การแยกตัวประกอบพหุนาม

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 1

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น (ม.3)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

§ 1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง
การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม เป็ นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามนนั ในรูปการคณู ของพหนุ ามทมี ีดกี รี

ตํากวา่

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี 2. x3 + x2 + x

1. 5x + 15

3. 2x7 + 4x4 + 10x3 4. 2x4y4 + 4x2y2

5. 3x4y4 + 6x3y3 6. 7x2y2 – 49y3

7. 3a(b – c) – (b – c) 8. abx – bcx – aby + bcy

9. 2a3 – 16a + a2 – 8 10. x2 – ax + bx – ab

11. a2x + abx + ac + aby + b2y + bc 12. 2x2y + 2cy – 5c – 5x2

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น 2

2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว

พหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว เป็ นพหนุ ามทีอยใู่ นรูป ax2 + bx + c เมอื a, b, c เป็ นคา่ คงตวั
โดยที a  0 และ x เป็ นตวั แปร

ตัวอย่าง 1 จงบอกคา่ ของ a, b และ c ของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี วทีกาํ หนดให้ตอ่ ไปนี

ข้อ พหนุ าม ตัวแปร a b c

1. 3x2 + 4x + 5 x 3 4 5

2. 4x2 – 6x + 9 x 4 -6 9

3. 5y – 4y2 – 1

4. 7y – 8y2

5. 9a2 – 4

6. –2b2 + 3b

7. 6z2 + 1

8. –m2 + m – 1

9. –4p +3 – 5p2

2.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ax2 + bx + c เมือ a  0, b  0 และ c = 0

ตัวอย่าง 2 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อตอ่ ไปนี

1. 3x2 – 4x = ………………………………

2. –5x2 + 2x = ………………………………

3. 6x2 – 10x = ………………………………

4. 8x2 + 12x = ………………………………

5. 9x – 6x2 = ………………………………

2.2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ax2 + bx + c เมือ a  0 และ c  0

รูปแบบที 1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทมี ีสมั ประสิทธิเป็ นจํานวนเต็มในรูป
x2 + bx + c เมอื a = 1 และ c  0

ตวั อย่าง 3 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อตอ่ ไปนี 2. x2 + 5x + 6

1. x2 + 4x + 3

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 3
3. x2 + 8x + 15 4. x2 + 13x + 22

5. x2 – 9x +20 6. x2 – 2x – 15

7. x2 + 7x – 18 8. x2 – 7x – 10

9. x2 – x – 12 10. x2 – 15

รูปแบบที 2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทีมสี มั ประสิทธิเป็ นจํานวนเต็มในรูป ax2 + bx + c
เมอื a  0, a  1 และ c  0
วิธีแยกตวั ประกอบ

ขนั ที 1 : แยกตวั ประกอบของ a เป็ นผลคณู ของจาํ นวนสองจํานวน (อาจแยกได้มากกวา่ 1 แบบ)
ขันที 2 : แยกตวั ประกอบของ c เป็ นผลคณู ของจํานวนสองจาํ นวน

 ถ้า c > 0 และ b > 0 ตวั ประกอบของ c จะเป็ นจาํ นวนบวกทงั คู่
 ถ้า c > 0 และ b < 0 ตวั ประกอบของ c จะเป็ นจาํ นวนลบทงั คู่
 ถ้า c < 0 ตวั ประกอบของ c จะเป็ นจาํ นวนบวกหนงึ จาํ นวน และเป็ นจาํ นวนลบหนงึ จาํ นวน
ขนั ที 3 : เลือกตวั ประกอบของ a และของ c แบบทที ําให้ผลบวกของผลคณู ทแยงเท่ากบั b

กลา่ วคอื สมมติให้เลือก

a = mn

c = pq

จะต้องได้วา่ b = mq + np
ดงั นนั ax2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)

