Mesti Tahu iii – x Bab 1 Fungsi 1 – 11 NOTA 1 Kertas 1 2 Kertas 2 9 Bab 2 Fungsi Kuadratik 12 – 21 NOTA 12 Kertas 1 14 Kertas 2 19 Bab 3 Sistem Persamaan 22 – 26 NOTA 22 Kertas 2 23 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 27 – 38 NOTA 27 Kertas 1 28 Kertas 2 37 Bab 5 Janjang 39 – 48 NOTA 39 Kertas 1 40 Kertas 2 47 Bab 6 Hukum Linear 49 – 55 NOTA 49 Kertas 1 49 Kertas 2 54 Bab 7 Geometri Koordinat 56 – 64 NOTA 56 Kertas 1 57 Kertas 2 61 Bab 8 Vektor 65 – 76 NOTA 65 Kertas 1 66 Kertas 2 74 Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 77 – 82 NOTA 77 Kertas 2 78 Bab 10 Nombor Indeks 83 – 88 NOTA 83 Kertas 2 83 Pentaksiran Tingkatan 4 89 – 97 Jawapan 98 – 142 ii Kandungan
Fakta Penting (Bab 1) 1 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 7 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 1) 3 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 9 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 1) 5 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fakta Penting (Bab 2) 11 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Fungsi Gubahan dan Fungsi Songsang Fungsi Mengenal Pasti Fungsi MESTI TAHU Fakta Penting 1. Fungsi: 2. 4 jenis hubungan: Domain = {a, b, c} Kodomain = {1, 2, 3} Objek = a, b, c Imej = 1, 2, 3 Julat = {1, 3} Fungsi Bukan fungsi Garis mencancang menyilang graf pada dua titik Bukan fungsi Fungsi Satu kepada satu Satu kepada banyak Banyak kepada satu Banyak kepada banyak Bentuk Fungsi Kuadratik 1. Bentuk am f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, b dan c ialah pemalar 2. Bentuk verteks f(x) = a(x – h)2 + k, a ≠ 0, h dan k ialah pemalar 3. Bentuk pintasan f(x) = a(x – p)(x – q), a ≠ 0, p dan q ialah pemalar f(x) = a(x – h)2 + k f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a(x – p)(x – q) Kembangan Pemfaktoran atau rumus Penyempurnaan kuasa dua Kembangan 1. Jika f : x → y, maka f(x) = y. 2. Dengan menggunakan ujian garis mencancang: Jika sebarang garis mencancang menyilang graf f(x) tidak lebih daripada satu titik, maka ia adalah fungsi. Fungsi Bukan fungsi 1. Fungsi gubahan: f f –1 g–1 f –1g –1 = (gf ) –1 g gf ● f(x) ● x ● g[f(x)] 2. Ciri-ciri fungsi songsang: (a) Hanya fungsi satu kepada satu mempunyai fungsi songsang. (b) Jika (a, b) ialah titik pada graf f(x), maka (b, a) ialah titik sepadan pada graf f –1(x). gf(x) ≠ fg(x) f 2 (x) = ff(x) f 3 (x) = fff(x) = f 2 f(x) = ff 2 (x) Jenis Punca Persamaan Kuadratik Jenis punca bergantung kepada nilai pembezalayan, D = b2 – 4ac Pembezalayan D = b2 – 4ac a . 0 a , 0 D . 0 Nyata dan berbeza y x y x D = 0 Nyata dan sama y x y x D , 0 Tidak nyata y x y x a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 x y x y x y y = x f –1(x) f(x) x y Menyelesaikan Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 1. Tiga cara menyelesaikan persamaan kuadratik: (a) Pemfaktoran (Gunakan prinsip “Jika pq = 0, maka p = 0 atau q = 0”) (b) Penyempurnaan kuasa dua (c) Rumus x = –b ± ABBBBBB b2 – 4ac 2a 2. Persamaan boleh diperoleh jika punca-punca diberi: x2 – (Hasil tambah punca)x + (Hasil darab punca) = 0 3. Tiga cara menyelesaikan ketaksamaan kuadratik: (a) Lakaran graf (b) Garis nombor (c) Jadual y y = f(x) = (x + 2)(x – 4) y > 0 y > 0 x < –2 x > 4 –2< x < 4 y < 0 –2 0 4 x
Kesalahan Umum (Bab 2) 8 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 1) 2 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 2) 10 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 1) 4 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 2) 12 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Kesalahan Umum (Bab 1) 6 @ Pan Asia Publications Sdn. Bhd. Bentuk Verteks Persamaan Kuadratik Punca Persamaan Kuadratik Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Gunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua untuk menyelesaikan 2x2 + 5x + 1 = 0. Betul Salah 2x2 + 5x + 1 = 0 21x2 + 5 2 x2 + 1 = 0 231x + 5 4 2 2 – 25 16 4 + 1 = 0 21x + 5 4 2 2 – 25 8 + 1 = 0 21x + 5 4 2 2 = 17 8 1x + 5 4 2 2 = 17 16 x = – 5 4 ± ABBB17 16 = –0.219, –2.281 2x2 + 5x + 1 = 0 12x + 5 2 2 2 + 1 = 0 Betul Salah f(x) = 2x2 + 4x – 3 = 21x2 + 2x – 3 2 2 = 21(x + 1)2 – 1 – 3 2 2 = 2(x + 1)2 – 5 f(x) = 2x2 + 4x – 3 = (2x + 2)2 – 4 – 3 = (2x + 2)2 – 7 Catatan: (2x + 2)2 ≠ 2x2 + 4x + 4 Koordinat titik minimum ialah (–1, –5). Catatan: Verteks bagi f(x) = a(x – h) 2 + k ialah (h, k). Koordinat titik minimum ialah (1, –5). Betul Salah Hasil tambah punca = – 1 2 Hasil darab punca = – 6 2 = –3 Hasil tambah punca = 1 atau –1 Hasil darab punca = –6 Catatan: Untuk ax2 + bx + c = 0: Hasil tambah punca = – b a Hasil darab punca = c a Betul Salah fg(x) = 2x – 9 Katakan y = 2x – 9 maka x = y + 9 2 (fg)–1(y) = y + 9 2 (fg)–1(x) = x + 9 2 (fg)–1(x) = f –1 g–1(x) = f –1(x + 5) = (x + 5) – 1 2 = x + 4 2 Betul Salah fg(x) = f(x – 5) = 2(x – 5) + 1 = 2x – 10 + 1 = 2x – 9 fg(x) = g(2x + 1) = 2x + 1 – 5 = 2x – 4 Lengkapkan kuasa dua bagi f(x) = 2x2 + 4x – 3. Seterusnya, cari koordinat bagi titik minimum. MESTI TAHU Kesalahan Umum Catatan: Apabila 12x + 5 2 2 2 dikembangkan, ia menjadi 4x2 + 10x + 25 4 . Fungsi Rajah menunjukkan fungsi f memetakan set A kepada set B dan g memetakan set B kepada set C. Cari g(x). Betul Salah g(x + 2) = 5x + 4 Katakan y = x + 2 Maka, x = y − 2 g(y) = 5(y – 2) + 4 = 5y – 10 + 4 = 5y – 6 ∴ g(x) = 5x – 6 g(x + 2) = 5x + 4 g(y) = 5y + 4 Fungsi Gubahan Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x – 5, cari fg(x). Tentukan hasil tambah punca dan hasil darab punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + x – 6 = 0. Catatan: (fg)–1(x) ≠ f –1 g–1(x) (fg)–1(x) = g–1 f –1(x) fg(x) ≠ gf(x) Fungsi Songsang Jika f –1(x) = x – 1 2 , g–1(x) = x + 5 dan fg(x) = 2x – 9, cari (fg)–1 (x). x f g x + 2 5x + 4 Gantikan g(x) dahulu diikuti oleh f(x). Jangan gantikan f(x) dahulu. A B C
NOTA 1 Bab 1 Fungsi 1.1 Fungsi 1. Fungsi ialah hubungan di antara dua set, domain dan kodomain. 2. Unsur dalam domain disebut sebagai objek dan unsur dalam kodomain disebut sebagai imej. 3. Rajah menunjukkan suatu fungsi yang menghubungkan set X kepada set Y yang diwakili dalam rajah anak panah. Set X Set Y Fungsi a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 Fungsi itu ditulis sebagai f : x → y atau f(x) = y. Maka, objek = {a, b, c} imej = {1, 2, 3} 4. Terdapat empat jenis hubungan: (a) Satu kepada satu (b) Banyak kepada satu a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 (c) Satu kepada banyak (d) Banyak kepada banyak a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 a ● ● 1 b ● ● 2 c ● ● 3 5. Fungsi ialah hubungan khas dengan keadaan: (a) Setiap unsur dalam domain mesti dipetakan kepada satu unsur dalam kodomain. (b) Lebih dari satu unsur dalam domain dipetakan kepada satu unsur dalam kodomain. 6. Suatu fungsi memetakan kepada diri sendiri jika f : x → x atau f(x) = x 7. Perwakilan hubungan: (a) Rajah anak panah (b) Graf p ● ● 4 q ● ● 6 r ● ● 8 p q r x y 2 4 6 8 (c) Pasangan bertertib (p, 6), (q, 4), (r, 8) 8. Suatu fungsi adalah tidak tertakrif jika wujud keadaan di mana fungsi itu ialah pecahan dan penyebutnya ialah sifar. Contohnya, f : x → x 2x – 1 jika x = 1 2 , maka f(x) = 1 2 21 1 2 2 – 1 = 1 2 0 , tiada penyelesaian 9. Ujian garis mencancang: Jika suatu garis lurus mencancang adalah selari dengan paksi-y dan menyilang graf pada lebih daripada satu titik, maka ungkapan algebra itu bukan suatu fungsi. Sekiranya garis tersebut menyilang hanya pada satu titik, maka ungkapan itu ialah suatu fungsi. x f y 0 Ujian garis mencancang 10. Fungsi mutlak ialah fungsi yang hanya bernilai positif. f(x) = |x| = x, jika x > 0 –x, jika x , 0 x f(x) f(x) = |x| f(x) = x Graf f(x) sentiasa positif 11. Fungsi diskret ialah suatu fungsi di mana titik pada graf adalah nyata, terpisah dan tidak disambungkan oleh garis lurus atau lengkung. x f(x) 0 1 1 2 3 –1 2 3 Domain = {−1, 1, 2, 3} Kodomain = {1, 2, 3} Julat = {1, 2, 3}
22 2 TIP SOS Soalan 1(a): Tulis f(x) = ax + b, kemudian cari a dan b. 12. Fungsi selanjar ialah suatu fungsi di mana titiktitik pada graf disambungkan oleh garis lurus atau lengkung dalam selang yang diberi. x f(x) 0 3 4 2 4 Domain f ialah 0 < x < 4 Kodomain f ialah 0 < f(x) < 4 Julat f ialah 0 < f(x) < 4 1.2 Fungsi Gubahan 1. Fungsi gubahan: y = f(x) z = g(f(x)) gf A x B f g C 2. Jika fungsi f memetakan x kepada y, ditulis sebagai f(x) = y dan fungsi g memetakan y kepada z, ditulis sebagai g(y) = z, maka gf(x) memetakan x kepada z dan ditulis sebagai gf(x) = z. 3. gf(x) ≠ fg(x) 4. f 3 (x) = fff(x) = ff 2 (x) = f 2 f(x) 1.3 Fungsi Songsang 1. Fungsi songsang memetakan suatu imej kepada objeknya. x ● f f –1 ● y Jika f(x) = y, maka f –1(y) = x 2. Ciri-ciri fungsi songsang: (a) Suatu fungsi f yang memetakan set A kepada set B mempunyai fungsi songsang f –1 jika f ialah fungsi satu kepada satu. (b) fg(x) = x di mana x dalam domain g dan gf(x) = x di mana x dalam domain f. (c) Jika dua fungsi, f dan g ialah fungsi songsang antara satu sama lain, maka (i) domain f = julat g, (ii) domain g = julat f, (iii) graf g adalah pantulan graf f. (d) Bagi mana-mana nombor nyata, a dan b, jika titik (a, b) berada pada graf f, maka titik (b, a) berada pada graf g. 3. Ujian garis mengufuk: Jika suatu garis lurus mengufuk menyilang graf pada satu titik sahaja, maka fungsi itu adalah fungsi satu kepada satu dan mempunyai fungsi songsang. x f(x) f 0 Ujian garis mengufuk 1. Rajah menunjukkan hubungan di antara set A dan set B. p ● f ● q 6 ● ● 13 8 ● ● 17 A B Nyatakan (a) fungsi f(p), [2 markah] (b) q dalam sebutan p. [3 markah] Bahagian A KERTAS 1 Jawapan: (a) (b) KLON SPM
