ชุดที่1 ความหมายของลิมิตของฟังก์ชัน

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 1

เร่ือง ความหมายของลิมิตของฟังกช์ นั และการหาค่าลิมิตของฟังกช์ นั โดยวธิ ีใชต้ ารางและ
พิจารณากราฟ

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. บอกความหมายของฟังกช์ นั y = f(x) เมื่อ x เขา้ ใกลจ้ านวนจริงจานวนใดจานวนหน่ึงได้
2. หาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาของฟังกช์ นั โดยใชต้ ารางได้
3. หาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาของฟังกช์ นั โดยพจิ ารณาจากกราฟได้
4. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยพิจารณาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาได้

คาชี้แจง

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาหลกั การและตวั อยา่ งพร้อมฟังการแนะนาอธิบายเพ่ิมเติมจากครู
2. ใหน้ กั เรียนฝึกทาแบบฝึกโดยศึกษาจากตวั อยา่ งไปตามลาดบั ข้นั
3. ใหต้ รวจสอบคาตอบจากเฉลยท่ีครูแจกให้
4. ทดสอบความเขา้ ใจของตนเองหลงั จบชุดแบบฝึกทกั ษะ

1. ความหมายของลมิ ติ ของฟังก์ชัน

พิจารณาค่าของฟังกช์ นั y = x + 2 ขณะที่ x เขา้ ใกล้ 2 ดงั ตาราง 1.1

x<2 x>2

x f(x) x f(x)
1.5 3.5 2.5 4.5
1.9 3.9 2.1 4.1
1.95 3.95 2.05 4.05
1.99 3.99 2.01 4.01
1.995 3.995 2.005 4.005
1.999 3.999 2.001 4.001

จากตาราง 1.1 จะเห็นไดว้ า่ เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 มากข้ึนเร่ือยๆ จะทาใหค้ า่ ของ y หรือ f(x)
มีค่าเขา้ ใกล้ 4 มากข้ึนเรื่อยๆ เช่นกนั เราจะกล่าววา่ ฟังก์ชนั y = x + 2 มี ลิมติ ของฟังก์ชัน

บทนิยาม ถา้ a และ L เป็นจานวนจริง โดยท่ี y = f(x) ซ่ึงมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซต
ของจานวนจริง ถา้ คา่ ของ f(x) มีค่าเขา้ ใกลห้ รือเท่ากบั L ในขณะที่ x มีค่า
เขา้ ใกล้ a ใดๆ แลว้ จะเรียก L วา่ ลิมิตของ f ที่ a เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์
lim f x  L

xa

แตถ่ า้ ไม่มีจานวนจริง L ซ่ึง f(x) เขา้ ใกล้ L เมื่อ x มีคา่ เขา้ ใกล้ a แลว้ จะกล่าววา่ f ไม่มลี มิ ิตท่ี a
และเขียนแทนวา่ lim f x หาค่าไมไ่ ด้

xa

ขอ้ ตกลง “ x เขา้ ใกล้ a” หมายถึง x เขา้ ใกล้ a แต่ x  a

การพจิ ารณาว่า x เข้าใกล้ a ใด ๆ จะพจิ ารณา 2 กรณคี ือ

1. เมื่อ x เขา้ ใกล้ a โดยที่ x < a จะเรียกวา่ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย เขียนแทนดว้ ย

สัญลกั ษณ์ x  a
ถา้ ค่าของ f(x) เขา้ ใกลจ้ านวนจริง L เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย

ดงั น้นั ลิมิตของฟังกช์ นั f ท่ี x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นซา้ ยเขียนแทนดว้ ย lim f x  L
xa

2. เม่ือ x เขา้ ใกล้ a โดยท่ี x > a จะเรียกวา่ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา เขียนแทนดว้ ย

สัญลกั ษณ์ x  a
ถา้ คา่ ของ f(x) เขา้ ใกลจ้ านวนจริง L เม่ือ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา

ดงั น้นั ลิมิตของฟังกช์ นั f ที่ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวาเขียนแทนดว้ ย lim f x  L
xa

