ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค23202 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เสนอ คุณครู วุฒิไกร ไชยช่วย ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/1 โรงเรียนคำ เขื่อนแก้วชนูปถัมภ์ อำ เภอคำ เขื่อนแก้ว จังหวัดยโสธร สำ นักงานเขตพื้นที่การศึกษา มัธยมศึกษาศรีสะเกษยโสธร

ควรรู้ก่อนเรียน สมการเชิงเส้นสองตัวแปร กำ หน กำ หนดให้x,yเป็นตัวแปรเรียกสมการax +by+ c =0 เมื่อa,bและ c เป็นค่าคงตัวที่เอและบีไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้น สองตัวแปรเมื่อนำ รูป รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเมื่อนำ รูปทั่วไป ของสมการเชิงเส้นของตัวแปรมาจัดในรูปจะได้สองแบบดังนี้ 1. ax + by = สี่เมื่อเอบีและ c เป็นค่าคงตัวที่เอและบีไม่เท่ากับศูนย์พร้อม กัน 2. y = ax + bเมื่อabเป็นค่าคงตัวเรียกaว่าสัมประสิทธิ์ของx คำ ตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คำ ตax +by =c. cx + dy = f. ว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งคำ ตอบของระบบ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x,y) ที่ค่า x และ ค่า y ทำ ให้สมการทั้งสองของ ระบบสมการเป็นจริง กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ax + by = C โดยที่ a และ b ไม่เท่ากับศูนย์ จะเป็นเส้นตรง ที่ตัดแกน X และแกน Y กล่าวคือ ถ้า x = 0 แล้ว y = ฿ แสดงว่าเส้นตรงตัดแกน Y ที่ (0. 6) และถ้า y - 0 แล้ว x - 2 แสดงว่าเส้นตรงตัดแกน x ที่ (f. •) 2. ถ้าสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มีสมการในรูป y = ax + b และ y = ax + d เมื่อ a, b และ d เป็นจำ นวน จริงใดๆ และ b ‡ d แล้ว กราฟของสมการเชิงเส้นทั้ง 2 เส้นนี้จะขนานกัน 3. กำ หนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปร y = ax + b ถ้า a > 0 จะได้กราฟเส้นตรงเอียงทำ มุมแหลมกับแกน X (เมื่อวัดมุมจากแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกาไปยังเส้นตรงนั้น) และถ้า 8<0 จะได้กราฟเส้นตรงเอียงทำ มุมป้านกับแกน X (เมื่อวัดมุมจากแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกาไปยังเส้นตรงนั้น) 4. กราฟของสมการ y = Cเมื่อ C เป็นจำ นวนจริงใด ๆ เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และดัดแกน Y ที่ จุด (0, c) และกราฟของสมการ x = m เมื่อ m เป็นจำ นวนจริงใด ๆ เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน X และตัดแกน X ที่จุด (m, 0) แบบทดสอบพื้นฐานก่อนเรียน

1.1ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร นักเรียนทราบมาแล้วว่า (สมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึง สมการที่อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัวที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน หรือสามารถจัดรูปสมการเชิงเส้นสอง ตัวแปรได้ 2 แบบ ดังนี้ 1. ax + by = C เมื่อ a, b และ C เป็นค่าคงตัวที่ a และ b ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน 2. y = ax + b เมื่อ 2 และ b เป็นค่าคงตัวที่ ล ไม่เท่ากับศูนย์นอกจากนี้ นักเรียนได้ทราบมาแล้วว่า คำ ตอบของสมการเชิง เส้นสองตัวแปรที่มี x และy เป็นตัวแปร คือ จำ นวนที่แทน x และ y แล้วทำ ให้สมการเป็นจริง เมื่อนักเรียนนำ คู่อันดับที่ เป็นคำ ตอบของสมการเชิงเส้นไปเขียนกราฟในระบบพิกัดฉาก จะได้ กราฟของสมการเชิงเส้นในหัวข้อนี้ นักเรียนจะได้ ศึกษาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับ สมการที่อยู่ในรูป x + by = c

1.กำ หนดให้ x, y เป็นจำ นวนจริงใดๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสอง ตัวแปรที่มี 2 สมการดังต่อไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พร้อมทั้งหาคำ ตอบ ของระบบสมการ 2X - y = 5 3x + y = 10 วิธีทำ ให้ 2X - y = 5 … 1 3X + y = 10 …2 เขียนกราฟของสมการ 0 และ 2) ได้ ดังนี้ ตัวอย่างที่1 จากกราฟ จะเห็นว่า มีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำ ตอบของสมการ 2x - y = 5 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำ ตอบของสมการ 3x + y = 10เนื่องจากกราฟ ของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรง 2 เส้นซึ่งตัดกันที่จุด (3, 1) หรือกราฟของ สมการทั้งสองมีจุด (3, 1) เป็นจุดร่วมเพียงจุดเดียว แสดงว่ามีคู่อันดับเพียง คู่เดียว คือ (3, 1) ที่เป็นคำ ตอบของระบบสมการ ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคำ ตอบเพียงคำ ตอบเดียว คือ (3, 1) หรือคำ ตอบ ของระบบ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ x = 3 และ y = 1

