ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ລະຫັດວິຊາ: ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2023
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ລະຫັດວິຊາ: ຮຽບຮຽງ: ປທ. ຕົວວ ື່ ວ ື່ ປທ. ກວດແກ້: ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2023
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 i ຄໍານໍາ
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ii ສາລະບານ ຄໍານໍາ.................................................................................................................................................. i ສາລະບານ........................................................................................................................................... ii ບົດທີ 3 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ...............................................................................................36 3.1 ຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນ 2 ຕົວຂ ື້ນໄປ ..................................................................................................36 3.2 ໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິ................................................................................................37 3.3 ຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງ ແລະ ກຼາດຽນທ໌..........................................................................................38 3.4 ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ...............................................................................................................43 3.5 ຜົນຕໍາລາລວມ..........................................................................................................................48 3.6 ການປະມານຄ່າ.........................................................................................................................53 3.7 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາປະກອບ........................................................................................................53 3.8 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງນິຍາມໂດຍກົງ .........................................................................................61 3.9 ການປ່ຽນຕົວປ່ຽນ .....................................................................................................................64 3.10 ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ..........................................................................67 3.11 ທິດສະດີກໍາລັງສອງນ້ອຍສຸດ......................................................................................................70 ບົດເຝີກຫັດ ...................................................................................................................................71
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 36 ບົດທີ 3 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ການສຶກສາຄະນິດສາດໃນວິເຄາະນັື້ນ, ເລ ື່ອງສໍາຄັນທີື່ສຶກສາຄ : ການຫາຜົນຕໍາລາ ແລະ ສັງຄະນິດ. ດັັ່ງນັື້ນ, ໃນ ບົດນີື້ຈະເວົື້າເຖິງການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ໂດຍສະເພາະຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງ, ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວ ປ່ຽນ ຕະຫຼອດຮອດຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຕ່າງໆ ເຊັັ່ນ: ຕໍາລາປະກອບ, ຕໍາລາເຊິື່ງນິຍາມໂດຍກົງ ເປັນຕົື້ນ. ນອກຈາກນີື້ ການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງປ່ຽນຕົວປ່ຽນໃໝ່ ກ ໍ່ມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນທາງການໃຊ້. 3.1 ຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນ 2 ຕົວຂ ື້ນໄປ ຕໍາລາທີື່ເຄີຍສຶກສາມາແລ້ວເປັນຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນພຽງຕົວດຽວ, ໃນທີື່ນີື້ຈະພິຈາລະນາຕໍາລາທີື່ມີຕົວປ່ຽນ 2 ຕົວ ຂ ື້ນໄປ. ໃຫ້ z ເປັນຕໍາລາຂອງ x ແລະ y ທີື່ເມັດ ເຊິື່ງພວກເຮົາຂຽນໄດ້ວ່າ: ເອີື້ນ z ວ່າ: ຕົວປ່ຽນຕາມ (Dependent Variables) ແລະ ເອີື້ນ x , y ວ່າ: ຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ (Independent Variables), ກຸ່ມຂອງເມັດ ( x y, ) ເອີື້ນ ວ່າ: ເຂດກໍານົດ (Domain) ຂອງຕໍາລາ. ຕົວຢ່າງ 3.1 ຖ້າ ( ) 2 3 f x y x y , 2 = + ຈົັ່ງຊອກຫາ f (− − 3, 1) ແກ້ ( ) ( ) ( ) 2 3 f − − = − + − = 3, 1 3 2 1 7 ຕົວຢ່າງ 3.2 ຈົັ່ງຊອກຫາເຂດກໍານົດຂອງ ( ) 2 2 z x y = − + 1 ແກ້ ເຂດກໍານົດຂອງ z ຄ ເມັດ ( x y, ) ເຊິື່ງ 2 2 x y + 1 ນັື້ນຄ ກຸ່ມຂອງເມັດ ເຊິື່ງຢູ່ໃນ ແລະ ຢູ່ເທິງ ວົງມົນໃນໜ້າພຽງ xy ເຊິື່ງມີເມັດໃຈກາງຢູ່ທີື່ (0,0) ລັດສະໝີເທົັ່າ 1 ນິຍາມ 3.1 ໃຫ້ z f x y = ( , ) ເວົື້າວ່າ: z ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ ( x y 0 0 , ) ຖ້າສໍາລັບ 0 ຈະມີ 0 ເຊິື່ງ f x y f x y ( , , ) − ( 0 0 ) ເມ ື່ອ 0 x x − ແລະ 0 y y − ນິຍາມ 3.2 ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ z f x y = ( , ) ທຽບກັບ x ແລະ y ພວກເຮົາຂຽນແທນດ້ວຍ f x ຫຼ f f x y x x , , ( ) ແລະ f y ຫຼ f f x y y y , , ( ) ຕາມລໍາດັບ. ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ z f x y = ( , ) ທີື່ເມັດ ( x y 0 0 , ) ພວກເຮົາຂຽນແທນດ້ວຍ ( ) ( ) 0 0 0 0 , , x x y f f x y x = ແລະ ( ) ( ) 0 0 0 0 , , y x y f f x y y = ຕາມລໍາດັບ. ຕົວຢ່າງ 3.3 ເມັດ ( x y, ) ຕ້ອງຢູ່ໃກ້ເມັດ (0,0) ເທົັ່າໃດ ຈຶື່ງຈະເຮັດໃຫ້ f x y f x y ( , , ) − ( 0 0 ) ເມ ື່ອ ( ) 2 2 f x y x y , = + ແລະ = 0.01 ແກ້ f x y f x y ( , , ) − ( 0 0 ) ( ) ( ) 2 2 x y + − 0,0 0.01 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y − + − 0 0 0.1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y − + − 0 0 0.1 ດັັ່ງນັື້ນ, ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດ (0,0) ໄປຫາເມັດ ( x y, ) ຕ້ອງນ້ອຍກວ່າ 0.1 ຕົວຢ່າງ 3.4 ໃຫ້ ( ) 3 2 f x y x xy , 2 3 = + ຈົັ່ງຊອກຫາ x f , y f , f x (1,2) , f y (1,2) ແກ້ 2 2 6 3 x f x y = + 6 y f xy =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 37 ( ) ( ) ( ) 2 2 1,2 6 1 3 2 18 x f = + = f y (1,2 6 1 2 12 ) = = ( )( ) ຕົວຢ່າງ 3.5 ໃຫ້ ( , sin ) xy f x y e y x = ຈົັ່ງຊອກຫາ x f , y f , f x (0,1), f y (0,1) ແກ້ cos xy x f ye y x = − sin xy y f xe x = − f x (0,1 1 1 0 ) =−= f y (0,1 0 0 0 ) =−= 3.2 ໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິ ໃຫ້ z f x y = ( , ) ເປັນສົມຜົນຜິວ, ເມັດ P x y z 0 0 0 0 ( , , ) ເປັນເມັດທີື່ຢູ່ເທິງຜິວນີື້; ໃຫ້ P x y z ( , , ) ເປັນເມັດໃດໆ ໃນໜ້າພຽງສໍາພັດ (Tangent Plane) ເວັກເຕີໃດໆ ໃນໜ້າພຽງສໍາພັດກັບຜິວ ທີື່ເມັດ P0 ຄ : ( x x i y y j z z k P P − + − + − = 0 0 0 0 ) ( ) ( ) N ເປັນເວັກເຕີທີື່ຕັື້ງສາກກັບຜິວທີື່ເມັດ P0 ແລະ N f x y i f x y j k = + − x y ( 0 0 0 0 , , ) ( ) ເນ ື່ອງຈາກ N ຕັື້ງສາກກັບ PP0 ດັັ່ງນັື້ນ, 0 N P P = 0 ( 0 0 0 0 0 )( ) ( )( ) ( ) 0 x y f x x x x f y y y y z z − − + − − − − = ເຊິື່ງຄ ສົມຜົນຂອງໜ້າພຽງສໍາພັດກັບຜິວທີື່ເມັດ P0 ສ່ວນສົມຜົນເສັື້ນປົກກະຕິ(Normal Line) ຄ : 0 0 0 1 x y x x y y z z f f − − − = = − ຕົວຢ່າງ 3.6 ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງ 2 2 z x xy y = − − ທີື່ເມັດ (1,1, 2− ) ແກ້ 2 x f x y = − 2 y f x y = − − f x (1,1 2 1 1 ) = − = f y (1,1 1 2 3 ) = − − = − ສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດ ຄ : 1 1 3 1 1 2 0 ( x y z − − − − + = ) ( ) ( ) x y z − − + − − = 1 3 3 2 0 x y z − − = 3 0 ສົມຜົນເສັື້ນປົກກະຕິ ຄ : 1 1 2 1 3 1 x y z − − − = = − − ຕົວຢ່າງ 3.7 ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດຂອງຜິວ 2 5 1 0 x yz − + = ທີື່ເມັດ (1,1,1) ແກ້ ຈາກ 2 5 1 0 x yz − + = ດັັ່ງນັື້ນ, 2 5 1 x z y + = (1,1) 10 10 z x z x y x = = ( ) ( ) 2 2 1,1 5 1 6 z z x y y y − + = = − ສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດ ຄ : 10 1 6 1 1 0 ( x y z − − − − − = ) ( ) ( ) 10 6 6 6 1 0 x y z − − + − + = 10 6 3 0 x y z − − − =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 38 3.3 ຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງ ແລະ ກຼາດຽນທ໌ ຈະເຫັນວ່າ: ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາໜຶື່ງຕົວປ່ຽນນັື້ນ ນິຍາມຈາກເລ ື່ອງອັດຕາການປ່ຽນແປງ (Rate of Change) ແລະ ຈະໄດ້ວ່າ: ອັດຕາການປ່ຽນແປງທີື່ 0 x ຄ : ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim t f x t f x f x → t + − = ຖ້າພິຈາລະນາການເຄ ື່ອນທີື່ຂອງເມັດ P1 ເຂົື້າໃກ້ P2 ຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ ດັັ່ງຮູບທີ 3.1 y P2 P1 x 0 0 x 0 x +1 ຮູບທີ 3.1 ເສັື້ນຕັດ PP1 2 ຈະເຄ ື່ອນເຂົື້າຫາຕໍາແໜ່ງຂອບເຂດ, ການເລ ື່ອນເມັດ P1 ເຂົື້າໃກ້ P2 ນັື້ນບ ໍ່ຂ ື້ນຢູ່ກັບທິດທາງ. ສໍາລັບຕໍາລາຂອງຫຼາຍຕົວປ່ຽນຈະຫຍຸ່ງຍາກຂ ື້ນ, ເນ ື່ອງຈາກສາມາດເລ ື່ອນເມັດ P1 ໄດ້ຫຼາຍທິດທາງ. ດັັ່ງນັື້ນ, ໃນ ຕອນທໍາອິດຈະສຶກສາເຖິງຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງ ຈະເຫັນວ່າ: ໃນພ ື້ນທີື່ 1 ມິຕິ ຈະມີ 2 ທິດທາງຄ : ຊ້າຍ ແລະ ຂວາ; ໃນພ ື້ນທີື່ 2 ມິຕິ ການກໍານົດທິດທາງຈະໃຊ້ມຸມເປັນເຄ ື່ອງວັດແທກ; ໃນພ ື້ນທີື່ 3 ມິຕິ ແລະ ໃນພ ື້ນທີື່ n ມິຕິໃດໆ ຈະ ອະທິບາຍທິດທາງການເຄ ື່ອນທີື່ດ້ວຍການກໍານົດ v ໃຫ້ເມ ື່ອ v =1 ໃນ n ການກໍານົດທິດທາງຈະອາໄສເວັກເຕີ v ເຊິື່ງ v =1 ; ພິຈາລະນາ f D: → , n D ແລະ p Int D 0 ( ), v ເປັນເວັກເຕີໜຶື່ງຫົວໜ່ວຍ ແລະ ຕັື້ງສາກກັບເວັກເຕີ 0 op ດັັ່ງນັື້ນ, ເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຜ່ານ 0 p ໃນທິດ ທາງ v ຄ : | , 0 n p p p tv t = + ຕົວຢ່າງເຊັັ່ນ: ໃນ 2 ຖ້າໃຫ້ p0 = (2,2) ແລະ v = (1,0) ດັັ່ງນັື້ນ, ເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຜ່ານ 0 p ໃນທິດທາງ v ຈະ ຢູ່ໃນຮູບ (2 ,2 | + t t ) ເຊິື່ງຈະໄດ້ເສັື້ນຊ ື່ໃນລວງນອນ L ເຊິື່ງຜ່ານເມັດ (2,2) ດັັ່ງຮູບທີ 3.2 y p0 = (2,2) L v = (1,0) x ຮູບທີ 3.2 ແຕ່ເລ ອກ 1 1 , 2 2 v = − ສໍາລັບ p x y = ( , ) ເທິງເສັື້ນຊ ື່ ເຊິື່ງຜ່ານ 0 p ໃນທິດທາງ v ພວກເຮົາຈະໄດ້: x , y ຈະຕ້ອງສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນ 2 2 t x = − , 2 2 t y = + ເມ ື່ອ t ດັັ່ງນັື້ນ, ເສັື້ນຊ ື່ທີື່ຜ່ານ 0 p ໃນທິດທາງ v ຈະມີເສັື້ນສະແດງເປັນ y x = −4 ດັັ່ງຮູບທີ 3.3
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 39 y L (0,4) 0 p v (4,0) 0 x ຮູບທີ 3.3 ສໍາລັບໃນ n ຈະເຫັນວ່າ: ເມັດ 1 0 p p tv = + ເປັນເມັດເທິງເສັື້ນຊ ື່ທີື່ຜ່ານ 0 p ແລະ ຂະໜານກັບເວັກເຕີ v ດັັ່ງນັື້ນ, ຖ້າຕ້ອງການເລ ື່ອນເມັດຈາກເມັດ 0 p ໃນທິດທາງ v ກ ໍ່ຄ ເລ ື່ອນເມັດຈາກເມັດ 0 p ໄປຕາມສ່ວນຂອງເສັື້ນຊ ື່ ທີື່ຜ່ານ 1 p ແລະ ຂະໜານກັບເວັກເຕີ v ນັື້ນເອງ. y 1 p 0 p v 0 x ຮູບທີ 3.4 ເນ ື່ອງຈາກ p Int D 0 ( ) ດັັ່ງນັື້ນ, ມີຄ່າ r 0 ເຊິື່ງຖ້າ t r ແລ້ວ 0 p D ດັັ່ງນັື້ນ, ສາມາດຫາຄ່າ f p( 1 ) ໄດ້. ພິຈາລະນາຕາມ f p f p f p tv f p ( 1 0 0 0 ) − = + − ( ) ( ) ( ) ຄ : ການປ່ຽນແປງຂອງ f ຈາກ 0 p ໄປຫາ 1 p f p f p ( 1 0 ) ( ) t − ຄ : ຄ່າສະເລ່ຍຂອງການປ່ຽນແປງຂອງ f ຈາກ 0 p ໄປຫາ 1 p ໃນທິດທາງ v ດັັ່ງນັື້ນ, ອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງ f ທີື່ 0 p ໃນທິດທາງ v ເທົັ່າກັບ ( 1 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim t t f p f p f p tv f p → → t t − + − = ນິຍາມ 3.1 ຖ້າ f D: → , D , p Int D 0 ( ), v ແລະ v =1 ຖ້າ ( 0 0 ) ( ) 0 lim t f p tv f p → t + − ຫາຄ່າໄດ້, ຈະເວົື້າວ່າ: f ມີຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງ 0 p ທີື່ v ໃນທິດທາງ ແລະ ໃຊ້ສັນຍາລັກ (D f p v )( 0 ) ຕົວຢ່າງ 3.8 ໃຫ້ f x y x xy ( , 2 ) = − , p0 = (0,3) ແລະ 1 1 , 2 2 v = − ຈົັ່ງຊອກຫາ (D f p v )( 0 ) ແກ້ 0 , 3 2 2 t t p tv + = − ( ) 2 0 2 3 2 2 2 2 2 t t t t t f p tv + = − − = −
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 40 ( )( ) 2 0 0 0 2 2 1 lim 2 v t t t D f p → t − − = = − ຂ ໍ້ສັງເກດ 1) (D f p D f p −v v )( 0 0 ) = −( )( ) ພິສູດ ໃຫ້ = −t ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 v v lim lim t f p tv f p f p v f p D f p D f p t − → → − − + − = = − = − 2) ຖ້າໃຫ້ v = (1,0), p x y 0 0 0 = ( , ) ( )( ) (( 0 0 0 0 ) ( )) ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 0 0 , 1,0 , , , v lim lim t t f x y t f x y f x t y f x y D f p → → t t − − + − = = ໃຫ້ g x f x y ( ) = ( 0 0 , ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 v lim t g x t g x D f p g x → t + − = = ຖ້າ g x ( 0 ) ຫາຄ່າໄດ້. ຈະເຫັນວ່າ: ( ( ) )( 0 0 ) 1,0 D f x y, ຫາຄ່າໄດ້ ໂດຍຜົນຕໍາລາຂອງ f ທີື່ 0 x ໂດຍຄິດວ່າ: f ເປັນຕໍາລາຂອງຕົວ ປ່ຽນ x ຕົວດຽວ, ຕົວປ່ຽນ y ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ແລະ ໃຊ້ສັນຍາລັກແທນ ( ( ) )( 0 0 ) 1,0 D f x y, ດ້ວຍ ( 0 0 , ) f x y x ຫຼ f x y x ( 0 0 , ) ເຊິື່ງເອີື້ນວ່າ: ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ f ທີື່ ( x y 0 0 , ) ທຽບກັບ x ນັື້ນເອງ. ເວົື້າອີກຢ່າງໜຶື່ງ ຈະເຫັນໄດ້ວ່າ: f x y x ( 0 0 , ) ເປັນອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງ f x y ( , ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ເຄ ື່ອນທີື່ ໄປໃນທິດລວງນອນ (Horizontal Direction); ໃນທໍານອງດຽວກັນ: ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ f ທີື່ ( x y 0 0 , ) ທຽບກັບ y ແທນ ( 0 0 , ) f x y y ຫຼ f x y y ( 0 0 , ) ແລະ f x y y ( 0 0 , ) ເປັນອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງ f x y ( , ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ເຄ ື່ອນໄປໃນທິດລວງຕັື້ງ (Vertical Direction) ໃຫ້ z f x y = ( , ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 , , lim lim , cos , sin x y s p p dz z f x y f x y f x y f x y ds s x y → → − = = = + + ເຊິື່ງ dz ds ຄ ຜົນຕໍາລາມີທິດທາງ (Directional Derivative) ຂອງ z ທີື່ເມັດ p x y 0 0 0 ( , ) ດັັ່ງຮູບທີ 3.5 y p s y 0 p s x 0 ຮູບທີ 3.5 ຕົວຢ່າງ ໃຫ້ 2 2 z x y = − − 100 ຖ້າເລີື່ມຕົື້ນຈາກເມັດ p0 (3,4) ໄປທາງໃດ ຈຶື່ງຈະເຮັດໃຫ້ z ມີອັດຕາການ ເພີື່ມຂ ື້ນໄວທີື່ສຸດ. ແກ້ ການຫາທິດທາງທີື່ເຮັດໃຫ້ z ມີອັດຕາການເພີື່ມຂ ື້ນໄວທີື່ສຸດຄ ການຊອກຫາມຸມ ທີື່ເຮັດໃຫ້ ຜົນຕໍາລາມີຄ່າຫຼາຍທີື່ສຸດ.
