Mesti Tahu iii – viii Bab 1 Sukatan Membulat 1 – 11 NOTA 1 Kertas 1 1 Kertas 2 8 Bab 2 Pembezaan 12 – 21 NOTA 12 Kertas 1 13 Kertas 2 18 Bab 3 Pengamiran 22 – 33 NOTA 22 Kertas 1 24 Kertas 2 30 Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 34 – 42 NOTA 34 Kertas 1 35 Kertas 2 41 Bab 5 Taburan Kebarangkalian 43 – 54 NOTA 43 Kertas 1 44 Kertas 2 51 Bab 6 Fungsi Trigonometri 55 – 65 NOTA 55 Kertas 1 58 Kertas 2 63 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 66 – 72 NOTA 66 Kertas 1 67 Kertas 2 69 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 73 – 81 NOTA 73 Kertas 1 74 Kertas 2 78 Pentaksiran SPM 82 – 97 Jawapan 98 – 136 ii Kandungan 00A_1202 BS MT Tg5.indd 2 12/12/2021 9:14 PM
Fakta Penting (Bab 1) 1 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 7 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 1) 3 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 9 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 5 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 11 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Hubungan antara Sudut dalam Darjah, Sudut dalam Radian, Panjang Lengkok dan Luas Sektor Panjang Lengkok AB, Panjang Perentas AB, Luas Sektor AOB dan Luas Tembereng Berlorek Titik Pegun Teknik Pembezaan Perubahan Kecil dan Penghampiran Suatu Kuantiti Had dan Hubungannya dengan Pembezaan MESTI TAHU Fakta Penting ——θ° 360° = θ rad –——2π = Panjang lengkok, s –——————–— 2πj (Lilitan) = Luas sektor –————–—–— πj 2 (Luas bulatan) Jika y = f(x), maka had δx → 0 f(x + δx) – f(x) ——————— δx = had δx → 0 δy —– δx = dy —– dx = f ʹ(x) dengan keadaan δx ialah perubahan kecil dalam x. • Panjang lengkok AB, s = jθ • Panjang perentas AB: ✤ AB2 = j 2 + j 2 – 2j 2 kos θ° (Petua kosinus) ✤ ———AB sin θ° = j ———–———— sin 1 ————– 180° – θ° 2 2 (Petua sinus) • Luas sektor AOB = —1 2 j 2 θ • Luas tembereng berlorek = Luas sektor AOB – Luas segi tiga AOB = —1 2 j 2 θ – —1 2 j 2 sin θ Titik P(x, y) ialah titik pegun jika dy —– dx = 0. Titik pegun P(x, y) ialah • titik maksimum jika d 2 y —–– dx2 , 0. • titik minimum jika d 2 y —–– dx2 . 0. • titik lengkok balas jika d 2 y —–– dx2 = 0. • Jika y = axn , maka dy —– dx = anxn – 1 • Jika y = a, dengan keadaan a ialah pemalar, maka dy —– dx = 0 • Jika y = f(x) + g(x), maka dy —– dx = f ʹ(x) + gʹ(x) • Jika y = g(u), dengan keadaan u = h(x), maka dy —– dx = dy —– du × du —– dx • Jika y = uv, dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka dy —– dx = u dv —– dx + v du —– dx • Jika y = —u v , dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka dy —– dx = v du —– dx – u dv —– dx —————– v2 • Jika y = f(x) dan δx ialah perubahan kecil dalam x, maka δy = dy —– dx × δx • Jika y = f(x) dan x = g(t), maka kadar perubahan y ialah: dy —– dt = dy —– dx × dx —– dt • Jika x berubah daripada x kepada x + δx, maka: ✤ Peratus perubahan dalam x = δx —–x × 100% ✤ Peratus perubahan dalam y = δy —–y × 100% θ j s O A B θ j s O A B 00B_1202 BS MT Tg5.indd 3 10/01/2022 4:38 PM
Kesalahan Umum (Bab 2) 8 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 1) 2 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 2) 10 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 1) 4 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 3) 12 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 2) 6 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. MESTI TAHU Kesalahan Umum Petua Hasil Bahagi Penukaran Radian kepada Darjah dan Sebaliknya Kaedah Terbitan Kedua Kamiran Tak Tentu Petua Rantai Luas ∆AOB Diberi y = x + 1 —–—– 2x – 1 , cari —–d dx 1 x + 1 —–—– 2x – 1 2. Betul Salah Gunakan dy —– dx = v du —– dx – u dv —– dx —————– v2 dengan keadaan u = x + 1 dan v = 2x – 1. • Gunakan dy —– dx = u dv —– dx – v du —– dx —————– v2 dengan keadaan u = x + 1 dan v = 2x – 1. • Gunakan dy —– dx = v du —– dx + u dv —– dx —————– v2 dengan keadaan u = x + 1 dan v = 2x – 1. Betul Salah Diberi titik pegun (a, b), maka ia adalah titik maksimum jika d 2 y —–– dx2 , 0. Diberi titik pegun (a, b), maka ia adalah titik maksimum jika d2 y —–– dx2 . 0. Diberi titik pegun (a, b), maka ia adalah titik minimum jika d 2 y —–– dx2 . 