ทดลองอ่าน ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง

พรรษ วติวุฒิพงศ์ เขียน ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง ถอดสูตรลับจักรวาลด้วยคณิตศาสตร์

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง พรรษ วติวุฒิพงศ์ พิมพ์ครั้งแรก: ส�ำนักพิมพ์ Salt, มีนาคม 2567 ราคา 245 บาท ISBN 978-616-8266-47-2 คณะบรรณาธิการอ�ำนวยการ โตมร ศุขปรีชา ทีปกร วุฒิพิทยามงคล สฤณี อาชวานันทกุล สรณรัชฎ์ กาญจนะวณิชย์ แอลสิทธิ์ เวอร์การา สุธรรม ธรรมรงค์วิทย์ ผู้จัดการส�ำนักพิมพ์ ณภัทร ปัญกาญจน์ บรรณาธิการเล่ม อดิศร ไพรวัฒนานุพันธ์ นักวิชาการ ผศ.ดร.ณัฐพล สนพะเนาว์ ออกแบบปก ปุณณ์ พจนาเกษม รูปเล่ม พนารัตน์ ภู่แย้ม พิสูจน์อักษร ปรัชญา ก�ำลังแพทย์ จัดท�ำโดย บริษัท ซอลท์ พับลิชชิ่ง จ�ำกัด เลขที่ 63/168 ห้อง 534 ประเสริฐสุขเพลส ซอยวิภาวดี 16 แขวงจอมพล เขตจตุจักร กรุงเทพฯ 10900 e-mail: [email protected] Facebook: www.facebook.com/saltread Twitter: www.twitter@SaltRead Website: http://www.salt.co.th/ จัดจ�ำหน่าย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จ�ำกัด (มหาชน) SE-EDUCATION PUBLIC COMPANY LIMITED เลขที่ 1858/87-90 อาคารอินเตอร์ลิงค์ ทาวเวอร์ ชั้น 19 ถนนเทพรัตน แขวงบางนาใต้ เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท์ 0 2826 8000 โทรสาร 0 2826 8999 Website: https://www.se-ed.com/

ส�ำหรับหน่วยงานรัฐ องค์กร สถาบันการศึกษา หรือบุคคลทั่วไป ที่ต้องการสั่งซื้อหนังสือเป็นจ�ำนวนมาก สามารถสั่งซื้อได้ในราคาลดพิเศษ ติดต่อสั่งซื้อได้ที่หมายเลข 099 342 0558 หรือ e-mail: [email protected] พรรษ วติวุฒิพงศ์. ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง. -- กรุงเทพฯ : ซอลท์, 2567. 224 หน้า. 1. สูตร -- คณิตศาสตร์. I. ชื่อเรื่อง. 551 ISBN 978-616-8266-47-2 ALL RIGHTS RESERVED. © 2024 by Salt Publishing Co.,Ltd. ข้อมูลทางบรรณานุกรมของหอสมุดแห่งชาติ National Library of Thailand Cataloging in Publication Data

แด่ทุกคนที่กำ ลังทนทุกข์ทรมาน อยู่กับความยากของคณิตศาสตร์ ผมเองก็เช่นกัน

คำนำสำนักพิมพ์ คณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่อยู่รอบตัวเรา และเกี่ยวข้องกับชีวิต ประจ�ำวันทั้งในเรื่องที่ตัวเราเองรู้ตัว รวมถึงเรื่องที่ตัวเราเองอาจ ไม่รู้ตัวด้วยก็เช่นกัน ไม่ว่าจะเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติ อย่างเรื่องแรงโน้มถ่วงหรือการแพร่กระจายของโรคระบาด หรือ เป็นเรื่องเงินทองและการซื้อขายอย่างเรื่องดอกเบี้ยเงินฝาก อุปสงค์ อุปทาน กับราคาขาย ไปจนถึงเรื่องของผู้คนอย่างการ มาเมาท์กันหรือแบ่งงานกันท�ำ การมีแบบจ�ำลองและค�ำนวณจะช่วยให้เข้าใจในเรื่องราว เหล่านั้นได้ดีขึ้นมากๆ คิดว่าเป็นสิ่งที่ใครๆ ก็พอจะนึกภาพออก ได้ไม่ยากนัก แต่ถึงอย่างนั้น คณิตศาสตร์อาจไม่ใช่สิ่งที่ถนัดส�ำหรับ ทุกคน ส�ำหรับบางคนมันอาจเป็นยาขมเลยด้วยซ�้ำ คงจะดีกว่า มากหากมีวิธีที่ง่ายกว่านั้นในการเข้าใจเรื่องต่างๆ ที่ก็อยากรู้ นั่นแหละ แต่รู้สึกว่ามันซับซ้อนเกินกว่าจะเข้าใจได้ “ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง” เป็นหนังสือที่ผู้เขียนเข้าใจ ดีว่าผู้อ่านไม่ได้เก่งคณิตศาสตร์กันทุกคน และพยายามสื่อสาร ด้วยท่าทีที่เป็นมิตรกว่าที่เราจะพบเห็นกันในหนังสือคณิตศาสตร์ คร�่ำเคร่งทั่วไป บอกเล่าด้วยภาษาที่เราไม่ต้องเป็นผู้เชี่ยวชาญ

ก็ยังเข้าใจได้ สมการต่างๆผู้เขียนคัดกรองโดยใช้ความช�ำนาญ ในด้านนี้ของตัวเองและมอบให้กับเราเท่าที่จ�ำเป็น ทั้งนี้ก็เพื่อ ความเข้าใจที่ชัดเจนในเรื่องราว โดยไม่ต้องลงลึกรายละเอียด ชวนปวดหัวจนเกินไป ใครจะรู้ เมื่ออ่านจบ เราอาจมองโลกแตกต่างไปจากเดิม อย่างที่หนังสือดีๆ สักเล่มจะท�ำได้ เราอาจเห็นรูปแบบของแบบ จ�ำลองและความเป็นคณิตศาสตร์ในสิ่งรอบๆ ตัวมากขึ้น ได้พบ กับเสน่ห์ของคณิตศาสตร์ และมันไม่ใช่เรื่องเข้าใจยากขนาดนั้น ส�ำหรับเราอีกต่อไป ส�ำนักพิมพ์ซอลท์