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 41 cos sin x y dz f f ds = + ( ) 2 2 z x y f x y = − − = 100 , 2 x f x = − 2 y f x = − ( ) ( ) 3,4 6cos 8sin dz F ds = − − = ຈາກສິື່ງທີື່ໄດ້ສຶກສາມາແລ້ວ, ການຫາຄ່າສູງສຸດຂອງຕໍາລາເຮັດໄດ້ໂດຍ: F( ) = 0 ແລະ F( ) 0 ຈາກ F( ) = − = 6sin 8cos 0 ( ) 2 2 2 2 = = = − = − 6sin 8cos 36sin 64cos 64 1 sin 64 64sin 2 2 64 4 100sin 64 sin sin 100 5 = = = 3 cos 5 = ຈາກ F( ) = + 6cos 8sin ຈາກເງ ື່ອນໄຂ F( ) ມີຄ່າເປັນລົບ ຫຼ ນ້ອຍກວ່າສູນ ເມ ື່ອ 4 sin 5 = − ແລະ 3 cos 5 = − ດັັ່ງນັື້ນ, (3,4) 3 4 18 32 6 8 10 5 5 5 5 dz ds = − − − − = + = ໃຫ້ w f x y z = ( , , ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: x y z ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , cos , , cos , , cos ) ( ) ( ) dw f x y z f x y z f x y z ds = + + ເຊິື່ງ dw ds ຄ ຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ w ທີື່ເມັດ p x y z 0 0 0 0 ( , , ) dw ds ໄດ້ຈາກຜົນຄູນສະກາແລຂອງເວັກເຕີ u ແລະ v ໂດຍທີື່: u i j k = + + cos cos cos v f x y z i f x y z j f x y z k = + + x y z ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , ) ( ) ( ) ແລະ ເອີື້ນ v ວ່າ: ກຼາດຽນທ໌ (Gradient) ຂອງ f ທີື່ເມັດ 0 p ; ກຼາດຽນທ໌ຂອງ f ທີື່ເມັດ p ໃດໆ ແທນ ດ້ວຍ: x y z grad f f f i f j f k = = + + ອ່ານວ່າ: ເດລ (Del) ໂດຍທີື່: i j k x y z = + + f f f grad f f i j k x y z = = + + cos dw u f f ds = = ໃຫ້ ເປັນມຸມລະຫວ່າງ u ແລະ f , ຜົນຕໍາລາທີື່ມີທິດທາງ ພວກເຮົາຈະມີຄ່າຫຼາຍທີື່ສຸດ ເມ ື່ອ = 0 ແລະ max dw grad f ds = ເວົື້າຄ : dw ds ມີຄ່າຫຼາຍທີື່ສຸດ ເມ ື່ອ u ຊີື້ໄປໃນທິດທາງຂອງ grad f
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 42 ຄຸນລັກສະນະທາງເລຂາຄະນິດທີື່ສໍາຄັນອີກປະການໜຶື່ງຂອງ grad f ຄ grad f ເປັນເວັກເຕີຕັື້ງສາກກັບຜິວ ໂຄ້ງລະດັບ (Level Surface) ທີື່ຜ່ານເມັດ p ເຊິື່ງສະແດງໄດ້ດັັ່ງນີື້: ໃຫ້ f x y z c ( , , ) = ເປັນຜິວໂຄ້ງລະດັບ ເຊິື່ງຜ່ານເມັດ p ແລະ ໃຫ້ c ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງໃດໆ ທີື່ຜ່ານເມັດ p ແລະ ຢູ່ເທິງຜິວໂຄ້ງລະດັບທັງເສັື້ນ ດັັ່ງຮູບທີ 3.6 grad f p c ຮູບທີ 3.6 ສົມຜົນເສັື້ນໂຄ້ງ c ຄ : R t x t i y t j z t k ( ) = + + ( ) ( ) ( ) d dx dy dz R i j k dt dt dt dt = + + ເປັນເວັກເຕີທີື່ສໍາພັດເສັື້ນໂຄ້ງ c ທີື່ເມັດ p ເງ ື່ອນໄຂທີື່ c ຢູ່ເທິງຜິວໂຄ້ງລະດັບນີື້ ຄ : f x t y t z t c ( ), , ( ) ( ) = ເມ ື່ອຫາຜົນຕໍາລາຂອງ f ທຽບກັບ t ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 df df dx df dy df dz dt dx dt dy dt dz dt = + + = ນັື້ນຄ : 0 d f R dt = ສະແດງວ່າ: f ຕັື້ງສາກກັບ d R dt ແລະ f ກ ໍ່ຕ້ອງຕັື້ງສາກກັບຜິວໂຄ້ງລະດັບທີື່ຜ່ານ ເມັດ p ດ້ວຍ. ຖ້າຫາຜົນຕໍາລາຂອງ f ທຽບກັບ s ພວກເຮົາຈະໄດ້: df df dx df dy df dz dR f f T ds dx ds dy ds dz ds dy = + + = = ຕົວຢ່າງ 3.9 ໃຫ້ ( ) 2 3 f x y z x y yz xz , , 3 = + + ຈົັ່ງຊອກຫາ grad f ທີື່ເມັດ (2,1,3) ແກ້ ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 3 x y z = + + = + + + + + f f i f j f k xy z i x y z j y x k ທີື່ເມັດ (2,1,3) ພວກເຮົາຈະໄດ້: = + + f i j k 7 21 5 ຕົວຢ່າງ 3.10 ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 2 2 2 f x y z = + + ໃນທິດທາງຈາກເມັດ P(1,1,0) ໄປ ຫາ Q(2,1,1) ແກ້ ໃຫ້ R i j 1 = + , 2 R i j k = + + 2 2 1 2 1 2 R R i k T R R − + = = − = + + f xi yj zk 2 2 2 ທີື່ເມັດ P(1,1,0) ພວກເຮົາຈະໄດ້: = + f i j 2 2 2 2 0 0 2 2 df f T ds = = + + = ຕົວຢ່າງ 3.11 ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 2 3 f x yz = ຕາມເສັື້ນໂຄ້ງ t x e − = , y t = + 2sin 1, z t t = −cos ທີື່ເມັດ ເຊິື່ງ t = 0
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 43 ແກ້ ເມັດ ເຊິື່ງ t = 0 ຄ ເມັດ (1,1, 1− ) 3 2 3 2 2 = + + f xyz i x z j x yz k 2 3 ທີື່ເມັດ (1,1, 1− ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: = − − + f i j k 2 3 (2sin 1 cos ) ( ) t R e i t j t t k − = + + + − 2cos 1 sin ( ) d t R e i tj t k dt − = − + + + ທີື່ເມັດ (1,1, 1− ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 d R i j k dt = − + + 2 6 i j k T − + + = ຜົນຕໍາລາມີທິດທາງ ( ) ( ) 1 2 1 3 6 2 1 3 6 6 6 6 2 f T = = − − + − + = = ຕົວຢ່າງ 3.12 ຈົັ່ງຊອກຫາໜ້າພຽງສໍາພັດຜິວ 2 2 2 z x y = + ທີື່ເມັດ (1,1,1) ແກ້ ຈາກ 2 2 2 2 2 2 z x y x y z = + + − = 0 ( ) 2 2 2 f x y z x y z , , 0 = + − = = + − f xi yj zk 2 2 2 ທີື່ເມັດ (1,1,1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: = + − f i j k 2 2 2 ສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດຄ : 2 1 2 1 2 1 0 ( x y z − + − − − = ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 x y z − + − − + = x y z + − − =1 0 3.4 ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ຖ້າ : n m f → ໃຫ້ i v e = ໂດຍທີື່ i e ຄ : ເວັກເຕີໜຶື່ງຫົວໜ່ວຍຕາມແກນທີື່ຈຸດທີື່ i ei i i ik in = ( 1 2 , , , ) ເມ ື່ອ 0, , ij i j I i j = = ຈະເຫັນວ່າ: e I 1 = ( ,0,0, ,0) e2 = (0,1,0, ,0) en = (0,0,0, ,1) ແລະ 1 i e = ຖ້າ p p p p 0 1 2 = ( , , , n ), ei = (0,0, ,0,1,0, ,0) ຈະນິຍາມຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນໂດຍທົັ່ວໄປດັັ່ງນີື້: ນິຍາມ 3.2 ຕໍາລາ f x x x ( 1 2 , , , n ) ຖ້າ p p p p 0 1 2 = ( , , , n ) ແລະ ei = (0,0, ,0,1,0, ,0) ພິຈາລະນາ ( )( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim i i e t f p te f p D f p → t + − = ຖ້າຂອບເຂດຫາຄ່າໄດ້ ( ) i D f e ເອີື້ນວ່າ: ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ f ທີື່ເມັດ 0 p ທຽບກັບ i x ແລະ ໃຊ້ ສັນຍາລັກ ( 0 ) i f p x ຫຼ f p i ( 0 ) ຫຼ ( 0 ) i x f p ຫຼ (D f p i )( 0 ) ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) 0 , , x , lim t f x t y f x y f x y → t + − = ແລະ ( ) ( ) ( ) 0 , , y , lim t f x y t f x y f x y → t + − =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 44 ພິຈາລະນາຮູບທາງເລຂາຄະນິດຂອງ f x y y ( , ) ພິຈາລະນາເມັດ A x y ( , ,0) ແລະ B x y t ( , ,0 + ) ໜ້າພຽງ T ກັບໜ້າພຽງ yz ແລະ ຜ່ານເມັດ A , B ໂດຍຕັດກັບໜ້າຜິວ S z f x y : , = ( ) ໄດ້ເສັື້ນໂຄ້ງ C ດັງຮູບທີ 3.5 z l P Q C y T A B x ຮູບທີ 3.5 ເມັດ P , Q ເປັນເມັດເທິງເສັື້ນໂຄ້ງ C ເຊິື່ງພາບສາຍເທິງໜ້າພຽງ xy ຄ : ເມັດ A , B ດັັ່ງນັື້ນ, AP f x y = ( , ), BQ f x y t = + ( , ) ແລະ AB t = ຄວາມຊັນຂອງເສັື້ນຊ ື່ຜ່ານ f x y t f x y ( , , ) ( ) PQ t + − = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) 0 , , y , lim t f x y t f x y f x y → t + − = ເປັນຄວາມຊັນຂອງເສັື້ນຕິດ l ກັບເສັື້ນໂຄ້ງ C ທີື່ເມັດ P ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ຖ້າ C ເປັນເສັື້ນໂຄ້ງຮອຍຕັດຂອງໜ້າຜິວ S ແລະ ໜ້າພຽງ T ເຊິື່ງຂະໜານກັບໜ້າ ພຽງ xz ແລະ ຜ່ານເມັດ A ຈະໄດ້ວ່າ: f x y x ( , ) ເປັນຄວາມຊັນຂອງເສັື້ນຕິດກັບເສັື້ນໂຄ້ງ C ທີື່ເມັດ P ສໍາລັບການຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ f ທຽບກັບ i x ຫາໄດ້ຈາກການຫາຜົນຕໍາລາຂອງ f ໂດຍຄິດວ່າ: f ເປັນຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນ i x ຕົວດຽວ. ຕົວຢ່າງ 3.13 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 f x y x xy , 2 = − ຈົັ່ງຊອກຫາ f x y 1 0 0 ( , ) ແກ້ ວິທີ 1: ຈາກນິຍາມ ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 , 1,0 , , , , lim lim t t f x y t f x y f x t y f x y f x y → → t t + − + − = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 2 lim lim 2 2 t t x t x t y x xy xt t yt x y → → t t + − + − − + − = = = − f x y x y 1 0 0 0 0 ( , 2 2 ) = − ວິທີ 2: ຫາ f x y 1 0 0 ( , ) ໂດຍການຫາຜົນຕໍາລາຂອງ f ທີື່ ( x y, ) ໂດຍຄິດວ່າ f ເປັນຄ ດັັ່ງຕໍາ ລາຂອງຕົວປ່ຽນ x ຕົວດຽວ, ຕົວປ່ຽນ y ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. ສະນັື້ນ, f x y x y 1 ( , 2 2 ) = − ດັັ່ງນັື້ນ, f x y x y 1 0 0 0 0 ( , 2 2 ) = − ວິທີ 2 ນີື້, ສາມາດນໍາຄວາມຮູ້ກ່ຽວກັບການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາໜຶື່ງຕົວປ່ຽນມາໃຊ້ ໂດຍໃຊ້ສູດການຫາ ຜົນຕໍາລາ ບ ໍ່ຕ້ອງຫາໂດຍຂອບເຂດ ເຊິື່ງຫຍຸ່ງຍາກຫຼາຍກວ່າ. ການຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ຈະໄດ້ຕໍາລາໃໝ່ຄ : 1 2 , , , D f D f D f n ເຊິື່ງເປັນ ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນທີື່ໜຶື່ງຂອງ f ; ພວກເຮົາອາດຈະພິຈາລະນາຜົນຕໍາລາຂອງຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ 1 2 D f D f , , ,D f n ໄດ້ອີກ ເຊິື່ງຈະໄດ້ຕໍາລາ D D f D D f D D f 1 1 2 2 ( ), , , ( ) n n ( ) ເຊິື່ງເອີື້ນວ່າ: ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນ ທີື່ສອງຂອງ f ຈະເຫັນວ່າ: ຖ້າ n = 2 , f ເປັນຕໍາລາຂອງ x ແລະ y ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນທີື່ສອງຂອງ f ຄ D D f D D f D D f D D f 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ),,, ( ) ( ) ( ) ຫຼ
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 45 2 11 xx 2 f f f x = = 2 21 yx f f f f x y x y = = = 2 12 xy f f f f y x y x = = = 2 22 yy 2 f f f y = = ໂດຍທົັ່ວໄປ, ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນ n ຂອງ f ຈະເປັນຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນທີື່ n −1 ຂອງ f ເມ ື່ອ n = 2,3, ຕົວຢ່າງ 3.14 ກໍານົດໃຫ້ 2 2 sin xz w x y z e = + ຈົັ່ງຊອກຫາ w x , w y , w z ແກ້ 2 2 sin w xz xy z ze x = + 2 2 sin w x y z y = 2 2 cos w xz x y z xe z = + 2 2 4 sin w w xy z y x x y = = ໃນທໍານອງດຽວກັນ 2 2 2 2 cos w w x y z z y y z = = ແລະ 2 2 2 2 2 cos w w xz xz xy z e z e z x x z = + + = ສໍາລັບຕ ໍ່ລາຂອງໜຶື່ງຕົວປ່ຽນ, ມີທິດສະດີຂອງການພົວພັນຂອງຜົນຕໍາລາ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາຄ : ຖ້າ f ຫາຜົນຕໍາລາທີື່ a ໄດ້ແລ້ວ f ຈະມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ a ດ້ວຍ, ແຕ່ສໍາລັບຕໍາລາຂອງຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ທິດສະດີນີື້ບ ໍ່ຈິງ ດັັ່ງ ຕົວຢ່າງຕ ໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 3.15 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1, , 0,0 , 1 , , 0,0 xy x y f x y x y x y + = + = ໃຫ້ ( x y 0 0 , 0,0 ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ,0 0,0 1 1 0,0 lim lim 0 t t f f t f x t t → → − − = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0, 0,0 1 1 0,0 lim lim 0 h h f f h f y h h → → − − = = = ດັັ່ງນັື້ນ, (0,0) f x ແລະ (0,0) f y ຫາຄ່າໄດ້; ແຕ່ f ບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (0,0) ເນ ື່ອງຈາກ ໃຫ້ S x y y x 1 = = ( , | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0,0 , 0,0 , lim , lim 2 2 x y x y x y S f x y → → = = ໃຫ້ S x y y x 2 = = − ( , | )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 46 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0,0 , 0,0 , lim , lim 0 0 x y x y x y S f x y → → = = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າໄດ້; ໝາຍຄວາມວ່າ: f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ (0,0) ດັັ່ງນັື້ນ, ຄວາມໝາຍຂອງການຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ຈຶື່ງບ ໍ່ໄດ້ມີຄວາມໝາຍວ່າ: ຜົນຕໍາລາຫາ ຄ່າໄດ້ ເມ ື່ອທຽບກັບທຸກເວັກເຕີ, ແຕ່ມີຄວາມໝາຍວ່າ: i f ຫາຄ່າໄດ້ເທິງເຂດກໍານົດ D ແຕ່ອາດຈະບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. ຄຸນລັກສະນະການສະຫຼັບຂັື້ນຂອງຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງຕໍາລາ ກ ໍ່ເປັນສິື່ງທີື່ໜ້າສົນໃຈ ເຊັັ່ນ: ຖ້າ f x y ( , ) ເປັນຕໍາລາຂອງສອງຕົວປ່ຽນ, ຈະພິຈາລະນາວ່າ: xy yx f f = ຫຼ ບ ໍ່. ຕົວຢ່າງ 3.16 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 , 2 sin , 0 x f x y x y x y = − ແກ້ ( ) 1 , 4 cos x x f x y xy y y = − ( ) 2 2 , 2 cos y x x f x y x y y = + ( ) 2 2 2 3 2 1 1 1 , 4 sin cos 4 sin cos xy x x x x x x f x y x x y y y y y y y y y = − − = − + ( ) 2 2 3 2 1 1 1 , 4 sin cos 4 sin cos yx x x x x x x f x y x x y y y y y y y y y = + − + = − + ຈາກຕົວຢ່າງ 3.5 ຈະເຫັນວ່າ: xy yx f f = ຄຸນລັກສະນະນີື້ບ ໍ່ຈິງສະເໝີໄປ ດັັ່ງຕົວຢ່າງຕ ໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 3.17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y xy x y f x y x y x y − = + = ຈົັ່ງຊອກຫາ (0,0) xy f , (0,0) yx f ແກ້ ຈາກນິຍາມ ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 0, 0,0 xy 0,0 0,0 0,0 lim t f f t f f x x f y x y x t → − = = = ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 3 3 4 2 3 5 2 2 2 2 2 4 , x x y xy x y x y y f x y x x y x y − + − = = + + ( ) 5 4 0, f t t t x t − = = − ( ) ( ) ( ) 0 0 ,0 0,0 0 0,0 lim lim 0 h h f f h f x h h → → − = = = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) 2 0 0 0,0 lim 1 t f t y x t → − − = = − ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ,0 0,0 0,0 0,0 lim t t f y y x y x y t → − = = ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 3 3 5 4 3 2 3 2 2 2 2 2 5 , y x y xy x xy x y x y f x y y x y x y − − − + = = + + ( ) 5 4 ,0 f t t t y t = =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 47 ( ) ( ) ( ) 0 0 0, 0,0 0 0,0 lim lim 0 h h f f h f y h h → → − = = = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) 2 0 0 0,0 lim 1 t f t x y t → − = = ນັື້ນຄ , ( ) ( ) 2 2 0,0 0,0 f f y x x y ສໍາລັບຕໍາລາຂອງສອງຕົວປ່ຽນ f x y ( , ) ຈະສາມາດສະຫຼັບຂັື້ນການຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຄ : xy f ແລະ yx f ແລະ ມີຄ່າເທົັ່າກັນ ໂດຍອາໄສທິດສະດີຕ ໍ່ໄປນີື້: ທິດສະດີ 3.1 ຖ້າ f x , f y , 2 f y x ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ ເຊິື່ງມີ ( x y 0 0 , ) ຢູ່ໃນກຸ່ມ ແລ້ວຈະໄດ້ ( ) 2 0 0 , f x y x y ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີຄ່າເທົັ່າກັບ ( ) 2 0 0 , f x y y x ພິສູດ ໃຫ້ g t f x t y k f x t y k ( ) = + + − + ( 0 0 0 0 , , ) ( ) (3.1) ເພາະວ່າ: g t k ( ) ມີຜົນຕໍາລາເທິງກຸ່ມເປີດ ເຊິື່ງມີ0 ຢູ່, ໂດຍທິດສະດີຄ່າກາງຈະມີ c ເຊິື່ງ 0 c h ເຮັດໃຫ້ g h g hg c k k k ( ) (0) ( ) − = ຈາກ (3.1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: k ( ) ( 0 0 0 0 0 0 , , ) ( ) ( ) ( ) f d f d g c x t y k x t x t y x t x dt x dt = + + + − + + ( 0 0 0 0 , , ) ( ) f f x t y k x t y x x = + + − + ແລະ ( ) (0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , ) ( ) ( ) ( ) k k g h g f x h y k f x h y f x y k f x y k k − + + − + − + − = ເພາະສະນັື້ນ, ( 0 0 0 0 , , ) ( ) f f x h y x t y x x + − + ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , lim k f x h y k f x h y f x y k f x y → k + + − + − + − = ( ) ( ) 0 0 lim k k k g h g → k − = ( ) 0 lim , k k hg c c h → k = ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 , , lim k f f h x c y k x c y x x → k + + − + = ໃຫ້ ( ) ( 0 0 , ) f G s x c y s x = + + ເພາະວ່າ: 2 f y x ຫາຄ່າໄດ້ເທິງກຸ່ມເປີດ ເຊິື່ງມີ ( x y 0 0 , ) ຢູ່ເທິງກຸ່ມ; ໂດຍ ທິດສະດີຄ່າກາງສໍາລັບ G s( ) ເທິງຫວ່າງເປີດ ເຊິື່ງມີເມັດ 0 ຢູ່ຈະໄດ້ ( ) ( ) ( ) G k G 0 G d k − = ເມ ື່ອ d k ເພາະວ່າ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 , , f d f G s x c y s y s x c y s y x ds y x = + + + = + + ເພາະສະນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 , , lim lim k k f f h G k G x h y x y hG d y y k → → − + − = = ( ) 2 0 0 0 lim , k f h x c y d → y x = + +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 48 ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 , , lim , x f f x h y x y y y f x c y d h y x → + − = + + (3.2) ເພາະວ່າ: 2 f y x ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ ເຊິື່ງມີ ( x y 0 0 , ) ຢູ່ໃນກຸ່ມ ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນບວກໃດໆ ຈະມີ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( ) ( ) 2 2 0 0 , , 2 f f x y x y y x y x − ສໍາລັບ ທຸກ ( x y N x y , , ) ( 0 0 ) ເລ ຶອກ 2 = ໃຫ້ h ເປັນຈໍານວນຈິງ ເຊິື່ງ 0 h ເນ ື່ອງຈາກ (3.2) ດັັ່ງນັື້ນ, 3 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 2 0 0 , , , 2 f f x h y x y f y y x c y d y x h + − + + − (3.3) ສໍາລັບທຸກຄ່າ k ເຊິື່ງ 0 k ເລ ອກ k ເຊິື່ງ 0 min , k ພວກເຮົາຈະໄດ້ (3.3) ເປັນຈິງທຸກຄ່າ h ເຊິື່ງ 0 h ພິຈາລະນາ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 , , , 2 2 x c y d x y c d c d h k + + − = = + + + + ( ) 2 ເພາະສະນັື້ນ, ( x c y d x y 0 0 0 0 + + − , , ) ( ) ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 , , 2 f f x c y d x y y x y x + + − (3.4) ຈາກ (3.3) ແລະ (3.4) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 , , , 2 2 f f x h y x y y y f x y t h y x + − − + = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 0 0 , , lim , h f f x h y x y y y f x y → h y x + − − ແຕ່ ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 2 0 0 0 , , , lim h f f x h y x y f y y x y y x h → + − = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 , , f f x y x y y x x y = 3.5 ຜົນຕໍາລາລວມ ການເວົື້າເຖິງ ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ (Differential of Function) ນັື້ນ, ຈະພິຈາລະນາຈາກກ ລະນີສະເພາະຕົວຢ່າງ ຕ ໍ່ໄປນີື້: ຖ້າ ( ) 2 f x y z xy z , , = − , p x y z = ( , , ) ແລະ Ap x y z = ( , , ) ພິຈາລະນາ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 f p Ap f x x y y z z x x y y z z + = + + + = + + − + , ,
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 49 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 = + + + − − − xy x y y x x y z z z z 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 = − + + − + − xy z x y y x z z x y z 2 ຈະເຫັນວ່າ: ພົດໃນວົງເລັບປີກກາທໍາອິດຄ : f p( ) ; ພິຈາລະນາພົດໃນວົງເລັບປີກກາທີື່ 2 ຄ : ( ) ( ) 2 ( ) f f f x y y x z z x y z x y z + − = + + ຖ້າໃຫ້ ( , , , , ) fff L x y z x y z = ດັັ່ງນັື້ນ, ພົດທີື່ 2 ຂຽນໄດ້ເປັນ L p ( ) ພົດທີື່ 3 ຄ : ( )( ) ( ) 2 − x y z ຖ້າ p ມີຄ່ານ້ອຍຫຼາຍເຂົື້າໃກ້ 0 ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( )( ) ( ) 2 − x y z ເຂົື້າໃກ້ສູນ ເພາະສະນັື້ນ, f p p f p L p ( + + ) ~ ( ) ( ) ດັັ່ງນັື້ນ, ຈະໃຫ້ນິຍາມຂອງຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ ດັັ່ງນີື້: ນິຍາມ 3.3 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາທີື່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ S ຂອງ n ມິຕິ ແລະ 1 2 , , , n f f f ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ດ້ວຍ. ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ f ທີື່ເມັດ p S ໃຊ້ສັນຍາລັກ df p( ) ເຊິື່ງໝາຍເຖິງ df p f p f p f p ( ) = + + + 1 2 ( ) ( ) n ( ) ແລະ ເອີື້ນຄ່າຂອງ df p( ) ທີື່ n x ຄ df p x f p f p f p x x x ( ) = ( 1 2 1 2 ( ), , , , , , ( ) n n ( ))( ) = + + + f p x f p x f p x 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) ວ່າ: ຜົນຕໍາລາຮ່ວມຂອງ f ທີື່ p ເມ ື່ອ n x ຈະເຫັນວ່າ: ຈາກຕົວຢ່າງສະເພາະ, ພວກເຮົາໄດ້ການປະມານຄ່າຂອງຕໍາລາ f p p f p L p ( + + ) ~ ( ) ( ) ເຊິື່ງມີທິດສະດີທີື່ສະໜັບສະໜຸນວ່າເປັນໄປໄດ້ ຄ ທິດສະດີການປະມານຄ່າ (Approximation Theorem) ທິດສະດີ 3.2 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາທີື່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ S ຂອງ n ມິຕິ; i f ຫາຄ່າໄດ້ ທຸກ i ແລະ ມີ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ດ້ວຍ E S ; E ເປັນກຸ່ມປິດທີື່ມີຂອບກຸ່ມ. ໃຫ້ df p( 0 ) ເປັນຜົນຕໍາລາຂອງ f ທີື່ເມັດ 0 p E ພວກເຮົາຈະໄດ້: f p p f p df p p p ( 0 0 0 + = + + ) ( ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ ( ) 0 lim 0 p p p → p = ຢ່າງສະໝໍໍ່າສະ ເໝີ(Uniformly) ທຸກ 0 p E ບົດນໍາ 3.1 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາທີື່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ B p r ( , ) ; i f ຫາຄ່າໄດ້ທຸກ i ແລະ ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ດ້ວຍ. ໃຫ້ p x y 0 0 0 = ( , ), = p x y ( , ) ເຊິື່ງ p r ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ສາມາດຫາເມັດ p ແລະ p ໃນ B p r ( , ) ເຊິື່ງ f p p f p x f p y ( 0 1 2 + = + ) ( ) ( ) ພິສູດ ໃຫ້ q x x y = + ( 0 0 , ) ພິຈາລະນາ f q f p f x x y f x y ( ) − = + − ( 0 0 0 0 0 ) ( , , ) ( ) f p f p f p f q f q f p ( ) − = − + − ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ສະນັື້ນ, f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ເທິງ x x x 0 0 , + ໂດຍທິດສະດີຄ່າສະເລ່ຍ ພວກເຮົາຈະມີ x ເຊິື່ງ x x x x + 0 0 , ແລະ f q f p f x x y f x y xf x y ( ) − = + + = ( 0 0 0 0 0 1 0 ) ( , , , ) ( ) ( ) ໃຫ້ ( ) 0 p x y = , ສະນັື້ນ, f q f p f p x ( ) − = ( 0 1 ) ( ) ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ເທິງຫວ່າງ y y y 0 0 , + ພວກເຮົາຈະມີ y ເຊິື່ງ y y y y + 0 0 , ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f q f p f x x y y f x x y yf x x y ( ) − = + + − + = + ( 0 0 0 0 0 2 0 ) ( , , , ) ( ) ( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 50 ໃຫ້ p x x y = + ( 0 , ) ສະນັື້ນ, f p f q f p y ( ) − = ( ) 2 ( ) ນັື້ນຄ : f p f p f p x f p y ( ) − = + ( 0 1 2 ) ( ) ( ) ພິສູດທິດສະດີ 3.2 ຈາກບົດນໍາ 0 p p p = + , = p x y ( , ) ຈະມີ p p B p f , , ( 0 ) ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f p f p f p x f p y ( ) − = + ( 0 1 2 ) ( ) ( ) ພິຈາລະນາ f p p f p f p x f p y ( 0 0 1 2 + = + + ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + − f p f p x f p y f p x f p x f p x f p y ( 0 1 0 2 0 1 1 0 2 2 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + f p df p p p ( 0 0 ) ( ) ເມ ື່ອ = − + − p f p f p x f p f p y 1 1 0 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ເນ ື່ອງຈາກ x p ແລະ y p ສະນັື້ນ, 1 1 0 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) p f p f p f p f p p − + − ໃຫ້ 0 ເນ ື່ອງຈາກ 1 f , 2 f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ແລະ ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີທີື່ 0 p ໃນ E ດັັ່ງນັື້ນ, ເລ ອກ 0 ສໍາລັບ 0 p E ຖ້າ p ເນ ື່ອງຈາກ 0 