_3_Codierungsmethoden_WS-14

Grundlagen der Informatik

Teil 3 Codierungen

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Codierungstheorie

Themen des Abschnitts:

o Grundlagen der Informations- und Codierungstheorie
o Wie werden im Rechner Zeichen dargestellt?
o Fehlererkennenden und fehlerkorrigierende Codierung
o Datenkomprimierung
o Häufigkeitscodes

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Definitionen

Information:

Das, was für andere oder einen selber wichtig ist!
• Zahlen, Texte, Bilder, Audiodaten, Windrichtungen, … .

Die Information ist der Wissensinhalt, die vom Sender zum
Empfänger übertragen wird.

Informationsmenge:

• Erkenntnisgewinn des Empfängers
• Menge der Daten der Ja/Nein Fragen,

die notwendig sind, die Information zu erhalten.
Maßeinheit (hier): Bit

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Übertragungsszenario: Codierung

Den Übertragungsweg nennt man auch Codierung.

Sinn der Codierung:

• Einfache Darstellung einer Information,
• Wiedererkennungswert der Information,
• Weiterverarbeitungs- und Speichermöglichkeiten der Information
• Komprimierung des Informationsinhalts
• Verschlüsselung des Inhaltes
• Erkennung von Fehlern in der übertragenen Information

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Beispiel Wetterstation

Gewünschte Information = Windrichtung

Nord

4 mögliche Werte: West Ost

Süd

• Wie viele Ja-Nein-Fragen werden benötigt, um die
Windrichtung zu erfahren?

• Wie könnte man die Antworten auf die Frage nach der
Windrichtung codieren?

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Beispiel Wetterstation Wind aus:

Maximal 2 Ja-Nein-Fragen,
 Informationsmenge 2 Bit

2 Bits können 4 Werte darstellen,
da 22 = 4 bzw. log2(4)= 2

Codierung1: Codierung 2:

Richtung Codewort Richtung Codewort
Nord 11 Nord 11
Süd 10 Süd 01
West 01 West 10
Ost 00 Ost 00

Wichtig: Zuordnung muss eindeutig definiert sein!

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Beispiel Wetterstation

Beispiel für eine ungeschickte Frage/Codierung

Es werden 3 Fragen benötigt!
Informationsmenge 2 Bit reicht trotzdem für die Codierung aus!
 Codierung unnütz aufwendig!

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Beispiel Wetterstation Version 2

Erweiterung des Systems:
Jetzt 8 Windrichtungen:

Nord, Nordwest, West, Südwest, Richtung Codewort
Süd, Südost, Ost, Nordost Nord 000
001
Maximal 8 Möglichkeiten zur Auswahl Nordost 010
Ost 011
3 Bit sind notwendig, da 23 = 8 100
Südost 101
Süd 110
111
Südwest
West

Nordwest

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Definition:

Vorab:

Ein Alphabet ist eine endliche Menge X von Elementen

X = {x1, x2, x3, … xn} mit n 

Definition:

Seien
A = {a1, a2, a3, … an} und B = {b1, b2, b3, … bm} Alphabete.

Dann heißt:

C : A B eine Codierung von A in B,

wenn C eine umkehrbar eindeutige Abbildung von A nach B ist.

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Folgerung:

1. Alle Werte von A werden in B abgebildet.

2. Rückschritt: Alle Werte von B müssen nicht unbedingt einen
„Wertepartner“ in A haben.

3. m (Anzahl Elemente in B) muss größer oder gleich
n (Anzahl Elemente in A) sein!

4. Man kann jederzeit von einem Wert bx auf den Wert ay
zurückschließen.

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Definitionen

Die Codierung heißt Binärcodierung, wenn es sich

bei der Zielmenge um ein Alphabet mit nur den beiden
Elementen {0,1} handelt.

Die Nachrichtenmenge und die Zielmenge können aber auch
Zeichenfolgen oder Einzelzeichen umfassen.

Wenn die Zielmenge nur Einzelzeichen umfasst, bezeichnet

man die Codierung auch als Chiffrierung.

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Codierung Beispiel 1

Beispiel: Farben:

Sei: A = { rot, gelb, blau} Alphabet
Bn = { alle 24-stelligen Dualzahlen} , Alphabet, n = 24

C1: A  B24 mit der Vorschrift:

C1 := { ( rot : 1111 1111 0000 0000 0000 0000 ),
( gelb : 0000 0000 1111 1111 0000 0000 ),
( blau : 0000 0000 0000 0000 1111 1111 ) }

Dann ist C1 eine Codierung! (genauer: Binärcodierung)!

