13.51-11 = 4§5 f(4) = 1 (41-1) = 5 8 8 f(3) = 1 (31-1) = 4 8 g =L FIX) 8 8 • 8 ☐ I ' a } d ' or ✗

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 15 แบบฝึกĀัด 2 1. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง โดยที่ ( ) 2 5 0 x f x + = ใĀ้พิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง โดยที่ ( ) ( ) 2 3 1 114 0 x f x − = ใĀ้พิจารณาü่า f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x Āรือไม่ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ − 3 1 x เมื่อ 2 5 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ Ñgtoasi 100- o, f( ✗ I = I =L; 2×+5 ok = ( 2X t 5) (X ) ^- 3 = 2×2 + 5✗ = 11-5-9+15 = 12 # 2 I.fYgiÑwÑsÑÑwnñWNmwWwÑobN5ÑW ✗ =/ 5 (3×2-1) ✗ 2 114 = (3×2-1) 1×1 I 114 5 = ✗ 3 114 - 1×14 a = 120 - 6 114 114 - = 114 11, i. ftÑÑwÑgÑÑwnoHMwÑwÑo 66USD12 ✗

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 16 3. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง โดยที่ ( ) 2 18 0 x f x = จงĀา 1) P x ( 1 2) − 2. P x( 1) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องโดยที่ ( ) 2 2 0 x f x k + = ใĀ้Āาค่า k ที่ทำใĀ้f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x พร้อมทั้งเขียนกราฟ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ − 3 3 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ 1 3 x 1)I. ¥0k at;¥d× 2 1 = ✗ 2 ( X ) = XZCX) 54 -1 18 -3 = ✗ 3 2 = ✗ 3 1 54 -1 54 -3 = 8 t 1 = 1 sq + 27 54 54 54 = 9 - 28 # 54 54 = 1g # 1=13×2+2 101×1 1 K 1 = ✗2+2 (×, 3 K 1 = 12 3 1 = ✗ 3 + 2¥ 3K , ¥12 o B 12 5 1 = ✗ 3+611 3 12 3K 1 Ez ? I i 1 = 271-18 - 3+6 ° 1 2 3 4 3K 3K

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 17 บทนิยาม 3 ค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม ค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุม (expected value of random variables) üงล้อเÿี่ยงโชคเพื่อการกุýลอันĀนึ่งแบ่งพื้นที่ออกเป็น 6 ÿ่üนเท่า ๆ กัน มีĀมายเลขกำกับไü้บนแป้นüงกลมและมีลูกýรซ่องตัüเลข โดยมีกติกา ในการเÿี่ยงโชค ดังนี้ ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงิน 10 บาท ÿำĀรับĀมุนüงล้อ ในแต่ละครั้ง และผู้เล่นจะได้รับเงิน 20 บาท เมื่อลูกýรชี้ที่ช่องตัüเลข 1 โดยที่เÿ้นแบ่งช่องตัüเลขไม่นับเป็นÿ่üนใดÿ่üนĀนึ่งของช่องแบ่งตัü เลขแต่ละช่องจากเงื่อนไขดังกล่าü เราÿามารถใช้ค่าคาดĀมายของตัü แปรÿุ่มในการคำนüณได้ü่า ผู้เล่นจะได้รับผลตอบแทนคุ้มค่ากับเงินที่ เÿียไปĀรือไม่ โดยในĀัüข้อนี้นักเรียนจะได้ýึกþาเกี่ยüกับค่าคาดĀมาย ของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง โดยปกติแล้üค่าคาดĀมายอาจเรียกได้ü่าเป็นค่าเฉลี่ยของตัüแปรÿุ่มที่เกิดซ้ำ ๆ ซึ่ง การคำนüณค่าคาดĀมายทำได้ตามบทนิยามต่อไปนี้ กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีf เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็น ค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม x เขียนแทน ด้üยÿัญลักþณ์ E x( ) Āรือ x คือ () () x x x E x xf x = = ตัüอย่าง 8 จงĀาค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม X เมื่อ X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนดินÿอÿีฟ้าที่ได้จาก การĀยิบดินÿอ 3 แท่ง พร้อมกัน 1 ครั้ง จากกล่องที่มีดินÿอÿีฟ้า 5 แท่งÿีเขียü 3 แท่ง และÿีม่üง 2 แท่ง โดยที่ ดินÿอแต่ละแท่งแตกต่างกัน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. no 10 ! 10×9×8×7 ! ✗ = 0,1 , 2,3 17151 = 3 = 3 ! 7 ! = 6.7 ! = 120 0.1s ! • 5 ! ✗ =D n( Eo, = F) (F) = ° ! 3 !z ! = 10 fly = to = 1 5 ! 120 12 ✗ =1 MIE, / =/ F) (f) = , ! ,! • 5 ! 2 ! } ! = 50 fat = so = or 5 ! 720 72 ✗ =2 nlEz1=( F) (F) =z :3 , • 5 ! 1 ! 4 ! = 10 f.(3) = 10 = 1 120 12 ✗ =3 nlEz) = (F)(F) = 5 ! ,, , , = 10 fl3) = 10 = 1 3 ! 2 ! • ° " 120 12 Ef(✗ 1=112 + ¥ + ¥ + 112 = 1+51-5+1 = 1 ✗ EX 12 f- (X) = fix) = Dflo) 1- 1ft) + 2-(121+393) = 01,121+11%1+2 / %) +31¥ ) = 0+152+1=2+132 = 1¥ =3 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 18 บทนิยาม ตัüอย่าง 9 ร้านค้าแĀ่งĀนึ่งได้นำÿลากเÿี่ยงโชคมาขายใĀ้กับลูกค้า โดยÿลากเÿี่ยงโชค 1 แผงประกอบไปด้üย ÿลากใบเล็กจำนüน 80 ใบ ซึ่งแบ่งเป็นÿลากที่ไม่ได้เงินจำนüน 60 ใบ ÿลากที่ได้เงิน 5 บาท จำนüน 12 ใบ ÿลากที่ได้เงิน 10 บาท จำนüน 5 ใบและÿลากที่ได้เงิน 20 บาท จำนüน 3 ใบ ถ้าราคาÿลากแต่ละใบเท่ากับ 5 บาทอยากทราบü่า ระĀü่างเจ้าของร้านกับผู้เÿี่ยงโชค ใครจะได้รับผลประโยชน์มากกü่ากัน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. นักเรียนจะเĀ็นü่า การĀาค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ÿามารถĀาได้จากผลรüมของ ผลคูณของค่าที่เป็นไปได้กับคüามน่าจะเป็นของค่านั้น ๆ และ ÿำĀรับตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องก็ÿามารถĀา ค่าคาดĀมายได้ทำนองเดียüกัน แต่เปลี่ยนจากการĀาผลบüกไปใช้การอินทิเกรตแทนดังบทนิยามต่อไปนี้ กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องที่มี f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม x เขียนแทนด้üยÿัญลักþณ์ E x( ) Āรือ x คือ () () E x xf x dx x − = = Gtx Ñwo%rNoÑwwnwÑiwowÑwÑÑ7oosYÑÉu 60 4wYÑsJw 60% 8D 624 @ ✗ = 5 5U7NÑ 128W 12 so 624 @ ✗ =D 10 UINÑ 58W fix/ = 5 { §, gggi@ ✗ = - g arguing 38g 3 80 624 @ ✗ = -15 o ratio ✗ Ñw fÑwWddRd7WhhoeÑwoosÑd66No§w F- 1×1 = #✗ ✗ Axl = E / g.f) +0/1,31+1-51 / §, / +1-1511,3/+0 = 3¥ to - }§ - % to = 2¥ = 2,3 8ÑyÑwÑorNoqtwwnwÑ7wowrJwÑnjsoÉoBhYÑ5u 60 so 6240 ✗ = 5 Ely) = E yflyl 12 YEY 8D 6240 ✗ =D fly/ = { s so 6240 ✗ = s F- 11/1=-516,31+011,31+51%1 3 8D 624011=15 +15 / §,) to ☐ onto ✗ nÑwÑ7wowÉwq = -3%+0+2,5, + g.§ to = - 2¥ = -23 8

