Pendahuluan Metode Numerik

METODE NUMERIK
ST201406

Irma Fitria, S.Si., M.Si.

Program Studi Statistika

Institut Teknologi Kalimantan

2022

Kontrak Kuliah

Kehadiran minimal 80%.

Toleransi keterlambatan 15 menit.

Jika berhalangan hadir karena sakit, perlu menyertakan surat keterangan dari petugas kesehatan,
tertanggal hari kuliah dan diserahkan paling lambat H+1.
Kesempatan perbaikan nilai dilakukan pada masa perkuliahan (hingga minggu ke-15), setelahnya tidak ada
permintaan perbaikan nilai.
Kecurangan yang meliputi kegiatan plagiat, curang, dan/atau menyontek dalam setiap evaluasi dan/atau
kuis akan diberikan sanksi nilai 0 kepada mahasiswa yang bersangkutan.
Mahasiswa yang melakukan kecurangan dalam pengisian daftar hadir akan diberikan sanksi mulai dari
teguran hingga tidak lulus.

Deskripsi Mata Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua permasalahan dapat
Kuliah diselesaikan secara eksak atau dapat ditemukan dengan mudah solusi
eksaknya. Oleh sebab itu, diperlukan adanya suatu pendekatan dalam
menyelesaikan permasalahan tersebut. Umumnya, pendekatan tersebut
dapat ditentukan melalui penyelesaian numerik. Mata kuliah Metode
Numerik dipersiapkan untuk membekali kompetensi mahasiswa agar
mampu menyelesaikan suatu permasalahan secara numerik. Mata kuliah
Metode Numerik ini berbasis Student Centred Learning, di mana
mahasiswa akan belajar secara aktif metode-metode numerik dalam
penyelesaian masalah pencarian akar, sistem persamaan linier dan non
linier, interpolasi, diferensiasi dan integrasi numerik, optimasi, dan
pemodelan regresi menggunakan komputasi. Selain diarahkan untuk
belajar mandiri melalui tugas-tugas, mahasiswa diarahkan untuk
bekerjasama dalam kerja kelompok. Dengan mengikuti mata kuliah ini,
diharapkan mahasiswa mampu memanfaatkan metode numerik untuk
menyelesaikan permasalahan matematis, sains, dan teknik baik secara
manual maupun komputasi.

Metode assesment yang diberikan pada mata kuliah ini meliputi ujian
tertulis berupa kuis, ujian tengah dan akhir semester serta tugas-tugas
mandiri/kelompok, dan penilaian terhadap keaktifan mahasiswa.

CPMK

Mahasiswa mampu menerapkan metode-metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan matematis,
statistik, sains, dan teknik baik secara manual maupun menggunakan bantuan komputer. (C3, A3, P3)

Peta Kompetensi

Peta Konsep

Referensi

1. Chapra, S.C. & Canale, R.P. (2010). Numerical Methods
For Engineer, 6th edition. New York: McGraw-Hill
Companies.

2. Burden, R. L & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis
Ninth Edition. USA: Brooks/Cole, Cengage Learning.

3. Hanafi, L. (2009). Analisis Numerik. Diktat Kuliah
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember,
Surabaya.

Komposisi Nilai

Keaktifan 20%
Tugas 10%
Kuis 20%
UTS 25%
UAS 25%

01
Pendahuluan:

Metode Analitik, Metode
Numerik, Kesalahan/Error

Sub-CPMK (Tujuan Pembelajaran)

Mahasiswa mampu memahami metode analitik, metode numerik, dan kesalahan/error. (C2, A2, P1)

Bahan Kajian

Materi metode numerik secara keseluruhan dan kontrak kuliah.
Pendahuluan: metode analitik, numerik, kesalahan/error.

Pendahuluan

Umumnya, suatu permasalahan dalam sains dan teknologi
dinyatakan dalam suatu model atau persamaan matematis

Tidak semua permasalahan dapat diselesaikan secara
analitik/eksak.

Solusi eksak tidak dapat atau sulit ditemukan →
diperlukan solusi pendekatan

Metode numerik merupakan pendekatan dari solusi eksak

Metode Analitik Metode Numerik Analisa Numerik

• Penyelesaian masalah secara • Teknik menyelesaikan suatu • Analisa terhadap beberapa
analitik memberikan solusi permasalahan dengan metode numerik yang
yang eksak/pasti. pengoperasian hitungan. digunakan dalam
menyelesaikan suatu
• Seringkali suatu permasalahan • Penyelesaian masalah secara permasalahan sehingga dapat
tidak dapat atau sulit numerik akan memberikan diamati metode mana yang
diselesaikan secara analitik, solusi pendekatan. lebih baik.
sehingga diperlukan
pendekatan lain, yaitu metode • Umumnya mencakup • Perlu ukuran tertentu yang
numerik. sejumlah besar perhitungan dapat digunakan untuk
aritmatika yang sangat menyimpulkan metode mana
banyak, sehingga diperlukan yang lebih baik, salah satunya
bantuan secara komputasi. bisa dengan perbandingan
nilai error.

Angka Penting Dalam suatu perhitungan, nilai eksak/sejati dan nilai
aproksimasi/pendekatan/taksiran dibedakan.
Significant Number
Sebagai contoh, adalah nilai eksak dan nilai tersebut dapat
didekati dengan nilai aproksimasi 3,14.

Angka penting (angka signifikan) menyatakan banyaknya digit
tertentu yang digunakan untuk meyakinkan suatu taksiran.

Angka penting adalah tiap angka atau digit dari angka
1, 2, 3, … , 9 dan 0.

Jika 0 digunakan untuk menentukan titik desimal maka 0
bukan angka penting.

