การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

โครงสร้างและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 1

ชอ่ื – สกลุ .............................................................................................................. ช้ัน ม. 4/12 เลขท.่ี .............

1. โครงสรา้ งทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure)

คณิตศาสตร์ (Mathematics) เป็นวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับ จำนวน (numbers)
โครงสร้าง (structures) ปริภูมิ (spaces) และการเปลี่ยนแปลง (changes) โดยทั่วไปแล้วไม่ว่าจะศึกษา
คณิตศาสตร์เรื่องใด จะต้องรู้จักกับ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (Mathematical structure) ซึ่งประกอบไป
ด้วย องค์ประกอบสำคญั 4 สว่ น ไดแ้ ก่

1. พจน์อนิยาม (undefined term) คือ คำที่คนส่วนใหญ่เข้าใจตรงกันว่าหมายความว่าอย่างไร
แต่เกิดความยากลำบากที่จะให้ความหมายรัดกุมจึงไม่มีความจำเป็นต้องอธิบายความหมายอีก เช่น จุด
เส้นตรง เซต ระนาบ สมาชิก เป็นต้น พจน์ในลักษณะน้ีจำเป็นตอ้ งมีในคณิตศาสตร์ทุกแขนงเพราะการท่ีจะให้
ความหมายของสิ่ง ๆ หนึ่ง จำต้องใช้คำที่ทราบความหมายหรือเข้าใจตรงกันแล้วมาใช้อธิบาย หากไม่มีพจน์
ดังกล่าวก็จะไม่มีคำตั้งต้นสำหรับใช้อธิบายความหมายของคำอื่น ๆ ซึ่งก็จะเกิดคำถามถึงความหมายของคำ
ตา่ ง ๆ อยา่ งไมร่ ู้จบ

2. บทนิยาม (definition) คือ การให้ความหมายของคำที่จะใช้ศึกษาในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง โดยอาศัย
พจน์อนิยามหรือบทนิยามที่กำหนดไว้ก่อนหน้านั้น เช่น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน
เท่ากันสองดา้ น บทนิยามทด่ี ีตอ้ งมีความเป็นสากล และเม่อื กำหนดขนึ้ มาแลว้ จะต้องไมม่ ีข้อโตแ้ ย้งใด ๆ

3. สัจพจน์ (axiom) คือ ข้อความที่ตกลงกันว่าเป็นจริง เป็นที่ยอมรับร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น
มเี ส้นตรงเพยี งเส้นเดยี วเท่านัน้ ทผี่ ่านจดุ สองจุดทก่ี ำหนดให้

4. ทฤษฎบี ท (theorem) คือ ขอ้ ความทางคณติ ศาสตรท์ ี่สามารถพสิ จู น์ไดว้ า่ เป็นจริงเสมอ โดยอาศัย
จากทฤษฎีบท บทนิยาม สัจพจน์ และความรูท้ างตรรกศาสตรแ์ ละการให้เหตผุ ลทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วยใน
การพิสูจน์ และข้อพสิ จู น์นั้นเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

โครงสรา้ งทางคณิตศาสตรเ์ ริ่มต้นจากการสังเกตและพิจารณาความจริงในธรรมชาติ จนค้นพบข้อสรุป
ที่เป็นนามธรรม ซึ่งจะถูกกำหนดในรูป พจน์อนิยาม บทนิยาม และทฤษฎีบท หลังจากนั้นจะใช้ตรรกศาสตร์
และการให้เหตุผลต่าง ๆ มาช่วยในการสร้างทฤษฎีบท หรือข้อความรู้ใหม่ และท้ายที่สุดความรูเ้ หล่าน้ีอาจนำ
กลบั ไปประยุกต์ใช้กบั ธรรมชาติตอ่ ไปเป็นวัฏจักรเชน่ น้ไี ปเรอื่ ย ๆ

ปจั จุบันนักคณิตศาสตรใ์ ชก้ ระบวนการดงั กลา่ วในการค้นหา หรอื สรา้ งความรู้ใหม่ โดยบางกลุ่มมงุ่ ท่จี ะ
ศกึ ษาความรตู้ ามโครงสร้างคณติ ศาสตรโ์ ดยไม่ได้ให้ความสำคัญกบั การนำไปใช้ เราเรียกการศึกษาคณิตศาสตร์
ดังกล่าวว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (pure mathematics) เช่น พีชคณิต (algebra) ทอพอโลยี (topology)
หรือการวิเคราะห์ (analysis) เป็นต้น ในขณะที่นักคณิตศาสตร์อีกกลุ่มก็ให้ความสำคัญกับการนำความรู้ไป
ประยุกต์ใช้กับความรู้แขนงต่าง ๆ ซึ่งเราเรียกว่าเป็น คณิตศาสตร์ประยุกต์ (applied mathematics)
ตัวอย่างหนึง่ ของวชิ าคณติ ศาสตร์ประยุกต์ คือการนำตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ (mathematical logic) ไป
ใช้กับอธิบายวงจรในคอมพิวเตอร์ จนในท้ายที่สุดสามารถพัฒนาจนกระทั่งเป็นพีชคณิตบูลีน ( Boolean
algebra) อย่างไรก็ตามการศกึ ษาคณิตศาสตร์ในสองลักษณะท่กี ลา่ วไปขา้ งต้นมิได้แยกออกจากกันอยา่ งชดั เจน

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธรี ะยุทธ วันนา

โครงสรา้ งและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 2

2. การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Proof)

การพิสูจน์ เป็นสิ่งสำคัญในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ท่ีทำให้เราเห็นว่าทฤษฎีบทต่าง ๆ เป็นจริงโดย
ใช้อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทก่อนหน้าซึง่ เราทราบวา่ เป็นจริง และมีเครื่องมอื ทางตรรกศาสตร์
ชว่ ยในการพิสูจน์ ซึง่ นกั เรียนควรมพี ื้นฐานความรู้เรอ่ื งตรรกศาสตรม์ าก่อนแล้ว

ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อเราพบทฤษฎีบทใด ๆ เราจำเป็นต้องพิสูจน์ก่อนว่า ทฤษฎีบท
ดังกล่าวเป็นจริง บางทฤษฎีบทได้โดยตรงจากบทนิยาม บางทฤษฎีบทเป็นผลที่ได้มาจากทฤษฎีบทอ่ืน
(เราเรียกว่า บทแทรก) บางทฤษฎีบทเป็นสิ่งที่ช่วยให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นสะดวกขึ้น (เราเรียกว่า บทตั้ง)
บางทฤษฎีบทก็ทำให้เราสรา้ งบทนิยามใหม่ขึน้ มาได้ เทคนิคการแก้โจทย์ คณิตศาสตร์บางข้อก็เปน็ สิ่งที่ได้จาก
กระบวนการพิสูจนท์ ฤษฎีบท ด้วยเหตุนีก้ ารพิสจู น์ทฤษฎบี ท จึงเป็นสิ่งสำคัญมากในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์
ทอี่ ย่างนอ้ ยผูเ้ รียนควรจะพิสจู นท์ ฤษฎบี ทเบื้องต้นได้

ดังนั้น การพิสูจน์ (proof) คือ การแสดงการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล กล่าวคือ เมื่อประพจน์
(p1  p2  p3   pn)  q เป็นสัจนิรันดร์ และการที่ทราบว่าประพจน์ใดสมมูลกันจะเป็นประโยชน์ต่อ
การอา้ งเหตผุ ลอย่างสมเหตุสมผล สำหรบั การพิสจู นใ์ นทางคณิตศาสตรน์ ั้น เหตทุ นี่ ำมาอ้างอิงมาจากทฤษฎีบท
ที่เคยทราบมาก่อน หรือบทนิยาม หรือสัจพจน์ เป็นต้น แต่มักจะมีปญั หาว่า สัจพจน์ บทนิยาม หรือทฤษฎีบท
ต่าง ๆ ที่จะนำมาอ้างอิงเพื่อนำไปสู่ผลสรุปนั้นมีมากมาย เป็นการยากที่จะเลือกใช้ ดังนั้นผู้เรียนควรศึกษา
ตรรกศาสตร์ และการพิสูจน์หลาย ๆ แบบ เพื่อจะช่วยให้มีทักษะในการพิสูจน์ สามารถเลือกวิธีการพิสูจน์ได้
อยา่ งเหมาะสม ในทนี่ จ้ี ะกลา่ วถงึ วธิ ีการพิสูจน์แบบตา่ ง ๆ ดังต่อไปน้ี

1. การพสิ จู น์ p  q โดยวิธพี ิสูจนต์ รง (Direct Proof)
2. การพิสูจน์ p  q โดยวธิ ีพสิ ูจนแ์ บบแยง้ สลับที่ (Contrapositive)
3. การพิสจู น์ p  q (If and only if)
4. การพิสจู น์โดยการแจงกรณี (Exhaustion)
5. การพิสูจน์การมเี พียงส่งิ เดียว (Uniqueness)
6. การพสิ ูจน์โดยใชห้ ลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematic Induction)

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครูธรี ะยทุ ธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ จู นท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 3

ดงั ท่ีกลา่ วมาแลว้ ว่า การพิสูจน์ จำเป็นต้องทราบบทนยิ ามหรือสมบตั ิบางประการของเรื่องที่จะพิสูจน์
จงึ ขอทบทวนบทนยิ ามพ้ืนฐานและสมบัตบิ างประการท่ีจะใชเ้ ปน็ ตัวอยา่ ง ในการฝึกการพสิ จู น์ ดังนี้

บทนิยาม จำนวนคู่ (Even number) และจำนวนคี่ (Odd number)
สำหรับจำนวนเต็ม a เรากลา่ ววา่

a เป็น จำนวนคู่ ก็ตอ่ เม่ือ มจี ำนวนเตม็ k ท่ที ำให้ a = 2k (ประพจน์...........................................)
a เป็น จำนวนคี่ กต็ อ่ เม่ือ มจี ำนวนเตม็ k ทท่ี ำให้ a = 2k +1 (ประพจน์...........................................)

ตัวอยา่ งท่ี 1 พิจารณาจำนวนตอ่ ไปนว้ี ่าเป็นจำนวนคู่หรอื จำนวนคี่ พรอ้ มใหเ้ หตผุ ลประกอบ
1) 15 เปน็ จำนวนค่ี เพราะวา่ มี 7 ท่ที ำให้ 15 = 2(7) +1
2) 20 เป็นจำนวนคู่ เพราะว่า มี 10 ที่ทำให้ 20 = 2(10)
3) ………………………………………………………………………………………………………………………………
4) ………………………………………………………………………………………………………………………………
5) ………………………………………………………………………………………………………………………………
6) ………………………………………………………………………………………………………………………………

บทนิยาม การหารลงตัว (Divisible)
กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเตม็ โดย a  0 เรากลา่ ววา่

a หาร b ลงตัว ก็ตอ่ เมือ่ มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ b = ak (ประพจน.์ ........................................)
และใชส้ ญั ลกั ษณ์ a | b แทน a หาร b ลงตัว และเรยี ก a ว่า ตวั หาร ของ b

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ีวา่ “ถกู ” หรือ “ผดิ ” พร้อมใหเ้ หตผุ ลประกอบ

1) 3 | 27 ตอบ ถกู เพราะวา่ มี 9 ทที่ ำให้ 27 = 3(9)

2) 5 ∤ 35 ตอบ ผิด เพราะวา่ มี 7 ทท่ี ำให้ 35 = 5(7) ดงั นนั้ 5| 35

3) 3 ∤ 35 ตอบ ถูก เพราะวา่ ไมม่ ี k  ท่ที ำให้ 35 = 3k

4) ………………… ตอบ………………………………………………………………………………………………

5) ………………… ตอบ………………………………………………………………………………………………

6) ………………… ตอบ………………………………………………………………………………………………

7) ………………… ตอบ………………………………………………………………………………………………

8) ………………… ตอบ………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครธู ีระยทุ ธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 4

บทนยิ าม จำนวนเฉพาะ (Prime number) และจำนวนประกอบ (Composite number)
กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนนบั เรากล่าววา่

a เป็น จำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ มจี ำนวนเตม็ 1 และ a เทา่ นัน้ ทห่ี าร a ลงตัว
b เป็น จำนวนประกอบ ก็ตอ่ เมื่อ b ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