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 19 ÿมบัติ ตัüอย่าง 10 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ดังนี้ ( ) 2 3 0 x f x = จงĀา E x( ) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ÿมบัติที่ÿำคัญของค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม มีดังนี้ กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มี f เป็นฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นจะได้ () () () x x Egx gxf x = กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องที่มี f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นจะได้ E x g x f x dx () () () − = จากÿมบัติค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่ม ใĀ้ a และ b แทนจำนüนจริงใด ๆ จะได้ü่า 1. E ax b aE x b ( ) () = เมื่อ a = 0 จะได้ Eb b ( ) = เมื่อ b = 0 จะได้ E ax aE x ( ) () = 2. Egx hx Egx Ehx ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) = เมื่อ g x( ) และ h x( ) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรสุ่ม x เมื่อ − 1 2 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ F- 1×1=1? ✗ (E) DX = 16-1 12 = # ¥30K - Ez = { = 1.25 = ✗ 4 2 3141 -1 =p: - " ¥4 9

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 20 ตัüอย่าง 11 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็น ดังนี้ x -5 1 2 4 f x( ) 1 3 1 5 2 5 1 15 จงĀา 1) E x( ) 2) E x (3 ) 3) E x (5 1) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ตัüอย่าง 12 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ดังนี้ ( ) ( ) 1 2 3 5 6 0 x f x − − = จงĀา 1) E x( ) 2) 2 E x( ) 3) 2 E x ( 5) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ − 1 2 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ 1.) D7nUNÑ8721 F- 1×1 = # ✗ ✗ fill oe4ñ Eun = -5131+1131+2131+41, } ) = - § + } + § + 4 15 = -251-31-12 +4 = -6 = - } 15 75 2) 07h F- 101×1=01 EIXI 3) E- 101×1--101=01 F- 1×1+-6 F- 13×1=3 F- 1×1 F- 15×-11 = 5=51×1 - 1 = 31-3 ) = Sf } ) -1 = - § = -2 - y =-3 1) J7nUNÑ87N F- 1×1=5. ! ✗ flxlolx a:Bñ F- 1×1=1,2×1-1,13×2 - 5110111 = - f [8-3,1-10]=-1, [ I]= - ¥# =L? / - f) [ 3×3-5×3 DX -1×4=[+4-613×2-51] ok = f- f) [ ¥ ' - ¥41 ?, =L? / - f) [3×4-5×2] ok = - f [ 13129 - 51¥11 - 1312114 - still ] = -6/(312,9-51,231) - = - (31-115-51-1,3) f [12-10-3,1-52] 5 3 F- 1×3=-9 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 21 บทนิยาม ทฤþฎีบท 1 4. คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม (variance of random variables) คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่มเป็นÿิ่งที่ใช้บอกการกระจายของตัüแปรÿุ่มü่า แนüโน้มที่ผลลัพธ์จากการ ทดลองจะออกĀ่างจากค่าคาดĀมายĀรือค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด ถ้าตัüแปรÿุ่มมีคüามแปรปรüนน้อย Āมายถึง ผลลัพธ์จากการทดลองจะใกล้เคียงกับค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่มซึ่งในĀัüข้อนี้ นักเรียนจะได้ýึกþาเกี่ยüกับ คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่มโดยมีบทนิยาม ดังนี้ กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่ม คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม x เขียนแทนด้üยÿัญลักþณ์ 2 x Āรือ V x( ) คือ ( ) ( ) 2 2 2 () () x x == − = − Vx E x Ex E x จากบทนิยามและÿมบัติของค่าคาดĀมาย ÿามารถจัดรูปคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม x ตามทฤþฎีต่อไปนี้ กำĀนด x เป็นตัüแปนÿุ่ม คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม x คือ ( ) 2 2 2 22 () () ( ) x x == − = − Vx E x Ex Ex พิÿูจน์ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) F- [1×-512] = F- [ ✗2-10×+25 ] = f- 1×21-101=1×11-25 = - § + % +25 = -76+1251-500 = 609 20 2, # 41 VIX) = F- 1×3 - [ F- 1×21 ] = - ; - t :P = -4 - 25 5 64 = - 256-125 = -381 # 320 320

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 22 ตัüอย่าง 13 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็น ดังนี้ x 1 2 3 4 5 f x( ) 1 2 1 5 1 10 1 20 3 20 จงĀา 1) E x( ) 2) 2 E x( ) 3) V x( ) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ตัüอย่าง 14 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ดังนี้ ( ) 6 1( ) 0 x x f x − = จงĀา 1) E x( ) 2) 2 E x( ) 3) V x( ) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ 0 1 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ 3) VIX) = F- (XP - [ F- ( ✗ 1) 2 uh =3 -1%12=3 -1%5=2%5 # 1) EIX) =¥×Xf( ✗ I 2.) F- [91×1]=+4×91×171×1 F- 1×21 = ✗ XZFIXI Ein = 1- (31+213)+31,31+4121, / +51%1 = (112/3)+121431+1314,1,/ + F- 1×1=12 + } +13 +24, + 15 14121%1+1512 / %) 20 = 12 + § +1%+12,6 + 75 20 - 10 + 8+6+4+15 = 43 = 10 +16+18+16+75 20 20 20 = 135 = 272 # 20 1) F-1×1=1? ✗ find✗ 2) F- [91×1]=1%91×19×1 DX F- 1×1=1,1×16×11 - ✗ 1) OK F- 1×21=1,1×216×11 - ✗ 1) ✗ = 61,11×2- ✗ 3) ✗ = 61,11×3 - ✗ 4) ✗ = • ( ¥3 - ¥4 I = 601¥ - ¥) / I = • [133-27-133-11] = • [1%-151-(24-35)] = 61%1 = 61%1 = 61,3 ) = I # = 61%1 = , } 3) VIX) = f- 1×3 - [ F- 1×112 = :-(IT = §, - I = 6-5 = 21, # 20