คำนำนักเขียน หนึ่งความเหนื่อยในการประกอบอาชีพเป็นนักคณิตศาสตร์ของผมคือการแนะน�ำตัว ไม่รู้ว่าคนอื่นเป็นไหม แต่ทุก ครั้งที่แนะน�ำตัวกับใครๆ ว่าตัวเองเป็นนักคณิตศาสตร์มันมัก จะตามมาด้วยบทสนทนาที่ยาวเหยียด เริ่มต้นจากค�ำถามที่ว่า เป็นนักคณิตศาสตร์นี่คือท�ำอะไร การตอบว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ ไม่เหมือนการเป็นหมอหรือสถาปนิกที่ตอบแล้วจบในตัว ฟังแล้วเข้าใจเลยว่าท�ำอะไร แต่พอเป็นนักคณิตศาสตร์แล้ว มันต้องอธิบายกันยาว ความจริงแล้วค�ำตอบของมันตรงไปตรง มามาก ว่างานของนักคณิตศาสตร์ก็คือการศึกษาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเรียกว่าคิดค้น ค้นพบ หรืออะไรก็แล้วแต่ งานของ นักคณิตศาสตร์นั้นคือการศึกษาคณิตศาสตร์ ซึ่งเข้าใจว่าก็ ไม่ได้คลายความสงสัยของคนถามได้อยู่ดีเพราะเขาก็จะต้อง ถามต่อไปว่า ศึกษาอะไร ซึ่งค�ำตอบเวอร์ชันสั้นที่ผมใช้ประจ�ำ ก็คือ นักคณิตศาสตร์ก็คิดพวกทฤษฎีนั่นโน่นนี่เหมือนพวก ทฤษฎีที่เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์นั่นแหละ “ว่างเนอะ”

ไม่ใช่ทุกคนที่จะพูดมันออกมา แต่ผมว่าหลายคนก็คิด อย่างนั้นตอนได้ยินค�ำตอบของผม ตั้งแต่ผมจ�ำความได้ นักคณิตศาสตร์ถูกจดจ�ำภาพในฐานะของคนที่ว่าง ไม่มีอะไรท�ำ วัน ๆ เอาแต่นั่งทดเลข คิดสูตรอะไรก็ไม่รู้ยากๆ ขึ้นมา แล้วก็ เป็นภาระของคนรุ่นหลังที่ต้องมาเรียน ซึ่งส่วนตัวผมเห็นว่า เป็นความเข้าใจที่ผิด คือตรงท่อนที่ว่า "วัน ๆเอาแต่นั่งทดเลข คิดสูตรอะไรก็ไม่รู้ยากๆ ขึ้นมา แล้วก็เป็นภาระของคนรุ่นหลัง ที่ต้องมาเรียน" อันนี้ผมไม่เถียง นั่นคือ job description ของ อาชีพนักคณิตศาสตร์จริงๆ นั่นแหละ แต่ไม่ใช่เพราะพวกเขา ว่างและไม่มีอะไรท�ำ คิดง่าย ๆ ว่าในโลกทุนนิยมอย่างทุกวันนี้ ใครจะยอมจ่ายเงินจ้างให้คนมานั่งทดเลขอะไรไปเรื่อยๆ เปื่อยๆ ที่ไม่มีประโยชน์ไปวัน ๆ ดังนั้นค�ำถามที่ดูจะน่าสนใจกว่านัก คณิตศาสตร์ท�ำอะไร คือนักคณิตศาสตร์ศึกษาคณิตศาสตร์ไป เพื่ออะไรมากกว่า หนังสือ “ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง” ที่ท่านถืออยู่นี้ เกิดขึ้นจากความตั้งใจที่จะเล่าถึงการเอาคณิตศาสตร์เรื่อง ต่าง ๆ ไปใช้เพื่ออธิบายความเป็นไปของสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติที่ เรียกว่าการสร้างแบบจ�ำลอง ซึ่งโดยปกติแล้วจะปรากฏอยู่เพียง ท้ายบทต่างๆ ในต�ำราคณิตศาสตร์ทั่วไปในฐานะบทประยุกต์ ของเนื้อหาเรื่องนั้น ทั้งที่ในความเป็นจริงแล้วแบบจ�ำลองเชิง คณิตศาสตร์นั้นถูกน�ำไปใช้งานอย่างกว้างขวางในหลากหลาย ศาสตร์ และการเลือกแบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