ข้อตกลง จากพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c เมือ a, b, c เป็ นคา่ คงตวั และ a  1,

a  0, c  0

ax2 เรียกวา่ พจนห์ น้า

bx เรียกวา่ พจนก์ ลาง

c เรียกวา่ พจน์หลงั

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น 4

ตัวอย่าง 4 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี

1) 3x2 + 8x + 4 2) 6x2 – x – 12

3) 5x2 – 9x – 2 4) 3x2 – 7x + 2

5) 2x2 + 3x – 2 6) 6x2 + x – 15

7) 4x2 – 8x – 5 8) 6x2 – 13x – 15
9) 7x2 – 78x + 11 10) –20x2 + 12x + 11

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 5

§ 2.2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทเี ป็ นกาํ ลังสองสมบรู ณ์

พหนุ ามดีกรีสองทแี ยกตวั ประกอบแล้วได้ตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีหนงึ ซํากนั สองพหนุ าม เรียกวา่

กาํ ลังสองสมบูรณ์ ซงึ อาจเขียนในรูปทวั ไป ได้ดงั นี A2 + 2AB + B2 และ A2 – 2AB + B2
เมือ A และ B เป็ นพหนุ าม แยกตวั ประกอบได้ดงั นี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )2

A2 – 2AB + B2 = (A – B)2

(หน้า)2 – 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า – หลงั )2

ตัวอย่าง 1 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2. x2 – 4x + 4

1. x2 + 2x + 1

3. x2 + 6x + 9 4. x2 – 8x + 16

5. x2 + 24x + 144 6. x2 – 66x + 1089

7. 4x2 + 16x + 16 8. 25x2 – 20x + 4

9. 9y2 + 42y + 49 10. 36x2 – 60x + 25

11. 4y2 – 36y + 81 12. 64x2 – 240xy + 225y2

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 6

ตวั อย่าง 2 จงหาคา่ c ตอ่ ไปนี เมอื พหนุ ามทีกาํ หนดให้เป็นกําลงั สองสมบรู ณ์

1. x2 + 8x + c 2. x2 – 10x + c

3 x2 – x + c 4. 4x2 – 2x + c

ตวั อย่าง 3. ถ้าตวั ประกอบของ 9(x + 2)2 – 6(x + 2)+ 1 = (ax + b)2 จงหาคา่ ของ b2 – a2

ตวั อย่าง 4. จงหาคา่ ของ x(x1  x)2  x(x1  x)2
ตวั อย่าง 5. จงแยกตวั ประกอบของ (a + b)2 – 2c(a + b) + c2

คณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 7

§ 2.3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทเี ป็ นผลต่างกาํ ลงั สอง

รูปทวั ไปของพหนุ ามทีอยใู่ นรูปผลตา่ งของกาํ ลงั สอง คือ A2 – B2 เมอื A และ B

แทนพหนุ าม แยกตวั ประกอบได้ดงั นี

สตู ร A2 – B2 = (A + B)(A – B)

(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง)

ตัวอย่าง 1 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี 2. x2 – 16

1. x2 – 9

3. x2 – 100 4. x2 – 3

5. x2 – 5 6. 9x2 – 25

7. 16x2 – 169 8. 25x2 – 144

9. 4x2 – 25y2 10. (x + 2)2 – 16

11. (x + 1)2 – (y – 2)2 12. 4x2 – (x + 2)2

13. 4(2x – y)2 – 9(2x + 3y)2 14. (4x + 1)2 – 25(3x – 2)2

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาตอนต้น 8

§ 2.4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองโดยวิธีทาํ เป็ นกาํ ลังสองสมบรู ณ์

พหนุ ามดกี รีสองบางพหนุ ามไมอ่ ยใู่ นรูปกําลงั สองสมบรู ณ์ และไมอ่ ยใู่ นรูปผลตา่ งกาํ ลงั สอง แต่
สามารถแยกตวั ประกอบได้ โดยวิธีทําเป็ นกาํ ลงั สองสมบรู ณ์ แล้วตามด้วยผลตา่ งกาํ ลงั สอง

