ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ລະຫັດວິຊາ: ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2023
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ລະຫັດວິຊາ: ຮຽບຮຽງ: ປທ. ຕົວວ ື່ ວ ື່ ປທ. ກວດແກ້: ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ຄະນະສຶກສາສາດ 2023
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 i ຄໍານໍາ
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 ii ສາລະບານ ຄໍານໍາ.................................................................................................................................................. i ສາລະບານ........................................................................................................................................... ii ບົດທີ 2 ຂອບເຂດ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ .....................................................................13 2.1 ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ.................................................................................................13 2.2 ທິດສະດີຂອງຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ...............................................................................16 2.3 ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ................................................................................19 2.4 ຄຸນລັກສະນະການປະມານຄ່າ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີ.......................................................23 2.5 ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ມີຫຼາຍຕົວປ່ຽນ.............................................................................27 ບົດເຝີກຫັດ ...................................................................................................................................33
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 13 ບົດທີ 2 ຂອບເຂດ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ 2.1 ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ພວກເຮົາທົບທວນກ່ຽວກັບຂອບເຂດຂອງຕໍາທີື່ມີຕົວປ່ຽນດຽວມາແລ້ວ, ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ມີທິດທາງທີື່ເມັດ x , ສາມາດເຂົົ້າໃກ້ ໄດ້ພຽງ 2 ທິດເທົົ່ານັົ້ນ; ເວົົ້າຄ : x ເຂົົ້າໃກ້ a ໃນທິດທາງທີື່ x ນ້ອຍກວ່າ a ແລະ ເຂົົ້າໃກ້ a ໃນ ທິດທາງທີື່ x ຫຼາຍກວ່າ a . ສະນັົ້ນ, ການສຶກສາພຶດຕິກໍາຂອງຕໍາລາໃກ້ເມັດໃດເມັດໜຶື່ງກ ໍ່ຈະສັງເກດໄດ້ງ່າຍ ແລະ ພວກເຮົາຍັງໄດ້ນໍາແນວຄິດກ່ຽວກັບທິດທາງຕ່າງໆ ທີື່ x ເຂົົ້າໃກ້ a ມານິຍາມຂອບເຂດເບ ົ້ອງຊ້າຍ ແລະ ຂອບເຂດ ເບ ົ້ອງຂວາ. ເມ ື່ອສຶກສາຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທີື່ມີຫຼາຍຕົວປ່ຽນ, ພຶດຕິກໍາຂອງຕໍາລາໃກ້ເມັດໃດເມັດໜຶື່ງນັົ້ນສັງເກດໄດ້ຍາກ. ພວກເຮົາພົບວ່າ: ມີທິດທາງທີື່ເມັດ p ສາມາດຈະເຂົົ້າໃກ້ 0 p ໄດ້ຢ່າງຫຼວງຫຼາຍນັບບ ໍ່ຖ້ວນ ເຊັົ່ນ: ກ ລະນີຕົວປ່ຽນ ສອງຕົວ, ມີທິດທາງທີື່ເມັດ p x y = ( , ) ຈະສາມາດເຂົົ້າໃກ້ເມັດ p x y 0 0 0 = ( , ) ໄດ້ຢ່າງຫຼວງຫຼາຍ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕໍາລາ f p( ) ຈະມີຂອບເຂດທີື່ 0 p ຫຼ ບ ໍ່ນັົ້ນ. ນອກຈາກຈະຂ ົ້ນຢູ່ກັບຄວາມປະພຶດຂອງມັນໃກ້ເມັດ 0 p ແລ້ວຍັງຂ ົ້ນຢູ່ກັບ ເຂດກໍານົດຂອງ f ອີກດ້ວຍ. ໃຫ້ S ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງ n ແລະ ໃຫ້ 0 p ເປັນເກາະກຸ່ມຂອງ S ພວກເຮົານິຍາມ ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທີື່ມີຫຼາຍຕົວປ່ຽນດັົ່ງນີົ້: ນິຍາມ 2.1 ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາຈາກອະນຸກຸ່ມ S ຂອງ n ໄປໃນ m ພວກເຮົາເວົົ້າວ່າ: f p( ) ຈ້ອມໄປຫາ L ຂະນະທີື່ p ເຂົົ້າໃກ້ 0 p ໃນກຸ່ມ S ຂຽນວ່າ: ( ) 0 lim p p f p L → = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອທຽບເທົົ່າກັບຈໍານວນໃດໆ ທີື່ຫຼາຍກວ່າສູນ ຈະຕ້ອງມີຈໍານວນຈິງ 0 ທີື່ເຮັດໃຫ້ f p L ( ) − ຖ້າ p S ແລະ 0 0 − p p ໝາຍຄວາມວ່າ: ສໍາລັບຈໍານວນຈິງບວກ ແຕ່ລະຕົວ ບ ໍ່ວ່າຈະມີຄ່ານ້ອຍພຽງໃດກ ໍ່ຕາມ, ຈະຕ້ອງມີບານເປີດ U p ( 0 ) ເມ ື່ອ ເປັນຈໍານວນຈິງບວກທີື່ນ້ອຍພ ພຽງ ເພ ື່ອວ່າ: ເມ ື່ອໃດກ ໍ່ຕາມທີື່ p ຢູ່ໃນ U p S ( 0 ) ແລ້ວ f p( ) ຈະຢູ່ຫ່າງຈາກ L ດ້ວຍໄລຍະຫ່າງນ້ອຍກວ່າ ຫຼ ເວົົ້າອີກຢ່າງໜຶື່ງວ່າ: ພວກເຮົາສາມາດເຮັດໃຫ້ຄ່າ f p( ) ຢູ່ໃກ້ຊິດກັບ L ເທົົ່າໃດກ ໍ່ໄດ້ຕາມທີື່ພວກເຮົາຕ້ອງການ ດ້ວຍວິທີຫຼຼຸດຂະໜາດຂອງບານປິດ U p ( 0 ) ໃຫ້ນ້ອຍ ພຽງພ ດັົ່ງຮູບທີ 2.1 n S m T p f p( ) 0 p f L U p S ( 0 ) ຮູບທີ 2.1 ມີກ ລະນີພິເສດຂອງນິຍາມຂ້າງເທິງ ເກີດຂ ົ້ນເມ ື່ອ S ເປັນສ່ວນຂອງເສັົ້ນຊ ື່ ຫຼ ເສັົ້ນໂຄ້ງທີື່ມີ 0 p ເປັນເມັດທ້າຍ ແລະ ເຂດຄຸນຄ່າຂອງຕໍາລາ f ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງ ; ໃນກ ລະນີນີົ້ການຄໍານວນຄ່າຂອບເຂດຂອງ f p( ) ຂະນະທີື່ p ໃນກຸ່ມ S ເຂົົ້າໃກ້ 0 p ຈະຖ ກຫຼຼຸດລົງມາເປັນການຄໍານວນຫາຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຄ່າຈິງທີື່ມີຕົວປ່ຽນດຽວ, ເພາະ ຖ້າ S ຖ ກກໍານົດດ້ວຍສົມຜົນສໍາຮອງ (Parametric Equation) x t = ( ), y t = ( ) ໂດຍ 0 1 t ແລະ ( ) 0 0 lim t t x → = , ( ) 0 0 lim t t y → = ເມ ື່ອ 0 x , 0 y ເປັນເມັດຂອງເມັດ p . ຈາກນັົ້ນ, ໃຫ້ g t f t t ( ) = ( ( ), ( )) ພົບວ່າ: ( ) 0 lim p p f p → ຈະມີຄ່າເທົົ່າກັບ ( ) 0 lim t g t → ເຊັົ່ນ: ເມ ື່ອ S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທີື່ຢູ່ເທິງເສັົ້ນຊ ື່ x y = ໃນໜ້າ
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 14 ພຽງ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ມີຄ່າເທົົ່າກັບ ( ) 0 lim , t f t t → ເຊິື່ງເປັນຂອບເຂດຂອງຕໍາລາທີື່ມີຕົວປ່ຽນ ດຽວ. ທິດສະດີຕ ໍ່ໄປນີົ້ມີປະໂຫຍດຫຼາຍ, ເມ ື່ອຕ້ອງການອະທິບາຍເຖິງການມີຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຄ່າຈິງທີື່ມີຕົວປ່ຽນຫຼາຍ ຕົວ, ແຕ່ພວກເຮົາຈະບ ໍ່ພະຍາຍາມພິສູດໃນທີື່ນີົ້; ນັກສຶກສາທີື່ສົນໃຈການພິສູດໃຫ້ຄົົ້ນຄວ້າໄດ້ໃນໜັງສ ຄະນິດສາດຂັົ້ນ ສູງທົົ່ວໆ ໄປ. ທິດສະດີ 2.1 ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ເຊິື່ງນິຍາມທຸກເມັດໃນເມັດໃກ້ 0 p ແຕ່ອາດຈະເວັົ້ນທີື່ເມັດ 0 p ກ ໍ່ໄດ້; ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ຖ້າ ( ) 0 lim p p f p L → = ດັົ່ງນັົ້ນ, ຂອບເຂດຂອງ f p( ) ຈະມີຢູ່ສະເໝີ ບ ໍ່ວ່າ p ຈະເຂົົ້າໃກ້ 0 p ໃນກຸ່ມ S ໃດໆ ແລະ ຄ່າຂອບເຂດນີົ້ຈະເທົົ່າກັບ L ສະເໝີ. ທິດສະດີ 2.2 ຖ້າຕໍາລາ f ມີຂອບເຂດທີື່ຕ່າງກັນຂະນະທີື່ເມັດ p ເຂົົ້າໃກ້ 0 p ໃນກຸ່ມຂອງເມັດທີື່ຕ່າງກັນສອງ ກຸ່ມ ເຊິື່ງມີ 0 p ເປັນເກາະກຸ່ມ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) 0 lim p p f p → ບ ໍ່ມີ. ພິສູດ ໃຫ້ 1 S ແລະ 2 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດໃນ 2 ທີື່ຕ່າງກັນ ແລະ ໃຫ້ ( ) ( ) 0 1 1 lim , p p f p L p S → = ແລະ ( ) ( ) 0 2 2 lim , p p f