5 5TIP SOS Soalan 11(a)(iii): 0 < f(x) < 1 adalah sama dengan 0 < |3 – 1 2 x| < 1. Soalan 12: (a) Lakarkan graf y = 2x – 1. Kemudian, pantulkan bahagian graf di bawah paksi-x pada paksi-x. (b) Selepas mencari ungkapan bagi ff(x) dan fff(x), semak corak yang terbentuk. Bahagian B 11. (a) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi f : x → |3 – 1 2 x| untuk domain –2 < x < 9. x 0 (–2, 4) 1 4 9 f(x) Nyatakan (i) objek bagi 4, [1 markah] (ii) imej bagi 1, [1 markah] (iii) domain bagi 0 < f(x) < 1. [2 markah] (b) Rajah menunjukkan suatu fungsi songsang dengan keadaan x ≠ –q. x g–1 1 – 2 3 p –––– q + x –4 –2 Cari (i) nilai p dan q, [1 markah] (ii) g(x) dengan nilai p dan q dari (i), [2 markah] (iii) nilai x jika g(x) = 8. [1 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) (iii) 12. (a) Lakarkan graf f(x) = |2x – 1| untuk –1 < x < 2. [3 markah] (b) Diberi f : x → 2x. (i) Cari (a) f 2 , (b) f 3 . [2 markah] (ii) Seterusnya, cari ungkapan f n , dalam sebutan n dengan keadaan n = 1, 2, 3,… [1 markah] (iii) Cari nilai x jika f 5 (x) = 16. [2 markah] Jawapan: (a) (b) (i) (a) (b) (ii) (iii) KLON SPM
9 9TIP SOS Soalan 2(a)(ii): Untuk mencari g–1(x), katakan y = x + 1 x – 2 . Soalan 7(b): Cari h–1(x) kemudian selesaikan h–1(x) = h(x) untuk mencari nilai x yang diberi iaitu 3. Bahagian A KERTAS 2 1. Diberi dua fungsi yang ditakrifkan oleh f : x → 3 4 x + 1 2 dan g : x → 5 4 – 2 3 x. (a) Adakah f(2) + f(3) = f(2 + 3)? Jelaskan jawapan anda. [2 markah] (b) Adakah g(4) − g(2) = g(4 − 2)? Tunjukkan jalan kerja anda. [2 markah] (c) Cari nilai k jika f(2k) = 6g(k). [2 markah] (d) Cari nilai k jika f(k) + g(k) = 5. [2 markah] 2. Fungsi g ditakrifkan oleh g : x → x + 1 x – 2 , x ≠ 2. (a) Cari (i) g2 , [2 markah] (ii) g−1. [2 markah] (b) Fungsi h yang ditakrifkan oleh h : x → ax + 1 x , x ≠ 0 diberi oleh hg–1(4) = 6. Cari nilai a. [2 markah] 3. Diberi g : x → x2 + 5, cari (a) ungkapan bagi setiap yang berikut. (i) g(a + 1), [1 markah] (ii) g(a2 ), [2 markah] (iii) g(2b – 1) – g(b). [2 markah] (b) nilai x yang mungkin jika g(x) = 5x – 1. [2 markah] 4. Rajah menunjukkan sebahagian pemetaan bagi fungsi f : x → ax2 + b dengan keadaan a dan b ialah pemalar. x f ax 2 + b 3 –2 –10 10 (a) Cari nilai a dan b. [2 markah] (b) Diberi pemetaan bermula dari x = 1 2 , ke manakah arah anak panah itu? [2 markah] (c) Cari nilai x yang lain supaya fungsi f akan memetakan kepada −10. [2 markah] 5. Rajah menunjukkan graf f : x → 2x + 3 untuk –1 < x < 3. x 0 2 –2 2 4 6 8 10 –2 4 6 8 10 f(x) f(x) = 2x + 3 (a) Cari f –1(x). [1 markah] (b) Berdasarkan (a), cari koordinat yang sepadan dengan koordinat (1, 5). [1 markah] (c) Pada paksi yang sama, lakarkan graf f –1(x) dan nyatakan domain. [3 markah] (d) Kemudian, lukis garis simetri bagi f dan f –1. [2 markah] 6. (a) Fungsi f dan g ditakrifkan oleh f : x → 3x – a dan g : x → b x , x ≠ 0 dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Diberi bahawa f 2 (2) = 0 dan fg(2) = 16, cari nilai a dan b. [4 markah] (b) Seterusnya, cari nilai g2 f(x). [3 markah] 7. (a) Fungsi g ditakrifkan oleh g : x → 8 – 3x. Cari (i) ungkapan bagi g–1 dan g2 , (ii) nilai x jika g–1(x) = g2 (x). [4 markah] (b) Fungsi h ditakrifkan oleh h : x → ax + b, a ≠ –1 untuk domain 0 < x < 5. Diberi bahawa graf y = h(x) melalui titik (8, 5) dan graf y = h(x) dan y = h−1(x) menyilang pada suatu titik dengan koordinat-x ialah 3. Cari nilai a dan b. [3 markah] KBAT Menganalisis
1010 10TIP SOS Soalan 12: (a) V(t) = t 2 + 1, t(r) = 1 2 r + 4. Maka, Vt(r) akan mengungkapkan V dalam sebutan r. (b) Cari V apabila t = 6.5. Cari r apabila t = 6.5. Bahagian B 8. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 1 2 x2 + x – 12. KBAT Menganalisis (a) Cari, dalam bentuk serupa, (i) f(x + a), (ii) f(x + a) – f(x) a . [4 markah] (b) Seterusnya, cari nilai bagi f(x + a) – f(x) a jika x = 0.1 apabila a = 2. [3 markah] 9. Sebuah keretapi bergerak pada garis lurus. Pecutannya, a m s−2, bergantung kepada masa, t, dalam saat, dan diberi oleh a(t) = pt + q dengan keadaan p dan q ialah pemalar. (a) Diberi bahawa apabila masa t = 0 s, pecutannya ialah −5 m s−2 dan apabila masa t = 4 s, pecutannya ialah 15 m s−2. Cari nilai p dan q. [4 markah] (b) Cari masa apabila pecutan ialah 25 m s−2. [3 markah] 10. Kos perbelanjaan, RMC, bagi jamuan tahunan sebuah syarikat bergantung kepada bilangan pekerja di syarikat itu. Pada suatu tahun tertentu, bilangan pekerja ialah x dan perbelanjaan setiap orang untuk jamuan itu ialah RM(x + p). (a) Ungkapkan jumlah perbelanjaan pada tahun itu, dalam sebutan p. [3 markah] (b) Cari nilai p jika perbelanjaan ialah RM2 650 dan bilangan pekerja ialah 50. [4 markah] 