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 23 ÿมบัติ ÿมบัติที่ÿำคัญของตัüแปรÿุ่ม มีดังนี้ ÿมบัติคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่ม 2 V ax b a V x ( ) () = เมื่อ a และ b เป็นจำนüนจริงใด ๆ จากÿมบัติของตัüแปรÿุ่มจะได้ü่า 1) V a() 0 = 2) 2 V ax a V x ( ) () = ตัüอย่าง 15 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มี V x() 2 = จงĀา 1) V (20) 2. V x( 2) − 3) V x (5 ) 4) V x (3 7) + ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ตัüอย่าง 16 กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มี V x( ) 10 = จงĀา 1) V (5) 2. V x( 13) + 3) V x (7 ) 4) V x (6 1) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) Vldl =D 3) V10/ ✗ 1=012 VIX) ✓ 1201=0 V15×1=541×1 = 25121 2) V10/ ✗ I b) = 012 VIX) = 50 # VIX-21 = VIX) 4) V10/ ✗ 1=61 = 0181×1 = 2 V13✗ +71 = 32121 = 9121 = 18 # 1) V15) =D # 3) V17×1 = 721101 = 490 # 2) V1 ✗ + 13) = ID # 4) V16×-11--64101 = 360 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 24 แบบฝึกĀัด 3 1. ใĀ้Āาค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่มที่มีฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1.1 ( ) 2 1 25 0 x f x − = ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1.2 ( ) 2 1 35 0 x f x + = ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2. จงĀาค่าคาดĀมายของตัüแปรÿุ่มที่มีฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นในแต่ละข้อต่อไปนี้ 2.1 ( ) ( ) 3 1 2 0 x x f x − − = ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2.2 ( ) 2 5 4 0 f x x = ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ x =1, 2,3, 4,5 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ x = 0,1, 2,3, 4 เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ − 1 1 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ เมื่อ 1 5 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ F- 1×1 = E.Exfcx) 1 = 112-1 ) + 21%1+31%1 ) 25 = 11-61-15 + 23+45 = 95 = 1,9 # 25 25 F- 1×1 = ☐ ✗ FIX) = ☐ ( E.) +113s ) +215s ) +31%1+4%1 = 0+2 1-10+301-68 = 110 = ¥ # 35 35 F-1×1=11×4×101 ✗ F- 1×1=-31×33 - ¥) / ? , F- 1×1=11,1-3×11 - ✗ 1) ok = -31133-1,9-11-3113 - tyg] = -31%+29+13 ) = -21%1=-1 # = f- 3) [ ( ✗ 2- ✗ 3) ✗ Eun =):X /E.) ✗ =/:( ¥10k = { Inch / 5 2 , = { 1h15) - { 117111 = { In (5) = 2.0125 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 25 3. กำĀนด E x() 2 = และ V x() 6 = จงĀา 1) 2 E x ( 1) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) V x (8 5) + ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4. ใĀ้Āาจำนüนนักเรียนชายโดยเฉลี่ยที่ได้จากการเลือกนักเรียนจำนüน 3 คน จากนักเรียนทั้งĀมด 10 คน โดยแบ่งเป็นนักเรียนĀญิง 6 คน และนักเรียนชาย 4 คน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Vix) = EIXZ) - [ ECXI ] 'd EdX-112 ] = f-1×2-2×+11 6 = F- ( x2) -22 = f- 1×2 ) - ZEIX)t F- (1) 6 = F- 1×21-4 = 20-21211-2 F- (X2 ) = 10 = 10-3 = 7 # vcolxt.IO) = 012Wh ✓ 18×+51 = 7216) = 64161 = 384 # ✗ = 896.968.270 ✗ =p (G) (F) = 6 ! (1) = 6.5.4 = 20 feel = 20=2 31.3 ! 3.2.1 220 6 ✗ =L (E) (F) = 6! • 4 ! 113 ! = 6 • 5 • 4 = 60 F1) = 60 =3 21.4 ! 2oz 220 ✗ =z (E) (f) = 6 ! • 4 ! z , , , = 6.403 = 36 flat =L, =L, = 11.5 ! 2.1 ¥, ✗ =3 (G) (G) = (2) • 4 ! = 1.4 = 4 fl}) = 4 = 2 3 ! 1 ! 120 30 F- 1×1=0 / f) + 1- (2) +21%1+31%1=0+12+8,1-11, = = 2.2 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 26 5. ถุงใบĀนึ่งมีเĀรียญที่แดกต่างกันจำนüน 16 เĀรียญ โดยแบ่งเป็นเĀรียญ 1 บาท จำนüน 7 เĀรียญ เĀรียญ 5 บาท จำนüน 5 เĀรียญ และเĀรียญ 10 บาท จำนüน 4 เĀรียญ ใĀ้Āาคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุม x เมื่อ x เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนเĀรียญ 1 บาท ที่ได้จากการĀยิบเĀรียญจากถุงจำนüน 4 เĀรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 6. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องและค่า a เป็นจำนüนจริงใด ๆ โดยที่ ( ) 2 (1 ) 0 a x f x − = จงĀาค่า a ที่ทำใĀ้ f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นและĀา E x( ) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ − 1 1 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ 16 ! 1715 ) = (%) = 4112 ! = 1,320 ✗I = F- (x2) - [F-CH ] ? 126 ✗ =D MIE,) = (F) (F) = 126 first = 2820 = 7007 - ( 3185 598 1820 2820 ) ✗ =L MIEN = (E) (G) = (7) 1841 = 588 flu = 1820 756 = 7007 ✗ =2 n / F-2) = (E) (E) = 12111361=756 flat = 1820 zgz , - (F) 2 315 ✗ =3 MIE, ) = (F) ( %) = 135119) = 315 f-131=1820 35 ✗ = 4 n / Eat = (F)( %) = 1351111 = 35 f(41=1820 = 63 = 0.7375# 8D F- 1×1 = E ✗ c- ✗ ✗ FIX) = ☐ (1%91+11,5%3) + 21¥29 ) +3/315 + a / 3s 1820 ) 2820 ) = 0+588 + 1512 1- 945 1- 240 = 3185 1820 1-820 F- (x2) = EXZFIX) = ☐ ( 726 7- 820 ) + 7- ( 58$ 2820 ) + 4/7-56 2820 ) + • ( ¥25 ) + 26/352820 ) = 0+583 + 30241-2.835+560 = 7007 2820 2820 / fcxlolx =/f- 0111 - ✗ 2) ✗ F-(X ) = # ✗ fix> DX - 00 1=011×-531 ' = # ✗ ( { a- ✗ 4) ✗ 1- = ☐ [G- }} - 1- It;) ] z, = a = :( E- ¥1K, 3 3=401 =L / Y - Y - (1-1,12-1%14) a = I =L (2-222+2) = 3,101 =5 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 27 7. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็น ดังนี้ x 3 5 6 9 f x( ) 5 15 5 15 3 15 a จงĀา 1) ค่า a เมื่อ a เป็นจำนüนจริงใดๆ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) 2 E x ( 2) + ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) V x (4 10) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) Vxx (3 ) + ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Ex = 1 5 t 5 + 3 + 01 = 1 75 25 25 I} +01=1 01=1} # F- 1×1=31%1+5 / %) + • ( Zs ) + • ( %) = 15+25+18+18 F- 1×21=91,11+251%1+36 (3) +81 / %) 75 = 76 = 5.067 = 451-1251-2081-162 25 15 E[(X -1212 ] = E( ✗ 2+4×+41 = 440 = 29.3 25 = F- 1×21+45=1×1 1- F- 141 = 29.31-415.06711-4 = 53.57 # VIX) = F- 1×21 - [EIX) ]2 ✓ (4×-10) = 42W = 29.3 - 15.06712 = 1613.63 ) = 3.63 = 58.08 # V13 ✗ + ✗ I = Next = 42VIX) = 1613.637 = 58.08 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 28 8. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่องและค่า a เป็นจำนüนจริงใด ๆ โดยที่ ( ) ( 1) 0 a x f x + = จงĀา 1) ค่า a ที่ทำใĀ้ f เป็นฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็น ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) 2 Ex Ex ( ), ( ) และ V x( ) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. เมื่อ 2 5 x เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ II.fill ✗ = 1 [ 011×-111 DX = 1 a){ ( ✗ + 1) ✗ = 1 011×22++1/2 = 1 a (25+10-4-4) = 1 2 011%-1--1 F- 1×1=1,5×(21×+11) DX F- 1×4=1,5×21%1×+1 ) ✗ = 227%1×4×1 ok =¥[ 1×3++21 DX = If # + E) 1 ? =¥( It %) / { = 2- (({3+{4-1}} - Y) /{ =¥(({ ' + {3) - (2++34) = = 2 ¥ / 2ft ) 2+(2%5) = 11 # = % # 3 VIX) = F- 1×4 - [ F- ( X) ] 'd = Bs - 6 ( 1,112 = 85 - 221 6 9 = 13 28