p L p S → = ຕ ໍ່ໄປ, ສົມມຸດວ່າ: ( ) 0 lim p p f p → ມີຢູ່ ດັົ່ງນັົ້ນ, ໂດຍທິດສະດີ 2.1 L1 ຕ້ອງເທົົ່າກັບ L2 ແຕ່ໂດຍສົມມຸດຕິຖານ L L 1 2 ນໍາໄປສູ່ຂ ໍ້ຂັດແຍ້ງ. ສະນັົ້ນ, ( ) 0 lim p p f p → ບ ໍ່ມີ. ນິຍາມ 2.2 ຖ້າ 0 p D , f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 p p = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ ( ) ( ) 0 0 lim p p f p f p → = ຖ້າ f ມີການ ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ທຸກໆ ເມັດໃນກຸ່ມ S ເຊິື່ງ S ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງເຂດກໍານົດຂອງ f ພວກເຮົາເວົົ້າວ່າ: f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ເທິງ S ຕົວຢ່າງ 2.1 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 f x y x y , 2 = + ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 1,2 lim , 5 x y f x y → = ແລະ ພິຈາລະນາການຕ ໍ່ ເນ ື່ອງຂອງ f ແກ້ ໂດຍນິຍາມຂອບເຂດຈະຕ້ອງສະແດງວ່າ: ຖ້າກໍານົດ 0 ຈະມີ 0 ເຊິື່ງ 2 x y + − 2 5 ເມ ື່ອ 0 1 − x ແລະ 0 2 − y ກໍານົດ 0 ເລ ອກ 5 = ເມ ື່ອ 0 1 − x ແລະ 0 2 − y ສະນັົ້ນ, 1 1 − + x ແລະ 2 2 − + y ດັົ່ງນັົ້ນ, 2 2 2 1 2 1 2 − + + + x ແລະ 4 2 2 4 2 − + y 2 2 2 5 4 2 5 4 − + + + + x y 2 2 2 − + + − + 4 2 5 4 x y ຖ້າ 1 ພວກເຮົາຈະໄດ້: 2 − + − 5 2 5 5 x y ນັົ້ນຄ 2 2 5 5 5 5 x y + − = = ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) 2 , 1,2 lim 2 5 x y x y → + = ພິຈາລະນາການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງ f ເນ ື່ອງຈາກ ( ) ( ) 2 f 1,2 1 2 2 5 = + = ດັົ່ງນັົ້ນ, ໂດຍໃຊ້ນິຍາມ f x y ( , ) ມີ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (1,2) ນິຍາມ 2.3 ພວກເຮົາຈະຂຽນສັນຍາລັກ lim , ( ) ( ) p f p L L → = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ ສໍາລັບຈໍານວນຈິງ ໃດໆ ທີື່ ຫຼາຍກວ່າສູນ, ຈະຕ້ອງມີຈໍານວນຈິງບວກ N ທີື່ເຮັດໃຫ້ f p L ( ) − ເມ ື່ອໃດກ ໍ່ຕາມທີື່ p N
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 15 ຕົວຢ່າງ 2.2 ກໍານົດ ( ) 2 2 , xy f x y x y = + ຈົົ່ງຊອກຫາ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → (ຖ້າມີ). ແກ້ ໃຫ້ 1 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດເທິງແກນ x ດັງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 , 0,0 0 0 0 lim lim , lim ,0 lim 0, p p x y x x 0 f p f x y f x p S → → → → x = = = = + ໃຫ້ 2 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດເທິງແກນ y x = ດັງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 , 0,0 0 0 0 1 1 lim lim , lim , lim lim , p p x y x x x 2 2 x f p f x y f x x p S → → → → → x x = = = = = + ເພາະວ່າ: ( ) ( ) 0 0 lim lim p p p p f p f p → → ຈະໄດ້ວ່າ ( ) 0 lim p p f p → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ( p S p S 1 2 ) ( ) ຕົວຢ່າງ 2.3 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0,0 lim x y 1 x y → x y − + + (ຖ້າມີ) ເມ ື່ອເຂດກໍານົດຂອງຕໍາລາ ( ) 2 2 2 2 , 1 x y f x y x y − = + + ຄ ອະນຸກຸ່ມຂອງ 2 ທີື່ກໍານົດໃຫ້ດັົ່ງນີົ້: 1) ( ) 2 1 S x y y x = = , | 2) ( ) 2 2 2 S x y y x = = , | 3) ( ) 2 2 3 S x y y x = = , | 4) 2 4 S = ແກ້ 1) ເທິງເສັົ້ນຊ ື່ y x = ( ) ( ) 2 2 2 2 , 1 x x f p f x x x x − = = + + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0,0 0 0 lim