สมการกำลังสอง

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |1

1 สมการกาํ ลังสอง

บทนิยาม สมการกาํ ลังสอง(Quadratic equation) คือ สมการตวั แปรเดียว ทีมีรูปทวั ไป
คือ ax2 + bx + c = 0 เมือ a, b และ c เป็ นคา่ คงตวั และ a  0

1. การหาคําตอบของสมการกาํ ลังสองโดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ

ต้องอาศยั สมบตั ิของจํานวนจริงทีกลา่ ววา่
R1 : ถ้า a, b เป็ นจาํ นวนจริง และ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ตัวอย่าง 2. (3x – 5)(4x + 9) = 0
1. จงแก้สมการกําลงั สองในข้อตอ่ ไปนี

1. (2x + 4)(x – 5) = 0

3. x2 + 8x + 15 = 0 4. x2 –14x + 24 = 0

5. 3x2 = 4 – 11x 6. (x + 1)(x – 2) = 18

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |2
7. 4x2 + 21x = 49
8. x2 = 25

9. x2 – 7 = 0 10. 25x2 = 169

11. 1.1x2 – 14.2x – 1.3 = 0 12. 3x2 + 7 x = 2
10 5

13. x2 – 6x – 1 = 0 14. 2x2 + 8x – 3 = 0

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |3
14. . 25(x – 3)2 – 20(x – 3) + 4 = 0
15. x + 5 – 3 x  3 = 0

16. (3x + 4)(x – 5) = 2(x – 5)

2. จงหาคา่ k ทีทําให้ 4 เป็ นคาํ ตอบหนงึ ของสมการ 4k(x2 – 25) = 12(4x + 1) + (2x + 5)

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |4

2. การหาคําตอบของสมการกาํ ลงั สองโดยการใช้สตู ร

จากหลกั การหาคําตอบของสมการกําลงั สองโดยการทําเป็นกําลงั สองสมบรู ณ์ เรา
สามารถสร้างสตู รในการแก้สมการกําลงั สอง ax2 + bx + c = 0 ได้ คอื

x  b  b2  4ac
2a
หมายเหตุ

(1) คําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 ได้แก่ x  b  b2  4ac
2a
ซงึ คา่ ของ x จะมีได้ไมเ่ กิน 2 คาํ ตอบ ทงั นี ขนึ อย่กู บั คา่ ของ b2 – 4ac

ค่าของ b2 – 4ac ลักษณะของคาํ ตอบ คาํ ตอบ

b2 – 4ac = 0 จํานวนตรรกยะเท่ากัน b
จํานวนตรรกยะไม่เท่ากัน 2a
b2 – 4ac > 0
b  b2  4ac
และเป็นกําลงั สองสมบรู ณ์ 2a

b2 – 4ac > 0 จํานวนอตรรกยะไม่เท่ากัน b  b2  4ac
2a
แตไ่ มเ่ ป็นกําลงั สองสมบรู ณ์
ไม่มีคาํ ตอบเป็ นจาํ นวนจริง
b2 – 4ac < 0

(2) สมการพหนุ ามดกี รีสอง ax2  bx  c  0 , a ≠ 0
จะมี ผลบวกของคําตอบ = b
ตัวอย่าง
a

ผลคณู ของคําตอบ = c

a

1. จงหาคําตอบของสมการตอ่ ไปนีโดยใช้สตู ร x = b  b2  4ac

2a

(1) 4x2 + 12x + 9 = 0 (2) 2x2 + 4x + 1 = 0

(3) 5x2 – x + 1 = 0

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |5

2. ถ้า 6x2 – 36x + c = 0 แล้ว จงหาคา่ c ทีทําให้สมการนีมีคาํ ตอบเพียงคําตอบเดยี ว

3. ถ้า ax2 + bx + c = 0 เมือ a, b และ c เป็นคา่ คงตวั โดยที a  0 มคี ําตอบของสมการเป็น  7
2

