วิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ( ค 33201 และ ค 33205)
บทที่ 1 ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6/1,3,4,6,9
โดยครผู ู้สอน นางปณุ ณดา ภู่พิชิต
6/1 6/3 6/4 6/6 6/9
“ตง้ั เป้าหมายให้สงู และอยา่ หยดุ จนกว่าคณุ จะไปถึงที่นั่น”
“ไม่มีความสำเร็จใด ทจ่ี ะไมใ่ ช้ความพยายามและเวลา”
ลำดับอนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ 1
คำอธิบายรายวชิ า
คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 5 รหัสวชิ า ค 33201 ภาคเรียนที่ 1
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
เวลาเรยี น 3 ชั่วโมง/สัปดาห์ จำนวน 1.5 หน่วยกติ (ห้อง 6/1,6/2-6/7,6/9, 6/10)
ศึกษา พร้อมทั้งฝึกทักษะการคิดคำนวณเกี่ยวกับความหมายของลำดับ รูปแบบการกำหนดลำดับ
อนันต์ ลำดับเลขคณิต และลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ ได้แก่ ผลบวกของอนุกรมอนันต์ และสัญลักษณ์
แทนการบวก ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความชันของเส้นโค้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์
ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ปฎิยานุพันธ์ ปรพิ นั ธ์ไม่จำกดั เขต ปริพันธจ์ ำกดั เขต และพ้ืนทท่ี ี่ปดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้
เพื่อให้มีความรู้ความเข้าใจ มีทักษะในการคิดคำนวณ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือ
ความหมายทางคณิตศาสตร์ และพัฒนาทักษะ/กระบวนการ พร้อมทั้งนำประสบการณ์ด้านความรู้ความคิด
ทกั ษะกระบวนการทีไ่ ด้ไปใช้ในการเรียนรสู้ ิ่งต่างๆ และใช้ในชวี ติ ประจำวันอยา่ งสรา้ งสรรค์
การวัดผลและประเมนิ ผล ใช้วธิ กี ารทห่ี ลากหลายตามสภาพความเป็นจริงใหส้ อดคล้องกับเน้ือหาและ
ทกั ษะทีต่ ้องการวดั รวมทง้ั เห็นคุณค่าและมเี จตคตทิ ีด่ ตี ่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบระเบยี บ มี
ความรอบคอบ มคี วามรบั ผดิ ชอบมวี ิจารณญาณ และมีความเชอ่ื มั่นในตนเอง
ผลการเรยี นรู้
1. หาลิมติ ของลำดับอนันต์โดยใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลมิ ติ ได้ถกู ตอ้ ง
2. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ไดถ้ กู ต้อง
3. หาลิมติ ของฟังกช์ ันโดยใชท้ ฤษฏีบทเกี่ยวกับลมิ ิตได้ถกู ต้อง
4. บอกได้วา่ ฟงั กช์ นั ท่กี ำหนดให้เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองหรอื ฟังกช์ ันไม่ต่อเนือ่ งได้ถูกต้อง
5. หาและนำความรู้เรื่องอนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันไปประยุกต์ใช้ได้
6. หาและนำความรู้เรื่องปริพันธไ์ ม่จำกัดเขตของฟงั ก์ชันไปประยกุ ตใ์ ช้ได้
7. หาปรพิ ันธ์จำกดั เขตของฟังก์ชนั ทก่ี ำหนดให้ และหาพื้นท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้งบนชว่ งท่กี ำหนด
ให้ไดถ้ ูกตอ้ ง
ลำดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 2
เนื้อหาสาระ วิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 / 2565
บทที่ 1 ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ หน้า
บทที่ 2
บทที่ 3 1.1 ลำดบั อนนั ต์ 3 – 40
บทท่ี 4 1.2 อนุกรมอนันต์ 3
แบบทดสอบลำดับอนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 16
ลิมิตและความต่อเนือ่ งของฟังก์ชนั 37
2.1 ลมิ ติ ของฟังก์ชัน 41 – 65
2.2 ความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั 41
55
แบบทดสอบลิมติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน
61
อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน
3.1 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 66 – 117
3.2 การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร 1-4 66
3.3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันในรปู ของผลบวกหรือผลต่าง 69
3.4 อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันทอ่ี ย่ใู นรปู ของผลคูณ 70
3.5 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั ทอ่ี ยู่ในรูปของผลหาร 71
3.6 อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันคอมโพสิท 72
3.7 อนุพนั ธอ์ นั ดับสงู 73
3.8 โจทยเ์ กี่ยวกับอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั 75
3.9 การประยุกต์ของอนุพันธ์ 84
แบบทดสอบอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั 91
ปฏยิ านุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 112
4.1 ปฏยิ านุพนั ธไ์ ม่จำกดั เขต
4.2 ปริพนั ธ์จำกัดเขต 118 – 150
4.3 พน้ื ท่ีที่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง 120
แบบทดสอบปฏิยานพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั 131
137
146
ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนันต์ 3
บทที่ 1
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์
1.1 ลำดบั อนนั ต์
1.1.1 ทบทวนลำดับ
บทนยิ าม ลำดบั (sequence) คือ ฟังก์ชันทมี่ โี ดเมนเปน็ เซต { 1 , 2 , 3 , . . . , n }
หรือมโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเจรมงิ รบวกเรียกลำดบั ทมี่ โี ดเมนเป็นเซต { 1 , 2 , 3 , . . . , n }
ว่า ลำดับจำกัด ( finite sequence) และเรยี กลำดับทม่ี โี ดเมนเปน็ เซตจำนวนเต็มบวก วา่
ลำดับอนนั ต์ ( infinite sequence)
รปู แบบการกำหนดลำดับ
(1) กำหนดลำดบั โดยเขียนแจกแจงพจน์ท้ังหมดของลำดบั เป็นลำดับจำกัดและมีจำนวนพจนไ์ ม่มากนัก
จะแสดงลำดบั ท้ังหมดเชน่ 0 ,5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 หรือ 0.1 , 0.1 , 0.2 , 0.3 , 0.5 , 0.8 , 1.3 เปน็ ตน้
(2) กำหนดลำดับโดยเขยี นพจน์เริม่ ต้นจำนวนหน่ึงพร้อมกับพจนท์ ่วั ไปของลำดับ เป็นลำดับจำกัดท่ีมี
พจน์จำนวนมาก และลำดบั อนันต์ เช่น 0 , 5 , 10 , 15 , . . . , 5n - 5 , . . . , 1975 หรือ 1 , 3 , 9 , . . . ,
3n-1 , . . . , 81 หรือ 1 , 1 , 1 , 1 ,..., 1 1) ,... เปน็ ตน้
2 6 12 20
n(n −
(3) กำหนดพจน์เริ่มต้นจำนวนหน่ึงพร้อมกับสตู รการหาพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า การกำหนดลำดบั
แบบนเ้ี รียกอีกอย่างหนึง่ ว่า การกำหนดโดยใช้ความสัมพันธเ์ วียนเกิด (recurrence relation)
เช่น (1) กำหนดลำดับ an ซง่ึ a1 = 2 และ an = an-1 + 3 เม่ือ n ≥ 2 จงหาหา้ พจนแ์ รกของลำดบั น้ี
................บ............อ..................2....Y....,..5............ง,........8........Y..,....1........1....Y..,..1......4............,...............................99......23......=.=........a..9....,..2...+..+....3...3...........=..=..........2..5....+..+....3..3...........=...=........58..............................9..G....g..6....==.......99.....5.4.....+.+.....33......=....=..1....4..1....+1....+.3...3=-1-714
..............................................................................9...4....=....9...3...+...3......=......8....+...3......=.. ...1.1.............................................
(2) กำหนดลำดบั bn ซง่ึ b1 = 1 และ bn = nbn-1 เมอ่ื n ≥ 2 จงหาหกพจน์แรกของลำดับนี้
.........บ.......อ.........1....,.2.......,...6....,.1...8.....,........................b...2...=....2....b. .า.........=.....2...(..1.)......=....2....................b...เ...=.....6...[...9..0..)..........
..........................9....0...,..5...4....0......,.................................b..g....=....3....b..z.........=.....3...(.2...).....=....6. ........................=......5...4...0.............
...............................................................................5..4....=.....4...b...3........=......3...(.6...).....=....1.8...............................................
babg 5--
ลำดับเลขคณิต = 5 (1 8) = 90
บทนิยาม ลำดบั เลขคณิต(arithmetic sequence) คอื ลำดบั ที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ท่ี n + 1
ลบด้วยพจนท์ ี่ n เปน็ คา่ คงตวั ท่เี ท่ากนั สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n และเรยี กคา่ คงตัวที่เป็น
ผลต่างนวี้ ่า ผลต่างร่วม (common difference)
ืคัดำลืถัดำล็ต
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ 4
จะได้ ลำดับเลขคณติ an คือ a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,…
ดังนั้น สูตรการหาพจน์ที่ n ของลำดบั เลขคณิตคือ an = a1 + (n – 1)d
เมอ่ื a1 เป็นพจนแ์ รก และ d เปน็ ผลต่างรว่ มของลำดับเลขคณติ
ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนดลำดับเลขคณิตให้มพี จน์ที่ 3 และพจนท์ ี่ 7 เท่ากบั 7และ –9 ตามลำดบั
จงหา an และ a15
จ...า..ก.โ..จ...ท...................................a...ท.....=.....a...3....+......(..ก......3...)...d...............................a....เ.5.....=.......1...9...-...4....4....5..)......................
...9...3...=....7..........................................=......7.....+.......(..ท...-...3..)..(..-..4...)................................. .=.......1...9...-..6....0.............................
......9d........ๆ......=..=........-....-9....9........-....7............................................................=..=............7...1....9...-......-..4......ท4........ท..+.........1....2..................................................................................=...............-.....4........1...................................................................
....d......=.....-..4..I................................บ......อ.......1...5...,.1..1.....,..7....,..3.......i......1...,............................................ ...............................
ลำดับเรขาคณิต
บทนิยาม ลำดับเรขาคณติ (geometric sequence) คือ ลำดับซ่งึ มีอตั ราสว่ นของพจน์ท่ี n + 1 ต่อ
พจนท์ ี่ n เปน็ ค่าคงตวั ทเ่ี ทา่ กัน สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n และ เรียกค่าคงตัวทเี่ ป็น
อัตราสว่ นนี้ว่า อตั ราสว่ นรว่ ม (common ratio)
จะได้ ลำดับเรขาคณติ คอื a1 , a1r , a1r2 , a1r3 , …
ดังน้นั สตู ร การหาพจนท์ ่ี n ของลำดับเรขาคณิตคือ an = a1 rn – 1
เมื่อ a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เป็นอัตราสว่ นรว่ มของลำดบั เรขาคณิต
ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้เริ่มฝากเงนิ ดว้ ยเงนิ ตน้ 10,000 บาท และอัตราดอกเบย้ี ทบต้น 5 % ตอ่ ปี
จงหาสูตรการคดิ จำนวนเงินในบญั ชหี ลงั จากคดิ ดอกเบย้ี เมอื่ สน้ิ ปีท่ี n
....P...=......1..0..,.0...0..0...............................A.i....=......P...C....1..+...r..).."............................................ .................................................
...r....=......0.....0...5.......................................=.......1.0..,.0..0..0...(...1....0...5...)."................................... .................................................
..............................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดใหล้ ำดับเรขาคณิตมี a5 = 9 และ r = 3 จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลำดบั น้ี
.....................................%.......=......g......r..5................................................................... .................................................
..........................................................................................=............9........(....3......)....5....................=..................2......,..1.....8......7.......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาพจนท์ ี่ 12 ของลำดับเรขาคณิต 7 , 7 , 7 ,...
256 128 64
...........r...=.....อ....I.............................a..แ.....=......2.....(.2...).."................................................. .................................................
.......................8.........................................2..5.6...........................................................................................................
..........r.....=....#....×.....................................=......2........2.."......=.....7....2..3....=....5..6........................ .................................................
28
r =2
ุ๋ห๋ัหืถัดำล์ย
ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 5
แบบฝึ กหดั ทบทวนลำดบั
คำสั่ง ใหน้ กั เรียนแสดงวิธีทำลงในแบบฝึกใหถ้ กู ตอ้ งและแสดงวธิ ีคิด
1. จงบอกวำ่ ลำดบั ที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี ลำดบั ใดเป็นลำดบั เลขคณิต ลำดบั ใดเป็นลำดบั เรขำคณิต
พร้อมท้งั บอกผลตำ่ งร่วม หรืออตั รำส่วนร่วมของลำดบั น้นั ๆ
ลำดบั ลำดบั เลขคณิต ผลต่ำงร่วม (d) ลำดบั เรขำคณติ อัตรำส่วนร่วม (r) ไม่เป็ น
(1) 7, 9, 11, 13, ... , 2n+5 ✓ 2 ✓ -1 ✓
✓
(2) 6, -6, 6, -6 , ... , 6(-1) n – 1 -2 ✓ 13
(3) 4, 2, 0 , -2, ... , 6−2n ✓ 3
(4) 3,1, 1 1 ,...,9 1 n z✓ _
3 9 3
,
(5) − 2 , 1 ,− 1 , 3 ,...
9 12 32 256
(6) 1 , 1 , 5 , 7 ,...
6 2 6 6
(7) 1 , 1 , 1 , 1 ,... ✓ t
3 9 27 81
3
(8) an = 2 5n−1 ✓5
(9) an = 7 − 3n ✓ -3
(10) an = n +1
n
2. จงหำพจน์ทว่ั ไปของลำดบั เลขคณิตต่อไปน้ี
(1) -2 , 4 , 10 , . . . d- 10-4=6 (2) 12 , 15 , 18 , . . . d =3
_
วะ
นะ
พจนท์ ว่ั ไป a =n 3 ท +9
พจนท์ วั่ ไป a =n 6ท -8
13.5
(3) − 1 , 1 , 1 ,... d. อ อ+. .. }= } (4) 11, 27 ,16,...
6 6 2 2v v
2- ำ d= 9 + Cn -1)
2. 5 2
พจน์ทั่วไป an = อ พจน์ทวั่ ไป a == . 2.5 ท +8.5
+ (ท - 1) (E) n
6
3. an = อ2งลำ3ดบั เรขำค ณิตต=่อ-ไอป*น้ี }- -
จงหำพจน์ทว่ั ไปข =
r=
(1) -3 , -6 , -12 , . . . ¥r = = 2 (2) 10 , -5 , 5 , . . . § ÷r -
= ×=
2
a = ท -1
พจน์ท่วั ไป พจน์ท่วั ไป a = 2)(n 10 -2 ท -1
n C-3) 2
¥ I(3) 1 , 5 , 25 ,... r = × = 5 (4) |5 , 5 ,10 ,...
