ระบบสมการดีกรีสอง

 
 
 
 
 
 

 

 1

ระบบสมการประกอบด้วยสมการมากกวา่ หนึงสมการ เชน่  

x  y   3 ระบบสมการ(1) นีเรียกวา่ ระบบสมการเชงิ เส้น 
(1)       2x – y   5     

(2)        x2  2y2  2x      ระบบสมการ(2) นีเรียกวา่ ระบบสมการเชิงเส้นและสมการดกี รีสอง  

x  4y  10

  

(3)       xy  y2  2   ระบบสมการ(3) นีเรียกวา่ ระบบสมการดีกรีสอง
2xy  x2  5

 

คาํ ตอบของระบบสมการคอื คา่ ของตวั แปร x  และ y  ทีเมือแทนคา่ ของตวั แปรลงในสมการทงั สอง

ทําให้ทงั สองสมการเป็นสมการทีเป็นจริง  

 ¡ÒÃá¡ÃŒ кºÊÁ¡Ò÷Õè»ÃСͺ´ŒÇÂÊÁ¡ÒÃàª§Ô àʌ¹áÅÐÊÁ¡Òô¡Õ ÃÊÕ Í§

ตัวอย่าง
 (1) จงหาคําตอบของระบบสมการ   x – y  =   1 

                             xy   =  12 
 
 
 
 
 
 

(2)  จงหาคําตอบของระบบสมการ     3x – 2y   = 8 

                 3x2 – 7y2 = 20 
 
 
 
 
 
 
 

 

 2

(3)  จงหาจดุ ตดั ของกราฟระหวา่ งสมการ x2 –2x – y – 8 = 0  และ 2x – y = 3 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(4)   จงหาจดุ ระหวา่ งกราฟ y – 2x + 2 = 0  และ 3y + xy – 10 = 0 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(5)   จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ x2 + y2 – 4x – 6x – 12 = 0 

                              3x – 4y = 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 3

 ¡ÒÃᡌÃкºÊÁ¡Ò÷ջè ÃСͺ´ŒÇÂÊÁ¡Òô¡Õ ÃÊÕ Í§

ตัวอย่าง
 (1)  จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ   x2 + y2    =  5 

                 2x2 – 3y2  =  5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(2)   จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ       y   =  x2 – 4 

             9x2 + 25y2  =  225 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 4

(3)   จงหาจดุ ของกราฟ 5x2 – 2x2 = –5   และ xy  =  15 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(4)   จงหาจดุ ตดั กราฟระหวา่ ง x2 + y2 + 2x – y – 15 = 0  และ  x2 + y2 + 5x + y – 26  =  0 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 5

(5)   จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ 2x2 + 3xy  =  26 

                  3y2 + 2xy  =  39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(6)   จงหาคําตอบของระบบสมการ   1  1  74  

x2 y2
                     1  1  12  

xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 6

(7)   จากระบบสมการ 1  1  10  
xy 3

1  25  
xy 3

  จงหาคา่ 1  1  
x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)   จงหาคําตอบของระบบสมการ x3 + y3  =  124 

                  x2y – xy = 20 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  7

(9)   จงหาคา่ ของ 30xy  ถ้า x  2y  2x  y  26 และ x2 + y2 = 9  
2x  y x  2y 5

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

(10)   จํานวนจริงลบ a  ทีทําให้กราฟ y =  x2  ax  1  สมั ผสั กบั เส้นตรง x + y = 0  มีคา่ เท่าใด 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 8

 ¡ÒùÒí ä»ãªàŒ ¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃá¡ÃŒ кºÊÁ¡ÒÃÊͧ

ตัวอย่าง
1.  ผลบวกของของจํานวนสองจํานวนเทา่ กบั 10 และผลบวกของกําลงั สองของแตล่ ะจํานวนเทา่ กบั 58  

จงหาจํานวนทงั สอง 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.  ผลบวกกําลงั สองของจํานวน 2 จํานวนเทา่ กบั 113 และ 5 เทา่ ของกําลงั สองของจํานวนหนงึ บวกกบั
  กําลงั สองของอีกจํานวนหนงึ เท่ากบั 309 จงหาจํานวนทงั สอง 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.  ความยาวของเส้นทแยงมมุ ของรูปสีเหลยี มผนื ผ้ารูปหนงึ เท่ากบั 13 เซนตเิ มตร และความยาวรอบรูป
  เทา่ กบั 34 เซนตเิ มตร จงหาพืนทีของรูปสเี หลยี มน ี

