ชุดที่3 การหาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 3

เร่ือง การหาค่าลิมิตของฟังกช์ นั ที่อยใู่ นรูป 0
0

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบได้
2. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารคูณดว้ ยเทอมที่เป็ นสังยคุ ได้

คาชี้แจง

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาหลกั การและตวั อยา่ งพร้อมฟังการแนะนาอธิบายเพ่มิ เติมจากครู
2. ใหน้ กั เรียนฝึกทาแบบฝึกโดยศึกษาจากตวั อยา่ งไปตามลาดบั ข้นั
3. ใหต้ รวจสอบคาตอบจากเฉลยท่ีครูแจกให้
4. ทดสอบความเขา้ ใจของตนเองหลงั จบชุดแบบฝึกทกั ษะ

3. การหาลมิ ติ ของฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูปแบบ 0
0

ในการหา lim f x ถา้ แทนค่า x ดว้ ย a แลว้ อยใู่ นรูป 0 การหาลิมิตของฟังกช์ นั ท่ีมี

xa 0

รูปแบบน้ี ใหพ้ ยายามกาจดั 0 ทิ้งโดย

0

1. โดยการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในฟังกช์ นั

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ
(1) lim x2  x
(2) lim x2 16
x1 x 2  x  2
x4 x  4
(3) lim 3  x
(4) x3  27
x9 9  x lim
x3 x  3

วธิ ีทา (1) lim x2  x  lim x xx 1 1 สมบตั ิการแจกแจงไง จาได้
x1 x 2  x  2  2x  หรือเปล่า
x1

= lim x

x1 x  2

=1
3 ขอ้ น้ีทานองเดียวกบั ขอ้ (1)

(2) lim x2 16  lim x  4x  4 ตอ้ งเปล่ียนรูปแบบฟังกช์ นั
x4 x  4 ใหมโ่ ดยการแยกตวั ประกอบ
x4 x  4

= limx  4 ท่ีใชผ้ ลตา่ งกาลงั สอง
x4

=8

  (3) lim 3  x  lim 3  x
x9 9  x x9 3  x 3  x

= lim 1

x9 3  x

=1

6

 (4) lim x3  27  lim x  3 x2  3x  9
x3 x  3 x3 x  3

=  lim x2  3x  9
x3

= 27

2. โดยการคณู ดว้ ยเทอมที่เป็ นสงั ยคุ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ

(1) lim x 1 (2) lim 3  x

x1 x  1 x9 9  x

(3) lim x  4  2 (4) lim x  2

x0 x x2 x2  4

วธิ ีทา (1) lim x 1  lim x 1  x 1
x1 x  1 x1 x 1 x 1

=  lim x 1 x 1 ขอ้ น้ีทานองเดียวกบั ตวั อยา่ งท่ี 1
 x1 x 2 12 แต่เราจะใชว้ ธิ ีการคูณดว้ ยเทอมท่ี

 = lim x 1 x 1 เป็นสังยคุ เพอ่ื ใหร้ ากท่ีสองหายไป

x1 x 1 (a – b) (a + b) = a2 - b2

= lim x 1
x1

=2

(2) lim 3  x = lim 3  x  3  x
x9 9  x x9 9  x 3  x

lim = 9  9 x x

x9 x 3

= lim 1

x9 3  x

=1

6

(3) lim x  4  2 = lim x  4  2  x  4  2
x0 x x0 x x42

 = lim x  4 4
x0 x x  4  2

= lim 1

x0 x  4  2

=1 ข้อนีส้ ังเกตดๆี นะ

4 x เข้าใกล้ 2 ด้านซ้าย
หมายถึง x มคี ่าน้อยกว่า
(4) lim x  2 หาคา่ ไมไ่ ด้ 2 แต่ไม่เท่ากบั 2

x2 x2  4

ถา้ x  2 ดงั น้นั x  2
x2 < 4

และ x2 – 4 < 0
ทาให้ x2  4  R

 ไมม่ ี lim x  2

x2 x2  4



แบบฝึกทกั ษะท่ี 5

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบได้

1. จงหาค่าของ

(1) x2  25 (5) lim x2  x 6
lim
x5 x  5 x2 x2  4

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) lim x2  25 (6) lim x2  2x

x5 x  5 x0 x

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(3) lim x 3 (7) lim 2x
x2 9
x3 x0 3x2  x

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(4) x2  x  2 (8) x3  8
lim lim
x1 x  1 x2 x  2