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 29 บทนิยาม 2.2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด (Some Discrete Probability Distributions) ในĀัüข้อนี้นักเรียนจะได้ýึกþารูปแบบการแจกแจงของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีลักþณะเฉพาะมาก ยิ่งขึ้น ซึ่งตัüแปรÿุ่มเĀล่านี้ÿ่üนใĀญ่มีคüามเชื่อมโยงกับÿถานการณ์ในชีüิตจริง เช่น การโยนเĀรียญ การทอด ลูกเต๋า โดยในระดับชั้นเรียนนี้ จะกล่าüถึงเฉพาะการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง และ การแจกแจงทüินาม 1. การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง (Discrete Uniform Distribution) การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เป็นการแจกแจงที่เกิดจากการทดลอง 1 ครั้ง ซึ่งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ทั้งĀมด k แบบ โดยที่ผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาÿเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน ซึ่งการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องเขียนแทน ด้üยÿัญลักþณ์ U(k) ตัüอย่างของตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เช่น 1. กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จะเĀ็นü่า X มีการแจกแจงแบบ U(6) เขียนแทนด้üยÿัญลักþณ์ X ~ U(6) 2. กำĀนดเป็นตัüแปรÿุ่มแทนเลขท้ายÿองตัüจากการจับรางüัลของกองÿลากกินแบ่งรัฐบาล จะเĀ็นü่า X มีการแจกแจงแบบ U(100) เขียนแทนด้üยÿัญลักþณ์ X ~ U(100) และในกรณีทั่üไป การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องมีบทนิยาม ดังนี้ ตัüแปรÿุ่ม x xxx x = 123 , , ,..., k เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เขียนแทนด้üย ÿัญลักþณ์ X ~ U(k) ถ้าฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X คือ ( ) 1 : () 0 f x k PX x k = == จากบทนิยามข้างต้น ÿังเกตได้ü่า ถ้า x ~ U(k) แล้ü 1 1 1 ( ;) k k i i i fXk = = k = 111 1 ... k kkk k =++++ =1 จากĀัüข้อที่ผ่านมา นักเรียนÿามารถĀาค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องได้ด้üย ÿูตร () () x x x E x xf x = = และ ( ) 2 2 Vx E x Ex () () = − ดังนั้น เมื่อĀาค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X ~ U(k) ทำได้โดยใĀ้ 1 f x( ) k = จะได้ผลลัพธ์ดังทฤþฎีต่อไปนี้ เมื่อ 123 , , ,..., k x xxx x = เมื่อ X เป็นจำนüนอื่น ๆ

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 30 ทฤþฎีบทที่ 2 ถ้าตัüแปรÿุ่ม x xxx x = 123 , , ,..., k มีการแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่อง U(k) แล้ü ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม x คือ 1 1 ( ) k i i Ex x k = = และ 2 1 1 () () k i i Vx x Ex k = = − ในกรณีที่ 123 , , ,..., k xxx x เป็นจำนüนเต็มที่เรียงจาก a ถึง b จะได้ ( ) 2 b a E x + = และ ( ) 2 1 1 ( ) 12 b a V x −+ − = ตัüอย่าง 1 ในการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนแต้มที่Āงายของลูกเต๋า ใĀ้Āา 1) ฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X 2) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ✗ = 1 , 2,3 , 4 , 5,6 88%4 K =D DENG P( ✗ = ✗ ) = FIX) = if i W%ÑÑwwoonomho¥ÑwoosÑo66NsÑw ✗ f- ( ✗ ; 6) = { § bÑÉ ✗ = 192,3 ,4,5 , 6 6240 ✗ = www.efwq 2 11=10+01 D7ÑfNÑ 01=1 6628 D= 6 2 F- (X) = 62+1 = 72 = 3.5 # ✓ ( X ) = ( b- at 1) Z - y 12 ✓ (X) = 16-1+112-1 = 36-1 = }§ = 292 72 12

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 31 ตัüอย่าง 2 üงล้อĀมุนüงĀนึ่งแบ่งพื้นที่ออกเป็น 5 ÿ่üน เท่าๆกัน และมีĀมายเลข 2, 4, 6, 8 และ 10 กำกับไü้ในแต่ละÿ่üน ดังรูป กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนĀมายเลขที่ลูกýรชี้ เมื่อüงล้อĀยุดĀมุน 1) ใĀ้Āาฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X 2) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขไม่เกิน 6 3) ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขที่ไม่เป็นจำนüนเฉพาะ 4) ใĀ้Āาค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1 ÑsÑÑwwoanñsinho%ÑwoesÑdbNsÑW X fl ✗ ; 5) = { ^5 6240 ✗ = 2,4, 6s 8,10 06240 ✗ ÑwÑiwoweÉwq 2 PIX C- 6) = PIX = 2) 1- PIX = 41 t Pl ✗ = 6) = 1g + } + } = 3g 3 Pagans@oTÑUHMe6aUÑBÑÑwÑ7wow6DW7:) = P( ✗ = 41 + Pc ✗ = 6) + PC ✗ = B) + PIX = 10 ) = is + is + } + is = as 4 ohm @ HMU F- 1×1 = I ¥, ✗ i = 1g 121-41-61-8 +101 = } [30 ] = 6 # Nd7N66UsU5dW VIX ) = f. §?, [ Xi - Eth ] 'd = 1g [( 2- 612+14-612+16 - 6ft ( B -612+110 - 6)2 ] = 1g [ 16 + 4 to + 4 +16 ] = 1g [40 ] = 8 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 32 แบบฝึกĀัด 4 1. üงล้อĀมุนüงĀนึ่งแบ่งพื้นที่ออกเป็น 10 ÿ่üนท่า ๆ กัน และมีĀมายเลข 0 ถึง 9 กำกับไü้ในแต่ละÿ่üน โดยที่เÿ้นแบ่งüงล้อไม่นับเป็นÿ่üนใดÿ่üนĀนึ่งของทั้ง 10 ÿ่üน กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนĀมายเลขที่ลูกýรชี้ เมื่อüงล้อĀยุดĀมุน ใĀ้Āา 1) ฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X 2) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X 3) คüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขที่มากกü่า 6 4) คüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขที่ 2 Āารลงตัü 5) คüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขที่มากกü่า 3 แต่ไม่เกิน 7 6) คüามน่าจะเป็นที่ลูกýรตรงกับĀมายเลขที่น้อยกü่า 8 ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. I f( ✗ gyp, = { % dÑ% ✗ = 0919293 , 4,5, 6,7 , § , g o 6240 ✗ ÑwÑ7WdWoÉWq 2 F- 1×1=62+01 D7ÑDnÑ 01=0 662%6=9 66MW Ñ7 EIXI = 9 ;D = § # VIX) = ( b - 01+112-1 66MW n'7 V1 ✗ 1=19-0+112-1 = % # 72 72 3 PIX > 6) = PIX = 7) + P( ✗ =3 ) 1- PIX =D ) =p, + f. + f. =3 # 4 Pl@nñsMoTÑUNNo6aoÑ2MoasÑo ) = P( ✗ =D) t P( ✗ = 2) t Pl ✗ = 4) 1- P( ✗ = 6) + PIX =3) = or = I 10 5 Pl3< ✗ £71 = PIX = 41 + PIX = 5) + PIX = 6) t Pix = 71 = to + To + ,} = f. = } # 6 PIX < 81 = P( ✗ =D ) + PIX = 11 + PIX + 2) + PIX 1- 3) + P(✗ = 4) + Pc×=s)+ = I, = § # PIX = 6) 1- PIX =3)