11. Bilangan buku cerita yang dibaca oleh Amin bergantung kepada tempoh masa lapangnya dan masa lapangnya bergantung kepada bilangan kerja rumah yang diberi oleh sekolahnya. Diberi x(t) = 3t – 5 di mana x ialah bilangan buku cerita, t ialah masa lapang, dalam jam dan t(k) = 4 + 2k di mana k ialah bilangan kerja rumah yang diberi. (a) Cari bilangan buku cerita yang dibaca oleh Amin jika bilangan kerja rumahnya ialah 2. [4 markah] (b) Jika Amin dapat membaca 7 buah buku cerita, cari tempoh masa lapangnya dan bilangan kerja rumah yang diberikan. [4 markah] 12. Rajah menunjukkan sebuah silinder dengan keadaan isi padu silinder itu bergantung kepada jejari tapak, r m dan tingginya, t m. V(t) = t 2 + 1 Diberi bahawa isi padu V(t) = (t 2 + 1) m3 dan tinggi t(r) = 1 1 2 r + 42 m. (a) Ungkapkan isi padu, V, dalam sebutan r. [4 markah] (b) Cari isi padu dan jejari tapak jika tinggi silinder ialah 6.5 m. [4 markah] KBAT Menganalisis 13. Suatu fungsi ditakrifkan oleh KBAT Menganalisis f(x) = |1 – x| untuk x < 2 x – 4 untuk x . 2 (a) Lakarkan graf f(x) untuk domain 0 < x < 4. [4 markah] (b) Seterusnya, cari julat yang sepadan bagi domain f(x) yang diberi. [2 markah] (c) Cari nilai x jika f(x) = 1 untuk domain 0 < x < 4. [4 markah] 14. Suatu fungsi ditakrifkan oleh f : x → x 2x + 1, x ≠ k. (a) Nyatakan nilai k. [1 markah] (b) Cari f –11 2 5 2 . [2 markah] (c) Tunjukkan bahawa f 2 (x) = x 4x + 1, dengan keadaan x ≠ – 1 4 . [3 markah] (d) Kemudian, tunjukkan bahawa f n (x) = x 2nx + 1, dengan keadaan n = 1, 2, 3, … dan x ≠ – 1 2n . [4 markah]
NOTA 49 49TIP SOS Bab 6 Hukum Linear 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 1. Garis lurus penyuaian terbaik ialah suatu garis lurus yang mempunyai ciri-ciri yang berikut: (a) Garis lurus itu melalui seberapa banyak titik yang mungkin. (b) Titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus itu mesti bertaburan secara seimbang di kedua-dua belah garis lurus itu. 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 1. Suatu hubungan tak linear antara dua pemboleh ubah boleh ditukar kepada bentuk linear dengan kaedah penggantian. Contohnya, y = ax2 + b Untuk membentuk suatu persamaan linear, katakan Y = y dan X = x2 . Kita akan memperoleh Y = aX + b dengan keadaan a ialah kecerunan dan b ialah pintasan-Y. y b x 0 y = ax 2 + b Y b X 0 Y = aX + b Graf tak linear Graf linear 1. Ungkapkan setiap hubungan tak linear berikut kepada bentuk linear Y = mX + c. Kenal pasti dan nyatakan kuantiti yang diwakili oleh Y, X, m dan c. (a) yx = 3x3 + x [2 markah] (b) x – y xy = 1 3 [2 markah] (c) y = 100a2x [2 markah] Jawapan: (a) (b) (c) Bahagian A KERTAS 1 2. Rajah menunjukkan suatu garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh apabila graf y melawan x diplotkan. y x 0 (–1, 3) (1, 1) (3, k) Cari (a) persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu, [2 markah] (b) nilai bagi k. [2 markah] Jawapan: (a) (b) Soalan 2: (a) Cari kecerunan garis lurus, m. Kemudian, gunakan (y – y1 ) = m(x – x1 ) untuk menentukan persamaan garis. (b) Gantikan x = 3, y = k ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan nilai k.
5050 50TIP SOS Soalan 4: Daripada graf, cari kecerunan garis lurus, m. Kemudian, log10 y = mx – 1 boleh ditulis sebagai 10(mx – 1) = y atau 10mx = 10y.....… Bandingkan dengan persamaan yang diberi ay = bx untuk menentukan nilai a dan b. 3. Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila graf y x melawan x diplotkan. x 0 1 y —x 1 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = ax + bx2 dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Cari nilai (a) a, [3 markah] (b) b. [2 markah] Jawapan: (a) (b) 4. Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila graf log10 y melawan x diplotkan. log10 y x 0 –1 (1, 3) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan ay = bx dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Cari nilai (a) a, [3 markah] (b) b. [2 markah] Jawapan: (a) (b) 5. Rajah menunjukkan dua graf garis lurus dengan persamaan yang sama. x 0 3 –3 y —x — 1 x y –—x2 0 (2, h) 1 I II (a) Cari persamaan itu. [3 markah] (b) Hitung nilai h. [2 markah] Jawapan: (a) (b) 6. Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila graf log10 y melawan (x – 2) diplotkan. log10 y x – 2 0 (6, 5) (3, 2) Diberi pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = anx – 2 dengan keadaan a dan n ialah pemalar. Cari nilai (a) n, [3 markah] (b) a. [2 markah] Jawapan: (a) (b)