ขอ้ สังเกต: จากบทนิยามขา้ งตน้ จะได้วา่ b เปน็ จำนวนประกอบ ก็ต่อเมอื่ มีจำนวนนับ k ทท่ี ำให้ k | b
โดยที่ k  1 และ k  b

สมบัติของจำนวนจรงิ ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

สมบัติการเทา่ กันของจำนวนจรงิ

1) สมบตั ิการสะท้อน a = a

2) สมบัติการสมมาตร ถา้ a = b แล้ว b = a
3) สมบตั ิการถา่ ยทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4) สมบัติของการบวกด้วยจำนวนทเ่ี ท่ากนั ถ้า a = b แลว้ a + c = b + c

5) สมบัตกิ ารคณู ด้วยจำนวนท่เี ทา่ กนั ถา้ a = b แล้ว ac = bc
สมบัติของการบวกในระบบจำนวนจรงิ

1) สมบตั ิปดิ ของการบวก a +b เปน็ จำนวนจรงิ

2) สมบตั ิการสลับที่ของการบวก a+b = b+a

3) สมบัตกิ ารเปล่ียนกลุ่มของการบวก a + (b + c) = (a + b) + c

4) เอกลักษณก์ ารบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคอื ในระบบจำนวนจริง จะมี 0 เป็นเอกลกั ษณก์ ารบวก

5) อนิ เวอรส์ การบวก a + (−a) = 0 = (−a) + a
นนั่ คือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจรงิ a จะมี −a เป็นอนิ เวอรส์ ของการบวก

สมบัติของการคณู ในระบบจำนวนจริง

1) สมบตั ิปิดของการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2) สมบตั ิการสลับท่ีของการคณู ab = ba

3) สมบัตกิ ารเปล่ียนกล่มุ ของการคูณ a(bc) = (ab)c
4) เอกลักษณ์การคูณ 1a = a = a1

นนั่ คือ ในระบบจำนวนจริงมี 1 เปน็ เอกลกั ษณก์ ารคูณ

5) อนิ เวอร์สการคูณ aa−1 = 1 = a−1 a
นนั่ คอื ในระบบจำนวนจรงิ จำนวนจริง a จะมี a−1 เปน็ อินเวอรส์ การคณู

6) สมบตั ิของการแจกแจง a (b + c) = ab + ac

(b + c) a = ba + ca

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครธู ีระยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสจู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 5

บทนิยาม การลบจำนวนจรงิ
เม่อื a และ b เปน็ จำนวนจริงใด ๆ จะไดว้ ่า a − b = a + (−b)
นน่ั คอื a −b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

บทนิยาม การหารจำนวนจริง ( )a = a b−1
เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ และ b  0 จะไดว้ า่
นน่ั คอื a คอื ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคณู ของ b b

b

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครธู ีระยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 6

1. การพสิ จู น์ p  q โดยวธิ พี สิ ูจน์ตรง (Direct Proof)

เนือ่ งจากขอ้ ความในรปู p  q เป็นเทจ็ กรณเี ดียว คือ เมื่อ p เป็นจรงิ และ q เปน็ เท็จ จึงเปน็
การเพยี งพอทจ่ี ะพสิ ูจน์ว่า p  q เป็นจริง โดยการสมมติให้ p เปน็ จรงิ แลว้ พยายามแสดง ใหเ้ ห็นวา่ q
ตอ้ งเป็นจรงิ เราก็จะสรปุ ไดว้ า่ p  q เปน็ จริง

โครงสรา้ งการพิสจู น์ประพจน์ p  q โดยวธิ พี สิ จู น์ตรง (Direct Proof)
สมมติ p [ จะแสดงว่า q นั่นคือ ตคี วามหมายของ q ใหอ้ ยู่ในรูปขอ้ ความทางคณติ ศาสตร์ ]

( นำคณุ สมบตั ิของ p : สัจพจน,์ บทนิยาม, ทฤษฎีบทท่ีเก่ยี วขอ้ งมาสนบั สนุนในการพสิ ูจน์ )

จะได้ว่า q
ดงั นนั้ “ p  q ” เป็นจริง

ตัวอยา่ งท่ี 3 ให้ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จงพิสูจนว์ ่า ถา้ n เป็นจำนวนค่ี แลว้ n + 2 เป็นจำนวนคี่

พสิ จู น์ ให้ n เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ

สมมต.ิ ............................ [ จะแสดงวา่ n + 2 เป็นจำนวนค่ี นั่นคอื …………………..……………………… ]

โดยบทนยิ ามของ……………….. จะได้ว่า n = ………………… สำหรบั บาง m  

พจิ ารณา n = ……………………………

…….… = …………………………… (สมบตั …ิ ……………………………………)

…….… = …………………………… (สมบัต…ิ ……………………………………)

…….… = …………………………… (สมบัต…ิ ……………………………………)

…….… = …………………………… (สมบตั …ิ ……………………………………)

n + 2 = 2(m +1) +1 (สมบัต…ิ ……………………………………)

เน่ืองจาก m  และ 1  โดยสมบตั ิ……………………………… ทำให้ m +1

ให้ k = m +1 ; n + 2 = 2k +1 สำหรับบาง k 

โดยบทนิยามของ…………………….. จะได้ว่า n + 2 เป็นจำนวนค่ี

ดงั นน้ั “ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว n + 2 เปน็ จำนวนค”่ี เปน็ จรงิ #

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธีระยุทธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสจู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 7

แบบฝึกหัดที่ 1.1
1) ให้ a เปน็ จำนวนเต็ม จงพสิ จู น์ว่า ถา้ a เป็นจำนวนคี่ แลว้ a2 เป็นจำนวนค่ี

พสิ ูจน์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) จงพิสูจนว์ ่า สำหรับจำนวนเต็ม b ใด ๆ ถ้า b เป็นจำนวนคู่ แลว้ b2 เป็นจำนวนคู่

พสิ ูจน์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วันนา

โครงสรา้ งและการพิสจู นท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 8

3) ให้ a และ b เปน็ จำนวนเต็ม จงพสิ จู นว์ า่ ถ้า a เปน็ จำนวนคู่ แลว้ a + 2b เป็นจำนวนคู่