ตัวอย่างที่2 กำ หนดให้ x, y เป็นจำ นวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการ เชิงเส้นสองตัวแปรที่มี 2 สมการดังต่อไปนี้ ในระบบพิกัดฉาก เดียวกัน พร้อมทั้งหาคำ ตอบของระบบสมการ x + 2y = 8 2x + 4y = 20 วิธีทำ ให้ x + 2y = 8 …1 2X + 4y = 20 …2 เขียนกราฟของสมการ 1 และ 2 ได้ ดังนี้ เนื่องจากเส้นตรงที่ได้จากสมการ 0 และ 2 ขนานกัน จึงไม่มีจุดตัดของระบบ สมการ ซึ่งแสดงว่าไม่มีค่า x และ y ที่สอดคล้องกับระบบสมการเชิงเส้นสอง ตัวแปรนี้ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำ ตอบ

ตัวอย่างที่3 3. กำ หนดให้ x, y เป็นจำ นวนจริงใดๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี 2 สมการดังต่อไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พร้อมทั้งหาคำ ตอบของระบบสมการ x - 2y = 4 3х - бу = 12 วิธีทำ ให้ x - 2y = 4 …1 3x - бу = 12 …2 เขียนกราฟของสมการ 1และ2ได้ ดังนี้ จากกราฟ จะเห็นว่า เส้นตรงที่ได้จากสมการหรือกล่าวว่าเส้นตรงทั้งสองนั้นซ้อน ทับกัน1และ2เป็นเส้นตรงเส้นเดียวกัน

ตัวอย่างที่3 แสดงว่ามีค่า x และ y สอดคล้องกับกั สมการทั้งทั้สองมากมาย นั่นคือ คู่อันอัดับดัที่ แทนจุด ทุกจุดบนเส้นตรงเป็นคำ ตอบของ ระบบสมการเชิงเส้นที่กำที่ กำหนดให้เมื่อ พิจพิ ารณาสมการ x - 2y =4 จะได้ 2y = x - 4 X - 4 y = 2 และพิจพิ ารณาสมการ 3x - 6y = 12 จะได้ 6y = 3x - 12 นำ 3 มาหารทั้งทั้สองข้างของสมการจะได้ 2y = x - 4 x - 4 y = 2 จะเห็นว่า สมการ i และ 2 เป็นสมการเดียดีวกันกั จึงจึกล่าวได้ว่ ด้ ว่า ระบบสมการนี้มีค่าของ x และy ที่สที่อดคล้องกับกั สมการมากมายไม่ จำ กัดกั ได้แ ด้ ก่ จุดทุกจุดบนเส้นตรง ซึ่งเขียน ในรูป (x, * = 4) เมื่อ x เป็นจำ นวนจริง ใดๆ ตอบ

1.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร หาจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบ สมการ ให้ ax+by=c --1 dx +ey= f -----2 โดยจะมีแกนนอนหรือเรียกว่าแกน x และแกนตั้งหรือ เรียกว่าแกน y บริเวณที่เส้นกราฟซึ่งแสดงข้อมูลตัดผ่านแกนจะเรียกว่า จุดตดหากเส้นกราฟตัดผ่านแกน y จะเรียกว่า จุดตัด แกน y และหากเส้นกราฟตัดผ่านแกน X จะเรียกว่า จุด ตัดแกน X การหา โดยการหาจุดจัด จะสามารถน้ำ ในใช้ในการสร้างกราพอง สมการ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธี วิ ก ธี ารแก้ระบบสมการเชิงเส้น ส้ สองตัว ตั แปรมี 2 วิธี วิ ธี 1. วิธีแก้ระบบสบการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่า 2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำ จัด ตัวแปร

