เอกสารประกอบการสอน เรื่อง จำนวนเต็ม

ดังนั้น สามารถเขียนจำนวนเตม็ บนเส้นจำนวนได้ดังน้ี

สามารถสรปุ เรื่องจำนวนได้ ดงั แผนภาพ

จำนวนเตม็

……………………. …………..

ในการเปรยี บเทียบสองจำนวนที่ไมเ่ ทา่ กนั เพือ่ ดูว่าจำนวนใดน้อยกวา่ หรือมากกว่าเราจะเหน็ ได้ง่ายโดยใช้
เส้นจำนวน

เน่อื งจาก 3 อยูท่ างขวาของ 2 ดงั นน้ั …………….. หรอื ……………..
เนื่องจาก 5 อยูท่ างขวาของ 0 ดังนน้ั …………….. หรอื ……………..
เนื่องจาก 0 อยทู่ างขวาของ - 2 ดงั นัน้ …………….. หรือ ……………..
เนอ่ื งจาก -2 อยทู่ างขวาของ - 4 ดงั นน้ั …………….. หรือ ……………..
เนื่องจาก 5 อยู่ทางขวาของ - 5 ดังนน้ั …………….. หรอื ……………..

ตวั อย่าง จงเรยี งลำดับ 0 , -3 , 2 , 4 , -5 และ 1 จากน้อยไปมาก
วธิ ีทำ เขียนเส้นจำนวนและลงจดุ บนเสน้ จำนวนได้ดังน้ี

การลงจุดบนเสน้ จำนวน สามารถเรียงลำดบั จำนวนเต็มที่กำหนดใหจ้ ากน้อยไปมาก ได้ดังน้ี
............................................................................................................................. .........................................
ตอบ

1. จงเขยี นจำนวนท่กี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) จำนวนหา้ จำนวนตอ่ จาก 0 โดยลดลงทีละ 4
…………………………………………………………………………………………………
2) จำนวนหา้ จำนวนต่อจาก – 2 โดยลดลงทลี ะ 5
…………………………………………………………………………………………………
3) จำนวนห้าจำนวนตอ่ จาก – 5 โดยเพ่ิมข้นึ ทีละ 3
…………………………………………………………………………………………………
4) จำนวนห้าจำนวนตอ่ จาก – 10 โดยเพม่ิ ขึ้นทีละ 4
…………………………………………………………………………………………………
5) จำนวนห้าจำนวนตอ่ จาก – 45 โดยเพมิ่ ขนึ้ ทีละ 5
…………………………………………………………………………………………………

2. ใหเ้ ตมิ จำนวนอีก 3 จำนวนทเ่ี รียงตามลำดับต่อจากจำนวนทกี่ ำหนดให้

1) - 13, - 10, - 7, ……………………………………………………..……………..

2) 18, 12, 6, …………………………………………………………………………….

3) 14, 7, 0, ………………………………………………………………………………

4) – 46, -36, -26, ……………………………………………………………………..

5) – 115, - 110, - 105, …………………………………………………………….

6)

3. จงเติมเครอ่ื งหมาย > หรือ < เพ่ือทำใหป้ ระโยคตอ่ ไปน้ีเปน็ จริง

1) – 2 ……………. – 3 2) – 4 ……………….. – 5 3) – 1 ……………… - 2
4) – 10 …………… – 20 5) – 12 ……………… – 9 6) – 1000 ……….… 1
7) 0 …………… – 100 8) – 88 ……………… – 99 9) – 123 ……….… – 321
10) 10 …………… – 20 11) – 14 ……………… – 28 12) – 45 …………… – 55
13) – 9 …………… – 39 14) – 1 ……………… 0 15) 9 ……………… – 9

4. ในการวัดอุณหภูมิประเทศ 5 อันดับประเทศหนาวทสี่ ุดในโลก แสดงได้ดว้ ยตารางดังน้ี

ประเทศ มองโกเลีย ไอซแ์ ลนด์ รสั เซยี สหรฐั ฯ คาซคั สถาน

อุณหภมู ิ (°C) – 20 – 10 – 30 – 62 – 50

จากตารางจงตอบคำถามต่อไปนี้

1) ประเทศใดมอี ากาศหนาวเยน็ มากท่ีสุด

……………………………………………………………………………………………………………

2) ประเทศใดมอี ากาศหนาวเย็นน้อยท่ีสุด

……………………………………………………………………………………………………………
3) ประเทศใดมอี ากาศหนาวเย็นมากทส่ี ุดเป็นอนั ดบั สอง
……………………………………………………………………………………………………………

4) ประเทศไอซแ์ ลนด์และประเทศคาซคั สถานมีอณุ หภมู ิแตกตา่ งกนั กอี่ งศา

……………………………………………………………………………………………………………

5) จงเรยี งลำดับประเทศท่มี ีอากาศหนาวเย็นมากทสี่ ดุ ไปยังจังหวดั ทม่ี ีอากาศหนาวเย็นนอ้ ยทส่ี ดุ