ซ่ึงเม่ือ ลิมิตของฟังกช์ นั f ที่ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย เท่ากบั ลิมิตของฟังกช์ นั f ท่ี x เขา้ ใกล้
a ทางดา้ นขวา เราจะกล่าววา่ ลิมิตของฟังกช์ นั f ท่ี x เขา้ ใกล้ a หาคา่ ได้ และมีค่าเท่ากบั คา่ ของลิมิต
ซา้ ยกบั ลิมิตขวานน่ั เอง

ตัวอย่างเช่น จากตาราง 1.1 เม่ือ y = x + 2 และ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 2 จะไดว้ า่

(1) เม่ือ x < 2 จะได้ lim f x  lim f x  4
xa x2

(2) เม่ือ x > 2 จะได้ lim f x  lim f x  4
xa x2

และ จะไดว้ า่ (1) = (2)

ดงั น้นั lim f x หาคา่ ได้
x2

นน่ั คือ lim f x  lim f x  lim f x  4
x2 x2 x2

การหาค่าของ lim f x

xa

(1) lim f x หาค่าได้
xa

(2) lim f x หาค่าได้
xa

(3) lim f x  lim f x
xa xa

หรือกล่าววา่ lim f x  L ก็ตอ่ เมื่อ lim f x  L  lim f x

xa xa xa

วิธีพิจารณาค่าของ lim f x

xa

มี 3 วิธี คือ 1. การหาคา่ ลิมิตโดยวธิ ีแทนค่าในตาราง

2. การหาคา่ ลิมิตโดยใชว้ ธิ ีพจิ ารณาจากกราฟ

3. การหาค่าลิมิตโดยใชท้ ฤษฎีเกี่ยวกบั ลิมิต

ดูตัวอย่างวธิ ีแทนค่าใน
ตารางและกราฟก่อนนะ

ตวั อย่างที่ 1 จงหาค่าของ lim x 1 โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟังกช์ นั
วธิ ีทา
x1 x2 1

สงั เกตวา่ ฟังกช์ นั f x  x 1 ไม่นิยามที่ x = 1

x2 1

แตอ่ ยา่ งไรก็ตาม การหา lim f x เราจะพจิ ารณาค่าของ f (x)
x1

เมื่อ x เขา้ ใกล้ 1 แต่ x  1 เทา่ น้นั
ดงั น้นั สร้างตาราง จะได้

x<1 x>1

x f(x) x f(x)
0.5 0.666667 1.5 0.400000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

จากตารางจะเห็นวา่ f (x) เขา้ ใกล้ 0.5 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 1

ดงั น้นั lim x  1  0.5
x1 x 2  1

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดกราฟของฟังกช์ นั f(x) = x – 4
วธิ ีทา
จงหา lim(x  4), lim(x  4) และ lim (x  4)
x7 x7 x7

Y

3

0 7X

จากกราฟจะได้

lim (x  4) 7  4  3

x7

xlim7(x  4)7  4  3

lim (x  4) lim (x  4)  lim (x  4) 3
x7 x7 x7 

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดกราฟของฟังกช์ นั y = f (x) ดงั รูป จงหาคา่ ของ lim f x
xa

แนวคดิ จากรูป จะได้ lim f x  L2
และ 
จะไดว้ า่ xa  L1

lim f x lim f x

xa xa

lim f x

xa

 lim f x หาคา่ ไมไ่ ด้ หรือ ไม่มีลิมิต
xa

แบบฝึกทกั ษะที่ 1

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. บอกความหมายของฟังกช์ นั y = f(x) เม่ือ x เขา้ ใกลจ้ านวนจริงจานวนใดจานวนหน่ึงได้
2. หาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาของฟังกช์ นั โดยใชต้ ารางได้
3. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยพิจารณาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาได้

1. ให้นักเรียนพจิ ารณาความหมายของ x เข้าใกล้จานวนจริง a ใด ๆ บนเส้นจานวน

ขอ้ ท่ี เส้นจานวน a x < a แลว้ เพ่มิ ข้ึนเรื่อย ๆ x > a แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ
1
2 …,1,1.5,1.9,1.99,1.999, …,3,2.5,2.1,2.01,2.001,
123
2 345 1.9999,… 2.0001,…