ตัวอย่าง 1 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

(1) x2 – 2x – 5

(2) x2 + 8x + 10

(3) x2  x  1

(4) 3x2 + 11x + 6

(5) 3x2 + 24x + 27

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาตอนต้น 9
(6) –2x2 + x + 4

(7) 4x2 – 4x – 17

(8) 8x2 – 53x – 21

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 10

§ 2.5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสูงกว่าสองทมี ีสัมประสิทธเิ ป็ นจาํ นวนเตม็

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสามทอี ยใู่ นรูปผลบวกของกําลงั สามและผลตา่ งของกาํ ลงั สาม

ถ้า A และ B แทนพหนุ าม เราจะเรียกพหนุ ามทเี ขียนอยใู่ นรูป A3 + B3 วา่ ผลบวกของกาํ ลงั สาม และ

เรียกพหนุ ามทอี ยใู่ นรูป A3 – B3 วา่ เป็ น ผลตา่ งกาํ ลงั สาม

ซงึ จะได้สตู รการแยกตวั ประกอบของ A3 + B3 และ A3 – B3 ดงั ตอ่ ไปนี

1. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

หรือ (หน้า)3 + (หลงั )3 = (หน้า + หลงั )[(หน้า)2 – (หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2]

2. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

หรือ (หน้า)3 – (หลงั )3 = (หน้า - หลงั )[(หน้า)2 + (หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2]

สําหรบั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสงู กวา่ สอง จะใช้วิธีระคน กลา่ วคอื อาจจะใช้วธิ ีจดั พหนุ ามให้อยู่
ในรูปกาํ ลงั สองสมบรู ณ์ หรือผลตา่ งของกาํ ลงั สองหรือผลบวกของกาํ ลงั สาม หรือผลตา่ งของกําลงั สาม

ตัวอย่าง 1 จงเขียนพหนุ ามทกี าํ หนดให้ตอ่ ไปนี ในรูป A3 + B3 หรือ A3 – B3 แล้วแยกตวั ประกอบ

ข้อ พหนุ าม A3  B3 แยกตวั ประกอบ
(x)3 + 13
1. x3 + 1 (x + 1)(x2 – x + 1)
2. x3 – 1 (x)3 – 13
3. x3 + 8 (x – 1)(x2 + x + 1)
4. x3 + 27
5. x3- 125
6. 64 – x3
7. 216 + x3
8. x3 + 27y3
9. 27x3 + 8y3
10. 8x3 – 27y3
11. x3y3 – 216a3
12. x6 + 216
13. 8x6 – 343y6

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 11

§ 2.6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีมากกว่าสอง โดยอาศัยการทาํ เป็ นกาํ ลงั สมบรู ณ์

มีขนั ตอนดงั นี
1. จดั พหนุ ามให้อยใู่ นรูปกาํ ลงั สมบรู ณ์ โดยการเพมิ พจน์กลางเข้า แล้วลบออก
2. แยกตวั ประกอบ โดยใช้วธิ ีผลตา่ งกําลงั สอง

ตัวอย่าง 1 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี

1. x4 + 3x2 + 4

2. x4 + 64

3. x4 + x2 + 1

4. x4 – 7x2 + 9

5. x4 – 25x2 + 144

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 12

§ 2.7 พหนุ ามในรูปกาํ ลงั สามสมบรู ณ์

พหนุ ามดกี รีสามทแี ยกตวั ประกอบแล้วได้ตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีหนงึ ซํากนั สามพหนุ าม เรียกวา่

กาํ ลังสามสมบูรณ์ ซงึ อาจเขียนในรูปทวั ไป ได้ดงั นี A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 และ
A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 เมอื A และ B เป็ นพหนุ าม ซงึ สามารถแยกตวั ประกอบได้ ดงั นี

A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3

(หน้า3 + 3หน้า2หลงั + 3หน้าหลงั 2 + หลงั 3) = (หน้า + หลงั )3

A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3

(หน้า3 – 3หน้า2หลงั + 3หน้าหลงั 2 – หลงั 3) = (หน้า – หลงั )3

ตัวอย่าง 1 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี 2. x3 – 3x2 + 3x – 1

1. x3 + 3x2 + 3x + 1

3. x3 + 6x2 + 12x + 8 4. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

ตัวอย่าง 2 จงหาคา่ ของ

1. (a – b)3 + 3(a – b)2b + 3(a – b)b2 + b3

2. (x – y)3 + (x + y)3 + 3(x + y)2(x – y) + 3(x – y)2

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 13

Ẻ½ƒ¡ËÑ´ 1 ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ¾Ë¹Ø ÒÁ

จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนีโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

1. x2 + xy = …………....................................................................................…………..

