ลิมิต

ลิมิตของฟังก์ชั น

จัดทำโดย

นางสาวประกายดาว เมืองขาว
ชั้น ม.6/8 เลขที่ 29

เสนอ

คุณครู ศุภลักษณ์ สุวรรณ์

สูตรลิมิต หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน
สมบัติที่สำคัญของลิมิตมีอยู่ 9 ข้อด้วยกัน ได้แก่

วิธีการหาค่าลิมิต

1. แทนค่า a ในตัวแปร x ได้คำตอบเป็นจำนวนจริง ให้ตอบได้เลย
2. หากแทนค่า a ในตัวแปร x แล้วได้ค่า 0/0 จะต้องเปลี่ยนวิธีการ
คิดใหม่ดังนี้
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0
2.1 แยกตัวประกอบ
2.2 การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
2.3 การใช้กฎโลปิตาล

3. แทนค่า a ในตัวแปร x ได้คำตอบ ตัวเลข/0 ให้ตอบว่า หาค่าไม่
ได้

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่สามารถแทนค่าได้เลย





โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันพร้อมเฉลยข้อที่ 1



โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันพร้อมเฉลยข้อที่ 2

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 จะต้องหา
วิธีมาช่วยคิดเพื่อทำการกำจัด 0/0 ซึ่งจะมีอยู่ด้วย
กัน 3 แบบดังนี้คือ
1. แยกตัวประกอบ
2. การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
3. การใช้กฎโลปิตาล

สามารถดูโจทย์ด้านล่าง เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น
แล้วอย่าลืมลองแทนค่า ในตัวแปร x ที่โจทย์ให้มา
ซึ่งจะเห็นว่าค่าได้คือ 0/0 เมื่อได้แล้ว เราก็ต้องมา

คิดว่าใช้วิธีอะไรต่อไป ซึงมี 3 วิธี ทั้ง การแยก
ตัวประกอบ และกฎโลปิตาล ซึ่ง 2 วิธีนี้ได้ผลลัพธ์

เท่ากัน ขึ้นอยู่กับความยากง่าย ของโจทย์ว่าจะ
เลือกวิธีไหน แต่ถ้าข้อไหนมี รากที่ 2 ก็ให้สังเกต

โจทย์ว่าใช้ค่าสังยุคมาคูณได้หรือไม่

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีแยก

ตัวประกอบ ข้อที่ 1

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีการคูณด้วยเทอมที่
เป็นสังยุค

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีการคูณด้วย

เทอมที่เป็นสังยุค

สูตรการหาอนุพันธ์

สูตรการหาอนุพันธ์ (Differential Equation) หรือการดิฟ

นั่นเอง ของเรื่องแคลคูลัส เราลองมาดูสูตรที่ใช้สำหรับการดิฟ
ของฟังก์ชัน หรือการดิฟสูตรตรีโกณมิติ และศึกษาโจทย์ของ

การดิฟในรูปแบบต่างๆ พร้อมเฉลยแบบละเอียด เพื่อให้เข้าใจ


และทำข้อสอบได้ง่ายขึ้นกันเลย



1. ตัวอย่างโจทย์การดิฟค่าคงที่
d (9)/dx = 0 จากคุณสมบัติการดิฟข้อที่ 1

2. ตัวอย่างโจทย์การดิฟตัวแปรกำลังหนึ่ง
dx/dx= 1 จากคุณสมบัติการดิฟข้อที่ 2

3. ตัวอย่างโจทย์การดิฟตัวแปรกำลังมากกว่าหนึ่ง จะยก

ตัวอย่างที่กำลังสอง และกำลัง 3
d(x2)/dx= 2x
d(x3)/dx= 3x2 จากคุณสมบัติการหาอนุพันธ์ข้อที่ 3

4. ตัวอย่างโจทย์การดิฟ sin ยกกำลัง 2 หรือ sin^2
d (sin2 (x))/dx = ?

จากสูตรตรีโกณมิติ จะได้ว่า cos 2A = 1 – 2sin2 A เป็น

เรื่องสูตรตรีโกณ มุม 2 เท่านั่นเอง
cos 2A = 1 – 2sin2 A
(cos 2A – 1 )/ (-2) = sin2 A



วิธีทำ
y= sin2 (x) = cos 2x /(-2)+(1/2)

y’ =[-2(cos 2x)’ – cos 2x(-2)’ ] / (-2)^2
y’ = [-2(-sin 2x)(2) – 0 ]/ 4
y’ = 4(sin 2x)/4
y’ = sin 2x = 2 sin x cos x

5. ตัวอย่างโจทย์การดิฟ cos ยกกำลัง 2 หรือ cos^2
d (cos^2 (x))/dx = ?

วิธีที่ 1 กำหนด y = cos^2 (x) = (cos x) ^2
d (cos x) ^2/dx = y’ = 2 cos x * (cos x)’ = 2 cos x (-


sin x) = – 2 sin x
วิธีที่ 2 กำหนด y = cos^2 (x) = (1/2)(1+cos 2x)

y’ = 1/2 (- sin 2x * (2x)’)
y’ = 1/2 (- sin 2x * (2))

y’ = – sin 2x





6. ตัวอย่างโจทย์การดิฟ (e^x) * cos(x)
y = (e^x) * cos(x)

y’ = (e^x) * (cos(x))’ + cos(x) *(e^x)’
y’ = (e^x) * (-sin(x)) + cos(x) *(e^x)

y’ = (e^x) * [(-sin(x)) + cos(x) ]

Th ank you