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 33 2. นุýราĀยิบลูกบอล 1 ลูก 1 ครั้ง จากกล่องที่บรรจุลูกบอลไü้ 15 ลูก ซึ่งแต่ละลูกมีĀมายเลข 1 ถึง 15 กำกับไü้ กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนĀมายเลขที่นุýราĀยิบได้ ใĀ้Āา 1) ฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X 2) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X 3) คüามน่าจะเป็นที่จะĀยิบได้ลูกบอลĀมายเลขที่เป็นจำนüนคู่ 4) คüามน่าจะเป็นที่จะĀยิบได้ลูกบอลĀมายเลขที่เป็นจำนüนคี่ 5) คüามน่าจะเป็นที่จะĀยิบได้ลูกบอลĀมายเลขที่เป็นจำนüนคี่ที่อยู่ระĀü่าง 6 และ 13 6) คüามน่าจะเป็นที่จะĀยิบได้ลูกบอลĀมายเลขที่เป็นจำนüนที่น้อยกü่า 10 ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................ 1 ✗ ~ 41151 PIX = ✗ 1=1 75 f-(✗ ; IS) = { 11562%11=42,3 , . . . , 15 to oÉoxiÑUÑiwowÉw, 2 F- ( X) = 6+01 = 152+1 = B 2 ✓( X) = ( b - ☐ +112 - 1 =/15-11-112-1 = 225-2 = 224 = 5,6 # 72 72 22 22 3 P(✗ = 21 + PIX = 4) 1- PIX __ 6) + PIX =3 ) + P( ✗ =L + PIX -121 + PCX =/41 = ,'s + 1st ,} + , 's + ,'s + , 's + ,'s = ,} # 4 1- PIX = invent = 1- , } = ,} # S PIX - 7) + PIX = 9) + PIX = 221 = ,} t ,} + ,} = , } " } # 6 I - PIX 710) = PIXL 101 1- [ P(✗ = 10) 1- PIX :p) 1- PIX : 121 + Pc ✗ 213 ) + PIX : 14 ) 1- Pixels) ] 1- list , 's + 1st, 's + , 's + ,'s ) 1- f. = , ? - } #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 34 3. ในการเล่นเกม 1 ครั้ง ผู้เล่นมีโอกาÿได้คะแนน 10, 7, 4, 1 และ − 8 คะแนน ด้üยคüามน่าจะเป็นเท่าๆ กัน กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุมแทนคะแนนที่ผู้เล่นทำได้ ใĀ้Āา 1) ฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม X 2) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X 3) คüามน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะได้คะแนนมากกü่าĀรือเท่ากับ 1 คะแนน 4) คüามน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะได้คะแนนไม่เกิน 7 คะแนน 5) คüามน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะได้คะแนนมากกü่า 5 คะแนน 6) คüามน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะได้คะแนนน้อยกü่า 1 คะแนน 7) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของผู้เล่นที่จะได้คะแนนมากกü่า 1 คะแนน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Ñ6bNoÑN ✗ = 10,7, 4,1 , - B K = 5 7 f( ✗ ; 5) = { ^5 6240 ✗ = 10,7, 4,1, -3 ☐ rate ✗ ÑwowoÉwq 2 ECX) = 1 É ki⇒ ✗ i = 1g 110+7+4+1 1- f- 8) ) = 1,4 = 2.8 V1 ✗ I = ¥, ;&E,[ ✗ i - F- 1×1 ] 'd = 1g [110-2812+17-2.812+14-2.812+11 -2812+1-8-2.8121 = 1g [ 51.841-17.641-1.44 +3.24+116.64] = } [7-90.8] = 38.16 # 3 PIX 221 = 4g 4 PIX £71 = 4 5 5 PIX > 51 = 2 5 6 Pl ✗ <1) = 1 5 7- ✗ > 1 294,7, 10 F- (X) = 1g (10+7+4) = 2,1 # ✓ 1×1=1,1102+72+412 - ( 2,112 = 825 - 441 = 384 # 25 25

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 35 2. การแจกแจงทüินาม (Binomial Distribution) การทดลองทüินาม (binomial trial)เป็นการทดลองÿุ่มจำนüน n ครั้ง โดยผลลัพธ์จากการทดลองใน แต่ละครั้งมีเพียง 2 แบบคือคüามÿำเร็จ (success) Āรือ คüามไม่ÿำเร็จ (failure) โดยคüามน่าจะเป็นที่จะ เกิดคüามÿำเร็จเท่ากับ p และ คüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüาไม่ÿำเร็จเท่ากับ q ซึ่ง q = 1 – p ทั้งนี้ ในการ ทดลองแต่ละครั้งของการทดลองทüินามเป็นอิÿระต่อกัน กล่าüได้ü่า ผลลัพธ์ของการทดลองในแต่ละครั้งจะไม่ ÿ่งผลต่อผลลัพธ์ของการทดลองครั้งอื่น ๆ จะเĀ็นü่า การทดลองทüินามนั้นมีพารามิเตอร์ที่ÿำคัญอยู่ 2 ค่า คือ 1. จำนüนครั้งของการทดลอง (n) 2. คüามน่าจะเป็นที่การทดลองจะÿำเร็จแต่ละครั้ง (p) เราจะใช้ÿัญลักþณ์ B(n, p) แทนการทดลองทüินามที่มีพารามิเตอร์ n และ p ดังตัüอย่างต่อไปนี้ 1) โยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญ จำนüน 10 ครั้ง เมื่อการที่เĀรียญขึ้นĀัüเป็นคüามÿำเร็จ จะได้ü่า การทดลองนี้เป็นการทดลองทüินามที่มี n = 10 และ p = 0.5 เขียนแทนด้üย B(10, 0.5) 2) เล่นเกมเป่ายิงฉุบกับเพื่อนทั้งĀมด 20 ครั้ง เมื่อการที่ชนะเป็นคüามÿำเร็จ จะได้ü่า การทดลองนี้เป็นการทดลองทüินามที่มี n = 20 และ P = 1 3 เขียนแทนด้üย 1 20, 3 B 3) ซื้อÿลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ใบ จำนüน 24 งüดติดต่อกัน เมื่อการที่ถูกรางüัลเลขท้าย 2 ตัüเป็นคüามÿำเร็จ จะได้ü่า การทดลองนี้เป็นการทดลองทüินามที่มี n = 24 และ p = 0.01 เขียนแทนด้üย B (24, 0.01) ในการทดลองทüินามแต่ละครั้ง เรามักจะÿนใจคüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüามÿำเร็จ X ครั้ง กำĀนด X แทนตัüแปรÿุ่มของการทดลองทüินาม จะได้ü่า x n = 0,1,2,..., เมื่อÿมาชิกแต่ละตัüของ X แทน จำนüนครั้งที่เกิดคüามÿำเร็จ ในการคำนüณคüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüามÿำเร็จ X ครั้ง จากการทดลองทüินาม B(n, p) เราจะใช้ คüามรู้ เรื่อง คüามน่าจะเป็นของเĀตุการณ์ที่เป็นอิÿระต่อกัน กล่าüได้ü่า ถ้า A และ B เป็น เĀตุการณ์ที่อิÿระต่อ กัน แล้ü PA B PAPB ( ) ()() = พิจารณาการทดลองทüินามข้อ 2) เมื่อใĀ้ X เป็นตัüแปรÿุ่มแทนจำนüนครั้งที่เป่ายิงฉุบชนะ ดังนั้น ∼ (20, 1 3 ) ถ้าÿนใจคüามน่าจะเป็นที่จะเป่ายิงฉุบชนะทั้งĀมด 7 ครั้ง กล่าüได้ü่า ใĀ้Āาค่าของ P(X = 7) เนื่องจาก 1 20, 3 B คือการทดลองทüินามที่มีการทดลอง 20 ครั้งและคüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüามÿำเร็จใน แต่ละครั้ง คือ 1 3 ซึ่งต้องการĀาคüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüามÿำเร็จทั้งĀมด 7 ครั้ง นั่นคือ จะเกิดคüามไม่ÿำเร็จ 13 ครั้ง เราÿามารถคำนüณĀาคüามน่าจะเป็นที่จะเป๋ายิงฉุบชนะทั้งĀมด 7 ครั้งได้ ตามขั้นตอนต่อไปนี้