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรมี 2 วิธี ดังนี้ 1. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่ากำ หนดระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ax + by = c dx + ey = f 2 วิธีการแก้สมการโดยการแทนค่ามีขั้นตอน ดังนี้ 1) เลือกสมการ 0 หรือ 2 เพื่อเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เช่น เขียน x ในรูปของ y หรือเขียน y ในรูปของ x 2) นำ สมการที่ได้จากการจัดรูปในข้อ 1) แทนที่ตัวแปรนั้นในอีกสมการหนึ่ง 3) แก้สมการในข้อ 2) จะได้ค่าของตัวแปรหนึ่ง 4) นำ ค่าของตัวแปรที่ได้จากข้อ 3) แทนค่าสมการในข้อ 1) จะได้ค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่งนำ ค่าของ ตัวแปรทั้งสองซึ่งเป็นคำ ตอบของระบบสมการเชิงเส้นนี้มาเขียนในรูปของ คู่อันดับ เมื่อนักเรียนทราบวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่าแล้ว ตัวอย่างโจทย์ จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ 3X - У = 17 X + 2y = 8 วิธีทำ 3x - У = 17…1 X + 2y = 8…2 จากสมการ 0 เขียน y ในรูปของ x ได้เป็น У = 3x - 17 นำ y ที่ได้จากสมการ 3 แทนในสมการ 2จะได้ จะได้ X + 2(3X - 17) = 8 สมการนี้เป็นสมการตัวแปรเดียว แก้สมการหาค่า x X + 6X - 34 = 8 X + 6X = 8 + 34 7x = 42 X = 42 หรือ เมื่อแทน x ด้วย 6 ในสมการจะได้ У = 3(6) - 17 = 18 - 17 หรือ У = 1 ตรวจสอบคำ ตอบ เมื่อแทน x ด้วย 6 และแทน y ด้วย 1 ในสมการ 0 จะได้ 3(6) - 1 = 17 18 - 1 = 17 17 = 17 ซึ่งทำ ให้สมการเป็นจริง ดังนั้น คำ ตอบของระบบสมการ คือ (6, 1) และ 2 จะได้ 6 + 2(1) = 8 6 + 2 = 8 • ซึ่งทำ ให้สมการเป็นจริง

วิธี วิ แ ธี ก้ระบบสมการเชิงเส้น ส้ สองตัว ตั แปรโดยการกำ ขัด ขั ตัว ตั แปร มีขั้นตอน ดังนี้ 1) ทำ สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำ จัดให้เป็นจำ นวนตรงข้ามกันโดยใช้สมบัติ การเท่ากันสำ หรับการคูณ 2) ใช้สมบัติการเท่ากันสำ หรับการบวกกำ จัดตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ตรงข้ามกันในข้อ 1) เมื่อกำ จัดตัวแปรตัวหนึ่งออกแล้ว สมการที่ได้จะเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 3) หาคาตอบของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในข้อ 2) คำ ตอบที่ได้จะเป็นค่าคงตัวของตัวแปรตัวหนึ่ง 4) หาค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง โดยนำ ค่าของตัวแปรในข้อ 3) แทนค่าในสมการ 1 หรือ 2 ก็ได้ ตัวอย่างโจทย์ จงหาคำ ตอบของระบบสมการ X + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 X+7y=8…1 3X+2y=5…2 (1)x3 3x +21 = 24…3 (3)-(2) 21y - 2y = 24-5 19 y = 19 Y=1 แทน y=1 ในสมการ (1) X + 7(1)=8 X= 1 ••X = 1 , y = 1

1.3การนำ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาใน สถานการณ์ต่างๆ ปัญหาที่เ ที่ กิดขึ้นในสถานการณ์ต่าง ๆ หลายปัญหา สามารถนำ มา เขียนเป็นระบบสมการเชิงเส้นสองตัว ตั แปรได้ และใช้ระบบสมการ เชิงเส้นสองตัว ตั แปรในการแก้ปัญหา ซึ่งมีขั้น ขั้ ตอนการแก้ปัญหา ดัง ดั นี้ 1. สมมติตัติว ตั แปรสองตัว ตั เพื่อ พื่ แทนปริมาณ 2 ปริมาณที่ต้ ที่ ต้ องการ ทราบค่า 2. สร้างระบบสมการเชิงเส้นสองตัว ตั แปรที่ปที่ ระกอบด้ว ด้ ยสมการเชิง เส้นสองตัว ตั แปร 2สมการ โดยใช้เงื่อ งื่ นไขจากโจทย์ปัย์ ปั ญหานี้ 3. แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัว ตั แปร เมื่อนักเรียนทราบวิธีวิ ก ธี ารแก้ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสอง ตัว ตั แปรแล้ว ให้นักเรียน ศึกษาตัว ตั อย่างการแก้ปัญหาต่าง ๆ ต่อไป นี้

ตัว ตั อย่าง 1

ต่อ

ตัว ตั อย่าง 2

ตัวตัอย่าง 3

ต่อ

แบบฝึกหัด หั 1)ข้อข้ ใดเป็นสมการเชิงเส้นสองตัวตัแปร ก) x2 + 2x - 5 = 0 ข) 3xy = 5 ค) -5y = 3x - 7 ง)x + y2 = 25 2.ข้อข้ ใดเป็นสมการเชิงเส้นสองตัวตัแปร ก)xy = 1 ข)x2+ y2 = 4 ค)xy2-3x2/x=10 ง)x2- 3xy = 1 3.สมการ 3x + 4y = 12 ถ้า x = -4 แล้ว y มีค่าตรงกับกัข้อข้ ใด ก) -6 ข) 0 ค) 3 ง) 6 4.จุดใดต่อไปนี้อยู่บยู่นเส้นตรง 2x - 3y - 1 = 0 ก) (3, -5) ข) (2, 1) ค) (0, 3) ง) (1, 2)