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Codierung Beispiel 2

Beispiel: Farben:

Sei: A = { rot, gelb, blau} Alphabet
Bn = { alle 24-stelligen Dualzahlen} , Alphabet, n = 24

C2: A  B24 mit der Vorschrift:

C2 := { ( rot : 1111 1111 0000 0000 1111 1111 ),
( gelb : 0000 0000 1111 1111 0000 0000 ),
( blau : 1111 1111 0000 0000 1111 1111 ) }

Dann ist C2 keine Codierung !
Grund:
Nur eindeutige Zuordnung der Farben A auf den Bereich B24 .
Keine Rückzuordnung möglich!

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Anwendung Codierung

Eine Codierung :
1. legt fest, wie Daten abgespeichert werden
2. definiert Zeichen in einer Sprache
3. verschlüsselt Daten und Mails
4. vereinfacht die Informationsmenge
5. beschleunigt den Informationsfluss (sprich die

Rechenleistung)

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Codierung mit fester Codelänge

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ASCII - Code American Standard Code for

Erste Schritte: Information Interchange

ASCII: American Standard Code for Information Interchange

Entstanden zur Zeit der Fernschreiber als 5-Bit

Übertragungscode

(25 = 32 Zeichen)

Zu übertragende Zeichen:
Buchstaben, Ziffern 0 - 9

Geschwindigkeit 50 Baud (~50 Bit/s )
Benutzt für Telegramme,
Bundeswehr
Einfache Weiterleitung
Einfache Verschlüsselung

www.fernmeldemuseum-aachen.de

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ASCII –Code

Problem:
Anzahl der übertragbaren Zeichen = 32
Buchstaben + Ziffern 0 – 9 + eventuell gewünschte
Sonderzeichen > 36

Spezialzeichen zur Umschaltung
zwischen 2 „Ebenen“, daher können
56 Zeichen übertragen werden

Die Umschaltung bleibt so lange
bestehen, bis eine Rückschaltung
eingegeben wird.

www.fernmeldemuseum-aachen.de

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5 Bit ASCII-Code Fernschreiber CCITT Code 1

Aus www.i8086.de

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ASCII – Code Geschichte

1963: erste Veröffentlichung als Standard = US-Variante ISO 646

 33 nicht druckbare und
 95 druckbare Zeichen.

Druckbare Zeichen:
!"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?

@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_
`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~

7-Bit Code 02 – 111 11112 ( 010 – 12710 )

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Standard ASCII – Code (7 Bit)

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ASCII - Code

ASCII: American Standard Code for Information
Interchange

Beispiele:

 1310 CR Carrige return
 1010 LF Line feed
 2710 ESC Escape

 Zahlen ab : 4810 = 011 00002

 Großbuchstaben „A“ ab : 6510 = 100 00012

 Kleinbuchstaben „a“ ab: 9710 = 110 00012

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ASCII – Code Geschichte

Erweiterungen:

Nationale Sonderzeichen: ]

Bsp.: Deutschland: ] wird ersetzt durch Ü  ISO 646-DE
Dänemark: ] wird ersetzt durch Å  ISO 646-DK

Verschiedene Computerhersteller entwickeln eigenen Code.
IBM-PC und MS-DOS: Codepage 437 für englischen Markt,

Später wird Codepage 850 ab MS-DOS 3.3 für den
westeuropäischen Raum benutzt.

 Text, der nicht auf dem eigenen System erstellt wurde, ist
nur eingeschränkt lesbar.

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ASCII – Code Geschichte

 Erweiterungen auf 8 Bit

 Abwärts kompatibel zu 7 Bit, jedoch 8 Bit Code von 7 Bit
Systemen nicht lesbar.

 Weiterhin Spezialseiten für z.B. Westeuropa: ISO 8859-1

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ASCII - Code

7 Bit  8 Bit:
Die Codierung erfolgt in einem Byte pro Zeichen, so dass noch
ein Bit frei ist für spez. normierte Code-Erweiterungen.

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Anwendungsbeispiel für 8 Bit Erweiterung

Das Computerspiel Pac-Man(ca.1980)
wurde in der Graphik mit dem
8-Bit Zeichensatz programmiert.

Beispiel: ┌ ─ ─ ┐

Wie gebe ich diese Zeichen in meinen
Text ein?
Beispiel:
<ALT-Taste> halten ASCII-Code mit
NUM-Block eingeben!
<ALT-Taste> + 218  ┌
<ALT-Taste> + 196  ─
<ALT-Taste> + 191  ┐

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ANSI Code

Parallel zu dem ASCII-Code wurde der ANSI-Code
entwickelt.
• Gleich sind bei beiden Codes die ersten 127 Bits.
• Über 127 gibt es große Unterschiede.
• Auch in ANSI Code sind nur 256 mögliche Zeichen

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ASCII  ANSI - Codierung

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UTF-x-Codierung

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Unicode UCS-2 / UTF-16

Erkenntnis: ASCII- und ANSI-Code mit 256 Zeichen reichen nicht aus.

