Tingkatan 4 BAB 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah.................1 BAB 2 Asas Nombor.......................................12 BAB 3 Penaakulan Logik................................23 BAB 4 Operasi Set..........................................33 BAB 5 Rangkaian dalam Teori Graf................43 BAB 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah ..................................56 BAB 7 Graf Gerakan.......................................69 BAB 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul .....................................81 BAB 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung...........................................97 BAB 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan .....................109 Tingkatan 5 BAB 1 Ubahan..............................................116 BAB 2 Matriks...............................................129 BAB 3 Matematik Pengguna: Insurans.........144 BAB 4 Matematik Pengguna: Percukaian ....158 BAB 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi....................173 BAB 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri ......................................189 BAB 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul.....202 BAB 8 Pemodelan Matematik.......................217 KANDUNGAN Kandungan GrabME Matematik SPM Tg4.indd 1 30/08/2022 10:47 AM
1 BAB FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRATIK DALAM SATU PEMBOLEH UBAH 1 Perkaitan dan Algebra • Ungkapan kuadratik ialah ungkapan algebra dalam bentuk ax2 + bx + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan x ialah pemboleh ubah. (a) Kes 1: b = 0 iaitu ax2 + c. Contohnya, 3x2 – 18. (b) Kes 2: c = 0 iaitu ax2 + bx. Contohnya, 3x2 + 5x. (c) Kes 3: b = c = 0. Contohnya, 3x2 . • Bentuk am bagi suatu fungsi kuadratik: f(x) = ax2 + bx + c dengan x ialah pemboleh ubah, a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. Suatu fungsi kuadratik mestilah: (a) Melibatkan satu pemboleh ubah sahaja. (b) Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah dua. INGAT 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik • Berikut adalah contoh bagi graf fungsi kuadratik, f(x) = ax2 + bx + c: O x p q (p, q) f(x) Bentuk graf: Nilai a . 0 Titik (p, q) ialah titik minimum Paksi simetri ialah x = p O x p q (p, q) f(x) Bentuk graf: Nilai a , 0 Titik (p, q) ialah titik maksimum Paksi simetri ialah x = p 01 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 1 05/09/2022 10:08 AM
2 • Kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap bentuk graf fungsi kuadratik, f(x) = ax2 + bx + c: Pintasan-y berada di bahagian positif paksi-y Nilai a mempengaruhi bentuk graf Nilai b mempengaruhi kedudukan paksi simetri Nilai c mempengaruhi kedudukan pintasan-y x a = 1 a = –1 a = a = 3 O 1 – –2 f(x) Semakin kecil nilai a, semakin lebar lengkok graf dan sebaliknya a . 0 x O b < 0 f(x) x O b = 0 f(x) x O b > 0 f(x) Paksi simetri di kanan paksi-y Paksi simetri ialah paksi-y Paksi simetri di kiri paksi-y a , 0 x O b < 0 f(x) x O b = 0 f(x) x b > 0 f(x) O Paksi simetri di kiri paksi-y Paksi simetri ialah paksi-y Paksi simetri di kanan paksi-y a . 0 x O f(x) c x O f(x) c a , 0 01 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 2 05/09/2022 10:08 AM