5252 52TIP SOS Soalan 13: Persamaan kuadratik dalam bentuk verteks ialah y = –1x – 3 2 2 2 + 9 4 Maka y = –x2 + 3x........... Oleh kerana pintasan-Y ialah 3, maka perlu dibahagikan dengan x. Bahagian B 11. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px qx + 2 dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Jika graf y melawan x diplotkan, suatu lengkung yang melalui titik (2, 2) diperoleh. Jika graf 1 y melawan 1 x dilukis, suatu garis lurus dengan kecerunan 1 3 diperoleh. Cari nilai (a) p, [4 markah] (b) q. [4 markah] Jawapan: (a) (b) 12. Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila graf 1 xy melawan 1 x3 diplotkan. 0 (k, 1) (2, h) 1 —–xy 1 –—x3 Diberi bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 4x2 5 – x3 , cari nilai (a) k, [4 markah] (b) h. [4 markah] Jawapan: (a) (b) 13. Rajah menunjukkan suatu graf fungsi kuadratik. 0 (3, 0) x y —9 4 (a) Cari persamaan fungsi kuadratik itu. [4 markah] (b) Jika suatu garis lurus diperoleh apabila graf Y melawan X diplotkan dengan keadaan pintasan-Y adalah sama dengan 3, nyatakan kuantiti yang diwakili oleh X dan Y. [4 markah] Jawapan: (a) (b) 14. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = hx3 dengan keadaan h ialah pemalar. (a) Tukarkan persamaan y = hx3 kepada bentuk linear Y = mX + c. [3 markah] (b) Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila graf log10 y melawan log10 x diplotkan. log10 y log10 x 0 –1 (5, k) Cari nilai (i) log10 h, [3 markah] (ii) k. [2 markah] Jawapan: (a) (b) (i) (ii) KLON SPM
5454 54TIP SOS Soalan 4: Diberi y = qpx + 1 . Ambil log pada kedua-dua belah persamaan, untuk mendapatkan log10 y = log10 q + (x + 1) log10 p. Graf yang sesuai ialah log10 y melawan (x + 1). 19. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = x2 + 5x – 1. (a) Tukarkan persamaan y = x2 + 5x – 1 kepada bentuk linear Y = mX + c dengan keadaan garis lurus itu mempunyai kecerunan 5. [4 markah] (b) Seterusnya, nyatakan kuantiti yang diwakili oleh X, Y dan c. [2 markah] (c) Cari nilai X di (b) jika Y = 6 cm. [2 markah] Jawapan: (a) (b) (c) 20. Rajah I menunjukkan suatu lengkung y = 2x2 – 4. Rajah II menunjukkan suatu garis lurus yang diperoleh apabila y = 2x2 – 4 diungkapkan dalam bentuk linear Y = –4X + c. 0 y = 2x 2 – 4 x y 0 2 X Y I II Dalam sebutan x dan/atau y, ungkapkan (a) X, [3 markah] (b) Y. [2 markah] Jawapan: (a) (b) Bahagian B KERTAS 2 1. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Suatu garis lurus diperoleh apabila graf y2 x melawan 1 x diplotkan. x 1 2 3 4 5 y 1.87 2.24 2.55 2.83 3.08 (a) Berdasarkan jadual yang diberi, bina satu lagi jadual bagi nilai 1 x dan y2 x . [2 markah] (b) Plotkan y2 x melawan 1 x kemudian lukis garis lurus penyuaian terbaik. [3 markah] (c) Menggunakan graf di (b), (i) cari nilai y apabila x = 3.5. [2 markah] (ii) ungkapkan y dalam sebutan x. [3 markah] 2. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Diketahui bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = p + qx x dengan keadaan p dan q ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 6 y 6 4 3.3 3 2.8 2.7 (a) Plotkan xy melawan x. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Daripada graf di (a), cari nilai (i) p, (ii) q. [5 markah] 3. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, V dan P, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Diramalkan bahawa pemboleh ubah P dan V dihubungkan oleh persamaan P = a(V + 1)b dengan keadaan a dan b ialah pemalar. V 1 2 3 4 5 6 P 4 13.5 32 62.5 108 171.5 (a) Tukarkan persamaan P = a(V + 1)b kepada bentuk linear Y = mX + c. [2 markah] (b) Plotkan Y melawan X. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [3 markah] (c) Daripada graf di (b), tentukan nilai (i) a, (ii) b. [5 markah] 4. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Diramalkan bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = qpx + 1 dengan keadaan p dan q ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 y 2.25 6.75 20.25 60.75 182.25 KLON SPM KLON SPM
55 55TIP SOS Soalan 10: Diberi y a + x = 3bx Maka y = 3bx(a + x) y = 3abx + 3bx2 Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan x dan selesaikan. (a) Plotkan graf garis lurus yang sesuai yang menghubungkan x dan y. [6 markah] (b) Daripada graf di (a), tentukan nilai p dan q. [4 markah] 5. Jadual menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Diketahui bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = (q + 1)px2 dengan keadaan p dan q ialah pemalar. x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 y 2.25 3.74 7.6 18.9 57.7 215.4 (a) Plotkan log10 y melawan x2 . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) p, (ii) q. [5 markah] 6. Jadual menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = axb – 1 dengan keadaan a dan b ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 6 y 100 25 11.1 6.3 4 2.8 (a) Plotkan log10 y melawan log10 x. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [6 markah] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) a, (ii) b. [4 markah] 7. Jadual menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = hk2x – 1 dengan keadaan h dan k ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 6 y 0.24 0.35 0.5 0.72 1.03 1.49 (a) Plotkan log10 y melawan (2x – 1). Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [6 markah] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) h, (ii) k. [4 markah] 8. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Diketahui bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pABx + qx dengan keadaan p dan q ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 6 y –1 –0.24 0.8 2 3.3 4.65 (a) Plotkan y ABx melawan ABx . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) p, [2 markah] (ii) q, [2 markah] (iii) y jika x = 3.61. [1 markah] 9. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Salah satu nilai y telah salah direkodkan. Diketahui bahawa pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 4a2 x = (y + b)2 dengan keadaan a dan b ialah pemalar. x 1 2 3 4 5 6 y 2 4.1 5.7 6 8.2 9.2 (a) Plotkan y melawan ABx. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [6 markah] (b) Daripada graf di (a), (i) kenal pasti nilai y yang salah itu dan tentukan nilai y yang betul, [2 markah] (ii) cari nilai a dan b. [2 markah] 10. Jadual menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y a + x = 3bx dengan keadaan a dan b ialah pemalar. KBAT Menganalisis x 1 2 3 4 5 y 3 0 –9 –24 –45 (a) Tukarkan persamaan y a + x = 3bx kepada bentuk linear Y = mX + c. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [6 markah] (b) Daripada graf di (a), cari nilai a dan b. [4 markah] 11. Jadual menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan px2 y = q dengan keadaan p dan q ialah pemalar. x 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y 8.3 3.7 2.1 1.3 0.93 (a) Ungkapkan persamaan px2 y = q kepada bentuk linear Y = mX + c. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [6 markah] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) nilai q p , [2 markah] (ii) nilai q jika p = 6. [2 markah] KLON SPM KLON SPM KLON SPM KLON SPM KLON SPM
89 KERTAS 1 Masa: 2 jam Bahagian A [64 markah] Jawab semua soalan. Pentaksiran Tingkatan 4 1. (a) Rajah 1 menunjukkan graf f(x) untuk domain a < x < b. x f(x) 4 0 –2 Rajah 1 (i) Nyatakan nilai a dan b. (ii) Tentukan sama ada f(x) mempunyai fungsi songsang bagi domain yang diberi. Jelaskan jawapan anda. [3 markah] (b) Fungsi f dan g ditakrifkan oleh f : x → 4x + 5 dan g : x → x2 + 8. Cari nilai x yang mungkin supaya f(x) = g(x). [2 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (b) 2. (a) Diberi fungsi g : x → 2 – 3x dan h–1 : x → x 2 – x , x ≠ k. Cari (i) nilai k, (ii) hg(x). [3 markah] (b) Rajah 2 menunjukkan suatu graf f(x). x f(x) 0 Rajah 2 Nyatakan sama ada f(x) adalah suatu fungsi atau bukan. Justifikasi ujian yang digunakan untuk menentukan jawapan. [2 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (b)
93 13. Rajah 8 menunjukkan sebuah graf log10 y melawan x yang menghubungkan pemboleh ubah x dan y dalam suatu eksperimen. x 1 1 2 1.5 0.5 0 2 3 4 log10 y Rajah 8 Berdasarkan graf di atas, (a) cari kecerunan dan pintasan-y, (b) bentukkan persamaan yang menghubungkan x dan y, (c) cari nilai y apabila x = 0.5, (d) cari nilai x apabila y = 40. [8 markah] Jawapan: (a) (b) (c) (d) 14. Rajah 9 menunjukkan sebuah sisi empat kitaran KLMN berpusat O. NOK adalah diameter, ML = 6 cm, LK = MN = 5 cm dan ∠MNK = 65°. Rajah 9 N 65° O 6 cm M L K Cari (a) panjang KM, [2 markah] (b) ∠KML, [2 markah] (c) jejari bulatan, [2 markah] (d) luas sisi empat KLMN. [2 markah] Bahagian B [16 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Jawapan: (a) (b) (c) (d) 15. O ialah titik asalan. O →A dan O →B masing-masing ialah 2i ~ + j ~ dan 2i ~ + 3j ~ . E ialah titik tengah AB. (a) Cari vektor O →E. (b) OAPB ialah sebuah segi empat selari, cari vektor O →P. (c) Ungkapkan B →P – B →E, dalam sebutan i ~ dan j ~ . (d) Cari ∠AOB. [8 markah] Jawapan: (a) (b) (c) (d) KERTAS SOALAN TAMAT
94 KERTAS 2 Masa: 2 jam dan 30 minit Bahagian A [50 markah] Jawab semua soalan. 1. Jika garis lurus x + 3y = 1 menyilang lengkung y2 – 9 = 1 2 xy pada dua titik, P dan Q, cari (a) koordinat P dan Q jika koordinat-x bagi titik P adalah positif, (b) persamaan garis lurus yang melalui titik Q dan berserenjang dengan x + 3y = 1. [7 markah] 2. Punca bagi persamaan 3x2 + bx + c = 0 ialah m dan 1 m . (a) Cari nilai c. [1 markah] (b) Diberi m2 + 1 m2 = 46 9 , cari nilai yang mungkin bagi b. [3 markah] (c) Seterusnya, cari nilai m yang mungkin bagi b . 0. [3 markah] 3. Rajah 3 menunjukkan sebidang tanah, PQRS yang dilukis pada satah Cartes. Diberi skala 1 unit pada satah Cartes mewakili 5 m pada tanah sebenar. M P(–5, 0) S Q(5, 10) R(7, y) y x Rajah 3 P terletak pada paksi-x dan M membahagikan garis lurus PQ dalam nisbah 2 : 3. Cari (a) koordinat titik M dan R, [2 markah] (b) persamaan garis lurus MR, [3 markah] (c) luas sebenar PQRS, dalam m2 . [3 markah] 4. Segulung dawai dengan panjang t cm dipotong kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian dibentukkan menjadi segi empat sama. Diberi bahawa panjang setiap sisi segi empat sama adalah mengikut janjang aritmetik dengan beza sepunya 1.5 cm. Sisi segi empat sama terkecil dan terbesar masing-masing ialah 1.5 cm dan 16.5 cm. Cari bilangan segi empat sama yang boleh dibentuk dan nilai t. [8 markah]