และ 5 แล้ว จงหาคา่ ของ ab – c

4. จงหาคา่ m จากสมการ 4x2 – mx + 9 = 0 ซึงทําให้สมการมีคาํ ตอบเพียงคาํ ตอบเดียว
5. จงหาคา่ k ซงึ ทําให้สมการ k2x2 + 2(k + 1)x + 9 = 0 มคี ําตอบของสมการเทา่ กนั

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |6

6. จงหาคา่ k ทีน้อยทีสดุ ทีทําให้สมการ x2 – 2x + 5 = k มคี าํ ตอบเป็นจํานวนจริง

7. จงหาคา่ k ทีมากทีสดุ ทีทําให้สมการ –x2 + 10x + 7 = k เมือคาํ ตอบของสมการเป็นจํานวนจริง

8. ถ้าคาํ ตอบของสมการ x2 – (a – 5)x + a2 – 5a + 7 = 0 มีคา่ เทา่ กนั
จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ

9. จงหาคา่ k ทีทําให้ –2 เป็นคําตอบหนงึ ของสมการ k(x2 – 1) = 8x – 1

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |7

10. ถ้าคําตอบของสมการ 3x2 + kx + 3 = 0 มีคา่ เทา่ กนั จงหาคา่ | k |

11. จงหาคาํ ตอบของสมการ x2 – (4k + 1)x + 5k + 8 = 0 โดยกําหนดผลคณู ของคาํ ตอบเป็น
สองเท่าของผลบวกของคําตอบ

12. ถ้า a และ b เป็นคาํ ตอบของสมการ x2 – 15x + c = 0 และ a : b = 2 : 3 จงหาคา่ c

13. ถ้าผลบวกของรากของสมการ x2 + px – p2 = 0 เทา่ กบั 2p – 6
แล้วผลคณู ของรากของสมการนีเป็นเท่าไร

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |8

3. การสร้างสมการกําลังสองเมอื ทราบคาํ ตอบของสมการ

สมการกําลงั สองทีมีคําตอบคอื  และ  จะมสี มการคือ

x2 – ( + )x +  = 0

ตัวอย่าง จงหาสมการกําลงั สอง Ax2  Bx  C  0 โดยที A = 1 เมือกําหนดคําตอบของสมการด
1. 4 และ –1

2. 3 + 5 และ 3 – 5

3. 5 และ 3
2
2

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |9

4. โจทย์สมการกาํ ลังสอง

ตัวอย่าง
1. จงหาจํานวนเตม็ สองจํานวน ซึงตา่ งกนั อยู่ 5 และผลบวกของกําลงั สองของจํานวนนนั เป็น 25

เท่าของจํานวนทนี ้อยกวา่

2. ห้องเรียนห้องหนงึ เป็นรูปสเี หลียมผืนผ้า มพี ืนที 180 ตารางเมตร
ถ้าด้านยาวยาวกวา่ ด้านกว้าง 3 เมตรแล้ว จงหาความยาวรอบห้องนี

3. พืนทีผวิ ของทรงกระบอกทีมรี ัศมี r เซนติเมตร และมีสว่ นสงู 6 เซนตเิ มตร เทา่ กบั 320
ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวของรัศมีของทรงกระบอก

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |10

4. เลขจํานวนหนงึ มีสองหลกั หลกั สบิ มากกวา่ หลกั หน่วยอยู่ 3 กําลงั สองของจํานวนนีสลบั หลกั กนั

มากกวา่ เลขจํานวนนีอยู่ 155 จงหาจํานวนนี

5. ผลบวกของกําลงั สองของเลขคสู่ องจํานวนเรียงกนั เท่ากบั 244 จงหาคา่ จํานวนทงั สองนนั

6. สเี หลยี มผนื ผ้ามพี ืนที 60 ตารางเซนตเิ มตร บรรจใุ นสามเหลียม ABC ดงั แสดงไว้ตามรูป
จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของสเี หลียมผนื ผ้า