นั้นเป็นสิ่งที่ส�ำคัญเป็นอย่างยิ่ง หนังสือเล่มนี้จึงเลือกที่จะให้ แบบจ�ำลองเป็นพระเอก เพื่อให้ผู้ที่สนใจใช้แบบจ�ำลองแต่ไม่ได้ มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงสามารถอ่านตามได้อย่างไม่ยาก ล�ำบากนัก และจากความตั้งใจนี้เอง ท�ำให้แม้หนังสือเล่มนี้จะ จั่วหัวขึ้นมาว่าเป็นหนังสือคณิตศาสตร์ แต่บทพิสูจน์และค�ำ อธิบายของทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่มักจะได้รับบทเด่นในหนังสือ คณิตศาสตร์ทั่วไปจะถูกละไว้ แต่จะทิ้งค�ำศัพท์ที่ส�ำคัญส�ำหรับ ผู้อ่านที่สนใจให้ไปศึกษาต่อ พร้อมทั้งต�ำรา เอกสารประกอบการ สอน และบทความทางวิชาการที่พูดถึงเนื้อหาเหล่านั้นส�ำหรับ ศึกษาได้เองในบรรณานุกรม เพื่อให้ผู้อ่านสามารถเลือกศึกษา เพิ่มเติมเฉพาะหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแบบจ�ำลองที่ตนสนใจได้เอง แต่จะไม่ให้มีสูตรหรือสมการเลยคงไม่ได้ ผมตั้งใจเขียนหนังสือเล่มนี้ให้เป็นกึ่งหนังสือ pop math กึ่งต�ำรา นั่นคือมีหลายส่วนที่เนื้อหามีความซับซ้อนและจริงจัง แต่ก็พยายามอธิบายด้วยภาษาที่ไม่เป็นวิชาการนัก ด้วยความ หวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้อ่านจะเพลิดเพลินไปกับการอ่านและ คิดตามเรื่องเล่าที่อยู่ในหนังสือเล่มนี้ โดยไม่ตื่นกลัวไปกับ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่โผล่มาบ้างเป็นระยะ ๆ แล้วปิด หนังสือเล่มนี้ลงกลางทางเสียก่อน

สารบัญ ค�ำน�ำส�ำนักพิมพ์......................................................... 9 ค�ำน�ำนักเขียน............................................................. 11 1 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง...................................... 19 2 แบบจ�ำลองไม่ต่อเนื่อง............................................ 33 2.1 ดอกเบี้ยเงินฝาก................................................. 34 2.2 ปลาในบ่อ........................................................... 38 2.3 อุปสงค์ อุปทาน และราคาขาย............................. 42 2.4 กระต่าย และเมล็ดพืชในฤดูหนาว........................ 45 2.5 แบบฝึกหัด......................................................... 51 3 แบบจ�ำลองต่อเนื่อง................................................ 53 3.1 เชื้อรา................................................................. 54 3.2 ยาในกระแสเลือด................................................ 60 3.3 เม็ดฝน และสปริง................................................ 67 3.4 เม็ดสี และความร้อน............................................ 71 3.5 แบบฝึกหัด......................................................... 76

4 แบบจ�ำลองหลายตัวแปร........................................ 79 4.1 สงคราม หมาป่า และกวาง................................. 80 4.2 บ้าน และสมการเคมี.......................................... 88 4.3 โรเมโอกับจูเลียต................................................ 92 4.4 โรคติดต่อ.......................................................... 99 4.5 แบบฝึกหัด........................................................ 107 5 แบบจ�ำลองโครงข่าย.............................................. 111 5.1 สะพาน และเพื่อนในเฟซบุ๊ก...............................111 5.2 เรื่องเมาท์แซ่บ และการแบ่งงานกันท�ำ................122 5.3 ตั๋วถูก เซลล์แมน และต้นไม้ ...............................129 5.4 ห่วงโซ่อาหาร และการจราจร.............................. 133 5.5 แบบฝึกหัด........................................................ 137 6 แบบจ�ำลองความน่าจะเป็น......................................141 6.1 ไกด์ทัวร์ และตั๋วเครื่องบิน.................................. 143 6.2 พนักงานคอลเซ็นเตอร์ และการวัดไข้..................148 6.3 ระยะเวลาที่รอ และความปกติ.............................155 6.4 แบบฝึกหัด.........................................................162 7 แบบจ�ำลองสโตแคสติก...........................................165 7.1 คนเมา และนักพนัน...........................................167 7.2 โมเลกุลเมา และหูฟัง ........................................170

7.3 วงกต พรุ่งนี้ฝนจะตก และพรวันคริสต์มาส ของสมเด็จพระราชินีนาถเอลิซาเบธที่ 2 ............178 7.4 หุ้น....................................................................185 7.5 แบบฝึกหัด........................................................ 188 8 แล้วสรุปว่าแบบจ�ำลองไหนถูก................................ 193 เฉลยแบบฝึกหัด...........................................................197 บรรณานุกรม.............................................................. 216 เกี่ยวกับผู้เขียน............................................................221 รู้จักกับ SALT...............................................................222

18 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง

ลองจินตนาการถึงเหตุการณ์ในร้านอาหารตามสั่ง จุดเด่น ส�ำคัญของร้านอาหารตามสั่งในบ้านเราคือ เราสามารถสั่งอะไร ก็ได้เพียงแค่อธิบายไปให้แม่ค้ารู้เรื่อง “เอาผัดกะเพราทะเล ไม่กุ้ง ใส่เต้าหู้ไข่ด้วย ใส่ พริกหยวกด้วยดีกว่า ไม่ใส่นํ้าตาล ใส่นํ้าปลา แทนซีอิ๊ว ไม่ใส่ชูรส ขอข้าวเยอะๆ เพิ่มไข่ดาว ด้วย” ในร้านอาหารตามสั่ง เราอยากกินผัดกะเพราแบบไหน ก็แค่พูดไปเลย เพิ่มนั่นตัดนี่ได้ตามใจ แม่ค้าอาจถามเราเพิ่ม 1 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง “คณิตศาสตร์คือภาษาที่พระเจ้า ใช้รังสรรค์จักรวาลขึ้นมา” กาลิเลโอ กาลิเลอิ