96 10. Rajah 10 menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD. M N D L A B C Rajah 10 NLM ialah garis lurus dan AL adalah berserenjang dengan DC. Diberi D →L = 1 4 D →C, C →B = 4C →M, L →A = 2x ~ dan D →A = 8y ~ . (a) Ungkapkan, dalam sebutan x dan y, (i) D →L, (ii) →LM. (b) Diberi →ND = ky ~ dan N →L = h →LM, cari nilai h dan k. (c) Jika |x ~| = 3 unit dan |y ~ | = 2.5 unit, cari (i) |D →C|, (ii) luas segi empat selari ABCD. [10 markah] 11. Satu garis lurus dengan kecerunan 4 melalui titik A(–2, 5) dan menyilang paksi-x pada B. Satu garis lurus yang lain melalui titik A dan menyilang paksi-x pada C(2, 0). (a) Cari persamaan garis lurus AB dan AC. [2 markah] (b) Hitung luas segi tiga ABC. [2 markah] (c) Cari koordinat D supaya ABCD ialah sebuah segi empat selari. [3 markah] (d) Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan ∠APC sentiasa 90°. Cari persamaan lokus titik P. [3 markah] Bahagian C [20 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 12. Rajah 12 menunjukkan sebuah piramid dengan tapak yang sama sisi iaitu 8 cm. 8 cm M N L P Q V Rajah 12 V adalah 5 cm tegak di atas P dengan keadaan P ialah titik tengah bagi LM. Diberi bahawa ∠VNQ = ∠QNM, cari (a) panjang VN, [2 markah] (b) ∠QNM, [3 markah] (c) panjang QM, [2 markah] (d) luas satah condong, VNM. [3 markah]
97 13. Sebuah kedai runcit menjual tiga jenis minuman tin. Jadual 13 menunjukkan harga, indeks harga dan peratus tin minuman yang dijual. Jenis minuman tin Harga satu tin (RM) Indeks harga pada 2018 berasaskan 2016 Peratus tin yang 2016 2018 dijual pada 2018 P 1.60 1.80 x 25 Q 1.20 1.50 150 p R y 0.96 120 55 Jadual 13 (a) Cari nilai x, y dan p. [3 markah] (b) (i) Harga minuman tin P bertambah sebanyak 5% dari 2018 hingga 2019. Cari indeks harga minuman tin P pada tahun 2019 berasaskan tahun 2016. [2 markah] (ii) Indeks harga minuman tin R pada tahun 2016 berasaskan tahun 2012 ialah 130. Hitung indeks harga minuman tin R pada tahun 2018 berasaskan tahun 2012 dan harganya pada tahun 2012. [2 markah] (c) Hitung indeks gubahan untuk harga minuman tin yang dijual oleh kedai runcit itu pada tahun 2018 berasaskan tahun 2016. [3 markah] 14. Seorang tukang kayu ingin membuat rangka seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 14. E J H C G A B D F 5 cm 24 cm Rajah 14 Diberi tinggi rangka ialah 5 cm, EH = 24 cm dan EJ : JH = 1 : 2. Cari (a) panjang CJ, [3 markah] (b) panjang BC jika luas segi tiga BCJ ialah 39 cm2 , [2 markah] (c) sudut di antara JB dan satah EFGH, [3 markah] (d) ∠ABJ. [2 markah] 15. Rajah 15 menunjukkan pandangan hadapan sebuah terowong dalam bentuk parabola dengan titik tertinggi 10 m dari tanah. O P L1 A B L2 y x 10 m 30 m Rajah 15 Diberi lebar terowong itu ialah 30 m. (a) Tulis tiga persamaan dalam bentuk verteks yang mungkin untuk mewakili bentuk parabola itu. [6 markah] (b) Dua buah lampu diletakkan pada bumbung terowong dengan keadaan AL1 = L1 L2 = L2 B. Cari tinggi lampu tersebut dari tanah. [4 markah] KERTAS SOALAN TAMAT
Jawapan Jaw(A)_1202 BS MateTamb Tg4.indd 98 01/08/2022 3:55 PM
99 BAB 1 Kertas 1 Bahagian A 1. (a) 2(6) + 1 = 13 2(8) + 1 = 17 Maka, fungsi f(p) = 2p + 1. (b) 2(p) + 1 = q q = 2p + 1 2. (a) 0 2 y x 4 6 2 4 6 8 10 (b) Banyak kepada banyak (c) 2, 4 dan 8 3. (a) Oleh kerana –6 < y < 4, maka a = –6 dan b = 4. (b) –3 (c) –2 < x < 5 4. (a) f –1(x) (b) g–1f(x) atau f –1g(x) 5. (a) f(p) = –6 4p – 5p = –6 p = 6 (b) (i) f(–2) = (–2)2 – 5(–2) = 4 + 10 = 14 (ii) x2 – 5x = 6 x2 – 5x – 6 = 0 (x – 6)(x + 1) = 0 x = 6 atau x = –1 6. ts(x) = t[s(x)] = t(6 – 4x) = p(6 – 4x) – 3 = 6p – 4px – 3 Bandingkan dengan ts(x) = q – 4px: Maka, q = 6p – 3. 7. (a) gf(–2) = 5 g(2(–2) – 6) = 5 g(–10) = 5 h + 10k = 5 h = 5 – 10k (b) (i) k = 1 (ii) 3x x – 1 = x 3x = x2 – x x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 x = 0, x = 4 (iii) h(x) = 3x x – 1 Katakan y = 3x x – 1 yx – y = 3x yx – 3x = y x(y – 3) = y x = y y – 3 Maka, h–1(x) = x x – 3 , x ≠ 3. 