Y

A

24 CX
B 10

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |11

7. ช่าง 2 คน ชว่ ยกนั ทาสีห้องๆ หนึงเสร็จในเวลา 4 ชวั โมง แตถ่ ้าให้ทาสเี พียงคนเดียว ชา่ งคนแรกจะ

ใช้เวลามากกวา่ คนทีสอง 6 ชวั โมง อยากทราบวา่ ในการทาสีห้องขนาดเดยี วกนั นี ช่างแตล่ ะคน

ใช้เวลาทาสคี นละกีชวั โมงจึงจะเสร็จ

8. ถงั นําใบหนงึ มีทอ่ เปิดนําเข้า 2 ทอ่ ขณะถงั เปลา่ เปิดนําเข้าทอ่ ทีละทอ่ นําจะเตม็ ถงั ใช้เวลาตา่ งกนั
6 ชวั โมง ถ้าเปิ ด 2 ท่อพร้อมกนั นําจะเตม็ ถงั ในเวลา 4 ชวั โมง
จงหาวา่ ถ้าเปิ ดนําเข้าเตม็ ถงั ทีละ ท่อ จะใช้เวลาท่อละกชี วั โมง

9. มแี ผน่ กระดาษแขง็ รูปสเี หลยี มผนื ผ้าแผน่ หนึงด้านยาวมีความยาวเป็นสองเท่าครึงของความยาว
ของด้านกว้าง ถ้าตดั มมุ ทงั สีออกเป็นรูปสีเหลยี มจตั รุ สั เทา่ ๆ กนั โดยมพี ืนทีรูปละ 16 ตาราง
เซนตเิ มตร แล้วพบั ขนึ เป็นกลอ่ งสเี หลยี มมมุ ฉากไมม่ ีฝาด้านบน พบวา่ กลอ่ งใบนีมปี ริมาตร 3,328
ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร จงหาวา่ เดมิ กระดาษแผน่ นีกว้างและยาวกีเซนตเิ มตร

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |12

แบบฝึ กหดั ชุดที 1

1. จงหาคาํ ตอบของสมการต่อไปนีโดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบหรือรากทสี อง

1. x2 + 6x + 8 = 0 2. x2 + 7x + 12 = 0

3. x2 + 11x + 30 = 0 4. x2 + 8x + 16 = 0

5. x2 + 4x – 12 = 0 6. x2 + 17x – 18 = 0

7. 3x2 – 5x + 2 = 0 8. 2x2 – 3x – 2 = 0

9. 3x2 + 8x – 3 = 0 10. 5x2 + 11x = 12

11. 4x2 = 4x + 3 12. 9x2 – 6x + 1 = 0

13. 25x2 – 4x = 0 14. 3x2 – 4x = 0

15. x2 – 36 = 0 16. 5x2 + 125 = 0

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |13
17. x2 = 16
18. (x – 1)2 = 25
19. (x + 2)2 = 36
20. 2(x + 4)2 = 8
21. 1 x2 + 12 = 7x 22. 3x2 + 7 x = 2
2
10 5

23. 1.1x2 – 14.2x – 1.3 = 0 24. 4x – 1.6x2 = 2.5

25. 25(x – 3)2 – 20(x – 3) + 4 = 0 26. (x – 5)2 – 3(x – 5) – 28 = 0

27. 2  x2   5  3  2x  1   0 28. x + 5 – 3 x  3 = 0
 2x  1   x2 
   

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |14

29. 4sin2x – 4sinx + 1 = 0 ; 0 x 90 30. x2 + ( 3  2 )x – 6 = 0

31. (x – 2)(x + 1) = 4 32. (x – 1)(x + 2) = 40

33. (2x – 1)(x + 2) = x + 2 34. (3x + 4)(x – 5) = 2(x – 5)