5.ลักลัษณะของกราฟเส้นตรงจากสมการ y = -3x+5 คือข้อข้ ใด ก) ทำ มุมแหลมกับกัแกน X และตัดตัแกน Y ที่จุที่จุด (0,5) ข) ทำ มุมป้านกับกัแกน X และตัดตัแกน Y ที่จุที่จุด (0,5) ค) ขนานกับกัแกน X ตัดตัแกน Y ที่จุที่จุด (0,5) ง) ขนานกับกัแกน Y ตัดตัแกน X ที่จุที่จุด (5,0) 6.เส้นตรงในข้อข้ ใดผ่านจุดกำ เนิด ก) y = 6 ข) x = -7 ค) y = -3x ง) y = -3x - 7 7.เส้นตรง 3x + y = 6 ตัดตัแกน Y ที่จุที่จุดใด ก) (0, 2) ข) (0, 3) ค) (0, 6) ง) (0, -6) 8.เส้นตรงที่ผ่ที่ ผ่านจุด (3, -3) และเส้นตรงทำ มุมแหลมกับกัแกน X ตรงกับกัข้อข้ ใด ก) y =2/3 X -5 ข) y = 2/3 X + 5 ค) y = -2/3 -5 ง) y = -2/3x+5

9.กราฟเส้นตรงในข้อข้ ใดขนานกันกั ก) y = 2x + 5 กับกั 2y = x + 5 ข) x + y = 5 กับกั 2x - 4y = -3 ค) 2y = x + 1 กับกั 2y = 2x + 4 ง) y = 2x - 4 กับกั 4x - 2y + 5 = 0 10.สมการของกราฟในข้อข้ ใดขนานกับกัแกน Y ก) 2x - 3y = 5 ข) x = -4 ค) 2y = 8 ง) 2x - 3 = 8y 11.เส้นตรง ax + 3y - 5 = 0 ผ่านจุด (2 , -1) ดังดันั้น a มีค่าเท่าท่ ใด ก) -1 ข) 3 ค) 4 ง) 5 12.ถ้า (3 , a) เป็นคำ ตอบของสมการ 3x + 2y = 15 ค่าของ a เท่าท่กับกัเท่าท่ ใด ก) 0 ข)1.2 ค) 3 ง) 5

13.ถ้า x = 4 และ y = 8 สอดคล้องกับกัy = ax + b แล้ว (a,b) ตรงกับกัข้อข้ ใด ก) (3,2) ข)(3|2 , 2) ค.(1|2 , 2) ง.(2,5) 14.กราฟของสมการ 2x + 3y = 12 ไม่ตัม่ดตักับกั กราฟ ของสมการใด ก) y=0 ข)y=3/2x=3 ค)y=2/3x+3 ง)-2/3x+9 15.ร้านค้าแห่งหนึ่งมีกำ ไรสุทธิปีธิ ปี 2542 เป็นเงินงิ 270,000 บาท และกำ ไรสุทธิปีธิ ปีพ.ศ. 2546 เป็นเงินงิ 290,000 บาท ถ้าผลกำ ไรมีกราฟเป็นเส้นตรงแล้ว ปีพ.ศ. 2548 บริษัทษัจะมี กำ ไรกี่บาท ก) 295,000 ข) 300,000 ค) 301,000 ง) 310,000

เฉลยแบบฝึก 1)ค 2)ค 3)ง 4)ข 5)ข 6)ค 7)ค 8)ก 9)ง 10)ข 11)ค 12)ค 13)ข 14)ง 15)ข

จัด จั ทำ โดย ด.ญ. ฉัต ฉั รณิชานันท์ ป๊อกบุญเรือง เลขที่1ที่8 ม.3/1 ด.ญ.เบญญาภา ดุมกลาง เลขที่2ที่ 7 ม.3/1 ด.ญ.พัชพั รินทร์ แก่น ก่ นาคำ เลขที่3ที่ 3 ม.3/1 ด.ญ.รัต รั นพร พรหมจัน จั ทร์ เลขที่3ที่ 6 ม.3/1 ด.ญ.วรขวัญ วั พัฒ พั น์ สายสอน เลขที่3ที่ 7 ม.3/1 ด.ญ.ศิรประภา พุทธรัก รั ษ์ เลขที่3ที่ 8 ม.3/1 ด.ญ.สุชัญ ชั ญา ชนะสิทธิ เลขที่3ที่ 9ม.3/1 ด.ญ. อธิชธิา ลํ้าเหลือ เลขที่4ที่ 0 ม.3/1