……………………………………………………………………………………………………………
5. จงใส่เครื่องหมาย ✓ ลงหน้าขอ้ ความทีเ่ ป็นจรงิ และใสเ่ ครื่องหมาย ลงหน้าขอ้ ความทเ่ี ป็นเท็จ

………………….. 1) 0 เป็นจำนวนเตม็ บวก

………………….. 2) – 3 เปน็ จำนวนเตม็ ลบ

………………….. 3) – 1 เป็นจำนวนเตม็ ลบที่มคี า่ น้อยทส่ี ุด
………………….. 4) 1 เป็นจำนวนเตม็ บวกท่มี คี า่ น้อยทสี่ ดุ
………………….. 5) จำนวนเต็มบวกทม่ี คี า่ มากที่สดุ เปน็ จำนวนที่ไม่สามารถหาคา่ ได้

………………….. 6) จำนวนเต็มลบท่ีมีคา่ นอ้ ยทส่ี ุดสามารถหาคา่ ได้เสมอ

………………….. 7) – 10 เป็นจำนวนเต็ม

………………….. 8) – 4.5 เป็นจำนวนเต็มลบ

………………….. 9) 100 เป็นจำนวนเต็ม
…………………..
………………….. 24

10) − 25 เป็นจำนวนเตม็ ลบ

100

11) ถ้า a เป็นจำนวนเต็มบวกจะสามารถหาจำนวนเตม็ บวกทีม่ ากกวา่ a ได้เสมอ

………………….. 12) ถา้ a เป็นจำนวนเต็มลบจะสามารถหาจำนวนเต็มบวกท่ีนอ้ ยกว่า a ได้เสมอ

คา่ สมั บรู ณ์ (absolute value)
ค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนเตม็ จำนวนหน่งึ คอื ระยะทางทีจ่ ำนวนเต็มน้นั อยู่ห่างจาก 0 บนเสน้ จำนวน

• 1 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทาง 1 หนว่ ย กล่าวว่า ค่าสัมบรู ณ์ของ 1 เท่ากับ 1 เขียนแทนดว้ ย 1 =1

• - 1 อยหู่ ่างจาก 0 เปน็ ระยะทาง 1 หนว่ ย กลา่ ววา่ ค่าสัมบูรณข์ อง – 1 เท่ากับ เขยี นแทนดว้ ย −1 = 1

ตวั อย่างท่ี 1 ใหน้ ักเรยี นหาค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเต็มตอ่ ไปนี้

1) 5 …………… 4) - 1180……………

2) - 325 …………… 5) - 6626……………

3) 987 …………… 6) 9744……………

การบวกจำนวนเตม็

จงพจิ ารณาการบวกต่อไปนี้
1) 2 + 3 =

ตอบ ................................................................................. การบวกจำนวนเตม็ บวกด้วยจำนวนเตม็
บวกโดยใช้คา่ สมั บรู ณ์ บวกให้ แลว้

เน่อื งจาก .................................................................................
ดงั นน้ั .................................................................................

2) 5 + 2 =

ตอบ .................................................................................

บวกโดยใช้คา่ สมั บรู ณ์
เนอื่ งจาก .................................................................................
ดงั นน้ั .................................................................................

3) (-2) + (-3) =

ตอบ ................................................................................. การบวกจำนวนเตม็ ลบดว้ ยจำนวนเต็ม

บวกโดยใชค้ ่าสมั บูรณ์ ลบ ให้ ของจำนวนเต็มลบ
เน่อื งจาก .................................................................................
ดงั นัน้ ................................................................................. ทงั้ สองจำนวน แล้ว

4) (-3) + (-1) =

ตอบ .................................................................................

บวกโดยใชค้ า่ สมั บูรณ์
เนื่องจาก .................................................................................

ดังนน้ั .........................................................................

การบวกกันของจำนวนเตม็ บวกกบั จำนวนเตม็ ลบ ท่ีมีคา่ สัมบูรณไ์ ม่

เท่ากนั ให้นำ ลบด้วย แลว้

5) (-3) + 1 =

ตอบ .................................................................................
บวกโดยใชค้ า่ สมั บูรณ์

เน่อื งจาก .................................................................................

ดังนั้น ...........................................................................

6) 4 + (-3) =

ตอบ .................................................................................
บวกโดยใช้คา่ สมั บูรณ์

เนือ่ งจาก .................................................................................

ดงั นั้น ...........................................................................