0. Diberi titik pegun (a, b), maka ia adalah titik minimum jika d2 y —–– dx2 , 0. Betul Salah ∫ ———— 4 (3x + 1)2 dx = ∫ 4(3x + 1)–2 dx = 4(3x + 1)–2 + 1 —————– (–2 + 1)(3) + c = 4(3x + 1)–1 ————– –3 + c = – 4 ——–—– 3(3x + 1) + c ∫ ———— 4 (3x + 1)2 dx = ∫ 4(3x + 1)–2 dx = 4(3x + 1)–2 + 1 —————– –2 + 1 + c = 4(3x + 1)–1 ————– –1 + c = – 4 —––— 3x + 1 + c Betul Salah d —– dx [3(2x2 – x)4 ] = 3(4)(2x2 – x) 4 – 1 d —– dx (2x2 – x) = 12(2x2 – x)3 (4x – 1) = 12(4x – 1)(2x2 – x)3 d —– dx [3(2x2 – x)4 ] = 3(4)(2x2 – x)4 – 1 = 12(2x2 – x)3 atau d —– dx [3(2x2 – x)4 ] = d —– dx [(6x2 – 3x)4 ] Betul Salah Tukarkan sudut dalam radian kepada darjah terlebih dahulu. 1.45 rad = 1.45 × ——– 180° π = 83.08° Luas ΔAOB = —1 2 j 2 sin θ = —1 2 j 2 sin 83.08° = 0.4964j 2 Sudut dalam radian tidak ditukarkan kepada darjah. Luas ΔAOB = —1 2 j 2 sin θ = —1 2 j 2 sin (1.45) = —1 2 j 2 (0.0253) = 0.0127j 2 • Penukaran radian kepada darjah Contoh: 1.35 rad Betul Salah 1.35 × ——– 180° π 1.35 × ——– π 180° • Penukaran darjah kepada radian Contoh: 46° Betul Salah 46° × ——– π 180° 46° × ——– 180° π Ujian untuk menentukan sama ada suatu titik pegun ialah titik maksimum atau titik minimum. ∫ ———— 4 (3x + 1)2 dx = —–d dx (3x + 1) = 3 d —– dx [3(2x2 – x)4 ] = 1.45 rad B j A O tiada —–d dx (3x + 1) = 3 00B_1202 BS MT Tg5.indd 4 10/01/2022 4:38 PM
NOTA 1 1TIP SOS Bab 1 Sukatan Membulat 1.1 Radian 1. Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat bulatan O dengan keadaan panjang lengkok, s adalah sama dengan jejari bulatan, j, iaitu s = j = 1 rad. A B s 1 rad j O 2. 360° = 2π rad 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 1. Diberi suatu bulatan berpusat O dan berjejari j unit dengan keadaan ∠AOB = θ rad (atau θ°) dan panjang lengkok AB ialah s unit, maka A θ B s j O (a) —–—θ° 360° = —–— θ rad 2π = —–————–—— Panjang lengkok, s 2πj (Lilitan) (b) Panjang lengkok AB, s = jθ (c) Panjang perentas AB: (i) AB2 = j 2 + j 2 – 2j 2 kos θ° (Petua kosinus) (ii) ——– AB sin θ° = j ————––—— sin ———— 180° – θ° 2 2 (Petua sinus) 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 1. Diberi suatu bulatan berpusat O dan berjejari j unit dengan keadaan ∠AOB = θ rad (atau θ°), maka A θ B j O (a) —–—θ° 360° = —–— θ rad 2π = —–————–—–– Luas sektor πj 2 (Luas bulatan) (b) Luas sektor AOB = —1 2 j 2 θ (c) Luas tembereng berlorek = Luas sektor AOB – Luas segi tiga AOB = —1 2 j 2 θ – —1 2 j 2 sin θ° KERTAS 1 Bahagian A Soalan 1: (a) Perimeter bagi sektor = j + j + Panjang lengkok (b) Gunakan s = jθ 1. Perimeter bagi sektor bulatan AOB berpusat O dengan panjang lengkok 5.4 cm ialah 23.4 cm. Cari (a) jejari bulatan itu, [3 markah] (b) sudut AOB yang dicangkum di pusat bulatan. [2 markah] KLON SPM Jawapan: (a) (b) 01_1202 BS MT Tg5.indd 1 23/12/2021 7:27 AM
22 2 TIP SOS 2. Luas bagi sektor KOL yang berpusat di O dan berjejari 11 cm ialah 160 cm2 . (a) Cari ∠KOL, dalam radian. [2 markah] (b) Jika sektor KOL itu dilipat untuk membentuk sebuah kon, cari jejari tapak kon itu. [3 markah] Jawapan: (a) (b) 3. Diberi AOB ialah sektor sebuah bulatan yang berpusat di O dan berjejari j cm dengan keadaan ∠AOB = θ rad. (a) Tunjukkan bahawa panjang perentas AB ialah 2j sin — θ 2 . [2 markah] (b) Diberi j = 5 cm dan ∠AOB = 1.2 rad, cari perbezaan antara panjang lengkok AB dengan panjang perentas AB. [3 markah] Jawapan: (a) (b) 4. Rajah menunjukkan sebuah kipas kertas yang terdiri daripada dua sektor, POQ dan AOB. Rantau berlorek diliputi oleh kertas. P A O B Q Soalan 2: (b) Cari panjang lengkok sektor. Apabila sektor dilipat, panjang lengkok sektor ialah lilitan tapak kon. Soalan 5: Gunakan petua kosinus, a2 = b2 + c2 – 2bc kos θ Diberi bahawa OA : OP = 1 : 3, ∠POQ = —2 3 π rad dan OA = 15 cm, cari (a) perimeter bagi kawasan yang diliputi oleh kertas, [3 markah] (b) luas kertas yang digunakan. [2 markah] Jawapan: (a) (b) 5. Rajah menunjukkan sektor AOB dengan pusat O dan berjejari 15 cm. A B C 15 cm O θ Diberi bahawa C membahagikan garis OB dalam nisbah 3 : 2 dan panjang perentas AB ialah 10 cm. Cari (a) sudut θ, dalam radian, [2 markah] (b) perimeter bagi rantau berlorek. [3 markah] Jawapan: (a) (b) KLON SPM 01_1202 BS MT Tg5.indd 2 23/12/2021 7:27 AM