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 9

4.  สีเหลยี มจตั รุ สั สองรูปมพี นื ทีรวมกนั ได้ 146 ตารางหน่วย แตพ่ ืนทีแตกตา่ งกนั 96 ตารางหน่วย  
จงหาขนาดของรูปสเี หลยี มจตั รุ ัสทงั สอง 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.  ถ้าอนภุ าคหนงึ เคลือนทีไปตามเส้นโค้งทีมสี มการ 4x2  y2  16  และอีกอนภุ าคหนึงเคลือนทีไปตาม
  เส้นโค้งทีมีสมการ   y  x2  4   จงหาวา่ อนภุ าคทงั สองจะเคลือนทีมาพบกนั ทจี ดุ ใด 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.  จงหาจํานวนบวกสองจํานวน ซงึ กําลงั สองของผลบวกของสองจํานวนนีมคี ม่ ากกวา่ กําลงั สองของผลตา่ ง
  ของทงั สองจํานวนอยู่ 40  และกําลงั สองของจํานวนทมี ากกวา่ ลบด้วยผลคณู ของทงั สองจํานวนนี มีคา่
  เทา่ กบั 26 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

  10

7.  บนั ไดอนั แรกยาว 15 เมตรวางพิงกบั ผนงั ตกึ และบนั ไดอกี อนั ยาว 20 เมตรวางพิงผนงั ตกึ ทีตาํ แหนง่
  เดียวกนั กบั บนั ไดอนั แรก แตส่ ว่ นทีตดิ กบั พืนของบนั ไดทงั สองหา่ งกนั 7 เมตร ดงั รูป 

จงหาวา่ บนั ได้ทงั วางพิงกบั ผนงั ตกึ สงู กเี มตร

 

  20
15
 

 7
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.  กําหนดรูปสเี หลยี มผืนผ้ารูปหนงึ และรูปสเี หลยี มจตั รุ สั อกี รูปหนงึ ซึงมีด้านยาวเท่ากบั ผลบวกของความ

  กว้างและความยาวของรูปสีเหลยี มผนื ผ้า และรูปสเี หลียมจตั รุ สั มีพืนที 100 ตารางหนว่ ย ถ้าลดความ

  ยาวของรูปสีเหลียมผนื ผ้าลง 10 หน่วย จะได้รูปสเี หลียมผนื ผ้าใหมท่ ีมีพืนทีเทา่ กบั สามเทา่ ของรูป

  สเี หลียมผนื ผ้าเดมิ จงหาความกว้างและความยาวของรูปสเี หลียมผนื ผ้าเดิม  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

11 

แบบฝกหดั 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1. จงหาคาํ ตอบของระบบสมการตอไปน ี้

     
1.1)   x2 – y  =  0     
  y – 2x  =  0     
     
   
 
 
 
 
 
 
 
1.2)    y    =   x2 + 1 
  x + y  =   3   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3)       x – 3y  =    5 
            xy  =    2 
 
 
 
 
 
 
 

  y    =    x2 – 4    12 
1.4)    y    =    2x – 1     
    
  x + 3y    =    5   
  x2 + y2    =    25     
   
  x2 + y2    =    16   
  2y – x    =    14     
   
 
 
 
1.5     
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6    
  
 
 
 
 
 
 
 
 

13 

 
1.7   (x – 1)2 + (y + 2)2    =    10     
                         y + x   =    1       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.8             xy   =    1   
        2x + 3y    =    14   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9  x2 – 2x + y2 + 4y    =    20        
                     x + 3y    =    10        
 
 
 
 
 
 
 
 
 

14 

 
1.10) x2 – xy + y2    =    57   
                x – y    =    –1   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.11)    x2 – 2xy + y2    =  1  
                   x – 2y    =  2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.12)    y2 – x2 + 2x    =  1  
                   x + y   =  2  
 
 
 
 
 
 
 

15 

 

1.13)    4x2 + 9y2 + 16x – 18y  =  11   

                                     x – y  =  2    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14)                        y + x    =    2      

    x2 – 2y2 – xy + 5x + 15    =    0      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.15)   1  1   =  5      
   x y 6  

1  1  =  13    
x2 y2 36

 

 

 

 

 

 

 

 

16 

 

1.16)   1  1  =  4 1         
x2 y2 4

        1  1   =  1 1       
x y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. เสนตรง 2x – y  =  2 ตัดกบั เสนโคง x2 + y2  =  8   ทจ่ี ุดใด 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. เสน ตรง 2y  =  x + 3 ตดั กับเสน โคง x2 – 3y2 + 5x + 3y – 6  =  0 ท่ีจุดใด 

 
 
 
 
 
 
 
 

17 

 

4.   จงหาจุดตดั ของกราฟของพาราโบลา y = x2 – 2x กับเสน ตรง y – x  =  28  
  พรอ มทงั้ เขยี นกราฟแสดงจุดตดั  

    y    =  mx + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.   จากระบบสมการ

               x2 + y2    =  1 

  มคี ําตอบเปน (x, y) เพยี งคําตอบเดียว จงหาคา m 

  y  =  x + a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.    จากระบบสมการ