2. x3 – x2y = …………....................................................................................…………..

3. 2x3 – 2x = …………....................................................................................…………..

4. x2 – x3 = …………....................................................................................…………..

5. mx – m2 = …………....................................................................................…………..

6. x4 – x2y = …………....................................................................................…………..

7. 5m2 – 10m = …………....................................................................................…………..

8. 3m – 9m2 = …………....................................................................................…………..

9. 3m2 – 6mx = …………....................................................................................…………..

10. 2m2x + m2 = …………....................................................................................…………..

11. m2 – am = …………....................................................................................…………..

12. m5 – m4 = …………....................................................................................…………..

13. 4a2 – 16a3b = …………....................................................................................…………..

14. 15a + 45a2 = …………....................................................................................…………..

15. 27m3 – 9m2 = …………....................................................................................…………..

16. 16m – 64m2n = …………...........................................................................…………..

17. 13m2x2 – 39x4 = …………...........................................................................…………..

18. 9m2n2 – 3n2y2 = …………...........................................................................…………..

19. 81x – 54 = ……….........…..................................................................…………..

20. 10m3 + 25m4y = …………...........................................................................…………..

21. 51m2 – 7m = …………...........................................................................…………..

22. 4m3 + m2 – m = …………...........................................................................…………..

23. 2m3 – 4m2 – 2m = …………...........................................................................…………..

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 14

24. 3m3 – 6m2 + 9m = …………...........................................................................…………..

25. m3y – m2y2 + my3 = …………...........................................................................…………..

26. 12my2 + 9m2y + my3 = …………...................................................................…………..

27. 2c2d3 – 6c2d2 + 2c3d = …………...................................................................…………..

28. 2m5 – 12m4x + 6m3x2 = …………...................................................................…………..

29. 6m4y – 12m2y2 + 18m2y3 = …………...................................................................…………..

30. 7m3 – 7m2x + 14mx3 = …………...................................................................…………..

31. (m + n)x + (m + n)y = …………...................................................................…………..

32. 20(y2 + z2) – b(y2 + z2) = …………...................................................................…………..

33. 5(x – y) – (x – y)n = …………...................................................................…………..

34. a2 + ab + ac + bc = …………...................................................................…………..

35. a2c2 + acd + abc + bd = …………...................................................................…………..

36. 2x + cx + 2c + c2 = …………...................................................................…………..

37. 5a + ab + 5b + b2 = …………...................................................................…………..

38. ax – bx – az + bz = …………...................................................................…………..

39. mx – my – nx + ny = …………...................................................................…………..

40. 2ax + ay + 2bx + by = …………...................................................................…………..