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 36 บทนิยาม ชั้นที่ 1 ในการทดลอง 20 ครั้ง จะเกิดคüามÿำเร็จทั้งĀมด 7 ครั้ง มีüิธีทั้งĀมด 20 7 üิธี เช่น อาจจะ เกิดคüามÿำเร็จในการทดลองครั้งที่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Āรือในการทดลอง ครั้งที่ 2, 8, 11, 15, 17, 19, 20 ขั้นที่2 ในแต่ละüิธีมีการทดลองทüินาม 20 ครั้ง โดยจะเกิดคüามÿำเร็จด้üยคüามน่าจะเป็น 1 3 รüม ทั้งĀมด 7ครั้ง และจะเกิดคüามไม่ÿำเร็จด้üยคüามนำจะเป็น 1 - 1 3 รüมทั้งĀมด 13 ครั้ง เนื่องจากการทดลอง แต่ละครั้งเป็นอิÿระต่อกัน จึงคำนüณĀาคüามน่าจะเป็นด้üยการนำคüามน่าจะเป็นของการทดลองทั้ง 20 ครั้ง มาคูณกัน ได้ผลลัพธ์เป็น 7 13 1 1 1 3 3 − ขั้นที่ 3 จากทั้ง 2 ขั้นตอน คüามน่าจะเป็นที่จะเป่ายิงฉุบชนะทั้งĀมด 7 ครั้ง เท่ากับ 7 13 20 1 1 ( 7) 1 0.1821 7 3 3 P x == − จากการทดลองทüินามข้างตัน เราÿามารถเขียนใĀ้อยู่ในรูปกรณีทั่üไปของการĀาคüามน่าจะเป็นของ การทดลองทüินาม เมื่อ X ~ B(n, p) ได้ ดังนี้ ( ) ( ) ( ) n x nx PX x p q x − = = เมื่อ x n = 0,1, 2,..., เพื่อคüามÿะดüกเราจะใĀ้ q = 1 - p และใช้ÿัญลักþณ์ b(x ; n, p) แทนคüามน่าจะเป็นที่จะเกิด คüามÿำเร็จ x ครั้ง จากการทดลองทüินาม n ครั้ง โดยคüามน่าจะเป็นในการเกิดคüามÿำเร็จเป็น p ซึ่งÿามารถ ÿรุปเป็นบทนิยามได้ ดังนี้ ตัüแปรÿุ่ม x n = 0,1,2,..., เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงทüินาม เขียนแทนด้üย x ~ B(n, p) ถ้าฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x คือ ( ; , ) ( ) 0 x nx n p q bx n p PX x x − = == เมื่อ x n = 0,1, 2,..., เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ 1014520,0 ) = P(✗ = 4) = (F) (0,2/410.8)"- & B 112330 , 0.251 = E 101×530,225) × : 1014320 , 0.21 = (F) 10.214/0.8116 = 0.9784 8 (1×20,3^0,055) =P( ✗ =p, B'8315241 = €061415,0k) = (32/10.25)^210.75130-12 = 0.9050 = ( }? / (0.257^210.75) " 1018515,241 = 1%110.41%0.617

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 37 ทฤþฎีบทที่ 2 การĀาค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่มทüินาม ÿามารถทำได้เช่นเดียüกับตัüแปรÿุ่มชนิด อื่น ๆ แต่ขั้นตอนการคำนüณจะมีคüามยุ่งยากและซับซ้อนจึงละการพิÿูจน์ไü้ และÿรุปเป็นทฤþฎีบทไü้ ดังนี้ ถ้าตัüแปรÿุ่ม x มีการแจกแจงทüินาม B(n, p) แล้ü ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X คือ E(X) = np และ V(X) = npq ตัüอย่าง 1 ในการโยนเĀรียญเที่ยงตรง 1 เĀรียญ 5 ครั้ง คüามน่าจะเป็นที่เĀรียญจะขึ้นĀัüĀรือก้อยเท่ากัน ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่เĀรียญ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) จะขึ้นĀัü 2 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................ 2) จะขึ้นĀัüมากกü่า 3 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) จะขึ้นĀัüมากกü่า 2 ครั้ง แต่ไม่เกิน 4 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17--5 dñwÑoÉo D= 0.5 nonwhite:rÑwÑmÉoozÑ%Ño =p ✗ = 0,1 , 2,3 , 4,5 ✗ ~ BIS, 0.51 donors PlX= 2) = ☐ 61×35 , 0.51 - ✗ &, 101×35,0.SI = B 1255, 0.51 - B 1155, 0.51 = D. 5000 - D. 1875 = 0.3125 PIX > 3) = B 1535, D. 31 - B 1335,281 = 7.0000 - 0.3125 = 0.7875 Pl2<✗ £41 = B 1435,151 - 81255 , 0.51 = D. 9688 - Door = 0.4688 17=5 I ECX) = ? 51 VIX) = ? 10=0.5 F- 1×1=170 van = npq q= as }①=1 = 510.51 = 5115110.51 = 2.5 = 1.25

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 38 เนื่องจากในกรณีที่ n มีค่ามาก การĀาค่าจากฟังก์ชันมüลคüามน่าจะเป็นของการแจกแจงทüินามนั้นมี คüามยุ่งยาก จึงมีการÿร้างตารางÿำĀรับĀาคüามน่าจะเป็นของการแจกแจงทüินาม เมื่อ n = 5,10, 15, ..,.30 และ p = 0.05, 0.10, 0.15 ,.... ,0.95 ดังตารางที่ 1 ของภาคผนüก ซึ่งÿัญลักþณ์ B( r ; n, p) แทนคüามน่าจะเป็นของการทดลองทüินามจำนüน n ครั้ง โดยจะเกิดคüามÿำเร็จไม่เกิน r ครั้ง ซึ่งคüามน่าจะเป็นที่จะเกิดคüามÿำเร็จในการทดลองแต่ละครั้ง คือ p ดังนั้น B(r ; n, p) เท่ากับ 0 ( ; n, p) r x b x = โดยÿามารถĀาคüามน่าจะเป็นที่ค่าต่าง ๆ ได้ ดังตัüอย่างต่อไปนี้ ตัüอย่าง 2 โรงงานแĀ่งĀนึ่งต้องการตรüจÿอบÿินค้าที่ชำรุด ถ้าคüามน่าจะเป็นที่จะพบÿินค้าที่ชำรุดในแต่ละ ครั้งเท่ากับ 0.2 และÿุ่มตรüจÿอบÿินค้าทั้งĀมด 20 ครั้ง ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่จะพบÿินค้าที่ชำรุด ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) ไม่เกิน 4 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) 5 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) 4 ถึง 8 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17=20 10=0.2 nñwÑ76Éo = www.70eofwnoiwvoitwmnoioihoga Of = 1- 0.2=0.8 ✗ = 0,7 , 2,3, ooo , 20 ✗ ~ B. 120, 0.21 PIX -441 = B. 14320,221 = D. 6296 PIX = 51 = B 15320,121 - B(4320,0. 21 = 0.8042 - 0.6296 = 0.7746 P(44 ✗ £81 = BIB ; 20 , D. 21 - B 13520,121 = D. 9900 - D. 4114 = D. 5786

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 39 ตัüอย่าง 3 โรงงานผลิตถ่านไฟฉายแĀ่งĀนึ่ง เมื่อÿุมตรüจถ่านไฟฉาย 1 ก้อน จะมีโอกาÿที่เป็นถ่านไฟฉาย คุณภาพดีอยู่ 80% ถ้าทางโรงงานÿุ่มเลือกถ่านไฟฉายมา 25 ก้อนใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นที่ได้ถ่านไฟฉายคุณภาพ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) ดีอย่างมาก 12 ก้อน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ดี 20 ก้อน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ไม่ดีอย่างน้อย 5 ก้อน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) ไม่ดี 4 ก้อน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17=25 17=25 Rd7WÑ76ÉD D= 0.8 Of = 0.2 ✗ ~ B 125, D. 8) 6h40 ✗ =D, 1,2, 3 , ooo , 25 PlXf12) = Éd 61×325 , D. B) ✗ =D = B (1232%0.8) = 0.0004 PIX = 20 ) = B. 120325 , D. 8) - B. 179525,0081 = D.5793 - 0.3833 = 0.1960 = @oeinssnnzonoas P( ✗ £201 = BCZD } 2.5 , 0.81 = 0,5793 PIX = 211 = B. 121325, D. B) - B 120325,13 ) = 0.7660 - 0.5799 = 0.1867