1. จงหาผลบวก 2) 24 + 30 =
1) 25 + 0 = 4) 0 + (- 87) =
3) 14 + 16 = 6) 41 + (- 38) =
5) 14 + (- 75) = 8) - 82 + 22 =
7) (- 51) + 60 = 10) -125 + (- 34) =
9) (-102) + 120 = 12) (- 12) + (- 106) =
11) – 142 + ( - 18) =
2) (- 8) + 7 =
2. จงหาผลบวก 4) (- 73) + (- 14) =
1) 7 + (- 8) = 6) 27 + (- 35) =
3) (- 14) + (- 73) = 8) - 31 + (- 29) =
5) - 35 + 27 =
7) (- 29) + (- 31) =

3. จงหาผลบวก 2) 10 + [7 + (-5)]
1) (10 + 7) + (- 5) = 4) (- 6 + 5) + 1 =
6) - 4 + [(- 8) + 15] =
3) (-6) + (5 + 1) = 8) (- 7) + [(- 12) + (- 6)] =
5) [- 4 + (- 8)] + 15 = 10) [(- 10) + 3] + (- 2) =
7) [-7 + (- 12)] + (- 6) =
9) (-10) + [3 + (-2)] =

4. จงหาจำนวนเต็มทเี่ ติมลงในชอ่ งว่างแลว้ ทำให้ประโยคเปน็ จรงิ

1) (- 9) + .............. = - 9 2) .............. + 18 = 18
3) (- 5) + .............. = - 8 4) .............. + (- 7) = - 11
5) (- 6) + .............. = 0 6) - 2 + .............. = 2
7) .............. + (- 3) = 6 8) 9 + .............. = - 2

จำนวนตรงข้าม (opposite number)

จำนวนตรงข้าม (opposite number) ของจำนวนเตม็ จำนวนหน่ึง คือ จำนวนเต็มอกี จำนวน เชน่
หนึ่ง โดยท่ีจำนวนเตม็ ทั้งสองนอี้ ยู่ห่างจากศูนย์บนเสน้ จำนวนเป็นระยะเทา่ กนั
1
จำนวนตรงข้ามของ -1 เป็น
และ - 1 เปน็ จำนวนตรงข้ามของ 1

ถ้า a เปน็ จำนวนใด ๆ จำนวนตรงข้ามของ a มเี พยี งจำนวนเดยี ว เขยี นแทนดว้ ย –a
และ a + (- a) = 0 = (- a) + a
และ

เชน่ สำหรับจำนวนเต็ม – 7 จำนวนตรงข้ามของ – 7 คือ 7
เนอื่ งจาก จำนวนตรงข้ามของ a เขยี นแทนดว้ ย – a
ดงั น้นั จำนวนตรงขา้ มของ – 7 คือ จงึ เขยี นแทนไดด้ ว้ ย – ( - 7 )
และเนื่องจาก จำนวนตรงขา้ มของ – 7 มีเพยี งจำนวนเดียว คือ 7
จึงทำให้ – ( - 7 ) = 7

ถา้ a เปน็ จำนวนใด ๆ จำนวนตรงข้ามของ – a คอื a
และเขียนแทนดว้ ย - (- a) = a

ในการลบจำนวนเตม็ จะเขียนการลบให้อย่ใู นรูปของการบวก แล้วจงึ หาผลบวกของจำนวนเต็มตามวธิ ที ี่กลา่ ว
มาขา้ งต้น การเขียนการลบให้อย่ใู นรปู ของการบวก อาศัยข้อตกลงดังนี้

ตวั ตง้ั - ตวั ลบ = ตวั ตง้ั + จำนวนตรงขา้ มของตัวลบ
a – b = a + ( - b)

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ตวั อยา่ ง

ตวั ตั้ง - ตวั ลบ = ตวั ต้งั + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

1. 5 - 3 =5 + -3
2.
3. -5 - -3 = - 5 + 3
4.
ตัวอยา่ งที่ 1 5 - -3 = 5 + 3
วิธที ำ
-5 - 3 = -5 + -3
ตัวอย่างที่ 2
วธิ ีทำ จงหาผลลบของ 5 – 3

ตวั อยา่ งที่ 3 5 – 3 = ………………………………………………………….
วธิ ีทำ
= ………………………………………………………….
ตัวอย่างท่ี 4
วธิ ที ำ จงหาผลลบของ (− 5) −(− 3)

(− 5) −(− 3) = ………………………………………………………….

= ………………………………………………………….

จงหาผลลบของ 5 - (-3)

5 - (-3) = ………………………………………………………….

= ………………………………………………………….

จงหาผลลบของ ( − 5) − 3

(−5) −3 = ………………………………………………………….

= ………………………………………………………….

1. จงเขยี นจำนวนตรงข้ามของจำนวนต่อไปนี้

1) 5 ตรงขา้ มกบั ……………………….. 6) – 11 ตรงขา้ มกบั ……………………..

2) …………………. ตรงข้ามกับ 16 7) …………………….. ตรงขา้ มกับ – 37

3) 56 ตรงข้ามกับ ……………………… 8) ……………………… ตรงขา้ มกับ 95

4) – 28 ตรงข้ามกับ ……………………. 9) 0 ตรงข้ามกบั …………………………

5) …………………. ตรงขา้ มกบั – 72 10) …………………. ตรงขา้ มกบั 44

2. จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้

1) 17 −19 = ………………………………………..…… 11) 25 − 12 = ……………………………………...…
2) (−18) − 11 = ………………………………… 12) (−26) − 28 = …………………………………
3) 0 − (−20) = ………………………………..… 13) (−10)— 31 = …………………………………
4) 95— 101 = ……………………………………… 14) 14 − (−53) = …………………………………
5) (−17)— 35 = ………………………………… 15) 0 − 19 = ………………………………………..…
6) 139 − (−78) = ……………………………… 16) 128— 321 = …………………………………
7) (−212)— 157 = …………………………… 17) (−195) − 116 = ……………………………
8) 288 − (−165) = …………………………… 18) (−136)— 153 = ……………………………
9) (−158) − 327 = …………………………… 19) (−428) − 147 = ……………………………
10) (−263) − 428 = …………………………… 20) (−256) − (−319) = ……………………..