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(9) lim1 x (12) lim x3 8
x2  4
x1 1  x x2

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(10) x 12 (13) lim y2 4
y2 3y  2
lim y2
x1 1  x

…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

 (14)
(11) lim t  9 lim 2h  3 h 1

t9 t  3 h1 2h2  h  3

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะท่ี 6

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารคูณดว้ ยเทอมท่ีเป็ นสังยคุ ได้

1. จงหาค่าของ (5) lim x

(1) lim x  4  2 x0 2  x  4

x0 x ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

(2) lim x  2  2 (6) lim x  9  3

x0 x x0 x

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(3) lim x 1 (7) lim x 1  2

x1 x 2  3  2 x3 x  3

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(4) lim 4  x2 (8) lim x

x2 3  x2  5 x0 x  3  3

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

(9) lim x  2 (11) lim x

x2 2  x  2 x0 4  x  2

…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

(10) x2 1 (12) lim x
lim
x1 1  x x0 9  x  x2  3

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะที่ 7

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบได้
2. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชก้ ารคูณดว้ ยเทอมที่เป็ นสงั ยคุ ได้
3. หาลิมิตของฟังกช์ นั โดยใชท้ ฤษฎีเกี่ยวกบั ลิมิตได้

1. จงหาค่าของ

(1) lim(x2  2x 1) (4) lim 2x 1
x2
x1 x2  3x  4
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………

(2) lim(1 x  3) (5) lim 3x2 17x  20
x3
x4 4x2  25x  36
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

(3) lim y2 5 (6) lim x2  25

y2 2 y 3  6 x5 x  5

…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

(7) s3 1 (12) y3 8
lim lim
s1 s 1 y2 y  2

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………….
…………………………………………………… ……………………………………………………

(8) lim x  4 (13) lim x2  3x  4
x3 1
x4 x  2 x2

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………….
…………………………………………………… ……………………………………………………

(9) lim x 1 (14) lim y2 9
2y2 7y 3
x1 x  1 y3

…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………….

……………………………………………………

(10) lim x  9 (15) lim 2  4  k

x9 x  3 k0 k

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………….
…………………………………………………… ……………………………………………………

(11) lim 3  x (16) lim x  5  5

x9 9  x x0 x

…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………. …………………………………………………….

(17) 3 x 1 (19) x – 1 , x  3 230
f (x) = 3x – 7 , x > 3
lim
x1 x 1

……………………………………………………

…………………………………………………… จงหา lim f x
x3
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

(18) lim x  2  2 (20) x2 , x  0
f (x) = x–2 , x < 0
x2 x 1 1
จงหา lim f x
…………………………………………………… x 0
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………

แบบประเมินตนเอง ชุดท่ี 3

จงเลือกคาตอบทถ่ี ูกต้อง โดยทาเครื่องหมายกากบาท  หน้าคาตอบทถ่ี ูกต้อง

1. คา่ ของ lim x  4  2 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

x0 x

ก. 1

10

ข. 1

8

ค. 1

6

ง. 1

4

2. ค่าของ lim 1 h 1 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

h0 h

ก. 1

8

ข. 1

6

ค. 1

4

ง. 1

2

3. ค่าของ lim3  x  4 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

x5 x  5

ก. 1

8

ข. 1

6

ค.  1

6

ง. 0

4. ค่าของ lim 1 x มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

x1 x2 1

ก.  1

4

ข. 1

4

ค. 0

ง. หาค่าไมไ่ ด้

5. คา่ ของ lim x มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

x0 2x 2  x

ก. – 1

ข. 0

ค. 1

ง. หาคา่ ไมไ่ ด้

6. คา่ ของ x2  4 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
lim
x2 x  2

ก. 0

ข. 2

ค. 4

ง. หาค่าไม่ได้

7. คา่ ของ lim x 2 x3 8 4 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
 2x 
x2

ก. 0

ข. 3

ค. 12

ง. หาคา่ ไมไ่ ด้

8. คา่ ของ lim 2x2  x  6 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

x2 x 2  4

ก. – 2

ข. 7

4

ค. 1

4

ง. 0

9. ค่าของ lim x2  x มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

x1 1  x

ก. – 1

ข. 1

ค. 0

ง. หาคา่ ไม่ได้

x2 , x2
x2  4

10. ถา้ f x = แลว้ lim f x มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
x2

x22 , x2

x2

ก.  1

4

ข. 1

4

ค. 0

ง. หาค่าไม่ได้