7 Contoh 8 Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 3kx – 8 = 0 ialah 4. Cari nilai k. Penyelesaian Gantikan x = 4, 2(4)2 + 3k(4) – 8 = 0 32 + 12k – 8 = 0 12k = –24 k = –2 Contoh 9 Selesaikan (x – 1)(x – 2) = 20. Penyelesaian (x – 1)(x – 2) = 20 x2 – 2x – x + 2 = 20 Kembangkan x2 – 3x – 18 = 0 Ungkapkan dalam bentuk am (x + 3)(x – 6) = 0 Selesaikan dengan pemfaktoran x + 3 = 0 atau x – 6 = 0 x = – 3 atau x = 6 TIP Penyelesaian fungsi kuadratik juga dikenali sebagai pintasan-x bagi graf itu. Contoh 10 Selesaikan persamaan yang berikut. (2x – 5)2 – 36 = 0 Penyelesaian (2x – 5)2 – 36 = 0 4x2 – 10x – 10x + 25 – 36 = 0 4x2 – 20x – 11 = 0 (2x – 11)(2x + 1) = 0 2x – 11 = 0 atau 2x + 1 = 0 x = 11 2 atau x = – 1 2 Kaedah Lain Menggunakan rumus a2 – b2 = (a + b)(a – b): (2x – 5)2 – 36 = 0 (2x – 5)2 – 62 = 0 ((2x – 5) + 6)((2x – 5) – 6) = 0 (2x – 11)(2x + 1) = 0 2x – 11 = 0 atau 2x + 1 = 0 x = 11 2 atau x = – 1 2 01 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 7 05/09/2022 10:08 AM
33 BAB 4 OPERASI SET • Persilangan bagi set A dan B, ditulis sebagai A B, ialah set yang mengandungi unsurunsur sepunya bagi kedua-dua set A dan B. A B A B • Pelengkap bagi persilangan set A dan set B bermaksud semua unsur yang bukan dalam persilangan set A dan set B. • Pelengkap bagi persilangan set ditulis menggunakan tanda “ ’ ”. A B ξ (A B) Contoh 1 Diberi set P = {faktor bagi 30} dan set Q = {nombor perdana kurang daripada 10}. (a) Lukis gambar rajah Venn dan lorekkan rantau yang mewakili persilangan P Q. (b) Senaraikan semua unsur bagi persilangan P Q. (c) Tentukan nilai n(P Q). Penyelesaian P = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Q = {2, 3, 5, 7} (a) P Q ● 5 ● 2 ● 3 ● 7 ● 1 ● 6 ● 10 ● 15 ● 30 (b) P Q = {2, 3, 5} (c) n(P Q) = 3 Simbol persilangan antara dua set atau lebih ialah . INGAT Matematik Diskret 4.1 Persilangan Set 04 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 33 05/09/2022 10:07 AM
37 4.2 Kesatuan Set • Kesatuan bagi set A dan set B, ditulis sebagai A B, ialah set yang mengandungi gabungan unsur-unsur bagi set A atau set B atau keduadua set. A B A B • Pelengkap bagi kesatuan set A dan set B bermaksud semua unsur yang bukan dalam set A atau set B. • Pelengkap bagi kesatuan set ditulis menggunakan tanda “ ’ ”. A B ξ (A B) Contoh 7 Diberi set M = {faktor bagi 12} dan set P = {nombor perdana kurang daripada 12}. (a) Lukis gambar rajah Venn serta lorekkan rantau yang mewakili kesatuan set M dan P. (b) Senaraikan semua unsur bagi M P. (c) Tentukan nilai n(M P). Penyelesaian M = {1, 2, 3, 4, 6, 12} P = {2, 3, 5, 7, 11} (a) M P ●1 ●4 ●6 ●12 ●2 ●3 ●5 ●7 ●11 (b) M P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12} (c) n(M P) = 9 Simbol kesatuan antara dua set atau lebih ialah . INGAT 04 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 37 05/09/2022 10:07 AM