44 4 ¥ 2× = ¥r = × -2
r=
63 3
พจน์ทั่วไป an = " พจน์ทว่ั ไป an = # " "
5
(2)
ุ๋รุ๋ว่ัวุ่ว๋ึซฺนfฺทูวฺท์ว
ลำดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 6
1.1.2 ลิมิตของลำดบั
สมบัติบางประการของลำดับ โดยจะพิจารณาพจน์ที่ n ของลำดบั เม่ือ n มีค่ามากขน้ึ โดยไม่มีท่ีสน้ิ สดุ
1) พจิ ารณากราฟของลำดบั an = 1
☐2n
n12 3 4 56 7 8 …
…
an 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625
รปู ท่ี 1
จากกราฟรูปที่ 1 จะเหน็ วา่ ถ้า n มากข้นึ โดยไมม่ ีทสี่ ิ้นสดุ แล้ว an ลดลง และเข้าใกล้ 0 แตจ่ ะไมเ่ ทา่ กบั 0
2) พจิ ารณากราฟของลำดบั ☐an = 2 ในรปู ที่ 2
รูปท่ี 2
จากกราฟในรูปที่ 2 จะเห็นว่า an เปน็ 2 เสมอ สำหรบั ทกุ คา่ ของ n
เมอ่ื n มากข้นึ โดยไมม่ ที ่สี ้ินสุด และพจนท์ ี่ n เข้าใกลห้ รือเทา่ กับจำนวนจรงิ L เพียงจำนวนเดียว
เทา่ น้ัน แลว้ เรียก L ว่า ลมิ ิตของลำดับ ( limit of a sequence ) และกลา่ วว่าลำดับน้นั มีลมิ ิตเท่ากบั L
ดังน้ัน ในขอ้ 1) ลำดบั an = 1 มีลิมิตเท่ากบั 0 และ ในข้อ 2) ลำดับ an = 2 มีลมิ ิตเท่ากับ 2
2n
เรียกลำดับอนนั ต์ทีม่ ีลมิ ติ วา่ ลำดบั ลู่เข้า (convergent sequence)
3) พจิ ารณากราฟของลำดับ an = 1 + (−1)n ในรปู ที่ 3
on
2
1
0 รูปที่ 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
จากกราฟในรูปท่ี 3 จะเห็นว่า แนวของจดุ ในกราฟจะเข้าใกลเ้ สน้ ทบึ ท่ีปรากฏ ซึ่งหมายความว่า
เมอ่ื n มากขึ้นโดยไม่มีทสี่ ิน้ สุด พจน์ที่ n เขา้ ใกล้ 1 แตจ่ ะไม่เท่ากบั 1
ดงั นนั้ ลำดบั an = 1+ (−1)n เปน็ ลำดับล่เู ข้า และ มลี มิ ิตเทา่ กับ 1
n
ลำดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 7
4) พิจารณากราฟของลำดับ an = 2n - 1 ในรปู ที่ 4
20
15
10
5 รปู ท่ี 4
0
12345678
จากกราฟในรูปที่ 4 จะเห็นวา่ เม่อื n มากข้ึนโดยไม่มีทีส่ ้ินสดุ พจนท์ ่ี n ของลำดับจะมากขนึ้ และไมเ่ ขา้ ใกล้
จำนวนใดจำนวนหนง่ึ จงึ กลา่ วได้วา่ ลำดบั an = 2n - 1 ไม่มลี ิมิต ลำดับน้ีจึงไม่ใชล่ ำดบั ลเู่ ข้า เรียก ลำดบั
อนันตท์ ี่ไม่ใช่ลำดับล่เู ข้า ว่า ลำดบั ลู่ออก (divergent sequence)
5. พิจารณากราฟของลำดบั an = ( -1)n+1 ในรปู ท่ี 5
1
0 รูปที่ 5
12345678
-1
จากกราฟในรูปท่ี 5 เม่ือ n เปน็ จำนวนค่ี พจน์ท่ี n เป็น 1 และเม่ือ n เป็นจำนวนคู่ พจน์ที่ n เปน็ -1 ดังน้ัน
เมือ่ n มากขน้ึ โดยไมม่ ีท่สี นิ้ สุด พจนท์ ่ี n ของลำดบั นจี้ ึงไมเ่ ขา้ ใกล้จำนวนใดจำนวนหนงึ่ ลำดบั an=( -1)n+1
จึงไมม่ ลี มิ ิต ดังนั้นลำดบั นจี้ งึ เปน็ ลำดบั ลู่ออก และจะเรียกลำดับลู่ออกท่ีมลี ักษณะของกราฟขึน้ และลงสลบั กนั
โดยไม่เข้าใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหน่ึงเช่นนวี้ า่ ลำดับแกวง่ กวดั (oscillating sequence)
ตัวอย่างท่ี 1 จงหาลมิ ิตของลำดับตอ่ ไปน้ี
1) a =n − 1 n 2) a =n − 5 n 3) an = 2n
2 4
วิธีทำ 1) จากลำดับ an = − 1 n และลำดับน้ี คือ − 1 , 1 ,− 1 ,..., − 1 n ,...
2 2 4 8 2
.
n12 345 6 789 10 11 12
a n - 0.5 0.25
- 0.1250.0625 า " อ อ°° อ°° _ อ°
เขียนกราฟของลำดับ an อ. อ. อ.
0. "" อ.
.
r o?
y
า ti # # า อ5
.
_
นาน นาน4 • ำ- TT T.TT. :3 rx
ำ•
I. ÷"ii.÷
•
อ า4
9- - - •
4 เา 2 - 0.5
่ัถ่ย่ํร่ีญ้ัห่ัว่ว่ว้ืจ้ืห๊ืต๋ํห๋ํห๋ึห้ิห๋ํล่ับ้ว
ลำดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ 8
2) จากลำดับ an = − 5 n และลำดับน้ี คือ − 5 , 25 ,− 125 ,..., − 5 n ,...
4 4 16 64 4
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a ¥n - -1.25 1.56 - 1. 96 2.44 -3.05 3.81 -4.76 5.96 -7.45 9.31 - 11.64 14.55
_ an
เขียนกราฟของลำดับ an - 13
-10 • • • "
5 ii. iii.% . i
- •• . ะi io
: ÷. - ะ
.
•.
- -5
- -10
15- -
3) จากลำดับ an = 2n และลำดับนค้ี ือ 2 , 4 , 8 , . . . , 2n , . . .
n12 34 5 678 9 10 11 12
an 2 4
8 16 32 6 4 128 256 5 12 1024 2 04 8 409 6
เขียนกราฟของลำดบั an
am • ท
--100
- 80 .
- 60 .
.
•
- 40
µ_ •_ ÷ • l l1
l
n .. 6 78
23 .
01
•_
ll
45
ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ lim 1 และ lim 1 จากรูปกราฟ
→0 →0
lim 1 = ………0……………………. ไlim 1 = …ห…า……าไ………………….
→0 →0
×→0 ✗→ 0
้ด่ม่ค์ิรุ๋ฬูฮ์ิร์ิฮ่ํรุ๋ยฺอ
ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ 9
ทฤษฎบี ทเก่ียวกับลิมติ
ทฤษฎีบท 1 ให้ r เปน็ จำนวนจริงบวกใดๆ จะไดว้ ่า
lim 1 = 0 และ lim nr หาค่าไม่ได้
nr
n→ n→
ทฤษฎีบท 2 ให้ r เป็นจำนวนจริง
ถ้า | r | < 1 แล้ว
ถ้า | r | > 1 แลว้ lim r n = 0
n→
lim r n หาค่าไม่ได้
n→
ทฤษฎีบท 3 ให้ an , bn , tn เป็นลำดบั ของจำนวนจริง A ,B เป็นจำนวนจรงิ
และ c เป็นคา่ คงตัวใดๆ โดยท่ี lim an =A และ lim bn = B
n→ n→
จะไดว้ า่ 1) ถ้า tn = c แลว้ lim tn = lim c = c
n→ n→
2) lim can = c lim an = cA
n→ n→
3) (lim an + bn ) = lim an + lim bn = A+B
n→ n→ n→
4) (lim an − bn ) = lim an - lim bn = A-B
n→ n→ n→
5) (lim an bn ) = lim an lim bn = AB
n→ n→ n→
6) ถา้ bn 0 ทกุ จำนวนเต็มบวก n และ B 0 แลว้
an lim an A
bn B
n→
= =nli→m
lim bn
n→
ทฤษฎบี ท 4 ให้ an เป็นลำดบั ของจำนวนจรงิ ท่ีมากกวา่ หรือเท่ากับ 0 และให้
m เป็นจำนวนเต็มทมี่ ากกว่าหรอื เท่ากับ 2
ถา้ lim an = L แลว้ lim m an = m lim an = mL
n→ n→ n→
ทฤษฎบี ท 5 กำหนดให้อนุกรมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราส่วนรว่ ม
ถ้า r 1 แลว้ อนกุ รมน้เี ป็นอนกุ รมลูเ่ ขา้ และมี S เป็นผลบวกของอนุกรม = 1
1−
ถา้ r 1 แลว้ อนกุ รมนเี้ ป็นอนุกรมลู่ออก
ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ 10
ตัวอย่างท่ี 3 จงหาลิมติ ของลำดบั an = 10
.D............................................l.i.m..........a..n............-.......l..i.m.........1..0.........=.........1..0.............. .................................................
ท→ค ท→ ค
ตัวอย่างที่ 4 จงหาลมิ ิตของลำดับ an = 5
.D...o.........................................l.i.m.........a...n............=...n......l.i.m........§...........=.........0............... .................................................
ท→ a ท→ ม
ฑื้Dต...ัวo..อ...ย..่า..ง..ท...ี่.5.........จ...ง..ห..า..ล..มิ..l.ิตi.m.ข...อ..ง..ล.g.ำ..ด...ับ.=....a..n.l.i.=.m....1..+..n.¥3.2.n..2...+.............)......=........l.i.m.........C... .....0.i.-.....3..)...=.....3...........................
.....................................ท....→.....ค.................ท....→.....ค......... ............................ท...→.....✗.........................................................
ฌํ๋ำD.ต.o.ัว..อ...ย..า่.l.iง.m.ท...่ี.6......9...ทจ...ง..ห=..า..ล..ิม.l.i.ติ.m.ข...อ..ง..ล..ำ..ด..%.ับ.....a..n...=......2..4n...3−..−.3..n3..°n.+.2..n+..2.5.....=.......................=..... .0................................................
.........ท....→.....ค...................ท...→.....จ........%.........-..............%..... .............................................................................................
...................................................2.................0..............0........................................... .................................................
°
¥.ต..วัด..อ...ย.ป.า่..ง..ท...ี่ .7.........=จ...ง..ห..า..ล..ิม...ิต..ข..-.อ..3ง..ล.).ำ..ด.-..บั .....a..n...ท..=.+..า.).n..n.+.2.1...−...n..2n..−3..3.l.i..m.....a....n.......=......l.i..m..... .................................................
.........................................................G..................-.......................................--......3...(.........ข...า......+--.........13...ท...)...ท4...(......_...ก-......ท3...3......3-.........3......)...............................................................ท...l....i...→..m..................0.........a.........n..................=..................ท-.........→...1.........ม......า..........................................................................¥.........................................................................
...........................=............-..ท....3..-..3........................................ท....→.....ค........................... .................................................
....................................ท..3..+.........-..3...ท....-..3................................................................. .................................................
ตวั อย่างท่ี 8 จงหาลิมติ ของลำดับ an = 4n −1
analimathft..D...o.............l.i.m........................................................n..+...1............................................ .................................................
.................ท..→.....ค..................ท...→....ค.....1...+........................ .............................................................................................
....................................=............4............................2................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาลิมิตของลำดับ a =n 5 243n2 − 4n
32n2 − 3n
D......°....................................l..i..m..........................q....................=......................................................2....4....3................-..้....4............................................................................................................................................................................
..................ท....→.....ม.............................ท...→.....0.........3...2...ท...2...-.....3..ท................................. .................................................
✓ 50............................................................................................=................5........4..........:..3T............................................................................................................2...3.3.....24.....=......2.....5.......................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
ุว้ท้ท้ข่ีท้ท้ก้ทำท้ท๋ทู๋ฐ๊ํญุ๋ฐำท้ทำทุหูรัจ๋ึญ๋ํณุอุ๋ฑ
ลำดับอนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 11
.ต..ัวจ..อ.า..ยก..่า..ทง..ท.บ..ี่ .1....01.........จ..จง..หะ..า..☒ค...่า..ข..อ...ง.... .l ..i→.m..∞....(...√....1....+...... .1 .2...+......(. .. .+.1..1..)..2..)...................... .................................................
TE..................................................l.i.m..........ป.......1...+................................=..........1............................................................
...............................................ท....→......ม..................................................................*.. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
ตวั อย่างที่ 10 จงหาค่าของ lim (1 − 2−3 1 + 2)
→1 1−
แ............ท............น........✗............า....l→....i....m....................1....×................→........................1....-2............-....(จ........3×....ะ....ไ....-×............1....+....)............(×........×....t22........2-........-×....-....3............_×1............++........±........2✗........)............ต....................=...........................✗........l.→....i....m............1................................-.......×.⑦...........7....-.........1...2.....)...........C.✗...........x.....+.......-....1.....2...........).........(.........✗...............-............1........).................=....................×...l........i→....m................1........................-............(.....(........✗......x.....-....-........D.1.......)....2[✗-2)
..............................................................................=.........l..i.m............_.....1..............=.........-...1...........=.........1.-.....☒...............
......................................................................................✗...→.....1........-..(..✗...-..2...)........... .......1..-..2......................................
ตัวอย่างที่ 11 กำหนดให้ = 1 [1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ⋯ + ( + ⋯ + )]
.....9...ท....=............[...1...+.โ.ด..4.ย..ท..+.่ี .k...เ9..ป..+น็...ค.1.า่.6.ข...อ+..ง..2ต..วั.5.ท...ี่ท.+..ำ...ใ.ห....้ .. .l .+i→..m.∞.... . .. .] ..=..... . ....แl.ทi.ล.m→..ะ..มa. . .n.>....=.0..L..แ. .ล...้ว...6...(.. ..+..... . .)...ม...คี ..่า..เ.ท...่า..ใ..ด..........
....................ำท................................=....ำ=............ท....1............."................Ii.....-....(....าi....ท............อ2........ท............+........1........6)........1........ม........า........+........1........)........]........................=............................2........................................2............................+...........ท.....................................................จ...........ะไ.ทl.......i.....m...→........................✗........K....้.2.......=................3.........6.........2...ท............"............แ....+....ล....ท.....ะ................L....=...........=............L............}........................=...................ง.............................................
...........................................................................6..............................ง.....น........6..c...L...+...K..)...=....6..C...}...+...3.)...=...6...(..E..)...=...2..0..1. *
3
ตวั อย่างท่ี 12 กำหนดให้ { } เป็นลำดบั จำนวนจรงิ โดยที่ 1 = 1 และ = −1 − 1
6 3
สำหรบั n = 2 , 3 , 4 , . . . อนกุ รม 1 + 2 + 3 + . . . มีผลบวกเท่าใด
นำ.........................ำ.....9..........3...............==..........==....................G.....I.....9..........ำ2.....-..........=-..........}.....-..........ะ1..........=.....=.....'...............±.....งม..........3...............-...............-#..............................=.....3..........=.........................±.........................ะ..........3.....3.......................................................g....ม..........S....ม..=....._...............=...............a..........g.....ท...l.......i.....+m→.....+.............9.......ม.........±....S2............3...n..+.....2.............+.9................=...3.....ง.........................".......น.........+."...£............า........................น...+.....................+..........ำ....................±....................3.........."ท......จ...........า...+....."..ก.............ก..............บ..............................เ........5.ย.......น........อ..........อ..........ค..........รมโเรขาด
และ ทรง
Igmn......9...4.....=.....±....3..4..........แ..ล..ะ.......ำ.......=......{.......n................£........=.......................=.........อ...×.....{.........=........£.........*..................
่ัวุ่ต่ีทู้ผุน็ป่ัวีม้ันัด้ท้ด้ตำท่ีท้ทำท้ทุ่ต้ด่ค๋ืฐ
ลำดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 12
แบบฝึ กหัดที่ 1.1
คำส่ัง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำลงในแบบฝึกใหถ้ ูกตอ้ งและแสดงวิธีคิด
1. จงเขยี นกรำฟเพ่ือตรวจสอบดูวำ่ ลำดบั ต่อไปน้ีเป็นลำดบั ล่เู ขำ้ หรือเป็นลำดบั ลอู่ อก
1. an = sin n จเน บ ออก รูปกรำฟ Gn
2
.. 45
วิธคี ดิ 1- •
3 01 - 1-
n1 2 . . '
-1 9 ะ. ◦. .
an 1 0 . . ,
n6 8 10 '
7 i. i
0 .