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 15

Ẻ½ƒ¡ËÑ´ 2 ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ¾ËعÒÁ

จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนี

1. x2 – 7x + 12 = ……………………………………………………

2. x2 + x – 20 = ……………………………………………………

3. x2 – 49 = ……………………………………………………

4. x2 + 11x +18 = ……………………………………………………

5. x2 – 2 = ……………………………………………………

6. x2 + 11x + 18 = ……………………………………………………

7. x2 + 4x + 4 = ……………………………………………………

8. x2 + 6x + 9 = ……………………………………………………

9. x2 + 8x + 16 = ……………………………………………………

10. x2 – 5x + 6 = ……………………………………………………

11. x2 – 14x + 24 = ……………………………………………………

12. x2 – 7x +10 = ……………………………………………………

13. x2 – 11x + 24 = ……………………………………………………

14. x2 – x – 12 = ……………………………………………………

15. x2 – x – 30 = ……………………………………………………

16. x2 – 2x – 24 = ……………………………………………………

17. x2 – 16x – 36 = ……………………………………………………

18. x2 – 8x – 48 = ……………………………………………………

19. x4 + 18x2 + 65 = ……………………………………………………

20. x4 – 25x2 + 136 = ……………………………………………………

21. a2b2 – 12ab + 35 = ……………………………………………………

22. n6 – 10n3 + 25 = ……………………………………………………

23. p4 – 26p2 + 69 = ……………………………………………………

24. p2q2 – 15pq + 44 = ……………………………………………………

25. a2b2 + 2ab – 15 = ……………………………………………………

26. 98 – 7y – y2 = ……………………………………………………

27. x2y2 – xy – 72 = ……………………………………………………

28. y4 + y2 – 56 = ……………………………………………………

29. a2 – 11ab – 26b2 = ……………………………………

30. m6 – 2m3n3 – 35n6 = ……………………………………………

31. p2 – 18pq + 17q2 = ……………………………………………………

32. x2 – 4xy – 77y2 = ……………………………………………………

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 16

Ẻ½¡ƒ ËÑ´ 3 ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾ËعÒÁ

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี

1) 5x2 + 16x + 3 = ..........................................................

2) 30x2 + 31x + 5 = ..........................................................

3) 2x2 + 7x + 5 = ..........................................................

4) 6x2 + 23x + 7 = ..........................................................

5) 6x2 + 29x + 20 = ..........................................................

6) 15x2 + 77x + 10 =..........................................................

7) 12x2 + 41x + 35 =..........................................................

8) 6x2 + 17x + 12 = ..........................................................

9) 3x2 + 30x + 75 =..........................................................

10) 5x2 + 16x + 3 = ..........................................................

11) 6x2 + 5x – 6 = ..........................................................

12) 10x2 + 13x – 3 = ..........................................................

13) 6x2 + x – 12 = ..........................................................

14) 5x2 + 4x – 1 = ..........................................................

15) 35x2 + 18x – 8 = ..........................................................

16) 15x2 + 8x – 7 = ..........................................................

17) 4x2 + 16x – 9 = ..........................................................

18) 12x2 + x – 6 = ..........................................................

19) 6x2 + 31x – 52 = ..........................................................

20) 12x2 + 23x – 24 = ..........................................................

21) 10x2 – 13x + 4 = ..........................................................

22) 12x2 – 23x + 5 = ..........................................................

23) 2x2 – 17x + 8 = ..........................................................

24) 35 – 26x + 3x2 = ..........................................................

25) 30x2 – 70x + 20 = ..........................................................

26) 5 – 8x + 3x2 = ..........................................................

27) 10 – 77x + 15x2 = ..........................................................

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 17

28) 12x2 – 68x + 91 = ..........................................................

29) 24x2 – 43x + 18 = ..........................................................

30) 15x2 – 11x + 2 = ..........................................................

31) 44y2 – 47y – 10 = ..........................................................

32) 56y2 – 33y – 108 = ..........................................................

33) 3x2 – 19x – 72 =..........................................................

34) 12x2 – x – 35 = ..........................................................

35) 3y2 – 6y – 9 =..........................................................

36) 6y2 – y – 12 = ..........................................................

37) 12y2 – 107y – 9 =..........................................................

38) 9x2 – 12x – 5 = ..........................................................

39) 12x2 – 75 = ..........................................................

40) 25y2 – 121 = ..........................................................

41) 4x2 – 9 = ..........................................................

42) 16y2 – 49 = ..........................................................

43) 28a2 + 31ab – 5b2 = ..........................................................

44) 5x2 – 11xy + 2y2 = ..........................................................

45) 65y2 – 17xy + 28x2 = ..........................................................

46) 15x2 + 26xy + 8y2 = ..........................................................

47) a2 – 11ab – 26b2 = ..........................................................

48) x2 + xy – 56y2 = ..........................................................

49) x2 – 4xy – 77y2 = ..........................................................

50) x2 + 11xy – 102y2 = ..........................................................

51) –8y2 – 36y – 35 = ..........................................................

