CadernoDoAluno_2014_2017_Vol2_Baixa_MAT_Matematica_EF_8S_9A

8a SÉRIE 9oANO

ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Volume 2

MATEMÁTICA

CADERNO DO ALUNO

governo do estado de são paulo
secretaria da educação

MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICA

ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 2

Nova edição
2014 - 2017

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretária-Adjunta

Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da
Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares

Dione Whitehurst Di Pietro

Coordenadora de Orçamento e
Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),
Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre,
você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos e
desenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!
Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você explorará a ideia de semelhança
entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução de outra. Para
isso, você terá contato com dois procedimentos: o primeiro, que recebe o nome de “homotetia” –
palavra que significa “mesma forma” –, e o segundo, que trata da representação de figuras na malha
quadriculada e como a semelhança de figuras planas é aplicada no cotidiano.
Estudará também os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. Para tanto, será pre-
ciso recordar um número que está diretamente relacionado à medida do perímetro, da área e do
volume de figuras circulares: o número pi, representado pela letra grega π.
Além disso, com as atividades do Caderno você resolverá problemas envolvendo o número π.
Em uma das Situações de Aprendizagem, os cálculos métricos estarão relacionados ao cilindro na
qual você, mais uma vez, terá a oportunidade de verificar as aplicações práticas desse estudo.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso,
possa aprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie destes conhecimentos,
pois está encerrando seu percurso no Ensino Fundamental e todos os conceitos estudados contri-
buirão para o seu melhor desempenho no Ensino Médio. O objetivo é contribuir para que o estudo
da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!

Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo



Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

?

! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS

VOCÊ APRENDEU?

Ampliação e redução: o que se altera e o que não se altera?

1. A Figura 2 foi obtida pela ampliação da Figura 1:
C’

C

AB A’ B’

Figura 1 Figura 2

Assinale X ao lado do conjunto de medidas iguais nas duas figuras:
( ) Segmento AB e segmento A’B’.
( ) Segmento BC e segmento B’C’.
( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da Figura 2.
( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2.
( ) Medida do ângulo CAB e medida do ângulo C’A’B’.

5

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

2. Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao lado, duas
out­ras estrelas de seis pontas, de modo que uma delas seja uma redução e a outra seja uma
ampliação da estrela inicial, ambas de um fator 2.

A
FB

EC
D

3. Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o retângulo (II) tem
o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura.

(I) (II) (III)

a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes?
Por quê?

b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Por quê?

6

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

4. Observe o pentágono FATOS. Por meio de um processo de ampliação, desenhou-se
outro pentágono: F’A’T’O’S’. Para construir o segundo pentágono, desenhamos linhas re-
tas partindo de um ponto fixo que chamamos de H. Essas linhas, como mostra o desenho,
passam pelos vértices do pentágono FATOS. Para desenhar o pentágono maior, foi preciso

respeitar a regra de que as razões entre os segmentos _ ​ HH_A_A_’  ​,  ​_HH_F_F_’  ​,  ​_HH_TT__’  , ​ e assim por diante,
devem ser iguais.

A’

A F’ T’

F T

H O O’

S S’

Esse processo recebe o nome de “homotetia”, palavra que significa “mesma forma”. Veja outros
dois desenhos produzidos por homotetia, com o ponto H colocado em outros lugares em rela-
ção às figuras.

E’ B A’ L U
L’ HA L’ H
A’ U’
L A
B’ E

Podemos usar homotetia para, por exemplo, ampliar uma figura por um fator 2, isto é, dese­
nhar uma figura com medidas de lados iguais ao dobro das medidas dos lados da figura original.
Fazemos assim: desenhamos a figura inicial, começamos o processo de homotetia e deixa-
mos para você terminar. Sobre a figura iniciada, desenhe uma figura que seja ampliação de
fator 2 do losango ABCD.

A
DB
O

C

7

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Razão de semelhança

5. Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas
linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’.

B B’
F AC A’

D C’
E
D’
a) Se AB = 2 cm, quanto mede ​AÄÄ’BÄÄ’ ?​ E’

b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes e a razão de semelhança é um valor k,
tal que FB’ = k ⋅ FB. Qual é a razão de semelhança nesse caso?

6. Considere que o triângulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e que
AB = 2 cm. Nesse caso:

B

A
C

D
E

a) calcule a área de ABC;

8

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

b) calcule a área de A’B’C’;

c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior do que a área de ABC?