' i
i i.
i•
i@ ' ะ @ i ท
i.
i ะ@
an 0 .. ii
-1 .i.
•
2. an = 1 sin n i. เ น บ เา An
n 2
1•
วธิ คี ิด
n1 2 3 4 5
an 1 0 -0.33 0 0.2 \ .. ¥
n6 .
789 1. 0. . :
an 0 - 0.14 0 0.11 0 -1_- -c-e.mn#*.
3. an = 5 ° เ น บ เา an
n +1
◦◦
วธิ ีคดิ 3
n1 2 345 -
an 2. 5 1.66 1.25 1 0.83 " " •
n6 เ- ำ
7 89 1. 0. . i ÷ • ==๏ • =÷ @___ ....
0 1
=-
=
an 0.71 @= =.. @--÷ อ=
0.62 0.55 0.5 0.45 i ii i ะ vi เ 1ท
2 3 4 5 6 7 8 9 10
4. an = 2n i. เ น บ ออก an
n
- 40 /
วธิ ีคิด
- 30 •
n1 2 345
an 2 2 2.66 4 6.4 -20 •
n6
7 8 9 1.0. . อ- •. •_
18.28 0 ...
อ.
..
an 10.66 • • อ- - - ..
. ..
32 5 6.88 102.4 1 2 3I} อ { น ท
่ร์รู่ลัดำล็ปุฮ้ขู่ลัดำล็ปุ๋งู๋ฮ๊ืฉ๊ํง้ืฮู่ฏู่ยุ่ก้ขู่ลัดำล็ป่ํอุ๋ฮุอู่จัดำล็ป
ลำดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 13
5. ( )an = n 1+ (−1)n จ เน บ ออก an
วิธีคดิ .. - 25
-20 •
-15
n1 2 345 •i
-เอ
an 0 080 ii /
n6 2 -5 ำ i.อ i
8 9 1.0. . • .
7 •- .
16 0 20 1 ii.
ำะ i. . .
an 12 . . . .
.i...ini. '
←@อ. .. . อท
0 ••
2 345 67 8 9 10
6. an = 4− 1 ÷เ น บ เา an
2n
345 4-
วธิ ีคิด อ •.
3.875 3.9375 3.968 → •. . •- - - -- - - •- - - .. .. . . ..
8 9 1.0. . -
n1 2 3.996 3.998 3.999 .. .
an 3. 5 3.75 -2
n6
7 า-
an 3.984 3.992 1 1 1 1 เ 1M
01 2 3 4 5 6
7. an = 4(0.5)n−1 °เ น บ เา an
วิธคี ิด .. 4-
-3 \
-2
n1 2 3 4 5 -า ำ
o i.
an 4 .
2 1 0.5 0.25 •
.
.
.
n 6 7 8 9 1. 0. . .
-
-
•-
.
.
an 0.125 0.0625 0.0 3125 0.0156250.007825 . •.
..
... . •
•. . . - -
i า 3 kt "
8. 1 an = 2 n ° เ น บ เา an
3
..
วธิ คี ดิ 1- •- --- •. . . . • •. . . . .
0.5-
n1 2 3 4 5 • . .. - - - --
_
•-
.
an 0.66 0.81 0.87 0.90 0.92 .
n6 .
7 8 9 1.0. . .
•.
an 0.93 0.94 0.95 0.965 0.96 oา า ง <ำ t เ ' ท
เ
7 n
9. an − 4 n ° เน บ ออก an
3
= ..
- เอ i
วิธีคดิ 8- ii i
6-
n1 2 345 4- ii i
an - 1. 33 •
n6
1.77 -2.37 3.16 - 4.21 -2 ! ii.iii.ะ. .
• ri
7 8 9 ะ. อ. .
iii. ±a
i.ฮํ่ i. i i
•
an 5.61 -7.49 9.98 - 13.31 17.75 - -4 i.ฮํ่ i
I
→ .
+ -8 ii
→ ii
i.
f.- -12
14
่ืฮ่ีรำน์ุขุ๋ย่ํญุฮู่ลัดำล็ป้ขู่ลัดำล็ป่นุฮ้ขู่ลัดำล็ป้ขู่ลัดำล็ปุฮ้ต์ิรู่ลัดำล็ป
ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 14
2. จงใชท้ ฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลมิ ิตของลำดบั เพอื่ ตรวจสอบดูว่ำลำดบั ในแตล่ ะขอ้ เป็นลำดบั ลเู่ ขำ้ หรือเป็นลำดบั ลู่ออก
ลำดับ ลำดบั ล่เู ข้ำ ลำดบั ล่อู อก วิธีคดิ
ฑื๋1. an
= 8 tim % ✓ {lim = 0
3nn
→ ท→ ✗
ทาม
2. an = 8n ✓ หา าไ ไ
7n
3. an = (−1)n ✓ หา าไ ไ แ แ- -
...
4. 3 1 n lim (E)" 0
2
an = ✓ 3
✓ =
✓
ท→ a
5. an = 4 + 1 #lim 14 + 4
n
ท→ a °
6. an = 4n − 5 lim 4ท -5 = lim 4- 4
3n 3
ท→ ✗ 3ท ท→ ✗ 3
7. an = 3n + 5 ✓ หา าไ ไ
6
8. ?Kn+1 ( }↑lim 3
3= ท→ × 25
a =n n+2
5 52"
5.
3. ✓ =0
T.sn = 2
9. an = 3n2 − 5n ✓ หา าไ ไ
7n −1
→
10. an = 4n2 − 2n + 3 ✓ lim 4 #° ° 4
n2 ✓
+
=
ท→ a 1
11. an = 3n2 − 1 lim 3- # ?= -
10n − 5n2
ท → มอง -5 b
12. an = 1 − 1 / lim ท +1-n = 0
n n +1 ✓
✓ ท→ ค ท (ท +1)
✓
13. an = 2n−1 + 3 lim 2" " ๐
3n+2
ท→ ม +3
3ท +2 =
14. an = n −1 lim ด -1 1
n +1 =
ท → มา +1
15. an = 2n 4n2 −1 2 lim an = }
+ 3 n3 +
ท→ ม
16. an = 8n2 + 5n + 2 ✓ หา าไ ไ
3 + 2n
17. an = 4 − 16 + n 4 + แตก ✓ lim 1 = ๐
n 4 + กอด
-
•
ท→✗ 4+ แดด
18. n= n2 −1 ✓ £lim an =
an = 4n
ท→ a
19. an = 2 − 1 3 + 1 ✓ lim an 2×3 = 6
2n 2n =
ท→ ✗
20. an = n3 n2 ✓ liman
5n2 −1 − 5n + 1 =
ท→ ✗
้ด่ม่คัข้ด่ม่ค๊ํถ๊ว้ด่ม่ค้ด่ม่ค้ด่ม่ค
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 15
3. ประโยคตอ่ ไปน้เี ปน็ จรงิ หรอื ไม่ จงให้เหตุผล บ เา
(1) ถ้า an และ bn เป็นลำดบั ลูอ่ อก แล้ว an + bn เป็นลำดับลอู่ อก
(2) ถา้ an เป็นลำดบั ลูเ่ ขา้ และ bn เป็นลำดับลู่ออก แล้ว an + bn เป็นลำดับลอู่ อก
ตอบ ..(.1...).....ไ......จ.....ง................า........a..n....=...ท........แ..ล..ะ........b..n.....=.....-...ท..........แ.........a...n....+....b...n....=.....ท...-...ท.....=....0...... เ น
จ..(..2...)......จ.....ง..........(..ใ......ก..า.ร.............แ...บ..บ.....ด..แ.....ง.....จ..า..ก...ส...ส..ว..ท... .เ....ม....6..).......................................... ..........
4. กำหนดลำดับ P1 r n โดยที่ an คอื เงินรวมเมอื่ เวลาผ่านไป n เดอื น
12
an = +
P คอื เงนิ ตน้ , r คอื อตั ราดอกเบ้ียต่อปี
(1) ..จ....งท..l..หi..→..mา....ว..✗..่า..a..ล....n..ำ....ด....ับ=........ท..la..i..→m..n......ม..เ..µป......็น....ล..+....ำ....ดµ....บั ......ล.."..่เู ..ข......้า....ห....ร....ือ.......จไ..ม°..า.....่ก..............1....1....บ+..........#....a......n..1....7....เ..1......น..................ง....บ......น....|....อ....ท..อl....i→..กm........✗..*a......n..........=........ห......า........า....ไ..........ไ
ตอบ
(2) จงหา45 พจนแ์ รกของลำดบั ถ้าเงนิ ต้นเปน็ 100,000 บาท และอัตราดอกเบยี้ 1.25 % ต่อปี
วิธคี ดิ .......G......-.........1..0...0..,.0...0...0..C.....1....0...1..2....5..).......=..........1..0...1..,..2..5...0............บ..า..ท...................... ..........................
........9...2....=........1.0...0..,.0...0..0.....G........0..1..2....5..).2.....=............1..0...2...,..5...1..5.....6....2..... ..บ...า..ท..........................................
3
..................9..0....34......s=..................11....00......00....,,..00....0..0....00......C..G......1......0..0....1..1..2..2....5....5..)..)..4..........==....................11....0..0....3..5..,....,..7..0....9..9......ๆ..4.......0..5....6..2................บ..บ..า....าท....ท................#........ ...........................
...........................
5. บริษทั แหง่.หน่ึงมcงี บรายจ่ายปoกติของปแี รกอmยู่ที่ 2.5 พันล้านบาท แตเ่ น่ืองจากราคาน้ำมันท่สี ูงขน้ึ
บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยดั งบประมาณโด☐ยตัดจา่ ยลง 20 % ในแต่ละปี ไ บ 50% = §
(1) จงเขียนงบรายจา่ ยเมอ่ื เวลาผา่ นไป n ปี ๖ งบประมาณ
(G)วิธีคิด ..................0...h......=.........2......5.................."....................................................................................... ......
........................................................................................................................... .............................
(2) คำนวณงบรายจ่ายของส่ีปแี รกหลังจากถกู ตัดงบ
วธิ ีคดิ ..........q.......=........2..........น......า..น...บ...า.ท........................................................................... ...........................
...........a..z.....=.......1....6.........น......า..น...บ..า..ท............................................................................... .....................
..........9...3.....=.......1...2...8.........น.....า..น....บ..า..ท...................................................... ............................................
...........9...4.....=.....1.....0...2...4...........น......า..น..บ...า.ท.................................................................. ...........................
(3) ลำดับของงบรายจ่ายน้ีเป็นลำดับล่เู ขา้ หรือไม่
| § |ตอบ ............................<......1.........จ..ะ.ไ............l.i.m...........2.....5....(....§....).."..=......0............................ ...........................
ท→ •
ง น ายบ ของงบราย เ น บ เ า
้ขู่ลัดำล็ป้ีน่จัดำล้ันัด้ด้ลัพ้ลัพ้ลัพ้ลัพัร้ด่ีทูลัดำล็ปัดำล้ด่ม่ค้ันัด่ล้ยัข์นูสิพิร้ขู่ลัดำล็ป่ต้ถิร่ม
ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนันต์ 16
1.2 อนุกรมอนันต์
ถ้า a1 , a2 , a3 , … , ak เปน็ ลำดับจำกัดทมี่ ี k พจน์ จะเรียกการเขยี นแสดงการบวกของพจนท์ ุกพจน์
ของลำดบั ในรปู a1 + a2 + a3 + … + ak ว่า อนุกรมจำกดั (finite series) ในทำนองเดยี วกนั
ถ้า a1 , a2 , a3 , … , an , … เป็นลำดับอนนั ต์ จะเรียกการเขียนแสดงการบวกในรปู
a1 + a2 + a3 + … + an + … วา่ อนกุ รมอนนั ต์ (infinite series)
เรยี ก a1 ว่า พจนท์ ่ี 1 เรยี ก a2 วา่ พจน์ท่ี 2 ของอนุกรม เรยี ก an ว่า พจนท์ ี่ n ของอนุกรม
ตัวอยา่ งของอนุกรม
1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 เปน็ อนุกรมจำกัดที่ได้จากลำดับจำกัด 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
2 + 4 +6 + ... + 2n + … เปน็ อนกุ รมอนันต์ทีไ่ ดจ้ ากลำดับอนันต์ 2, 4, 6, ... , 2n , ...
1.2.1 ผลบวกของอนกุ รมอนันต์
ผลบวกของอนุกรมจำกัดหาค่าได้เสมอ โดยการบวกโดยตรงจนครบทุกพจนห์ รือโดยการใช้สตู ร
ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ
ให้ a1 , a2 , a3 , … , an เปน็ ลำดับเลขคณติ ซ่ึงมี d เป็นผลตา่ งรว่ ม
และ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an …………..( 1)
= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) …………..( 2)
หรืออาจเขียน Sn ใหม่ไดเ้ ป็น
Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1
= an + (an + d) + (an + 2d) + … + (an + (n – 1)d)
จาก (1) และ (2) จะได้
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) +(a1 + an) + . . . + (a1 + an)
n วงเล็บ
2Sn = n(a1 + an)
ดังน้ัน Sn = n (a1 + an) หรอื Sn = n (2a1 + (n – 1) d)
2 2
ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต
สำหรับอนกุ รมเรขาคณติ a1 + a1r + a1r2 + … + a1rn-1 ท่มี ี a1 เป็นพจนแ์ รกและ
มี r เปน็ อัตราสว่ นร่วม สามารถหาผลบวกของพจน์ n พจนแ์ รกของอนุกรม ไดด้ งั น้ี
ให้ Sn = a1 + a1r + a1r2 + … + a1rn-1 ..................( 3 )
และ r Sn = a1r + a1r2 + a1r3+ a1r4 + … + a1rn ..................( 4 )
จาก (4 ) และ (3) จะได้
r Sn – Sn = a1rn – a1
Sn(r – 1) = a1( rn – 1)
( )Sn = ( )Sn =
ดงั นั้น a1 r n −1 หรือ a1 1− r n เมอ่ื r 1
r −1 1− r
ลำดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 17
บทนิยาม กำหนด a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนกุ รมอนันต์
ให้ S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
.
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an
เรียก Sn วา่ ผลบวกย่อย (partial sum) n พจนแ์ รกของอนุกรม เมอื่ n เปน็ จำนวนเต็มบวก
เรยี กลำดบั อนนั ต์ S1 , S2 , S3 , . . . , Sn , . . . วา่ ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม
จากตัวอยา่ งอนุกรมอนนั ต์ จะได้11 1 1 1
4 8 16 2n
2
+ + + + ...+ + ...
S1 = 1
2
S2 = 1 + 1 =3
2 4 4
S3 = 1 + 1 + 1 = 7
2 4 8 8
S4 = =1 + 1 + 1 + 1 15
4 8 16 16
2
.
.
.
เพราะวา่ อนุกรมที่กำหนดให้เป็นอนุกรมเรขาคณิตท่ีมีพจน์แรกเปน็ 1 และมอี ัตราส่วนรว่ มเปน็ 1
22
และจากสตู รท่ัวไปของผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ
Sn = ( )a1 1− rn จะไดว้ า่ Sn = 1 1 − 1 n = 2n −1
2 2 2n
1− r
1− 1
2
ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมอนันต์น้ีคือ ,…1, 3 , 7 , 15 ,..., 2n −1
4 8 16 2n
2
และเม่ือหาลมิ ิตของลำดบั น้ี จะได้ lim Sn = lim 2n − 1 = lim 1 − 1 =1
2n 2n
n→ n→ n→
จากตัวอยา่ งอนุกรมอนันต์ 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... จะเหน็ ว่า 1 เปน็ ลิมิตของลำดับของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมน้ี
2 4 8 16 2n
จะกล่าวว่าอนุกรมอนนั ต์ 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... หาผลบวกได้ และเรยี ก 1 วา่ เป็นผลบวกของอนกุ รมน้ี
2 4 8 16 2n
พจิ ารณาอนุกรมอนันต์ 1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...