8. (a) qp1– 1 2 2 = 61– 1 2 2 – 3 = –6 (b) Diberi qp(x) = 6x – 3 q12 – x 4 2 = 6x – 3 Katakan y = 2 – x 4 x 4 = 2 – y x = 8 – 4y q(y) = 6(8 – 4y) – 3 = 45 – 24y Maka, q(x) = 45 – 24x. 9. (a) f(x) = 2x – 5 x + 2 Katakan y = 2x – 5 x + 2 y(x + 2) = 2x – 5 yx + 2y = 2x – 5 yx – 2x = –2y – 5 (y – 2)x = –2y – 5 x = –2y – 5 y – 2 Maka, f –1(y) = –2y – 5 y – 2 f –1(x) = –2x – 5 x – 2 , x ≠ 2 (b) f(x) = 2x – 5 x + 2 f(k) = 3 2k – 5 k + 2 = 3 2k – 5 = 3k + 6 k = –11 Maka, nilai k ialah –11. 10. (a) f(x – 2) = 3 – 2(x – 2) = 3 – 2x + 4 = 7 – 2x (b) Katakan y = 3 – 2x 2x = 3 – y x = 3 – y 2 Maka, f –1(x) = 3 – x 2 . 2f –1(k) = f(k – 2) 21 3 – k 2 2 = 7 – 2k 3 – k = 7 – 2k k = 4 Bahagian B 11. (a) (i) –2 (ii) f(x) = |3 – 1 2 x| f(1) = |3 – 1 2 (1)| = 5 2 (iii) |3 – 1 2 x| = 1 3 – 1 2 x = –1 dan 3 – 1 2 x = 1 – 1 2 x = –4 – 1 2 x = –2 x = 8 x = 4 Maka, domain ialah 4 < x < 8. (b) (i) Diberi g–1(x) = p q + x , x ≠ –q g–1(3) = –2 p q + 3 = –2 p = –2q – 6............. g–11 1 2 2 = –4 p q + 1 2 = –4 p = –4q – 2 .........2 = 2: –2q – 6 = –4q – 2 2q = 4 q = 2 Gantikan q = 2 ke dalam 1, p = –2(2) – 6 = –10 (ii) g–1(x) = – 10 2 + x , x ≠ –2 Katakan y = – 10 2 + x 2y + xy = –10 xy = –10 – 2y x = –10 – 2y y Maka, g(x) = –10 – 2x x , x ≠ 0 (iii) g(x) = 8 –10 – 2x x = 8 –10 – 2x = 8x 10x = –10 x = –1 12. (a) x –1 0 1 2 1 2 f(x) 3 1 0 1 3 0 y x –1 1 2 1 2 3 (b) (i) (a) ff(x) = f(2x) = 4x = 22 x (b) fff(x) = ff(2x) = f(4x) = 8x = 23 x (ii) f n (x) = 2n x di mana n = 1, 2, 3,…. (iii) f 5 (x) = 16 25 (x) = 16 32x = 16 x = 1 2 13. (a) (i) Jika f memetakan set L kepada M, maka unsur dalam set M diwakili oleh f(x). Maka, fungsi yang memetakan M kepada N mestilah g(x) kerana dari L kepada N ialah gf(x). Oleh itu, g(x) = x – 1 2 . (ii) gf(x) = x2 – x + 2 f(x) – 1 2 = x2 – x + 2 f(x) – 1 = 2x2 – 2x + 4 f(x) = 2x2 – 2x + 5 (b) (i) Katakan y = 3x – 4 3x = y + 4 x = y + 4 3 Maka, g–1(x) = x + 4 3 . Bab 1 Jaw(A)_1202 BS MateTamb Tg4.indd 99 01/08/2022 3:55 PM
100 (ii) g2 1 p 3 2 = g3g1 p 3 24 = g331 p 3 2 – 44 = g(p – 4) = 3(p – 4) – 4 = 3p – 16 g2 1 p 3 2 = 20 3p – 16 = 20 3p = 36 p = 12 14. (a) (i) f(–2) = 1 – 2(–2) = 5 (ii) f(3) = 3 – 1 = 2 (iii) x –3 –2 –1 0 f(x) 7 5 3 1 x 1 2 3 4 f(x) –1 1 2 3 0 y x –2 2 4 2 4 6 (b) (i) (kh)–1(–5) = 4 kh(x) = k(y) = z x = (kh)–1(z) Maka, (kh)–1(–5) = 4. (ii) hh–1(2) = 2 (iii) h–1k –1(–5) = h–1(2) = 4 (kh)–1(–5) = 4 Maka, h–1k –1(–5) = (kh)–1(–5). 15. (a) p = 1 (b) Katakan y = x + 2 1 – x y – xy = x + 2 x + xy = y – 2 (1 + y)x = y – 2 x = y – 2 1 + y h(x) = x – 2 1 + x Maka, a = –2 , b = 1. (c) q = –1 (d) h–1(x) + h(x) = 0 x + 2 1 – x + x – 2 1 + x = 0 (x + 2)(1 + x) + (1 – x)(x – 2) (1 – x)(1 + x) = 0 6x = 0 x = 0 16. (a) Apabila t = 2, s(2) = 22 – 5(2) + 6 = 0 m (b) t 2 – 5t + 6 = 30 t 2 – 5t – 24 = 0 (t – 8)(t + 3) = 0 t = 8 atau t = –3 (Tidak berkenaan) Maka, t = 8 saat. (c) Sesaran adalah negatif, s(t) , 0 t 2 – 5t + 6 , 0 (t – 2)(t – 3) , 0 Maka, 2 , t , 3. 17. (a) V(5) = 52 + 4(5) + 3 = 48 m3 (b) t 2 + 4t + 3 = 63 t 2 + 4t – 60 = 0 (t + 10) (t – 6) = 0 t = 6 m atau t = –10 (Tidak berkenaan) Maka, tinggi tangki ialah 6 m. 18. (a) 12 = 3p + q................ 24 = 5p + q................ 2 2 – 1: 12 = 2p p = 6 Gantikan p = 6 ke dalam 1: 12 = 3(6) + q q = –6 Maka, p = 6 dan q = –6. (b) K(4.5) = 6(4.5) – 6 = 21 Maka, kos ialah RM21. 19. (a) 0 y f f –1 y = x x A(2, 0) A'(0, 2) B'(7, 3) B(3, 7) 2 2 4 6 4 6 Maka, Aʹ(0, 2) dan Bʹ(7, 3). (b) Domain ialah 0 < x < 7. 20. (a) Dengan menggunakan ujian garis mencancang, garis itu hanya menyilang sekali. Maka, f(x) ialah suatu fungsi. (b) Dengan menggunakan ujian garis mengufuk, garis itu menyilang graf lebih daripada sekali. Maka, f(x) tidak mempunyai fungsi songsang. (c) Julat f(x) ialah f(x) . 0 Kertas 2 Bahagian A 1. f(x) = 3 4 x + 1 2 g(x) = 5 4 – 2 3 x (a) f(2) + f(3) = 3 3 4 (2) + 1 2 4 + 3 3 4 (3) + 1 2 4 = 2 + 11 4 = 19 4 f(2 + 3) = f(5) = 3 4 (5) + 1 2 = 15 4 + 1 2 = 17 4 ∴ f(2) + f(3) ≠ f(2 + 3) (b) g(4) – g(2) = 3 5 4 – 2 3 (4)4 – 3 5 4 – 2 3 (2)4 = – 17 12 – 1– 1 12 2 = – 4 3 g(4 – 2) = g(2) = 5 4 – 2 3 (2) = – 1 12 ∴ g(4) – g(2) ≠ g(4 – 2) (c) f(2k) = 6g(k) 3 4 (2k) + 1 2 = 63 5 4 – 2 3 k4 3k 2 + 1 2 = 15 2 – 4k 11k 2 = 14 2 k = 14 11 (d) f(k) + g(k) = 5 3 3 4 k + 1 2 4 + 3 5 4 – 2 3 k4 = 5 7 4 + 1 12 k = 5 1 12 k = 13 4 k = 39 2. (a) g(x) = x + 1 x – 2 x ≠ 2 (i) gg(x) = g3 x + 1 x – 2 4 = x + 1 x – 2 + 1 x + 1 x – 2 – 2 = 2x – 1 5 – x , x ≠ 5 (ii) Katakan x + 1 x – 2 = y x + 1 = xy – 2y 1 + 2y = x[y – 1] x = 1 + 2y y – 1 ∴ g–1(x) = 1 + 2x x – 1 , x ≠ 1 (b) h(x) = ax + 1 x hg–1(4) = 6 h3 1 + 2(4) 4 – 1 4 = 6 h[3] = 6 3a + 1 3 = 6 3a + 1 = 18 3a = 17 a = 17 3 3. (a) (i) g(a + 1) = (a + 1)2 + 5 = a2 + 2a + 6 (ii) g(a2 ) = a4 + 5 (iii) g(2b – 1) – g(b) = (2b – 1)2 + 5 – [b2 + 5] = 4b2 – 4b + 6 – b2 – 5 = 3b2 – 4b + 1 (b) g(x) = 5x – 1 x2 + 5 = 5x – 1 x2 – 5x + 6 = 0 (x – 3)(x – 2) = 0 x = 3 atau x = 2 Bab 1 Jaw(A)_1202 BS MateTamb Tg4.indd 100 01/08/2022 3:55 PM