2. จงหาคาํ ตอบของสมการตอ่ ไปนีโดยการทําให้เป็นกําลงั สองสมบรู ณ์

1. x2 + 5x + 2 = 0 2. x2 – 4x + 13 = 0

3. x2 + x + 1 = 0 4. a2 + 8a + 5 = 0

5. 3x2 + 15x + 11 = 0 6. 4x2 – 4x + 1 = 0

7. –2x2 + 3x + 1 = 0 8. 5x2 – 8x + 2 = 0

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |15

3. จงหาคําตอบของสมการกําลงั สองตอ่ ไปนี โดยใช้สตู ร x = b  b2  4ac

2a

1. x2 – 10x + 25 = 0 2. 3x2 – 10x + 3 = 0

3. 2x2 + 3x – 1 = 0 4. 5x2 – x + 1 = 0

5. y2 – 3y – 4 = 0 6. 9u2 – 3u = 2

7. 2z2 + 9z = 5 8. 3p2 + 5p + 2 = 0

9. z2 + 4 = 4z 10. x2 + 2 = 2x

11. y2 + 1 = y 12. 9u2 + 24u + 16 = 0

13. 5w2 = 3w + 14 14. x2 – 10x – 3 = 0

15. t2 = 1 – t 16. 12x2 + 7x = 10

17. x2 – 2x + 5 = 0 18. 7 + 10x2 – x = 0

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |16
19. t2 – t = 0
20. 3m2 = 3m + 6
21. 6y2 + 5y – 4 = 0 22. 4p2 = p + 3

23. x2 – 1 x – 1 = 0 24. x2 + 2 x – 4 = 0
2 24
26. y – 2 y – 8 = 0
25. x2 – 2 3 x + 1 = 0

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |17

แบบฝึ กหดั ชุดที 2

1. กําลงั สองของจํานวนเตม็ ลบจํานวนหนึง มีคา่ มากกวา่ 5 เท่าของตวั มนั เองอยู่ 66 จงหาคา่ ของ
จํานวนนนั

2. ปัจจบุ นั อายขุ องบิดา 18x ปี และบตุ รชาย 2x2 ปี เมือบิดาอายุ 3x2 ปี บตุ รชายอายุ x + 4 ปี
จงหาอายขุ องบิดาในปัจจบุ นั

3. นกั เรียนในชนั หนึงตา่ งสง่ บตั รอวยพรวนั ขนึ ปีใหมใ่ ห้กนั และกนั และนกั เรียนทกุ คนตา่ งสง่ บตั รอวย
พรให้ผ้อู ํานวยการและอาจารย์ประจําชนั ด้วย ปรากฏวา่ นกั เรียนทกุ คนตา่ งกไ็ ปซือบตั รอวยพรที
ร้าน B2S เจ้าของร้านจําหน่ายบตั รให้นกั เรียนในชนั นีได้จํานวน 1,640 ใบ จงหาวา่ นกั เรียนในชนั
มีจํานวนกีคน

4. รูปสเี หลยี มผืนผ้ารูปหนงึ มพี นื ทเี ท่าใด ถ้าหากวา่ เส้นทแยงมมุ ยาวกวา่ ด้านยาวอยู่ 2 นิว และด้าน
กว้างสนั กวา่ ด้านยาว 2 นิวด้วย

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |18

5. ฐานของรูปสามเหลยี มรูปหนงึ ยาวเป็น 3 เทา่ ของความสงู ถ้าสามเหลียมรูปนนั มีพนื ที 54 ตาราง

เซนตเิ มตร ฐานและความสงู ของสามเหลยี มเป็นเท่าไร

6. วงกลมวงหนงึ มพี ืนทีมากกวา่ อกี วงหนงึ 462 ตารางเซนตเิ มตร ถ้าวงกลมทเี ลก็ กวา่ รศั มเี ป็น
ครึงหนงึ ของวงกลมใหญ่ จงหาวา่ วงกลมวงใหญ่มรี ัศมยี าวเท่าไร

7. ก้อนหินถกู โยนขนึ ไปในอากาศ พบวา่ เมอื ก้อนหินขนึ ไป s เมตร จากพนื ดิน ในเวลา t วินาที
จะได้สมการ s = 54t – 9t2 เมตร จงหาวา่
9.1 ถ้าก้อนหินถกู โยนขนึ ไปสงู 56 เมตร จากพืนดินต้องใช้เวลากีวินาที
9.2 ถ้าก้อนหินถกู โยนขนึ ไปสงู 99 เมตร จากพืนดนิ ต้องใช้เวลากีวนิ าที

8. สวนดอกไม้แหง่ หนงึ เป็นรูปสเี หลยี มผนื ผ้า กว้าง 7.2 เมตร และยาว 12 เมตร ถ้าต้องการทํา
ทางเดนิ รอบสวนแห่งโดยทํารอบด้านนอกและทางเดนิ กว้างเท่ากนั โดยตลอด พบวา่ พืนทีของสวน
ดอกไม้และทางเดนิ รวมกนั ได้ 201.6 ตารางเมตร จงหาความกว้างของทางเดิน

x

x x
7.2

12
x

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |19

9. ทีดนิ แปลงหนงึ เป็นรูปสเี หลียมผนื ผ้า ล้อมรวั ทีดนิ แปลงนที งั สีด้านด้วยซเี มนตบ์ ลอ็ ค สงู น้อยกวา่

ความยาวของด้านกว้างของทีดนิ อยู่ 7 เมตร ความยาวของด้านยาวของทีดนิ แปลงนียาวกวา่ สอง

เทา่ ของความยาวของด้านกว้างอยู่ 2 เมตร ถ้าต้องการทาสรี วั ภายในทงั หมดพบวา่ พืนทีทีต้องการ

ทาสีคิดเป็น 752 ตารางเมตร จงหาพืนทีของทีดนิ แปลงนี

10. ซือผ้ามาจํานวนหนงึ เป็นเงิน 120 บาท ถ้าผ้าราคาลดลงเมตรละ 1 บาท จะซือผ้าได้เพิมอีก 6 เมตร
จงหาวา่ ซือผ้ามาทงั หมดกีเมตร และราคาเมตรละเท่าไร

11. จากรูปทีกําหนดให้ อาคาร A และอาคาร B ในมหาวิทยาลยั แห่งหนงึ เดนิ ถงึ กนั ได้ด้วยถนนที
เป็นรูปตวั L วดั ระยะทางตามถนนได้ 175 เมตร เดก็ คนหนงึ เดินจากอาคาร A ไปยงั อาคาร B
โดยเดนิ ลดั สนามในแนวตรงจาก A ถึง B พบวา่ เขาสามารถย่นระยะทางได้ถงึ 50 เมตร จงหา
ระยะทางตามแนวถนนจากอาคาร A ถึงจดุ เลียว และจากจดุ เลียวถงึ อาคาร B

A
C

B

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |20

แบบฝึ กหดั เสริม

1. จงหาคา่ k ทีทําให้ –2 เป็นคาํ ตอบหนงึ ของสมการ k(x2 – 1) = 8x - 1

2. ถ้าคาํ ตอบของสมการ 3x2 + kx + 3 = 0 มคี า่ เทา่ กนั จงหาคา่ | k |

3. กําหนดสมการกําลงั สอง ax2 – bx – c = 0 เมือ a, b และ c เป็นจํานวนจริง และ a  0
แล้วคําตอบของสมการนีคือ

4. จงหาคําตอบของสมการ x2 – (4k + 1)x + 5k + 8 = 0
โดยกําหนดผลคณู ของคาํ ตอบเป็นสองเทา่ ของผลบวกของคําตอบ