20 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง ว่าเอาไข่ดาวแบบไหน ก็แค่ต้องตอบไปว่าเอาสุกหรือไม่สุก จุดส�ำคัญคือต้องอธิบายให้แม่ค้ารู้เรื่องว่าเราอยากได้อะไร หน้าตาเป็นยังไง แล้วก็นั่งรอผัดกะเพราจากที่เราสั่ง ทีนี้ลอง จินตนาการไปให้ไกลกว่านั้น ถ้าเราไม่ได้ก�ำลังจะสั่งผัดกะเพรา แต่เราก�ำลังจะสั่ง “จักรวาล” จากร้านจักรวาลตามสั่ง ค�ำถาม คือจะอธิบายให้แม่ค้าเข้าใจได้ยังไง ว่าเราอยากได้จักรวาล แบบไหน คราวนี้งานยากหน่อย เพราะสิ่งที่เราต้องอธิบาย แม่ค้าเกี่ยวกับจักรวาลแบบที่เราอยากได้นั้นไม่ใช่แค่หน้าตา สีหรือรูปร่าง แต่ต้องบอกกฎ บอกลักษณะความเป็นไป ของสรรพสิ่งในจักรวาลนั้นด้วย ยกตัวอย่างเช่น สมมุติว่าใน จักรวาลของเรามีหิน มีพื้น และมีท้องฟ้า เวลาหินตกจากฟ้า มันตกยังไง ความเร็วของมันเป็นยังไง ตกแบบเนิบๆ หรือ ตกแบบเร็วขึ้นเรื่อยๆ คุณกาลิเลโอเคยกล่าวไว้ว่า คณิตศาสตร์คือภาษาที่ พระเจ้าใช้รังสรรค์จักรวาลนี้ขึ้นมา ถ้าเราเชื่อหลักฐานทาง ประวัติศาสตร์ คุณกาลิเลโอคือนักวิทยาศาสตร์คนแรกๆ ที่ใช้ คณิตศาสตร์มาอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติแล้วก่อน หน้านั้นคณิตศาสตร์ใช้ท�ำอะไรล่ะ ก่อนหน้านั้นคณิตศาสตร์ ซึ่งวอแวอยู่กับจ�ำนวน การนับ แล้วก็รูปเรขาคณิตต่างๆ ใช้ แก้ปัญหาอยู่อย่างจ�ำกัด ปัญหาเกี่ยวกับจ�ำนวน การแลกเปลี่ยน เงินตราปัญหาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ส่วนวิทยาศาสตร์ก็มุ่งท�ำความเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 21 อะไรไปตามเรื่องราว ในยุคก่อนหน้าคุณกาลิเลโอ วิทยาศาสตร์ นั้นเป็นหนึ่งเดียวกับปรัชญา นักวิทยาศาสตร์จึงอธิบาย ปรากฏการณ์ธรรมชาติต่างๆ ด้วยการบรรยาย บรรยายด้วย ภาษา ภาษาแบบภาษาไทยภาษาอังกฤษนี่แหละ แค่เป็น ภาษาในยุคนั้น ภาษามนุษย์ทั่วไปแบบเดียวกับที่เราใช้ บรรยายสิ่งอื่นๆ แต่คุณกาลิเลโอคิดว่ามันง่ายกว่าถ้าจะอธิบาย ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่างๆ ที่วัดได้ในธรรมชาติด้วยสมการ สูตร หรือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม ตัวอย่างที่น่าจะท�ำให้เห็นภาพได้มากขึ้นว่าคณิตศาสตร์ ช่วยอธิบายธรรมชาติได้ดีอย่างไรคือการตกของก้อนหินที่ยก ไปเมื่อสักครู่ ในโลกที่เราอยู่ มนุษย์สังเกตว่าเมื่อปล่อยหิน สักก้อนลงมาจากที่สูง มันจะตกลงพื้น เอาให้ละเอียดขึ้น ถ้า เราเพ่งดูความเร็วดีๆ เราจะเห็นว่าความเร็วของมันนั้นเพิ่มขึ้น เรื่อยๆ ด้วย การเพิ่มขึ้นของความเร็วเรียกว่าความเร่ง และ กาลิเลโอพบว่าเมื่อเราปล่อยให้วัตถุตกลงมา หากไม่พิจารณา แรงต้านอากาศแล้ว วัตถุนั้นจะตกลงมาด้วยความเร่งคงที่ เท่ากันเสมอไม่ว่ามวลของมันจะมากหรือน้อย นั่นคือการ บรรยายสิ่งที่คุณกาลิเลโอค้นพบด้วยภาษา แต่ข้อค้นพบของ คุณกาลิเลโอสามารถเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ว่า v = gt

22 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง เมื่อ v คือความเร็ว t คือเวลา และ g คือความเร่งที่คงที่อันนั้น แต่ค�ำถามคือ แล้วการเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์แบบนี้ มันดีกว่าการเขียนด้วยภาษามนุษย์ทั่วไปอย่างไร ค�ำตอบคือ มันรัดกุมกว่า การบอกว่าหินจะตกลงพื้นด้วยความเร็วที่เพิ่ม ขึ้นเรื่อยๆ นั้นก�ำกวมเกินไป ถ้าเอาประโยคนี้ไปบอกแม่ค้าร้าน จักรวาลตามสั่ง ก็จะต้องโดนแม่ค้าถามกลับมาอยู่ดีว่า ที่ว่าเร็ว ขึ้นเรื่อยๆ เนี่ย เร็วขึ้นยังไง เร็วขึ้นแค่ไหน แล้วที่ว่าเร็วขึ้น เรื่อยๆ เนี่ย เรื่อยแค่ไหน แต่การบอกไปเลยว่า v = gt มันจบ มันตอบทุกค�ำถาม มันคือ v = gt ซึ่งไม่เหมือนกับ v = gt2 หรือ v = get ที่ก็เร็วขึ้นเรื่อยๆ เหมือนกัน และจะไม่มีการ ซักไซ้อะไรเพิ่มเติมจากแม่ค้าอีก ยิ่งไปกว่านั้นการเขียนเป็น สมการคณิตศาสตร์นั้นท�ำให้เราเอาไปท�ำอะไรต่อได้ เช่น ถ้าเราบอกแม่ค้าว่านอกจากแรงโน้มถ่วงแล้ว อยากให้จักรวาล ของเรามีแรงต้านอากาศด้วย ซึ่งแรงต้านอากาศเขียนได้เป็น สมการคณิตศาสตร์อย่างนี้ๆ สุดท้ายสมการของแรงโน้มถ่วง กับแรงต้านอากาศที่เขียนแยกกันคนละสมการ คณิตศาสตร์ ก็เอามารวมเป็นสมการใหม่ได้ แล้วคราวนี้เราก็สนุกเลย ใส่ แรงไฟฟ้า แรงแม่เหล็ก แรงบ้าแรงบออะไรที่อยากให้มีใน จักรวาล สร้างนั่นโน่นนี่ในรูปของสมการคณิตศาสตร์ แล้ว แม่ค้าก็สามารถเอาสมการทั้งหมดนี้ผสมไปผสมมาออกมาเป็น จักรวาลแบบที่เราต้องการ กลับมาที่ร้านอาหารตามสั่งกันอีกสักนิดก่อน ตอนแรก