Contoh

Bilangan 0,00132 memiliki 3 angka penting, yaitu 1, 3, dan 2.
Bilangan 1320 memiliki 3 angka penting, yaitu 1, 3, dan 2.*
Bilangan 1032 memiliki 4 angka penting, yaitu 1, 0, 3, dan 2.
Bilangan 10320 memiliki 4 angka penting, yaitu yaitu 1, 0, 3, dan 2.*
Bilangan 3,72 x 104 memiliki 3 angka penting, yaitu 3, 7, dan 2.
Bilangan 3,720 x 104 memiliki 4 angka penting, yaitu 3, 7, 2, dan 0.
Bilangan 3,7200 x 104 memiliki 5 angka penting, yaitu 3, 7, 2, 0, dan 0.

*angka 0 dianggap penting atau signifikan jika terdapat tanda strip/garis pada bilangan tersebut. Misalnya 1320ത
dan 10320ത.

KESALAHAN / ERROR

Kesalahan atau error atau galat muncul akibat penggunaan metode
pendekatan atau aproksimasi atau hampiran dalam menyelesaikan suatu
permasalahan.

Selisih antara nilai eksak/sejati (nilai sesungguhnya) dan nilai pendekatan
disebut error.

= −
dimana:
: error sejati
: nilai sejati
: nilai aproksimasi/pendekatan

Error Relatif

Error relatif diperoleh dengan menormalkan error terhadap nilai eksak atau sejatinya.
Umumnya dinyatakan dalam persentase.

= × 100%


dengan persentase error relatif sejati.

Dalam metode numerik, nilai eksak/sejati hanya akan diketahui jika suatu permasalahan yang
umumnya dinyatakan dalam suatu model atau persamaan matematis dapat diselesaikan secara
analitik atau eksak.

Jika nilai eksak tidak diketahui, maka digunakan penormalan error dengan menggunakan
taksiran terbaik yang tersedia dari nilai eksak, yaitu dari nilai aproksimasi/pendekatan itu
sendiri.

=


dimana adalah error aproksimasi.

Secara iterasi, nilai aproksimasi sekarang diperoleh dari perhitungan nilai aproksimasi sebelumnya.

= − −1 × 100%


dimana

: persentase error relatif aproksimasi
: nilai aproksimasi sekarang
−1 : nilai aproksimasi sebelumnya.

Nilai aproksimasi benar sampai suatu nilai toleransi dengan angka penting/digit signifikan jika
| | <

dimana = 0,5 × 102− %.

Pertimbangan dalam Analisis Numerik

Beberapa hal yang dapat dijadikan sebagai dasar pertimbangan atau toleransi dalam
menganalisis metode numerik yang terbaik antara lain:
1. Tingkat kesalahan/error
2. Jumlah iterasi
3. Lamanya waktu
4. Biaya

Sumber Kesalahan

Kesalahan pemodelan
Kesalahan bawaan
Ketidaktepatan data
Kesalahan pemotongan
Kesalahan pembulatan

Beberapa Jenis Error Lainnya

MSE (Mean Square Error)
RMSE (Root Mean Square Error)
MAE (Mean Absolute Error)
MAPE (Mean Absolute Percentage Error)

MSE

− 2

= ෍

RMSE

− 2

= ෍

MAE

= ෍ | − |


MAPE

1 − × 100%
= ෍

Bahan Diskusi

Instruksi Kegiatan

Bentuklah kelompok (4-5 orang)
Diskusikan mengenai:
A. Perbedaan metode analitik dan numerik, berikan contohnya
B. Mengapa penting mempelajari metode numerik, berikan contoh penerapannya
C. Selesaikanlah permasalahan 1 dan 2
D. Tuliskan tugas/tanggung jawab masing-masing individu
E. Laporkan hasil diskusi kelompok word

Permasalahan - 1

Dalam suatu survei lapangan mengenai lebar suatu jalan dan sungai, diperoleh hasil pengukuran
lebar jalan dan sungai masing-masing sebesar 6,7 m dan 2,2 m. Nilai eksak/sejati lebar jalan dan
sungai berturut-turut adalah 7 m dan 2,5 m.
Berapakah error sejati dari pengukuran lebar jalan dan sungai tersebut?

Berdasarkan data tersebut, pengukuran mana yang lebih baik, pengukuran lebar jalan atau
sungai? Atau sama saja? Berikan penjelasannya.

Permasalahan - 2

Misalkan kita ingin mengaproksimasi nilai fungsi untuk = 0,5 dengan suatu pendekatan.
Kita ketahui bahwa fungsi dapat dinyatakan sebagai
2 3
= 1 + + 2! + 3! + ⋯
1!

Lengkapilah Tabel berikut ini:

TERIMAKASIH
Sampai Bertemu Minggu Depan

Pembahasan Permasalahan 1

Persentase error relatif untuk pengukuran lebar jalan adalah
0,3

= 7 × 100% = 4,29%.

Persentase error relatif untuk pengukuran lebar sungai adalah
0,3

= 2,5 × 100% = 12%.
Jadi, walaupun pengukuran lebar jalan dan sungai tersebut memiliki error yang sama, yaitu 0,2
m, tetapi persentase error pengukuran lebar sungai lebih besar dibandingkan persentase error
pengukuran lebar jalan.
Dengan demikian, dapat diambil kesimpulan bahwa pengukuran lebar jalan lebih baik atau lebih
teliti dibandingkan pengukuran lebar sungai.

Permasalahan - 2

Misalkan kita ingin mengaproksimasi nilai fungsi untuk = 0,5 dengan suatu pendekatan.
Kita ketahui bahwa fungsi dapat dinyatakan sebagai
2 3
= 1 + + 2! + 3! + ⋯
1!