2) –1 + 1 – ... + (–1)n + …
ลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รมในข้อ 1) คือ 1, 2, 3, 4 ... , n, …
ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมในข้อ 2) คือ –1, 0, –1, 0, – 1, 0, ...
ลำดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 18
จะเหน็ วา่ ลำดับท้งั สองไม่มลี ิมติ จึงกล่าวว่า อนกุ รมอนนั ต์ท้ังสองหาผลบวกไม่ได้
บทนยิ าม กำหนดอนกุ รมอนนั ต์ a1 + a2 + a3 + … + an + …
ให้ S1 , S2 , S3 , . . . Sn , … เปน็ ลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี
ถา้ ลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ล่เู ข้า โดย → ∞ = S เม่ือ S เป็นจำนวนจรงิ
แลว้ จะกลา่ วว่าอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็น อนกุ รมลเู่ ข้า (convergent series)
และ เรียก S วา่ ผลบวกของอนุกรม
ถ้าลำดบั Sn เป็น ลำดับล่อู อก
จะกล่าววา่ อนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … เปน็ อนกุ รมลู่ออก (divergent series)
จากบทนิยาม การแสดงวา่ อนกุ รมอนันต์ใด จะเปน็ อนกุ รมล่เู ข้าหรอื อนุกรมลู่ออก ทำได้ดังน้ี
1) พิจารณาลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และหาสตู รทว่ั ไปของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรกของอนุกรม Sn
2) พจิ ารณาลมิ ิตของลำดับ Sn ถ้า lim Sn =S เม่อื S เป็นจำนวนจรงิ จะไดว้ ่าอนุกรมนน้ั เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้
n→
และมีผลบวกเทา่ กับ S ถ้าลำดบั Sn ไม่มลี ิมิต จะได้วา่ อนุกรมนนั้ เปน็ อนุกรมลอู่ อก
ตัวอยา่ งท่ี 9 อนุกรม 2+ 6 + 10 + ... + (4n – 2) + … เป็นอนกุ รมลูเ่ ขา้ หรือลูอ่ อก
ถา้ ลเู่ ขา้ ให้หาผลบวกของอนกุ รม
จว..ะ..ไิธ....ที ..ำ..............S........y..........=..........ต........ร....อ......[......ก......ร2....ม..(....2..เ....)ล......ข+........ค....C......n......-..ต..D........C......4....S..)..]....n..........=................ง......[......น...2.......9......£.....+..........-.-(.....ท.......l-...i..m.D.........d...S......].n.....................................จ....า....ก......ท......ฤ......ษ............บ.....ท... 1
มา............................................=....................2...................................................................................................................................................................=............ท.l...i..→.m...................2........................=...............ห......า..........า..ไ..............ไ............
........................................................................................................................ท...→.. ..ม...............................................
ต...วั..อ...ย..่า..ง..ท...ี่ .1...0.......อ.ถ..้าน.ล.กุ.เู่..ขร..้าม.ใ..ห..้ห..1า.3.0ผ..ล.+.บ.1..ว0.3ก.0.ข..+อ...ง1.อ.0.3น.0..กุ0..ร.+ม.........+...*1.0.3..n..+.0........3..°.เ.เ.ป.=.น.น็ ..อ.อ..น..ุก..ก.ร.=.ม.ร.ล.ม..ูเ่}.ข..า้..ห..อ.ร.อือ...กล..ู่อ..อ.#..ก......ก.5...|..r...=...µ.ฐ...า...น.5<..ท...า.......เ. น อ5ครม เ า
% #h...ว.....ธิ........ีท....ำ....ไ........ต................ร...._....ห........า....โ....อ........จ............ท....(ก........ร1............ม-............เ....#า....ร....เ....ข........า....น....)....ค....อ....................ต....ก............ร........ม....S............เด........ร........ข....=........า........ค............a............,....ต....(....1........-....1........-h............r........"....9.......).................=...........=....................l....i....m................แ.........ล...........ะS............n.........r................=.........................................................................................................................S................a.......................=........................................................
[.......................................=.....................#............1.........-............%...(..................1......-..........................................................................................................................................น...........................-............".....ท....l...i.....m.า............ง..............}.............G............-............................)...o....................=.........ห............า}.........บ...........................................................................
.....§........=........}....(...1...-.....I.a.....).................................................°.........เ....น...อ.....ก...ร..ม........เ..า..........ผ...ล....บ..ว...ก..อ......ก....ร..ม.....=........ง #
ุนีม้ขู่ลุน็ป่ัภู่ขุผุด๊ัฐูร่ันุ๋ว๋ืฐ๋ืฐ๋ํญิณุนูสีม่ัหีมิณุน็ป์ย้ขู่ลุน็ปุง่ีทูกู่ลุน็ป่ม่ค้ด้ท่ีทีฎ้ันัดูท้ดูดิณุนูส
#q = = 12 # ÷2- = ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 19
=
2
2
ตัวอยา่ งท่ี 11 อนุกรม 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรือลอู่ อก
1 2 23 34 n(n + 1)
ถา้ ลูเ่ ข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วธิ ที ำ
.............5.._....=......1....-...1....+.....(..1....-...3.....).....+....C...}.....-....E...)....+..............+....(.......-....#.....1...)....+........................................................
.............S...a....=.......1...-...#........#.......x........y..........-...#.....+.......................................................................................................
..............ร......=......1................................................................................................... .................................................
.
...................................°.................เ............น......อ..............ก......ร......ม..................เ........า........................................ผ........ล........บ.......ว.....ก.......อ..............ก.......ร.....ม..................S........_...............=................1.......................*...............................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................................................................. .
ตัวอย่างท่ี 12 อนกุ รม 1+ 1 + 1 + 1 + ...+ 1 + ...
2+ 1 3+ 2 4+ 3 n + n −1
เป็นอนกุ รมลเู่ ข้าหรือลูอ่ อก ถ้าลเู่ ข้าใหห้ าผลบวกของอนกุ รม
วธิ ีทำ
'
.............S..........=.........1.....+...........2...-......า.......+......B.....-.......2......+.........4....-...ง.........+............... ..+.........ท.....-....ก.............................
................ท.................................2...-..1....................3....-...2.................4...-...3..................... .............ท...-...(..ท...-.1..)......................
........................=.......✗........+.....A.......-.....✗.........+.....ส......3....-...../...2.....+....#...........-.............+...............+......r...n......-....I.....i.................
............................................................................................................................. .................................................
..........................=..........ช...ท...................................................................................... .................................................
..............•....°......o............................S........g....................=....................l..i....m................S........n......................=................l...i...m........................ท.................=..................ห.....า..........า..ไ........ไ................,.......เ......น....อ........ก....ร...ม...........อ....อ....ก.......................
................................................ท....→......ม.........................ท....→.....a................................. .................................................
ตวั อยา่ งท่ี 13 จงหาผลบวกสิบพจนแ์ รกของอนุกรม 13+ 232 + 333 + 434 +...+ n3n +...
3 - ณ ① จะไ .ว...ิธ....ีท..ำ....3........55......ท..........==................1..1.....-3....3....2....++......2......2.....3.....3....23......+..+..........34......-.....33....4..3......++......44..........33......5"......+.+.................................+..+..........ท.ท.........-...3..3.."."...."..................................................②.①..................................................................................
① ② จะไ .....-...2....S...ทn.....=.........1..-..3.....+.....1....3...2....+.....1..-..3...3...+......1...3...4......+................+.....1.....3.."....-.....ท......3..".."...............................................
£............-......2......5......ด............=....................3..h......+..อ..........3....า..2....+..T....3..อ..3......ด..+..........3......4ต..+......a........ษ.......+..........3ง...."....แ....ล-....ะ......ท.r.....=.......33....".....".......S.....ท......=.........9...-.......................................................................................................................
i.............................................SS................nท................................==............................§....[....3............(C............11....1....--........-....3....3....ำ....3........ำ................+................-....ญ................2ท........3"........-...."....3........"........"................]................_............................................................S.......S.....n........w...............=.....=...........................}.§..................._.-....................34_........".........".......................+........1....0................ท................2-........=3........"........3"....☐....................+.............1..........9..........4...-........3............"........................
๋ึถุวุ๋ท้ดิณุน้ด้ดูคู่ลุน็ป้ด่ม่ค้ข้ขัข้ข้ข้ข้ขุนีม้ขู่ลุน็ป่ีทุว
ลำดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ 20
ตัวอยา่ งที่ 14 จงหาผลบวกสบิ พจน์แรกของอนุกรม 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + ...+ n 1 + ...
3 9 27 81 3n
วิธที ำ
.......................S...n.......=.......1.......}......+...2.........อ......+......3.......ว..ะ....+.....4.......#.......+..............+.....ท....ร...ง..ท...................①............................
} ณ....①.....จ..ะไ..........ง....S...n......=......1.......}......+.....2......#......+.....3..............+.....4......¥.....3....+................+....ท... .-........+..า..............②...........................
① - ......①................................................................................................}......}..................S............า......S......n............n..............................==............=........................[......ง..................z}......G......า......1(............-+1น......-............-......อ}............¥......#%........................น......+......))......T..................า.....-#......-.......m.......................ท.............{.....+........ต..................(.....#a.......ท......µ...ษ......................T...+..................ง................n..........).........ล......................T......+...............ำ......ง............S......n%...............n...r............]...=.........=......=......}...............-...3......?...........................".........S......1ท.......n..-%......................-......f............µ......m)......2......9............-......¥............-...n.........[-..................3............s...น.........จ.......ะ.........................................................................................................................................
.................................................................-...µ....-..5.......=....-.ๆ.3...-...2.°...................=......}...-... .[ไ..........-................[.........¥........°..... #
ทฤษฎีบท 5 กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราสว่ นร่วม
ถ้า r 1 แลว้ อนกุ รมนเี้ ปน็ อนกุ รมลู่เข้า และมี S เปน็ ผลบวกของอนุกรม = 1
1−
ถ้า r 1 แลว้ อนกุ รมน้เี ปน็ อนุกรมลู่ออก
ตัวอยา่ งที่ 15 อนุกรม 16 + 12 + 9 + ... + 16 3 n−1 + ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรอื ลู่ออก
4
ถา้ เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าใหห้ าผลบวกของอนุกรม
วิธที ำ
....................อ......ก...ร..ม..................=.....1..6........แ..ล..ะ.....r.....=......}..........เ....น...อ......ก...ร..ม.....เ.ร...ข..า..ค.......ต..........................................
......จ......า...จ...ก......ะท...ไ......ฤ.........ษ..................บ.........ท.........S...............5.....=......................1......1l..-....r2.........§......1.........L.....................1.....................เ............น.........อ.........S.........ค......=...ร......ม.........6............4..เ..........า...............*........................................S.................=.....................→................................................................................................................................................
....................................................S................=..............1..6..........×..............................................................ต....อ......บ..............เ.........น......อ...........ก.....ร.....ม..............เ......า.......................ผ......ล......บ.....ว.....ก.......ข....อ...ง....อ...........ก......ร....ม.........=.........6........4.. *
ตัวอย่างท่ี 16 อนกุ รม 1 − 2 + 4 − 8 + ... + − 2 n−1 + ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้ หรอื ลู่ออก
3 9 27 3
} ญื่ {ถ้าเป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ ใหห้ าผลบวกของอนกุ รม ÷ = -23
}÷ 1 = - r=
r=
.ว.จ..ิธ..า..ีท..ำก........ท......ตฤ....ร..ษ....ว....จ....สบ......อท....บ............า5......เ......น......อ..I....r......ก..1..ร..<....ม....1....เ..ร......ข....า....เค......น......อ..ต........กห......ร....มอ..ไ............เ......า.......แ....ล.....ะ....r...........=...............S...÷......G..=.......}.....).¥....=..........r.......×.....}............±........}....................................................
.จ..ะ..ไ..................1..-...}....1...<...1..............................S......=.......§............................................ .................................................
## §.....................S...S..................==...............................................................µ..................................................................................................................ต......อ......บ.....................เ............น.........อ...............ก........ร....ม.....................เ...........า...............................ผ.........ล.......บ........ว......ก.........อ...............ก.........ร......ม............=..........................................*....................................
ุนีม้ขู่ลุน็ปำค้ดีม้ขู่ลุน็ป่ีทีฎุยุย่มืริณุน็ป่วุนีม้ขู่ลุน็ปำคุ้ย้ดุทีม่ขู่ลุน็ป่ีทีฎิณุน็ปุอีมุน่ว๋ิห๋ัง่ืฅุง่ย่ัตู้ทิกุนืห่ิต่ัฅ้ดูค
ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 21
ตวั อย่างท่ี 17 อนกุ รม 2 + 8 + 32 + 128 + ...+ 22n−1 + ... เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้าหรอื ลู่ออก
3 9 27 81 3n
§ § §ว..ธิ..ีท.ำ........ต...ร..ว..จ...ส..อ...บ.......r......=.........×....}........=.....§..............r....=...3........+...........=..................r.....-..............×............=........4..3........
..จ..เ....า....นก......ท..อ......ฤ....ก..ษ....ร....ม........บเ....รท....ข......า......ค..5............ต..........l....r......l........>........9....1............=......เ........}น......อ..............ค.แ...ร..ล..ม...ะ............อ.....อ..r...ก.......=.........4....3.......:........อ............ก.....ร....ม..............เ..........น.......อ............ก......ร.....ม................อ.....อ.....ก..........☒..
............................................................................................................................. .................................................
ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาผลบวกของอนุกรม 5 − 3 + 5 − 1 + 5 − 1 + ... + 5 − 3 1) + ...
{a. = 2 2 4 2 8 4 2n
r= n(n +
§ว....ิธ....ที ..ำ................S..............=..................เ......+..น......5อ.._..4........ก..+..ร....ม......E..เ..g..ร....ข+......า.......ค..............+..ต..............S......_..+......=........#.....1........-..............[........}..........+........อ....!......ก....+..ร....ม......¥เ....ศ....+ษ.............ว.....น...........+........{..................แ......,........+.....................]..........
น ☒........................................==..........55........[..[........1....2......+......1........+........น........+..]...........-........3..+........[....I(....n1......-..t....1........).....].+......µ....-..........[...;...).....¥.+.......§....+......-.§.....1...3...)....++..................]...4.........+........................+.............................µ......,......+....................]..........
............................................................................................................................. .................................................
.....................=.............5.....[.....1....].....-...3......[...1...)..........................................................................................................
.....................=...............5...-..3........=.......2.......*.............................................................. .................................................
............ง.....น..........อ.....ก..ร..ม........เ....น...อ.....ก...ร..ม........เ...า...........ผ...ล...บ...ว..ก..อ.....ก...ร..ม...=.....2.......*.... .................................................
ตัวอยา่ งที่ 19 ปล่อยลกู บอลจากความสงู 6 เมตร ลกู บอลกระดอนขนึ้ มา 75 % ของความสูงเดิม
วาดรปู
ffghn: ไCคnenel6เมตร
ในแตล่ ะครง้ั จงหาระยะเคล่อื นที่ทั้งหมดในแนวตง้ั ของลกู บอล
น อ กรมเ น เรขาค ต
++ +
< . ..
9=2 5ก = 42 .ะ =
<,
วธิ ที ำ ☒
......S.......=......6.....+....[..6.....(..3...-..4....).+....6....(..E.....)...]...+.....[....6...(..3..-..4..)..ำ.-....6.....(..3..-..4..).2..].....+....[....6. ..(.3..-..4..)3....+...6.....(...24....).3...]....+.............]...