                 2y  =  x2 

  ถาไมมคี าํ ตอบ (x, y) ท่ีเปน จํานวนจริง สําหรับระบบสมการน้ี จงหาคา a 

 
 
 
 
 
 
 

18 

แบบฝก หัด 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1.  จงแกร ะบบสมการในแตล ะขอตอ ไปน ี้

  1.1)   y2 – 4x2   =  4     
            9y2 + 16x2    =  140       
 
 
 
 
 
 
 
 
  1.2) 25y2 – 16x2    =  400       
         9y2 – 4x2    =   144       
 
 
 
 
 
 
 
 
  1.3)    y2 + x2    =    25          
            3y2 + 2x2  =    50          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.4)   2x2 + xy   =  6             19 
   x2 + 2xy   =  0          
   
  3y2 + 2x – 19    =  0            
   2y2 – 7x + 4    =  0          
 
  2(xy – x)   =  8             
  3x(y + 2)  =  21              
 
  x2 – xy + y2  =  19     
           xy  =  15           
1.5)  
     
 
 
 
 
 
 
 
1.6)   
  
 
 
 
 
 
 
 
1.7)     
  
 
 
 
 
 

20 

1.8)    x2 – 4y2    =    20            

             xy + 2y2   =    20            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9)    x2 + 2xy + 10y2  =   145      
 
                   xy + y2      =   24   
 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10)          xy    =    4   

        (x – 3)(y + 2)   =    3    

 

 

 

 

 

 

 

 

21 

1.11)    x2 + y2  =  145      
             xy    =  72       
 
 
 
 
 
 
 
1.12)  (x – 3)2 + y2   =    16     
             y    =    1  x      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.  จงหาจดุ ตัดของกราฟ 3x2 + 4y2  =  3  และ 2x2 – y2  =  2 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

22 

3.  จงหาจุดตัดของกราฟ 5y2 + 3x – 12  =  0  และ 4y2 – 3x + 3  =  0 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.    ถา (a, b) เปน คําตอบของระบบสมการ    (3x + y)x   =    (27)5 

                     (2x + y)y   =    (32)2 

    จงหา a + b ทีเ่ ปนบวก 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

23 

แบบฝก หัด 3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1.    จงหาจาํ นวนบวกสองจาํ นวน ซ่ึงมีผลตางเทากบั 2 และมผี ลตา งของกาํ ลงั สองของแตล ะจํานวนเทา กบั 28 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.    จงหาจํานวนบวกสองจาํ นวนซง่ึ กาํ ลงั สองของผลบวกของสองจํานวนนี้มีคา มากกวา กาํ ลังสองของผลตา งของ
  สองจํานวนน้ีอยู 40 และกาํ ลงั สองของจํานวนนี้มคี า มากลบดว ยผลคูณของสองจาํ นวนนจ้ี ะเทากบั 26 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.    จงหาจํานวนสองจาํ นวนทมี่ ผี ลคณู เทา กบั 12 ถาจาํ นวนทมี่ คี ามากลดลง 1 และจํานวนทมี่ ีคานอยมคี า เ
  พมิ่ ขนึ้ 1 แลวผลคูณของทง้ั สองจํานวนทไี่ ดในครงั้ หลงั เทา กบั 12 ตามเดมิ  

 
 
 
 
 
 
 
 

24 

4.    จากรปู ABCD เปน รปู สเ่ี หล่ยี มผนื ผา มีดาน AC เทากบั 17 หนว ย สามเหล่ยี ม CDE 
  เปนรปู สามเหล่ียมมุมฉาก มีดาน DE เทากบั 10 หนวย ดาน EC เทากบั x – 9  หนวย  
  จงหา x + y 

  E 

  x – 9 

  D  C

 

  17  x 

 

  A  B 
 

 

 

 

5.    ผลตางของพ้นื ทข่ี องรปู สเี่ หลีย่ มจตั ุรสั สองรูปเทากบั 32 เซนตเิ มตร ความยาวของดานของรปู สเี่ หล่ียม
  จตั รุ สั รปู ใหญนอ ยกวา สองเทาของความยาวของดานของรูปสี่เหลย่ี มจตั รุ ัสรูปเลก็ อยู 5 เซนติเมตร  
  จงหาความยาวของดานของรูปสเี่ หล่ยี มจตั รุ สั  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.    ในสามเหล่ียม ABC มีมมุ B เทา กับ 90 ดา น AC เทา กบั 26 หนว ย ดาน AB เทา กบั x หนวย และ
  ดาน BC เทา กบั y หนวย ถา x – y  =  14  จงหา x + y 

 

 

 

 

 

 

 

25 

7.    ผลบวกของพ้นื ที่ของวงกลมสองวงเทากับ 74 ตารางหนวย ถาผลตางของพื้นทีข่ องวงกลมทงั้ สองเทากบั
  24 ตารางหนว ย จงหาความยาวของเสน รอบวงของวงกลมใหญ 

 
 
 
 
 
 
 
 

8.    ถา กราฟของพาราโบลา y = x2 – 2x + k มีจุดตาํ่ สุดอยูที่ (1, –9) และกราฟของวงกลม  
  x2 + y2 – 2x + c  =  0 ผา นจุด (4, 0) จงหาจุดตัดของกราฟท้ังสอง 

 
 
 
 
 
 
 
 

  B  F  จากรปู กําหนดให  ABCD เปน รปู สี่เหลีย่ มมมุ ฉาก 
BCEF และ CDGH เปนรปู สเี่ หลยี่ มจตั ุรสั  
A 
C  E  ถา ผลบวกของพืน้ ทข่ี องรปู สเ่ี หลี่ยมท้ังสามรปู เทา กับ  
9.    61 ตารางหนวย และผลบวกของพน้ื ทีร่ ปู สเ่ี หล่ียมจตั รุ สั ทง้ั
  สองรปู เทา กบั 41 ตารางหนว ย แลว ความยาวของรปู
  D 
  H 
 
  G  ส่ีเหลี่ยม ABCD เทากบั กีห่ นว ย
 
 
 
 
 
 
 
 

26 

แบบฝกหัดเสริมทกั ษะ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1.   จากระบบสมการ xy = 5 และ 2x = y – 3  จงหา y2 – 3xy + 4x2 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. ถา (a, b) เปน คําตอบของระบบสมการ 2x  =  215 – y และ (3x)y =  (81)9  จงหา a + b 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. กําหนด x4 + x2y2 + y4  =  21 และ x2 + xy + y2 = 7 คา ของ |x + y| คอื  

 
 
 
 
 
 
 
 

27 

4. กําหนดให   x = a และ y = b  เปน คําตอบของระบบสมการ  
9x2 + 4y2 = 36 และ x + 2y = –2   

ถา a > 0 แลว a – 3b มคี า เทาไร 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. ถา ระบบสมการ y  =  x2 – 2x + 3 และ y = 4x + k มีคาํ ตอบเพยี งคําตอบเดยี ว  
แลว k จะมคี า อยใู นชวงใด 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. คาของ m ท่ีทาํ ใหร ะบบสมการ  
x2 + 2y2 – 6  =  0 และ y = mx + 3  

มีคําตอบเพียงคําตอบเดยี ว มีคาเทา กบั เทาใด 

 
 
 
 
 
 
 
 

28 

7.   กาํ หนด x และ y เปนจาํ นวนจริงบวกทีส่ อดคลอ งกับสมการ xy = yx และ y = x2  
คาของ x + y เทากบั เทาใด 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. กําหนด x > y ,  1  1  5, 11  13   จงหา x2 – y2 
x y 6 x2  y2
36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.   ถากราฟของวงกลม x2 + y2 = r2  ผา นจุด (1, 2) และกราฟของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = a2  ผา น
จดุ (2, 0) จงหา a2 + r2 

 

 

 

 

 

 

 

 

29 

10.    C  จากรปู กําหนดให  ABCD และ AEFG เปน รูปสเี่ หลยี่ ม
   D 

  G  F  H  จตั ุรสั และมผี ลบวกของพ้นื ทเ่ี ทากบั 25 ตารางหนว ย และพื้นทรี่ ปู
  สเ่ี หล่ยี ม ABHG เทา กบั 12 ตารางหนวย อยากทราบวา พ้นื ท่ี

  ของบรเิ วณท่แี รเงาเทา กบั กี่ตารางหนวย 
  A 
  E  B   

 

 

 

 

 

11.   กําหนด 4m2 – 4mn + n2  =  0  และ x2 + 2xy + y2  =  4  ; x > 0, y > 0 

  คา ของ (m  1 )x (m  1 )y  (n  1 )x(n  1 )y   เทากบั เทา ไร 
n n m m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.   ถานําผลคณู ของเลขสองจํานวนไปรวมกบั ผลบวกของเลขสองจาํ นวนนน้ั ได 23 แตถานาํ 5 เทา ของผลบวก

  ของเลขสองจํานวนนั้นไปลบออกจากผลบวกของกาํ ลงั สองของเลขสองจาํ นวนนน้ั จะได 8  

  จงหาเลขสองจาํ นวนนนั้