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 40 ตัüอย่าง 4 เครื่องจักรของโรงงานแĀ่งĀนึ่ง ผลิตนอตแล้üใช้งานไม่ได้ 10% ถ้าÿุ่มเลือกนอตมา 20 ตัü ใĀ้Āา ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) คüามน่าจะเป็นที่ได้นอตใช้งานไม่ได้ 5 ตัü ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) คüามน่าจะเป็นที่ได้นอตใช้งานไม่ได้มากกü่า 6 ตัü ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) คüามน่าจะเป็นที่ได้นอตใช้งานไม่ได้ไม่เกิน 3 ตัü ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) ค่าคาดĀมายของจำนüนนอตที่ÿุ่มเลือกมาแล้üใช้งานไม่ได้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 5) คüามแปรปรüนของจำนüนนอตที่ÿุ่มเลือกมาแล้üใช้งานไม่ได้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17=20 10=0.1 nñWÑ7bÉa @27219672%6ÑwÑBÑwo@PÑgnwYgjfÑ 01 = 0.9 ✗ =D , 1,2g 3g ooo g 20 ✗ ~ B 120g Do 11 P( ✗ = 5) = B 15320, D. 1) - B 14:20 , 0.11 = D. 9887 - 0.9568 = 0.0319 1- PIX> 61 = B 120520 , 0.11 - B 16520,011 = 1.0000 - 0.9976 = 0.0024 # Plxt 3) = B 13520 , 0.11 = 0.8670 # DIMMU. 2 F- 1×1 = 17/0 DEMI F- 1×1=2010.11 = 2 # VIX) = npof DEYÑ VCXI = 2010.1-110.91 = 1,8 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 41 แบบฝึกĀัด 5 1. โรงพยาบาลแĀ่งĀนึ่งเปิดรับบริจาคโลĀิต พบü่าร้อยละ 75 ของผู้บริจาคโลĀิตมีกลุ่มเลือด Rh+ ถ้าในแต่ละüันมีผู้มาบริจาคจำนüน 15 คน ใĀ้Āาคüามน่าจะเป็นของผู้บริจาคโลĀิตที่มีกลุ่มเลือด Rh+ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) อย่างมาก 5 คน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) 6 ถึง 10 คน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) มากกü่า 8 คน ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2. ใĀ้ X เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงทüินาม โดยมีพารามิเตอร์n และ p เมื่อ E(X) = 6 และ V(X) = 5 ใĀ้Āาค่า n และ p ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17=15 D= 0.75 01 = D. 25 ✗ ~ B 115 , 0.751 PIX £51 = B 15515 , D. 751 = 0.0008 PIGS ✗ £10) = B 110375, 0.751 - B 15325 , 0.751 = 0.3135 - 0.0008 = 0.3127 PIX > B) = B 115315, D. 751 - BCB ; 15g 0.751 = 1.0000 - D. 0566 = 0.9434 F- 1×1 = 6 = hp 6 = Ap Vix) = 5 = mpg = MPII - pl 6=17 / f) 5 = tip ( 1 - pl 2 66MW 1896235 = 611 - pl n = 36 # 5 = 6-6/0 6/0 = 1 p = ; #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 42 3. ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดลงแข่งขันทั้งĀมด 10 ครั้ง คüามน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดจะชนะ ในแต่ละครั้งเท่ากับ 3 5 ใĀ้Āา ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................ 1) คüามน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดชนะ 4 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) คüามน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดชนะอย่างน้อย 2 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) คüามน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดแพ้ 3 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) คüามน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลบุรีรัมย์ยูไนเต็ดแพ้ 3 ถึง 5 ครั้ง ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. peon: 17=10 D= 0.6 01=0.4 V→66Ñ ✗ ~B(10,0061 PIX = 41=314510, D. 61 - B 13520, D. 61 = 0.1662 - D. 0548 = D. 1114 PIX 221 = B 110510 , D.6) - B 11510g D. 61 = 1. DODD - D. 0017 = 0.9983 PIX __ 71 = B/ 7510,0. 61 - BIG ; 10 , 0.61 = D. 8327-0.6177 = 0.2150 1669hm ✗ ~ B. 110,241 P(3£ ✗ £51 = B 15:10 , 0.41 - B 12310,0041 = 0.8338 - D. 1673 = 0.6665

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 43 4. จากการตรüจÿอบโรงงานผลิตเครื่องปั้นดินเผาแĀ่งĀนึ่ง พบü่า คüามน่าจะเป็นที่จะพบเครื่องปั้นดินเผาที่ มีตำĀนิคิดเป็นร้อยละ 15 ถ้าÿุ่มตัüอย่างเครื่องปั้นดินเผาจำนüน 10 ชิ้น ใĀ้Āา ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) คüามน่าจะเป็นที่จะพบเครื่องปั้นดินเผาที่มีตำĀนิอย่างน้อย 3 ชิ้น ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) คüามน่าจะเป็นที่จะพบเครื่องปั้นดินเผาที่มีตำĀนิตั้งแต่ 6 ถึง 8 ชิ้น ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ค่าคาดĀมายของจำนüนเครื่องปั้นดินเผาที่ÿุ่มมาแล้üมีตำĀนิ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) คüามแปรปรüนของจำนüนเครื่องปั้นดินเผาที่ÿุ่มมาแล้üมีตำĀนิ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. BIF.h.pl Ibex :n.pl ✗ =D n= 10 10=0.15 nd7NÑ7bÉa= www.708siwwniaewusnoteofw Of __ 0.85 ÑW6W7ÑÑÑ7HÑ ✗ = 0,1 , 2,3 , ooo , 10 ✗ ~ B 110,2151 6Ñ@M87J PIX 73 ) = B 110310,2751 - B12 ;D, 0.151 = 1 - D. 8202 = 0.1798 Plff ✗ £8 ) = BIB; 10,0151 - B. 15510 , 0.151 = 1 - D. 9986 = 0.0014 F- 1×1 = np F- 1×1 = 1010.15) = too VIXI = mpg VIX) = 1010.1511%851 = 4275

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 44 5. ในการทดลองปลูกข้าüโพด พบü่า เมล็ดมีโอกาÿที่จะงอก 95% ถ้านำเมล็ดข้าüโพดดังกล่าüมาปลูก จำนüน 30 แปลง แปลงละ 10 เมล็ด ใĀ้Āา ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1) ค่าคาดĀมายของจำนüนเมล็ดที่งอก ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ÿ่üนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนüนเมล็ดที่งอก ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ค่าคาดĀมายของแปลงที่มีเมล็ดงอก 5 เมล็ด ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 17=300 D= D. 95 01 = D. 05 f-( X) = tip = 30010.951 = 285 V( ✗ I = App = 30010.951/0.051 = 74.25 ÑdW6Ño96NWNMSJ7W = 14.25 # PIX = 51 = B. 15510 , 0.951 - B(451-0,295) = 0.0001 - 0.0000 = D. 0001 F- 1×1 = tip = 1010.95 ) = 9.5 #

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 45 บทนิยาม ทฤþฎีบท 4 2.3 การแจกแจงคüามน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด (Some Continuous Probability Distributions) ในĀัüข้อที่ 2.2 นักเรียนทราบถึงการแจกแจงคüามน่าจะเป็นขนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิดแล้ü และในĀัüข้อนี้ นักเรียนจะได้ýึกþารูปแบบการแจกแจงคüามน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด ซึ่งเกิดจากตัüแปรÿุ่มชนิดต่อเนื่อง เช่นคüามÿูงของนักเรียนชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 ของโรงเรียนแĀ่งĀนึ่งเüลาที่ใช้รอเข้ารับบริการของÿถานพยาบาล โดยรูปแบบการแจกแจงคüามน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่อง ในĀัüข้อนี้จะกล่าüเฉพาะการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง และการแจกแจงปกติ 1. การแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง (Continuous Uniform Distribution) ในการแจกแจงรูปแบบ ตัüแปรÿุ่ม X จะเป็นตัüแปรÿุมชนิดต่อเนื่องที่มีค่าได้ทุกค่าบนช่üง (a,b) เมื่อ a, b เป็น จำนüนจริงใด ๆ และ a < b โดยทุกค่าของตัüแปรÿุ่มมีคüามน่าจะเป็นเท่า ๆ กันเราเรียกตัüแปรÿุ่มนี้ü่า มีการ แจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง ซึ่งมีบทนิยาม ดังนี้ ตัüแปรÿุ่ม x ab = (,) เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง เขียนแทนด้üย ÿัญลักþณ์ ∼ (, ) ถ้าฟังก์ชันคüามĀนาแน่นของคüามน่าจะเป็นของตัüแปรÿุ่ม x คือ 1 ( ; a , b)= 0 f x b a − จากบทนิยามข้างต้น ÿังเกตได้ü่า 1. ถ้า x มีค่าอื่นๆ ที่ไม่อยู่บนช่üง (a,b) จะได้ü่า f x( ; a , b)=0 2. f x( ; a , b)dx=1 − 3. ( ) ( ; a , b)dx d c Pc x d f x = โดยที่ c และ d อยู่บนช่üง (a,b) ถ้าตัüแปรÿุ่ม x ab = (,) มีการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง U ab (,) แล้üค่าคาดĀมายและ คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม x คือ ( ) 2 b a E x + = และ ( ) 2 ( ) 12 b a V x − = เมื่อ xaxb = เมื่อ x เป็นจำนüนอื่น ๆ