.............=.......6....+.....1...2.....(...E.....)......+.......1.2....(...E.....)...2....+.......1..2....(...2.4...)..3...+.......................S......=.......6....+....3....6.........=........4....2..... เมตร
| เค อน..........................==..............6..6........+..+........1....1..2..2........[[..........32....4........+]..........¥............+..........................+...........................]......................................................................ต....อ......บ............ร....ะ..ย......ะ..........................................ง....ห......ม....ด.......=...........42 เมตร*
ตวั อย่างที่ 20 จงเขียนทศนิยมซ้ำ • ใหอ้ ยู่ในรูปเศษส่วน
0.6
§วิธีทำ .................0......6..°.....=..................=........}.............................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
ตัวอย่างท่ี 21 จงเขียนทศนิยมซ้ำ •• ให้อยใู่ นรูปเศษส่วน
5.4 2 7
[ 4) [ ¥ ] ¥ว..ิธ..ที .ำ............................................5.............4........2..................=................5..................4......2...9...7..9......-0............................=..................5......................................................=................5........................................*.........................................
ึง้ัท่ีท่ืล๋ิห๋ํญีมิณุน็ปู้วุ๋วุนีม้ขู่ลุน็ป้ีนุน้ันัด๋ัซู้ว่สุนิณุน็ป๊ิฎุ่วู่ลุน็ป้ีนุนู่ลุน็ป่ีทีฎีมิณุน็ป๊ิญุ๋ห้ัญ
ลำดับอนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ 22
แบบฝึ กหดั ท่ี 1.2
1. จงหำลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้ และอนุกรมใดเป็ นอนุกรมล่เู ข้ำหรืออนุกรมล่อู อก
(1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 1 n−1 + ... ✓ เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ เป็ นอนุกรมลู่ออก
2 6 18 2 3
วิธีทำ S1 = 1 , S2 = 1 + 1 = 2 , S3 = 1 + 1 + 1 = 13 ,
2 2 6 3 2 6 18 18
(Sn = 1 1 1 1 1 n−1 = 3.3n −1) และ r = 1 < 1 นั่นคือ s 1 3
2 6 18 2 3 44. 2 4
+ + + ... + 3n 2 = 1 1 =
− 3
ดังน้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคอื 1 , 2 , 13 ,..., 3n −1 ,...
2 3 18 4 3n
(2)เรขาค 4 + 3 2 n−1 ✓ เป็ นอนุกรมล่เู ข้ำ เป็ นอนุกรมลู่ออก
¥เ นอ 3+2+ 3 + ... ท = 3 + ... 9
rวธิ ีทำ }
กรม ต a.=3 และ ไร
..S....z......==....3....5..........................5......ท........=......3..........(......11..-..-....}..(..3......)...."........................................จ....า....กS....ท..a..บ......5..=..............l1..r..-3..l....}..<......1..........=..เ........น..3.อ.......×..ก....ร}....ม..........เ....า........5........=......1............................
.5...3...=...1..............ไ.......=....9.....G.....-....③......ำ.............................=........9............................................................
............................................................................i.......เ...น.อ....ก..ร..ม......เ..า........ผ...ล...บ..ว.ก...ข..อ.ง..อ.....ก..ร..ม....=.....9.......
ดงั น้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคอื ....3....,..5.......,.....1.§......,.............,.....9..C...1..-...§...."..).....,........................................
mne
(3) 1 + 5 + 25 + ... + 1 (5)n−1 + ... เป็ นอนุกรมล่เู ข้ำ ✓ เป็ นอนุกรมล่อู อก
2 2 2 2
วธิ ีทำ .5..1....=....±................ไ.....=.....±....[....11..--....55."...]...................จ..า.ก...ท..ฤ..ษ......บ..ท.....5......อ....ก...ร..ม...เ.ร..ข...า..ค......ต......."...1..7...1........
.{......=....3......................÷...........1.."........".....................เ.....น..อ.....ก...ร..ม.......อ..อ...ก................................................
..8..3....=................................................................................................................................................
ดังน้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคือ......}......า.....3.....,....น.......................,.-...§....(....1..-....5.."...).....,...................#............
..กำ1..2ร5..ม....2+เ..ร..ข..==..า..ค−......}41..1ต4..........+....a..18.....s...+..{n..........=j.....r+..±....-#..(..−c....2..12..1n..))n..-n..−....1Ee..-..+..:ไ....)......ำ...=........%-......................จ......า......ก..✓..q..........เ..ป..=็..น......อ...±.น..บ..ุก....รก....ม....ล....่เู..ข..แ..5้ำ....ล......ะ....@..............r..ก......ร=เ..ป..ม..็ น......อCเ....นร..-..ุก..ข..1ร....าม..)....ลค..่..ูอ....อ....ก....ต................
ทฤษ(4) นอ
เ
วธิ ีทำ
ใน # {..5..3....=.....}............ำ......=.....{..-..}....G....-........."...)............เ.....น...อ......ก...ร...ม.........เ....า................S.......=...........→...............
}...............................=.....}....แ....-............"...................................................=..............×.............=.........}...........☒
........................................................................................................
} I. § }ดังน้ัน{=ลำดบlั iขmองผSลnบวก=ย•อ่ ย2ของอนุกรมคอื "
G- C- 1) ), งา - - -
,. .. *
ท→ ม 3
ีม้ขู่ลุน็ปีมิณุน่ีทีฎำนีมิณุน็ปู๋งู่ลุน็ปิณุน่ีทีฎุนีม้ขู่ลุน็ปุ๋ง้ขู่ลุน็ปุงิณุน็ป
ลำดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ 23
(5) อ กรม เลขค ต เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ ✓เป็ นอนุกรมล่อู อก
2 + (−1) + (− 4) + ... + (5 − 3n) + ...
|วิธีทำ .....q.......=....2............แ...ล..ะ.......d.....=....-...3.................5...ด.....=...........[.....7...-...3...ท..]................................................
......GS......n......-..=-........ๆ............[..[........22....G..9..)....+..+........G(......ท..-.......ก1......)....dC......-..]3....)....]..........................S..........a............=..........ท....l..i..→..m......•............1............[......7......-......3....ท....]................=..........ห....า........า......ไ..........ไ..............
ดังน้ัน ล.ำ..ด.ำ.บั..ข..อ..ง.=.ผ..ล..ๆบ...ว..ก.[.ย.อ.่ .4.ย.ข..-อ...ง3.อ..ทน...ุก.+.ร..ม3..ค.].ือ...........2..........,...1..........,........-.......3.............,..........................,.............7......ด........-..2.....3.......................ง......-.....-...-..................................................
(6) 3 + 9 + 27 + ... + 3 n + ... ✓เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ เป็ นอนุกรมล่อู อก
4 16 64 4
วธิ ีทำ ..จ....เ..า....ก..น......ทอ....บ.........ก..5......ร....ม........เl..ร....r..ข....l..า....ค....4..........ต................เ........น......อq..........ก..=....ร......ม..............เ........า....แ....ล......ะ..........%..r........=..........<..}..}..................................................................................................
...........5.......=..........9...1............................................................S...z....-.....}....+.....%........=.....¥...........................
¥....จ......ะไ......................5............=..........1....-..¥......r..................................3..................................................................................%......................2.........+..........£....................%................=..............................................
% อาญาดงั น้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ย1ข-องอ34-นุกรมคือ.................................1..1..1...........→.............3......h......1....2...4....)."...].....,............
(7) − 1 + 1 − 1 + ...+ −1 n + ... ✓เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ เป็ นอนุกรมล่อู อก
10 100 1000 10
วธิ ีทำ .........=....t..o......................................................เ...น...อ....ก...ร.ม...เ..ร..ข..า..ค......ต.........G....-....-...§.......แ...ล..ะ.....r..±....#.........
{....ำ....55........3....2........=....=....=........-%........¥¥....................+[............+1....¥เ........-....◦............-....t....o........n#=........]................1................¥........-....¥....1........=............4-............§-................#....................]....................จ........า........ก....S........ท........บ........s.....=........5........=................%....1............-l1....9....r..-..E......../r............#....<....................แ=1........ท............น....เ........-........น........าอ....................กS........ร........ม............*....................'เ............า........................................................
อา อ #ดงั น้ัน ลำดบั ของผลบว1ก-ยอ่ EยขEอง)อนุกรมคอื ..-....อ......i..................-.................................-..#.....[....1..-..........].........................
( )(8) 5= 0 + 3 + 8 + ... + n2 −1 + ... = D เป็ นอนุกรมล่เู ข้ำ ✓เป็ นอนุกรมล่อู อก
ไวธิ ีทำ ...5S5.........23,......==...=......0...31......1....................................S.........ท...............==...............ท......2...(......ท............+......1...3...)66......(......2.........ท-.........5+.........1...ท...).........+...............ท...............................................................5......0............==..................lท...li...ทi...m...m→...→............a...S...a......2...n..............................3...6..................-............s.........n..................=...... หา า ไ
ดังน้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคอื ....0....,..3.....,...1..1...,.............,.......2...........3.......-...5....ท......,..................................
6
้ดำท้ด่ม่ค้ทำท้ทำท่ัท่ัท้ัอ่คีม้ปู่สุน็ปีมิณุน็ปุร้ด๋หีม้ขู่ลุน็ป๋ิฎีมิณุน็ป้ทูท้ด่คูทิณุน
ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ 24
( )(9) −1 + 0 + 9 + ... + n3 − 2n2 + ... เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ เป็ นอนุกรมล่อู อก
{วธิ ีทำ S......i....-..1..........................................=.......[..ท...C......."...]..2...-....2....[...ท....C..n..-.แ...วเ..(.2..ท...+...ก...]...................................
5....2...=...-...1..........................................=.......ท..4...+..2...........ท...2...-.......2...... ...3.......+...ด........................................
§..ำ............=..=........8..I......C................i..?............2......i....}....................................=..........3....................-....4....2............1....2........9..............-......4........ท........3..................................................................................................
ดังน้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคือ....-....1...,..-....1...,..8......,.............,....3......-..2.......-..9........-..4...ท......,...........................
12
(10) เ นอ กรม เรขาค ต
✓เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ เป็ นอนุกรมลู่ออก
100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103−n + ...
fynnวิธีทำ ....5S......2..,......==......1..1....10......0..0........................................ำ................=..............1....0......0..........(..1....-..1....-..#........#................)............................................................=......................................................j......l....r......l......<.. 1
ำ..5...3....=....1..1...1.............................=.......1.......0.....[....1...-....I..n......].......................{.......=..........1..1-..0.%..0.....).....=........1..0900
........................................................................................................................................................
§ดงั น้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคือ...1...0....0....,.1...1...0....,.1...1...1....,..............,....1.0........[....1..-............]......,.....................
(11) 1− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ...+ (− )1 n−1n + ... เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ ✓เป็ นอนุกรมลู่ออก
วธิ ีทำ ..5S........z..,....=..=..........-1....1....................................%......................2..................................................................ย..........................ห......า............า....ไ..............ไ.......................................................................................
.........=.......2........................................................................................................................................
ดงั น้ัน ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคือ.....1.....i......1....,..2.....,...-...2.......,...............,...C...-..1...).......ท........,...........................
.
บท
ทฤษ อ กรม2. จงหำผลบวกของอนุกรมตอ่ ไปน้ี ใ 5 บ เรขาค ต
(1)5 = 4 +1 + 8+1 + 16 +1 + ...+ 2n+1 +1 + ...
9 27 81 3n+1
ท +1
§ § ¥ } µ าวธิ คี ิด ...S......=......[..........+.........ๆ......+...............+...............+.......................+..........]....+.....[....{.....+...........+...........+............+.........+.+.. ].
[ ;] 1 -31......5..............=..........................................¥..........................................'....................................................................................................S............=......................8........+........1..................................................
..............................................................................................................................6............................
[ { }....5.......=..................................].....+.......[...........×....;..-....].......................ˢ...........................=........................ *
........................................................................................................................................................
§ อ....5........=..........................+..................................................................................................................
ุ่ว๋ํห่ว่ัติณัดำลุน่ีทีฎ้ช๋ิต้ด่ม่คูงุอูริณุน็ป้ทํท๋ท้ทำท๋ท้ทำทำทุ๋ต
ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ 25
(2) S3 +3 3 3 3
2 + 4 + 8 + ...+ 2n−1 + ... =
วธิ คี ดิ ...5..........เ....น..อ.....ก...ร..ม...เ.ร..ข..า..ค......ต...........q.....=.....3...........แ..ล..ะ...r...=.................................................................
....จ..า...ก..ท...บ.......5............l..r.....1...L......1........เ.....น....อ.......ก...ร...ม..........เ....า.......แ...ล..ะ......S.......=.......-............✓................
? }........5........=................±.............=.......3.........×............=.........6......................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
( ) ( ) ( )5(3) = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... เมื่อ x เป็นจำนวนจริง
2+ x2 2+ x2 2+ x2 2+ x2
วธิ ีคดิ อ กรม 21×2 ¥.....S.............เ.....น......................เ.ร...ข...า...ค.........ต...................q.........=..........................แ...ล....ะ......F.....=..............×.. 2
จะไ .........จ......าs.........ก.........ท.........=...บ...............................51......a......-...............r...............1............r...............1............<............1.................................s...เ............น.........อ=.....................ก.........ร2.........ม...+......1.........×............2เ............า...'.....................2...2.........+...+............××.........2...2.........-.........1.....................................................................
แทน า ¥.........5........=..........................................................=...................1..........................................................
า............................1....-..........................................................×.....2...+...1...................................................
2
........................................................................................................................................................
3. จงเขียนทศนิยมซ้ำต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วน
(1) 0. 2̇ 1̇ = 21 ÷(2) 0. 6̇ 104̇ =
qq
(3) 7.25̇ 6̇ = 256-2 (4) 4. 3̇ 87̇ = 4 387
7 qqo 999
254 (6) 2.999... = 2-9
= ๆ 990 q
=3
(5) 0.073737373...
= 0.07
= 73
990
ํง่ีห้จ่ค้ด้ขู่ลุน็ป่ีทีมิณุน็ป้ขู่ลุน็ปู่วีมิณุน็ป
ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 26
4. จงหำคำตอบของสมกำร 1+ x + x2 + x3 + ...+ x n−1 + ... = 2
3
วธิ ีคิด ..........ผ......ล......บ........วS......ก......อ....=..........ก......ร......ม......1......a-........า5..r............=............}......................เ..........น....อ..2........-..ก......ร..2....ม....×....เ..ร......ข=......า....ค..3..............ต................................=..........1............แ......ล....ะ............r........=.... ×
ง.......................=.....................1.................................2....-...3............=........2...✗.............................................
........................................า...-....×.......................◦...°..◦............×..........=.......-....}...............☒.............................
...2....(...1..-...✗...)......=..............3..................................................................................................................
5 จงหำ a1 และ r เม่ือ a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + ... + a1r n−1 + ... = 3 a,= a , และ r r ①-
2 _
. ..
q ②= 9 า
และ a1 − a1r + a1r 2 − a1r 3 + ... + ( )− 1 n−1 a1r n−1 + ... = 3 และ r r= - .. .
4
} ปวธิ ีคิด จ...า...ก....ส....ม...ก...า...ร...①.......................=........=.......p...............ด................2.....9.....+.....3......r.....=.....3.....................⑦........
} # ป.จ..า...ก....ส...ม....ก...า...ร....②.......................=.............................ด...............4.....G.......-.....3....r.......=.....3......................④......
ไ |③ + ④......................จ........ะ......................................6............9..........=..........6........................................................"....."...............................2........(....1......)......+..........3..............r..........=..........3............................................
.......................................q.......=......1...............................................r.....=......3.................=.......}..................
........................................................................................................................................................
..........ต.t...อn...บ................9......=......1..............แ...ล...ะ........r......=.......}.................#.................................................