5 5TIP SOS 13. Rajah menunjukkan sebuah rombus yang terterap di dalam sebuah sektor AOC berpusat O dan berjejari j. O β C B A j rad Diberi bahawa ∠AOC = β rad dan luas bagi sektor itu ialah 20 cm2 , ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan j. (a) Sudut β. [3 markah] (b) Perimeter, dalam cm, bagi rantau berlorek. [2 markah] Jawapan: (a) (b) KLON SPM 14. Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. PT dan QT ialah tangen kepada bulatan itu masingmasing pada titik P dan titik Q. P Q O j cm T θ Diberi bahawa panjang lengkok minor PQ ialah 5 cm dan OT = — 6 θ cm, (a) ungkapkan jejari, j bulatan itu dalam sebutan θ, [1 markah] (b) cari luas bagi rantau berlorek. [4 markah] Jawapan: (a) (b) KLON SPM Soalan 14: Tangen PT = Tangen QT dan ∠TPO = 90° Soalan 15: (b) Luas tembereng = Luas sektor AOB – Luas segi tiga AOB Bahagian B 15. Rajah menunjukkan keratan rentas sebuah bekas berbentuk bulatan berpusat O yang disokong oleh dua batang tiang dengan tinggi 25 cm. KBAT Mengaplikasi O A B 25 cm 10 cm 32 cm Jarak terpendek antara bekas itu dengan permukaan mengufuk ialah 10 cm. Diberi bahawa jejari bekas itu ialah 32 cm, cari (a) sudut AOB, dalam radian, [4 markah] (b) luas antara dua batang tiang dengan bekas. [4 markah] Jawapan: (a) (b) 01_1202 BS MT Tg5.indd 5 23/12/2021 7:27 AM
66 6 TIP SOS 16. Dua buah gear yang bersentuhan antara satu sama lain berputar secara serentak. Gear bersaiz kecil mempunyai jejari 5 cm manakala gear bersaiz besar adalah berjejari 9 cm. (a) Berapakah sudut yang dicangkum oleh gear bersaiz besar jika gear bersaiz kecil membuat satu putaran lengkap? [4 markah] (b) Berapakah bilangan putaran yang dibuat oleh gear bersaiz kecil jika gear bersaiz besar membuat satu putaran lengkap? [4 markah] Jawapan: (a) (b) 17. Suatu sektor bulatan dengan sudut θ dan berjejari j cm mempunyai luas 5 cm2 dan perimeternya ialah 9 cm. Cari nilai yang mungkin bagi j dan θ. [8 markah] Jawapan: 18. Rajah menunjukkan keratan rentas sebuah terowong dengan keadaan lebar AC ialah diameter bagi semibulatan ABC. Rantau berlorek ialah dinding terowong yang diperbuat daripada simen. Keratan rentas terowong itu berbentuk sektor sebuah bulatan dengan pusat P dan berjejari j m. Soalan 17: Hubungkaitkan panjang lengkok dengan luas sektor. C B A P 2θ rad j m Diberi bahawa ∠APC = 2θ rad, ungkapkan lebar terowong AC dan luas dinding yang diperbuat daripada simen, masing-masing dalam sebutan j dan θ. KBAT Menganalisis [8 markah] Jawapan: 19. Panjang perentas PQ bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 3 cm ialah 4.4 cm. Hitung (a) sudut yang dicangkum pada pusat bulatan, dalam radian, [4 markah] (b) luas tembereng yang dibatasi oleh perentas PQ dan lengkok PQ. [4 markah] Jawapan: (a) (b) 01_1202 BS MT Tg5.indd 6 23/12/2021 7:27 AM
88 8 TIP SOS KERTAS 2 Bahagian A Soalan 3: Diameter bagi bulatan kecil adalah sama dengan jejari semibulatan dan AB ialah tangen kepada bulatan kecil itu. Soalan 6: (b) Luas keratan rentas di dalam air = Luas keratan rentas bulatan – Luas tembereng di atas permukaan air 1. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 25 cm. A B 25 cm O θ α Satu sektor dengan sudut θ = 1.2 rad telah dipotong keluar daripada bulatan itu. Kemudian, hujung A dicantumkan dengan hujung B bagi membentuk sebuah kon. Hitung (a) jejari, dalam cm, tapak kon itu, [3 markah] (b) sudut α, dalam darjah. [4 markah] 2. Titik A ialah satu titik tetap pada lilitan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Titik P bergerak di sepanjang lilitan bulatan dengan laju 3 cm per saat. Diberi sudut AOP ialah θ rad, cari (a) kadar perubahan θ, dalam radian per saat, [3 markah] (b) kadar perubahan luas bagi sektor AOP. [3 markah] 3. Rajah menunjukkan corak mural yang dilukis oleh seorang murid pada dinding kantin sebuah sekolah. C D O A B 10 cm Diberi AB = 10 cm ialah perentas bagi sektor major ACB yang berpusat di O dan berjejari 15 cm. AB juga ialah diameter bagi semibulatan ADB. Sebuah bulatan kecil berpusat O terterap di dalam semibulatan itu. Hitung (a) panjang lengkok ACB, [4 markah] (b) luas bagi rantau berlorek. [4 markah] KLON SPM KLON SPM 4. Rajah menunjukkan sebuah trapezium ABCD dengan AB dan DC adalah selari. KBAT Mengaplikasi A D B C E 5 cm 12 cm 6 cm rad —π 6 rad —π 3 Diberi AB = 5 cm, DC = 12 cm, ∠ADC = —π 6 rad, ∠BCD = — π 3 rad dan E ialah titik tengah BC. Hitung (a) perimeter bagi rantau berlorek, [4 markah] (b) luas bagi rantau berlorek. [4 markah] 5. Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan berjejari 6 cm dan sebuah segi empat tepat ABCO dengan luas 48 cm2 . A 6 cm O D C E B Hitung (a) ∠AOB, dalam radian, [3 markah] (b) luas sektor EOD. [4 markah] 6. Sebiji bola terapung di permukaan air dengan keadaan titik tertinggi bola itu dari permukaan air adalah separuh daripada jejari, j cm, bola. KBAT Mengaplikasi P Q j cm O (a) Cari panjang perentas PQ, dalam sebutan j. [3 markah] (b) Cari luas, dalam cm2 , keratan rentas bola itu di bawah air jika j = 25 cm. [4 markah] 01_1202 BS MT Tg5.indd 8 23/12/2021 7:27 AM