3. จงหาคา่ ของ a ทท่ี ำให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจรงิ

1) 0 − (−9) = …………………………………………………………………………………….

2) − 21 = 0 …………………………………………………………………………………….

3) 43— 43 = …………………………………………………………………………………….

4) — 25 = 0 …………………………………………………………………………………….

5) − = 0 …………………………………………………………………………………….
6) 0 − = 15 …………………………………………………………………………………….
7) (−34) − 0 = …………………………………………………………………………………….

8) 18 − = 36 …………………………………………………………………………………….

4. จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้

1) [(−7) + 4] − 3

.................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................

2) [(−13) + 22]— 15

.................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................

3) [(−37) − 9] − 8

.................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................

4) (−12) + [(−17) − 5]

.................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................

5) (−12) + [(−17) − 5]

.................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................

5. จงหาผลลพั ธ์ของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1) |−14| + |28| = ………………………………………………………………..

2) |−23| + |15| = ………………………………………………………………..

3) |36|— 77 = ………………………………………………………………..

4) |−29| − 15 = ………………………………………………………………..

5) |22|— 22 = ………………………………………………………………..

6) |−35|— 40 = ………………………………………………………………..

7) |56| + |−12| = ………………………………………………………………..

8) |14 + (−5)| − |9 − 13| = ………………………………………………………………..

9) |73 + (−95)| − |81— 79) = ………………………………………………………………..

10) |108 + (−74)| − |96 + (−42)| = ……………………………………………………………

6. จงหาค่าของ a −b และ b − a เม่อื กำหนดค่า a และ b ต่อไปน้ี

1) = 2; = −7 2) = −4; = 8
…………………………………………. ………………………………………….

………………………………………….. …………………………………………..

………………………………………….. …………………………………………..

3) = −5; = −6 4) = 5; = 9
…………………………………………. ………………………………………….
………………………………………….. …………………………………………..
………………………………………….. …………………………………………..

5) = −8; = 7 6) = 11; = −13
…………………………………………. ………………………………………….
………………………………………….. …………………………………………..
………………………………………….. …………………………………………..

จงพิจารณาตวั อยา่ งต่อไปนี้
➢ 3 4=

3 4 = 4 + 4 + 4 = 12
3 4 = 4 3 (สมบัตกิ ารสลับทีส่ ำหรบั การคณู )
ดงั น้นั 3 4 = 4 3 = 12
สรุป การคณู จำนวนเตม็ บวกดว้ ยจำนวนเต็มบวก

คือ การคณู จำนวนนบั ด้วยจำนวนนับ

จงพิจารณาตัวอยา่ งต่อไปน้ี
➢ 3 ( - 4) =

3 (- 4) = (- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12

3 (- 4) = (- 4) 3 ( สมบัติการสลับท่สี ำหรบั การคูณ )
ดังนัน้ 3 (- 4) = (- 4) 3 = - 12
สรุป การคูณจำนวนเต็มบวกกบั จำนวนเตม็ ลบ จะไดผ้ ลคูณเปน็ จำนวน
เตม็ ลบ ที่มีค่าสมั บูรณเ์ ทา่ กับผลคณู ของคา่ สมั บรู ณ์ของสองจำนวนนนั้

➢ (- 3) (- 2) =

พิจารณาการบวกต่อไปน้ี

(- 2) + 2 = 0 (จำนวนตรงข้ามบวกกันเทา่ กับศูนย์)

นำ (- 3) คณู ทัง้ สองข้าง

(-3) {(-2) + 2} = (-3) 0

{(-3) (-2)} + {(-3) 2} = 0

{(-3) (-2)} + (-6) = 0

นำ 6 มาบวกทงั้ สองข้าง

{(-3) (-2)} + (-6) + 6 = 0+6

{(-3) (-2)} + 0 = 6

(-3) (-2) =6

สรุป จำนวนเต็มลบคณู กับจำนวนเตม็ ลบ ผลลัพธ์เปน็ จำนวนเตม็ บวก
จำนวนเตม็ บวกคณู กบั จำนวนเต็มลบ ผลลพั ธเ์ ป็นจำนวนเตม็ ลบ
จำนวนเต็มบวกคณู กบั จำนวนเต็มบวก ผลลพั ธเ์ ป็นจำนวนเต็มบวก

g.