43 BAB 5 RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF • Graf yang mewakilkan suatu rangkaian mengandungi bucu dan tepi dengan sifat yang tersendiri. Bucu (V) Tepi (E) • V ialah set semua bucu bagi suatu graf. V = {v1 , v2 , v3 , … , vn } • E ialah set semua tepi atau garis yang menghubungkan sepasang bucu. E = {e1 , e2 , e3 , …, en } • Darjah, d bagi suatu bucu ialah bilangan tepi yang mengaitkannya dengan suatu bucu yang lain. Jumlah darjah, ∑d(v) = 2E; v V • Berikut adalah ciri-ciri graf yang mempunyai berbilang tepi dan gelung: 1 6 7 3 4 5 2 Berbilang tepi Melibatkan dua bucu. Kaitan antara dua bucu tersebut dinyatakan melalui lebih daripada satu tepi. Bilangan darjah ialah dua kali bilangan tepi. P Q R Gelung Melibatkan satu bucu. Tepi berbentuk lengkung atau bulatan berbalik kepada bucu asal. Bilangan darjah setiap gelung ialah 2. Matematik Diskret 5.1 Rangkaian 05 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 43 01/09/2022 4:04 PM
44 • Perbezaan antara graf tak terarah, graf terarah, graf tak berpemberat dan graf berpemberat: Graf yang dilukis tanpa penandaan arah pada tepi yang mengaitkan dua bucu. A B C D Graf dengan keadaan tepi yang mengaitkan dua bucu ditanda dengan arah kaitan. A B C D Graf tak terarah Graf terarah (a) Graf mudah (b) Graf yang mempunyai gelung dan berbilang tepi Graf tak berpemberat Tiada nilai atau pemberat yang dinyatakan. Contohnya, carta alir dalam suatu ahli jawatankuasa. Graf berpemberat Diberi nilai atau pemberat. Contohnya, jarak antara dua bandar. A B C D a2 a1 a3 a4 a5 A B C D E 12 21 23 15 11 13 17 05 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 44 01/09/2022 4:04 PM
75 Penyelesaian (a) (i) Laju = 1.5 km min–1 47 – 20 t – 30 = 1.5 Laju = Jarak Masa 27 t – 30 = 1.5 t – 30 = 18 t = 48 (ii) Jarak dari Sungai Buloh ke Kuala Selangor = 47 – 20 = 27 km (b) Laju purata = 47 km ( 48 60 ) j Laju purata = Jumlah jarak Jumlah masa = 58.75 km j –1 7.2 Graf Laju-Masa • Graf laju-masa adalah sebuah graf yang menunjukkan perubahan laju suatu zarah atau objek dalam suatu tempoh masa. • Dalam graf laju-masa: (a) paksi mencancang mewakili laju suatu gerakan. (b) paksi mengufuk mewakili tempoh masa yang diambil. (c) kecerunan graf mewakili kadar perubahan laju terhadap masa, iaitu pecutan. • Dalam graf laju-masa, Luas di bawah graf = Jarak yang dilalui Segi empat tepat: Laju Masa t v O Luas = tv Segi tiga: Laju Masa t v O Luas = 1 2 tv Trapezium: Luas = 1 2 (v1 + v2 )t Laju Masa t v2 v1 O 07 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 75 01/09/2022 4:39 PM
76 • Tafsiran graf laju-masa, OP adalah graf dengan kecerunan positif menunjukkan kadar perubahan laju bagi suatu zarah atau objek meningkat atau memecut dalam tempoh t 1 . PQ adalah graf dengan kecerunan sifar menunjukkan suatu zarah atau objek bergerak dengan kelajuan seragam dalam tempoh t 1 hingga t 2 . QR adalah graf dengan kecerunan negatif menunjukkan kadar perubahan laju bagi suatu zarah atau objek menurun atau nyahpecut dalam tempoh t 2 hingga t 3 . Laju Masa V O P Q R t 1 t 2 t 3 Contoh 8 Jadual di bawah menunjukkan perubahan laju kereta Encik Daniel dalam tempoh masa 8 saat. Masa (saat) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Laju (m s−1) 0 15 30 45 60 75 90 90 90 Lukis graf laju-masa berdasarkan jadual yang diberi. Penyelesaian Pilih skala yang sesuai pada paksi mencancang dan paksi mengufuk. Plotkan pasangan titik yang mewakili nilai laju dan masa yang sepadan. Sambungkan titiktitik yang diplotkan dengan menggunakan pembaris. Garis lurus yang terbentuk mewakili graf laju-masa. · OP adalah graf dengan kecerunan positif menunjukkan kadar perubahan laju bagi suatu zarah atau objek meningkat atau memecut dalam tempoh t 1 saat · PQ adalah graf dengan kecerunan sifar menunjukkan suatu zarah atau objek bergerak dengan kelajuan seragam dalam tempoh t 1 hingga t 2 saat · QR adalah graf dengan kecerunan negatif menunjukkan kadar perubahan laju bagi suatu zarah atau objek menurun atau nyahpecut dalam tempoh t 2 hingga t 3 saat 07 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 76 01/09/2022 4:39 PM
77 Laju diwakili oleh paksi mencancang Masa diwakili oleh paksi mengufuk Laju (m s–1) Masa (s) 30 60 90 2 4 6 8 O Contoh 9 Hitung jarak, dalam km, yang dilalui oleh suatu gerakan bagi setiap graf laju-masa yang berikut. (a) (b) Laju (km j–1) Masa (jam) 60 40 1.5 2 O Laju (km j–1) Masa (jam) 70 30 2.5 4 O 0.75 Penyelesaian Bagi graf laju-masa, luas di bawah graf adalah sama dengan jarak yang dilalui. INGAT (a) Jarak = 40 1.5 + 60 40 0.5 = [1.5 × 40] + [ 1 2 × (40 + 60) × 0.5] = 60 + 25 = 85 km (a) Jarak = 0.75 30 + 1.75 30 + 1.5 30 70 = [ 1 2 × 0.75 × 30] + [1.75 × 30] + [ 1 2 × (30 + 70) × 1.5] = 11.25 + 52.5 + 75 = 138.75 km 07 GrabME Matematik SPM Tg4.indd 77 01/09/2022 4:39 PM
BAB 1 UBAHAN • Ubahan langsung ialah situasi dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah secara langsung dengan satu pemboleh ubah yang lain. Contohnya: (a) Jika pemboleh ubah y bertambah, maka pemboleh ubah x juga bertambah. (b) Jika pemboleh ubah y berkurang, maka pemboleh ubah x juga berkurang. • Dalam ubahan langsung, “y berubah secara langsung dengan xn ” boleh ditulis sebagai: y fi xn (Hubungan ubahan) atau y = kxn Bentuk persamaan dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2, 1 3 dan k ialah pemalar. • Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. • Berikut adalah contoh ubahan langsung dan ubahan tercantum: Ubahan langsung Hubungan ubahan Bentuk persamaan y berubah secara langsung dengan x2 y fi x2 y = kx2 y berubah secara langsung dengan !x y fi ! x y = k! x Ubahan tercantum Hubungan ubahan Bentuk persamaan y berubah secara langsung dengan x dan z y fi xz y = kxz y berubah secara langsung dengan ! x dan z2 y fi ! x z2 y = k! x z2 1.1 Ubahan Langsung Perkaitan dan Algebra 116 B01 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 116 06/09/2022 11:38 AM