1010 10TIP SOS Bahagian B 13. Ani ingin menghasilkan sebuah topi berbentuk kon untuk jamuan hari jadi anaknya. Tinggi kon itu ialah 25 cm dan jejari tapak kon ialah 8.5 cm. Dia mengambil sekeping kadbod berukuran 27 cm × 35 cm untuk membuat bentangan kon itu yang berbentuk sektor sebuah bulatan. KBAT Menganalisis (a) Berapakah sudut, dalam radian, yang tercangkum di pusat bulatan oleh panjang lengkok sektor bentangan itu? [4 markah] (b) Berdasarkan pengiraan di (a), tentukan sama ada kadbod itu mencukupi atau tidak untuk menghasilkan sebuah topi berbentuk kon. [6 markah] 14. Rajah menunjukkan semibulatan PORQS dengan pusat O dan berjejari 9 cm. KBAT Mengaplikasi θ P 9 cm O M R Q S RPS ialah sektor yang terterap di dalam semibulatan itu dengan pusat P. Garis serenjang dari S ke PQ membahagi dua jejari semibulatan di M. Cari (a) sudut θ, dalam radian, [3 markah] (b) panjang lengkok RS, [3 markah] (c) luas bagi rantau berlorek. [4 markah] 15. Rajah menunjukkan sektor AOB dengan pusat O, berjejari OB = 8 cm dan ∠AOB = — π 3 rad. C A B D E 8 cm P O rad —π 3 OC ialah pembahagi dua sama bagi ∠AOB dan P ialah titik tengah OC. Lengkok DCE bagi sebuah bulatan berpusat P dilukis untuk bertemu OA dan OB masing-masing pada D dan E. Cari (a) sudut OPD, dalam radian, [3 markah] (b) luas bagi rantau berlorek itu. [7 markah] KLON SPM Soalan 13: Jejari bagi sektor bentangan itu ialah sisi condong kon. Lakarkan bentangan kon dan juga kon itu sebelum mengira panjang dan lebar kadbod. Soalan 16: Luas ABCD = Panjang AD × Tinggi B ke AD 16. Rajah menunjukkan sebuah rombus ABCD dengan sisi x cm dan ∠A = θ rad. KBAT Menganalisis B x cm C D A θ rad Empat lengkok yang berjejari —x 3 cm dilukis masingmasing dengan pusat A, B, C dan D. Diberi luas bagi rantau berlorek ialah separuh daripada luas rombus, (a) tunjukkan bahawa sin θ = —2 9 π, [5 markah] (b) cari dua nilai yang mungkin bagi θ. [5 markah] 17. Rajah menunjukkan dua sektor dengan pusat O. L M 1.5 rad 2 cm N P O Diberi bahawa ∠LOP = 1.5 rad, LM = NP = 2 cm dan luas bagi sektor LOP ialah 20.75 cm2 , cari (a) jejari OM, [4 markah] (b) panjang lengkok LP, [2 markah] (c) luas bagi rantau berlorek. [4 markah] 18. Rajah menunjukkan sebuah sektor bulatan dengan pusat A. KBAT Menganalisis y B O x D C A(4, 0) 3y + x = 9 Persamaan BD ialah 3y + x = 9. Cari (a) jejari bagi sektor ABCD, [4 markah] (b) sudut BAD, dalam radian, [2 markah] (c) luas bagi rantau berlorek itu. [4 markah] 01_1202 BS MT Tg5.indd 10 23/12/2021 7:27 AM
82 Pentaksiran SPM KERTAS 1 Masa: 2 jam Bahagian A [64 markah] Jawab semua soalan. 1. (a) Rajah 1 di ruang jawapan menunjukkan sebahagian daripada graf fungsi y = f(x) untuk domain 0 < x < 3. Pada paksi yang sama, lakarkan graf yang sepadan bagi y1 = f –1(x) dan nyatakan domainnya. [2 markah] (b) Fungsi F memetakan (x, y) kepada (x – y, x + 2y) dan A ialah titik (2, 3). F memetakan A kepada B dan B dipetakan kepada C. Cari koordinat titik B dan titik C. [2 markah] (c) Jika f : x → 3 – 4x, cari f –1 (–3). [1 markah] Jawapan: (a) y x 0 1 3 y = f(x) 2 1 2 3 4 Rajah 1 (b) (c) 2. (a) Diberi bahawa julat bagi y = f(x) + 1 ialah –2 < y < 3, cari julat bagi f(x). [1 markah] (b) Diberi bahawa f : x → x + 2 dan gf : x → x2 + 4x + 2, cari (i) g(2), (ii) nilai-nilai x jika fg(x) = 9. [4 markah] Jawapan: (a) (b) (i) (ii) 09_1202 BS MT Tg5.indd 82 23/12/2021 3:55 PM
87 Bahagian B [16 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 13. (a) Sebuah bekas berbentuk segi empat tepat tanpa penutup diperbuat daripada beberapa kepingan aluminium. Sisi bagi tapak bekas ialah 2x cm dan 3x cm dengan tinggi h cm. Jika jumlah luas permukaan ialah 200 cm2 , (i) tunjukkan bahawa h = —– 20 x – —– 3x 5 , [2 markah] (ii) cari dimensi bekas itu supaya isi padunya adalah maksimum, [2 markah] (iii) seterusnya, cari isi padu maksimum bekas itu. [1 markah] (b) Jika air menitis ke dalam bekas (a) pada kadar tetap 21 cm3 s–1, cari kadar perubahan tinggi air di dalam bekas itu apabila h = 1 cm. [3 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (iii) (b) 09_1202 BS MT Tg5.indd 87 23/12/2021 3:55 PM