7. Desenhe, na figura, um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a ABCDE, com razão de
semelhança 2,0.

B
AC
F

D
E

Ampliações e reduções: perímetros e áreas

8. O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.

M 8 cm L

6 cm 4 cm 6655ºº
I
27º A
S G

9

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Sendo assim, escreva a medida de:
a) LI
b) SÂM
c) SMˆ A
d) LGˆ I
e) GLˆ I
9. Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos o quadrilátero

NECO. Suponha que cada quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e faça o que se pede a seguir.

TU

AB

a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o quadrilátero TUBA.

b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?

c) Quanto mede a altura de TUBA? E quanto mede a altura de NECO?

10

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

d) Quais são as medidas das bases de NECO?
e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA?

f ) Em relação à área de NECO, quantas vezes é maior a área de TUBA?

Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada

10. Quais dos seguintes prismas retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são
semelhantes? Em cada caso, qual é o fator de ampliação?

(1)
(2)

(3)

(4) (5)
11

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

11. Faça o que se pede:
a) amplie o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o

fator de ampliação igual a 1,5.

b) reduza o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o fa-
tor de redução igual a 2.

12. Observe o prisma oblíquo representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma seme­
lhante a ele, com razão de semelhança _ ​ 31_​   .

12

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

13. Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os cubos de-
senhados são ou não semelhantes? Por quê?

Resposta:
14. Considere dois cubos semelhantes na razão 1 : 4. Complete a tabela com as medidas da aresta,

da área da base, da área total e do volume do maior sólido em função de x, y, z e w.

Medida Aresta Área da base Área total Volume
Menor sólido x y z w
Maior sólido

LIÇÃO DE CASA

Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações

A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as
ruas Alfa e Beta. Observando a planta do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de
trapézios semelhantes (ABCD e EFGH). Os ângulos internos de um serão, correspondentemente,
de mesma medida que os ângulos internos do outro. Além disso, há uma proporcionalidade entre as
medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base
maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas
dependerão de desapropriações a serem realizadas no local.

13

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

C

D E F Rua Alfa

180 m Parque 1

A Parque 2 60 m
B H

G Rua Beta

15. As medidas de CB  e de FG  são fixas e valem, respectivamente, 180 m e 60 m, enquanto
as demais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras.
Com base nisso, responda:

a) Se a medida de EH  for igual a 25 m, qual será a medida de DA ?

b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?

c) Se EH = k, quanto medirá DA  em função de k?

14

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

16. No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF  e
HG  serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de:

a) CD ? b) AB ?

17. O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior.
Nessas condições, adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ?

18. Complete a tabela a seguir com as medidas dos lados de cada trapézio:

Trapézio ABCD BC  DA  AB  CD 
Trapézio EFGH FG  EH  EF  GH 

15

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
16

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

?

! SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA

VOCÊ APRENDEU?

Triângulos semelhantes: reconhecimento

1. Utilize a malha quadriculada para desenhar triângulos semelhantes. Um dos triângulos possui dois ân-
gulos internos medindo 45º cada um. Outro triângulo tem um lado que mede 4 unidades da malha.

2. Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, forma-se uma série de pares de
ângulos congruentes. No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por
uma transversal t, identifique as medidas dos ângulos assinalados.

t r
s
fˆ eˆ
gˆ dˆ

58º aˆ
cˆ bˆ

17

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

3. No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os
novamente, apresentando, em cada caso, a justificativa para a congruência.

4. As retas a e b são paralelas. Quais são as medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA
e DEA?

A C E
32º

83º

B

D
a

b

18

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Triângulos semelhantes: contexto e aplicações

5. O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU.

M

2 cm 100o

E 5,2 cm U

G

58o 10 cm L
I

Observe as medidas assinaladas nos desenhos anteriores e responda:

a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?

b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?

19

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?

6. Observe a representação das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques têm
formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro. São conhe-
cidas as seguintes medidas:

Parque 1 BC  180 AD  30 AB  45 CD  54
Parque 2 FG  60 EH  10 EF  15 GH  18

C

180 m D

Parque 1

ST E F Rua Alfa

BA Parque 2
H
60 m

G Rua Beta

Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentes
de mesma medida e lados correspondentes cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade.
Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado AD  do triângulo SAD é cor-
respondente do lado BC  do triângulo SBC.

20

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
S

D 30 m A
54 m 45 m

C 180 m B

a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?

b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC?

c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela a seguir.

Triângulo SAD (m) SA  AD  SD 

Triângulo SBC (m) SB  BC  SC 

21

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

d) Separe os triângulos TEH e TFG da figura inicial, desenhando-os novamente. Em segui-
da, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na tabela a seguir os valores
corresp­ ondentes.