Entwicklung eines neuen Codes Unicode (www.unicode.org)

Unterteilung in mehrere Ebenen  leichte Erweiterbarkeit

Erste Ebene: 16 Bit „Basic Multilingual Plane“
 216 = 65536 Zeichen möglich
 genannt: UCS-2 Universal Character Set 2

auch: UTF-16 UCSTranformation Set 16 Bit

 Die ersten 256 Zeichen entsprechen dem Latin-1 Zeichensatz

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Beispiel: UCS-4 / UTF-32 Codierung

Zweite Ebene: 32 Bit „Basic Multilingual Plane“
232 = 4.294.967.296 Zeichen möglich

genannt: UCS-4 Universal Character Set 4

auch UTF-32 (UCS Transformation Format 32Bit)

Jetzt sind chinesische, japanische Schriftzeichen vorhanden, auch Runen
und Hieroglyphen, … .

Problem:

Weiteres Hinzufügen von Schriftzeichen erfordert ein größere
Zeichenlänge.

Bei fester Zeichenlänge für alle Zeichen wäre das System ineffizient
Codierung reiner ASCII- bzw. ISO-8859-Texte mit UCF-8 oder
UCF-16 wäre ineffizient.

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Beispiel: UTF-8-Codierung

UTF-8 Kodierung Bemerkungen Möglichkeiten
0xxxxxxx
Entspricht ASCII-Code 27 = 128
110xxxxx 10xxxxxx
Abhilfe:
1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
ErsUteTs BFy-te8beUgiCnnSt mittr1a10n: sfor2m11 =atio2n.048
11110xxx 10xxxxxx 1 fBoytremfoalgtt
10xxxxxx 10xxxxxx
ErstespBräytfeixbfergeinient Cmiot 1d1i1e0r: ung216 = 63.488
1111110x 10xxxxxx 2 Bytes folgen
10xxxxxx 10xxxxxx variabler Länge
10xxxxxx 10xxxxxx
Erste3smBByiytteteskbfuoerlggzienennnt mCito1d11e10w: örte22r1n= 2fü.0r97.152
ASCII- und ISO-8859-

ErstesZBeyitcehbeegninnt mit 1111110: 231 =

5 Bytes folgen 2.147.483.648

An die Stellen xxx wird der Unicode des Zeichens geschrieben.

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Beispiele UTF-8-Codierung

Zeichen Unicode Unicode binär UTF-8 binär UTF-8
Nummer hexadezimal
Buchstabe y
Buchstabe ä U+0079 00000000 01111001 01111001 0x79
Eurozeichen €
U+00E4 00000000 11010100 11000011 10100100 0xC3 0xA4

U+20AC 00100000 10101100 11100010 10000010 0xE2 0x82
10101100 0xAC

Volumenintegral U+2230 00100010 00110000 11100010 10001000 0xE2 0x88
∰ 10110000 0xB0

Smily ☺ U+1D11E 00000001 11010001 11110000 10011101 0xF0 0x9D
01011110 10000101 0x85 0x9E
10011110

NICHT verwechseln: Codelänge (Unicode binär) und
Länge im Text (Unicode + Kodierungszeichen)

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BCD-Codierung

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Binary Coded Decimals BCD-Code

Eine Zahlerncodierung
Jede dezimale Ziffer einer Zahl wird getrennt als 4 Bit-Wert
abgespeichert.  6 Bit-Kombinationen bleiben pro Ziffer
ungenutzt.

Dezimal Dualzahl Duale BCD-Darstellung

294 1.0010.0110 0010.1001.0100
16289 11.1111.1010.0001 0001.0110.0010.1000.1001

In der restlichen, nicht benutzten Bitkombinationen wird die

Information über das Vorzeichen gespeichert:
 Vorzeichen + : 1010
 Vorzeichen - : 1011

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BCD-Code Rechenregeln

Dezimalzahl Dualzahl Duale BCD-Darstellung

294 100100110 0010.1001.0100

16289 11111110100001 0001.0110.0010.1000.1001

Mögliche Werte: 00002 bis 10012

Bsp: Addition:
710 + 810 = 0111BCD2 + 1000BCD2 = 0001.0101BCD2

Also: Sobald der Zwischenwert größer als 1001BCD2 ist, wird
• die nächst höhere Stelle um eine Übertrag 1 erhöht
• von dem Zwischenwert 1010 ( = 9 + 1 ) subtrahiert.

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BCD-Code

Anwendung:

Ansteuerung von 7-Segmentanzeigen

Wird vom Zeitzeichen DCF77 benutzt.

Nachteil:

 Ineffektive Speicherung von
Dezimalzahlen

Vorteil:

 Beschleunigt das Rechnen im
Dezimalsystem,

 Jede Ziffer getrennt dargestellt
und übertragen

• (Daher das „Laufen“ der Uhr zur Synchronisation)

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Gray-Code

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Technische, mechanische Anwendung

Ein System hat n (im folgenden n=10) verschiedene Schaltzustände.
Diese müssen in eine bestimmten Reihenfolge ablaufen.