1. จงหาผลคูณ
1) 3 × (−5) =…………………………………………………………………………
2) 6 × (−40) =……………………………………………………………………….
3) 14 × (−10) = …………………………………………………………………….
4) −40 × 8 =…………………………………………………………………………...
5) (−15) × 50 =……………………………………………………………………..
6) (−5) × 50 =…………………………………………………………………………
7) (−30) × (−20) =………………………………………………………………….
8) (−45) × (−6) =…………………………………………………………………….
9) (−100) × (−12) =………………………………………………………………….
10) (−200) × (−20) =……………………………………………………………..…….

2. ใหห้ าผลลัพธ์ต่อไปน้ี
1) (−1) × 9 × (−4) =……………………………………………………………………
2) 4 × 9 × (−10) =…………………………………………………………………..
3) 15 × (−2) × (−3) = …………………………………………………………………..
4) (−3) × (−9) × (−10) =……………………………………………………………………
5) (−10) × (−9) × (−5) =…………………………………………………………………
6) 9 × (−7) × (−10) =……………………………………………………………………….
7) (−9) × (4 − 5) =……………………………………………………………………….
8) [ 7 + (−3)] × (−10) =………………………………………………………………………
9) 25 × (−10 + 5) =………………………………………………………………………
10) 3 × [ (−8) + (−9)] =……………………………………………………………..……........

3. เมอื่ กำหนดคา่ a , b และ c มาใหด้ ังต่อไปนี้ จงหาค่า a - bc

1) a = -2, b = 2, c = 5 ………………………………………………………………

………………………………………………………………

2) a = 3, b = -2, c = -4 ………………………………………………………………

………………………………………………………………

3) a = -10 , b = 0, c = -3 ………………………………………………………………

………………………………………………………………

4) a = -4 , b = 7, c = -9 ………………………………………………………………

……………………………………………………………….

5) a = 2 , b = -4, c = -1 ………………………………………………………………

………………………………………………………………

4. จงเตมิ จำนวนลงใน เพอื่ ให้ไดป้ ระโยคท่เี ปน็ จริง

1) × 4 = 16 2) (−4) × = 16

3) × (−5) = −80 4) (−50) × = −100

5) 15 × = −165 6) × (−1) × 8 = 32

7) (−2) × (−4) × = 200 8) 4 × × (−5) = 100

9) × (−4) × (−7) = −280 10) (−4) × 9 × = −72

ตวั ตง้ั = ตวั หาร x ผลหาร
เมอ่ื a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ท่ี b ไม่เท่ากับ 0

ถ้ามีจำนวนเต็ม c ทกี่ ำหนดให้ a = b x c
เราจะกลา่ ววา่ c เปน็ ผลหารของ a ด้วย b

นน่ั คอื a ÷ b = c

เรยี น a วา่ ตวั ต้งั เรยี ก b ว่า ตัวหาร และเรยี ก c วา่ ผลหาร

นนั่ คอื เม่อื a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ ที่ b ไม่เท่ากับ 0

ถา้ a b = c แล้ว a = b c

และถ้า a = b c แลว้ a b = c

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงพจิ ารณาการหารต่อไปน้ี

1) 12 =
3
สรปุ การหารจำนวนเตม็ บวกดว้ ย
เน่อื งจาก 12 = 3 4
จำนวนเต็มบวก ผลลพั ธ์เป็นจำนวน
ดงั น้นั 12 = 4 เต็ม....................
3
48
2) 4 =

..........................................................................

..........................................................................

n

ตวั อย่างที่ 2 จงพิจารณาการหารตอ่ ไปน้ี

1) 30 = สรุป การหารจำนวนเต็มบวกดว้ ย
−5 จำนวนเต็มลบหรอื การหารจำนวน

เนื่องจาก 30 = (-5) (-6)

ดงั นนั้ 30 = -6 เต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
−5 ผลลัพธ์เปน็ จำนวนเต็ม...................
− 30
2) 6 =

.......................................................................................................

.......................................................................................................

ตวั อย่างท่ี 3 จงพจิ ารณาการหารตอ่ ไปนี้

1) − 20 = สรปุ การหารจำนวนเตม็ ลบดว้ ย
−5 จำนวนเตม็ ลบ
ผลลพั ธ์เป็นจำนวนเตม็ …………….
เน่ืองจาก -20 = (-5) (-4)

ดงั นนั้ − 20 = -4
−5
− 36
2) −9 =

เน่ืองจาก -36 = (-9) (-4)

ดงั น้นั − 36 = -4
−9

ข้อสรุป หลักเกณฑ์การหาผลหาร มดี งั นี้
นำค่าสัมบูรณข์ องตัวตัง้ และค่าสมั บูรณ์ของตัวหารมาหารกนั แล้วพจิ ารณาดังน้ี
1. การหารจำนวนเตม็ เม่ือตวั ตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเตม็ บวกทั้งคู่ หรอื
จำนวนเตม็ ลบท้ังคู่ ผลลพั ธเ์ ป็นจำนวนเต็มบวก
2. การหารจำนวนเตม็ เม่ือตัวตง้ั หรือตวั หารตวั ใดตัวหนึง่ เป็นจำนวนเต็มลบ
โดยท่อี ีกตัวหนึง่ เปน็ จำนวนเต็มบวก ผลลัพธเ์ ป็นจำนวนเตม็ ลบ