Triângulo TEH (m) TE  TH  EH 

Triângulo TFG (m) TF  TG  FG 

LIÇÃO DE CASA

7. Usando seu transferidor, um aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com régua e esquadro,
traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).

G

F
E

O BC D

22

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB = 12 cm; BE = 8 cm; OE = 10 cm.
Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC = 3 cm e CD = 5 cm. Então,
percebeu que poderia determinar as medidas de todos os demais lados dos triângulos sem
necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule as demais
medidas dos segmentos do desenho e escreva-as na tabela seguinte.

Segmento OB OC OD BE CF DG OE OF OG
Medida

(cm)

8. O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um triângulo
em que não há dois lados de mesma medida, conforme o desenho a seguir.

18 m A 15 m
α

Cβ 24 m B

Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base ( BC ), será colocada uma viga de madeira ( AD ), de
modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida
dessa viga?

A

αb

Cb α γ B
D

23

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Semelhanças: cordas, arcos e ângulos

9. Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” sob um ângulo α cujo vértice C pertence à
circunferência (Figura 1).

Figura 1

B

Cα

A

Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “en­
xergado” sob um ângulo de medida igual ao anterior, isto é, de medida igual a α (Figura 2).

Figura 2
B

A
a

D

Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma situação em que dois triângulos semelhantes se
destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).

Figura 3 Figura 4

BB

C αP C α β
α P

D Aβ A

α

D

24

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva uma proporção entre
as medidas de seus lados.

b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da relação
(PC) ⋅ (PA) = (PB) ⋅ (PD)

10. Observe a figura em que duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P. De acordo com as me­
didas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?

B

9

12 P A
C

8

D

25

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

11. Um ponto P é o encontro de duas cordas de uma mesma circunferência (Figura 1). Unindo os
pontos em que as cordas cruzam a circunferência, podemos observar dois triângulos (Figura 2).

Figura 1 Figura 2
D D

CC

PP
AA
BB

a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos dos triângulos PAD e PCB, atribuindo a eles letras
iguais a ângulos congruentes.

b) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos PAD e PCB.
c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação (PA) ⋅ (PB) = (PC) ⋅ (PD).

26

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

12. De acordo com as medidas indicadas na figura a seguir, qual é a medida x?

84
10

x

27

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS;
TEOREMA DE PITÁGORAS

VOCÊ APRENDEU?

Triângulos retângulos: métrica e semelhança

1. Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, são obtidos dois novos triân-
gulos retângulos, semelhantes entre si, como representado na figura:

AA

α αn

a + b = 90o H

a m
h

β

βα β

B CB b C

a) Um dos triângulos tem lados a, n e h, enquanto o outro tem lados b, m e h. Dese­
nhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as medidas dos lados
correspondentes.

28

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

b) Verifique que o quadrado da medida da altura traçada é igual ao produto das medidas das

projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m ⋅ n.

2. Determine as medidas x, y e z em cada figura:

a) 4 b)

z 9 z
x 6x

y y2

29

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

3. Observe a figura com o triângulo retângulo maior I separado em dois triângulos retângulos
menores (II e III) pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três triângulos são
semelhantes, pois possuem ângulos correspondentemente congruentes.

β βn m α
a III
a
α II b
β hh
α
α
β
c

I

b

a) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e II.

b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa

pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c ⋅ n.

c) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e III.

d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa

pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c ⋅ m.

30

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

4. Determine as medidas x e y em cada triângulo. y 4
a)    b) x

12 m
y 8

x

9

5. Considere novamente a semelhança entre os triângulos I e II, bem como entre os triângulos I
e III, discutida na atividade 3.

βn Com base na semelhança entre esses pares de
triângulos, foram obtidas as relações:
β a II m α
h III a2 = c ⋅ n
a b2 = c ⋅ m
α αh b
β β Adicionando essas duas expressões, termo a
c α termo, e, em seguida, colocando c em evi-
dência, fazemos surgir uma expressão mate-
I mática traduzida na linguagem cotidiana da
seguinte forma:
b Em todo triângulo retângulo, o quadrado
da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos.

31

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras. Faça a verificação e escreva a sentença matemática
do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).

LIÇÃO DE CASA

6. Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triân- D 40 m A
gulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles, E 30 m
conforme representado na figura. AF  é a altura relativa à
hipotenusa de ABD e CE  é a altura relativa à hipotenusa FB
de BCD. Determine a medida de cada um dos segmentos:

a) BD c) BF e) BC g) CE

b) DF d) AF f ) BE h) FE

C

32

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

7. Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a
60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se outra
cidade, C. Outra rodovia, também retilínea, liga as cidades B e C.

x posto policial C
B
d
60 km h

80 km

A

Pergunta-se:
a) Qual é a distância entre B e C?
b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?
c) Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga B a C, devendo situar-se à mesma

distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?