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 23 ตัวละครในร้านประกอบไปด้วยลูกค้าที่จะมาสั่งผัดกะเพรา มีแม่ค้าที่ต้องคอยถามซักว่าจะเอาผัดกะเพราแบบไหน คราวนี้ เราเพิ่มตัวละครเข้าไปอีกคน นั่นคือนักชิม นักชิมเข้ามาในร้าน ทีหลังสุด เข้ามาถึงตอนที่กะเพราจานนั้นผัดเสร็จและยก มาเสิร์ฟแล้ว นักชิมที่นี่แปลกหน่อย เพราะเขาไม่ได้ชิมเพื่อ วิจารณ์อาหาร แต่นักชิมที่นี่จะชิมอาหารแล้วทาย ทายจาก กะเพราจานที่เขาได้มอง ได้ดม และได้ชิมรสจานนั้นว่ามัน ถูกสั่งว่าอะไร นักชิมอาจพอเดาได้ว่ามันคือกะเพราทะเลไม่กุ้ง เพราะเขาเห็นปลาหมึกเห็นปลา แต่ไม่เห็นกุ้ง เรื่องพริกหยวก น่าจะเดาไม่ยากเหมือนกันเรื่องข้าวเยอะๆ อาจจะต้องใช้ ประสบการณ์บ้างเพื่อให้รู้ว่าปกติแล้วข้าวในจานมันควรจะ ประมาณไหน แต่เรื่องไม่นาํ้ตาล ใส่นาํ้ปลาแทนซีอิ๊ว หรือไม่ใส่ ชูรสนั้น นักชิมฝึกหัดอาจจะบอกได้ไม่ถึงตรงนั้น แต่ถ้าเป็น นักชิมมือโปรก็ไม่แน่ ถ้าคิดแบบคุณกาลิเลโอ หมายถึงถ้า เชื่อว่าพระเจ้าเป็นผู้สร้างจักรวาลนี้ขึ้นมาคนอย่างคุณกาลิเลโอ นี่แหละ ที่รับบทเป็นนักชิมในร้านขายจักรวาลตามสั่งนี้ที่ พยายามคาดเดากฎต่างๆ ในธรรมชาตินี่จึงเป็นเหตุที่เมื่อ พูดถึงกฎอะไรสักอย่างในทางวิทยาศาสตร์เรามักจะใช้ค�ำว่า “ค้นพบ” แทนที่จะเป็น “คิดค้น” เพราะเราเชื่อว่ากฎเหล่านั้น มีอยู่แล้ว ถูกก�ำหนดขึ้นมาพร้อมกับจักรวาลตั้งแต่ต้น ในฐานะ ของค�ำสั่งที่พระเจ้าใช้ในการสร้างจักรวาลนี้ขึ้นมา และเราซึ่ง คือมนุษย์ก็อยู่ในฐานะของผู้ไปเจอ ไปค้นพบ หรือพูดให้ดู

24 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง เวอร์ๆ คือไปล่วงรู้มันเท่านั้น อย่างกฎที่เราเรียกกันติดปาก ว่ากฎของนิวตัน มันเป็นของคุณนิวตันในฐานะผู้ค้นพบ ไม่ใช่ ว่าคุณนิวตันเป็นคนสร้างกฎนี้ขึ้นมาแต่อย่างใด เพราะกฎนี้ มีอยู่แล้วพร้อมกับจักรวาล และการสร้างสูตร หรือสมการ บางอย่างทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาอธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติ พวกนี้ก็เหมือนกับการที่นักชิมพยายามเดาสูตรอาหาร ด้วย การใช้ประสาทสัมผัสทั้งหมดที่เรามีบวกด้วยความรู้บางอย่าง และกระบวนการนี้เรียกอย่างเป็นทางการว่า การสร้างแบบ จ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical modeling) พอพูดว่าแบบจ�ำลอง เราอาจนึกถึงภาพบ้านจ�ำลอง หรือหุ่นจ�ำลอง คือต้องเป็นอะไรที่จับต้องได้ หน้าตาคล้าย ของจริง แต่มีขนาดที่อาจจะเล็กกว่า ซึ่งแบบจ�ำลองเชิง คณิตศาสตร์ก็เป็นอย่างนั้นเหมือนกัน เพียงแต่ปกติเรา จ�ำลองของที่จับต้องได้แบบจ�ำลองก็เลยจับต้องได้ แต่แบบ จ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อจ�ำลองของที่เป็นกฎ หรือ ปรากฏการณ์ในธรรมชาติที่ส่วนใหญ่จับต้องไม่ได้อย่างกฎ ของนิวตันที่พยายามจ�ำลองปรากฏการณ์เกี่ยวกับแรง สิ่งที่ แบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ท�ำคือการเปลี่ยนปรากฏการณ์ที่ จับต้องไม่ได้ให้อยู่ที่รูปของสูตรหรือสมการ ซึ่งแม้จะจับต้อง ไม่ได้อยู่ดีแต่ก็ใช้สื่อสารกันได้ ดูเป็นรูปธรรมมากกว่า เล่าถึงตรงนี้ผู้อ่านอาจคิดว่า กฎทางธรรมชาติที่เรา พูดกันอยู่หมายถึงกฎทางฟิสิกส์อย่างเดียวหรือเปล่า ก็ต้อง

