ความเท่ากันทุกประการ

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 1

ความเท่ากันทกุ ประการ

 ความเท่ากันทกุ ประการของรูปสองมิตใิ ดๆ
บทนิยาม ความเท่ากันทุกประการ
รูปสองรูปเทา่ กนั ทกุ ประการ ก็ตอ่ เมือ สามารถนํารูปหนึงทบั กบั อีกรูปหนงึ ไดส้ นิทพอดี
สญั ลกั ษณ์  แทนความเท่ากนั ทกุ ประการ
นนั คอื ถ้ารูป A และรูป B เทา่ กนั ทกุ ประการจะเขียนแทนด้วย A  B

 สมบัติของความเท่ากันทุกประการ
1. สว่ นของเส้นตรงสองเส้นเทา่ กนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมอื สว่ นของเส้นตรงทงั สองนนั มีความยาวเทา่ กนั
2. มมุ สองมมุ เท่ากนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมือมมุ ทงั สองนนั มขี นาดเทา่ กนั
3. เส้นตรงสองเส้นใดๆเท่ากนั ทกุ ประการเสมอ
4. รงั สสี องเส้นใดๆเท่ากนั ทกุ ประการเสมอ
5. รูปวงกลมเทา่ กนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมอื
– วงกลมทงั สองนนั มีรศั มีเทา่ กนั หรือ
– วงกลมทงั สองนนั มีพืนทีเทา่ กนั หรือ
– วงกลมทงั สองนนั มเี ส้นรอบวงเทา่ กนั
6. รูปสเี หลียมจตั รุ ัสเทา่ กนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมือ
– สเี หลยี มจตั รุ ัสทงั สองนนั มีด้านยาวเทา่ กนั หรือ
– สีเหลยี มจตั รุ สั ทงั สองนนั มพี นื ทีเทา่ กนั หรือ
– สีเหลียมจตั รุ สั ทงั สองนนั มคี วามยาวรอบรูปเทา่ กนั หรือ
– สเี หลียมจตั รุ สั ทงั สองนนั มเี ส้นทแยงมมุ เท่ากนั
7. ถ้า รูป A  รูป B และ รูป B  รูป C แล้วจะทําให้ได้วา่ รูป A  รูป C (สมบตั ิการถา่ ยทอด)

ข้อควรระวัง
ลกั ษณะตอ่ ไปนีไมจ่ ําเป็นต้องเท่ากนั ทกุ ประการ
1. รูปสเี หลยี มสองรูปทีมีพืนทีเทา่ กนั (ยกเว้นรูปสเี หลียมจตั รุ ัส)
2. รูปสีเหลยี มสองรูปทีมคี วามยาวรอบรูปเทา่ กนั (ยกเว้นรูปสเี หลยี มจตั รุ สั )
3. รูปสามเหลียมสองรูปทีมีมมุ ทงั สามคเู่ ทา่ กนั
4. รูปสามเหลียมสองรูปทีมคี วามยาวรอบรูปเทา่ กนั
5. รูปสามเหลยี มสองรูปทีมพี ืนทเี ทา่ กนั

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 2

 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลยี ม

รูปสามเหลยี มสองรูปใดๆเทา่ กนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมอื

1. สามเหลียมสองรูปนนั มดี ้านยาวเท่ากนั สองคู่ และมมุ ระหวา่ งด้านคทู่ ียาวเท่ากนั มีขนาดเท่ากนั

(ด้าน – มุม – ด้าน) A D

B CF E

2. สามเหลียมสองรูปนนั มมี มุ ขนาดเท่ากนั สองคู่ และด้านซึงเป็นแขนร่วมของมมุ ทงั สองมีขนาด
เทา่ กนั มคี วามยาวเทา่ กนั (มุม – ด้าน – มุม)

AD

B CF E

3. สามเหลียมสองรูปนนั มีด้านทีความยาวเทา่ กนั 3 คู่ (ด้าน – ด้าน – ด้าน)

AD

B CF E

4. สามเหลียมสองรูปนนั มมี มุ ขนาดเทา่ กนั สองคู่ และมดี ้านยาวเท่ากนั หนึงคู่ (มมุ – มมุ – ด้าน)

AD

B CF E

5. สามเหลียมมมุ ฉาก 2 รูป มีด้านตรงข้ามมมุ ฉากยาวเทา่ กนั และมีด้านหนึงยาวเทา่ กนั

(ฉาก – ด้าน – ด้าน) A D

B CF E

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 3

 รูปสามเหลยี มหน้าจวั

รูปสามเหลียมหน้าจวั คือ
– รูปสามเหลียมทีมีด้านยาวเทา่ กนั สองด้าน หรือ
– รูปสามเหลยี มทีมมี มุ เท่ากนั สองมมุ

A

BC

ข้อสรุปเกียวกับรูปสามเหลยี มหน้าจวั
1. เส้นแบง่ ครึงมมุ ยอดของรูปสามเหลียมหน้าจวั จะแบ่งรูปสามเหลยี มหน้าจวั ออกเป็นรปู
สามเหลียมสองรูปทีเทา่ กนั ทกุ ประการ
2. มมุ ทีฐานของรูปสามเหลยี มหน้าจวั มีขนาดทา่ กนั
3. เส้นแบ่งครึงมมุ ยอดของรูปสามเหลยี มหน้าจวั จะแบง่ ครงึ ฐานของรูปสามเหลยี มหน้าจวั
4. เส้นแบ่งครึงมมุ ยอดของรูปสามเหลยี มหน้าจวั จะตงั ฉากกบั ฐานของรูปสามเหลยี ม
หน้าจวั

 ความรู้ทางเรขาคณิตเพมิ เตมิ

1. เส้นตรงสองเส้นตดั กนั จะทําให้เกิดมมุ ตรงข้าม 2 คู่ ทีมขี นาดเท่ากนั

2. รูปสามเหลียมทีมมี มุ สองมมุ ซงึ จดุ ยอดร่วมกนั และมีแขนของมมุ ร่วมกนั ทงั สองแขน เรียกวา่
“มมุ ร่วม”

3. รูปสามเหลยี มสองรูปทีใช้ด้านร่วมกนั จะเรียกด้านนนั วา่ “ด้านร่วม”
4. ความรู้เกียวกบั เส้นขนาน

(1) มมุ แย้งเท่ากนั
(2) ผลบวกมมุ ภายในบนข้างเดียวกนั เท่ากบั 180O
(3) มมุ สมนยั เท่ากนั

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 4

แบบทดสอบเรืองความเท่ากันทุกประการ

1. จงพิจารณาวา่ รูปสามเหลยี มซึงกําหนดให้สองรูปตอ่ ไปนี เทา่ กนั ทกุ ประการหรือไม่
ถ้าเท่ากนั ทกุ ประการให้พจิ ารณาวา่ เท่ากนั ทกุ ประการเพราะวา่ มีความสมั พนั ธ์แบบใด

(1) (2)

……………………………………… ………………………………………
(3) (4)

……………………………………… ………………………………………
(5) (6)

……………………………………… ………………………………………
(7) (8)

……………………………………… ………………………………………
(9) (10)

……………………………………… ………………………………………

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 5

(11) (12)

……………………………………… ………………………………………
(13) (14)

……………………………………… ………………………………………
(15) (16)

……………………………………… ………………………………………
(17) (18)

……………………………………… ………………………………………
(19) (20)

……………………………………… ………………………………………

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 6

2. จากรูป กําหนดให้ AB = CD และ ABD  CDB จงพิสจู น์วา่ BAD  BCD

รูป สิงทีกาํ หนดให้

1. ....................................................................................

D

2. ....................................................................................

สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

BC

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

A

3. จากรูป กําหนดให้ AD = AE , ADC  AEB จงพิสจู น์วา่ BE = CD

รูป สิงทีกาํ หนดให้
1. ....................................................................................
A 2. ....................................................................................

DE สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

BC

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 7

4. จากรูปกําหนดให้  PQS และ  QSR เป็นรูปสามเหลียมหน้าจวั ตงั อย่บู นฐาน QS ร่วมกนั
จงพิสจู น์วา่ QPR  SPR

รูป สิงทีกําหนดให้

R 1. ....................................................................................

QS 2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

P

5. จากรูป กําหนดให้ ACB  DFE, CAB  FDE และ AE = BD จงพิสจู น์วา่  ABC   DEF

รูป สิงทกี ําหนดให้

C F 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

A E BD

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 8

6. จากรูป กําหนดให้  ABCD เป็นรูปสเี หลียมจตั รุ ัส และ DX = DY จงพิสจู น์วา่  ADX   CDY

รูป สิงทกี ําหนดให้

A XB 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

Y สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

DC

7. กําหนดให้ OB = OC และ OBE  OCF จงพิสจู น์วา่  AOB  DOC

รูป สิงทกี ําหนดให้

AB 1. ....................................................................................
E 2. ....................................................................................

O สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

F D ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล
C

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 9

8. กําหนดรูปสีเหลียมมมุ ฉาก ABCD ถ้า CE = DF
จงพิสจู น์วา่ (1)  BCE   ADF และ

(2)  ABE   BAF

รูป สิงทีกาํ หนดให้

DF EC 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ 1. ..............................................................................
2. ...............................................................................

AB

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 10

9. กําหนดให้  ABC เป็นสามเหลยี มหน้าจวั โดยมี A เป็นมมุ ยอด
จดุ D และ E เป็นจดุ กงึ กลางของด้านประกอบมมุ ยอดทงั สองตามลําดบั
จงพิสจู น์วา่ (1) BDE  CDE , (2) DEF เป็ นสามเหลยี มหน้าจวั และ (3) BDF  CEF

รูป สิงทกี าํ หนดให้

A 1. ....................................................................................

2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

D E สิงทตี ้องพสิ ูจน์ 1. ................................................................................

F 2. ................................................................................

B C 3. ................................................................................
ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 11

10. จากรูป กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลยี มหน้าจวั โดยทีมี C เป็นมมุ ยอด \
ถ้า  CDEF เป็นรูปสเี หลียมรูปวา่ ว จงพิสจู น์วา่  ADE   BFE

รูป สิงทกี าํ หนดให้

C 1. ....................................................................................
DF
2. ....................................................................................
A
E สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

B

11. จากรูป กําหนดให้  ABC เป็นรปู สามเหลยี มมมุ ฉาก จดุ D เป็นจดุ กงึ กลางของด้าน BC
ถ้า DE ตงั ฉากกบั AC , DF ตงั ฉากกบั AB และ CD = AD จงพิสจู น์วา่  CDE   DBF

รูป สิงทีกําหนดให้

C 1. ....................................................................................
ED
2. .................................... 3. .......................................
AF
4. .................................... 5. .......................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

B ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 12

12. จากรูป กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลยี ม โดยทมี ี BE = CD และ ABC  ACB
จงพิสจู น์วา่  ADE เป็นสามเหลยี มหน้าจวั

รูป สิงทกี าํ หนดให้

A 1. ....................................................................................

2. ....................................................................................

3. ....................................................................................

สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

BD E C

13. จากรูป  ABCD เป็นรูปสเี หลยี มจตั รุ ัส E เป็นจดุ ๆหนึงบนด้าน BD ถ้า EC ถกู ตอ่ ออกไปจนถงึ จดุ F
ทําให้ CF = CB และ CFB  20o แล้ว EBF  BCE เทา่ กบั กีองศา

DC

AB

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 13

14. กําหนดรูป  ABC และ  ADE เป็ นสามเหลยี มหน้าจวั โดยที AB = AC และ AD = AE
ถ้า AC ตงั ฉากและแบ่งครึง DE ทีจดุ C และ ABC  55o, ADE  70o
จงหาขนาดของ BAE

15. กําหนดรปู สามเหลยี ม ABC โดยที AB = AC , BC = CD และ BAC  40o

จงหาขนาดของมมุ ตอ่ ไปนี

A (1) BDC (2) ACD

D C
B

...........................................................................................................................................................................................................