1. จงหาผลหารของจำนวนตอ่ ไปนี้

1) −8 = …………………………….
2 =
15 = …………………………….
2) −5 =
= …………………………….
3) − 32
−8 …………………………….
− 39
4) 13 …………………………….
…………………………….
5) 125 …………………………….
− 25 …………………………….
…………………………….
6) (-8) (-8) = = ……………………………

7) (-63) 9 =

8) (-42) (-6) =

9) [(-8) 4] (-2) =

10) [(-28) (-4)] [ (-7) (-1)]

2. จงหาผลหารของจำนวนต่อไปน้ี
1) (−10) ÷ 5 =…………………………………………………………
2) (−45) ÷ 15 =………………………………………………………
3) (−60) ÷ 6 =…………………………………………………………
4) (−24) ÷ (−6) =…………………………………………………
5) 120 ÷ 10 =…………………………………………………………
6) (−320) ÷ (−80) =………………………………………………
7) 270 ÷ (−3) =………………………………………………………

8) 76 ÷ (−19) =………………………………………………………
9) (−72) ÷ (−2) =……………………………………………………
10) (−75) ÷ (−3) =…………………………………………………
11) [(−18) ÷ (−3)] ÷ (−2) =………………………………
12) [(−18) ÷ 2] ÷ 3 =……………………………………………
13) 45 ÷ [(−3) ÷ (−1)] =…………………………………………………………
14) (−56) ÷ [(−14) ÷ 2] =…………………………………………………………
15) 160 ÷ [140 ÷ (−140] =…………………………………………………………
16) [(−20) ÷ (−5)] ÷ [18 ÷ (−9)] =…………………………………………
17) [72 ÷ (−6)] ÷ [(−48) ÷ (−8)] =…………………………………………
18) [40 ÷ (−5)] ÷ [(−80) ÷ 10] =……………………………………………
19) [(−12) ÷ (−4)] ÷ [(−33) ÷ 11] =………………………………………
20) [(−49) ÷ (−7)] ÷ (49 ÷ 7) =………………………………………………

3. จงเติมจำนวนลงใน เพอ่ื ใหไ้ ด้ประโยคทเ่ี ป็นจริง

1) (-18)÷6 = 2) ÷9 = -11

3) 24÷ = -8 4) (-125)÷ = -5

5) 120÷ = -40 6) ÷(-20) = 2

7) ÷(-12) = 1 8) ÷72 = 0

9) ÷(-17) = -1 10) 25÷ = -1

4. กำหนดให้ a = -1, b = 2, c = -3, d = 4 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) ab − bc = ……………………………………………………………………………………
..………………………………………………………………………………….

2) b−cd = ……………………………………………………………………………………

a

..………………………………………………………………………………….

3) a+c+d = ……………………………………………………………………………………

b

………………………………………………………………………………….
4) bd−a = ……………………………………………………………………………………

c

..………………………………………………………………………………….
5) (a − b)(c − d) = ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

สมบัติการสลบั ท่ี

ถ้า a และ b แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ

สมบตั ิการสลับท่ีสำหรบั การบวก สมบตั สิ ลับที่สำหรบั การคณู

(commutative property for addition) (commutative property for multiplication)

a+b = b+a a b=b a

เช่น 6 + 13 = 13 + 6 = 19 เชน่ 6 3 = 3 6 = 18

2 + (-5) = ………………..….... = …….………………. (-15) (-4) = ……………..…... = …………………….
(-6) + 13 = ………….............. = ……….………….… (-2) 13 = ……………..…... = ……………………
(-15) + (-4)= …………............. = ……….………….… 15 (-4) = …………………... = …………………….

สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมู่ สมบัติการเปล่ียนหมู่สำหรบั การคณู
(associative property for multiplication)
ถา้ a , b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรบั การบวก (a b) c = a (b c)

(associative property for addition)
(a + b) + c = a + (b + c)

เช่น (5 + 2) +1 = 5 + (2 +1) = 8 เช่น (5 2) 1 = 5 (2 +1) = 10

[ 2 + (-5) ] + 6 = ………..………... = ………..………… [ 2 (-5) ] 6 = …………..…….. = ………………..…

[ (-2 ) +(-5) ] + 6 = ………………...... = …………….…… [ (-2 ) (-5) ] 6 = ..………...……... = ……………..……
[ 2 +5 ] + (-6 ) = …………………... = ……………….… [ 2 5 ] (-6 ) = ………………….... = ……………………

สมบตั กิ ารแจกแจง (distributive property)

ถา้ a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แลว้

a (b + c) = (a b) + (a c)
และ (b + c) a = (b a) + (c a)