3 456 4 ________________________ ________________________

4 789 5 ________________________ ________________________

8 ________________________ ________________________

จากตารางขา้ งตน้ ดงั กล่าว

ถา้ a เขา้ ใกล้ 2 โดยท่ี a < 2 แลว้ เพม่ิ ข้ึนเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

2

ถา้ a เขา้ ใกล้ 4 โดยที่ a < 4 แลว้ เพม่ิ ข้ึนเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

ถา้ a เขา้ ใกล้ 5 โดยที่ a < 5 แลว้ เพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

ถา้ a เขา้ ใกล้ 8 โดยที่ a < 8 แลว้ เพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

ถา้ a เขา้ ใกล้ 2 โดยท่ี a > 2 แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

2

ถา้ a เขา้ ใกล้ 4 โดยที่ a > 4 แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

ถา้ a เขา้ ใกล้ 5 โดยท่ี a > 5 แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

ถา้ a เขา้ ใกล้ 8 โดยที่ a > 8 แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย _________________

โดยทวั่ ไปแลว้ ในการพิจารณาเมื่อ x เขา้ ใกลจ้ านวนจริงใด ๆ จะพจิ ารณา _____กรณี คือ x เขา้
ใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย ซ่ึง x<a เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ______ และ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา ซ่ึง
x>a เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ _________

2. จงหาค่าลิมิตของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี โดยอาศยั การหาคา่ ของฟังกช์ นั เติมในตารางที่กาหนดให้

(1) f(x) = x + 5 ขณะที่ x เขา้ ใกล้ 2 จากตารางพบวา่
x<2 x>2
lim f x  .............................................
x f(x) x f(x)
1.5 2.5 x2
1.9 2.1
1.99 2.01 lim f x  .............................................
1.999 2.001
x2

lim f x  .......... .......... .......... .......... .......

x2

(2) f(x) = x + 2 ขณะที่ x เขา้ ใกล้ 4 จากตารางพบวา่
x<4 x>4
lim f x  .............................................
x f(x) x f(x)
35 x4
3.5 4.5
3.9 4.1 lim f x  .............................................
3.99 4.01
3.999 4.001 x4

lim f x  .......... .......... .......... .......... .......

x4

(3) f (x) = 2x – 1 ขณะท่ี x เขา้ ใกล้ 3 จากตารางพบวา่
x<3 x>3
lim f x  .............................................
x f(x) x f(x)
2.5 3.5 x3
2.9 3.1
2.99 3.01 lim f x  .............................................
2.999 3.001
x3

lim f x  .......... .......... .......... .......... .......

x3

(4) f(x) = x2  4 ขณะที่ x เขา้ ใกล้ 2
x 2

x<2 x>2 จากตารางพบวา่

x f(x) x f(x) lim f x  .............................................
1 3
1.9 2.1 x2
1.99 2.01
1.999 2.001 lim f x  .............................................
1.9999 2.0001
x2

lim f x  .......... .......... .......... .......... .......

x2

(5) f(x) = x 2 เม่ือ x  6 เมื่อ x เขา้ ใกล้ 6
 เม่ือ x  6
 x  4

x<6 x>6 จากตารางพบวา่

x f(x) x f(x) lim f x  .............................................
5 7
5.9 6.1 x6
5.99 6.01
5.999 6.001 lim f x  .............................................
5.9999 6.0001
x6

lim f x  .......... .......... .......... .......... .......

x6

เฉลยคาตอบแบบฝึกทกั ษะท่ี 1

ข้อ 1 x  a แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ
ขอ้ ท่ี x  a แลว้ เพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ
5,4.5,4.1,4.01,4.001, 4.0001,
2 ,3,3.5,3.9,3.99,3.999, 3.9999, 6,5.5,5.1,5.01,5.001, 5.0001,
3 ,4,4.5,4.9,4.99,4.999, 4.9999, 9,8.5,8.1,8.01,8.001, 8.0001,
4 7,7.5,7.9,7.99,7.999, 7.9999,

จากตารางขา้ งตน้ ดงั กล่าว

ถา้ a = 2 และ a < 2 แลว้ เพิม่ ข้ึนเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

2

ถา้ a = 4 และ a < 4 แลว้ เพิ่มข้ึนเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย x 4