52) –9x2 + 6x + 15 = ..........................................................

53) –20x2 + 12x + 11 = ..........................................................

54) –5m2 + 22m – 8 = ..........................................................

55) (a + b)x + a(a + 1)x2 – b(b – 1) = ..........................................................

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 18

Ẻ½ƒ¡ËÑ´ 4 ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾ËعÒÁ

จงเขียนพหนุ ามทกี าํ หนดให้ต่อไปนี ให้อย่ใู นรูป A2 + 2AB + B2 หรือ A2 – 2AB + B2
พร้อมทงั แยกตัวประกอบ

ข้อ พหนุ าม A2  2AB + B2 แยกตวั ประกอบ

1. x2 – 4x + 4
2. x2 + 6x + 9
3. x2 + 8x + 16
4. x2 – 8x + 16
5. x2 + 30x + 25
6. x2 – 6x + 9
7. x2 – 60x + 900
8. x2 – 10x + 25
9. x2 – 36x + 324
10. x2 + 10x + 25
11. x2 + 36x + 324
12. x2 – 66x + 1089
13. x2 + 66x + 1089
14. x2 – 54x + 729
15. x2 + 106x + 2809
16. 4x2 + 12x + 9
17. 25x2 + 20x + 4
18. 9y2 + 42y + 49
19. 36m2 – 60m + 25
20. 4y2 – 36y + 81
21. 100n2 + 220n + 121
22. 4y2 – 4y + 1
23. 16a2 + 24a + 9
24. 121x2 + 110x + 25
25. 100d2 – 260d + 169

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 19 แยกตัวประกอบ
A2  2AB + B2
ข้อ พหนุ าม

26. 25x2 – 20x + 4
27. 36m2 – 48m + 16

28. x2 – 2 5 x + 5

29. 9p2 – 48p + 64
30. 0.25y2 + 1.5y + 2.25

1
31. x2 – x + 4

31
32. 9a2 + 2 a + 16
33. x2 – 2xy + y2
34. 9x2 – 30xy + 25y2
35. 100x2 + 220xy + 121y2
36. 64x2 – 240xy + 225y2
37. n6 – 10n3 + 225
38. a2b2 + 30ab + 25
39. c2 + 6cd + 9d2
40. 36a4b4 – 60a2b2 + 25

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 20

Ẻ½¡ƒ ËÑ´ 5 ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾Ë¹Ø ÒÁ

1. จงเขยี นพหนุ ามทกี าํ หนดให้ในรูปผลต่างกาํ ลงั สอง พร้อมทงั แยกตัวประกอบ

ข้อ พหนุ าม A2 – B2 แยกตวั ประกอบ

1. x2 – 49
2. x2 – 25
3. x2 – 121
4. 36 – x2
5. 169 – x2
6. 225 – x2
7. x2 – 7
8. x2 – 11
9. x2 – 50
10. x2 – 8
11. 27 – x2
12. 128 – x2
13. 16x2 – 10000
14. 49x2 – 81
15. 25x2 – 144
16. 36x2 – 49
17. 625x2 – 256
18. p2q2 – 25
19. a2b2 – x2y2
20. 4x2 – 9y2
21. 25a2b2 – 81c2d2
22. 81a6 – 225b6
23. 144x8 – 169y8
24. 121x6 – 196y8
25. (2x + 1)2 – (x + 2)2
26. (x + y)2 – (2x – 3y)2
27. 4(2x – y)2 – 9(2x + 3y)2
28. 16(4x + 1)2 – 25(3x – 2)2
29. 9a6b2c8 – 16x8y6z2
30. 36m20n100 – 625x1000y50

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 21

Ẻ½ƒ¡ËÑ´ 6 ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾ËعÒÁ

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี โดยวิธีทาํ เป็ นกาํ ลงั สองสมบรู ณ์

1. x2 – 14x + 48 2. x2 – 6x – 72

3. x2 + 20x + 96 4. x2 + 24x + 140
5. x2 – 16x + 63 6. x2 – 28x + 195
7. x2 – 2x – 195 8. x2 – 15x + 4