p p p − ແລະ 0 p p p − ດັັ່ງນັື້ນ, 0 1 1 0 ( ) ( ) 3 p p p f p f p − → − ແລະ 0 2 2 0 ( ) ( ) 3 p p p f p f p − → − ດັັ່ງນັື້ນ, 2 3 3 3 p p + = ສະນັື້ນ, 0 lim 0 p p → p = ທຸກຄ່າ 0 p E ສໍາລັບທິດສະດີ 2.2 ໃຊ້ໄດ້ສໍາລັບກ ລະນີທີື່ f ຜົນຕໍາລາເທິງ D ( i f ຫາຄ່າໄດ້, ແຕ່ອາດຈະບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D) ຈາກທິດສະດີການປະມານຄ່າ, ເຮັດໃຫ້ໄດ້ທິດສະດີທີື່ສໍາຄັນ ເຊິື່ງໃຊ້ໃນການຫາຜົນຕໍາລາຕາມທິດທາງໄດ້ງ່າຍຂ ື້ນ ໂດຍບ ໍ່ຕ້ອງອາໄສນິຍາມ ເຊິື່ງຫາໂດຍໃຊ້ຂອບເຂດ. ທິດສະດີ 3.3 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາທີື່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເປີດ S ແລະ i f ຫາຄ່າໄດ້; ແລະ ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ເທິງ S ດ້ວຍທຸກໆ i ແລ້ວຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງຂອງ f ທີື່ເມັດ p ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ຖ້າ df p( ) ເປັນຜົນຕໍາ ລາຂອງ f ທີື່ p ພວກເຮົາຈະໄດ້: (D f p df p v v )( ) = ( ) ພິສູດ ໃຫ້ = p tv ແລະ v =1 ສະນັື້ນ, = = p t v t ຈາກທິດສະດີ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f p tv f p df p tv tv tdf p v tv tv ( ) df p v t t t p + − + + = = = + ສະນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim t t t f p tv f p tv tv df p v df p v df p v → → → t p p + − = + = + = ຕົວຢ່າງ 3.18 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ ແລະ f x y x xy ( , 2 ) = − ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາລະບຸ ທິດທາງຂອງ f ທີື່ເມັດ (0,3) ໃນທິດທາງ 1 1 , 2 2 − ແກ້ ຈາກ (D f p df p v v )( ) = ( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 51 ໃນທີື່ນີື້, 1 1 , 2 2 v = − ( ) ( , , , 2 , 0,3 1,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f df p x y x y y x df x y = = − − = − ( )( ) ( ) 1 1 1 0,3 1,0 , 2 2 2 D f v = − − = − ຈະເຫັນວ່າ: ມີຄ່າເທົັ່າກັບຕົວຢ່າງທີື່ຫາຈາກນິຍາມໂດຍກົງ. ຕົວຢ່າງ 3.19 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາທີື່ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ ແລະ ( ) 2 2 2 f x y z x xy z , , 3 2 = − + ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາ ລະບຸທິດທາງຂອງ f ທີື່ເມັດ (1,1,0) ໃນທິດທາງ (1, 1,2 − ) ແກ້ ເວັກເຕີໜຶື່ງຫົວໜ່ວຍຂອງ ( ) ( ) ( ) 1, 1, 2 1, 1, 2 ( ) 1 1 2 1, 1, 2 , , 1, 1, 2 6 6 6 6 − − − = = = − − (D f p df p v v )( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , , , , , , 2 3 , 6 ,4 fff df p x y z x y z x y z x y xy z x y z = = − − = − − df (1,1,0 1, 6,0 ) ( ) ດັັ່ງນັື້ນ, ຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງຂອງ f ທີື່ເມັດ (1,1,0) ໃນທິດທາງ (1, 1,2 − ) ມີຄ່າເທົັ່າກັບ ( ) 1 1 2 1 6 5 1, 6,0 , , 6 6 6 6 6 6 − − − = − + = ທິດສະດີ 3.4 ຖ້າ f ຜົນຕໍາລາທີື່ 0 p ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 p ພິສູດ ເພາະວ່າ: f ຜົນຕໍາລາທີື່ 0 p ຈາກທິດສະດີ 3.2 ສະນັື້ນ, f p p f p df p p p ( 0 0 0 + = + + ) ( ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ 0 lim p p p → p ພິຈາລະນາ 0 + − = − + f p p f p df p p p df p p p ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim p p f p p f p → + = ຫຼ ( 0 0 ) ( ) 0 lim p f p p f p → + = ດັັ່ງນັື້ນ, f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 p ຕົວຢ່າງ 3.20 ກໍານົດໃຫ້ f ນິຍາມເທິງ 2 ໂດຍ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 6 , , 0,0 , 0 , , 0,0 xy x y f x y x y x y = + = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າ p0 = (0,0) ແລ້ວ (D f p v )( 0 ) ຫາຄ່າໄດ້ທຸກຄ່າ v ແຕ່ ຫາຜົນຕໍາລາທີື່ເມັດ f ບ ໍ່ໄດ້ ( f ຜົນຕໍາລາທີື່ 0 p ບ ໍ່ໄດ້) ແກ້ ໃຫ້ v v v = ( 1 2 , ) ເປັນເວັກເຕີໃດໆ, ເນ ື່ອງຈາກ v ຈະຕ້ອງມີຄຸນລັກສະນະ v =1 ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກ ເຮົາຈະໄດ້ 1 v = cos , 2 v = sin ສໍາລັບບາງຄ່າ e0,2 ດັັ່ງນັື້ນ, ພິຈາລະນາ 2 ກ ລະນີຄ : cos 0 ແລະ cos 0 = ກ ລະນີ 1 cos 0 ( )( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 cos , sin 0,0 v lim lim t t f p tv f p f t t f D f p t t → → + − − = = 3 3 3 3 6 2 0 2cos sin 2sin lim cos sin cos t e t → = = +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 52 ກ ລະນີ 2 cos 0 = ພວກເຮົາຈະໄດ້ ( )( 0 ) 0 D f p v = ດັັ່ງນັື້ນ, (D f p v )( 0 ) ຫາຄ່າໄດ້ທຸກຄ່າ v ເພາະວ່າ: f ບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (0,0) (ແບບເຝີກຫັດ) ດັັ່ງນັື້ນ, f ຜົນຕໍາລາທີື່ (0,0) ບ ໍ່ໄດ້. ຜົນຕໍາລາລວມ (Total Differential) ຫຼ ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ z f x y = ( , ) ຄ : z z dz dx dy x y = + (3.5) ເອີື້ນ dx ແລະ dy ວ່າ: ຜົນຕໍາລາຂອງ x ແລະ y ຕາມລໍາດັບ. ຜົນຕໍາລາລວມຂອງຕໍາລາ w f x y z = ( , , ) ຄ : zzz dw dx dy dz x y z = + + (3.6) ໂດຍທົັ່ວໄປຜົນຕໍາລາລວມຂອງຕໍາລາ w f x x x = ( 1 2 , , , n ) ຄ : 1 2 1 2 n n z z z df dx dx dx x x x = + + + (3.7) ຖ້າ x , y , z ຕ່າງເປັນຕໍາລາຂອງ t ແລ້ວ x dx dt t = , y dy dt t = , z dz dt t = ຈາກສົມຜົນ (3.6) ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: z x z y z z dw dt dt dt x t y t z t = + + ຖ້າ x , y , z ຕ່າງເປັນຕໍາລາຂອງ r ແລະ s ແລ້ວ x x dx dr ds r s = + , y y dy dr ds r s = + , z z dz dr ds r s = + ແລະ w x x w y y w z z dw dr ds dr ds dr ds x r s y r s z r s = + + + + + w x w y w z w x w y w z dr ds x r y r z r x s y s z s = + + + + + ຕົວຢ່າງ 3.21 ຖ້າ ( ) 2 z f x y x y y = = − , 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ dz ແກ້ ( ) 2 2 3 z z dz dx dy xydx x dy x y = + = + − ຕົວຢ່າງ 3.22 ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: z f x y = ( , ) ເມ ື່ອ f ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ ຈະສອດຄ້ອງຕາມ 2 z z x y x y = ແກ້ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 dz f x y d x y f x y xydx x dy = = + 2 ແລະ z z dz dx dy x y = + ສະນັື້ນ, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 z z xyf x y x x yf x y x x = = ແລະ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 z z x f x y y x yf x y y y = = ດັັ່ງນັື້ນ, 2 z z x y x y =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 53 3.6 ການປະມານຄ່າ ຈາກທິດສະດີ 3.2 f p p f p df p p p ( 0 0 0 + = + + ) ( ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ ( ) 0 lim 0 p p → p = ຖ້າ ( ) ( ) 1 2 2 2 = + p x y ມີຄ່ານ້ອຍຫຼາຍ ແລະ (p) ມີຄ່າເຂົື້າໃກ້ 0 ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະປະມານ ຄ່າ f p p ( 0 + ) ດ້ວຍ f p df p p ( 0 0 ) + ( ) ນັື້ນຄ f p p f p df p p ( 0 0 0 + = + ) ( ) ( ) ຫຼ f p p f p df p p ( 0 0 0 + − = ) ( ) ( ) ຕົວຢ່າງ 3.23 ( ) 2 2 f x y x xy y , 3 2 = + − , =x 0.03, = − y 0.02 ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າ f (1.03,1.98) ໂດຍປະມານ ແກ້ ໃຫ້ p0 = (1,2), = = − p x y ( , 0.03, 0.02 ) ( ) f f f df x y (1.03,1.98 1 0.03,2 0.02 1,2 1,2 , ) = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) df f f (1, 2 1, 2 , 1, 2 ) = ( x y ( ) ( )) f x y f x x = + = 6 2 1,2 10 ( ) f x y f y y = − = − 2 2 1,2 2 ( ) ແທນຄ່າ f df x y (1,2 1,2 , 3 10, 2 0.03, 0.02 3 10 0.03 2 0.02 ) + = + − − = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = + + = 3 0.3 0.04 3.34 ຕົວຢ່າງ 3.24 ກະປ໋ອງໂລຫະຮູບຊົງທ ໍ່ໜຶື່ງ, ລັດສະໝີພາຍໃນວັດໄດ້3 ນິື້ວ, ລວງສູງພາຍໃນວັດໄດ້7 ນິື້ວ, ເນ ື້ອ ໂລຫະໜ້າ 0.1 ນິື້ວ; ຖ້າໂລຫະທີື່ໃນເຮັດກະປ໋ອງນີື້ລາຄາ 30 ກີບຕ ໍ່ບ ລິມາດນິື້ວ. ຈົັ່ງຊອກຫາລາຄາໂດຍປະມານຂອງ ໂລຫະທີື່ໃຊ້ເຮັດກະປ໋ອງນີື້. ແກ້ ໃຫ້ v r h ( , ) ເປັນປະລິມານຂອງຮູບຊົງທ ໍ່ຕັນທີື່ມີລັດສະໝີ r ແລະ ລວງສູງ h ( ) 2 v r h r h , = ປະລິມານຂອງໂລຫະທີື່ໃຊ້ເຮັດກະປ໋ອງ = + + − v r r h h v r h ( 0 0 0 0 , , ) ( ) ເມ ື່ອ 0 r = 3, 0 h = 7 , =r 0.1, = h 0.2 v r r h h v r h dv r h r h ( 0 0 0 0 0 0 + + − = , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , 2 , v v dv r h r h r h r h r r h = = ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 v r r h h v r h r h r r h + + − = + , , 2 = + = 4.2 1.8 6 ປະລິມານຂອງໂລຫະທີື່ໃຊ້ເຮັດກະປ໋ອງໂດຍປະມານເທົັ່າກັບ 6 ບ ລິມາດນິື້ວ ລາຄາໂດຍປະມານຂອງໂລຫະທີື່ໃຊ້ເຮັດກະປ໋ອງນີື້ເທົັ່າກັບ 30 6 180 = ກີບ (ປະມານ 565 ກີບ) 3.7 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາປະກອບ ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາຂອງໜຶື່ງຕົວປ່ຽນ ເຊັັ່ນ: y ເປັນຕໍາລາຂອງ x y f x = ( ) ແລະ x ເປັນຕໍາລາຂອງ t x x t = ( ) ແທນຄ່າ x ໃນ y f x = ( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: y f x t g t = = ( ( )) ( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 54 ດັັ່ງນັື້ນ, y ເປັນຕໍາລາຂອງ t ໂດຍກົດລູກໂຊ່ (The Chain Rule) ສາມາດຫາຄ່າ dy dt ພວກເຮົາຈະໄດ້: dy dy dx dt dx dt = , ສໍາລັບຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນມີທິດສະດີໃນທໍານອງດຽວກັນ. ທິດສະດີ 3.5 (ກົດລູກໂຊ່) ໃຫ້ z f x y = ( , ) ແລະ x g t = ( ), y h t = ( ) ເມ ື່ອ g ແລະ h ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນ ໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງ 0 t ແລະ f ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງ p g t h t 0 0 0 = ( ( ), ( )) ແລ້ວຕໍາລາ F ເຊິື່ງ z F t = ( ) ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງ g t( 0 ) ແລະ dz z dx z dy dt x dt y dt = + ພິສູດ ໃຫ້ z f x y = ( , ) ແລະ x g t = ( ), t h t = ( ) ໃຫ້ 0 t t t = + p g t h t = ( ( ), ( )) ແລະ 0 = − p p p ດັັ່ງນັື້ນ, = p x y ( , ) ເມ ື່ອ = − x g t g t ( ) ( 0 ) ແລະ = − y h t h t ( ) ( 0 ) ໂດຍໃຊ້ຄຸນລັກສະນະການປະມານຄ່າຂອງຜົນຕໍາລາ = + x dg t t ( ) 1 ( ) = + y dh t t ( ) 2 ( ) ແລະ F t F t f p f p df p p ( ) − = − = + ( 0 0 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ເມ ື່ອ 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim 0 t t p t t p → → → t t p = = = ແທນ x , y ພວກເຮົາຈະໄດ້: = + p dg t dh t t t ( ( ), , ( )) ( 1 2 ( ) ( )) ດັັ່ງນັື້ນ, df p df dg t dh t df t t ( = + ) ( ( ), , ( )) ( 1 2 ( ) ( )) ດັັ່ງນັື້ນ, F t F t df dg t dh t t ( ) − = + ( 0 ) ( ( ), ( )) ( ) ເມ ື່ອ ( = + t df t t p ) ( 1 2 3 ( ), ( )) ( ) ພິຈາລະນາ df dg t dh t f p dg t f p dh t ( ( = + ), ( )) 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = + f p g t t f p h t t 1 0 0 2 0 0 ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) z dx z dy t t x dt y dt = + ແທນຄ່າ ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) z dx z dy F t F t t t t x dt y dt − = + + F t F t t ( ) ( 0 ) z dx z dy ( ) t x dt y dt t − = + + ພິຈາລະນາ ( ) 1 2 3 ( ) ( ) ( ) , t t t t df t t t t = + ຈະເຫັນວ່າ: ( ) ( ) ( ) 1 2 0 lim , 0,0 t t t t t → = ແລະ df ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ດັັ່ງນັື້ນ, 1 2 ( ) ( ) 0 lim , 0 t t t df t t → = ພິຈາລະນາ 3 ( ) 0 lim t t t → ເນ ື່ອງຈາກ dg ແລະ dh ເປັນຕໍາລາລີເນແອ.