ถา้ a = 5 และ a < 5 แลว้ เพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

5

ถา้ a = 8 และ a < 8 แลว้ เพม่ิ ข้ึนเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

8

ถา้ a = 2 และ a > 2 แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

2

ถา้ a = 4 และ a > 4 แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

4

ถา้ a = 5 และ a > 5 แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

5

ถา้ a = 8 และ a > 8 แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ เขียนแทนดว้ ย x  

8

โดยทว่ั ไปแลว้ ในการพิจารณาเมื่อ x เขา้ ใกลจ้ านวนจริงใด ๆ จะพจิ ารณา 2 กรณี คือ x
เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย ซ่ึง x<a เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ xa- และ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา ซ่ึง x > a
เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ xa+

ข้อ 2 x<2 x>2 lim f x  7
(1) f(x) x f(x)
6.5 2.5 7.5 x2
x 6.9 2.1 7.1
1.5 6.99 2.01 7.01 lim f x  7
1.9 6.999 2.001 7.001
1.99 x2
1.999
lim f x  7
(2) x>4
x<4 x2
x f(x)
x f(x) 57 จากตารางพบวา่
35 4.5 6.5
3.5 5.5 4.1 5.1 lim f x  6
3.9 5.9 4.01 6.01
3.99 5.99 4.001 6.001 x4
3.999 5.999
lim f x  6
(3) x>3
x<3 x4
x f(x)
x f(x) 3.5 6 lim f x  6
2.5 4 3.1 5.2
2.9 4.8 3.01 5.02 x4
2.99 4.98 3.001 5.002
2.999 4.998 lim f x  5

x3

lim f x  5

x3

lim f x  5

x3

(4) x>2 จากตารางพบวา่
x<2
x f(x) lim f x 4
x f(x) 35 4
13 2.1 4.1 x2
1.9 3.9 2.01 4.01
1.99 3.99 2.001 4.001 lim f x
1.999 3.999 2.0001 4.001
1.9999 3.9999 x2

lim f x  4

x2

(5) x>6 จากตารางพบวา่
x<6
x f(x) lim f x 4
x f(x) 7 11  10
53 6.1 10.1 x6
5.9 3.9 6.01 10.01
5.99 3.99 6.001 10.001 lim f x
5.999 3.999 6.0001 10.0001
5.9999 3.9999 x6

lim f x  หาค่าไมไ่ ด้

x6

แบบฝึกทกั ษะที่ 2

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. หาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาของฟังกช์ นั โดยพิจารณาจากกราฟได้
2. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยพิจารณาลิมิตซา้ ยและลิมิตขวาได้

1. จากกราฟของฟังกช์ นั f ในแต่ละขอ้ จงหาคา่ ต่างๆ ตามท่ีกาหนด
(1)
y  f x

1. f (a) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
xa

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
xa xa

(2)
y  f x

1. f (a) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
xa

(33.) lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
xa
xa

(3) y  f x

1. f (a) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
xa

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
xa xa

(4)