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 22
9. x2 + 7x + 9 10. x2 + 9x + 11

11. 8x2 + 53x – 21 12. 12x2 – 68x + 91

13. 30x2 + 37x – 84 14. –3x2 + 2x + 5

15. –2x2 + 3x + 1 16. x2 – 15x + 40
17. 3x2 + 11x + 6 18. 3x2 + 19x – 14

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 23

Ẻ½¡ƒ ËÑ´ 7 ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾ËعÒÁ

1. จงเขยี นพหนุ ามต่อไปนีในรูปผลบวกหรือผลต่างกาํ ลงั สามแล้วแยกตวั ประกอบ

พหนุ าม A3  B3 แยกตวั ประกอบ

y3 + 1
y3 + 27
y3 + 125
y3 + 729
x3 + 1728
x3 – 64
x3 – 1,000
x3 – 343

5 – x3

x3 – 27

8x3 + 216

1000 – 27x3

8x3 + 1

8x3 – 125

729 – 8x3

8m3 – 343

3x3 + 64

1a3  64
8 27

0.001x3 + 0.125

125m3n3 – x3y3

3t3 – 7s3

x3y3z3 – 27

cos3x – sin3x

x6 – 125y9

a3b6c9 – 1

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 24

Ẻ½¡ƒ ËÑ´ 8 ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ¾ËعÒÁ

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี 2. x4 + 4

1. x4 + x2y2 + y4

3. x4 – 3x2 + 1 4. 4a4 – 20a2b2 + b2

5. m4 + 4m2n2 + 16n4 6. 25a4 + 21a2 + 9

7. p4 + 9p2q2 + 81q4 8. 4x4 – 21x2y2 + y4

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 25

Ẻ½ƒ¡Ë´Ñ ¡ÒÃᡵÇÑ »ÃСͺ¾ËعÒÁ

1. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี (2) x(x +1) + 4(x + 1)2

(1) 3p(x + y) – (x + y)

(3) (x + y)2 + (x + y) (4) x(x – 1) + 3(1 – x)

. (6) (a – b)2 – (a + b)2
(5) (2a – b)2 – 3(b – 2a)

(7) p2 – (q – r)2 . (8) (a – b)2 – (b – a)(2a – 3b)

(9) (m + 3n)2 – (2m – n)2 (10) (2a + 3b)2 – 4a2

(11) (x2 – 2x)2 – 1 (12) 4a2 – (a – 3)2
(13) x3 – 49xy2 (14) 2x3 – 8xy2

(15) 4a3b3 – ab

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 26
(16) (a2 – 9)(3a – 6) + (a2 – 2a)(a – 3)

(17) (x2 – 4)(2x + 3) – (2x2 + 3x)(x – 2) .

(18) a(a2 – 1) – 4(a + 1)

(19) 12x3 + 2x2 – 2x

(20) 14p2 – 7pq –7q2

(21) 2x4 + 3x2y + y2

(22) 2a4 – a2b – b2

(23) 3(x + 3)2 + (x + 3) – 44

(24) 3(2x – 5)2 + 4(2x – 5) – 4

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 27
(25) 2(2x – 3)2 – 5(2x – 3) + 2

(26) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3

(27) (x2 – 4x)2 – 2x(x – 4) – 15

(28) x2(x – 3)2 – 25(x2 – 3x) + 84

(29) x2(x-4)2 + 7x(x-4) + 12

(30) (x + 2)3 – (x + 2)2 – 2(x+2)

(31) 6(x2 + 2x – 4)2 + 5(x2 + 2x – 4)(x + 1) – 4(x+1)2

(32) 2(x2 + 6x + 1)2 + 5(x2 + 6x + 1)(x2 + 1) + 2(x2 + 1)2

(33)(2x + y)2 – 3(2x + y)(x + 2y) – 4(x + 2y)2

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 28

(34) 6(x2 – 5x – 3)2 + (x + 1)(x2 – 5x – 3) – 35(x + 1)2

(35) ab(x2 + 1) – x(a2 + b2)

(36) 3x2 – 2ab – x(b – 6a)

(37) m3 – n3 – (x2 – mn)(m – n)

(38) a(a – 3)x2 – (a + 6)x – a(a+2)

(39) 2x2 – 11xy + 15y2 +11x –26y – 21

(40) 3x2 + 2xy – 8y2 – 8x + 14y – 3

(41) 3x2 – 15xy +18y2 – 7x +23y – 6

(42) 4x2 + 12xy + 9y2 + 2x + 3y – 2

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 29
(43) 3x2 + 7xy – 6y2 – 14x + 13y – 5

(44) 2x2 – 5xy – 3y2 + 8x +18y – 24

(45) 15x2 + 16xy – 15y2 + x – 21y – 6

(46) 12x2 – xy – 6y2 – 30x – 3y + 18

(47) a3 – 7a2 – 3a +21

(48) 4x3 + x2 – 4x – 1

(49) 3(x + 7)(x2 + x – 2) – (x – 1)(2x2 + 11x – 21)

(50) x5 + x3y2 – x2y3 – y5

(51) (x + y)3 – x3 – y3

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 30
(52) 3x2 – 3(3p + q + r)x + pq + pr

(53) a(b2 + c2) – bc(a2 + 1)

(54) a3 + (b + c)3 + b3 + (c + a)3 + c3 + (a + b)3

(55) a2x2 + b2y2 + 4abxy – b2x2 – a2y

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 31

2. จงหาคา่ ของจาํ นวนตอ่ ไปนี

2.1 (9999)2

2.2 (51)2 – (49)2

2.3 (102)2 – (98)2

2.4 (875)2 มีคา่ มากกวา่ (125)2 อยเู่ ทา่ ใด

3. กาํ หนด ab = 2 และ a + b = 4 แล้วจงหาคา่ ของ a2 + b2

4. กาํ หนดให้ x + y = 8 และ xy = 13 แล้วจงหาคา่ ของ x3 + y3

5. กาํ หนดให้ a  1 7 จงหาคา่ ของ a3  1
a a3

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 32

6. ถ้า (x  1 )2  9 จงหาคา่ ของ x3  1
x x3

1 11

7. ถ้า a 3  b3  c3 = 0 แล้วจงหาคา่ ของ (a + b + c)3

8. จงหาคา่ ของ 3x2 – 5xy + 3y2 เมือ x  3  2 และ y  3  2
3 2 3 2

9. กําหนดให้ sin2q + cos2q = 1 และ q = 45 จงหาคา่ ของ (sin q + cos q)2

10. ถ้าตวั ประกอบของ (2x – 3y)2 – (9z)2 = (ax – by + cz)(ax – by – cz)
จงหาคา่ ของ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 33

11. จงหาคา่ k เมอื 4x2 – 6x + k เป็ นกําลงั สองสมบรู ณ์

12. ถ้าตวั ประกอบของ 9(x + 2)2 – 6(x + 1) + 1 = (ax + b)2 จงหาคา่ ของ b2 – a2

13. ถ้าตวั ประกอบของ x2 – 9a2 + 6ab – b2 = (x – 3a + b)(x + ma + nb)
จงหาคา่ ของ m2 – 2mn + n2

14. ถ้า 3x + y – 5 เป็ นตวั ประกอบหนงึ ของ 6x2 – 13xy – 5y2 – 16x + 23y + 10 จงหาตวั ประกอบทเี หลือ

15. จงหาคา่ p และ q ถ้า x + 2 และ x – 3 เป็ นตวั ประกอบของ x3 + px2 + qx – 18

การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 34

16. ถ้า 6x2 + 36x + k = 6(x + a)2 จงหาคา่ k

17. จงแยกตวั ประกอบของ 3x2 + ax – 1

18. ถ้า a4 + 9a2b2 + 81b4 = (a2 + 3ab + hb2)(a2 + kab + 9b2) จงหาคา่ ของ h2 + k2
19. จงแยกตวั ประกอบของ (y2 – 3y)(y2 – 3y + 2) + 1
20. ถ้า a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) = k(b – a)(c – a)(a – b) จงหาคา่ k