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 25 ตอบว่าไม่ ปรากฏการณ์ในศาสตร์อื่นๆ จ�ำนวนมากก็อธิบาย ได้ด้วยแบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์เหมือนกัน ในตัวอย่าง ต่อไป เราลองข้ามไปอีกฟากหนึ่งของวิทยาศาสตร์เลยก็ได้ นั่นคือชีววิทยา เรื่องมีอยู่ว่า ในการศึกษาการขยายพันธุ์ของ เชื้อราชนิดหนึ่งในจานเพาะเชื้อ เราสังเกตเห็นว่าพื้นที่ที่มี เชื้อราในจานเพาะเชื้อนั้นใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ สมมุติเราให้ตัวแปร A แทนพื้นที่ของเชื้อรา ซึ่งชัดเจนว่ามันเป็นฟังก์ชันของเวลา t โดยจากข้อสังเกตที่ว่า เมื่อเวลาผ่านไป พื้นที่ที่เห็นเชื้อรานั้น ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เราจึงสรุปได้ว่า ฟังก์ชัน A(t) นั้นเป็นฟังก์ชัน เพิ่ม แต่ฟังก์ชันเพิ่มก็มีมากมายหลายฟังก์ชัน เราจึงลองปล่อย จานเพาะเชื้อทิ้งไว้สามวันและวัดพื้นที่ของเชื้อราในแต่ละวัน น�ำค่าที่ได้มาจุดลงบนกราฟในรูปที่ 1 เวลา (วัน) พื้นที่ (cm2 ) 0 1 2 3 4 3 2 1 0 รูปที่ 1: ข้อมูลพื้นที่ของเชื้อราที่วัดได้จากการทดลอง

26 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง ซึ่งพบว่ามันดูเป็นเส้นตรงแฮะ งั้นเราลองใช้สมการ เส้นตรงมาจ�ำลองค่าพื้นที่ของเชื้อราในแต่ละเวลาดีกว่า นั่นคือ A(t) = mt + k เมื่อ m > 0 ทีนี้เราจะเอายังไงกับค่าคงที่ m กับ k ที่ติดเอาไว้ดี ด้วยความรู้เรื่องการถดถอยเชิงเส้น (linear regression) ในวิชา สถิติเราสามารถหาค่า m และ k ที่ท�ำให้สมการเส้นตรงแนบ ไปกับข้อมูลมากที่สุด ได้ A(t) = 0.565t + 2.055 ซึ่งคือแบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ที่เราได้โดยเรียก ค่า m และ k ที่ติดไว้ตอนแรกว่าพารามิเตอร์ (parameter) ของแบบจ�ำลอง ทีนี้เมื่อได้แบบจ�ำลองพร้อมกับค่าพารามิเตอร์มาแล้ว เราก็มีความสุข เพราะจากแบบจ�ำลองดังกล่าว สมมุติว่าเรา ต้องการท�ำนายว่าเมื่อผ่านไป 5 วัน เชื้อราจะมีพื้นที่เท่าไร ก็ค�ำนวณได้ด้วยการแทน t = 5 ลงไปในสมการก็จะได้ A(5) = 0.565(5) + 2.055 = 4.88 ซึ่งทุกอย่างฟังดูดี จนเวลา ผ่านไปครบ 5 วัน เราก็ลองกลับมาวัดพื้นที่ของเชื้อราดูจริงๆ พบว่าเชื้อรากินพื้นที่ถึงราว 5.69 ตารางเซนติเมตร ซึ่งผิด จากที่แบบจ�ำลองของเราท�ำนายไว้มาก สิ่งนี้บ่งชี้ว่ามีบางอย่าง ก�ำลังผิดพลาด ในความเป็นจริงแล้วความผิดพลาดที่เกิดขึ้นนี้ มีสาเหตุที่เป็นไปได้หลายอย่าง เช่นปัญหาจากการวัดหรือเก็บ ข้อมูลที่ไม่ดีหรือไม่อย่างนั้นก็คือ แบบจ�ำลองของเรานั้นผิด

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 27 เมื่อย้อนกระบวนการทั้งหมดกลับไปดู จะเห็นว่า ที่เราเลือกสมการเส้นตรงมาใช้นั้นมาจากเหตุผลง่ายๆ แค่ว่า เพราะข้อมูล 4 จุด มันดูเรียงกันเป็นเส้นตรงแค่นั้นเอง ซึ่งเป็น เหตุผลที่อ่อนปวกเปียกมาก เพราะความจริงแล้วในโลกนี้มี ฟังก์ชันอีกมากมายที่ดูเหมือนจะเป็นเส้นตรงในตอนแรก แต่ เมื่อเวลาผ่านไปกลับกลายเป็นหน้าตาแบบอื่นก็ได้นั่นคือเรา ใช้ข้อมูลน้อยเกินไป ซึ่งอาจแก้ปัญหานี้ด้วยการบันทึกค่าของ A(t) ที่เวลา t ที่มากขึ้น เช่น t = 0, 1, ..., 5 แล้วพยายามลอง เลือกฟังก์ชันเพิ่มอื่นที่เรารู้จักไปเรื่อยๆ อย่างเช่นฟังก์ชัน ก�ำลังสอง ก�ำลังสาม จนกว่าจะเจอฟังก์ชันที่ดูเหมาะสมที่สุด แต่ค�ำถามคือเราจะรู้ได้อย่างไรว่าฟังก์ชันที่เราเลือกนั้นเป็น ฟังก์ชันที่แนบไปกับข้อมูลได้ดีที่สุดแล้ว หลักส�ำคัญอย่างหนึ่งของการสร้างแบบจ�ำลองเชิง คณิตศาสตร์คือ เราไม่สร้างจากข้อมูลล้วนๆ แต่จะใช้ความรู้ พื้นฐานจากศาสตร์นั้นๆ ด้วย อย่างในกรณีนี้จากความรู้ทาง ชีววิทยาเกี่ยวกับการเพิ่มจ�ำนวนของเชื้อรา เรารู้ว่าเชื้อราจะ เพิ่มจ�ำนวนในลักษณะเพิ่มเป็นจ�ำนวนเท่า นั่นคือเพิ่มจาก 1 เป็น 2 จาก 2 เป็น 4 และจาก 4 เป็น 8 เพราะฉะนั้นถ้ามอง จากมุมนี้จะเห็นว่าฟังก์ชันการเพิ่มจ�ำนวนของเชื้อราไม่น่าจะ เป็นสมการเส้นตรง แต่น่าจะเป็นฟังก์ชันเลขชี้ก�ำลัง (exponential function) มากกว่า ซึ่งเขียนในรูปทั่วไปได้ว่า A(t) = aebt