6 ถำ้ ลำกส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมจุดก่ึงกลำงดำ้ นของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัส จะไดร้ ูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสใหม่
ดงั รูป
2. 5 ง
¥122252.5ำ
1) ถำ้ รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสรูปแรกมีเสน้ รอบรูปยำว 20 หน่ว2ย
รูปส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสรูปที่สองมีเส้นรอบรูปยำวเทำ่ ใด
ʰ 2 | 2) ถำ้ กระบวนกำรเกิดรูปใหม่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสเกิดข้นึ
อยำ่ งตอ่ เนื่องไมส่ ้ินสุด ผลบวกของควำมยำวของเส้น
อา1 " รอบรูปของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท้งั หมดเป็นเท่ำใด
อ กรม ปวิธีคดิ ..........................ค...ว..า..ม...ย...า..ว...เ......น....ร..อ...บ..........1.①.......=........2....0....+....1...0....ร...2....+....1...0.....+....5.....ร..2.....+................
อ กรม §..S....................เ..........น........................................เ....ร......ข......า....ค................ต......................................5..............=........................1......2..-......0..........................................................................................................
................q........=.......2....0.....................................................................................................................
}....แ...ล...ะ........r.......=........................................................=..........2....0....×......2............'.....2....+.....R.....................
.............S.........=.............9......1....................................................2...0......(.2...2-....R.+.....ร..2.....)2...+.....R..ห.........ว...ย....... #
1- r
่นีม้ขีมิณุน็ปูร้สุน้ข้ดูรัจูรัจุอีมิณุน็ปุนีม
ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ 27
7 รูปสำมเหลี่ยมดำ้ นเท่ำรูปหน่ึงมีดำ้ นยำวดำ้ นละ 10 นิ้ว รูปสำมเหลี่ยมดำ้ นเท่ำรูปท่ีสองเกิดจำกกำรลำกส่วน
ของเสน้ ตรงเชื่อมจุดก่ึงกลำงดำ้ นท้งั สำมของรูปสำมเหลี่ยมดำ้ นเทำ่ รูปแรกและรูปสำมเหล่ียมดำ้ นเท่ำรูปที่สำมเกิด
จำกกำรลำกส่วนของเสน้ ตรงเช่ือมจุดก่ึงกลำงดำ้ นท้งั สำมของรูปสำมเหล่ียมดำ้ นเทำ่ รูปท่ีสองและสร้ำงรูป
สำมเหล่ียมดำ้ นเทำ่ เช่นน้ีเรื่อยๆไป จงหำผลบวกของควำมยำวของเสน้ รอบรูปของรูปสำมเหล่ียมดำ้ นเทำ่ ท้งั หมด
ถำ้ กระบวนกำรน้ีเกิดข้ึนอยำ่ งต่อเนื่องไม่สิ้นสุด
วธิ คี ิด ...................................................5.......=........3.....0.....+.....1...5.......+.......7......5.......+........3.......7....5.......+....................
±...จ......................5......ฆ°......ึ...่...2...51...•.×....0............°......5................อ........................................................................S........................เ.........q......rน............0.........t...น...=............ก............ร3......%1...บ......05.........เ......ร.........ข............า......=...ค..............................ต........................................................................................................................
........................................................................................................................................................
อ กรม ¥F.......................S........เ......น.............................เ.....า....................S..........=...................................................
........................................................................................................................................................
น ¢.........................5..........=......................................-..............6.....0.....................ว.......................................
........................................................................................................................................................
8 เรือไวกิ้งเป็นเครื่องเล่นชนิดหน่ึงในสวนสนุก จำกจุดซำ้ ยสุดถึงจุดขวำสุดตำมส่วนโคง้ ขณะแกวง่ ยำว
75 เมตร ถำ้ กำรแกวง่ คร้ังใหม่จะส้ินลง โดยมีระยะเป็น 3 ของระยะเดิม อยำกทรำบวำ่ หำกไม่มีกำร
5
หยดุ กะทนั หนั เรือไวก้ิงจะแกวง่ ไปมำต้งั แตเ่ ร่ิมจำกจุดสูงสุดเป็นระยะทำงเท่ำใด
(G) (1)วธิ คี ดิ ................S........=...........7....5.....+.........7...5.......................+.......7...5...................2.....+........◦...◦....◦........................
[ (E)(E)..................................................=....................7........5............................1........+................3......5............+..............................ำ..............................................3......+.........................................]....................................
[ #......................................................=..........................7........5..........................................................................]..............................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
.............................=..............7....5..........[......1.....✗......§.....].........................................................................
........................................................................................................................................................
¢..............................=................1....8.....7.......5...................เ..ม....ต.....ร.............................................................
........................................................................................................................................................
้ิน้ิสีม้ขู่ลุน็ปีม่ึหิณ็ป
ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 28
9 ถงั บรรจุสำรพิษซ่ึงเก็บไวใ้ ตด้ ินเพ่ือใหย้ อ่ ยสลำยตวั เองเกิดรอยร้ำว จึงทำใหส้ ำรพิษแพร่กระจำยซึมผำ่ น
เน้ือดิน ในเวลำหน่ึงปี สำรพิษดงั กลำ่ วแพร่กระจำยไปไดไ้ กลเป็นระยะทำง 1,500 เมตร เม่ือส้ินปี ที่สอง
สำรพษิ แพร่ตอ่ ไปไดอ้ ีก 900 เมตร และเม่ือส้ินปี ท่ีสำม สำรพษิ แพร่ต่อไปไดอ้ ีก 540 เมตร
1) ถำ้ อตั รำกำรแพร่กระจำยของสำรพิษดงั กล่ำวเป็นเช่นน้ีไปเรื่อยๆ
อยำกทรำบวำ่ เมื่อสิ้นปี ท่ี สิบ สำรพษิ ดงั กล่ำวจะแพร่ไปไดไ้ กลเท่ำใด
2) สำรพิษดงั กลำ่ วจะแพร่กระจำยไปไกลถึงโรงเรียนซ่ึงต้งั อย่หู ่ำงจำกจุดฝังถงั บรรจุสำรพษิ ออกไป
4 กิโลเมตร หรือไม่ จงอธิบำย 9
(G)วิธ(คี ิด1) .5....=....1...5...0....0.....+.........9...0...0......+........5....4....0......+......................+........1...5...0...0.................................................
10
} ⑤ำ §...........................=..............................1.........5.........0.........0.........1......(...-.........1...............-...............................................................................................................................................................(.........2...............)..................................................................=..........................................1...1.........5-.........0.........0.........
(g)...........=...........1...5...0...0....................[.....1....-.........5...9...0....4...9............]................................=...........3.....7...5.....0.. เมตร
.....................................................................9....7...6....5...6....2...5...............................ส...า...ร.......ษ....แ....พ......ก...ร...ะ. จายไป
............=..............3.....7.....2....7.......3.....2.....5............เ..ม....ต...ร.....*..................................ไ............ง....โ...ร...ง....เ.....ย...น..
10 ผลบวกของพจน์แรกและพจน์ท่ีสองของอนุกรมเรขำคณิตคือ −3 และผลบวกของพจน์ท่ี 5 กบั
วธิ คี ดิ พ..จจ....น..า....ท์กโ....ี่..จ6......ท..ค......อื ........−....aq..1..3..6.....r....G"..จ....G..ง(..+..ห..1..+ำ+....ผ..r9..rล..)..2)..บ=....=..ว..=-..ก-....3ข..3....อ....ง..........8....①.......พ.⑦......จ....น......แ์ ....ร....ก..g..ข....g..อ....ง....อ=....น......ุก....-..ร....ม2....น....C..้ี ....1......-1......-..±......(....2........)..ำ............=..9........5......+..-......9..3....เ.........9=........ำ8......อ.. *
ำจ...ะ.ไ.............r....=......1.2...........แ...ล...ะ.......r...=....-....±.......................=.......-...6......G......-....(..E.....)........=.......-....3.......9....8.... #
.แ...ล...ะ.........q........=......-...2........แ...ล..ะ.....q......=.....-...6...........................................1..+.....±.....................................
........................................................................................................................................................
11 แบคทีเรียกลุ่มหน่ึงขยำยพนั ธุ์โดยเพ่ิมข้ึน 20 %ในแตล่ ะชวั่ โมง ถำ้ เดิมมีแบคทีเรีย 1,000 ตวั
จงหำสูตรที่ใชใ้ นกำรหำจำนวนแบคทีเรียในเวลำ t ชวั่ โมง และเมื่อเวลำผำ่ นไป 10 ชว่ั โมง
St %)วิธีคดิ จ..ะ..ม...ีแ..บ...ค..ท...ีเ.ร..ีย..ท...้งั..ห..ม.=..ด..เ.ท...ำ่.1.ใ..0ด...0...0......(.......'..............ᵗ.............=............1..0...0....0...C......1......2.....)ᵗ........................
........................................................................8................................................................................
%................................=.........1...0...0...0....C.......1......2....)..................=..............6......1...9....2.............ว........#................
........................................................................................................................................................
ัตูร้ด์ยีรึถ่ม่ริพูย
ลำดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 29
1.2.2 สญั ลักษณแ์ ทนการบวก
เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรม จะได้ตัวอักษรกรีก เรยี กว่า ซิกมา เป็นสญั ลักษณ์แทนการบวก
อนกุ รมจำกัด n = a1 + a2 + a3 + … + an และ อนกุ รมอนันต์ ai = a1 + a2 + a3 + … + an + …
ai
i =1 i =1
ตวั อยา่ งเชน่
1) 5 แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52
i2
i =1
2) 4 แทน (2 1−1) + (2 2 −1) + (2 3 −1) + (2 4 −1)
(2k −1)
k =1
3) 1 แทน 1 + 1 + 1 + 1 + ...+ 1 + ...
2 4 8 16 2n
2n
n =1
4) แทน (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + … + (n + 3) + …
(i + 3)
i =1
ตัวอย่างท่ี 1 จงแสดงว่า 10 = 30
3
i =1
วิธีทำ 10 = 3+3+3+…+3 (มี 10 จำนวน) = 30
3
i =1
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 4
(i2 − i +1)
i =1
วธิ ีทำ 4 = (12 – 1 + 1) + ( 22 – 2 + 1) + (32 – 3 + 1) + (42 – 4 + 1)
(i2 − i +1)
i =1
= 1 + 3 + 7 + 13 = 24
ตัวอยา่ งท่ี 3 จงเขยี น 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์
วธิ ีทำ 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = 2 1x + 2 2x2 + 2 3x3 + 2 4x4 + 2 5x5 = 5
2ixi
i =1
ตัวอย่างที่ 4 จงแสดงว่า 10 = 2 10
2(i2) i2
i =1 i =1
=10 = 2(12 + 22 + 32 + … + 102) = 10 i2
2(i2 ) 2
วธิ ีทำ
2 12 + 2 22 + 2 33 + ... + 2 102
i =1 i =1
10 10 10
ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแสดงวา่ (i + 3) = i + 3
i =1 i =1 i =1
10
วธิ ีทา (i + 3) = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 +3) + … + (10 + 3)
i =1
= (1 + 2 + 3+ … + 10) + (3 + 3 + 3 + … + 3)
= +10 10
i3
i =1 i =1
ลำดับอนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ 30
ตัวอย่างข้างต้นสอดคลอ้ งกบั สมบตั ิต่อไปน้ี
n = nc เม่อื c เป็นค่าคงตวั ผลบวกของอนุกรม
1) c
i =1
n n n n(n +1)
2
2) cai = c ai เม่อื c เป็นค่าคงตวั i =
i =1 i =1
i =1
n nn n n(n +1)(2n +1)
6
3) (ai + bi ) = ai + bi i2 =
i =1 i =1 i =1
i =1
n nn n n(n +1) 2 n i 2
2 i =1
4) (ai − bi ) = ai - bi i3 = =
i =1 i =1 i =1
i =1
ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลบวกของอนกุ รม n
วิธที ำ
(i2 − i +1)
ดังน้นั i =1
n (i2 − i +1) = n i2 - n + n = 2n(n +1)(n −1) + n
i =1 i 1 6
i =1 i =1 i =1
=
n(n +1)(2n +1) - n(n +1) + n = n(n2 −1) + n
62 3
= n(n +1)(2n +1) − 3n(n +1) + n = n(n2 −1) + 3n
6 3
= n(n +1)(2n +1− 3) + n = n (n2 + 2)
3
6
n = n (n2 + 2)
3
(i2 − i +1)
i =1
ตัวอยา่ งที่ 7 ถา้ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 153 แลว้ จงหำ n
n
................................=............I........=..........1..5...3.....................ท....(...ท...+....1..).....=.......3...0...6................................... .................
................................i..=....1....................................................ท.....G.....+....1..)...=........1..7..C....1..8...)............... .............................
......................................................ท........(......ท2......+........1....)....................=....................1....5........3................................◦....°..._...................ท..........=.........1......7.............*...................................................................................................................
ตัวอยา่ งที่ 8 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรม n
...............[.......(...2...i..+....5..).2....=.......£........(...4....i.2..+......2..0....i.. (2i + 5)2
i =1
.+...2....5...)...................................................................................
..............i...=..า.............................i.=....1.........................................................................................................................
.................................ำ..........=......4.....[...ท...(..ท...+...1..)..(..2...ท...+...1.)..]....+......2...0....[...ก...(..ท...+...1.).]......+........2...5....ด..................................
.....................................................................6...........................................2............. .................................................
................................................................5......2......๐..............=............4........[........2......0.......(.....2...6.1....)......(......4........1...).....]..........+..............2......0........[......2......0.....2...(....2......1....)..]...........+.............2......5......[......2....0...].....................................................
.................................S....2...0......=.........1...1..,.4...8...0....+...4...2...0...0....+...5...0...0.........=.........1..6..1..8...0.. .....☒............................................
..............................................................................................................................................................................
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 31
ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลบวกของอนุกรม 12 + 34 + 56 + ... +(2n – 1)2n
................................................S.........n...............==.....................Ei...ท...=.........1......(④......2.........i...2......-...-......1...2...)......i...(...)......2.........i......)........................................................................................................................................................................น...........................=.=..........................4...4.....................................6.........3...............+...........2-.........3...ทท...............-.........3... -3ท
...............................i..-..1........................................................................................... ..........................3.......................
.........................=.......4....[...ท....(..ท...+...1..)..(...2..ท...+...1..).]....-.......2.....[...ท...(...ข.า..+...1..).].......................................................................
..................................................6............................................2............................... .................................................
.........................=.........§.....[...2.............3......+...ด....]....-.......[.......+...ท....]................................ .................................................
............................................................................................................................. .................................................
45 .de..............ำ................=..............i.....................+..............5....4.............a......t......................3..........+........................เ....ๆ..........+...........-...-.....-.......+........".........."..4........."......."........."........."......ว..................ะ..........ะ.."............=........÷.................÷.................÷....÷....
¥ตัวอยา่ งท่ี 10 n 4 §1- ¥
จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรม =
3)(4i
(4i − + 1) .
i =1 .
.
.
...............=......(..1..-...1...5...)..+....1...15....-....#......+.....µ.......-.....µ......+.....1...§.......-............+....-...-..-......+...#...............-...1....m......s....).................
[............น..................=................1......-............4..............า............................................................................แ......ล......ะ..................น......................................l....i....m..................S.... ..n..............จ......ะ....ไ......................§..............=..........l....i....m..................1 ]
..............................................................................................................ท....→......✗........................................ท....า....ม......
£ ¥.......S...2....อ....=........1...-...................=........8...1.8..-.1.1......=....................................................... ............................=......1........☒.......
+ 5) = Sn
512ต...ัว..อ...ย..่า..ง..ท...่ี=...1..1...z..1..2..จ..(ง..ห.4..า..ผi..ล3...บ.-.ว..ก..3..1..F2....พ-...จ..2น...แ์ i..ร.+.ก..ข...อ5..ง.).อ..น...ุก..ร..ม........i.=n.1...(.4..i..3..−...3..i..2..−....2..i.