Wie kann ich sicherstellen, dass ein Fehler in der Reihenfolge erkannt wird?
Wie kann ich die Zustände über eine Drehschalter steuern?

Idee: Codierung als Dualwerte und Schaltung über das Erkennen von

Hell/Dunkel-Flächen

Prämisse: Zwischen 2 Schaltungsstellungen das sich nur eine

Flächenfarbe ändern (Sprich ein Bit in der Binärcodierung)

 Gray - Code

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Dual-Code Dezimal Dual
0 0000
Zur Erinnerung: 1 0001
2 0010
Die bisher besprochene 3 0011
Darstellung im dualen Zahlensystem 4 0100
5 0101
Problem: 6 0110
7 0111
Von einem Dezimalwert zur nächsten 8 1000
ändert sich an einigen Stellen mehr als 9 1001
ein Bit

Also: unbrauchbar

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Gray-Code Dezimal Dual Gray-
Code
Die Zuordnung der Dualzahlen zu 0 0000 0000
den Dezimalzahlen ist prinzipiell eine 1 0001 0001
reine Definitionssache. 2 0010 0011
3 0011 0010
Also kann man sie auch ändern 4 0100 0110
5 0101 0111
Definieren den „Gray-Code“ so, dass 6 0110 0101
sich von einer Stufe zur nächsten 7 0111 0100
nur ein Bit ändert. 8 1000 1100
9 1001 1101
Ergebnis: i.O.,
aber Sprung bei 9  0

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Gray-Code Gray-Code :
Jeweils nur ein Bit ändert sich
Dezimal Dual Gray- Zyklischer von einer Stufe zur nächsten.
Code Gray-Code Sprung bei 9  0
0 0000
1 0001 0000 0000 Zyklischer Gray-Code :
2 0010 0001 0001 Jeweils nur ein Bit ändert sich
3 0011 0011 0011 von einer Stufe zur nächsten.
4 0100 0010 0010 Kein Sprung bei 9  0
5 0101 0110 0110
6 0110 0111 0111
7 0111 0101 0101
8 1000 0100 0100
9 1001 1100 1100
1101 1000

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Gray-Code

Anwendung:

Lichtsensor zur Winkelbestimmung:

Anzahl der realisierten Schaltzustände:
4 Ringe, also 4 Lichtsensoren
 24 = 16 Zustände möglich

Genauigkeit: ????

Wie genau müssen die Lichtsensoren aufgebaut sein?
3600 / 16 = 22,50  22,5 Grad Schritte

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Gray Code

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Gray-Code für 13 Bits

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Codierung mit variabler Codelänge

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Codierung der englischen Sprache

Idee:

Codieren die Sprache so, dass ein Text mit minimalen Aufwand
dargestellt und auf elektrischen Weg übertragen werden kann.

 Morse Alphabet
Samuel Morse (1833)

 Grundlage: Englische Sprache (Seine Umgangssprache)

 Ziel Kodier-Funktion: mit minimalem Aufwand durch
elektrische Impulse eine Text übertragen.

Aufgebaut wurde somit ein Code mit variabler Länge

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Häufigkeitsverteilung in der
englischen Sprache   Morse - Code

Buch- Häufig- Code Buch- Häufig- Code Buch- Häufig- Code Zahl Code
stabe keit stabe keit stabe keit

E 12,33 . L 3,97 % .-.. V 1,02 % …- 0 -----
%
U 3,04 % ..- K 0,08 % -.- 1 .----
T 9,05 % - M 2,77 % -- X 0,15 % -..- 2 ..---
A 8,17 % .- W 2,64% .-- J 0,10 % .--- 3 …--
O 7,81 % --- C 2,48 % -.-. Q 0,09 % --.- 4 ….-
I 6,89 % .. Y 2,11 % -.-- 5 …..
H 6,88 % …. F 2,00 % ..-. Z 0,05 % --.. 6 -….
N 6,62 % -. G 1,82 % --. 7 --…
S 6,28 % … P 1,56 % .--. 8 ---..
R 5,72 % .-. B 1,45 % -… 9 ----.
D 4,31 % -..

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Aufbau Morsealphabet

Idee:

Die häufigsten Buchstaben haben den kürzesten Code

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Grundlagen zur Charakteristik eines Codes

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Fano Bedingung

Fano Bedingung:

Kein Wort aus dem Code darf Anfang eines
anderen Worts aus desselben Codes sein.

Diese Codes werden präfixfrei genannt.

Morse-Code benötigt ein weiteres Zeichen (eine Pause),
um diese Fano-Bedingung zu erfüllen.

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