28 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง และจากแบบจ�ำลองนี้ ถ้าเราลองเอาไปวิเคราะห์การถดถอย เชิงเส้นกับข้อมูล 4 ค่าแรก จะได้แบบจ�ำลองออกมาเป็น A(t) = 2.1e0.2t และเมื่อแทน t = 5 จะได้A(5) = 5.71 ซึ่งใกล้เคียงกับ 5.69 ที่ได้จากการทดลอง จะเห็นว่า ในขั้นตอนการวิเคราะห์ปัญหานั้นไม่ได้ หมายถึงแค่วิเคราะห์จากข้อมูลที่มีเท่านั้น แต่ยังหมายรวมถึง การวิเคราะห์ด้วยความรู้ในศาสตร์ของปัญหานั้นๆ อีกด้วย ดังนั้นนักสร้างแบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ที่เก่งต้องรู้จัก เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เยอะมากพอที่จะแปลงความรู้ใน ศาสตร์นั้นๆ ให้ออกมาเป็นคณิตศาสตร์ได้และจากตัวอย่าง เรื่องเชื้อรานี้เราสามารถสรุปขั้นตอนหลักๆ ของกระบวนการ สร้างแบบจ�ำลองเชิงคณิตศาสตร์ได้คือ 1. ระบุปัญหา : ในขั้นแรกเราต้องระบุให้ได้ว่าปัญหา ในโลกจริงที่ต้องแก้ หรือคำถามที่ต้องการตอบให้ได้นั้นคืออะไร การระบุปัญหาให้ชัดจะทำให้เรารู้จุดมุ่งหมาย จะได้เลือก เครื่องมือมาใช้แก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง 2. กำหนดตัวแปร : การกำหนดตัวแปรในการสร้าง แบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์นั้นคล้ายกับการกำหนดตัวแปร สำหรับการทดลองวิทยาศาสตร์นั่นคือ ตัวแปรต้นซึ่งคือ สาเหตุ ตัวแปรตามซึ่งคือผลลัพธ์ที่เราสนใจ และตัวแปร

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 29 ควบคุมคือตัวแปรที่เราจะทำให้เหมือนกันในทุกการทดลอง เราต้องกำหนดให้ชัดว่าตัวแปรอะไรที่จะเปลี่ยนได้ตัวแปร ไหนที่ไม่เปลี่ยน เพื่อที่จะได้ไม่สับสน ว่าผลลัพธ์ที่เปลี่ยนไป นั้น เกิดจากต้นเหตุใดกันแน่ 3. ตั้งสมมุติฐาน : คำว่าสมมุติฐานในที่นี้ไม่เหมือน กับสมมุติฐานในการทดลองทางวิทยาศาสตร์ ในกรณีนั้น สมมุติฐานหมายถึงสิ่งที่ผู้ทดลองคาดว่าจะเกิดขึ้น แต่สมมุติ- ฐานในบริบทนี้หมายถึงสิ่งที่เรากำหนดให้เป็นจริง และจะ ไม่นำมาพิจารณาในแบบจำลอง อาจเป็นความรู้ที่รู้ว่าจริงอยู่ แล้วจากศาสตร์อื่น เช่นการกำหนดให้ไม่มีใครสูงเกิน 2 เมตร ทั้งที่ความจริงอาจจะมีก็ได้แต่มีความเป็นไปได้น้อยมาก จนไม่ต้องเอามาพิจารณา ซึ่งในการกำหนดสมมุติฐานทุกครั้ง เราต้องบอกไว้ให้ชัด เพื่อให้คนที่นำแบบจำลองไปใช้ทราบถึง เงื่อนไขข้อจำกัด และต้องให้เหตุผลเสมอว่าทำไมเราถึงเลือก กำหนดแบบนั้น เราอ้างอิงจากทฤษฎีหรือความรู้ใด ไม่อย่าง นั้นจะทำให้แบบจำลองที่สร้างขึ้นไม่น่าเชื่อถือ 4. เลือกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ : ส่วนที่สำคัญ ที่สุดของการสร้างแบบจำลอง คือการเลือกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม เราต้องแปลงปัญหาโลกจริงที่เราตั้งไว้ให้ ออกมาเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ให้ได้ โดยไม่มีกฎตายตัวว่า ปัญหาหน้าตาแบบไหนควรใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใด มาใช้นี่จึงเป็นศิลปะของการเลือก นักสร้างแบบจำลองเชิง