.................................................
..................................=............4..i......=(......1..เ..2..4....(....1....3....)....)....?..............3......(......1....2......(......1..63......)....(......2....5......)..).......-......2..........(......1...2......2(....1...3....)..)...........+........5..........(....1...2...)................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
.................=..........2..4...3...3...6.....-......1..9...5....0.....-......1..5...6.....+.....6...0.......................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
.................=.=..........2....2....2.....9....0................................................................................ .................................................
ต...วั..อ...ย..า่.=.งท..ท...ี่..(.1..22....i.2..+..จ..ง.i.ห..-.า..ผ1..ล.)..บ.=.ว..ก...ข..อ2..ง...z.....2i...2+...+.9....+.z...2..0i...+..-.....1.......(+...ก.(.2.)..n..2...+....n....–...1..).... .................................................
...........I..=...1.............................=.........2...C.....ท.....(..ท...+....เ.)....(..2...ท....+....1...).)....+........ท.....(..ท....+...1..)......-.....ท................ .....................
...........................................................................6................................. .........2.........................................................
.............................................=..........2...............3........+.....ท......+...........+....ท.....-....ท............ .................................................
...................................................................3................................2.......................... .................................................
.............................................=........4..............เ..ข...า..2...+...2....ท.....+....3..........+....3....ก.....-...6.....ท..................................................
...........................................................................................6.................................. .................................................
=4
9 ท-
6
้ทำท้ทำท้ท้ทำท้ด่ทู๋ฆ๋ัภ้ต้ทำท้ทำท้ต้ทำท้ึย
ลำดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ 32
แบบฝึ กหัดที่ 1.3
1. จงหำคำตอบ
(1) 10 = ......6...4....5..........................................................................................................................
(i + 2)2
i=1
(2) ( )20 = ...2....9....3...0.........................................................................................................................
i2 + 3
i=1
(3) 5 = ...1...1..5.............................................................................................................................
i2 (i − 2)
i=1
§(4)
6 k + 4 = ........+....§.....+.........+.........+.....{.....+..............................................................................................
k=1 k +− 1
(5) 10 − 1)3 = .......2....0...2....5..........................................................................................................................
(i
i=1
2. จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้ ท
(1) 1.ำ...4.....7=...+...2.i£..=..51..[.i.8.3..++...3..q..6.i..2..9+...1+.8..4..i..].7....1..0...+...........+...n..(..n...+...3..).(..n...+...6...)..+...........=.....S....n.......=......zi..=.o...1..i...C...i+....3...)...C...i..+...6)
วธิ คี ิด
..%........=......[...1..¥0........].....2...+.......9.....[...1.(.0.1..%.....-...2...1...)..].....+....1...8......[....1.T.0..(..1..1..)..]...................................................
..............................................................................................................................................................
...........=.........3...0....2...5.......+......3...4....6....5......+.......9...9....0..........=.........7....4....8....0.......☒..............................................
(2) S .. 1(2 + 3)+ 4(4 + 3)+ 9(6 + 3)+16(8 + 3)+ ...+ n2 (2n + 3)+ ...
10 10
วธิ คี ิด S....SW..2....0..==............Ii..2..=..l..1..[..i......2..1..0..)..{....(1....12..)....]i....+..2..+..3....)......3....=..[........1i..I0..=....(า....1..(1..62..)..(..i....23......1+..)..3..]......i....2..=..)............6......0......5......0........+............1..1....5......5..............=..............7......2......0......5..............☒............................................
..............................................................................................................................................................
5(3) = 12 + 32 + 52 + 72 + ...+ (2n −1)2 + ...
วิธคี ิด S...ด......=......iE.ท.=...า...(..2...i..-...1..).2.....=......i£.=...า...(...4...E......4....i.+....1..).................................................................................
..............................................................................................................................................................
S...1..0...........4.....[....1.0..C...".6..).(.2.."...]......_......4......[....E.......f.....]......+......1...(..เ.อ..)...............................................................
..................1..5....4...0......-.....2...2....0.....+......1..0....................................................................................................
..........=..........1...3....3...0................#................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
ว๋ัภ๋ิ
f)i 11 + = i -แสลำดนับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ 33
S(4) [ i +1]
11 + 1 + 21 + 1 + 31 + 1 + 41 + 1 + ... + n1 + 1 + ... =
. 1 2 3 4 n
.
วิธคี ดิ ..5.....ห......=................(.....i...+.....1..).....=.........1..0........1..)....+.....1....(..1..0...).....=........5....5....+....1..0.......=.......6....5.......................
[..............................................................................................................................................................
..ำ...........=........i..=...า..(.....i...+.....1...).....=......ท.....(...ท..2..+....1..)...+....1.....G.....)......=............+....ท...2...+..2...ท......=..............+..2..3....ท.......
..............................................................................................................................................................
ไ.S............=.......l.i..m..........S....n.........=........l.i..m...............+....3....ท..........=........ห...า.......า..........ไ.............เ.....น...................... ออก
อ กรม......0..............ท...→......a......................ท...→......ม..............2....................................................................................
3. จงหำผลบวกของโจทย์ข้อต่อไปนี้ 99 i )( i +1) = ( iำ- i)
IE(1)5 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + ...+ n(n +1)+ ...+ 99 100 = ( i =1
,
วธิ คี ิด ....S......=................(..i...2..+.....i...).....................................................................................................................
i= 1
..............................................................................................................................................................
...........=........9...9....(....1..0..6.0..)....(....1..9....9....)....+..........9...9...C..2...1..0..0...)........=.........3....2...8....3....5...0......+.......4.....9....5....0..........
................................................................................................=........3....3....3....3....0....0.........☒.........................
(2)5 = 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + 4 5 6 + ...+ n(n +1)(n + 2)+ ...+10 1112
วธิ คี ิด .S......=........i.=...1.....i.c....i..+.....1..)..(...i..+....2..)......=.........i..=...1..(....i..3..+...3.......+....2....i..).........................................................
...............................................2...............................................................................................................
[ ] [ ] f { ]S.......=...............1...0...C.2...1..1..)................+........3...........1..0...(...1..1...).6...(...2....1...).............+.........2............1._.0.......".................
..............................................................................................................................................................
S........=..........3.....0....2....5......+..........1..1...5....5......+........1...1..0...........=...........4....2....9.....0........☒........................................
4. จงหำผลบวก n พจน์ และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
(1) n1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + 1 − n 1 1
2 2 3 3 4 n +
i=1 i(i +1)
#SSnด == ...1....-.......{......+......{......-.....}......+......}.....-......¥......+...............+.............-........................................................
=oร ...................................................................................................................................................
== ......1...-.......-...................................................................................................................................
า5
ด •
8S2200== ......1....-......................=............2...1...............=...........T2....0......................................................................
=* ...................................................................................................................................................
่ิห่ัต่ท่ีท้ัข๋ึยืย๋ึย๋ัยู่ลุน็ป้ด่ม่ค้ท้ท้ทูหู๋ญู้ญ
ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์
¥ มา Iq E.S = + 34
+ 1-+
+ - -- -
_ 1
(2) n1 = 1 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + 1 − 1 1
2 3 3 5 5 7 2n −1 2n +
i=1 (2i −1)(2i +1)
SSnn == .......[....1...-....}.....+.....}.....-....§.....+.....§.....-.....{.....+...............+....2..ท.1..-..1.....-.......2...1ท...+....1.....]...................................
Sn = ....{..............[........1......-...........................+.....1..........]..............................±............[........2.....ท.....2..-....ท..1....+..-....1....1........]............=....................2......ทท........+........1............................................................................
=
%S20 == ...........2.......1...2...0..2...)...0....+........1....................=....................4.2.......10..............................☒............................................................................................................................................................................
=
(3) n 1 == 11 1 1
2.3.4 + 3. 4- 5 + +
i=1 i(i + 1)(i 2) 1.2.3 + ท (ท+1) Cn+2)
+ .. .
SSnn == .................2....-.......2..!..3...).....+...........3....-........4...)...+....1...3...!.4.....-.....I......5..)..+.....-.-..-...+.......า...ท...+............(.........แ...ก+
= ......{............[..........1....1.....2........_............(..ท........+......1......)......1(......ท......+......2......)......]....................................................................................................................................................................................
=
%S20 == ±..........[......{......-..........1............]......... .....{......[...2....3..4....16...-.2...1....].....=..........4....6..5.2.................#....................
21.22
= ...................................................................................................................................................
5. จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
(1) 5 =1+ 2 2 + 3 4 + 4 8 + ...+ n2n−1 + ...
.......ำ......=......1...+.....2..-...2...+....3...-...4...+...4......8.....+..............+.....(..ข..า..-...1.)..-..2..้.....2...+......ท.......2.."..."....... .......①.............................................
①✗2 ....2...5....ท...=.............1.....2....+....2......4....+....3......8.....+...............+.....(..ก...-..1..)..-..2.."....".....+.....ท.......2..ท..................②...........................................
① ②- ..-......S...n....=......1...+.....1....2....+......1.....4....+...1......8.....+...............+.......1.....2..."...I.........ท.......2..."............... .................................................
........--........ำ..5......ท........==............1....1..+..C......22...."..+..-......41....)..+...._....8......ท......+....-..2....."............+..........2......"...."....จ....ะ..ไ.._........ท.............2..%.."..........=............-......2...."......+........1........+..........1....0.......2.. .."................................................................................................
①×} _ -
①-② .............................2...-..1..........................................................=......-..1..0...2..4....+..._.1..-.+.....1..0...2..4...0.........................................
........ำ........=........-...2..."...+....1....+.....ท.......2..."....................................=............9....2....1..7......☒...... .................................................
(2) 5= 1 1 + 2 1 + 3 1 + ... + n 1 + ...
5 25 125 5n
............§......5..ำ....ด......=..=..........1...........§........+..............21..........น..§..............++..........3......2........#..................++............................+".......(...(.ท...ท.....-.-...1.1...))............#5........า................++.............ท..ท.....-......#....น......+....า..................-....-....-..①..②.............................................................
......4.5...ำ......=........}......+...2..1..g.......+....#..........+..................+......1...g.......-......ท........t.g...n..m................. .................................................
า %..................§............8.........ท............=..................}............1...G......-......-.........}............ม............า...........................-..................ท...........................................+......า...............................................................%...........................=.....................%.....................[...........1.......-...............................◦...........]................-........................5.............................i.......................................
ำ................=.............[....1...-.............].....-......5...".ท...+..1........................................%......-......%.... ¥.........◦.....-.......".[.....5...."..................
% E.= - 5"
ุ่ศ๋ํหุ่ว่ว่ว้ด่ีท้ัท่ทู่วู่ว่ท่ว่ฑ
# # ntii( 3)S
=
1- 1 + [ +1 3- 1+ + - ลำดับอนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 35
--
๖* ☆
(3) 5 = 2 −1+ 3− 2 + 2 − 3 + ...+ n +1 − n + ...
1 2 2 3 3 2 n n+1
า¥ ##.....S....n...-........1...-..............+......#.......-.....i.........................#......+..............+............................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
#................5................ม........0........=....=............................1....1............--................................t....ช....ด....1........แ........T....................................................................................................................................า..........................................................................................S....S............ข........................=.=...................ท......l........li..→....i..m....m..............................S.......(.........n........1..............-........................................................)........................=............................1........................................เ................น
อ กรม
............=............า.1.I..-.......1.......=.......1..1....แ-....ก...............☆........................°.............ท....→......ม.... ................................................. เ
า ☒
6. จงพจิ ำรณำว่ำอนุกรมต่อไปนเี้ ป็ นอนุกรมล่เู ข้ำหรืออนุรมล่อู อก
ถ้ำเป็ นอนุกรมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรมน้นั
(1S) อ ย ± ± d-e=
−(n−1) 1+ +
+ 3 4+ + ++ -- -
= .. .
_า
n=1
วิธีคิด ...เ....น..อ......ก..ร..ม....เ.ร..ข...า..ค......ต..อ......น...................q.....=......1......แ...ล..ะ......r.....=...±..........เ...น..อ.....ก..ร..ม.......เ...า..................
...จ..า..ก..ท..บ......5.........1..M.....<.....1.............S.......=....-..§.............จ..ะ.ไ...........S.....=......1..-1...±......=.......e..@..................*...............
........................................................................................................................................................
(2)5 ( )−1 2 r = -2 = -2
= T
(n−1) (n−1) 1 + C- 2) + (4) + C- 8) + 16 + = =
= .. .
2
n=1
วิธคี ดิ .....เ....น...อ.....ก...ร..ม....เ.ร...ข..า...ค......ต....อ......น...................9.....=.....1..........แ..ล..ะ.....ท....=.....-...2.........................................
....จ..า...ก...ท...บ........5..........l..r...l....>.....1..........เ....น...อ.....ก...ร..ม.........อ..อ...ก.................................................................
........................................................................................................................................................
(3)S % % % % 9 + +
= n=1 100n
= 2 4+ 3+ .. .
| #วิธคี ดิ ....เ........น......อ..9..........ก=......ร....§ม........เ..ร....ข......าแ....ค..ล....ะ........ต..r....อ....=........น..#........................................................จ....า....ก....S..ท......บ..=...........5....→............l....r......l.....จ...<..ะ..ไ......1..........S......เ....=..น......อ..........¥ก......ร....ม............=..เ......า...... ☒
......................................................................................................................................1..-...อ.............
§ §5 5 § + ++
(4) = n = + + - -- + -- -
( )n=1
n +1
วธิ คี ดิ ........S................=..............5..........[..................2..........+........................3..........+............±..........4........+...........................+............ท..........1..(......ก....→....................]......................................................................................
ทำ.............=.......5.....[....1....#..........+../....±.....-/....}......+.../...ง....-.....K........i................+............-............า...]........=.......5....[.-.....-1 ]
น..........................l.i.m.........S....n..........=........l..i.m............5.....[...1...-..............]......=.......5..............☒..............................
ท→ ม ท→ม
้ัร้ัก๋ัฏ้ดีมีม้ขู่ลุน็ป์ตันิณุน็ปู่ลุน็ปีม่ีท์ตันิณุน็ป้ดีม้ขู่ลุน็ปีม่ีท์ตันิณุน็ป้ขู่ล้ขุน็ป้ข่ท๋ัท่ัชู่ช่ีท
ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ 36
#(5)
วิธคี ดิ
.n.=.S1...n..=.22.(..nn1..1.++.-..11..).2{...2..=)...+....ทµ....=...-.1..}...2[.)....+....l..}...ะ...-..1...4...2..)..+............]....................................................................
...S......=......1.........................................................................................................................................
....เ....น..อ......ก...ร..ม........เ....า.......................................................................................................................
........................................................................................................................................................
(6) 1 − 1 = S
n=1 n n +1
วธิ ีคิด ..5....=....1......#..........+...#........#.........+...#.........#........+.........................................................................................
........................................................................................................................................................
...5....=.......1..........................................................................................................................................
..i..........เ...น..อ.....ก..ร..ม......เ...า......................................................................................................................
(7) § ง4 n+11 + + .. .
=
5n +
n=1
วิธีคดิ ..เ...น...อ....ก..ร..ม..เ..ร..ข..า..ค.....ต...อ.....น.............q......=....1§........แ.ล..ะ.....r...=......4.5................................................................
..จ..า..ก..ท...บ......5...........l.r...l..<......1......เ...น..อ.....ก..ร..ม......เ...า....................................................................................
¥..........5....=.......na...r........จ..ะ.ไ..........S.....=..................=.......¥....×..........=....1..6.....☒....................................................
.............................................................§...........................................................................................
?(8) 1 [ ]2 = S
n=1 4n2 − 1 = (2ทาง (2 ท +1)
#วธิ ีคิด ......S.....................=.....................{............[.........[............าา......?-...3...#.........+...............}.............i#...s............+...............}.............7............+.............#.................]...............#.....................................................................].................................................................................4...............7........................ร...............1...4.............5...-............