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 46 ตัüอย่าง 1 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปบนช่üง (10, 25) ใĀ้Āา 1) P x (15 20) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) P x( 20) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) P x( 20) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) P x( 30) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ตัüอย่าง 2 ÿุ่มเลือกจุดใด ๆ ในเÿ้นจำนüนบนช่üง (1, 6) ใĀ้Āา 1) คüามน่าจะเป็นที่จะได้จุดบนช่üง 1.5 ถึง 3.5 ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) ค่าคาดĀมายและคüามแปรปรüนของการÿุ่มเลือก ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Past ✗ £201 =/ 2° Is , } DX = ✗ 75 =/ " zo ¥0k = ¥ / 20 25 = 20 - 10 15 = 10 = } # 15 =/- o, o ✗ 5) F- 1×1=101-01 = 251-20 = 325 # 2 2 =D # ✓(X) =cb -0112--125-1012 = 2¥ # 22 12 35 Pl1o5< ✗ < 3. 5) =/ f(✗ 31,6, = { 1562401 < ✗ < 6 2. s } ✗ 0624 @ ✗ wow.Éw = , § / 3.5 3.5 = 3.5 - 1.5 = 2 s 5 F- 1×1=6+01 = E. +1 = 27 # 2 2 Vex, = 16-0112 = 16-112 = 2,52 # 22 22

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 47 ตัüอย่าง 3 กำĀนด X เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่องบนช่üง (a, b) โดยมีค่าคาดĀมายและ คüามแปรปรüนของตัüแปรÿุ่ม X เท่ากับ 3 และ 12 ตามลำดับ ใĀ้Āา P(X < 0) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ตัüอย่าง 4 จากÿถิติเกี่ยüกับน้ำĀนักของผู้เข้ารับบริการในÿถานเÿริมคüามงามแĀ่งĀนึ่ง มีน้ำĀนักตั้งแต่ 45 กิโลกรัม ถึง 76 กิโลกรัม ด้üยคüามน่าจะเป็นแบบเอกรูปต่อเนื่อง ถ้านางÿาüน้ำผึ้งเข้ารับบริการในÿถานเÿริม คüามงามแĀ่งนี้ ใĀ้Āา 1) คüามน่าจะเป็นที่นางÿาüน้ำผึ้งจะมีน้ำĀนักมากกü่า 55 กิโลกรัม ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) น้ำĀนักเฉลี่ยของผู้เข้ารับบริการในÿถานเÿริมคüามงามแĀ่งนี้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) ÿ่üนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำĀนักของผู้เข้ารับบริการในÿถานเÿริมคüามงามแĀ่งนี้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. F- 1×1=6+01 =3 PIXCDI 2 =L? ¥20K 6+01 = 6 1 ✓ (X) = ( b- 0112=12 = ¥21 ! , 12 b- 01 = 12 2 1-120,26=18 = 0 - f- 3 12 12 ) D= 9 01 =-3 =L # 8291-3,91 FIX :3, 9) = { Ya 6240 - 3< ✗ < g osÑ"o×Ñwow.Éwq PIX > 551 =/ * fix ;es,zg, ={¥bÑÉ45< ✗ £76 Ss ¥ ✗ = 0 6ÑioxÑwow.Éwq ¥15s = It, # F- (✗ 1 = 101-201 = 761-45 = 1221 = 60.5 MM , 2 ✓ ( X ) = (b -0112 = 176-4512 = 961 12 12 12 ÑdW6Ñ 896219621707%796 = 961 = 31 = 3153 12 253 6

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 48 แบบฝึกĀัด 6 1. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปบนช่üง ( -3 , 15) ใĀ้Āา 1) P x( 0) 2) P x( 5) 3) P x (2 12) 4) P x ( 4 30) − ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2. กำĀนด x เป็นตัüแปรÿุ่มที่มีการแจกแจงเกรูปต่อเนื่องบนช่üง (a , b) โดยมีค่าคาดĀมายและÿ่üน เบี่ยงเบนมาตรฐานของตัüแปรÿุ่ม x เท่ากับ 4 และ 12 ตามลำดับ ใĀ้Āา 1) P x( 0) 2) P x (1 10) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1 PIX > 01=1,1-511,0111 2Plx<51=15,21, ok = ✗ 15 = ✗ / 5 1B / o 18 -3 = 15 # = 5- C- 3) = 8 = 4g 18 28 18 4 Pl4<✗ < 301 =/ -3 3 Pl2< ✗ < 121 =/ " 1- Ax , 001×+11,511,01×+1%0/ ✗ 2 18 25 = ¥, / 12 = 0+15-1-31 to 2 18 = 12-2 = ¥, = § 1¥ = 1 # 23 F-1×1=62+01--4 1 PIX> 01--1,1-0,12 ok 2 PIIEX £201 __[¥0K 6+01=8 Vix) -_ 12=16-0112 = 12 ¥ / I =¥|? b- 01=12 26--20 = 20 # = 10 - 1 =L # 22 12 10 = 10 01 = -2 Nogi -2,101 FIX: -2,10, = { 1126240 -24<10 ☐ sÑioxÑwow.Éw ,

Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 การแจกแจงคüามน่าจะเป็น 49 3. ครอบครัüĀนึ่งมีÿ่üนÿูงตั้งแต่ 5 ฟุต 1 นิ้ü ถึง 6 ฟุต 5 นิ้ü ด้üยคüามน่าจะเป็นแบบเอกรูปต่อเนื่อง ถ้านางÿาüüรรณฤดีอยู่ในครอบครัüนี้และมีอายุ 17 ปี ใĀ้Āา 1) โอกาÿที่นางÿาüüรรณฤดีจะมีÿ่üนÿูงมากกü่า 6 ฟุต ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 2) โอกาÿที่นางÿาüüรรณฤดีจะมีÿ่üนÿูงน้อยกü่า 5 ฟุต 10 นิ้ü ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3) โอกาÿที่นางÿาüรรณฤดีจะมีÿ่üนÿูงมากกü่า 5 ฟุต 8 นิ้ü แต่ไม่เกิน 6 ฟุต ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4) ÿ่üนÿูงเฉลี่ยและคüามแปรปรüนของÿ่üนÿูงของครอบครัüนี้ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. P / ✗ > ¥2 ) =/ ¥ 12 ok ¥; 7-6 = 12 ( EE ) - 121%1 = 5 # 16 16 f( × : • ¥ )={¥•Ñ"o < ✗ < ¥ 0 6240 ✗ ÑwoWeÉwq 70 P(✗ < ¥21 =/ " = 12 olx 60 16 12 70 = 12×22 = 12 / ¥2 ) - 12 /%) = g # 16 61 16 16 12 72 PIE; < ✗ < ¥ ) =/ " 12 ✗ 68 16 12 = 12 ✗ 12 zg / ?? = 72-68 = fg = I # 26 12 y 771-61 F- ( X) = 6+01 = 1-2 = 138 = 69 = 5 Wgn 9 Ñd # 2 24 12 Vix, = to - of =/ 77-61-12=1%12 = ( ;) ' 12 yz = 16 91121 = # 12 12 12