33

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

8. Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu proprietário
deseja construir uma casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o
restante da área.

30 m 40 m

Pergunta-se:
a) Qual é a área total do terreno?
b) Qual é a área da região retangular da construção?

34

© Conexão Editorial Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

VOCÊ APRENDEU?

Pitágoras: significado, contextos

9. O triângulo retângulo representado na figura é isósceles
e está ins­crito em uma circunferência de raio 4 cm.
Quais são as medidas dos lados desse triângulo?

10. Um balão de propaganda flutuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente,
por Maria e por João. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 m dele, como represen-
tado na figura. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?

35

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

11. Para dar firmeza à estrutura de um por­ D 3m C
tão retangular ABCD, de lados 2 m A 2m
e 3 m, devem ser fixadas duas barras
rígidas – AC e BD – ao longo das dia­ B
gonais, conforme mostra a figura. Para
isso, dispõe-se de uma barra de 6,5 m de
comprimento, que será dividida em duas
partes iguais. A barra será suficiente para
as duas diagonais?

12. Do centro de uma sala retangular de lados 6m

4 m e 6 m serão feitas canalizações inde-
pendentes em linha reta até os quatro can-
tos da sala e, também, até o ponto médio
de cada um dos lados da sala, usando sem-
pre o mesmo tipo de conduíte (cano plásti- 4m

co flexível). Quantos metros desse conduíte
serão necessários?

36

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

13. Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra
a figura a seguir, em vista frontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I. Cal-
cule a distância de A até:

a) o vértice superior esquerdo da caixa VI; IX

b) o vértice superior direito da caixa VIII; VI VII VIII
c) o centro da face visível da caixa IX.

I II III IV V
A

LIÇÃO DE CASA
14. Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma hexagonal regular de 3 cm de altura,

tendo o lado do hexágono da base 18 cm.

18 cm

37

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?

b) Qual é a área de papelão necessária para construir a parte de baixo da caixa em que a pizza
vem acomodada?

15. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo 20 cm
com todas as faces retangulares. Suas dimen- 30 cm
sões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Com base
nessas informações, calcule: 40 cm

a) o comprimento da maior das diagonais
das faces;

b) o comprimento da diagonal da caixa.

38

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

VOCÊ APRENDEU?

Relações métricas em triângulos retângulos: composição e decomposição

16. Conforme você pode observar na Figura 1, a área de CDEB é igual à soma das áreas de CAHI
e de ABFG, ou seja, a2 = b2 + c2. Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas com-
ponentes dessa figura. Para tanto, observe, na Figura 2, o segmento AJ e note que ele divide a
hipotenusa em duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB em dois retângulos.

GG

HH

A c2 F A F

I b2 I b h c
b ac m K n
b
C
B Ca B

a2 a a

DE DJ E
Figura 1
Figura 2

a) Calcule a área do retângulo CDJK e a área do retângulo JEBK. Mostre que a soma das duas
áreas é igual a a2.

b) Calcule a área do triângulo ABC de duas maneiras, usando os catetos b e c, bem como a
hipotenusa a e a altura h. Mostre que bc = ah.

39

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

c) Mostre, na figura, que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo CDJK.
d) Mostre que a área do retângulo JEBK é igual à área do quadrado ABFG.
17. Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.
a) Calcule a altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo.

40

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

b) A altura relativa à hipotenusa divide esse triângulo em dois triângulos retângulos menores;
calcule a área de cada um deles.

18. Um painel deve ser mantido na vertical com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente
esticados, de 3 m e 4 m, um de cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados
em um plano vertical e a distância entre os pontos de fixação dos dois cabos de aço no solo é de
5 m. A que altura do solo os cabos devem ser fixados no painel?

4m h 3m

5m

41

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS

VOCÊ APRENDEU?

Ângulo de elevação: contexto e estimativas

1. Em quase todas as cidades do mundo há ruas que cortam trechos planos, mas há também ruas
com percursos íngremes, de subida ou de descida. Nos casos de ruas com fortes subidas, vamos
refletir sobre a medida do ângulo de elevação. Inicialmente, veja estas figuras:

αb θ
Em sua estimativa, quantos graus medem os ângulos α, β e θ?

2. Pegue um transferidor e meça os ângulos α, β e θ apresentados na atividade anterior. Registre
aqui suas respostas:

α = β = θ=

3. Pense em alguma rua que você conheça e que seja uma subida bastante íngreme. De quantos graus
você avalia que seja a elevação dessa rua? Escreva aqui sua estimativa antes de ler o texto a seguir.