เชน่ 1. 5 (2 + 3) = (5 2) + (5 3) = 25

2. [(- 4) + 6)] 7 = [(- 4) 7] + (6 7) = 14

สมบัตขิ องหนงึ่

การคูณกันระหวา่ งจำนวนเต็มใด ๆ กับ 1 จะได้ผลคณู เทา่ กับจำนวนนัน้ เชน่
ถ้า a เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ แล้ว
a 1= 1 a= a

เช่น 4 1 = 1 4 = 4
(-10) 1 = 1 (-10) = -10

จากความสมั พนั ธข์ องการคณู และการหาร จะได้ขอ้ สังเกตเพิ่มเติมเกี่ยวกบั 1 ดังตอ่ ไปน้ี
ถา้ a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ แล้ว a 1= a
ถา้ a เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ ที่ a 0 แล้ว a a =1

-

สมบตั ขิ องศนู ย์

การบวกกนั ระหว่างจำนวนเต็มใด ๆ กับ 0 จะได้ผลบวกเท่ากับจำนวนน้นั
a + 0 = 0 + a = a เม่อื a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ
เช่น 6 + 0 = 0 + 6 = 6
(-2) + 0 = 0 + (-2) = (-2)

การคณู ระหว่างจำนวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ จะไดผ้ ลคณู เท่ากับศูนย์ เชน่
a 0 = 0 a = 0 เมือ่ a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ

0

เช่น 14 •1 = 0 14 = 0
(-10) 0 = 0 (-10) = 0

จากความสมั พนั ธข์ องการคูณและการหาร จะได้ข้อสังเกตเพ่ิมเติมเก่ยี วกับ 0 ดงั ต่อไปน้ี
ถ้า a เป็นจำนวนเตม็ ใด ๆ ท่ีไม่เท่ากับ 0 แล้ว 0 a = 0
ถ้าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใดเทา่ กับศนู ย์ จำนวนใดจำนวนหน่ึงอยา่ งน้อยหน่งึ จำนวนตอ้ ง
เปน็ ศนู ย์
เมอื่ a และ b เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ ที่ a x b = 0 แลว้ จะได้ a = 0 หรอื b = 0

1. จงใช้สมบัติการสลับท่ีสำหรับการบวก เขียนจำนวนท่ีเท่ากบั จำนวนท่กี ำหนดให้
1) (-9) + 2 = …………
2) a + (-16) = …………
3) m + (- n) = …………

2. จงใช้สมบตั กิ ารสลับทส่ี ำหรบั การคณู เขยี นจำนวนทีเ่ ทา่ กับจำนวนท่ีกำหนดให้

1) a (-3) = (-3) …………

2) (-7) ………… = w …………

3) m (2 3) = ……………………
3. จงใช้สมบตั ิการเปล่ยี นหมสู่ ำหรบั การบวก หรือการเปล่ียนหมู่สำหรบั การคูณ

เขียนจำนวนที่เทา่ กบั จำนวนทก่ี ำหนดให้
1) p + (3 + r) = ………….............................
2) (5 + a) + (-21) = ………….............................

3) [(-8) m] n = ………….............................

4) m (2 3) = ………….............................
4. จงใชส้ มบตั ิการแจกแจงเติมคำตอบในช่องว่างให้สมบูรณ์

1. 13 (26 + 45) = (............. 26) + (13 .............)

2. (57 + 82) 64 = (57 .............) + (............. 64)

3. 93 102 = 93 (100 + .............)

= (............. .............) + (93 .............)

4. 209 76 = (200 + .............) 76

= (200 .............) + (............. 76)

5. เติมคำตอบในช่องว่างใหส้ มบูรณ์ จำนวนทแ่ี ทนตวั แปร สมบัติของจำนวนเตม็
ขอ้ ประโยคทเ่ี ปน็ จรงิ a=5 การสลับที่สำหรับการบวก
1. 7 + a = 5 + 7 N = ………..… การสลบั ทสี่ ำหรับการบวก
2. 11 + (-13) = n + 11 k = ………., m = ……..…
3. [(-4) 5] k = (-4) [m (-12)]
4. [(-13) + x] + 19 = y + [15 + 9] x = ………, y = …………
5. (-15) a = 2 b a = ………, b = ……….…

6. [a + (-46)] + b = (-2) + [c + 38] a = …..... , b = ……. , c =……...

6. ให้เตมิ จำนวนลงในชอ่ งว่างในแต่ละประโยค เพื่อใหไ้ ดป้ ระโยคที่เป็นจำนวนจรงิ สำหรับทุกคา่ ของตวั แปร

1) + 5 = 5 …………………...
2) 43 × 46 = 46 × ……………………
3) ( + 9 ) + 13 = 13 + ……………..
4) a + (x + y) = (a+. … … . . ) +
5) 15 × (10 × ) = (15 × 10) ×………………...
6) ( × ) × … … … =. … … . .× (… … … . .× )
7) … … … … … .× ( × ) = ( × ) ×
8) 5 × ( × ) = (5 × )+. … … ..
9) × … … … … … + × 10 = (… … … . +. … … . . ) × 10
10) ( + ) × … … … … … = (… … … . .× … … ) + (… … … × )