พสิ จู น์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) ให้ a และ b เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ
จงพิสูจน์ว่า ถา้ a และ b เปน็ จำนวนคู่ แล้ว 3a −b เป็นจำนวนคู่

พิสจู น์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครูธรี ะยทุ ธ วันนา

โครงสรา้ งและการพสิ จู นท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 9

5) ให้ a และ b เป็นจำนวนเตม็ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a เป็นจำนวนคี่ แลว้ a2 + 4b +1 เป็นจำนวนคู่

พสิ จู น์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6) ให้ x เป็นจำนวนเตม็ จงพิสูจน์วา่ ถ้า x +3 เป็นจำนวนคู่ แล้ว x เป็นจำนวนค่ี

พิสูจน์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธรี ะยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 10

ตัวอยา่ งท่ี 4 ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ ทไ่ี ม่เปน็ ศนู ย์ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a | b แล้ว a | bc

พิสจู น์ ให้ ...................................................................................................................

สมมติ …………………… [ จะแสดงวา่ ...................... นน่ั คือ............................ ;k  ]

โดยบทนิยามของ........................... จะไดว้ ่า b = ……………… สำหรบั บาง m  

พิจารณา b = am

............ =................

............ = a (mc) สำหรบั บาง ....................

ให้ k = mc ; ............ = ak สำหรับบาง k 

โดยบทนิยามของ........................... จะได้วา่ a | bc

ดังนน้ั “..................................................” เปน็ จริง #

ตวั อยา่ งที่ 5 กำหนดให้ a,b และ c เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ ท่ีไม่เปน็ ศูนย์

จงพิสจู น์วา่ ถา้ a b และ b c แลว้ a c

พสิ จู น์ ให้ a,b และ c เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ ทไ่ี มเ่ ป็นศนู ย์

สมมติ ....................................... [ จะแสดงวา่ a c นัน่ คือ.................... ;k  ]

โดยบทนยิ ามของ...............................จะได้ ............จะไดว้ า่ b = am สำหรบั บาง .......

และ..........จะไดว้ ่า c = bn สำหรบั บาง .......

พิจารณา c = bn

c = ................

c = ................ สำหรบั บาง .......

ให้ k =............; c = ak สำหรับบาง k 

โดยบทนยิ ามของ............................... จะได้วา่ ..............................

ดงั นั้น “ถ้า a b และ b c แลว้ a c ” เป็นจรงิ #

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครูธรี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสูจนท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 11
แบบฝกึ หดั ท่ี 1.2

1) ให้ a,b และ c เปน็ จำนวนเตม็ ท่ไี มเ่ ป็นศูนย์ จงพสิ จู นว์ า่ ถ้า a b แลว้ ac bc

พสิ จู น์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) ให้ a,b และ c เปน็ จำนวนเตม็ ทไ่ี มเ่ ป็นศนู ย์ จงพิสูจนว์ า่ ถ้า ac bc แล้ว a b

พสิ ูจน์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วันนา

โครงสรา้ งและการพสิ จู นท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 12

3) ให้ a,b,c และ d เปน็ จำนวนเตม็ ท่ไี ม่เป็นศนู ย์ จงพสิ จู นว์ ่า ถา้ a b และ c d แลว้ ac bd

พสิ จู น์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) ให้ a,b และ c เปน็ จำนวนเตม็ ทีไ่ มเ่ ป็นศูนย์ จงพิสจู นว์ ่า
ถา้ a b และ a c แล้ว a (bx + cy) สำหรบั จำนวนเตม็ x และ y

พสิ จู น์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครธู รี ะยุทธ วนั นา

โครงสร้างและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 13

ลองทำดู :
1) ให้ a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ จู นว์ ่า ถ้า a2 +3a −1 เปน็ จำนวนคู่

แลว้ a เปน็ จำนวนค่ี

พสิ จู น์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) ให้ a เปน็ จำนวนเต็ม จงพสิ จู นว์ า่
ถา้ 4 หาร a2 −1 ไม่ลงตวั โดยท่ี a  0 แล้ว a เปน็ จำนวนคู่

พสิ จู น์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วันนา

โครงสรา้ งและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 14

2. การพสิ ูจน์ p  q โดยวิธพี สิ ูจนแ์ บบแย้งสลบั ที่ (Contrapositive)

เนอ่ื งจาก p → q  ~ q → ~ p ถา้ พสิ จู นไ์ ด้วา่ ~ q → ~ p เปน็ จริง จะทำใหไ้ ดว้ า่
p → q เปน็ จรงิ ดว้ ย ซง่ึ ในบางครง้ั เป็นการงา่ ยกวา่ การพิสจู น์ p → q โดยการพสิ จู นต์ รง

โครงสรา้ งการพสิ จู น์ประพจน์ p  q โดยใชก้ ารแยง้ สลับท่ี (Contrapositive)

รปู แบบ สมมติ ~ q [ จะแสดงวา่ p นนั่ คือ ]

จะไดว้ า่ ~p

ดังนน้ั “ ~ q → ~ p ” เปน็ จรงิ

โดยการพิสจู นแ์ บบแยง้ สลบั ท่ี จะได้วา่

“ p → q ” เปน็ จริง

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ ูจนว์ ่า ถ้า a2 เปน็ จำนวนค่ี แล้ว a เปน็ จำนวนค่ี
พิสูจน์ [ จะพสิ ูจนแ์ บบ.................................................. ]

แนวคดิ ให้ p แทน “ a2 เปน็ จำนวนค่ี” จะได้ ~ p แทน “…………………………………………..”
ให้ q แทน “ a เป็นจำนวนค่ี” จะได้ ~ q แทน “…………………………………………..”

เนื่องจาก p → q  ~ q → ~ p
ดังนนั้ จะพสิ ูจนว์ า่ “………………………………………………………………………..…………………….” แทน

ให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
สมมต.ิ ...................................... [ จะแสดงวา่ a2 เปน็ จำนวน........ น่ันคือ................................... ]

โดยบทนยิ ามของ.............................. จะได้ว่า a =............... ; m
พจิ ารณา a =.............

a2 = (........)2

a2 = .............. สำหรับบาง 2m2  และให้ …….. = 2m2 ;

a2 = 2(.........)

a2 = ............... สำหรับบาง.................