30 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง คณิตศาสตร์ที่เก่งควรมีคลังเครื่องมืออยู่เยอะเพียงพอที่จะเลือก ใช้ให้เหมาะสมกับแต่ละปัญหา เหมือนกับช่างซ่อมที่เวลา ไปไหนก็ต้องไปพร้อมกล่องเครื่องมือ 5. วิเคราะห์และตีความผล : หลังจากแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์เรียบร้อยแล้ว เราต้องแปลงผลที่ได้กลับไปเป็น ปัญหาโลกจริงว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ ผลลัพธ์ที่ไม่สมเหตุ สมผลอาจมาจากข้อสมมุติฐานที่ไม่ถูกต้อง หรือการเลือกใช้ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ตรงกับลักษณะของปัญหา แบบ จำลองที่ดีควรให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับข้อมูลหรือผลการ ทดลอง ไม่ใช่แค่ในวิทยาศาสตร์เท่านั้น แต่แบบจ�ำลองเชิง คณิตศาสตร์ยังน�ำไปใช้กับปรากฏการณ์ในศาสตร์อื่นๆ อีก มากมาย ตั้งแต่ทางการแพทย์เศรษฐศาสตร์การเงิน ไปจน ถึงสังคมศาสตร์ตามแต่จุดประสงค์ของการสร้าง เช่นเพื่อท�ำ ความเข้าใจปรากฏการณ์นั้นๆ อย่างการเขียนความสัมพันธ์ ของตัวแปรต่างๆ ในวิชาฟิสิกส์ออกมาเป็นสมการ เพื่อท�ำนาย ผลที่จะเกิดขึ้นในสถานการณ์ที่ต่างกันออกไป อย่างการเขียน ความสัมพันธ์ของปริมาณสารต่างๆ ที่เปลี่ยนแปลงไปในรูป ของสมการเคมี และปรับปริมาณของสารตั้งต้นเพื่อศึกษา ปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่เกิดขึ้น ไปจนถึงเพื่อช่วยในการ ตัดสินใจวางแผน หรือกลยุทธ์เช่นการศึกษาผลกระทบของ ข่าวสารในรูปแบบต่างๆ ที่ส่งผลต่ออัตราการแลกเปลี่ยน

ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง 31 สกุลเงินเพื่อวางแผนเก็งก�ำไร นอกจากนี้ข้อดีส�ำคัญของการสร้างแบบจ�ำลองเชิง คณิตศาสตร์คือ การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์เราสามารถลองผิด ลองถูกเท่าไรก็ได้โดยไม่ต้องค�ำนึงถึงงบประมาณหรือความ สูญเสียที่อาจเกิดขึ้นเหมือนในโลกจริง เช่นในการผลิตยา แทนที่จะไปทดลองกับสัตว์ถ้าเราสร้างสมการคณิตศาสตร์เพื่อ อธิบายกลไกการท�ำงานของยาชนิดนั้นๆ ได้หรือในการทดลอง ทางเคมี แทนที่จะต้องไปท�ำจริงในห้องปฏิบัติการที่มีต้นทุนสูง เราก็สามารถลองผิดลองถูกในสมการคณิตศาสตร์ลองปรับ ค่าตัวแปรนั้นนี้เติมปัจจัยนั้นปัจจัยนี้เพื่อท�ำนายว่าผลลัพธ์ จะเป็นอย่างไร ก่อนจะเอาผลเวอร์ชันที่ดีที่สุดจากการค�ำนวณ ไปทดลองจริงก็ยังได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราสามารถน�ำ คอมพิวเตอร์มาใช้ช่วยแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปร เกี่ยวข้องจ�ำนวนมากก็สามารถจ�ำลองระบบใหญ่ๆ ที่ซับซ้อน ขึ้นมาได้ด้วยซ�้ำ เวลาเราจะพูดว่านักชิมคนไหนเป็นนักชิมที่เก่ง นอกจาก ลิ้นที่ดีแล้ว ความรอบรู้ก็เป็นสิ่งส�ำคัญ ลองนึกภาพว่าถ้า นักชิมคนนั้นไม่รู้จักรสชาติของน�้ำปลามาก่อน ก็จะไม่มีวัน บอกได้ว่านั่นไม่ใช่ซีอิ๊วแต่เป็นน�้ำปลา นักสร้างแบบจ�ำลอง เชิงคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน นักสร้างแบบจ�ำลองที่เก่งต้องรอบรู้ รู้จักเครื่องมือต่างๆ ในคณิตศาสตร์เพื่อที่จะได้เลือกเอามา จ�ำลองปรากฏการณ์ตรงหน้าได้อย่างเหมาะสม และหนังสือ

32 ในร้านขายจักรวาลตามสั่ง เล่มนี้จะพาผู้อ่านทุกท่านไปเข้าคอร์สการเป็นนักชิมฝึกหัดแบบ ฉบับรวบรัด เครื่องไม้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้สร้างแบบ จ�ำลองพื้นฐาน แต่ละบทในหนังสือเล่มนี้จะเป็นเหมือนทัวร์ ชะโงก ที่พาทุกท่านแวะไปตรงนั้นทีตรงนี้ที ที่ละนิดที่ละหน่อย ให้ได้เห็นภาพกว้างๆ ว่าเรามีอะไรให้หยิบจับมาใช้บ้าง รู้จัก กับส่วนผสมพื้นฐาน และตัวอย่างของการน�ำไปใช้เพื่อเก็บ กลับมาทายใจพระเจ้ากัน ดังนั้นบทพิสูจน์ที่รัดกุมของทฤษฎี บทต่างๆ ที่อ้างใช้ตลอดหนังสือเล่มนี้จะถูกละไว้เพื่อไม่ให้ เสียอรรถรสของการทัวร์หากผู้อ่านท่านใดสนใจศึกษาในแต่ละ หัวข้อในทางคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้ง ก็หาอ่านเพิ่มเติมได้จาก หนังสืออ้างอิงที่มีแนะน�ำไว้ในตอนท้ายเล่ม พร้อมหรือยังครับ รถจอดรออยู่ที่หน้าร้านแล้ว เชิญ ทุกท่านขึ้นรถแล้วออกเดินทางกันได้เลย