119 Contoh 3 Jisim, m g, bagi suatu pepejal berubah secara langsung dengan isi padunya, p cm3 . Jisim bagi pepejal yang mempunyai isi padu 20 cm3 ialah 60 g. Cari satu hubungan antara m dengan p. Penyelesaian m fi p m = kp Tulis hubungan dalam bentuk persamaan Gantikan p = 20 dan m = 60, 60 = k(20) k = 3 º Maka, m = 3p. Gantikan semula k = 3 ke dalam bentuk persamaan Contoh 4 Diberi y berubah secara langsung dengan x. Jika y = 5 6 apabila x = 15, hitung nilai y apabila x = 45. Penyelesaian y fi x y = kx Gantikan y = 5 6 dan x = 15, 5 6 = k(15) k = 5 6 × 1 15 k = 1 18 Maka, y = x 18. Apabila x = 45, y = 45 18 Gantikan x = 45 ke dalam y = x 18 = 2.5 Kaedah Lain Menggunakan konsep perkadaran: y1 x1 = y2 x2 , (5 6) 15 = y2 45 1 18 = y2 45 y2 = 45 18 y2 = 2.5 B01 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 119 06/09/2022 11:38 AM
121 Gantikan T = 48, x = 4 dan y = 9, 48 = k(4)!9 48 = 12k k = 4 º Maka, T = 4x! y. Contoh 7 Jadual di bawah menunjukkan dua set nilai bagi y, g dan H. y g H 60 2 3 w 3 4 Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan kuasa dua g dan H, cari nilai w. Penyelesaian y fi g2 H y = kg2 H Gantikan y = 60, g = 2 dan H = 3, 60 = k(2)2 (3) 12k = 60 k = 5 Maka, y = 5g2 H. Gantikan y = w, g = 3 dan H = 4, w = 5(3)2 (4) w = 180 Kaedah Lain Menggunakan konsep perkadaran: Jadikan y1 = 60, g1 = 2, H1 = 3, y2 = w, g2 = 3, H2 = 4 y1 g2 1H1 = y2 g2 2H2 , 60 (22 )3 = w (32 )4 60 12 = w 36 w = 60 12 × 36 w = 180 Contoh 8 Jadual di bawah menunjukkan dua set nilai bagi L, m dan v. L m v 100 5 4 16 2 d B01 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 121 06/09/2022 11:38 AM
BAB 3 MATEMATIK PENGGUNA: INSURANS • Risiko ialah kemungkinan berlakunya musibah yang tidak dapat dielakkan. • Insurans ialah suatu bentuk pengurusan risiko yang digunakan sebagai jaminan terhadap kemungkinan berlakunya kerugian dari segi kewangan. • Berikut adalah sistem insurans: agaushgduaudufysiyfsidyfidsidfa gheihdfiighrhuthut9uhuruuruurue nbiehtghhlbhytr8ugruirgeygeuu9 ie9t8ge9iihbihrtgurut9ug9iugiuvh wergpwgioj[o09 Pemegang polisi Kontrak insurans Membayar pampasan atas kerugian yang telah diinsuranskan Membayar premium Syarikat insurans 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans Nombor dan Operasi Syarikat insurans Pihak yang bersetuju membayar pampasan atas kerugian yang telah diinsuranskan. Pemegang polisi Pihak yang akan menuntut dan menerima pampasan atas kerugian yang dialami. Kontrak insurans Suatu polisi sebagai bukti kepada perjanjian yang telah dibuat antara syarikat insurans dengan pemegang polisi. Premium Jumlah wang tertentu yang dibayar oleh pemegang polisi kepada syarikat insurans. • Prinsip indemniti yang diaplikasikan dalam sistem ini berfungsi untuk memulihkan kedudukan kewangan pemegang polisi seperti keadaan sebelum kerugian berlaku. 144 B03 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 144 06/09/2022 11:38 AM
145 • Berikut adalah jenis-jenis insurans utama: • Insurans hayat menjamin pembayaran manfaat kewangan kepada pemegang polisi jika berlaku kematian terhadap orang yang diinsuranskan. Antara risiko yang dilindungi oleh insurans hayat ialah kematian, hilang upaya atau penyakit kritikal. • Insurans am memberikan perlindungan daripada kerugian atau kerosakan harta benda yang ditanggung. • Insurans berkelompok diberikan kepada pekerja syarikat atau murid sekolah dan pelajar institusi pendidikan yang bertujuan untuk memberikan perlindungan kepada kumpulan tersebut. Contohnya, (a) Insurans berkelompok kepada organisasi (b) Insurans berkelompok kepada murid Jenis-jenis insurans Insurans hayat Insurans am Insurans motor Insurans perubatan dan kesihatan • Insurans hospital dan pembedahan • Insurans penyakit kritikal • Insurans pendapatan akibat hilang upaya Insurans kebakaran Insurans perjalanan Insurans kemalangan diri Insurans berkelompok B03 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 145 06/09/2022 11:38 AM