โดยบทนิยามของ........................... จะได้วา่ a2 เปน็ จำนวน........

ดังนน้ั “.......................................................................................” เป็นจรงิ

โดยการพสิ จู นแ์ บบ........................... จะไดว้ ่า

“.......................................................................................” เป็นจรงิ #

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพิสจู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 15

แบบฝกึ หดั ท่ี 2

1) ให้ a และ b เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ จงพิสจู นว์ า่ ถ้า 3a เป็นจำนวนคู่ แลว้ a เปน็ จำนวนคู่

พสิ จู น์ [ จะพิสจู น์แบบ......................................................... ]

แนวคดิ ให้ p แทน “3a เปน็ จำนวนคู่ ” จะได้ ~ p แทน “…………………………………………..”
ให้ q แทน “……………………………….…..” จะได้ ~ q แทน “…………………………………………..”

เนอ่ื งจาก p → q  ~ q → ~ p
ดงั นนั้ จะพิสูจนว์ า่ “………………………………………………………………………..…………………….” แทน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครธู ีระยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ ูจนท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 16

2) ให้ a และ b เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ ถา้ 4 หาร a2 −1 ไมล่ งตวั โดยที่ a  0 แลว้ a เปน็ จำนวนคู่
พิสูจน์ [ จะพิสจู น์แบบ.......................................... ]

แนวคดิ ให้ p แทน “………………………………………………………………………………..”
จะได้ ~ p แทน “………………………………………………………………………………..”
ให้ q แทน “………………………………………………………………………………..”
จะได้ ~ q แทน “………………………………………………………………………………..”

เน่ืองจาก p → q  ………………………………………………
ดังนัน้ จะพิสูจน์วา่ “………………………………………………………………………..…………………….” แทน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธีระยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพสิ จู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 17

3) ให้ a และ b เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ ถา้ (a + b)2 เป็นจำนวนคู่ แล้ว a เปน็ จำนวนคู่ หรือ
b เปน็ จำนวนคี่

พิสูจน์ [ …………………………………............................................ ]

แนวคดิ ให้ p แทน “………………………………………………………………………………..”
จะได้ ~ p แทน “………………………………………………………………………………..”
ให้ q แทน “………………………………………………………………………………..”
จะได้ ~ q แทน “………………………………………………………………………………..”
เนื่องจาก ………………………………………………………………..

ดงั น้นั จะพิสูจนว์ ่า “………………………………………………………………………..…………………….” แทน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครธู รี ะยทุ ธ วันนา

โครงสรา้ งและการพิสจู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 18

4) ให้ a และ b เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ ถ้า a2 +3a −1 เปน็ จำนวนคู่ แลว้ a เป็นจำนวนคี่

พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครธู ีระยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 19

3. การพิสจู น์ p  q (If and only if)

เน่อื งจาก p  q สมมลู กบั ( p → q)  (q → p) ดงั นน้ั ในการพิสูจน์ p  q มีรปู แบบดังนี้

โครงสร้างการพสิ จู น์ p  q (If and only if)
() จะต้องพิสจู นว์ ่า p → q

(โดยวิธีพสิ จู น์ตรง (Direct Proof) หรือวิธีพิสจู น์แบบแยง้ สลับท่ี (Contrapositive) ก็ได)้

() จะต้องพิสูจนว์ า่ q → p
(โดยวธิ ีพสิ ูจน์ตรง (Direct Proof) หรือวธิ ีพสิ จู นแ์ บบแยง้ สลับที่ (Contrapositive) ก็ได้)

จาก () และ () สรปุ ไดว้ ่า “ p  q ” เปน็ จริง

ตวั อย่างที่ 7 ให้ a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ จู นว์ ่า a เปน็ จำนวนคี่ กต็ ่อเมอ่ื a2 เปน็ จำนวนคี่

แนวคิด จะพิสูจนว์ ่า 1) ถ้า a เปน็ จำนวนค่ี แลว้ a2 เป็นจำนวนค่ี
2) ถา้ a2 เปน็ จำนวนคี่ แล้ว a เปน็ จำนวนค่ี

พิสจู น์ ให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

() จะต้องพิสจู น์วา่ …………………………………………………………………………………………………………………….

สมมติ a เปน็ จำนวนค่ี [ จะแสดงวา่ a2 เปน็ จำนวนค่ี นัน่ คอื …………………..……………..……………… ]
โดยบทนยิ ามของ……………….. จะได้วา่ a =………………… สำหรบั บาง m  
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธรี ะยุทธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพสิ จู นท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 20

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

() จะต้องพสิ จู นว์ า่ …………………………………………………………………………………………………………………….
[ จะพิสจู นแ์ บบ......................................................... ]

แนวคิด ให้ p แทน “ a2 เปน็ จำนวนค่ี” จะได้ ~ p แทน “…………………………………………..”
ให้ q แทน “ a เป็นจำนวนค่ี” จะได้ ~ q แทน “…………………………………………..”

เนือ่ งจาก p → q  ~ q → ~ p
ดงั น้ัน จะพิสูจน์วา่ “………………………………………………………………………..…………………….” แทน

สมมต.ิ ...................................... [ จะแสดงวา่ a2 เปน็ จำนวน........ นน่ั คือ................................... ]

โดยบทนิยามของ.............................. จะไดว้ ่า a =............... สำหรับบาง n
พิจารณา a =.............

a2 = (........)2

a2 = .............. สำหรับบาง 2m2  และให้ …….. = 2m2 ;

a2 = 2(.........)

a2 = ............... สำหรบั บาง.................

โดยบทนิยามของ........................... จะได้ว่า a2 เปน็ จำนวน........