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 55 ດັັ່ງນັື້ນ, M ເຊິື່ງ p M t ເມ ື່ອ t ເຂົື້າໃກ້ 0 ດັັ່ງນັື້ນ, 3 3 ( t t ) ( ) M t t ເຊິື່ງ 0 ເມ ື່ອ →t 0 ເຂົື້າໃກ້ 0 ສະນັື້ນ, 3 ( ) 0 lim 0 t t t → = ( ) 0 lim 0 t t t → = ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( 0 ) 0 lim t F t F t z dx z dy t x dt y dt → − = + ຫຼ ( ) dz z dx z dy F t dt x dt y dt = = + ທິດສະດີ 3.6 ໃຫ້ z f u v = ( , ) ເມ ື່ອ u g x y = ( , ) ແລະ v h x y = ( , ) ; g ແລະ h ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງເມັດ p x y 0 0 0 = ( , ) ແລະ f ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງເມັດ q g p h p 0 0 0 = ( ( ), ( )) ແລ້ວຕໍາລາ F ເຊິື່ງມີ z F u v = ( , ) ຈະມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເມັດໃກ້ຂອງເມັດ 0 p ; ແລະ dz z u z v dx u x v x = + ແລະ dz z u z v dy u y v y = + ພິສູດ ທໍານອງດຽວກັບທິດສະດີ 3.5 ໂດຍທົັ່ວໄປຈະໄດ້ທິດສະດີວ່າ: ຖ້າ z f x x x = ( 1 2 , , , n ) ເປັນຕໍາລາຂອງ n ຕົວປ່ຽນ i x , i n =1,2, , ແລະ x x y y y i i m = ( 1 2 , , , ) ເປັນຕໍາລາຂອງ m ຕົວປ່ຽນ j y , j m =1,2, , ; ຖ້າ i x ມີຜົນຕໍາລາໄດ້ທີື່ເມັດ 0 p ທຸກຄ່າຂອງ i ແລະ f ມີຜົນຕໍາລາໄດ້ທີື່ເມັດ 0 q ເມ ື່ອ q x p x p x p 0 1 0 2 0 0 = ( ( ), , , ( ) n ( )) ພວກເຮົາຈະ ໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 n n z f f f x x x p q p q p q p y x y x y x y = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 n n z f f f x x x p q p q p q p y x y x y x y = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 n m m m n m z f f f x x x p q p q p q p y x y x y x y = + + + ຫຼ ຂຽນສັື້ນໆ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 1 , 1,2, , n i i j j z f x j m y x y = = = ຈະເຫັນວ່າ: ຖ້າ m =1, i x ເປັນຕໍາລາຂອງ 1 y ຖ້າ 1 y y = ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 n n z f f f x x x p q p q p q p y x y x y x y = + + + ຕົວຢ່າງ 3.25 ໃຫ້ 2 z xy y = + ln , t x e = , t y e − = ຈົັ່ງຊອກຫາ t x e = ແກ້ວິທີ 1 ໂດຍການໃຊ້ກົດລູກໂຊ່ ໃຫ້ ( ) 2 z f x y xy y = = + , ln , t x e = , t y e − = z t f x t y t ( ) = ( ( ), ( )) dz z dx z dy dt x dt y dt = + z 1 1 ( xy) x xy x x = =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 56 1 2 z y y x = + 1 2 2 t t t dz e e e t t e y ye dt x y x y − − − = − + = − − ຖ້າແທນ t x e = , t y e − = 2 2 dz t e dt − = − ວິທີ 2 ໂດຍການແທນຄ່າ x , y ກ່ອນຫາຜົນຕໍາລາ ( ) 2 2 2 2 ln ln ln1 t t t t t z xy y e e e e e − − − − = + = + = + = 2 2 dz t e dt − = − ຕົວຢ່າງ 3.26 ຖ້າ 3 3 T x xy y = − + , x r = cos , y r = sin ຈົັ່ງຊອກຫາ T r ແລະ T ແກ້ ( ) ( ) 2 2 3 cos 3 sin T T x T y x y y x r x r y r = + = − + − ( )( ) ( )( ) 2 2 3 sin 3 cos T T x T y x y r y x r x y = + = − − + − ຕົວຢ່າງ 3.27 ໃຫ້ sin y u z x = , 2 x r s = + 3 2 , 3 y r s = − 4 2 , 2 2 z r s = − 2 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ u r ແລະ u s ແກ້ u u x u y u z r x r y r z r = + + ( ) ( ) ( ) 2 1 cos 6 cos 4 sin 4 y y y y z r z r x x x x x = − + + 2 6 4 cos cos 4 sin ryz y z y y r x x x x x = − + + u u x u y u z s x s y s z s = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 cos 2 cos 6 sin 6 y y y y z z s s x x x x x = − + − + − 2 2 2 6 cos cos 6 sin yz y s z y y s x x x x x = − − − ຕົວຢ່າງ 3.28 ຖ້າ 2 xy z e = , x t t = cos , y t t = sin ຈົັ່ງຊອກຫາ dz dt ທີື່ 2 t = ແກ້ ( )( ) ( )( ) 2 2 2 sin cos 2 cos sin dz z dx z dy xy xy y e t t t xye t t t dt x dt y dt = + = − + + + ທີື່ 2 t = ພວກເຮົາຈະໄດ້: x = 0 , 2 y = ດັັ່ງນັື້ນ, ( )( ) 2 3 0 1 2 2 8 dz dt = − + = − ຕົວຢ່າງ 3.29 ຖ້າ 2 y G x F x = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 G G x y G x y + =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 57 ແກ້ ( ) 2 2 2 G y y y x F F x x x x x = − + 2 2 G y y x xyF x F x x x = − + G y 2 1 x F y x x = G y y xyF y x = 2 2 2 G G y x y x F G x y x + = = ຕົວຢ່າງ 3.30 ຖ້າ x r = cos , y r = sin ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y r r + = + ແກ້ v v x v y r x r y r = + ຫຼ cos sin r x r y r x y v v x v y v v = + = + v v x v y v r v r = + = − + x y x y ( sin cos ) ( ) 1 sin cos x y v v v r = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos sin sin cos r x y x y v v v v v v r + = + + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin sin sin 2 cos sin cos x x y y x x y y = + + + − + v v v v v v v v 2 2 x y = + v v ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y r r + = + ໃນການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາປະກອບ ອາດຈະອາໄສຮູບພາບປະກອບສະແດງການພົວພັນຂອງຕົວປ່ຽນຕ່າງໆ ດັັ່ງຕົວຢ່າງ. ຕົວຢ່າງ 3.31 z f x y = ( , ), x g t = ( ), y h t = ( ) ແຕ້ມຮູບສະແດງການພົວພັນໄດ້ດັັ່ງນີື້: x z t y ຮູບທີ 3.6 ເຊິື່ງຈະເຫັນວ່າ: ຕົວປ່ຽນ z ຂ ື້ນຢູ່ກັບຕົວປ່ຽນ t ໃນສອງທາງຄ : ຜ່ານ x ແລະ y ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: dz z dx z dy dt x dt y dt = + ຕົວຢ່າງ 3.32 z f u v = ( , ) , u g x y = ( , ) , v h x y = ( , ) ແຕ້ມຮູບສະແດງການພົວພັນໄດ້ດັັ່ງນີື້: u x z v y ຮູບທີ 3.7
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 58 ເຊິື່ງຈະເຫັນວ່າ: z ເປັນຕົວປ່ຽນຂອງ x ແລະ y ໃນການຫາ z x ກ ໍ່ຈະເບິື່ງເສັື້ນທີື່ເຊ ື່ອມການພົວພັນຈາກ z ໄປຫາ x ໃນສອງທາງດ້ວຍກັນຄ : ຜ່ານ u ແລະ v ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 1 2 1 dz z du z dv f g f h dx u dx v dx = + = + ໃນທໍານອງດຽວກັນ 1 2 2 2 dz z du z dv f g f h dy u dy v dy = + = + ຕົວຢ່າງ 3.33 z f x y t = ( , , ), x g t = ( ), y h t = ( ) ແຕ້ມຮູບສະແດງການພົວພັນໄດ້ດັັ່ງນີື້: x z t y ຮູບທີ 3.8 z f g t h t t = ( ( ), , ( ) ) ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາຂອງ t ພວກເຮົາຈະໄດ້: t 1 2 dz z z dx z dy dx dy f f f dt t x dt y dt dt dt = + + = + + ຕົວຢ່າງ 3.34 z f x u v = ( , , ), u g x v y = ( , , ), v h x y = ( , ) ຈະເຫັນວ່າ: z ເປັນຕໍາລາຂອງ x ແລະ y ດັັ່ງນັື້ນ, ແຕ້ມຮູບສະແດງການພົວພັນໄດ້ດັັ່ງນີື້: u z x v y ຮູບທີ 3.8 ພິຈາລະນາເສັື້ນທີື່ຂີດຈາກ z ໄປຫາ x ໃນທິດທາງຍ້ອນລູກສອນ ດັັ່ງນັື້ນ, dz z z du z dv z z z dx x u dx v dx u v x = + + + ຈາກສົມຜົນນີື້, ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າ: z x ຄ ກັນຢູ່ 2 ພົດ, ແຕ່ຄວາມໝາຍຕ່າງກັນ; ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າ: z x ທາງຊ້າຍມ ໝາຍເຖິງຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ z ທຽບກັບ x ໃນທີື່ນີື້ z ເປັນຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ x ແລະ y ອາດຈະຂຽນແທນດ້ວຍ y z x ; ສໍາລັບ z x ທາງຂວາມ ໝາຍເຖິງຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ z ທຽບກັບ x ເມ ື່ອ z ເປັນຕໍາລາຂອງຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ x , u , v ດັັ່ງນັື້ນ, ອາດຈະຂຽນໃນອີກຮູບໜຶື່ງ ຈຶື່ງຈະເຫັນໄດ້ຊັດເຈນ 1 2 1 3 1 2 2 1 z f f g f h f g h x = + + + ໃນທໍານອງດຽວກັນ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 2 3 3 2 2 2 2 dz z du z dv z z z f g f h f g h dy u dy v dy u v y = + + = + + ຜົນຕໍາລາຂັື້ນສູງຂອງຕໍາລາປະກອບ ສໍາລັບຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນສູງຂອງຕໍາລາປະກອບ ຈະຫາໄດ້ໂດຍໃຊ້ກົດລູກໂຊ່ເຊັັ່ນດຽວກັນ ດັັ່ງຕົວຢ່າງ:
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 59 ຕົວຢ່າງ 3.35 ກໍານົດໃຫ້ z f x y = ( , ) ແລະ x g t = ( ), y h t = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ 2 2 d z dt ແກ້ ຈາກ dz z dx z dy dt x dt y dt = + ພິຈາລະນາ 2 2 d z d dz d z dx d z dy dt dt dt dt x dt dt y dt = = + ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າ: d z dx dt x dt ແລະ d z dy dt y dt ເປັນການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຜົນຄູນຂອງ 2 ຕໍາລາ. ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 2 2 2 d z z d x dx d z z d y dy d z dt x dt dt dt x y dt dt dt y = + + + ໃຊ້ກົດລູກໂຊ່ອີກຄັື້ງໜຶື່ງ. ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 2 d z z dx z dy dt x x dt y x dt = + ແລະ 2 2 2 d z z dx z dy dt y y x dt y dt = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d z z d x z dx z dx dy z dy z d y dt x dt x dt x y dt dt y dt y dt = + + + + ຕົວຢ່າງ 3.36 ກໍານົດໃຫ້ z f u v = ( , ) , u g x y = ( , ) , v h x y = ( , ) ຈົັ່ງຊອກຫາ 2 2 z x ແກ້ ຈາກ dz z du z dv dx u dx v dx = + 2 2 z z z u z v u z z u x x x x u x x v x x x u u x z = = + = + v z x x v + z v v x z + ພິຈາລະນາ 2 2 2 z z u z v z u z u x u u u x v u x u x v u x = + = + 2 2 2 z z u z v x v u v x v x = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u z u z u z u v z u z v z v x x u x v u x u x x u v x v x v x = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u z v u z u z u v z v z v u x v u x x u x u v x x v x v x = + + + + + ຕົວຢ່າງ 3.37 ຖ້າ z f x y = ( , ) ແລະ y g x = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ dz dx ແລະ 2 2 d z dx ແກ້ ການພົວພັນຂອງ z , x , y ແຕ້ມໄດ້ດັັ່ງຮູບຕ ໍ່ໄປນີື້: x z y ຮູບທີ 3.9 1 2 dz z z dy dy f f dx x y dx dx = + = +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 60 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 d z d dy d d dy d d dy d y f f f f f f f f dx dx dx dx dx dx x y dx dx dx dx = + = + = + + + 2 2 2 11 12 2 2 dy dy dy d y df df f f f dx dx dy dx dx dx = + + + + 2 2 11 12 21 22 2 2 dy dy dy d y f f f f f dx dx dx dx = + + + + ຖ້າ 12 21 f f = ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 2 11 21 22 2 2 d z dy dy d y f f f f dx dx dx dx = + + + ຜົນຕໍາລາຂັື້ນ 2 ຂອງ ແທນດ້ວຍ 2 2 xx f f f x x x = = 2 2 yy f f f y y y = = 2 yx f f f x y x y = = 2 xy f f f y x y x = = ຖ້າ xy f ແລະ yx f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ແລ້ວ xy yx f f = ຕົວຢ່າງ 3.38 ຖ້າ ( ) 3 2 f x y x xy , 2 3 = + ຈົັ່ງຊອກຫາ x f , y f , xx f , xy f , yy f , yx f ແກ້ 2 2 6 3 x f x y = + 12 xx f x = 6 xy f y = 6 y f xy = 6 yy f x = 6 yx f y = ຜົນຕໍາລາຂັື້ນສູງຂ ື້ນໄປອີກ ເຊັັ່ນ: 3 3 f x , 3 2 f x y , 3 3 f x y , 3 2 2 f x y , ຕົວຢ່າງ 3.39 ໃຫ້ ( ) 1 2 2 2 2 u x y z − = + + ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 222 2 2 2 0 uuu x y z + + = ແກ້ ສົມມຸດວ່າ: ( x y z , , 0,0,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 u x y z x x x y z x − − = − + + = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 u x x y z x x y z x − − = − − + + + + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x x y z x y z x y z x y z x y z + + − − =−= + + + + + + ໃນທໍານອງດຽວກັນ ( ) 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 u y x z 2 y x y z − − = + +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 61 ( ) 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 u z x y 2 z x y z − − = + + ດັັ່ງນັື້ນ, 222 2 2 2 0 uuu x y z + + = ຕົວຢ່າງ 3.40 ຖ້າ 2 1 tan y z x x − = ຈົັ່ງຊອກຫາ 2 z x y ທີື່ເມັດ (1,1) ແກ້ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z y x x x x y y x x y x x y y x = = = + + + ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 z z x y x x x 3 2 x y x y x y + − = = + ທີື່ເມັດ (1,1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1 2 z x y − = = 3.8 ຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງນິຍາມໂດຍກົງ ສົມຜົນ F x y z ( , , 0 ) = ຖ້າ z f x y = ( , ) ແລ້ວ z ຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເຊິື່ງນິຍາມໂດຍກົງ, ບາງຄັື້ງຈາກສົມ ຜົນ F x y z ( , , 0 ) = ອາດນິຍາມ z ໄດ້ຫຼາຍແບບ ເຊັັ່ນ: ພິຈາລະນາ 2 2 2 x y z + + = 4 ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 z x y = − − 4 ນັື້ນຄ 2 2 z x y = − − 4 ຫຼ 2 2 z x y = − − − 4 ເຊິື່ງ z ທັງສອງຄ່ານີື້ຈະຫາໄດ້ ເມ ື່ອ 2 2 x y + 4 ຈາກຄ່າ z ທັງສອງນີື້, ສາມາດຫາຜົນຕໍາລາ z x ແລະ z y ໄດ້ໂດຍກົງ, ແຕ່ບາງສົມຜົນບ ໍ່ສາມາດຈັດ z ໃຫ້ຢູ່ໃນພົດຂອງ x , y ໄດ້ ເຊັັ່ນ: ( ) 2 2 , , 1 0 z F x y z x xy z e− = + + − + = ໃນກ ລະນີຈະອາໄສຄວາມຮູ້ຂອງຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາປະກອບມາຊ່ວຍຫາ z x , z y ພິຈາລະນາ F x y z ( , , 0 ) = (3.8) ເມ ື່ອ z f x y = ( , ) (3.9) F x y f x y ( , , , 0 ( )) = ສົມມຸດວ່າ: ສົມຜົນເປັນຈິງ ເມ ື່ອ ( x y, ) ຢູ່ໃນຫວ່າງກໍານົດ D ເມ ື່ອ ( ) ( ) 3 D x y x y z E = , | , , ແລະ z f x y = ( , ) ແລະ F ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ ຈາກສົມຜົນ (3.5) ຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 x z z F F x + = ແລະ 0 y z z F F y + = ດັັ່ງນັື້ນ, x x z z F f x F = = − ແລະ y y z z F f y F = = − ຕົວຢ່າງ 3.41 ຖ້າ 2 2 1 0 z x xy z e − + + − + = ແລະ z f x y = ( , ) ຈົັ່ງຊອກຫາ f x ແລະ f y ແກ້ ໃຫ້ ( ) 2 2 , , 1 0 z F x y z x xy z e− = + + − + = 2 F x y x = + , F x y = , 2 z F z e z − = +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 62 2 2 x z z z x y F x F z e− − − = − = + 2 y z z z x F y F z e− − = − = + ພິຈາລະນາ F x y u v ( , , , 0 ) = (3.10) ແລະ G x y u v ( , , , 0 ) = (3.11) ເມ ື່ອ u f x y = ( , ), v g x y = ( , ) ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ຖ້າຊອກຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ (3.10) ແລະ (3.11) ທຽບກັບ x ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 x u v u v F F F x x + + = ຫຼ u v x u v F F F x x + = − ແລະ 0 x u v u v G G G x x + + = ຫຼ u v x u v G G G x x + = − ທັງສອງສົມຜົນເປັນສົມຜົນລີເນແອ ໂດຍຫຼັກເກນກຼາເມີ (Cramer’s Rule) ພວກເຮົາຈະໄດ້: x v x v x v x v x v x v u v u v u v u v u v u v F F F F u G G G G F G G F x F G G F F F F F G G G G − − − = = − = − − u x u x u x u x u x u x u v u v u v u v u v u v F F F F v G G G G F G G F x F G G F F F F F G G G G − − − = = − = − − ຕົວກໍານົດ ຫຼ ເດເຕັກມີນັງ ( ) ( ) , , A A s t A B B B s t s t = ມີຊ ື່ສະເພາະເອີື້ນວ່າ: ຈາໂຄປຽນສ໌(Jacobian) ດັັ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G u x v x F G u v = − ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G v u x x F G u v = − ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ຖ້າຕ້ອງການຫາຄ່າ u y ແລະ v y ກ ໍ່ຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂອງ (3.10) ແລະ (3.11) ທຽບກັບ y ແລ້ວແກ້ສົມຜົນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G u y v y F G u v = − ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G v u y y F G u v = − ຕົວຢ່າງ 3.42 ກໍານົດໃຫ້ 2 u v x y − = + 3 ແລະ 2 u v x y − = − 2 2 ແກ້ ( ) 2 F x y u v u v x y , , , 3 0 = − − − = ( ) 2 G x y u v u v x y , , , 2 2 0 = − − + = 3 F x = − , 2 F u u = , 1 F v = − , 1 G x = − , 1 G u = , 4 G v v = −
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 63 3 1 1 4 1 12 2 1 1 8 1 4 x v x v u v u v F F u v G G v x uv F F u G G v − − − − = − = − = − − − ຕົວຢ່າງ 3.43 ຖ້າ z f x y = ( , ) ເປັນຄໍາຕອບໜຶື່ງຂອງ F x y z Ax By ( + + + = , 0 ) ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: z z A B y x − ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. ແກ້ ໃຫ້ u x y x y z ( , ) = + + ແລະ v x y Ax By ( , ) = + ສະນັື້ນ, G x y F x y z Ax By ( , , ) = + + + ( ) 1 G F u F v F z F A x u x v x u x v = + = + + 1 1 2 0 z F F AF x = + + ( 1 2 ) 1 z F AF x F + = − 1 2 1 G F u F v z F BF y u y v y x = + = + + 1 2 0 1 z F BF y = + + ( 1 2 ) 1 z F BF y F + = − ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z A B AF BF A B F BF F AF B A y x F F F − + − = − + + + = = − ຄ່າຄົງຄ່າ. ຕົວຢ່າງ 3.44 ໃຫ້ u , v ເປັນຕໍາລາຂອງ x ແລະ y ແລະ ສົມຜົນ 2 2 2 2 u v x y + + + = 3, 2 2 2 2 u v x y + − + = 2 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ 2 2 u x ແລະ 2 2 u y ແກ້ ໃຫ້ ( ) 2 2 2 2 F u v x y u v x y , , , 3 0 = + + + − = ແລະ ( ) 2 2 2 2 G u v x y u v x y , , , 2 3 0 = + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 , 2 4 3 , 2 2 , 2 4 F G x v u x x v x v x u F G u v u v u v − = − = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 , 2 4 , 2 2 , 2 4 F G y v u y y v y v y u F G u v u v u v = − = − = ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 2 3 u x u x x x 3 3 3 3 3 9 3 x u x u u u u u u = − = − − = − 2 2 2 2 2 3 u y u y y y 1 1 1 y u y u u u u u u = − = − = −
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 64 3.9 ການປ່ຽນຕົວປ່ຽນ ບັນຫາຕ່າງ ທາງດ້ານຟີຊິກ ໄດ້ນໍາເອົາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນໄປໃຊ້ຫຼາຍ ໂດຍສະເພາະຢ່າງຍິື່ງການ ປ່ຽນແປງໃໝ່ ດັັ່ງຕົວຢ່າງຕ ໍ່ໄປນີື້: ຕົວຢ່າງ 3.45 ກໍານົດໃຫ້ u f x y = ( , ), x s t = + ແລະ y s t = − ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ສົມຜົນ 2 2 2 2 0 u u x y − = ຈະປ່ຽນໄປເປັນ 2 0 u s t = ແກ້ ຈາກກົດລູກໂຊ່ u u s u t x s x t x = + ແລະ u u s u t y s y t y = + ຈາກ x s t = + ແລະ y s t = − ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 x y s + = ແລະ 2 x y t − = 1 2 s x = , 1 2 t x = , 1 2 s y = , 1 2 t t = − ແທນຄ່າ 1 1 2 2 u u u x s t = + ແລະ 1 1 2 2 u u u y s t = − 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 u u u s u t u u s u u t x x x s x x t x x s s t x t s t x = = + = + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 u u u u s s t t s t = + + + ຖ້າ u ມີຄຸນລັກສະນະທີື່ເຮັດໃຫ້ 2 2 u u s t t s = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 u u u u x s s t t = + + ແລະ 2 2 1 1 1 2 2 2 u u u s u t u u y y y s y y t y y s s t = = + = − 1 1 1 2 2 2 u u t s t + − − 2 2 2 2 2 1 2 4 u u u s s t t = − + ແທນຄ່າ 2 2 2 2 2 0 u u u x y s t − = = ດັັ່ງນັື້ນ, 2 0 u s t = ການປ່ຽນຕົວປ່ຽນທີື່ພົບຕະຫຼອດໄດ້ແກ່: ການປ່ຽນຈາກລະບົບຫົວໜ້າຕັື້ງສາກໄປເປັນລະບົບຫົວໜ້າໄຕມຸມມິຕິ (Polar Coordinates) ຖ້າ ເປັນເມັດໃນລະບົບຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກ ແລະ ເປັນເມັດໃນລະບົບຫົວໜ້າໄຕມຸມມິຕິ ພວກ ເຮົາຈະໄດ້ການພົວພັນ ດັັ່ງນີື້: x r = cos , y r = sin (3.12) ຖ້າ u f x y = ( , ) ແລະ u ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້. ດັັ່ງນັື້ນ, u f r r r = = ( cos , sin , ) ( ) ເປັນຕໍາລາຂອງ r ແລະ ດ້ວຍ. ຈາກສົມຜົນ (3.9) ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າ: x ແລະ y ກ ໍ່ເປັນຕໍາລາຂອງ r , ດ້ວຍ. ດັັ່ງນັື້ນ, u x u y r x r y r = + ແລະ u x u y x y = + ແຕ່ cos x r = , sin x r = − ແລະ sin y r = , cos y r =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 65 ດັັ່ງນັື້ນ, cos sin u u r x y = + (3.13) sin cos u u r r x y = − + (3.14) ສໍາລັບຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນສອງຂອງ ສາມາດຫາໄດ້ໂດຍໃຊ້ກົດລູກໂຊ່ຊ່ວຍອີກຄັື້ງ ດັັ່ງນີື້: 2 2 cos sin cos sin u u u u r r x y r x r y = + = + ພິຈາລະນາ 2 2 2 cos sin u u x u y u u r x x x r y x r x y x = + = + ແລະ 2 2 2 cos sin u u x u y u u r y x y r y y r x y y = + = + ແທນ 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin cos sin u u u u r x y x x y y = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin u u u u x y x x y y = + + + ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ສໍາລັບຄ່າຂອງ 2 2 ແລະ 2 r ກ ໍ່ສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍອາໄສກົດລູກໂຊ່ເຊັັ່ນດຽວກັນ. ຕົວຢ່າງ 3.46 ກໍານົດໃຫ້ x r = cos , y r = sin ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 2 2 2 u u u u 1 x y r r + = + ແກ້ ຈາກ cos sin u u u r r x y = = + ແລະ sin cos u u u r r x y = = − + ດັັ່ງນັື້ນ, 1 sin cos u u u r x y = − + 2 2 2 2 2 1 cos sin sin cos u u u u u u r r x y x y + = + + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos u u u u u u x y x y x y = + + + = + ຈາກສົມຜົນ (3.12) ບາງຄັື້ງອາດຈະຕ້ອງການຫາ u x ຫຼ 2 2 u x ໂດຍກົງ ເຊັັ່ນ: ຕ້ອງການສະແດງວ່າ: ສົມຜົມ ລາປລາຊ 2 2 2 2 0 u u x y + = ສາມາດປ່ຽນເປັນຮູບສົມຜົນ 2 2 2 2 2 1 1 0 u u u r r r r + + = ຈາກ x r = cos ຫາຜົນຕໍາລາທຽບກັບ y ດັັ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 cos sin r r y y = − ແລະ ຈາກສົມຜົນ y r = sin ຫາຜົນຕໍາລາທຽບກັບ x ພວກເຮົາຈະໄດ້: 0 sin cos r r x x = + ຈາກ 2 2 2 x y r + = ຫາຜົນຕໍາລາທຽບກັບ x ແລະ y ຕາມລໍາດັບ. ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 r x r x = ເຊິື່ງ cos r x x r = = ແລະ 2 2 r y r y = ເຊິື່ງ sin r y y r = = ແທນຄ່າໃນສົມຜົນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: sin x r = − ແລະ cos y r =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 66 ດັັ່ງນັື້ນ, sin cos u u r u u u x r x x r r = + = − cos sin u u r u u u y r y y r r = + = + 2 2 sin sin cos cos u u u u u x x r r x r r x = − = − ພິຈາລະນາ ( ) 2 2 2 sin cos u u r u u u x r r r x r x r r r = + = + − ແລະ 2 2 2 sin cos u u r u u u x r x x r r = + = + − ຖ້າ u ເປັນຕໍາລາ ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະທີື່ເຮັດໃຫ້ 2 2 u u r r = ແທນຄ່າ u x r ແລະ u x ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2sin cos 2sin cos sin cos u u u u u u x r r r r r r r = − − + + ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ສໍາລັບ 2 2 u y ຫາໄດ້ຈາກ 2 2 sin sin u u u y y r r = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2sin cos 2sin cos cos sin u u u u u r r r r r r r = − + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u 1 1 x y r r r r + = + + ດັັ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 2 1 1 0 u u u r r r r + + = ບັນຫາການປ່ຽນຕົວປ່ຽນອີກຮູບແບບໜຶື່ງ ເຊິື່ງເປັນການນໍາໃຊ້ໃນດ້ານ Thermodunamics ເຊິື່ງມີຕົວປ່ຽນ U , T , V ແລະ p ພົວພັນກັນດ້ວຍສົມຜົນ E U T V p ( , , , 0 ) = (3.12) G U T V p ( , , , 0 ) = (3.13) ເມ ື່ອ U ຄ ພະລັງງານພາຍໃນ (Internal Energy) T ຄ ອຸນຫະພູມ (Temperature) V ຄ ປະລິມານ (Volume) p ຄ ຄວາມດັນ (Pressure) ສົມຜົນ (3.12) ແລະ (3.13) ສາມາດແກ້ສົມຜົນໄດ້ເມ ື່ອຕົວປ່ຽນ 2 ໃນ 4 ຕົວ ຖ ກເລ ອກໃຫ້ເປັນຕົວປ່ຽນ ອິດສະຫຼະ ແລະ 2 ຕົວທີື່ເຫຼ ອເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ ເຊັັ່ນ: ເມ ື່ອ T ແລະ V ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ, ຈາກກົດຂ ໍ້ 2 ຂອງ Thermodunamics ຈະໄດ້ສົມຜົນ 0 U p T p V T − + = (3.15) ດັັ່ງນັື້ນ, ສົມຜົນນີື້ມີ U ແລະ p ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ. ຖ້າຕ້ອງການສະແດງວ່າ: ສົມຜົນ (3.15) ສາມາດປ່ຽນເປັນສົມຜົນຮູບອ ື່ນໄດ້ ເຊັັ່ນ:
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 67 0 T p T T p V U U + − = ນັື້ນຄ , ຕ້ອງການໃຫ້ຕົວປ່ຽນ U ແລະ V ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ ແລະ T , p ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ ດັັ່ງນັື້ນ, ຈະ ໃຫ້: ( ) ( ) , , T f U V p g U V = = (3.16) ຈາກສົມຜົນ (3.15) ເມ ື່ອພົດ T U V ແລະ V p T ດັັ່ງນັື້ນ, ຈະຫາຜົນຕໍາລາຂອງ (3.16) ທຽບກັບ T ແລະ V ພວກເຮົາຈະໄດ້: ຜົນຕໍາລາຂອງ (3.16) ທຽບກັບ V T f U f V V U V V V = + 1 2 0 U f f V = + ຫຼ 2 1 U f V f = − p g U g V V U V V V = + 1 2 p U g g V V = + ຜົນຕໍາລາຂອງ (3.16) ທຽບກັບ T T f U f V T U T V T = + 1 1 0 U f T = + ຫຼ 1 U 1 T f = ແລະ p g U g V T U T V T = + 1 0 p U g T T = + ແທນຄ່າ U T ພວກເຮົາຈະໄດ້: 1 1 p g T f = ແທນ U V ແລະ U T ໃນສົມຜົນ (3.15) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 1 1 0 U p f g T p T p V T f f = − + = − − + 2 1 1 − − + = f Tg pf 0 2 1 1 f Tg pf + − = 0 ຫຼ 0 T p T T p V U U + − = 3.10 ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ໃນການຫາຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາທີື່ມີຕົວປ່ຽນດຽວ ເຊັັ່ນ: y f x = ( ) ເຊິື່ງເປັນເສັື້ນໂຄ້ງ ມີ ຫຼັກການດັັ່ງນີື້:
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 68 ໃຫ້ c ເປັນເມັດວິກິດຂອງຕໍາລາ f ເຊິື່ງມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງ ໃນຫວ່າງ a b, ແລະ f c ( ) = 0 ໂດຍ c a b , ຖ້າ f c ( ) ຫາຄ່າໄດ້; 1) ຖ້າ f c ( ) 0 ແລ້ວ f ມີຄ່າສູງສຸດສໍາພັດທີື່ c 2) ຖ້າ f c ( ) 0 ແລ້ວ f ມີຄ່າສູງສຸດສໍາພັດທີື່ c ຖ້າ z f x y = ( , ) ເຊິື່ງແທນຜິວ ແລະ f x h y k f x y ( 0 0 0 0 + + , , ) ( ) ແລ້ວເມັດ ( x y 0 0 , ) ເອີື້ນວ່າ: ເມັດສູງສຸດສໍາພັດຂອງ f x y ( , ) f x h y k f x y ( 0 0 0 0 + + , , ) ( ) ແລ້ວເມັດ ( x y 0 0 , ) ເອີື້ນວ່າ: ເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດຂອງ f x y ( , ) ສໍາລັບ h ແລະ k ເຊິື່ງ 0 h , 0 k ເມ ື່ອ ເປັນຈໍານວນບວກ ເງ ື່ອນໄຂທີື່ f x y ( , ) ມີຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຄ : 0 f x = ແລະ 0 f y = (3.17) ຖ້າ ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດວິກິດ ເຊິື່ງສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນ (3.17) ແລະ ຖ້າ ຖ ກກໍານົດໂດຍ ( 0 0 ) 2 2 2 2 2 2 x y, f f f x x x y = − 1) ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດສູງສຸດສໍາພັດ, ຖ້າ 0 ແລະ ( 0 0 ) 2 2 , 0 x y f x ຫຼ ( 0 0 ) 2 2 , 0 x y f y 2) ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດ, ຖ້າ 0 ແລະ ( 0 0 ) 2 2 , 0 x y f x ຫຼ ( 0 0 ) 2 2 , 0 x y f y 3) ( x y 0 0 , ) ບ ໍ່ເປັນທັງເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດ, ຖ້າ 0 ເອີື້ນ ( x y 0 0 , ) ວ່າ: Saddle Point 4) ຖ້າ = 0 ແລ້ວ ສະຫຼຼຸບບ ໍ່ໄດ້. ໃນການທົດສອບວ່າເມັດ ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດ ອາດໃຊ້ວິທີການຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) ຖ້າ D f x h y k f x y = + + − ( 0 0 0 0 , , 0 ) ( ) ແລ້ວ ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດສູງສຸດ. 2) ຖ້າ D f x h y k f x y = + + − ( 0 0 0 0 , , 0 ) ( ) ແລ້ວ ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດຕໍໍ່າສຸດ. ຕົວຢ່າງ 3.47 ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄໍາຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດຂອງ ( ) 3 3 f x y x y x y , 3 12 20 = + − − + ແກ້ 2 3 3 0 1 x f x x = − = = 2 3 12 0 2 y f y y = − = = ດັັ່ງນັື້ນ, ເມັດວິກິດຄ : A(1,2) , B(−1,2), C(1, 2− ), D(− − 1, 2) 6 xx f x = 6 yy f x = 0 xy f = ( )( ) ( ) 2 36 xx yy xy = − = f f f xy ທີື່ເມັດ A(1,2) , 0 ແລະ 0 xx f ຫຼ 0 yy f ດັັ່ງນັື້ນ, A ເປັນເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດ. ທີື່ເມັດ B(−1,2), 0 ແລະ B ບ ໍ່ເປັນທັງເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດ. ທີື່ເມັດ C(1, 2− ), 0 ແລະ C ບ ໍ່ເປັນທັງເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດ. ທີື່ເມັດ D(− − 1, 2), 0 ແລະ 0 xx f ຫຼ 0 yy f ດັັ່ງນັື້ນ, D ເປັນເມັດສູງສຸດສໍາພັດ. ດັັ່ງນັື້ນ, ຄ່າຕໍໍ່າສຸດສໍາພັດຂອງ f x y ( , ) ຄ : 2 ແລະ ຄ່າສູງສຸດສໍາພັດຂອງ f x y ( , ) ຄ 38 ເມັດ B ແລະ C ເປັນ Saddle Point
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 69 ຕົວຢ່າງ 3.48 ຈົັ່ງຊອກຫາເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດຂອງຜິວ 2 2 z x xy y x y = + + − + − 3 3 6 3 6 ແກ້ 2 3 6 0 z x y x = + − = ..... 1( ) 3 6 3 0 z x y y = + + = ..... 2( ) ຄູນ 2 ໃສ່ (1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 4 6 12 0 x y + − = ..... 3( ) ເອົາ (3 2 ) −( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: x x − = = 15 0 15 ແທນຄ່າ x ໃສ່ (1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: y =−8 f (15, 8− ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = + − + − − + − − = − 15 3 15 8 3 8 6 15 3 8 6 63 ທົດສອບວ່າເປັນເມັດສຸງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດຈາກ D f h k f = + − + − − (15 , 8 15, 8 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = + + + − + + − + − + + − + − − 15 3 15 8 3 8 6 15 3 8 6 63 h h k k h k 2 2 = + + − + − + + − + − − − + − + 255 30 360 45 24 3 192 48 3 90 6 24 3 6 63 h k h hk k k h k 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 0 2 4 2 4 h hk k h hk k k h k k = + + = + + + = + + ດັັ່ງນັື້ນ, ຜິວນັື້ນມີເມັດຕໍໍ່າສຸດທີື່ (15, 8, 63 − − ) ຖ້າ w f x x x = ( 1 2 , , , n ) ແລ້ວ ການຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາ w ເຮັດໄດ້ໂດຍໃຊ້ເງ ື່ອນໄຂ ຕ ໍ່ໄປນີື້: ຕົວຄູນລາກຼັງ (Lagrange Multipliers) ການຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາ F x y z ( , , ) ພາຍໃຕ້ເງ ື່ອນໄຂຄ່າຄົງຄ່າ (Constraint) ວາງໃຫ້ G x y z ( , , 0 ) = ເຮັດໄດ້ໂດຍໃຫ້ H x y z F x y z G x y z ( , , , , , , , ) = + ( ) ( ) ເອີື້ນ ວ່າ: ຕົວຄູນລາກຼັງ, ຊອກຫາຄ່າຂອງ x , y , z , ຈາກ 0 H x = , 0 H y = , 0 H z = , H 0 = ຫຼ ຈະຊອກຫາໄດ້ໂດຍໃຫ້ H x y z F x y z G x y z ( , , , , , , , ) = + ( ) ( ) ແລະ ຊອກຫາຄ່າ x , y , z , ຈາກ 0 H x = , 0 H y = , 0 H z = , H 0 = ຕົວຢ່າງ 3.49 ຈົັ່ງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງທີື່ສັື້ນທີື່ສຸດຈາກເມັດກໍາເນີດໄປຫາອີແປກໂບນ 2 2 x xy y + + = 8 7 225 ແກ້ ( ) 2 2 F x y x y , = + ( ) 2 2 G x y x xy y , 8 7 225 0 = + + − = ( ) ( ) 2 2 2 2 H x y x xy y x y , , 8 7 225 0 = + + − + + = H x y x x y x = + + = + + = 2 8 2 1 4 0 ( ) ..... 1( ) H x y y x y y = + + = + + = 8 14 2 4 7 0 ( ) ..... 2( ) ຈາກ (1) ແລະ (2) ເນ ື່ອງຈາກ ( x y, 0,0 ) ( ) ດັັ່ງນັື້ນ, 2 1 4 8 9 0 1, 9 4 7 + = + − = = − + ຖ້າ =1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: x y = −2 ແທນຄ່າ x ໃນ 2 2 x xy y + + = 8 7 225 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 − = 5 225 y ເຊິື່ງເປັນໄປບ ໍ່ໄດ້. ຖ້າ = −9 ພວກເຮົາຈະໄດ້: y x = 2 ແທນຄ່າ y ໃນ 2 2 x xy y + + = 8 7 225 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 45 225 5 x x = =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 70 2 2 = = y x4 20 ສະນັື້ນ, 2 2 2 2 x y x y + = + = + = 5 20 25 5 ດັັ່ງນັື້ນ, ໄລຍະຫ່າງທີື່ສັື້ນທີື່ສຸດທີື່ຕ້ອງການຄ 5 3.11 ທິດສະດີກໍາລັງສອງນ້ອຍສຸດ ໃນຫົວຂ ໍ້ນີື້, ຈະນໍາວິທີການຫາຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງຕໍາລາທີື່ມີຄົວປ່ຽນ 2 ຕົວ ມາຊອກຫາສົມຜົນເສັື້ນຊ ື່ y mx b = + ທີື່ເໝາະສົມທີື່ສຸດ, ສໍາລັບເມັດ ( x y x y x y 1 1 2 2 , , , , , , ) ( ) ( n n ) ເຊິື່ງເປັນເມັດຕ່າງໆ ທີື່ມີຢູ່ (Obsereved Points) ວິທີການນີື້ເອີື້ນວ່າ: ທິດສະດີກໍາລັງສອງນ້ອນສຸດ (The Method of Least Squares) ຄ່າ x ແຕ່ລະຄ່າ ເອີື້ນວ່າ: obs x ຈະມີຄ່າ y ຈໍານວນ 2 ຄ່າ ຄ : ຄ່າ y ທີື່ມີຢູ່ແລ້ວ ເອີື້ນວ່າ: obs y ກັບຄ່າ y ທີື່ ຊອກຫາໄດ້ຈາກສົມຜົນ obs y mx b mx b = + = + ຜົນລົບຂອງ obs y ກັບ obs y mx b = + ເອີື້ນວ່າ: ການເອ່ນອຽງ (Deviation) ແທນດ້ວຍ dev dev y mx b = − + obs obs ( ) ຈາກເມັດຕ່າງໆ ທີື່ມີຢູ່ ສາມາດຊອກຫາການເອ່ນອຽງ ໄດ້ດັັ່ງນີື້: dev y mx b 1 1 1 = − + ( ) dev y mx b 2 2 2 = − + ( ) dev y mx b n n n = − + ( ) ການເອ່ນອຽງນີື້ອາດເປັນບວກ ຫຼ ລົບ ເມ ື່ອຍົກກໍາລັງສອງຈະເປັນບວກສະເໝີ ແລະ ນໍາການເອ່ນອຽງທີື່ຍົກກໍາລັງ ສອງແລ້ວມາບວກກັນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n i dev dev dev dev = = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 n n = − + + − + + + − + y mx b y mx b y mx b = f m b ( , ) ເສັື້ນຊ ື່ທີື່ໃກ້ ແລະ ເໝາະສົມທີື່ສຸດກັບເມັດທີື່ມີຢູ່, ຊອກຫາໄດ້ໂດຍການເຮັດໃຫ້ການເອ່ນອຽງມີຄ່ານ້ອຍທີື່ສຸດ ນັື້ນຄ : ຊອກຫາຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງ f m b ( , ) ຕົວຢ່າງ 3.50 ຈົັ່ງຊອກຫາເສັື້ນຊ ື່ທີື່ເໝາະສົມທີື່ສຸດສໍາລັບເມັດ (0,0), (1,2), (2,3), (3,4) ແກ້ obs x obs y dev 2 dev 0 0 −b 2 b 1 2 2 − − m b 2 2 4 4 4 2 + + − − + m b m b mb 2 3 3 2 − − m b 2 2 9 4 12 6 4 + + − − + m b m b mb 3 4 4 3 − − m b 2 2 16 9 24 8 6 + + − − + m b m b mb ( ) 2 2 f m b m b m b mb , 29 14 4 40 18 12 = + + − − + 28 12 40 0 f m b m = + − = ..... 1( ) 8 18 12 6 4 9 0 f b m m b b = − + = + − = ..... 2( ) ເອົາ 3 ຄູນ (2) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 18 12 27 0 m b + − = ..... 3( ) ເອົາ (1 3 ) −( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: 13 10 13 0 10 m m − = =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 71 ສະນັື້ນ, 6 13 3 4 9 10 10 b b = − = ດັັ່ງນັື້ນ, ສົມຜົນເສັື້ນຊ ື່ທີື່ຕ້ອງການຄ : 13 3 10 13 3 0 10 10 y x y x = + = + = ບົດເຝີກຫັດ 1. ໃຫ້ ( ) 2 4 f x y x y x , 2 = − ຈົັ່ງຊອກຫາ x f , y f 2. ໃຫ້ ( ) 2 g x y x y , cos = ຈົັ່ງຊອກຫາ x g , y g 3. ໃຫ້ ( ) 2 h x y xy xy x , cos 3 2 = − − ຈົັ່ງຊອກຫາ x h , y h 4. ໃຫ້ ( ) 3 2 f x y x xy y , 2 3 = − + ຈົັ່ງຊອກຫາ f (−2,3), 1 2 f , x y 5. ຈົັ່ງຊອກຫາເຂດກໍານົດຂອງ ( ) ( )( ) 2 2 2 2 f x y x y x y , ln 16 4 = − − + − 6. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: tan y z xy x = ສອດຄ້ອງຕາມ 22 z z x y x y + = ຖ້າ ( x y, 0,0 ) ( ) 7. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງຜິວທີື່ກໍານົດໃຫ້ ເວລາເມັດທີື່ກໍານົດໃຫ້: 1) ( ) 2 2 z x y = + 3 4 , 1,1,1 2) ( ) 2 2 4 , 3,1,2 z x y = − 3) ( ) 2 2 x y z + − = − 1 0, 2,0,5 4) ( ) 2 2 3 2 5 , 1,2,3 z x y = − 5) ( ) 2 2 z y x = − − 8 2 , 1,4,6 8. ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງຂອງ ( ) 2 2 f x y x y , 4 = − − ທີື່ເມັດ (1,1) ໃນທິດທາງ “ຕາເວັນອອກສຽງ ເໜ ອ” 9. ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງຂອງ f ທີື່ເມັດ p ເມ ື່ອ 1) ( ) ( ) 2 f x y xy , sin = , p = (0,1) ໃນທິດທາງ − + 3 4 i j 2) ( ) 2 2 f x y x y , = + , p = −( 1,2) ໃນທິດທາງຕັື້ງສາກ f p( ) 3) ( ) 2 f x y z xy yz , , = + , p = (1,1,2) ໃນທິດທາງ 2 1 2 3 3 3 i j k − + 4) f x y z xyz ( , , ) = , p = (1,2,3) ໃນທິດທາງຈາກ p ໄປຫາ (3,3,1) 5) ( ) 2 2 f x y z x y yz , , 3 2 = + , p = −( 1,0,4) ໃນທິດທາງ 1 1 ,0, 2 2 Q = − 10. ໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 xy x y f x y x y x y = + = 1) ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 1 f , 2 f ຫາຄ່າໄດ້ທຸກເມັດ, ແຕ່ 1 f , 2 f ບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ 2) f ມີຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງທີື່ (0,0) ຫຼ ບ ໍ່? 11. ຈົັ່ງຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 3 2 u x y y z = − 2 3 ໃນທິດທາງຈາກເມັດ P(1,2, 1− ) ໄປຫາ Q(3, 1,5 − ) 12. ຈົັ່ງຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 2 u xy z = − 2 ໃນທິດທາງຈາກເມັດ P(2, 1,1 − ) ໄປຫາ Q(3,1, 1− )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 72 13. ຈາກຂ ໍ້ 11. ໃນທິດທາງໃດທີື່ຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຈາກເມັດ P ມີຄ່າຫຼາຍທີື່ສຸດ ແລະ ຊອກຫາຂະໜາດຂອງ ຜົນຕໍາລາມີທິດທາງທີື່ມີຄ່າຫຼາຍທີື່ສຸດ. 14. ຈົັ່ງຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 2 2 f x yz xz = + 4 ໃນທິດທາງ 2 2 i j k − − ໄປຫາ (1, 2, 1 − − ) 15. ຈົັ່ງຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງຂອງ 2 2 2 f z y y z z x = + + ທີື່ເມັດ (1,1,1) ໃນທິດທາງຂອງ c ເຊິື່ງແທນດ້ວຍ ( ) 2 3 R t ti t j t k = + + 16. ໃຫ້ f xy yz zx = + + ຈົັ່ງຊອກຫາ 1) f ທີື່ເມັດ (1,1,3) 2) df ds ທີື່ເມັດ (1,1,3) ໃນທິດທາງຂອງ i j k + + 17. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນຂອງໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງຜິວ 2 2 3 4 7 xz xy x − − = ທີື່ເມັດ (1, 1,2 − ) 18. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນຂອງໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງຜິວ 2 2 z x y = + ທີື່ເມັດ (2, 1,5 − ) 19. ໃຫ້ 2 f x yz = − 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ f ທີື່ເມັດ (1, 1,1 − ) 20. ອຸນຫະພູມທີື່ເມັດ ( x y, ) ໃນໜ້າພຽງ xy ກໍານົດໂດຍ 2 2 100xy T x y = + ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາມີທິດທາງທີື່ເມັດ (2,1) ໃນທິດທາງທີື່ເຮັດມຸມ 60 ກັບແກນ x ທາງບວກ. 21. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນຂອງໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງຜິວ 0 xyz x y z e + + + = ທີື່ເມັດ (0,2,1) 22. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນຂອງໜ້າພຽງສໍາພັດ ແລະ ເສັື້ນປົກກະຕິຂອງຜິວ 2 2 x y z + − − =1 0 ທີື່ເມັດ (1, 1,1 − ) 23. ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນຂັື້ນທີື່ໜຶື່ງຂອງ 1) ( ) ( ) 2 sin , , 0 x f x y y y = 2) ( ) 2 , , 0 x f x y y y = 3) ( , , ) xyz f x y z e = 4) ( ) 2 , , x y z f x y z e y + = − 24. ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາ 1) ( ) 2 2 f x y x y , ln = + 2) f x y x xy ( , sin ) = ( ) ທີື່ເມັດ ,2 4 3) ( ) 2 2 f x y z x yz yz , , 2 = + ທີື່ເມັດ (1,2, 1− ) 25. ກໍານົດໃຫ້ f ນິຍາມເທິງ 2 ໂດຍ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 , , 0,0 , 0 , , 0,0 xy x y f x y x y x y = + = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: f ມີຜົນຕໍາລາ ລະບຸທິດທາງທີື່ (0,0) ໃນທຸກທິດທາງ, ແຕ່ f ຫາຜົນຕໍາລາທີື່ (0,0) ບ ໍ່ໄດ້. 26. ການຫາຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງນັື້ນ, ອາດຈະຫາໂດຍກົງຈາກນິຍາມ ຄ : ( )( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 v lim t f p tv f p D f p → t + − = ຫຼ ຫາໄດ້ໂດຍອາໄສທິດສະດີ ເຊິື່ງໃຊ້ຜົນຕໍາລາຄ (D f p df p v v )( ) = ( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 73 27. ຈົັ່ງຊອກຫາຜົນຕໍາລາລະບຸທິດທາງຂອງ ( ) 2 , tan 2 x f x y e y x y = + ທີື່ເມັດ 0, 4 ໃນທິດທາງ 1 3 , 2 2 28. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 2 2 f f x y ເມ ື່ອ f x y x y x y ( , ln tan ) = + + − ( ) ( ) 29. ຖ້າ ( ) 2 , tan x f x y e y = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 f f x y y x = 30. ກໍານົດໃຫ້ f ນິຍາມເທິງ 2 ໂດຍ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 Ax y x y f x y x y x y = + = ເມ ື່ອ A ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ ເຊິື່ງ A 0 ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: f ມີຜົນຕໍາລາຂັື້ນໜຶື່ງທີື່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ຫາຜົນຕໍາລາຂັື້ນສອງໃນ 2 ໄດ້, ແຕ່ ( ) ( ) 2 2 0,0 0,0 f f x y y x 31. ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາຂອງ x , y ; f ເປັນຕໍາລາຮາໂມນິກ (Harmonic Function) ຖ້າ 2 2 2 2 0 f f x y + = ຈົັ່ງ ສະແດງວ່າ: ຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີື້ເປັນຮາໂມນິກ 1) ( ) 2 2 f x y x y , ln = + 2) ( , arctan ) y f x y x = 32. ໃຫ້ 2 y x u x e = ຈົັ່ງຊອກຫາ du 33. ໃຫ້ 3 2 3 f x y xy y = − + 2 2 ຈົັ່ງຊອກຫາ df 34. ໃຫ້ x y z x y − = + ຈົັ່ງຊອກຫາ dz 35. ໃຫ້ 3 2 z x xy y = − +3 ຈົັ່ງຊອກຫາ dz 36. ໃຫ້ 3 2 3 f x y xy y = − + 4 8 ຈົັ່ງຊອກຫາ df 37. ໃຫ້ 2 3 2 g xy z x yz = − 8 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ dg 38. ໃຫ້ 2 ln y h xy x = ຈົັ່ງຊອກຫາ dh 39. ໃຫ້ 2 2 f x y y x = + sin3 ຈົັ່ງຊອກຫາ df 40. ໃຫ້ 3 3 u xz y xy = + − 4 3 ຈົັ່ງຊອກຫາ du 41. ໃຫ້ 2 2 u x yz xz = − + 2 , x x t = sin , 2 y t t = − +1, 3 t z e − = ຈົັ່ງຊອກຫາ du 42. ໃຫ້ f x y = − sin 3( ), 3 3 x y t + = 2 2 , 2 2 x y t t − = +3 ຈົັ່ງຊອກຫາ df 43. ຖ້າ ( ) 2 f x y x y x , 2 = − , = − x 0.01, = y 0.02 ຈົັ່ງຊອກຫາ 1) ສ່ວນທີື່ປ່ຽນຂອງ f ທີື່ເມັດ (4,3) 2) ຜົນຕໍາລາລວມຂອງ f ທີື່ເມັດ (4,3) 3) ຄ່າໂດຍປະມານ f (3.99,3.02)
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 74 44. ຈົັ່ງປະມານຄ່າຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) (8.04) (5.99) 2) ( ) ( ) 2 3 3 3.8 2 2.1 + 3) 89 sin 180 4) 3 26.98 45. ຈົັ່ງປະມານຄ່າຂອງຕໍາລາທີື່ກໍານົດໃຫ້ ໂດຍໃຊ້ຜົນຕໍາລາລວມ 1) ( , ) x f x y y = , f (1,1,0.08) 2) f x y z x y yz ( , , ln , ) = − ( ) , =x 0.01, = − y 0.03 , =z 0.01 ທີື່ເມັດ (−3,1,2) 46. ຈົັ່ງຊອກຫາປະລິມານຂອງກ່ອງອັນໜຶື່ງ ເຊິື່ງວັດພາຍນອກຍາວ 6 ຟຸດ, ກວ້າງ 2 ຟຸດ, ສູງ 5 ຟຸດ ແລະ ມີຄວາມ ໜາ 1 2 ນິື້ວ. 47. ກະປ໋ອງກົມໜຶື່ງວັດແທກລັດສະໝີທີື່ພ ື້ນໄດ້2 ນິື້ວ, ຄວາມສູງວັດໄດ້8 ນິື້ວ, ຖ້າການວັດນີື້ຜິດພາດບ ໍ່ເກີນ 0.01 ນິື້ວ. ຈົັ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຂອງຄ່າຜິດພາດໃນການຄໍານວນປະລິມານໂດຍປະມານຂອງກະປ໋ອງ. 48. ຖ້າຂ້າງຂອງຮູບທ ໍ່ຕັນ ເຊິື່ງມີໜ້າຕັດເປັນສີື່ແຈ (ຫົວໜ່ວຍເປັນນິື້ວ) ປ່ຽນໄປຈາກ 9, 6 ແລະ 4 ເປັນ 9.02, 5.97 ແລະ 4.01 ຕາມລໍາດັບ. ຈົັ່ງໃຊ້ການປະມານໂດຍຜົນຕໍາລາຫາປະລິມານການປ່ຽນໄປ ປຽບທຽບກັບປະລິມານທີື່ ປ່ຽນໄປຈິງໆ. 49. ການປະມານຄ່າຂອງຕໍາລາຈະໃຊ້ທິດສະດີການປະມານຄ່າ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f p p f p df p p ( 0 0 0 + = + ) ( ) ( ) 50. ຖ້າ y u v = + , y u v = ແລະ u y v = ເມ ື່ອ u , v ເປັນຕໍາລາຂອງ x ຈົັ່ງຊອກຫາ dy dx 51. ຖ້າ v y u = ເມ ື່ອ u , v ເປັນຕໍາລາຂອງ x ຈົັ່ງຊອກຫາ dy dx 52. ຖ້າ 2 xy z e = , x t t = cos , y t t = sin ຈົັ່ງຊອກຫາ dz dt ເມ ື່ອ 2 t = 53. ຖ້າ 2 2 x y f y x + = − , x u v = − 2 3 , y u v = + 2 ຈົັ່ງຊອກຫາ 1) df du ເມ ື່ອ u = 2 , v =1 2) df dv ເມ ື່ອ u = 2 , v =1 54. ຖ້າ 3 3 z x xy y = − + , x r s = − 2 , y r s = + 2 ຈົັ່ງຊອກຫາ dz dr ແລະ dz ds 55. ຖ້າ 2 ln y f x y x = , x r = cos , y r = sin ຈົັ່ງຊອກຫາ df dr ແລະ dz d 56. ຖ້າ 3 2 3 w x y xy y = − + 4 8 , 2 x r s = + 3 2 , 3 y r s = − 4 2 ຈົັ່ງຊອກຫາ dw dr ແລະ dw ds 57. ການຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາປະກອບ, ອາດຈະຫາຈາກຮູບພາບສະແດງການພົວພັນຂອງຕົວປ່ຽນຕ່າງໆ. 58. ຈົັ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງການພົວພັນຂອງຕໍາລາ ແລະ ຫາຜົນຕໍາລາຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີື້:
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 75 1) w f x y z = ( , , ), x t = ( ), y t = ( ), z t = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ dw dt 2) w f x y z = ( , , ), x g u y = ( , ) , y h u = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ w u 3) w F x y z = ( , , ), y f x z = ( , ), x g t = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ dw dt 4) w F x y z = ( , , ), y g x t = ( , ), v h x s = ( , ) ຈົັ່ງຊອກຫາ w x , w t , w s 5) w F x y z t = ( , , , ) ເມ ື່ອ x f t = ( ), y g t = ( ) , z h t = ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ dw dt 59. ຖ້າ w f x y = ( , ) ແລະ x u v = cosh , y v = sinh ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 2 2 2 2 w w w w 1 x y y u v −=− 60. ຖ້າ 2 3 xy z x y e = + ຈົັ່ງຊອກຫາ x z , y z , xx z , xy z , yx z , yy z 61. ໃຫ້ 2 4 f x y x = − 2 ຈົັ່ງຊອກຫາ xx f , yy f 62. ໃຫ້ sin xy g e y x = − ຈົັ່ງຊອກຫາ xy g , xxy g 63. ໃຫ້ 2 h x y = cos ຈົັ່ງຊອກຫາ yxx h , xxy h 64. ໃຫ້ f x y x y = − + ( )sin 3 2 ( ) ຈົັ່ງຊອກຫາ 1) x f ທີື່ເມັດ 0, 3 2) y f ທີື່ເມັດ 0, 3 3) xx f ທີື່ເມັດ 0, 3 4) xy f ທີື່ເມັດ 0, 3 5) xy f ທີື່ເມັດ 0, 3 6) yx f ທີື່ເມັດ 0, 3 65. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: xy yx f f = ສໍາລັບຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) 2x y x y − + 2) x xy tan 3) cosh cos ( y x + ) 66. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) 2 2 z x a y b = − + − ln ສອດຄ້ອງຕາມ 2 2 2 2 0 z z x y + = ຍົກເວັື້ນ (a b, ) 67. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: cos tan y y z x x x = + ສອດຄ້ອງຕາມ 2 2 2 0 xx xy yy x z xyz y z + + = ຍົກເວັື້ນທີື່ເມັດ ເຊິື່ງ x = 0
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 76 68. ຖ້າ cos x z e y = ເມ ື່ອ x , y ເປັນຕໍາລາຂອງ t ເຊິື່ງ 3 2 1 x x e t t + − − = ແລະ 2 2 yt y t t y + − + = 0 ຈົັ່ງ ຊອກຫາ dz dt ເມ ື່ອ t = 0 ໃຫ້ x = 0 ແລະ y = 0 69. ໃຫ້ F x y z ( , , 0 ) = ຖ້າສົມຜົນນີື້ສາມາດແກ້ສົມຜົນສໍາລັບ z ໃນພົດຂອງ x , y ໄດ້. ຈົັ່ງຊອກຫາ z x , z y 70. ຖ້າ z f x y = ( , ) ສອດຄ້ອງຕາມສົມຜົນ 2 2 2 3 x z xy z yz + − + + = 3 1 0 ຈົັ່ງຊອກຫາ z x , z y 71. ຖ້າ w F xz yz = ( , ) ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: w w w x y z x y z + = 72. ຖ້າ ( ) 2 2 z f x y = + ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 0 z w y x x y − = 73. ຕໍາລາ f ຈະເວົື້າວ່າເປັນຕໍາລາເອກະພັນຂັື້ນ k ໃນເມັດໃກ້ N ຂອງເມັດກໍາເນີດ. ຖ້າ ( , , ) ( ) k f tx ty t f x y = ສໍາລັບທຸກ ( x y N , ) ແລະ ທຸກຄ່າ t t , 0,1 ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: f f x y kf x y + = 74. ຖ້າ u f x at g x at = + + − ( ) ( ) ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 2 2 2 2 2 u u a t x = ເມ ື່ອ f ແລະ g ສາມາດຫາ ຜົນຕໍາລາຂັື້ນໄດ້ a ເປັນຄ່າຄົງຄ່າ. 75. ກໍານົດໃຫ້ 2 y u x F x = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 2 u u x y u x y + = 76. ກໍານົດໃຫ້ 2 3 2 0 x y z u + − − = ແລະ x y z + + + = 2 3 0 ຈົັ່ງຊອກຫາ z x y , x z u , z y u , x y z 77. ຖ້າ 3 u x y = ແລະ 5 x y t + = , 2 3 2 x y t + = ຈົັ່ງຊອກຫາ du dt 78. ຖ້າ 2 3 xu v y + = ແລະ 3 2 4 yu xv x − = ຈົັ່ງຊອກຫາ u x ຫຼ v x 79. ກໍານົດໃຫ້ 2 x y u + = , 2 y z v + = , 2 z x w + = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: u x , 2 2 x u ແລະ 2 x u v 80. ກໍານົດໃຫ້ f x y r s ( , , , 0 ) = , g x y r s ( , , , 0 ) = ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 0 y r y s r x s x + = 81. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າ F x y z ( , , 0 ) = ແລ້ວ 1 y x z z x y x y z = − 82. ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 2 x y uv z − + = cos 0 ( ) 2 2 2 x y uv z + − + = sin 2 2 xy u v z − + = sin cos 0
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 77 ຈົັ່ງຊອກຫາ v x u , u x v ທີື່ເມັດ x =1, y =1, 2 u = , v = 0 , z = 0 83. ກໍານົດໃຫ້ f x y u ( , ) = ເມ ື່ອ x r = cos , y r = sin ຈົັ່ງຊອກຫາ 2 2 u u x y + ໃນພົດຂອງ ur ແລະ u 84. ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 2 F x y z x y + − + = , 0 ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: z z x y xy y x − = 85. ໃນການປ່ຽນຕົວປ່ຽນ x r = cos , y r = sin ຈາກລະບົບຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກເປັນລະບົບຫົວໜ່ວຍໄຕມຸມມິ ຕິ. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: 1) dx dr r d = − cos sin , dy dr r d = + sin cos 2) dr dx dy = + cos sin , sin cos d dx dy r r = − + 3) cos x r = , sec y x r = , cos y r x = , sec r x = 4) ( ) ( ) , , x y r r = , ( ) ( ) , 1 , r x y r = 86. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າ s x e = , t y e = ຈະປ່ຽນສົມຜົນ 2 2 2 2 2 2 0 u u u u x y x y x y x y + + + = ເປັນ ສົມຜົນ 2 2 2 2 0 u u s t + = 87. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ໂດຍການປ່ຽນຕົວປ່ຽນ 2 2 u x y = − , v xy = 2 ຈະປ່ຽນສົມຜົນ 2 2 2 2 0 w w x y + = ເປັນສົມ ຜົນ 2 2 2 2 0 w w u v + = 88. ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າ x r = cos , y r = sin ສົມຜົນ u v x y = , u v y x = − ຈະປ່ຽນເປັນສົມຜົນ u v 1 r r = , v u 1 r r = − 89. ຜົນຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ເຊິື່ງນິຍາມໂດຍກົງ ຫາໄດ້ໂດຍຫາຜົນຕໍາລາຂອງສົມຜົນທຽບກັບຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ ແລ້ວ ສົມຜົນ ຫຼ ອາດຈະຈ ື່ສູດ (ຖ້າມີ) F x y u v ( , , , 0 ) = ແລະ G x y u v ( , , , 0 ) = ໃນທີື່ນີື້ x , y ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ; u , v ເປັນຕົວປ່ຽນຕາມ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G u x v x F G u v = − ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , F G v u x x F G u v = − ສໍາລັບ u y , v y ກ ໍ່ຫາໄດ້ໃນທໍານອງດຽວກັນ. 90. ຈາກບັນຫາໃນດ້ານ Thermodunamics ຈົັ່ງສະແດງວ່າ: ສົມຜົນ 0 U p T p V T − + = ຈະປ່ຽນເປັນສົມຜົນຕ ໍ່ ໄປນີື້: 1) 0 U V V T p p T p + + = ( p , T ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ)
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 78 2) ( ) ( ) , 0 , T V V T T p p U U p − + = ( U , p ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ) 3) ( ) ( ) , 0 , T T U T p V p − + = ( V , p ເປັນຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ) 91. ການປ່ຽນຕົວປ່ຽນທີື່ມີປະໂຫຍດຄ : ປ່ຽນຈາກລະບົບຫົວໜ່ວຍຕັື້ງສາກເປັນລະບົບຫົວໜ່ວຍໄຕມຸມມິຕິ ຄ : ປ່ຽນ ຈາກ ( x y, ) ເປັນ (r, ) ໂດຍ x r = cos , y r = sin 92. ຈົັ່ງຊອກຫາເມັດສູງສຸດ ຫຼ ເມັດຕໍໍ່າສຸດຂອງຜິວ 2 2 z x y xy x y = − − − − + − 3 3 4 93. ກ່ອງສີື່ແຈ, ຂ້າງເທິງປິດຈຸໄດ້32 ແມັດກ້ອນຟຸດ. ຈົັ່ງຊອກຫາຂະໜາດຂອງກ່ອງທີື່ເຮັດໃຫ້ພ ື້ນຜິວທັງໝົດຕໍໍ່າສຸດ. 94. ກ່ອງສີື່ແຈໜຶື່ງບັນຈຸໄດ້216 ແມັດກ້ອນນິື້ວ. ຈົັ່ງຊອກຫາຂະໜາດຂອງກ່ອງທີື່ເຮັດໃຫ້ພ ື້ນຜິວທັງໝົດຕໍໍ່າສຸດ. 95. ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງ ( ) 2 3 f x y z xy z , , = ພາຍໃຕ້ເງ ື່ອນໄຂ x y z + + = 6 , x 0 , y 0, z 0 96. ຈົັ່ງຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດຂອງ 2 2 x y + ພາຍໃຕ້ເງ ື່ອນໄຂ 2 2 3 4 6 140 x xy y + + = 97. ຈົັ່ງຊອກຫາເມັດທີື່ຢູ່ເທິງຜິວ 2 2 x y − =1 ແລະ ຢູ່ໃກ້ເມັດກໍາເນີດຫຼາຍທີື່ສຸດ. 98. ຈົັ່ງຊອກຫາສົມຜົນເສັື້ນຊ ື່ທີື່ເໝາະສົມທີື່ສຸດ, ສໍາລັບເມັດທີື່ກໍານົດໃຫ້: 1) (0,1), (2,0), (3, 2− ) 2) (0,2), (1,4), (−1,1) 3) (0,0), (1,3), (− − 1, 2)