y  f x

1. f (3) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x3

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x3 x3

(5) y  f x

1. f (0) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x0

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x0 x0

(6)
y  f x

1. f (2) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x2

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x2 x2

(7) y  f x

1. f (– 2 ) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x2

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x2 x2

5. f (3) =………………………………. 6. lim f x  …………………………….
x3

7. lim f x  ……………………………… 8. lim f x  …………………………….
x3 x3

(8)
y  f x

1. f (0) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x0

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x0 x0

5. f (3) =………………………………. 6. lim f x  …………………………….
x3

7. lim f x  ……………………………… 8. lim f x  …………………………….
x3 x3

(9)
y  f x

1. f (– 2) =………………………………. 2. lim f x  …………………………….
x2

3. lim f x  ……………………………… 4. lim f x  …………………………….
x2 x2

5. f (2) =………………………………. 6. lim f x  …………………………….
x2

7. lim f x  ……………………………… 8. lim f x  …………………………….
x2 x2

เฉลยคาตอบแบบฝึกทกั ษะท่ี 2

ข้อ 1 f a  L
(1)
lim f x  L

xa

lim f x  L

xa

lim f x  L

xa

(2) f a  L2

lim f x  L1

xa

lim f x  L1

xa

lim f x  L1

xa

(3) f a  L1

lim f x  L1

xa

lim f x  L2

xa

lim f x  หาค่าไมไ่ ด้
xa

(4) f 3  1

lim f x 1

x3

lim f x  1

x3

lim f x  หาค่าไมไ่ ด้

x3

(5) f 0  2

lim f x  2

x0

lim f x  2

x0

lim f x  2

x0

(6) f 2  2 f 3  3

lim f x  5 lim f x  5

x2 x3

lim f x  5 lim f x  2

x2 x3

lim f x  5 lim f x  หาค่าไมไ่ ด้

x2 x3

(7) f  2  หาคา่ ไมไ่ ด้ f 3  3

lim f x  4 lim f x  4

x2 x3

lim f x  4 lim f x  2

x2 x3

lim f x  4 lim f x  หาค่าไม่ได้

x2 x3

(8) f 0  3 f 2  2

lim f x  3 lim f x  2

x0 x2

lim f x  3 lim f x   2

x0 x2

lim f x  3 lim f x  หาคา่ ไม่ได้

x0 x2

(9) f  2  1

lim f x 1

x2

lim f x  1

x2

lim f x 1

x2

แบบประเมินตนเอง ชุดที่ 1

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้เป็ นจริงหรือเทจ็

_______ 1. จานวน x เขา้ ใกล้ 2 หมายความวา่ x ใกลเ้ คียงกบั 2 มากที่สุด หรือ x เทา่ กบั 2

_______ 2. ถา้ f (x) มีค่าเท่ากบั 5 ในขณะที่ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 แลว้ จะไดว้ า่ ลิมิตของ f ที่ 2 มีค่า
เท่ากบั 5

_______ 3. ถา้ ค่าของ f(x) มีคา่ เขา้ ใกลห้ รือเท่ากบั L ในขณะที่ x มีคา่ เขา้ ใกล้ a ใดๆ แลว้ จะเรียก L
วา่ ลิมิตของ f ท่ี a เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ lim f x  L

xa

_______ 4. กาหนด f(x) = x – 1 คา่ ของลิมิต เม่ือ x เขา้ ใกล้ 5 ทางดา้ นซา้ ย เขียนแทนดว้ ย
lim f x โดยมีค่าเท่ากบั 4

x5

_______ 5. กาหนด f(x) = x – 1 คา่ ของลิมิต เม่ือ x เขา้ ใกล้ 5 ทางดา้ นขวา เขียนแทนดว้ ย
lim f x โดยมีคา่ เท่ากบั 4

x5

_______ 6. กาหนด f(x) = x – 1 ค่าของลิมิต เม่ือ x เขา้ ใกล้ 5 เขียนแทนดว้ ย lim f x
x5
โดยมีคา่ เทา่ กบั 4

_______ 7. กาหนด y = f (x) ถา้ lim f x  L และ lim f x  L เม่ือ x เขา้ ใกล้ a
xa xa

แลว้ จะไดว้ า่ lim f x  L เป็ นลิมิตที่หาคา่ ได้
xa

_______ 8. กาหนด y = f (x) ถา้ lim f x  3 และ lim f x  0 เมื่อ x เขา้ ใกล้ – 2
xa xa

แลว้ จะไดว้ า่ lim f x หาค่าไมไ่ ด้ หรือ ไม่มีลิมิต
x2

_______ 9. กาหนด y = f (x) ถา้ lim f x   2 และ lim f x  1 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 0
xa xa

แลว้ จะไดว้ า่ lim f x   2 หรือ lim f x  1 เป็ นลิมิตท่ีหาคา่ ได้
x0 x0

_______ 10. กาหนด y = f (x) ถา้ lim f x  L1 และ lim f x  L2 เม่ือ x เขา้ ใกล้ a
xa
xa

โดยท่ี L1  L2 แลว้ จะไดว้ า่ lim f x หาค่าไมไ่ ด้ หรือ ไม่มีลิมิต

xa

เฉลยคาตอบแบบประเมนิ ตนเอง ชุดท่ี 1

ข้อทเ่ี ป็ นจริง คือ ข้อ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10
ข้อทเ่ี ป็ นเทจ็ คือ ข้อ 1 , 9