.........=.........{....................•..%....5......เ....น...อ.....ก...ร..ม.......เ...า.....☒..............................................5........................
÷ %(9) =
∑∞ =1 4 = S
(4 −3)(4 +1)
¥ q ¥วิธีคดิ ........................................................................................................................................................
...S........=................5.......+...................+................3......+................................................................................
........................................................................................................................................................
15 § { {-13...S........=...........1...-...........+..............-...........+........................+......................................................................
S= 1 i. 5 เ นอ กรม เ า *
้ขู่ลุน็ป๋ัย้ขู่ลุน็ปู่ว่ีทู้ผ้ดีม้ขู่ลุน็ปีม์ตันิณุน็ปู๋ห้ขู่ลุน็ป้ขู่ลุน็ป้ืตึย
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 37
แบบทดสอบ : ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
คำส่ัง ใหน้ ักเรียนแสดงวธิ คี ิดสั้นๆและเลอื กคำตอบที่ถกู ต้องเพียงข้อเดยี วเท่าน้นั
1. ให้ m เป็นจำนวนเตม็ บวกที่นอ้ ยท่ีสุดท่ีทำใหพ้ จน์ที่ m ของลำดบั เลขคณิต 2, 5, 8, ... มีค่ำมำกกวำ่
1000 จำนวนในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นตวั หำรของ m
1. 67 2.111 3. 166 4. 167
2,5จาก 8 ... Gm > ขอออ 9m:- 9 = 1001
3
,, 3 ทา -1 > 1000 = 34
ำ = 3m -1 ~ 334 ¥ #๓ 3 16 7
_
ฐ__m > 1000 _
9_nrs¥i[2=(0หC1 aาi++2(2ทi.)."อ=dถ)ก_]24iำ2้ร=อ0ล1ม1(.ำเaaลดiiข-บั3+ด+0เส2ลiดข)2คi22°=ณเ1ทiิตzำ่ กiasบั 1 ข,ม#าอa้ 2ใ,ดaต3่อ,…2ไ.ป-น15้ีมีพจ6นห1์ทอ่ี 1=0qแ-ล=1ะ9=qพจo-น34-์ท. 19่ี911°051d5เป=+็=น4---31219490แล+ะ2-374หา4=ต.ำdม28ล0=ำดบั -แ3ล4ว้ =-3
¥ อg_m |= [2(8) +19(-3)] + (2 2 = 10 ☒
¥3. สำหรับจำนวนเตม็ a, b ใดๆ ให้ (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ A = {1, 2, 3, … 400} 8
=
จำนวนสมำชิกของเซต { x A (x , 40) = 5 }มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ¥ = 40
1. 30 2. 40 3. 60 4. 80
{ } { //× EA CX 40) = 5 = } { }/- ×GA 51✗ และ 2 / rx
40 = 23×5 ,
× EA 5
( 4,40) = 5 ⑦ /5 ✗ และ 2 / ✗ 10,155 400, , ,. . . 4° 10,20,3° 40°
= 80-40 = , .. .
.
*
สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n ≥ 4 กำหนดให้ an = n4 +1 2
13 + 23 + 33 + ... + n3
[ ]ทC4.
3 -แง
=i = _
ลำดบั an เป็นจริงตำมขอ้ ใดต่อไปน้ี =
1. มีลิมิตเป็น 1 2. มีลิมิตเป็น 2 3. มีลิมิตเป็น 4 4. เป็นลำดบั ล่อู อก
lim ฑื้ท→ a = lim 4 ( + 1) = 4
(ท +1) 2
+ แ2 ท→ • *
_
5. ถำ้ an = n2 + n +1 และ bn = 2n − 5n แลว้ ลิมิตของลำดบั ท่ีมี
3n2 + 1 5n + 9
พจนท์ ่ี n เป็น an – bn + anbn มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. -1 2. - 1 3. 0 4. 1
limbn 3 lim 225ท
liman lim + ท+1 *
= = 5" +9
ท→ ม ท→ 83 +1 ท→ ม ท→ ม
}= -1
ง น hm (an- bn + anbn ) = lim ( } +1 + (3) C-D) = 1
ท→ a n →ม
้ันัด้ท้ท้ท๋ทำทุทุน๋ิว
ท= 7
จาก 7+15+23 + + an = 217 7+15+23+31 +39+47+ลำ5ดบั 5อน=นั ตแ์ 2ล1ะอ7นกุ รมอนนั ต์ 38
.. .
7
ว นน 123 4 56
_
6. กำหนดให้ n เป็นจำนวนเตม็ บวกท่ีทำใหผ้ ลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 15 + 23 + ...
2n + 2n+1 + ... + 22n
28
2. 128
มีคำ่ เท่ำกบั 217 แลว้
ำำ1. 127
มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ซ {= " r≠ 1
3. 127.5 บาง
27 28+29 { +2614
4. 128.5
+ +2 = 1+2+4+ + เ นอ กรม เรขาค ต ±9 = r= 2
.. . า
.. .
Sg { 1)(1-28)ฐ ±=
(= 2 = 256-1 = 127.5
_
1- 2 2
7. ถำ้ a1 , a2 , … เป็นลำดบั คอนเวอร์เจนต์ และมีลิมิตเป็น 1 แลว้ อนุกรม
a1 +☐• (an +1 − an ) เป็นจริงตำมขอ้ ใด
n =1 •-
1. มีผลบวกเป็น a1 2. มีผลบวกเป็น 0
3. มีผลบวกเป็น 1 4. เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
ำ= G+ ( G- G) + (93-92)+(94-93) + + (an - an a)
.. .
Sn = an ใง น m Sn = liman 1
=
ท→ 0 ท→ 0
§ถำ้ c เป็นจำนวนจริง ซ่ึง − 2 n−1
แลว้ c มีคำ่ เทำ่ ใด ( )lim 3n − 2
( )n→
3cn3 − n2 +
2n + 1 3
¥ §เTง f8. cn ==
i =1
§c-- = ÷1 <
แ=
+
£ {" =
C- 2 C- 2)
=
ไป าi.-เ (352 (3)ท _
1. 3.4 2. 4.8 3. 5.2 . 4. 6.1
t})" + ] เน 5
. ..
{ } § อ กรมt= - + - เขา จาก งาน
2 อ กรมเ น เรา 5
=
] =-
[Ii g. } 35= - -
._
☐§+ } =
T'
9. สำหรับจำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให้ Mn = 1 n แลว้ an = det(Mn)
−n1n
n + 1
แลว้ lim an เป็นจริงตำมขอ้ ใดต่อไปน้ี
n→
1. มีคำ่ เป็น 0 2. มีค่ำเป็น 1 3. มีค่ำเป็น 2 4. หำค่ำไม่ได้
det ตท = (G)(ท+1) - G) limfniliman
= ]= 1+1 = 2
(ท + 1) +1 ท→ ✗ ท→ a
=
10. ถำ้ อนุกรม 1 + 2x + (1 22x )2 + 23x +… มีผลบวกเท่ำกบั 9 แลว้
1+ 2x + 2x (1 + 2x )3
TA
r
G- 1
_ อนุกรม log2x – (log2x)2 + (log2x)3 - (log2x)4 + … เป็ นจริงตำมขอ้ ใด
r = Ifp
1. มีผลบวกเท่ำกบั 1 2. มีผลบวกเท่ำกบั log2 3
1 + log 2 3
1 − log 2 3
3. มีผลบวกเท่ำกบั log2 3 4. เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ 4
log fog dog log_
จากทบ 5
.
อ ส1+ log2 3 2
มาราด
dog,3) +
ไจากทบ 5 จะ ด 3 3) + . .. ?
3) _ 2
2
× qslogzเ นอ กรม เรขาค ต และ r =
9 = 1+2
9 = E-¥y
×
8=2
2= ✗
-=
๋ํหุ๋หิณุน็ปักุน้ดุว่ีท่ีทมู่ลุน็ป่ีทุน็ป๋ัภุ้ญ๋วุ๋ย้ันัดู้ริณุน็ปูส
ลำดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 39
11. อนั ดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมอนนั ตใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นอนั ดบั คอนเวอร์เจนต์
1. = 1cos n 2. = 1(2n − 1) 3. ค = 1(− 1)n 4. = 1 1
n 2 2n
n n n
- 1+1-1+1 -1 + ท=1 ท=1 Inlim 9ท = lim =0
.. .
อ กรมไดเวอ เจน อ กรมได เวอ เจน 1_ า + 1- 1-+ ... ท→•
ท→ ม
12. ขอ้ ควำมใดต่อไปน้ีเป็ นจริง อ ได เวอ เจน เ นอ กรม คอน เวอ เจน
กรม
F 1. อนุกรม 1 + 1 + 1 + 1 + 1 เป็ นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
2 22 23 24+... 2
ถำ้ 0 แลว้ อนุกรม 2 3 + ...เป็ นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
# กF 2. ซ่ึง a 1+ 1 + 1 a a + 1 a a 23
1+ a + + #)"
อ ไ= = +( (f)+ +
n กรม เรขาค ต จากทบ 5 .. .
.
a =1+ a
¥ # £#T 3. a + 1
4. n=1 =a
GF | µ3
1 2 3 4 = =×
2 3 4 5
In + In + In + In + ...เป็ นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ " < ใวจ_ำ
ถำ้ an เป็นลำดบั คอนเวอร์เจนต์ ซ่ึง lim แลว้ hancn1n+ สำหรับคำำ่ ท=ุกคำ่ ขแองว 0 < lncms
n→
Srrln an = 0 1ทา 0 +1) n ไ*
# Sn = limsn = lim
- -
Ix } & §( × ×× ×. . . (ท แ →• ด→ •
Sn = ln #) lnน = - ไ= หา า
13. ลกู ปิ งปองตกจำกโตะ๊ สูง 4 ฟตุ ถำ้ ทกุ คร้ังที่ลูกปิ งปองตกกระทบพ้นื จะตกกระดอนข้ึนเป็น
ระยะทำง 3 ของควำมสูงท่ีตกลงมำ ระยะทำงท้งั หมดท่ีลกู ปิ งปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นก่ีฟุต
ทโhn 5=4+214 CZ)) 4
.
1. 16 ฟุต 2. 24 ฟุต 3. 28 ฟุต 4. 32 ฟุต
(E)2C4 2) +
+ . ..
[= 4+8 [ } + ]- = 4+8(3)
(}) ]3 = 4+8
} = 28
++
. ..
14. ขอ้ ใดกล่ำวถกู ตอ้ ง
F 1. ถำ้ a1 + a2 + a3 + ...เป็ นอนุกรมเรขำคณิตและ Sn = n ak แลว้ lim Sn หำค่ำไดเ้ ลย
F 2.
n→
F 3.
k =1
T 4.
ถำ้ an เป็นประพจนท์ ี่ n ของลำดบั ซ่ึงมีพจน์ an+1 an สำหรับทุก ๆ n แลว้ ลำดบั น้ีเป็นลำดบั ไดเวอร์เจนต์
ให้ an เป็นลำดบั ซ่ึงกำหนดโดย an = 1เมื่อ n เป็ นเลขคี่ และ an = n +1 เม่ือ n เป็นเลขคูแ่ ลว้
n2 + 3
an เป็นลำดบั คอนเวอร์เจนต์
1+ 5 + 12 + 22 + 35 + ... = 45
3 32 33 34 8
15. นำยอiอ.มทรัพยน์ ำเงินไปฝำกธนำคำรออมสินเดือนแรก 100 บำท เดือนถดั ๆ ไปเขำฝำกเพ่มิ ข้นึ เพิ่ม
8
เดือนละ 100 บำท ทกุ ๆ เดือน ธนำคำรออมสินดอกเบ้ียไม่ทบตน้ ในอตั รำร้อยละ 0.20 บำทต่อเดือน
%= i.เ อ
เม่ือครบเป็นนำยออมทรัพยจ์ ะมีเงินรวมเท่ำกบั
" 1. 1,527.20 บำท 2. 7,872.80 บำท 3. 8,127.20 บำท 4. 9,436.00 บำท
นน 100+200+300 + . . . + 1200 = ¥ [เออ + 1200 ] = 78 00 บาท
ดอกเ ย [ ) # 7) อ*× ](1200) (1) =
1(เอว)(12) + ( (200) (แ + +( 72.80 บาท
. ..
% ¥ § ⑤ § ¥ ¥+2 + 1
(12+22+30 + +1 2) = ( 364)
+ + = .. .
...
้ีบ้ติห๋ืห๋ืห้ัฃ้อ้ัห๊ืงู๋ฑุ้หุ้จ้ด่ม่คุ่ทุด้ล่ีท๋ึยิณุน์ต์รุน็ป์ต์รุน์ต์รุน์ต์รุนิฬ
ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 40
lim bn( an + )
%{ น
16. กำหนด พจน์ท่ี n ของลำดบั สองลำดบั ดังนี้
= (1+2+3+⋯+ ) และ = √3 +2−√3 +1 = +
3(12+22+32+⋯+ 2) √ +2−√ +1
l i→m∞( + ) มคี า่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ ¥±= + #
1+ 1 3. 1+ 1 1
2
√3 2 √3
§1. ไ rภื๋ฐ2. 1 + √3 4. + √3
Gn = [" ] น= ดE + ☒ า-2แตก
.
ท - •
อ า3ท+Tน + ต+1
:( ][3 ทอ +
ท (ท + 2mn
โE + ปดT = กตz + ntif
_ 3ท + 2- 3ท - 1.
nfnte + า+าำ nดE + นาโ
= ท + 2-ท -1
4ท = 2ท3+3 +ท 1 เมื่อ n = 1 , 2 9,92 1,1
17. กำหนดให้ = −2 + 2 เม่ือ n= 3, 5, 7, ...9,95,9 ,. ,... 9 3,5 ๆ 101
หา , ,.. .
2 −2 เมอ่ื n = 4, 6, 8, ... 2492,4, 8,
%94,96,9g , . . . ,
S101 = ∑ 1 =011 . .. ,
มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ ◦
1. 50(51) + 250 − 1 2. (51)2 + 250 − 1
3. 50(51) + 249 − 1 4. (51)2 + 249 − 1
%1 . . +101] + [ 2+4+8 + +249 ]
= 1+1 + [ 3+5+7 + .. .
[2%1] +25 2+2?= 2 + [ 5 (3+101) ] +.
° (51) 1
= 50(5 2)
2600 2601-1 = 2 600
18. ข้อความใดต่อไปนี้เปน็ จริง
F 1. อนุกรมทีไ่ ด้จากลำดบั ไดเวอร์เจนต์ ย่อมเปน็ อนุกรมไดเวอรเ์ จนตแ์ ละอนุกรมทไ่ี ด้จากลำดบั คอนเวอร์
เจนต์ย่อมเปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์
F 2. ถา้ ลำดับ { } เปน็ ลำดับไดเวอร์เจนต์ แลว้ l i→m∞| | = ∞
T 3. อนุกรม log 1 + log 3 + log 3 + ⋯ เป็นอนกุ รมลูเ่ ขา้
224
F 4. ถา้ อนุกรม มีคณุ สมบัตวิ า่ +1 < แล้วอนุกรม เปน็ อนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์
F 5. ถา้ อนกุ รม ∑∞ =1 อนกุ รมล่อู อก และอนกุ รม ∑ ∞ =1 เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ แลว้
∑ ∞ =1( ) เปน็ อนุกรมลู่ออก
T 6. อนกุ รม 1 + ( ) + ( 2 + ( 3 + ⋯ เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ ทุกคา่ > −1
+1 +1 ) +1 )
้ท้ดำท้ต้ข้ข้ขุ๋หู้ภุ๊ด
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
บทที่ 1 ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 65
- 1 - 42
Pages: