ลิมิต

ลิมิตของฟังก์ชัน

เสนอ
คุณครู ศุภลักษณ์ สุวรรณ์




จัดทำโดย
นางสาวประกายดาว เมืองขาว

ชั้น ม.6/8 เลขที่ 29

ความหมายของลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน ( Limit of a function) เขียนแทนด้วย









หมายถึง x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ L สำหรับ

ฟังก์ชัน y = f(x) ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซต

จำนวนจริงลิมิตทางซ้ายของ f ที่
a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้า

ใกล้ a ทางซ้าย ลิมิตทางขวาของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x


มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา

สูตรลิมิต

หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน
สมบัติที่สำคัญของลิมิตมีอยู่ 9 ข้อด้วยกัน ได้แก่

วิธีการหาค่าลิมิต

1. แทนค่า a ในตัวแปร x ได้คำตอบเป็นจำนวนจริง ให้ตอบได้เลย
2.หากแทนค่า a ในตัวแปร x แล้วได้ค่า 0/0 จะต้องเปลี่ยนวิธีการ

คิดใหม่ดังนี้
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0
2.1 แยกตัวประกอบ
2.2 การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
2.3 การใช้กฎโลปิตาล

3. แทนค่า a ในตัวแปร x ได้คำตอบ ตัวเลข/0 ให้ตอบว่า หาค่าไม่ได้

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่สามารถแทนค่าได้เลย

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันพร้อมเฉลยข้อที่ 1




โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันพร้อมเฉลยข้อที่ 2

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 จะต้องหาวิธีมาช่วยคิดเพื่อ

ทำการกำจัด 0/0 ซึ่งจะมีอยู่ด้วยกัน 3 แบบดังนี้คือ
1. แยกตัวประกอบ
2. การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
3. การใช้กฎโลปิตาล

สามารถดูโจทย์ด้านล่าง เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น แล้วอย่าลืมลองแทนค่า ใน

ตัวแปร x ที่โจทย์ให้มา ซึ่งจะเห็นว่าค่าได้คือ 0/0 เมื่อได้แล้ว เราก็ต้องมา

คิดว่าใช้วิธีอะไรต่อไป ซึงมี 3 วิธี ทั้ง การแยกตัวประกอบ และกฎโลปิตาล

ซึ่ง 2 วิธีนี้ได้ผลลัพธ์เท่ากัน ขึ้นอยู่กับความยากง่าย ของโจทย์ว่าจะเลือก
วิธีไหน แต่ถ้าข้อไหนมี รากที่ 2 ก็ให้สังเกตโจทย์ว่าใช้ค่าสังยุคมาคูณได้


หรือไม่

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีแยกตัวประกอบ
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีแยกตัวประกอบ ข้อที่ 1




โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีการคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีการคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ทฤษฎีบทที่ 1
เมื่อฟังก์ชัน a, L และ M เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า f และ g เป็น

ฟังก์ชันที่มีโดเมน และ เรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่


lim f(x) = L และ lim g(x) = M
ทฤษ
ฎีบทที่ 2

ถ้า p(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้วสำหรับจำนวนจริงใดๆ lim p(x) = p(a)



ทฤษฎีบทที่ 3
ถ้า p(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่ f(x) = เมื่อ p(x) และ q(x) เป็น

≠ฟังก์ชันพหูนามแล้ว lim f(x) = สำหรับจำนวนจริงใดๆที่ q(a) 0

ตัวอย่างโจทย์จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ตัวอย่างโจทย์จากทฤษฎีบท
เกี่ยวกับลิมิต (ต่อ)

จากโจทย์ตัวอย่างที่ 12 ใช้ทฤษฎีบทที่ 1 ข้อที่ 6 และ ทฤษฎีบทที่ 1 ข้อที่ 2

จากโจทย์ตัวอย่างที่ 14 จะต้องใช้ทฤษฎีบทที่ 3 ที่ว่า ถ้า q(a) = 0 ต้องใช้การจัดรูปของ

ฟังก์ชันตรรกยะเข้าช่วยในการหาลิมิตของฟังก์ชัน

สรุปลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิต

ของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a
ทางขวา เราถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต
ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิต

ของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา แต่ค่าของ f(a) เมื่อ x

เท่ากับ a ไม่เท่ากับลิมิตทางซ้ายและขวาของฟังก์ชัน เราก็ยัง

ถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิตอยู่
ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a เท่ากับลิมิตทางใดทางหนึ่ง (ซ้าย

หรือขวาก็ได้) แต่ค่าของ
ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย ไม่เท่ากับค่าของลิ

มิตของฟังก์ชันเมื่อ x
เข้าใกล้ a ทางขวา เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น ไม่มีลิมิต

เครื่องหมาย !!

x -> a หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางบวก
x -> a หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางลบ
x -> -a หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางบวก
x -> -a หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางลบ

NK
T H AYOU