90 KERTAS 2 Masa: 2 jam 30 minit Bahagian A [50 markah] Jawab semua soalan. 1. Hasil tambah digit bagi satu nombor tiga digit ialah 16. Digit unit ialah 2 lebih daripada hasil tambah dua digit yang lain. Digit puluh ialah 5 lebih daripada digit ratus. Apakah nombor itu? [7 markah] 2. (a) Rajah 1 menunjukkan bentangan sebuah kotak terbuka. x cm x cm 5 cm (15 – 2x) cm Rajah 1 (i) Tunjukkan bahawa isi padu kotak itu, dalam cm3 , diberi oleh V = 75x – 10x2 . [2 markah] (ii) Seterusnya, cari nilai x, dalam cm, supaya isi padu kotak itu adalah maksimum. Nyatakan isi padu maksimum kotak itu. [3 markah] (b) Cari julat nilai x yang mungkin jika isi padu kotak adalah di antara 90 cm3 dan 125 cm3 . [2 markah] 3. Dalam Rajah 2, A, B dan C ialah bucu-bucu bagi segi tiga bersudut tegak. C x cm α G E B F D H A Rajah 2 Diberi bahawa ∠ACB = α dan BC = x cm. (a) Ungkapkan BD dan DE dalam sebutan x dan α. [2 markah] (b) Tunjukkan bahawa BD, DE dan EF membentuk tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri dan nyatakan nisbah sepunya. [3 markah] (c) Cari panjang HG dalam sebutan x dan α. [1 markah] (d) Diberi bahawa x = 8 cm dan α = 60°, cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri ini. [2 markah] 09_1202 BS MT Tg5.indd 90 23/12/2021 3:55 PM
93 Bahagian B [30 markah] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. 8. (a) (i) Cari had x → 3 3 + 2x – x2 ——–—— x – 3 . [1 markah] (ii) Diberi bahawa x = t + t 2 dan y = 2t + 1, dengan keadaan t . 0, cari dy —– dx dalam sebutan y dan seterusnya, cari perubahan hampir dalam y jika x berkurang daripada 2 kepada 1.98 apabila t = 1. [3 markah] (b) Rajah 4 menunjukkan suatu lengkung y = x(x – 3)2 yang bersilang dengan garis lurus y = 4x pada O, A dan B. y A O B y = x(x – 3)2 y = 4x x Rajah 4 (i) Cari koordinat titik A dan titik B. [2 markah] (ii) Hitung luas bagi rantau berlorek. [4 markah] 9. Dalam Rajah 5, O →P = 2x ~, O →Q = 3y ~ dan Q →R = x ~ – y ~ . Garis PQ dan OR bersilang di X. Q O R P X Rajah 5 Diberi P →X = hP →Q dan O →X = kO →R. (a) Ungkapkan P →X dalam sebutan h, x ~ dan y ~ . [2 markah] (b) Tunjukkan bahawa O →X = 2(1 – h)x ~ + 3hy ~ . [2 markah] (c) Cari nilai h dan nilai k. [3 markah] (d) Jika luas segi tiga QOX ialah 24 unit2 , cari luas segi tiga XOP. [3 markah] 09_1202 BS MT Tg5.indd 93 23/12/2021 3:55 PM
95 Bahagian C [20 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 12. (a) Dalam Rajah 7, ABC ialah sebuah segi tiga dengan keadaan AB = 13 cm, AC = 8.5 cm dan ∠ABC = 38°. B 13 cm 8.5 cm A C Rajah 7 Hitung (i) sudut BAC dengan keadaan ACB ialah sudut cakah, (ii) panjang BC. [4 markah] (b) Segi tiga baharu dibentuk dengan keadaan AB, AC dan saiz sudut ABC dikekalkan. (i) Lakarkan segi tiga baharu itu. [1 markah] (ii) Hitung luas segi tiga baharu itu. [3 markah] (iii) Seterusnya, cari jarak terpendek dari A ke BC. [2 markah] 13. Jadual 2 menunjukkan indeks harga, perubahan indeks harga dan kuantiti yang diperlukan bagi empat bahan, A, B, C dan D yang digunakan untuk membuat suatu produk. Bahan Indeks harga pada tahun 2019 berasaskan tahun 2015 Perubahan indeks harga dari tahun 2019 ke tahun 2020 Kuantiti (g) A 125 Menokok 20% 500 B 120 Menyusut 15% 200 C 90 Tidak berubah 200 D 150 Menokok 10% 100 Jadual 2 (a) Hitung (i) harga bagi 1 kg bahan A pada tahun 2015 jika harga pada tahun 2019 ialah RM15, (ii) indeks harga bagi bahan B pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015. [4 markah] (b) Hitung indeks gubahan bagi kos produk pada tahun 2020 berasaskan tahun 2019. [2 markah] (c) Jika kos produk pada tahun 2019 ialah RM50, cari kos sepadannya pada tahun 2020. [2 markah] (d) Indeks gubahan bagi kos menghasilkan produk tersebut dari tahun 2020 hingga tahun 2021 dijangka akan meningkat pada kadar yang sama dengan kadar kenaikan dari tahun 2015 ke tahun 2019. Cari indeks gubahan jangkaan bagi kos menghasilkan produk pada tahun 2021 berasaskan tahun 2015. [2 markah] 09_1202 BS MT Tg5.indd 95 23/12/2021 3:55 PM
98 Jawapan 10A_1202 BS MT Tg5.indd 98 10/01/2022 4:42 PM