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |21

5. ถ้า a และ b เป็นคําตอบของสมการ x2 – 15x + c และ a : b = 2 : 3 จงหาคา่ c

6. จงหาคาํ ตอบของสมการตอ่ ไปนี 6.2 2x  5  2x  1

6.1 x  5  x  1

6.3 x4 + 2x2 + 9 = 0 6.4 x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1 = 0

7. กําหนดให้ x  y = 3x2y + (15 – y)x จงหาคา่ ของ x ทีทําให้ x  y = 5 เมือ y = 2

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น หน้า |22

8. ถ้าผลบวกของรากของสมการ x2 + px – p2 = 0 เทา่ กบั 2p – 6
แล้วผลคณู ของรากของสมการนีเป็นเท่าไร

9. กําหนดให้ x2  2x  2  3 ถ้า y  1  1 และ y < 1 แล้ว y มคี า่ เท่าไร
x1 x2 x x2

10. กําหนดสมการ x2 – kx + k + 1 = 0 เมอื k เป็นจํานวนจริง
ถ้าผลบวกของรากของสมการมีคา่ เป็น 3 เทา่ ของผลคณู ของรากของสมการแล้ว k มคี า่ เทา่ ไร

11. ถ้า x2 – x + 1 = 0 แล้ว x9 + x-9 + x6 + x-6 + x3 + x-3 + 1 มีคา่ เท่าไร

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |23

12. ผลคณู ของรากของสมการ x3  3x  2  2x3  3x2  8x 3  0 เป็นเทา่ ใด
x2  x  2 2x  1

13. D จากรูป วงกลมรัศมี 5 นิว คอร์ดสองคอร์ดตดั กนั
1 ทีจดุ P ภายในวงกลม ได้สว่ นตดั ตามที
A x P x–1 B กําหนดให้ดงั รูป จะได้ x มีคา่ เทา่ ใด

6

C

14. กําหนดให้ a3 – b3 = 19x3 และ a – b = x โดยที a, b และ x เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ซงึ x  0 จะได้ a2 – ab + b2 เป็นเทา่ ใด

15. ถ้า ab 1 a, b > 0 จะได้ 2a 2b มคี า่ เทา่ ใด
ba ba

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |24

16. ผลคณู ของคําตอบทเี ป็นจํานวนเตม็ ทงั หมดของสมการ x7 + x4 – 16x3 = 16 มคี า่ เทา่ ใด

17. กําหนดให้  และ  เป็นรากของสมการ ax2 + bx + c = 0 และ 1 และ 1 เป็นรากของสมการ
4ax2 – 2bx + c = 0 จะได้ 412  412 มีคา่ เท่าใดในเทอมของ  และ 

18. ผลคณู ของคาํ ตอบทกุ ตวั ของสมการ
(x2 – 5x + 6)3 + (2x2 + 7x + 5)3 = (3x2 + 2x + 11)3 เท่ากบั เทา่ ไร

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |25

19. ถ้า (x + 2)(x + 3)(x – 4)(x – 6) = 10x2 โดยที x  –4, 3
แล้ว x2 – 6x + 1 เทา่ กบั เทา่ ไร

20. บริษัทแห่งหนึงมเี ครืองถ่ายสําเนา 2 เครืองคือ เครือง A และเครือง B หากให้แตล่ ะเครืองทําสําเนา
รายงานประจําปี ของบริษัท พบวา่ เครือง B ใช้เวลาในการทํามากกวา่ เครือง A 12 นาที แตถ่ ้าให้
ทงั สองเครืองชว่ ยกนั ทําสําเนาพบวา่ ใช้เวลาเพียง 8 นาทีเทา่ นนั อยากทราบวา่ ถ้าให้แตล่ ะเครืองทํา
สาํ เนาเพียงเครืองเดยี ว เครือง A และเครือง B จะต้องใช้เวลาในการทํากนี าที ตามลําดบั

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น หน้า |26