7. จงหาผลคณู ตอ่ ไปนี้ 11) 3 + 0 = ……………….
1) 3 0 = ………………. 12) 45 + 0 = ……………….
2) 45 0 = ………………. 13) 24 + 0 = ……………….
3) 24 0 = ………………. 14) (-6)+ 0 = ……………….
4) (-6) 0 = ………………. 15) (-84)+ 0 = ……………….
5) (-84) 0 = ………………. 16) 0 + 23 = ……………….
6) 0 10 = ………………. 17) 0 + 9 = ……………….
7) 0 207 = ………………. 18) 0 +(-89) = ……………….
8) 0 (-24) = ………………. 19) 0 + (-514) = ……………….
9) 0 (-500) = ………………. 20) 0 + (-a) = ……………….
10) 0 a = ……………….

8. จงหาคำตอบต่อไปนี้

1) 5 3 0 = ………………. 11) 0 235 = ……………….

2) 18 (-10) 0 = ………………. 12) 0 (-51) = ……………….

3) 24 0 (-90) = ………………. 13) 0 [(-24) 3 ] = ……………….

4) (-26) 0 47 = ………………. 14) (4 0) [(-16)+ 0 ] = …………….

5) (-84) 0 35 = ………………. 15) 0 (50 +0) = ……………….

6) [0 (- 10)] 25 = ………………. 16) 0 (23 + 0) = ……………….

7) [0 (- 207) [32 (-4)] = ……………… 17) 0 [9 + (-8) ] = ……………….

8) 0 (-27) [(-38) (-40)] = ……………… 18) [ (-5)+5] (-29) = ……………….

9) 0 (-500) 0 = ……………… 19) 0 [(-514) + 0] = ……………….

10) [0 (- 207) [32 (-4)] = ……………… 20) [0 (-3)] (0 + 10) = ……………….

9. จงหาคำตอบต่อไปน้ี

1) 12 1 = ………………......... 6. (-7) 1 = ……………………
7. (-19) (-19) = ……………………
2) (- 25) [ 1 (-25)] = ……………...... 8. (-1) 1 = ……………………
9. (-35) 1 = ……………………
3) 1 100 = …………….......…. 10. 0 1 = …………...………

4) [(-43) 1] + 7 = ……........……….

5) [(- 25) + 10)] 1 = .......………………

10. จงหาคำตอบของจำนวนตอ่ ไปนี้

1. 18 + [7 + (−10)] = ……………………………………………………….

2. (−19) + [15 + (−9)] = ……………………………………………………….

3. [(−8) + 21] + (−13) = ……………………………………………………….

4. [25 + (−18)] + (−19) = ……………………………………………………….

5. [(−16) + (−7)] + (−12) = ……………………………………………………….

6. [11 + (−23)] + 53 = ……………………………………………………….

7. (−42) + [27 + (−14)] = ……………………………………………………….

8. 140 + [(−45) + (−25)] = ……………………………………………………….

9. (−20) + [(−14) + (−9)] = ……………………………………………………….

10. [(−8) + (−15)] + [(−13) + (−22)] = ………………………………………………………

11. จงเลอื กตวั อักษรหน้าคำตอบทก่ี ำหนดให้ทางขวามือ มาใส่ลงในหนา้ ข้อคำถามให้ถูกต้อง

………… คาถาม คาตอบ
………… 1. |18| − |−2| มีคา่ เท่ากับเทา่ ไร A. – 10
………… 2. (−135) + (−65)มีคา่ เทา่ กับเท่าไร B. 183
………… 3. (8 + |−7|) − (|−5| − |−10|) มคี า่ เท่ากับเท่าไร C. 0
………… 4. (−18) + (−22) − (−50)มคี ่าเทา่ กบั เท่าไร D. – 21
………… 5. −|(−25) + 18| + |15 − 8|มคี ่าเท่ากับเท่าไร E. 20
………… 6. [95 + {(−90) − (−190)} + 100] มคี ่าเท่ากับเท่าไร F. – 14
………… 7. −9 − (−13) + |−24 − 12| มีค่าเทา่ กับเทา่ ไร G. 40
………… 8. [(−100) − (−60)] − (−30)มีคา่ เท่ากบั เท่าไร H. – 200
………… 9. [158 − (−42)] − (35 − 18) มีคา่ เท่ากบั เทา่ ไร I. 16
………… 10. −(−311) − 900 + (−500) มคี ่าเท่ากบั เท่าไร J. – 1,089
………… 11. 3 × (−11) × 0 × (−13) มีค่าเท่ากบั เท่าไร K. 10
………… 12. 378 ÷ (−18) มคี า่ เทา่ กับเท่าไร L. – 40
………… 13. (−5)(−5) − 5(−4) มคี า่ เทา่ กบั เท่าไร M. 295
14. [(−12) ÷ 2 × 3 ÷ (−6)] + [(−3) × 6 − (−6) × 3] N. 2
O. 45
มีคา่ เท่ากับเท่าไร P. 3