99 BAB 1 Kertas 1 Bahagian A 1. jθ j j A O B θ P = 2j + jθ = 23.4 (a) 2j = 23.4 – 5.4 j = 9 cm (b) 9θ = 5.4 θ = 0.6 rad ∴ ∠AOB = 0.6 rad 2. K L O 11 cm θ (a) —1 2 (11)2 θ = 160 θ = 2.64 rad ∴ ∠KOL = 2.64 rad (b) j Lilitan, KL = 11(2.64) = 29.04 cm 2πj = 29.04 j = 4.62 cm 3. j cm O B θ rad A (a) sin —θ 2 = ——AB 2j 2j sin —θ 2 = AB (b) ∠AOB = 1.2 rad = 68.75° Beza = Panjang lengkok AB – Panjang perentas AB = 5(1.2) – 2(5) sin 34.38° = 0.353 cm 4. P A B Q O 30 cm 15 cm π rad 2 —3 (a) Perimeter = 15—2 3 π2 + 2(30) + 45—2 3 π2 = 185.66 cm (b) Luas kertas = —1 2 (45)2 1—2 3 π2 – —1 2 (15)2 1—2 3 π2 = 600π cm2 5. 15 cm 9 cm A B C O θ (a) ——OC OB = —3 5 OC = —3 5 × 15 = 9 cm AB2 = 152 + 152 – 2(15)2 kos θ kos θ = 152 + 152 – 102 ——————– 2(15)2 θ = 38° 57ʹ θ = 0.68 rad (b) AC2 = 152 + 92 – 2(15)(9) kos 38° 57ʹ AC = 9.8 cm Perimeter rantau berlorek = 6 + 15(0.68) + 9.8 = 26 cm 6. A B C O 12 cm (a) Luas ΔAOB = 72 —1 2 (12)AB = 72 AB = 12 cm ∠AOB = 45° = —π 4 rad (b) Luas sektor minor AOC = —1 2 (12)2 1 —π 4 2 = 18π cm2 7. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P R Q O ∠POQ = —1 3 × 360° = 120° ∠ROP = —2 3 × 30° + 30° = 50° Jumlah sudut = 170° = 2.97 rad 8. L 41.44° R O 18 cm (a) Panjang lengkok = 100 cm, j = 18 cm jθ = 100 θ = ——100 18 θ = 5.56 rad θ = 318.56° (b) OL = 18 kos 41.44° Tinggi dari PQ = 18 – 18 kos 41.44° = 4.51 cm 9. 60 saat = 33—1 3 putaran 1 saat = ——100 3 × —–1 60 = —5 9 putaran (a) —5 9 × 2π = —– 10 9 π radian per saat (b) j = 20 cm Laju = —– 10 9 π × 20 = 69.81 cm s–1 = 0.698 m s–1 10. 50 cm 24 cm C A B D O 5 —9 π rad (a) Luas yang dilalui oleh pengelap cermin = —1 2 (74)2 1 —5 9 π2 – —1 2 (24)2 1 —5 9 π2 = 4 276.06 cm2 (b) Perimeter kawasan yang dilalui oleh pengelap cermin = 241 —5 9 π2 + 2(50) + 741 —5 9 π2 = 271.04 cm 11. (a) Perimeter rantau berlorek = 101 —2 5 π2 + 10 sin 72° + (10 – 10 kos 72°) = 28.99 cm (b) Luas rantau berlorek = —1 2 (10)2 1 —2 5 π2 – —1 2 (10 kos 72°)(10 sin 72°) = 48.14 cm2 12. T U j rad π –– 6 O (a) Luas = 20 cm2 20 = —1 2 j 2 1 —π 6 2 – —1 2 j 2 sin 30° 20 = j 2 1 —– π 12 – ———– sin 30° 2 2 j 2 = ——————– 20 —– π 12 – ———– sin 30° 2 j = 41.17 cm (b) Panjang perentas UT = 2(41.17) sin 15° = 21.31 cm Perimeter tembereng = 21.31 + 41.171 —π 6 2 = 42.87 cm 10A_1202 BS MT Tg5.indd 99 10/01/2022 4:42 PM
100 13. O β β C B A j j (a) 20 = —1 2 j 2 β β = —– 40 j 2 (b) Perimeter rantau berlorek = 2j + jβ = 2j + j 1 —– 40 j 2 2 = 12j + —– 40 j 2 cm 14. P Q T O j —θ 2 (a) jθ = 5 j = —5 θ cm (b) OT = —6 θ kos —θ 2 = —5 θ ÷ —6 θ = —5 θ × —θ 6 = —5 6 θ = 67.11° θ = 1.17 rad Luas ∆POT = —1 2 j 1 —6 θ 2 sin 33.56° = —1 2 1 —5 θ 21 —6 θ 2 sin 33.56° = —1 2 1 ——5 1.17 21 ——6 1.17 2 sin 33.56° = 6.06 cm2 Luas rantau berlorek = 2(6.06) – —1 2 j 2 θ = 2(6.06) – —1 2 1 52 ——1.17 2 = 1.44 cm2 Bahagian B 15. A B O D 25 cm 32 cm 10 cm (a) OD = 32 + 10 – 25 = 17 cm 32 kos ——— ∠AOB 2 = 17 ——— ∠AOB 2 = 57.91° ∠AOB = 115.82° ∠AOB = 2.02 rad (b) Luas tembereng = 1 —2 (32)2 (2.02) – 1 —2 (32)2 sin 115.82° = 573.35 cm2 Luas segi empat tepat AOB = 25(32 sin 57.91°) = 677.77 cm2 Luas = 677.77 – 573.35 = 104.42 cm2 16. 5 cm 9 cm O A (a) Lilitan gear kecil = 2π(5) = 10π cm 10π = 9θ θ = —– 10 9 π rad (b) Lilitan gear besar = 2π(9) = 18π cm Bilangan putaran = ——18π 10π = 1.8 putaran 17. θ j cm —1 2 j 2 θ = 5 .................1 2j + jθ = 9 .................2 jθ = 9 – 2j ..........3 Daripada 1, —1 2 j(9 – 2j) = 5 9j – 2j 2 = 10 2j 2 – 9j + 10 = 0 (2j – 5)(j – 2) = 0 j = —5 2 atau j = 2 —1 2 1 —5 2 2 2 θ = 5 atau —1 2 (2)2 θ = 5 θ = —8 5 rad θ = —5 2 rad 18. AC = 2j sin θ Luas = —π 2 (j sin θ) 2 – 3 —1 2 j 2 (2θ) – —1 2 j 2 sin 2θ4 = —1 2 j 2 (π sin2 θ – 2θ + sin 2θ) 19. θ 3 cm 4.4 cm O P Q (a) sin —θ 2 = ——2.2 3 —θ 2 = 47° 10’ θ = 94.33° θ = 1.65 rad (b) Luas tembereng = —1 2 (3)2 (1.65) – —1 2 (3)2 sin 94.33° = 2.94 cm2 20. B A P Q O j 4 cm 5.6 cm 4 cm θ (a) jθ = 4 (j + 4)θ = 5.6 4 + 4θ = 5.6 4θ = 1.6 θ = 0.4 rad j = OP = ——4 0.4 = 10 cm (b) ∠POQ = 0.4 rad (c) Luas ABQP = —1 2 (14)2 (0.4) – —1 2 (10)2 (0.4) = 19.2 cm2 21. P Q S R T O 6 cm 6 cm 6 cm 9 cm (a) sin ——— ∠SOR 2 = —– 4.5 6 ——— ∠SOR 2 = 48.59° ∠SOR = 97.18° ∠SOR = 1.7 rad (b) Luas tembereng STR = —1 2 (6)2 (1.7) – —1 2 (6)2 sin 97.18° = 12.74 cm2 22. M P Q N 6 cm O 120° 60° 60° rad —π – 3 (a) Panjang lengkok PQ = π(6) – Panjang lengkok MP – Panjang lengkok QN = 6π – 61—π 3 2 – 61—π 3 2 = 2π cm (b) Perimeter rantau berlorek = 12 + 61—π 3 2 + 61—π 3 2 + 2(6 kos 60°) = 12 + 4π + 121 —1 2 2 = 18 + 4π = 30.57 cm Kertas 2 Bahagian A 1. (a) Lilitan = 2πj (2π – 1.2)(25) = 2πj j = (2π – 1.2)(25) —————— 2π j = 2.02 cm 10A_1202 BS MT Tg5.indd 100 10/01/2022 4:42 PM
