พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา
พาราโบลา พาราโบลา คือเซตของจุดบนพื้นพื้ระนาบซึ่งมีระยะห่าห่งจากจุดคงที่ เท่ากับระยะที่ห่าห่งจากเส้นคงที่ •จุดคงที่ คือจุดโฟกัส (Focus) •เส้นตรงที่คงที่ คือเส้นไดเรกตริกริซ์ (Directrix) •เส้นลาตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือเส้นตรงที่ลากผ่าผ่นจุดโฟกัสและตั้งตั้ฉากกับแกนของรูป •แกนของรูปหรือรืแกนสมมาตร คือเส้นตรงที่ลากผ่าผ่นจุดยอดและผ่าผ่นจุดโฟกัส ข้อข้สังเกตุ จากสมการ จะต้องมีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ใยู่นรูปกำ ลังสอง และอีกอีตัวหนึ่งยกกำ ลังหนึ่ง และอยู่ที่ยู่ ที่ เทอมที่ บวกลบกัน กราฟที่ได้จึงจะเป็นกราฟพาราโบลา
รูปแบบของพาราโบลาที่มีจุดศูนย์กย์ลางอยู่ที่ยู่ ที่ จุด (0,0) พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทับแกน y พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทับแกน x เราสามารถสรุปสมการพาราโบลาออกมาได้ดังนี้
สมการพาราโบลาของกราฟนี้คือ x2=4cy แทนค่า c=3 ในสมการจะได้ x2=(4)(3)y x2=12y โจทย์พ ย์ าราโบลา 1: จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดโฟกัส (0,3) และจุดยอด (0,0) วิธีวิทำธี ทำจากโจทย์ที่ย์ ที่ กำ หนดให้ เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได้ดังนี้ จากรูปเป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดคือ (0,0) จุดโฟกัสคือ (0,3) และได้ค่า c=3 2: จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (0,0) มีแกน x เป็นแกนพาราโบลา ความยาวของลาตัสเลก ตัมเท่ากับ 12 หน่วย วิธีวิทำธี ทำจากโจทย์ที่ย์ ที่ กำ หนดให้ เราสามารถหาค่า c ได้จากสูตร ลาตัสเลกตัม = |4c| 12 = |4c| c = +- 3
เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได้ดังนี้ จากรูปเราจะได้กราฟพาราโบลาสองอันอัเป็นเปิดขวาและเปิดซ้ายอย่าย่งละอันอั สมการพาราโบลารูปขวาคือ y2=(4)|3|x y2= 12x สมการพาราโบลารูปซ้ายคือ y2= -(4)|3|x y2= -12x 3: จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (2,3) และจุดโฟกัส (6,3) วิธีวิทำธี ทำจากโจทย์กำย์ กำหนดให้ และสมบัติบั ติของพาราโบลา เขียขีนรูปได้ คือ จากรูปเป็นพาราโบลาเปิดทางขวา และ และ F (h + c , k) = (6 , 3) นั่นคือ h + c = 6 แทนค่า h = 2, c = 4 จะได้ (y-k)2 = 4*|c|(x-h) (y-3)2 = 4*|4|(x-2) y2-6y+9=16x-32 —- ใช้สูช้สูตรกำ ลังสองสมบูรณ์ y2-16x-6y+41=0 ดังนั้นสมการพาราโบลาคือ y2-16x-6y+41=0
ให้รห้ะยะทางจากจุด F1 และ F2 ไปยังยัเส้นกราฟมีค่าเท่ากับ r1=F1 และ r2=F2 และระยะทางระหว่าว่งจุด F และจุด F2 มีค่า เท่ากับ 2c หรือรืเรียรีกอีกอีอย่าย่งว่าว่ค่า k ซึ่งค่า k นี้จะมีค่าเป็นบวกเสมอ r2-r1 = k ถ้าจุด P ซึ่งอยู่บยู่นเส้นกราฟด้านซ้ายมืออยู่บนยู่แกน x แล้ว k = (c+a) – (c-a) = 2a ไฮเพอร์โร์บลา (Hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหทั้มดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆไปยังยัจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอรึยู่ กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าว่ระยะห่าห่งระหว่าว่งจุดคงที่ที่ตรึงอรึยู่กัยู่ กับที่ทั้งสทั้อง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้เรียรีกว่าว่ โฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โร์บลา ไฮเพอร์โร์ บลา ดังนั้นเราสามารถคำ นวณค่า k=2a ได้ หรือรืนั่นก็คือระยะทางระหว่าว่งจุดยอดของกราฟไฮเพอร์โร์บลาทั้งสทั้อง ข้อสังเกตุคือเส้น กราฟพาราโบลาที่เกิดจาดจุดโฟกัส F1 จะมีเส้นกราฟที่เกิดจาด F2 สะท้อนเหมือนกันอยู่ใยู่นฝั่งตรงข้ามเสมอ
สมการไฮเพอร์โร์บลา รูปแบบของสมการไฮเพอร์โร์บลาจะแบ่งออกตามรูปกราฟสมการสองแบบ คือไฮเพอร์โร์บลาแบบตะแคง (ซ้ายขวา) และไฮเพ อร์โร์บลาแบบตั้งตั้ (บนล่าง) โดยทั้งทั้สองรูปแบบมีสมการดังนี้ ถ้าจุดศูนย์กย์ลางของสมการ c อยู่ที่ยู่ ที่ จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โร์บลาที่จุดกำ เนิดดังนี้ สังเกตว่าว่หน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กัยู่ กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b ระยะโฟกัส มีความยาว
ถ้าจุดศูนย์กย์ลางของสมการ c อยู่ที่ยู่ ที่ จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โร์บลาที่จุดกำ เนิดดังนี้ สังเกตว่าว่หน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x(a อยู่กัยู่ กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกของ กราฟ) มีความยาวเป็น 2aแกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b ระยะโฟกัส มีความยาว ข้อสังเกตุ: a ไม่จำ เป็นต้องยาวกว่าว่ b เหมือนในสมการวงรี แต่ถ้า a=b จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสรัอยู่ตยู่รงกลาง จะเรียรีกว่าว่เป็น ไฮเพอร์โร์บลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)
โจทย์ไย์ฮเพอร์โร์บลา ตัวอย่าย่งที่1: จงหาจุดศูนย์กย์ลาง จุดโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความยาวเส้นลา ตัสเรกตัม ค่าเอ็คอ็เซนตริกริซิตี (e) และสมการเส้นกำ กับของไฮเพอร์โร์บลาต่อไปนี้ พร้อร้มทั้งวทั้าดกราฟ วิธีวิทำธี ทำ ตัวเลขส่วนของสมการไฉเพอร์โร์บลาที่โจทย์ใย์ห้มห้าเป็นกำ ลังหนึ่ง แต่เราต้องการกำ ลังสองเพื่อเข้าสูตรไฮเพอร์โร์บลา จึงแปลง สมการนี้ให้อห้ยู่ใยู่นรูปกำ ลังสองได้ดังนี้ ซึ่งเมื่อนำ ไปเทียบกับสมการมาตรฐานของไฮเพอร์โร์บลา เราจะได้ค่า a=4, b=3 ใช้สูช้สูตรพีธากอรัสรัเพื่อหาค่า c ได้ดังนี้ c2 = a2 + b2 c2 = 42 + 32 c2 = 25 c = 5
เมื่อเราได้ค่า a, b, และ c มาครบแล้ว จะสามารถเขียขีนรูปกราฟได้ดังนี้ จากรูปและสมบัติบั ติของไฮเพอร์โร์บลา จะได้ จุดศูนย์กย์ลางคือ (0,0) จุดโฟกัส คือ (±5,0) จุดยอด คือ (±4,0) ความยาวของแกนตามขวาง 2a =8 ความยาวแกนสังยุค 2b = 3
ตัวอย่า ย่ งไฮเปอร์โร์ บลาในชีวิชีตวิ ประจำ วัน วั
จัดทำ โดย 1. นาย นพดล จันทร์เต เลขที่ 13 2. นางสาว จารุวรรณ แตงสีนวล เลขที่ 15 3. นางสาว ทัศทรภรณ์ พรมสีดา เลขที่ 19 4. นางสาว สุธาสินี น้อยบุดดี เลขที่ 28 5. นางสาว วิชราภรณ์ จันทะรัง เลขที่ 35 เสนอ คุณครู ธราภรณ์พิมพ์สิม โรงเรียน นาดูนประชาสรรพ์