ดังนั้น “.......................................................................................” เป็นจรงิ

โดยการพสิ ูจนแ์ บบ........................... จะไดว้ ่า

“.......................................................................................” เป็นจรงิ

จาก () และ () สรปุ ไดว้ า่ “ a เป็นจำนวนค่ี กต็ ่อเมือ่ a2 เปน็ จำนวนค”ี่ เปน็ จรงิ

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธีระยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 21

แบบฝึกหดั ท่ี 3
1) ให้ a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ ูจนว์ า่ 3a +1 เปน็ จำนวนคู่ กต็ ่อเมื่อ 5a − 2 เป็นจำนวนคี่

แนวคดิ จะพสิ ูจนว์ า่ 1) ………………………………………………………………………………………………………………….
2) ………………………………………………………………………………………………………………….

พิสจู น์ ให้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธรี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพสิ จู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 22
2) ให้ a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ จงพิสจู นว์ า่ a เป็นจำนวนค่ี ก็ต่อเมื่อ a3 เปน็ จำนวนคี่

แนวคิด จะพิสจู น์ว่า 1) ………………………………………………………………………………………………………………….
2) ………………………………………………………………………………………………………………….

พสิ จู น์ ให้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสูจนท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 23
3) ให้ a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ ูจน์วา่ a เปน็ จำนวนคู่ ก็ต่อเม่ือ 4 a2

แนวคดิ จะพสิ จู นว์ ่า 1) ………………………………………………………………………………………………………………….
2) ………………………………………………………………………………………………………………….

พิสูจน์ ให้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครูธรี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพสิ ูจน์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 24

4. การพสิ จู น์โดยการแจงกรณี (Exhaustion)

เนื่องจาก ( p1  p2 ) → q  ( p1 → q)  ( p2 → q) ถ้าพิสูจน์ได้ว่า ( p1  p2 ) → q
เป็นจริง จะทำให้ได้ว่า ( p1 → q)  ( p2 → q) เป็นจริงด้วย (ในบางครั้ง ข้อความที่ให้มาจะอยู่ในรูป
p → q ซึง่ เราจะตอ้ งพจิ ารณาใหด้ วี ่าประพจน์ p ทใี่ หม้ านนั้ สามารถแบง่ ออกเป็นกรณีใดได้บ้าง)

โครงสร้างการพสิ ูจนป์ ระพจน์ ( p1  p2)  q โดยการแจงกรณี (Exhaustion)

เปรยี บเสมือนกับการแยกการพิสูจน์ออกเปน็ กรณยี ่อย 2 กรณี คือ

รปู แบบ ( p1  p2)  q
กรณีท่ี 1 สมมติ p1 เปน็ จริง แลว้ พสิ จู นใ์ หไ้ ดว้ า่ q เปน็ จรงิ
กรณีที่ 2 สมมติ p2 เปน็ จริง แลว้ พสิ ูจน์ใหไ้ ดว้ ่า q เปน็ จรงิ
จากกรณที ่ี 1 และ กรณที ่ี 2 จะได้วา่ “( p1  p2)  q ” เปน็ จรงิ

การพิสจู น์โดยการแจงกรณีสามารถนำไปใชไ้ ด้กับข้อความที่มมี ากกว่า 2 กรณีได้ กลา่ วคือ
ถา้ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ ( p1  p2  p3   pn)  q เป็นจริง
เราจะต้องพิสจู นว์ ่า ( p1  q)  ( p2  q)  ( p3  q)   ( pn  q) เปน็ จรงิ

ตัวอย่างท่ี 7 จงพิสูจนว์ า่ n2 + n เป็นจำนวนคู่ สำหรบั จำนวนเต็ม n ใด ๆ
พิสจู น์ ให้ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

สมมติ ………………………………… หรือ …………………………………
[ จะแสดงวา่ .................................................... นนั่ คือ............................................................. ]
กรณที ่ี 1 สมมติ n เปน็ จำนวนคู่

โดยบทนยิ ามของจำนวนคู่ จะได้ว่า …………………………………………………
พิจารณา n = 2m

n2 = (2m)2

n2 + n = 4m2 + 2m สำหรับบาง 2m2 + m

( )n2 + n = 2 2m2 + m

ให้ k1 = 2m2 + m จะได้วา่ n2 + n = 2k1 สำหรบั บาง k1 
โดยบทนิยามของจำนวน…………. จะได้ว่า ………………………………………

ดังน้ัน ถ้า ................................................ แลว้ .......................................................

กรณที ่ี 2 สมมติ n เปน็ จำนวนค่ี

โดยบทนยิ ามของจำนวนค่ี จะไดว้ ่า …………………………………………………

พิจารณา n = 2p +1

n2 = (2 p +1)2

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธีระยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 25

( )n2 + n = 4 p2 + 4 p +1 + (2 p +1)

n2 + n = 4p2 + 6p + 2

( )n2 + n = 2 2 p2 + 3p +1 สำหรบั บาง 2p2 + 3p +1

ให้ k2 = 2 p2 + 3p +1 จะได้ว่า n2 + n = 2k2 สำหรับบาง k2 
โดยบทนยิ ามของจำนวน………….. จะไดว้ ่า ………………………………………

ดงั นน้ั ถ้า ................................................ แลว้ .......................................................

จากกรณีท่ี 1 และ กรณีที่ 2 จะไดว้ า่ “ n2 + n เปน็ จำนวนคู่ สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ” เปน็ จรงิ

แบบฝึกหัดท่ี 4

1) จงพสิ จู นว์ า่ a2 −a เปน็ จำนวนคู่ สำหรับจำนวนเตม็ a ใด ๆ
พิสจู น์ ให้ a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ

สมมติ ………………………………… หรอื …………………………………
[ จะแสดงว่า.................................................... นนั่ คือ............................................................. ]
กรณที ี่ 1 สมมติ ……………………………………………..

โดยบทนยิ ามของ…………………………… จะไดว้ า่ …………………………………………………
พิจารณา……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

กรณที ่ี 2 สมมติ ……………………………………………..

โดยบทนยิ ามของ…………………………… จะได้วา่ …………………………………………………
พจิ ารณา……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครธู รี ะยุทธ วันนา

โครงสร้างและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 26

2) จงพสิ ูจนว์ ่า ถ้า a เปน็ จำนวนเต็ม แล้ว 3a + a2 เป็นจำนวนคู่

พสิ จู น์ สมมติ a เป็นจำนวนเต็ม
จะไดว้ า่ ………………………………… หรือ …………………………………
[ จะแสดงวา่ .................................................... น่นั คือ............................................................. ]

กรณีที่ 1 สมมติ ……………………………………………..