101 (b) 25 cm α j sin —α 2 = ——– 2.02 25 —α 2 = 4° 38ʹ α = 9° 16ʹ 2. A P O 10 cm θ rad (a) 10θ = 3 θ = —–3 10 θ = 0.3 rad s–1 (b) Luas sektor AOP = —1 2 j 2 θ = 50θ = 501 —–3 10 2 = 15 cm2 s–1 3. sin θ = —–5 15 θ = 19° 28ʹ ∠AOB = 360° – 2(19° 28ʹ) = 321.07° = 5.6 rad C D O A B θ 2.5 cm 15 cm 5 cm 5 cm (a) Panjang lengkok ACB = 15(5.6) = 84 cm (b) Luas tembereng = ———– 38° 56ʹ 360° × π(15)2 – —1 2 (15)2 sin 38° 56ʹ = 5.75 cm2 Luas rantau berlorek = π(15)2 – 5.75 – —π 2 (5)2 + π(2.5)2 = 681.47 cm2 4. (a) h = 6 sin 30° = 3 cm sin 60° = —–3 BC BC = 3.46 cm BE = 1.73 cm A h D B C E 5 cm 12 cm 6 cm 1.73 cm 3 cm rad —π – 6 rad — π – 3 Perimeter rantau berlorek = 61—π 6 2 + 5 + 1.73 + 1.731—π 3 2 + (6 – 1.73) = 15.95 cm (b) Luas rantau berlorek = —1 2 (5 + 12)(3) – —1 2 (6)2 1—π 6 2 – —1 2 (1.73)2 1—π 3 2 = 14.51 cm2 5. 6 cm A O D C E B (a) Luas = 48 cm2 6(AB) = 48 AB = 8 cm tan ∠AOB = —8 6 ∠AOB = 53.13° ∠AOB = 0.93 rad (b) ∠EOD = 90° – 53.13° = 36.87° Luas sektor EOD = ——— 36.87° 360° × π(6)2 = 11.58 cm2 6. — 1 2 j cm — 2 3 π rad j cm P Q O (a) Panjang perentas PQ = 2ABBBBBB j 2 – —1 4 j 2 = 2ABBB —3 4 j 2 = 2AB3 ——2 j = AB3j cm (b) Luas bulatan = πj 2 Luas di bawah air = πj 2 – Luas tembereng = πj 2 – 3—1 2 j 2 θ – —1 2 j 2 sin 120°4 = πj 2 – 3—1 2 j 2 1—2 3 π2 – —1 2 j 2 1 AB3 —–2 24 = 2πj 2 —–—3 + AB3 —–4 j 2 Jika j = 25 cm, Luas di bawah air = 1 579.63 cm2 7. h cm O T Q P rad rad A θ 2θ (a) (i) OP = 2h kos θ (ii) TQ = 2h kos θ – h (b) Perimeter rantau berlorek = (2h kos θ – h)(2θ) + (2h kos θ)θ + (h – (2h kosθ – h)) = 4θh kos θ – 2θh + 2θh kos θ + 2h – 2h kos θ = 6θh kos θ – 2θh + 2h – 2h kos θ = h(6θ kos θ – 2θ + 2 – 2 kos θ) Jika θ = —π 6 , Perimeter rantau berlorek = h361—π 6 2 kos 30° – 21—π 6 2 + 2 – 2 kos 30°4 = h(1.94) = 1.94h cm 8. 8 cm —π – 6 rad N j M Q P O 3 cm (a) j1—π 6 2 = 3 j = —– 18 π cm OM1—π 6 2 = 8 OM = —– 48 π OM = 15.28 cm NM = —– 48 π – —– 18 π = 9.55 cm (b) MQ = 2(OM sin 15°) = 2(15.38) sin 15° = 29.52 cm Perimeter rantau berlorek = 29.52 + 9.55 × 2 + 3 = 51.62 cm (c) Luas MOQ = —1 2 (15.28)2 sin 30° = 58.37 cm2 Luas rantau berlorek = 58.37 – —1 2 1—– 18 π 2 2 1—π 6 2 = 49.78 cm2 9. 60° 60° B a a A O P a (a) kos 30° = —1 2 a ——OP OP1 AB3 —–2 2 = —1 2 a OP = —–a AB3 OP = OA Panjang lengkok AB berpusat O = 1 —–a AB3 21—– 2π 3 2 = 2πa –—–– 3AB3 × AB3 ––– AB3 = —–—– 2AB3πa 9 10A_1202 BS MT Tg5.indd 101 10/01/2022 4:42 PM
132 Apabila t = —5 3 , v = 21 —5 3 2110 – 31 —5 3 22 v = —– 50 3 Maka, halaju maksimum zarah ialah —– 50 3 m s–1. (b) s = ∫ v dt s = ∫ (20t – 6t 2 ) dt s = 10t 2 – 2t 3 + c Apabila t = 0, s = 0 10(0)2 – 2(0)3 + c = 0 c = 0 Oleh itu, s = 10t 2 – 2t 3 . Apabila t = 2, s2 = 10(2)2 – 2(2)3 s2 = 24 Apabila t = 3, s3 = 10(3)2 – 2(3)3 s3 = 36 Jumlah jarak yang dilalui = s3 – s2 = 36 – 24 = 12 m (c) Apabila zarah melalui titik P, s = 0 10t 2 – 2t 3 = 0 2t 2 (5 – t) = 0 t = 0 atau t = 5 Maka, t = 5 s. (d) Apabila zarah bertukar arah pergerakannya, v = 0 2t(10 – 3t) = 0 t = 0 atau t = —– 10 3 Maka, t = —– 10 3 s. PENTAKSIRAN SPM Kertas 1 Bahagian A 1. (a) 0 < x < 2 (b) f : (x, y) → (x – y, x + 2y) f : (2, 3) → (–1, 8) f : (–1, 8) → (–9, 15) ∴ B(–1, 8), C(–9, 15) (c) f(x) = 3 – 4x Katakan y = 3 – 4x = –3 6 = 4x x = —3 2 ∴ f –1(–3) = —3 2 2. (a) y = f(x) + 1 –2 < y < 3 –2 < f(x) + 1 < 3 –3 < f(x) < 2 y x 0 1 3 y = f(x) y = x y = f –1(x) 2 1 2 3 4 (b) f(x) = x + 2 gf(x) = x2 + 4x + 2 gf(x) = g(x + 2) Katakan y = x + 2 x = y – 2 g(y) = (y – 2)2 + 4(y – 2) + 2 = y2 – 4y + 4 + 4y – 8 + 2 = y2 – 2 (i) g(x) = x2 – 2 g(2) = 22 – 2 = 2 (ii) fg(x) = 9 f(x2 – 2) = 9 x2 – 2 + 2 = 9 x2 = 9 x = ±3 3. (a) x2 + 3 = t(x + 1) x2 – tx + 3 – t = 0 b2 – 4ac , 0 (–t)2 – 4(1)(3 – t) , 0 t 2 + 4t – 12 , 0 (t – 2)(t + 6) , 0 –6 , t , 2 (b) y2 = 2x y = mx + c (mx + c)2 = 2x m2 x2 + 2mcx + c2 – 2x = 0 m2 x2 + (2mc – 2)x + c2 = 0 b2 – 4ac = 0 (2mc – 2)2 – 4m2 c2 = 0 4m2 c2 – 8mc + 4 – 4m2 c2 = 0 –8mc = –4 m = —–– –4 –8c m = —–1 2c 4. (a) h(t) = 20t – 5t 2 = 5t(4 – t) h(t) 20 h(t) = 20t – 5t 2 0 t 4 Apabila t = 2, h(2) = 20(2) – 5(2)2 = 20 0 < h(t) < 20 (b) (α + 1) + (β + 1) = —5 2 α + β = —5 2 – 2 = —1 2 (α + 1)(β + 1) = –1 αβ + (α + β) + 1 = –1 αβ = –1 – 1 – —1 2 = – —5 2 Jika —1 α dan —1 β adalah punca-punca, —1 α + —1 β = α + β ——–– αβ = —1 2 —— – —5 2 = – —1 5 —–1 αβ = ——– 1 – —5 2 = – —2 5 Maka, persamaan ialah x2 + —1 5 x – —2 5 = 0 5x2 + x – 2 = 0 5. (a) Titik tengah AC = (3, 1) A(1, 4) y O C(5, –2) B(–3, 0) D(h, k) x ——– h – 3 2 = 3 h = 9 ——– k + 0 2 = 1 k = 2 ∴ h = 9, k = 2 (b) mPC = 2 – (–2) ———– 9 – 5 = —4 4 = 1 Kecerunan dengan DC = –1 Maka, persamaan ialah y – 4 = –(x – 1) y = –x + 5 6. (a) 22x + 2 + 1 = 5(2x ) 22x ⋅ 22 + 1 – 5(2x ) = 0 22 ⋅ 22x – 5(2x ) + 1 = 0 4(22x ) – 5(2x ) + 1 = 0 (4(2x ) – 1)(2x – 1) = 0 4(2x ) = 1 atau 2x = 20 2x = 2–2 x = 0 x = –2 (b) (i) log4 ABBxy = —1 2 1 log2 xy ——–– log2 4 2 = —1 4 (log2 x + log2 y) = —1 4 (p + q) (ii) log8 16y ——x2 = log2 16y ——x2 ———— 3 = —1 3 (log2 16 + log2 y – 2 log2 x) = —1 3 (4 + q – 2p) 7. (a) M = M0 e–0.2t M = —1 2 M0 —1 2 M0 = M0 e–0.2t –0.2t ln e = ln 0.5 t = ——— ln 0.5 –0.2 t = 3.47 tahun (b) 36 + 4AB6 ———— AB6 + 2 × AB6 – 2 ——— AB6 – 2 = 36AB6 – 72 + 24 – 8AB6 ————————— 2 = 28AB6 – 48 ——–—— 2 = 14AB6 – 24 10B_1202 BS MT Tg5.indd 132 23/12/2021 8:14 AM
134 Apabila h = 1, —– 20 x – —– 3x 5 = 1 100 – 3x2 = 5x 3x2 + 5x – 100 = 0 (3x + 20)(x – 5) = 0 x = 5 —– dV dh = 1120 – 54(5)2 —–––– 5 2 1 ————–– 1 – 20 —– 52 – —3 5 2 = –1501– —5 7 2 = 107.14 —– dV dt = 107.141—– dh dt 2 Diberi —– dV dt = 21 cm3 s–1 21 = 107.141—– dh dt 2 —– dh dt = 0.196 cm s–1 14. (a) BC = 10 sin θ AB = 10 kos θ (i) Luas, L = —1 2 (10) sin θ (10 kos θ) = 50 sin θ kos θ = (25 sin 2θ) cm2 (ii) 25 sin 2θ = 25AB3 ——– 2 sin 2θ = AB3 —–2 2 1 2θ fiff3 2θ = 60°, 120° θ = 30°, 60° θ = —π 6 rad, —π 3 rad (b) 2x2 – x – 3 = 0 (2x – 3)(x + 1) = 0 x = —3 2 atau x = –1 tan A = —3 2 , tan B = –1 Hasil tambah punca: tan A + tan B = —1 2 Hasil darab punca: tan A tan B = – —3 2 (i) tan (A + B) = tan A + tan B —————— 1 – tan A tan B = —1 2 ————– 1 – 1– —3 2 2 = —1 2 —— —5 2 = —1 5 (ii) tan 2A = ———— 2 tan A 1 – tan2 A = 21 —3 2 2 ———— 1 – 1 —3 2 2 2 = ———3 1 – —9 4 = – —– 12 5 15. P(rosak) = p —– 10 , n = 5 (a) P(X = 0) = 0.1681 5 C0 1 p —– 10 2 0 1 q —– 10 2 5 = 0.1681 q —– 10 = 0.7 q = 7 Maka, p = 3 (b) 7 biji mentol baik, 3 biji mentol rosak Jika 3 biji mentol yang rosak disusun bersama, bilangan cara = —– 8! 7! = 8 (c) p + q + 0.2 + 2p + q = 1 3p + 2q = 0.8 ........... P(X < 2) = p + q = 0.55 – 0.2.....2 2p + 2q = 0.7................3 – 3: p = 0.1 q = 0.35 – 0.1 = 0.25 Kertas 2 Bahagian A 1. x y z x + y + z = 16 ................................. z – 2 = x + y x + y – z = –2 .................................2 y – 5 = x y – x = 5 ...................................3 + 2: 2x + 2y = 14 x + y = 7 ......................4 –x + y = 5.......................................5 4 + 5: 2y = 12 y = 6 x = 1 1 + 6 + z = 16 z = 9 Maka, nombor itu ialah 169. 2. (a) (i) V = 5(15 – 2x)(x) V = 75x – 10x2 (ii) —– dV dx = 75 – 20x = 0 x = —– 75 20 x = —– 15 4 Apabila x = —– 15 4 , V = 751 —– 15 4 2 – 101 —– 15 4 2 2 V = 140—5 8 cm3 (b) 90 , 75x – 10x2 , 140 10x2 – 75x + 90 , 0 2x2 – 15x + 18 , 0 (2x – 3)(x – 6) , 0 —3 2 < x , 6 75x – 10x2 , 125 10x2 – 75x + 125 . 0 2x2 – 15x + 25 . 0 (2x – 5)(x – 5) . 0 —3 2 , x , —5 2 dan 5 , x , 6 3. (a) BD = x sin α DE = DB sin α = (x sin α)(sin α) = x sin2 α (b) EF = DE sin α = x sin3 α ∴ x sin α, x sin2 α, x sin3 α r = x sin2 ———–α x sin α = sin α r = x sin3 ———–α x sin2 α = sin α (c) T5 = HG = x sin5 α (d) S∞ = ——– a 1 – r = ———— x sin α 1 – sin α Jika x = 8, α = 60° S∞ = ————– 8 sin 60° 1 – sin 60° S∞ = ——8AB3 2 ———– 1 – —– AB3 2 S∞ = 8AB3(2 + AB3) ——————— (2 – AB3)(2 + AB3) S∞ = 24 + 16AB3 4. (a) y = abx – 2 log10 y = log10 a + (x – 2) log10 b Y = log10 y, X = x – 2, m = log10 b, c = log10 a (b) x – 2 –2 –1 1 3 4 5 log10 y –0.9 –0.6 0 0.6 0.9 1.2 log10 y –2 –1 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 –0.4 –0.6 –0.8 0 1 2 3 4 5 (x – 2) (c) Daripada graf, m = —– 0.9 3 = 0.3 log10 b = 0.3 b = 2 log10 a = c = –0.3 a = 0.5 ∴ a = 0.5, b = 2 5. (a) —1 2 (3 – kos 2x) = —1 2 (3 – (1 – 2 sin2 x)) = —1 2 (2 + 2 sin2 x) = 1 + sin2 x = kos2 x + sin2 x + sin2 x = kos2 x + 2 sin2 x 10B_1202 BS MT Tg5.indd 134 23/12/2021 8:14 AM