42

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Leitura e análise de texto

• O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta
recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem,
por intermédio de uma medida denominada inclinação. Por exemplo, em uma
estrada com inclinação 0,15, ou 15%, sobem-se 15 m a cada 100 m de desloca-
mento horizontal.

Inclinação 0,15, ou 15%

15 m

100 m

• Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual ao
deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à
medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que em uma subida
de 10% percorrem-se 10 m em cada metro de subida.

Inclinação 10% 10 m

1m

• As inclinações máximas recomendadas © Conexão Editorial
pelo DNIT dependem do tipo de es-
trada, mas variam de 5%, nas estradas
de maior volume de tráfego, a 9%, nas
estradas com baixo volume de tráfego.

• Alguns trechos de estradas podem,
excepcionalmente, atingir inclinações
maiores do que as recomendadas, che-
gando a valores da ordem de 10%.

• Uma maneira de avaliar o grau de
elevação de uma rua é efetuar medidas
do deslocamento vertical (b), do des-
locamento horizontal (a), e também, se possível, do deslocamento real sobre a
rua (c).

A inclinação da rua poderá ser obtida pelo resultado da divisão entre (b) e (a),
ou entre (b) e (c). Com o resultado dessas divisões, podemos recorrer a uma tabela de

43

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

valores e encontrar o ângulo correspondente. Para tanto, precisamos saber que cada uma
dessas divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo recebe um nome. Por exem-
plo, a divisão entre (b) e (a) é a tangente do ângulo que se quer determinar. Para uma
inclinação de 12%, resultante da comparação entre (b) e (a) na figura, o ângulo correspon-
dente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é aproximadamente 0,122.

VOCÊ APRENDEU?
4. Em determinada rua, um pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao

ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação percentual dessa rua? E qual é a medida
do ângulo de inclinação?

50 m 2m

5. O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha escolhida exige que
o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação? Qual é,
em graus, a inclinação desse telhado?

30 m

100 m

44

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

6. Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis
e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste vertical fixado na rua e
medir o ângulo entre o poste e o piso da rua (β no desenho). Se o ângulo medido pelo estudante
foi de 82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?

b
α

7. Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o veículo que o
percorre desloca-se 100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no
qual um veículo desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é:

a) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?
b) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?

45

© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

c) em metros, o deslocamento de um carro em Y enquanto ele desce 8 m?

Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis

Atividades de investigação
Há inúmeras maneiras de construir um aparelho para realizar a medição aproximada de

ângulos; apresentamos aqui um modelo que utiliza os seguintes materiais:
• copo plástico com tampa;
• xerox de um transferidor de 360º, alinhado e colado numa base quadrada de papelão;
• pedaço de arame de aproximadamente 15 cm e um cilindro de mesma medida

(tubo de caneta ou tubo de alumínio de antena de TV).

46

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2 © Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista

Base de rotação do teodolito © Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser colada de ca-

beça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro do transferidor, o que dará
mais precisão ao teodolito.

Para encontrar o centro da tampa, trace nela dois diâmetros e faça um furo onde eles se
cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem ranhuras na borda que podem ajudá-lo a
encontrar o ponto certo. Use o arame fino como guia para alinhar o centro da tampa com o
centro do transferidor.

A mira
O tubo de caneta ou de antena servirá de mira através da qual será possível identificar

os pontos de medição. Cole o tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao
ponteiro (arame fino). Para refinar essa mira, cole na extremidade do tubo dois pedaços
de linha formando uma cruz (veja a imagem a seguir).

47

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista

© Eduardo Santaliestra/Estúdio PaulistaUtilização
Finalize encaixando o copo na tampa. A versão simplificada funciona como o aparelho

verdadeiro. Com ele, é possível medir, a partir de uma posição qualquer, o ângulo formado
entre dois outros pontos. Na horizontal ou na vertical, basta alinhar a indicação 0° do trans-
feridor com um dos pontos e girar a mira até avistar o outro ponto. O ponteiro indicará de
quantos graus é a variação.

48

© Conexão Editorial Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2

Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base
8. Na representação seguinte, o ângulo α mede 23º e a distância d à base da árvore mede 12 m.

h
α

d

a) Consulte uma tabela trigonométrica para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente
de 23º.

b) Se for necessário escolher uma única razão trigonométrica (seno, cosseno ou tangente) para
calcular a medida h da árvore, qual você escolheria? Por quê?

c) Determine a medida de h.

49