195 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 6.2 • Berikut adalah ciri-ciri bagi graf fungsi trigonometri untuk 0° < x < 360°: (a) Graf sinus, y = sin x 1 0 90° 180° 270° 360° –1 y y = sin x x • Nilai maksimum ialah 1 apabila x = 90° • Nilai minimum ialah −1 apabila x = 270° • Pintasan-x ialah 0°, 180° dan 360° • Pintasan-y = 0 (b) Graf kosinus, y = kos x • Nilai maksimum ialah 1 apabila x = 0° dan x = 360° • Nilai minimum ialah −1 apabila x = 180° • Pintasan-x ialah 90° dan 270° • Pintasan-y = 1 1 0 90° 180° 270° 360° –1 y y = kos x x (c) Graf tangen, y = tan x 0 90° 180° 270° 360° y y = tan x x • Nilai maksimum ialah • Nilai minimum ialah − • Nilai tidak tertakrif pada x = 90° dan x = 270° • Pintasan-x ialah 0°, 180° dan 360° • Pintasan-y = 0 TIP • Tidak tertakrif: Perihal sesuatu yang tidak dapat ditentukan nilainya. • Ketakterhinggaan: Kuantiti yang tidak mempunyai had. • Kesan perubahan pemalar a, b dan c bagi graf fungsi trigonometri: Perubahan Kesan Nilai a • Graf y = a sin bx + c dan y = a kos bx + c – Nilai maksimum dan nilai minimum berubah – Amplitud fungsi = a B06 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 195 06/09/2022 11:37 AM
196 Perubahan Kesan Nilai a • Graf y = a tan bx + c – Lengkung graf berubah – Tiada amplitud Nilai b • Graf y = a sin bx + c dan y = a kos bx + c – Tempoh fungsi berubah, tempoh graf = 360° b – Pintasan-x berubah • Graf y = a tan bx + c – Tempoh fungsi berubah, tempoh graf = 180° b – Pintasan-x berubah Nilai c Semua graf fungsi trigonometri • Apabila c . 0, graf bergerak ke atas dengan translasi 0 c • Apabila c , 0, graf bergerak ke bawah dengan translasi 0 –c Dalam graf fungsi trigonometri y = a sin bx + c: Tempoh y x Amplitud Anjakan secara mengufuk 0 Anjakan secara menegak INGAT Contoh 7 Lengkapkan jadual yang berikut. Seterusnya, lakar graf yang berkaitan dan nyatakan nilai maksimum dan nilai minimum. (a) y = sin x x 0° 90° 180° 270° 360° y (b) y = kos x x 0° 90° 180° 270° 360° y B06 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 196 06/09/2022 11:37 AM
197 (c) y = tan x x 0° 63.5° 116.5° 180° 243.5° 296.5° 360° y Penyelesaian (a) y = sin x x 0° 90° 180° 270° 360° y 0 1 0 –1 0 1 0 90° 180° 270° 360° –1 y y = sin x x Maka, nilai maksimum ialah 1 dan nilai minimum ialah −1. (b) y = kos x x 0° 90° 180° 270° 360° y 1 0 –1 0 1 1 0 90° 180° 270° 360° –1 y x y = kos x Maka, nilai maksimum ialah 1 dan nilai minimum ialah −1. (c) y = tan x x y 0° 0 63.5° 2 116.5° –2 180° 0 243.5° 2 296.5° –2 360° 0 Maka, nilai maksimum ialah dan nilai minimum ialah −. 1 0 90° 180° 270° 360° –1 y x 2 –2 y = tan x B06 GrabME Matematik SPM Tg5.indd 197 06/09/2022 11:37 AM