โดยบทนิยามของ…………………………… จะได้ว่า …………………………………………………
พิจารณา……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

กรณีที่ 2 สมมติ ……………………………………………..

โดยบทนิยามของ…………………………… จะได้วา่ …………………………………………………
พิจารณา……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

จากกรณีท่ี 1 และ 2 จะไดว้ ่า “...................................................................................................” เป็นจรงิ

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรยี งโดย ครธู รี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสจู นท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 27

3) สำหรบั จำนวนเต็ม a ใด ๆ จงพสิ ูจนว์ า่ a2 −3a +5 เป็นจำนวนคี่

พสิ ูจน์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธรี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 28

4) ให้ a,b และ c เปน็ จำนวนเตม็ ท่ีไมเ่ ปน็ ศนู ย์ จงพิสูจนว์ ่า ถ้า a b หรือ a c แลว้ a bc

พสิ ูจน์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครูธรี ะยทุ ธ วันนา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 29

5. การพิสูจน์การมเี พียงสิ่งเดียว (Uniqueness)

ให้ P(x) เปน็ ข้อความท่ีเกย่ี วขอ้ งกับตัวแปร x และ U แทน เอกภพสัมพทั ธ์
ขอ้ ความทกี่ ลา่ วว่า “มี x ทท่ี ำให้ P(x) เปน็ จริง” เขยี นแทนดว้ ย

xP(x) เมอื่ xU
ข้อความท่ีกลา่ วว่า “มี x เพยี งตวั เดยี ว ทท่ี ำให้ P(x) เปน็ จริง” เขียนแทนด้วย

!xP(x) เม่อื x U

โครงสร้างการพิสจู น์การมเี พียงสง่ิ เดียว (Uniqueness)

ในการพสิ ูจนก์ ารมเี พยี งส่งิ เดยี ว !xP(x) จะตอ้ งพิสูจน์ 2 ขั้นตอน ดงั น้ี
ขน้ั ที่ 1 พสิ จู นส์ ง่ิ ทม่ี ีจริง x U P(x) เป็นจริง

น่ันคือ มี x ใน U ทีท่ ำให้ P(x) เป็นจรงิ

ขั้นที่ 2 พิสจู น์ส่งิ ท่มี จี ริงเพียงส่งิ เดียว x Uy U (P(x)  P(y))  (x = y)
น่นั คือ ให้ x, y U ทท่ี ำให้ P(x) และ P(y) เปน็ จริง [จะแสดงว่า x = y ]

ตัวอย่างที่ 8 จงพิสูจน์วา่ มีจำนวนนบั n เพียงจำนวนเดียวเทา่ นัน้ ทท่ี ำให้ n2 = 4
พสิ ูจน์ [จะพสิ ูจนก์ ารมเี พียงสง่ิ เดียว]
ขน้ั ท่ี 1 พิสูจน์สงิ่ ทมี่ ีจรงิ n n2 = 4 เป็นจรงิ

เลอื ก n = 2 จะไดว้ ่า n ทีท่ ำให้ n2 = 22 = 4 เปน็ จรงิ
ขัน้ ที่ 2 พิสจู นส์ งิ่ ทม่ี จี รงิ เพียงส่ิงเดยี ว n m ( ) n2 = 4  m2 = 4  (n = m)

ให้ n,m ที่ทำให้ n2 = 4 และ m2 = 4 [จะแสดงว่า n = m ]
พจิ ารณา n2 − m2 = 0

(n−m)(n+ m) = 0

จะไดว้ า่ n − m = 0 หรอื n + m = 0
เนื่องจาก n,m ทำให้ n + m  0
จะไดว้ ่า n − m = 0 ดงั นนั้ n = m
จากข้นั ที่ 1 และข้นั ท่ี 2 จะไดว้ ่า “มีจำนวนนบั n เพยี งจำนวนเดียวเทา่ น้ัน ท่ที ำให้ n2 = 4 ” เปน็ จรงิ

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครธู รี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพิสูจนท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 30

แบบฝึกหดั ที่ 5

1) จงพิสจู น์ว่า มจี ำนวนนบั x เพียงจำนวนเดยี วเท่านน้ั ทีท่ ำให้ x2 +3x −10 = 0
พสิ ูจน์ [จะพิสูจน์..............................................................]
ขนั้ ที่ 1 พิสูจน์สง่ิ ทม่ี ีจริง..………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ขัน้ ท่ี 2 พสิ ูจน์สิ่งทมี่ ีจรงิ เพยี งสิ่งเดียว………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) จงพสิ จู น์วา่ สำหรบั จำนวนเตม็ a ใด ๆ จะมีจำนวนเตม็ b เพยี งจำนวนเดียวเทา่ นน้ั ทท่ี ำให้

a +b + 2 =1

พสิ ูจน์ [จะพสิ จู น์..............................................................]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครธู ีระยทุ ธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสูจนท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 31

6. การพสิ จู น์โดยใช้หลกั การอปุ นัยทางคณติ ศาสตร์ (Principle of Mathematic Induction)

การพิสูจน์โดยใช้หลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เป็นการพิสูจน์ข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนนับ
บางครั้งเราจะพบข้อความในรูป n P(n) ซึ่งการพิสูจน์ข้อความในรูปดังกล่าวต้องอาศัยสิ่งท่ี
เรียกว่า หลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มีรายละเอยี ดดังน้ี

หลกั อุปนยั ทางคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematic Induction)

ให้ n และ P(n) เป็นประโยคเปิดทม่ี ี n เปน็ ตัวแปร
ถา้ 1) P(1) เปน็ จรงิ
และ 2) สำหรบั จำนวนนบั k ใด ๆ ถา้ P(k) เป็นจริง แล้ว P(k +1) เป็นจริง
แล้ว สำหรบั จำนวนนบั n ใด ๆ P(n) เป็นจริง

การเขียนพิสูจน์ตามหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ สำหรับข้อความในรูป n P(n) จึงแบ่ง
ขน้ั ตอนการพิสจู นอ์ อกเป็น 2 ขั้นตอน ดงั น้ี

โครงสรา้ งการพิสจู น์โดยใช้หลกั อุปนัยทางคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematic Induction)
ขนั้ ที่ 1 พิสูจน์วา่ P(1) เปน็ จรงิ
ขัน้ ท่ี 2 พิสจู น์วา่ ให้ k  ถา้ P(k) เปน็ จรงิ แล้ว P(k +1) เปน็ จรงิ

ตัวอย่างที่ 9 จงพสิ ูจน์วา่ 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1) สำหรับทกุ จำนวนนบั n

พสิ จู น์ [จะพสิ ูจน์โดยใชห้ ลกั อุปนัยทางคณติ ศาสตร์]

ให้ n และ P(n) แทนขอ้ ความ “ 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1) ”

ขน้ั ที่ 1 พิจารณา n =1 จะได้ 2(1) = 1(1+1)

2 = 1(2)

2 =2

ดงั นนั้ P(1) เปน็ จรงิ

ขนั้ ท่ี 2 ให้ k 

สมมติ P(k) เปน็ จริง จะไดว้ า่ 2 + 4 + 6 + + 2k = k (k +1) เป็นจริง

[จะแสดงวา่ P(k +1) เปน็ จรงิ นัน่ คอื 2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k +1) = (k +1)((k +1) +1) ]

พจิ ารณา 2 + 4 + 6 + + 2k = k (k +1)

2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k +1) = k (k +1) + 2(k +1)

= k 2 + k + 2k + 2

= k 2 + 3k + 2

= (k +1)(k + 2)
= (k +1)(k +1) +1

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครูธีระยุทธ วันนา

โครงสรา้ งและการพสิ จู นท์ างคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 32

ดังนน้ั P(k +1) เปน็ จรงิ #
โดยหลกั อปุ นัยทางคณิตศาสตร์ จะได้ P(n) เปน็ จรงิ สำหรบั ทกุ n
นน่ั คอื 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1) สำหรบั ทกุ จำนวนนบั n

ตัวอยา่ งที่ 10 จงใช้อุปนยั ทางคณติ ศาสตร์พิสจู นว์ า่ 2n  2n+1 สำหรบั ทกุ จำนวนนบั n
พสิ ูจน์ [จะพิสจู น์โดยใช้หลักอุปนยั ทางคณติ ศาสตร์]

ให้ n และ P(n) แทนขอ้ ความ “ 2n  2n+1 ”
ขั้นท่ี 1 พิจารณา n =1 จะได้ 21  21+1

24

ดงั นน้ั P(1) เปน็ จรงิ

ขน้ั ที่ 2 ให้ k 

สมมติ P(k) เปน็ จริง จะไดว้ ่า 2k  2k+1 เป็นจริง

[จะแสดงว่า P(k +1) เปน็ จรงิ นั่นคอื 2k+1 ] 2(k+1)+1

พจิ ารณา 2k  2k +1

2  2k  2  2k+1

2k +1  2(k +1)+1

ดังนนั้ P(k +1) เปน็ จรงิ

โดยหลกั อปุ นยั ทางคณติ ศาสตร์ จะได้ P(n) เปน็ จรงิ สำหรบั ทกุ n

น่นั คอื 2n  2n+1 สำหรบั ทกุ n #

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธรี ะยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพิสจู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 33

แบบฝกึ หัดท่ี 6

1) จงพสิ จู น์ว่า 1+ 2 + 3+ + n = n(n +1) สำหรบั ทกุ ๆ จำนวนนบั n

2

พสิ จู น์ [จะพสิ จู น์โดยใช้หลักอปุ นยั ทางคณติ ศาสตร์]
ให้ n และ P(n) แทนขอ้ ความ…………………………………………………………………………………..

ขน้ั ท่ี 1 พจิ ารณา n =1 จะได้ …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….

ดังนน้ั P(1) เปน็ จรงิ
ข้ันที่ 2 ให้ k 

สมมติ P(k) เปน็ จริง จะไดว้ ่า ………………………………………………………………………………………….
[จะแสดงวา่ P(k +1) เปน็ จรงิ นนั่ คอื ………………………………………………………………………………….]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ า คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรยี งโดย ครูธีระยทุ ธ วันนา

โครงสรา้ งและการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 34

2) สำหรบั ทกุ ๆ จำนวนนบั n จงพสิ ูจน์ว่า 12 + 22 + 32 + + n2 = 1 n(n +1)(2n +1)

6

พสิ จู น์ [จะพิสูจน์…………………………………………………………………………….]
ให้ n และ P(n) แทนขอ้ ความ…………………………………………………………………………………..

ข้นั ที่ 1 พจิ ารณา n =1 จะได้ …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….

ดังนนั้ ……………………………………………….
ขนั้ ที่ 2 ให้ k 

สมมติ P(k) เปน็ จรงิ จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………….
[จะแสดงว่า P(k +1) เปน็ จรงิ นน่ั คอื ………………………………………………………………………………….]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธรี ะยุทธ วนั นา

โครงสรา้ งและการพิสจู นท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 35

3) สำหรบั ทกุ ๆ จำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ว่า 1+ 5 + 52 + ( )+ 5n−1 = 1 5n −1
4

พสิ จู น์ [จะพสิ จู น์…………………………………………………………………………….]
ให้ n และ P(n) แทนขอ้ ความ…………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณติ ศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครธู ีระยุทธ วนั นา

โครงสร้างและการพสิ จู น์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หนา้ 36

4) จงพิสจู น์ว่า 1 2 + 23 + 3 4 + + n(n +1) = 1 n(n +1)(n + 2)

3

สำหรบั ทุก ๆ จำนวนนบั n
พิสูจน์ [จะพสิ จู น์…………………………………………………………………………….]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรยี บเรียงโดย ครูธีระยทุ ธ วนั นา

โครงสร้างและการพิสูจนท์ างคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure and Proof) หน้า 37

5) จงใชอ้ ปุ นัยทางคณติ ศาสตร์พิสูจนว์ ่า 3n 1+ 2n สำหรบั ทกุ ๆ จำนวนนบั n

พิสูจน์………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ พสวท. 1 (ค30221) เรียบเรียงโดย ครธู ีระยุทธ วนั นา