lim , lim 0, p x x 1 x x f p f x x p S → → → x x − = = = + + 2) ເທິງເສັົ້ນ 2 y x = ( ) ( ) 2 4 2 2 4 , 1 x x f p f x x x x − = = + + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 0 2 4 2 4 2 0 0 0 0 lim 0 lim lim , lim 0, 1 1 lim 1 x p x x x x x x x f p f x x p S x x x x → → → → → − − = = = = = + + + + 3) ທໍານອງດຽວກັບຂ ໍ້2) ພົບວ່າ: ເມ ື່ອເຂດກໍານົດຂອງ f ຄ 3 S ແລ້ວ f ຈະມີຂອບເຂດເທົົ່າກັບສູນທີື່ເມັດ (0,0) 4) ຈາກຂ ໍ້ 1), 2) ແລະ 3) ເຮັດໃຫ້ສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: ເມ ື່ອ p ເຂົົ້າໃກ້ເມັດ (0,0) ເທິງເສັົ້ນທຸກເສັົ້ນທີື່ຜ່ານ ເມັດກໍາເນີດ ແລະ ເທິງເສັົ້ນໂຄ້ງປາຣາໂບນທຸກເສັົ້ນທີື່ຜ່ານເມັດກໍາເນີດ, ຄ່າຂອງ f p( ) ຈະເຂົົ້າໃກ້ສູນພຽງຄ່າດຽວ ເທົົ່ານັົ້ນ. ພວກເຮົາຈຶື່ງຄາດວ່າເທິງກຸ່ມ 4 S ຕໍາລາ f ຄວນຈະມີຂອບເຂດເທົົ່າກັບສູນທີື່ເມັດ (0,0) ພວກເຮົາຈະ ພິສູດ ໂດຍໃຊ້ນິຍາມຂອງຂອບເຂດວ່າ: ( ) 0 lim 0 p f p → = ໃນການພິສູດ, ພວກເຮົາສະແດງວ່າ: ສາມາດທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ ( ) 2 2 2 2 0 0 1 x y f xy x y − − = − + + ມີຄ່ານ້ອຍພຽງໃດ ກ ໍ່ໄດ້ ໂດຍການເລ ອກເມັດ ( x y, ) ໃຫ້ໃກ້ກັບ (0,0) ຢ່າງພຽງພ ເຊິື່ງເຮັດໄດ້ຫຼາຍວິທີ; ວິທີທີື່ຈະສະແດງນີົ້ກ ໍ່ຄ :
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 16 ພະຍາຍາມແຕ້ມ ພົດ f x y f ( , 0,0 ) − ( ) ໃຫ້ມີຄ່ານ້ອຍກວ່າ ຫຼ ເທົົ່າກັບການລວມເສັົ້ນຂອງພົດ ( x y, 0,0 ) − ( ) ຫຼ ນ້ອຍກວ່າ ຫຼ ເທົົ່າກັບ ( , 0,0 ) ( ) r x y − ເມ ື່ອ r ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ. ຈາກ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0,0 0 , 0,0 1 1 1 x y x y x y f x y f x y x y x y x y x y − − − − = − = = + = − + + + + + + ສະນັົ້ນ, ຖ້າ ເປັນຈໍານວນຈິງບວກໃດທີື່ກໍານົດໃຫ້ໄວ້ກ່ອນ, ອະສົມຜົນສຸດທ້າຍນີົ້ແນະໃຫ້ພວກເຮົາເລ ອກ = ແລະ ຖ້າ 0 , 0,0 − ( x y) ( ) ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0,0 0 , 0,0 1 1 x y x y f x y f x y x y x y − + − = − − = + + + + ດັົ້ງນັົ້ນ, f ມີຂອບເຂດເປັນສູນທີື່ເມັດ (0,0) ຕົວຢ່າງ 2.4 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 4 4 , x y f x y x y = + ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ພິສູດ ໃຫ້ 1 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດເທິງແກນ x ຫຼ ແກນ y ແກນໃດແກນໜຶື່ງ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຖ້າ ( x y, ) ຢູ່ໃນ 1 S , xy = 0 ເພາະສະນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( 1 ) , 0,0 lim , 0, x y f x y p S → = ໃຫ້ 2 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດເທິງເສັົ້ນໃດເສັົ້ນໜຶື່ງ ເຊິື່ງຜ່ານເມັດກໍາເນີດ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຖ້າ ( x y, ) ເປັນເມັດຢູ່ ໃນ 2 S , y mx = ແລ້ວ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 2 2 2 , 0,0 0 0 lim , lim lim 0, x y x x mx mx f x y p S → → → x m x x m = = = + + ໃຫ້ 3 S ເປັນກຸ່ມຂອງເມັດທັງໝົດເທິງປາຣາໂບນ 2 y x = ແລ້ວ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 , 0,0 0 0 1 1 lim , lim lim , x y x x 2 2 x f x y p S → → → x x = = = + ເພາະວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 , 0,0 lim , lim , x y x y f x y f x y → → ( p S 3 ) ( p S 1 ) ແລະ ( p S 2 ) ເພາະສະນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. 2.2 ທິດສະດີຂອງຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ກໍານົດໃຫ້ f ແລະ g ເປັນຕໍາລາຈາກອະນຸກຸ່ມໜຶື່ງຂອງ n ໄປໃນ ແລະ 0 p ເປັນເມັດໆ ໜຶື່ງໃນ ທີື່ ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ( ) 0 lim p p f p → ແລະ ( ) 0 lim p p g p → ມີຢູ່. ຖ້າເມັດ p ທຸກເມັດທີື່ຢູ່ໃກ້ກັບ 0 p ພວກເຮົາມີ f p( ) ຢູ່ໃກ້ກັບ L ແລະ g p( ) ຢູ່ໃກ້ກັບ M ແລ້ວ ພວກເຮົາສົມຄວນຈະຄາດຄະເນໄດ້ວ່າ: ສໍາລັບ p ທຸກເມັດທີື່ຢູ່ໃກ້ກັບ 0 p ພວກເຮົາຄວນຈະໄດ້ວ່າ: ( f g p f p g p + = + )( ) ( ) ( ) ຢູ່ໃກ້ກັບ L M+ ຂະນະທີື່ ( fg p f p g p )( ) = ( ) ( ) ຢູ່ໃກ້ກັບ LM ແລະ ( ) ( ) f p g p ຢູ່ໃກ້ກັບ L M ຖ້າ M 0 ຈຶື່ງສະຫຼຼຸບເປັນທິດສະດີດັົ່ງນີົ້: ທິດສະດີ 2.3 ໃຫ້ f ແລະ g ເປັນຕໍາລາຈາກອະນຸກຸ່ມໜຶື່ງຂອງ n ໄປໃນ ຖ້າ ( ) 0 lim p p f p L → = ແລະ ( ) 0 lim p p f p M → = ແລ້ວ 1) ( )( ) 0 lim p p f g p L M → + = +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 17 2) ( )( ) 0 lim p p fg p LM → = 3) ( ) 0 lim p p f L p → g M = ຖ້າ M 0 ຕົວຢ່າງ 2.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , , 2 2 , , , , lim 1 1 1 2 1 lim 2 lim 2 2 2 x y a a x y a a x y a a x y x y a a a xy xy a a → → → + + + + + + + = = = + + + + ຕົວຢ່າງ 2.6 ຈົົ່ງຊອກຫາ ( ) ( ) 3 3 , 1,3 3 lim x y 27 x y → x y − − ແກ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 , 1,3 , 1,3 , 1,3 3 3 1 lim lim lim 27 9 3 3 9 3 x y x y x y x y x y → → → x y x xy y x y x xy y − − = = − + + − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 , 1,3 1 1 1 lim 9 3 9 9 9 27 x y x xy y → = = = + + + + ຕົວຢ່າງ 2.7 ຈົົ່ງຊອກຫາ ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 , 1, 1 2 2 lim x y x x y xy y → − x y − − + − ແກ້ ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 , 1, 1 2 2 lim x y x x y xy y → − x y − − + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 , 1, 1 2 lim x y x y x xy y xy x y → − x y x y + − + − + = + − ( ) ( ) 2 2 , 1, 1 3 lim x y x xy y → − x y − + = − ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 1 1 1 5 1 1 2 − − + − = = − − ການພິສູດ 1 ໃຫ້ V ເປັນການຕັດ (Intersection) ຂອງເຂດກໍານົດຂອງ f ແລະ g ; ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງທີື່ກໍານົດ ໃຫ້, ເນ ື່ອງຈາກ ( ) 0 lim p p f p L → = ສະນັົ້ນ, ຈະມີຈໍານວນຈິງ 1 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 1 0 p V U p ພວກເຮົາມີ ( ) 2 f p L − ແລະ ເນ ື່ອງຈາກ ( ) 0 lim p p g p M → = ສະນັົ້ນ, ຈະມີຈໍານວນຈິງ 2 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 2 0 p V U p ພວກເຮົາມີ ( ) 2 g p M − ໃຫ້ = min , 1 2 ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ p V U p ( 0 ) ພວກເຮົາມີ: ( ) 2 2 L f p L − + ແລະ ( ) 2 2 M g p M − + ບວກອະສົມຜົນນີົ້ເຂົົ້າກັນ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: (L M f p g p L M + − + + + ) ( ) ( ) ( ) ຫຼ ( f g p L M + − + )( ) ( ) ດັົ່ງນັົ້ນ, ( )( ) ( ) 0 lim p p f g p L M → + = + ການພິສູດ 2 ໃຫ້ V ເປັນການຕັດຂອງເຂດກໍານົດ f ແລະ g ; ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງທີື່ກໍານົດໃຫ້ໄວ້ກ່ອນ. ຈາກນິຍາມຂອງຄ່າສໍາບູນ ແລະ ຈາກອະສົມຜົນຮູບສາມແຈ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f p g p LM f p g p Lg p Lg p LM ( ) ( ) − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) − + − g f p L L g p M ( ( ) ) ( ( ) ) − + − g p f p L L g p M ( ) ( ) ( ) ..... 1( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 18 ເນ ື່ອງຈາກ ( ) 0 lim p p f p L → = ແລະ ( ) 0 lim p p g p M → = ດັົ່ງນັົ້ນ, ພວກເຮົາສາມາດເຮັດໃຫ້ f p L ( ) − ແລະ g p M ( ) − ມີຂະໜາດນ້ອຍເທົົ່າໃດກ ໍ່ໄດ້ຕາມທີື່ພວກເຮົາຕ້ອງການດ້ວຍວິທີການເຮັດໃຫ້ f p L ( ) − ແລະ g p M ( ) − ນ້ອຍພ ພຽງ ຈຶື່ງພ ຈະແນ່ໃຈໄດ້ວ່າ: f p g p LM ( ) ( ) − ເພ ື່ອໃຫ້ລະອຽດດີຍິື່ງຂ ົ້ນ, ພວກເຮົາຊອກຫາ 1 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 1 0 p V U p ພວກເຮົາມີ: ( ) 2 1 ( ) f p L M − − ..... 2( ) ຕ ໍ່ໄປຊອກຫາ 2 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 2 0 p V U p ພວກເຮົາມີ: M g p M − + 1 1 ( ) ສໍາລັບ p ນັົ້ນ, ພວກເຮົາມີ: g p M ( ) +1 ..... 3( ) ຂັົ້ນສຸດທ້າຍ, ຊອກຫາ 3 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 3 0 p V U p ພວກເຮົາມີ: ( ) 2 1 ( ) g p M L − − ..... 4( ) ຖ້າໃຫ້ = min , , 1 2 3 ແລ້ວອະສົມຜົນ (2), (3), (4) ເປັນຈິງພ້ອມກັນ p ເມ ື່ອ ຢູ່ໃນການຕັດຂອງ V ກັບເມັດໃກ້ 0 p , ລັດສະໝີ , ເມັດໃຈກາງຢູ່ທີື່ 0 p . ອີກຢ່າງໜຶື່ງ, ຄ p V U p ( 0 ) ນັົ້ນເອງ, ສໍາລັບເມັດ p ນັົ້ນ, ອະສົມຜົນ (1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: f p g p LM g p f p L L g p M ( ) ( ) − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 c d c d + + + + = + + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( )( ) 0 lim p p fg p LM → = ການພິສູດ 3 ພວກເຮົາພຽງແຕ່ສະແດງ ( ) 0 1 1 lim p p p → g M = ກ ໍ່ພ ສໍາລັບການພິສູດວ່າ: ( ) 0 lim p p f L p → g M = ນັົ້ນ ເປັນຜົນ ໂດຍກົງມາຈາກການພິສູດ 2 ເນ ື່ອງຈາກ f 1 f g g = ໃຫ້ V ເປັນເຂດກໍານົດຂອງ 1 g ແລະ ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງທີື່ກໍານົດໃຫ້ໄວ້ກ່ອນ. ພວກເຮົາຕ້ອງການ ຊອກຫາ p ທີື່ຢູ່ໃກ້ 0 p ພຽງພ ທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) 1 1 g p M g p M M g p − − − ນ້ອຍກວ່າ ເນ ື່ອງຈາກ M 0 ພວກເຮົາຈະມີຈໍານວນຈິງ 1 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 1 0 p V U p ພວກເຮົາມີ: ( ) 2 2 M M M g p M − + ..... 5( ) ພິຈາລະນາ ເມ ື່ອ M 0 ແລະ M 0 ຈາກອະສົມຜົນ (5) ຈະພົບວ່າ: ພວກເຮົາມີ ( ) 2 M g p ..... 6( ) ຕ ໍ່ໄປເລ ອກ 2 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ ( ) 2 0 p V U p ພວກເຮົາມີ: ( ) 2 2 g p M M − ..... 7( )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 19 ໃຫ້ = min , 1 2 ສໍາລັບທຸກໆ ສະມາຊິກ p V U p ( 0 ) ການພົວພັນ (6) ແລະ (7) ຈະເປັນຈິງ ພ້ອມກັນ ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 g p M M g p M g p M M g p M g p M M − − − = = = = 2.3 ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ນິຍາມ 2.4 f ເປັນຕໍາລາຄ່າຕົວເລກ (Numerical-Valued Function) ກໍານົດໃຫ້ມີຄ່າເທິງກຸ່ມ D . ພວກ ເຮົາເວົົ້າວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 p D ຖ້າກໍານົດຈໍານວນໃດໆ 0 ໃກ້ເມັດ 0 p ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ U ເຊິື່ງ f p f p ( ) − ( 0 ) ສໍາລັບທຸກໆ ເມັດ p U D ຕໍາລາ f ເວົົ້າໄດ້ວ່າ: D ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ f ຖ້າ ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ ແຕ່ລະເມັດຂອງ D ການກວດສອບວ່າຕໍາລາທີື່ກໍານົດໃຫ້ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ຫຼ ບ ໍ່, ຈະງ່າຍ ຫຼ ຍາກ ຂ ົ້ນຢູ່ກັບຕໍາລາ. ຂ ໃຫ້ພິຈາລະນາ ຕໍາລາ F ກໍານົດໂດຍ ( ) 2 F x y x y , 3 = + ພວກເຮົາສາມາດສະແດງວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງຈະຕຸລັດ S ທີື່ມີຂ້າງຍາວຂ້າງລະໜຶື່ງ ຫົວໜ່ວຍ. ນັົ້ນຄ S ປະກອບໄປດ້ວຍເມັດ ( x y, ) ເຊິື່ງ 0 1, 0 1 x y ໃຫ້ p x y 0 0 0 ( , ) ເປັນເມັດໃດໆ ໃນ S ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 F p F p F x y F x y x y x y x x y y − = − = + − − = − + − , , 3 3 3 3 = − + + − ( x x x x y y 0 0 0 )( ) 3( ) ບ ໍ່ວ່າເມັດ p ແລະ 0 p ຈະຢູ່ຕໍາແໜ່ງໃດ, ໃນ S ເປັນຄວາມຈິງສະເໝີ ທີື່ 0 1 x ແລະ 0 0 1 x ແລະ ຈະໄດ້ 0 x x + 2 F p F p x x y y ( ) − + + − ( 0 0 0 ) 2 3 ..... 1( ) ເຊິື່ງເປັນການຄາດຄະເນການປ່ຽນຄ່າຂອງຕໍາລາໃກ້ໆ 0 p ຖ້າພວກເຮົາໃຫ້ p ຢູ່ໃນເມັດໃກ້ຂອງ 0 p ດັົ່ງນັົ້ນ, 0 x x + ແລະ 0 y y − ທັງສອງນີົ້ຕ້ອງມີຂະໜາດນ້ອຍ ຈຶື່ງຈະເຮັດໃຫ້ F p F p ( ) − ( 0 ) ມີຂະໜາດນ້ອຍລົງໄປ ດ້ວຍ. ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການຫາກຸ່ມ U ເຊິື່ງເປັນເມັດໃກ້ 0 p ທີື່ການປ່ຽນຄ່າຂອງ F ນ້ອຍກວ່າ = .03 ເລ ອກ U ເປັນເມັດໃກ້ 0 p , ເປັນຈະຕຸລັດ ມີເມັດໃຈກາງທີື່ 0 p ໂດຍຈະຕຸລັດນີົ້ມີຂ້າງຍາວຂ້າງລະ .01 ຫົວໜ່ວຍ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຖ້າ p U ແລະ ຢູ່ໃນ D ພວກເຮົາຕ້ອງໄດ້ວ່າ: 0 x x − .005 ແລະ 0 y y − .005 ຈາກ (1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: F p F p ( ) − + = ( 0 ) 2 .005 3 .005 .025 .03 ( ) ( ) ໂດຍທົົ່ວໆ ໄປ, ຖ້າພວກເຮົາເລ ອກ U ເປັນຈະຕຸລັດຂ້າງລະ (.4) ພວກເຮົາຈະໄດ້: x x − 0 (.2) ແລະ y y − 0 (.2) ນັົ້ນຄ : F p F p ( ) − + = ( 0 ) 2 .2 3 .2 ( ) ( ) ຕົວຢ່າງນີົ້ ກ ໍ່ໃຫ້ເກີດຄຸນລັກສະນະຂັົ້ນມູນຖານຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງອີກປະການໜຶື່ງ. ໃຫ້ pn ເປັນອັນດັບ ຂອງເມັດໃນ S ຈ້ອມຫາເມັດ 0 p ດັົ່ງນັົ້ນ, F p( n ) ຈະຈ້ອມຫາ F p( 0 ) ຖ້າ p x y n n n = ( , ) ຈາກ (1) ພວກເຮົາມີ ( ) ( 0 0 0 ) 2 3 F p F p x x y y n n n − + + − ແລະ ເນ ື່ອງຈາກ 0 lim n x x = , 0 lim n y y = ສະຫຼຼຸບວ່າ: ທາງຂວາມ ຂອງອະສົມຜົນ ເຂົົ້າໃກ້ 0 ແລະ limF p F p ( n ) = ( 0 ) ວິທີອ ື່ນທີື່ຈະອະທິບາຍຄຸນ ລັກສະນະຂ ໍ້ນີົ້ກ ໍ່ຄ : ການເວົົ້າວ່າ: ຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງຄົງໄວ ເຊິື່ງຄຸນລັກສະນະຂອງການຈ້ອມ (Preserves Convergence) ທິດສະດີ 2.4 ໃນຕໍາລາ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ແລະ ໃຫ້ pn ເປັນອັນດັບຂອງເມັດໃນເຂດກໍານົດ D ຂອງ f ເຊິື່ງ 0 lim n n p p → = ດັົ່ງນັົ້ນ, lim ( n ) ( 0 ) n f p f p → =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 20 ພິສູດ ກໍານົດໃຫ້ຈໍານວນໃດໆ 0 ເລ ອກເມັດໃກ້ 0 p ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ U ເຊິື່ງ f p f p ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ p U D ເນ ື່ອງຈາກ n p D ແລະ pn ຈ້ອມຫາ 0 p ພວກເຮົາມີ n p U ສໍາລັບຄ່າ n ທັງຫຼາຍທີື່ມີຂະໜາດໃຫຍ່. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຈະມີຈໍານວນ N ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: f p f p ( n ) − ( 0 ) ສໍາລັບຄ່າທັງໝົດ n N ເຊິື່ງມີຄວາມ ໝາຍເຊັົ່ນດຽວກັບທີື່ພວກເຮົາເວົົ້າວ່າ: ລໍາດັບຂອງຈໍານວນ f p( n ) ຈ້ອມຫາ f p( 0 ) ທິດສະດີ 2.5 ຖ້າພວກເຮົາກໍານົດຕໍາລາ f ໃຫ້ມີຄ່າເທິງ D ມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: ເມ ື່ອ n p D ແລະ 0 lim n p p D = ສະນັົ້ນ, ຈະໄດ້ຜົນຕາມມາວ່າ: lim ( n ) ( 0 ) n f p f p → = ດັົ່ງນັົ້ນ, f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ p ພິສູດ ພວກເຮົາຈະພິສູດທາງອ້ອມ ສົມມຸດວ່າ: f ຄົງໄວ້ ເຊິື່ງຄຸນລັກສະນະການຈ້ອມ, ແຕ່ f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ນັົ້ນໝາຍຄວາມວ່າ: ຕ້ອງມີຈໍາ ນວນບວກບາງຄ່າ 0 ເຊິື່ງບ ໍ່ອາດຫາຄ່າເມັດໃກ້ 0 p ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ U ທີື່ເຮັດໃຫ້ f p f p ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ p U D . ຖ້າພວກເຮົາພະຍາຍາມຈະຫາເມັດໃກ້ 0 p ໃຫ້ໄດ້ ກ ໍ່ຈະພົບແຕ່ຄວາມລົົ້ມເຫຼວ ເພາະຈະມີເມັດ p ໜຶື່ງ ເມັດຂອງ D ໃນ U ເຊິື່ງ f p f p ( ) − ( 0 ) ຖ້າພວກເຮົາເລ ອກ U ເປັນບານປິດ, ລັດສະໝີ 111 1, , , , 234 ແລະ ໃຫ້ Un ຄ Un = ເມັດ p ທັງໝົດ ເຊິື່ງ 0 1 n p p n − ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕ້ອງມີເມັດໆ ໜຶື່ງ n n p U D ເຊິື່ງ f p f p ( n ) − ( 0 ) ເນ ື່ອງຈາກ n n p U , 0 1 n p p n − ແລະ 0 lim n p p = ເທົົ່າກັບເປັນການສ້າງອັນດັບ pn ໃນ D ຈ້ອມ ຫາ 0 p ແຕ່ວ່າ f p( n ) ບ ໍ່ຈ້ອມຫາ f p( 0 ) ເຊິື່ງຂັດແຍ້ງກັບຂ ໍ້ສົມມຸດ; ແຕ່ທໍາອິດ f ມີຄຸນລັກສະນະຂອງການ ຈ້ອມ ເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາຕ້ອງສະຫຼຼຸບວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ທິດສະດີນີົ້ມີປະໂຫຍດໃນການສະແດງວ່າ: ຕໍາລາທີື່ກໍານົດໃຫ້ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ຫຼາຍກວ່າ ທີື່ຈະສະແດງວ່າ: ຕໍາລາມີ ຄວາມຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ໃນການພິສູດວ່າ: ຕໍາລາທີື່ກໍານົດມາເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. ພວກເຮົາຕ້ອງພິຈາລະນາ f p( n ) ວ່າ: ຈ້ອມຫາ f p( 0 ) ຫຼ ບ ໍ່; ສໍາລັບອັນດັບ pn ທີື່ຈ້ອມຫາ 0 p ເຊິື່ງ pn ມີຫຼວງຫຼາຍນັບບ ໍ່ຖ້ວນ, ຖ້າມີແມ້ພຽງອັນ ດັບດຽວ pn ໃນ D ເຊິື່ງ ຈ້ອມຫາ 0 p ແຕ່ກັບພົບວ່າ: f p( n ) ຫວາ, ພວກເຮົາສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: ຕໍາລາບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ທີື່ 0 p ຕົວຢ່າງ 2.8 f ເປັນຕໍາລາ ກໍານົດໂດຍ ( ) ( ) ( ) 2 2 4 , , 0,0 , 0, 0 xy x y f x y x y x y = + = = ພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (0,0) ຫຼ ບ ໍ່ໃນບັນດາອັນດັບທີື່ຈ້ອມຫາເມັດກໍາເນີດນັົ້ນພົບວ່າມີ ຫຼວງຫຼາຍ, ຂ ໃຫ້ເບິື່ງອັນດັບທີື່ເລ ອກມາໃນຮູບຂອງ 1 , n c p n n = ເຊິື່ງ c ມີຄ່າໄດ້ຕ່າງໆ ກັນ; ອັນດັບນີົ້ຈ້ອມຫາ (0,0) ຕາມເສັົ້ນຕ່າງໆ ເນ ື່ອງຈາກ ( ) 3 4 4 2 4 2 1 1 1 n c n c f p c c n n n n = = + +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 21 ພວກເຮົາພົບວ່າ: lim 0 ( n ) n f p → = ເບິື່ງຄ ວ່າ f ຈະຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (0,0) , ແຕ່ຖ້າພວກເຮົາພິຈາລະນາອັນດັບອ ື່ນໆ ທີື່ຈ້ອມຫາ (0,0) ຄ ກັນ ເຊັົ່ນ: ອັນດັບ 2 1 1 , n q n n = ພົບວ່າ: ( ) 4 4 4 1 1 1 1 2 n n f q n n = = + ນັົ້ນຄ , ຂະນະທີື່ lim 0,0 n ( ) n q → = , lim 0,0 ( n ) ( ) n f q → ດັົ່ງນັົ້ນ, ໂດຍອັນດັບ qn ພຽງອັນດັບດຽວນີົ້ ເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາພິສູດໄດ້ວ່າ: f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດກໍາເນີດ. ນິຍາມ 2.5 ໃຫ້ f ເປັນຕໍາລາ, ກໍານົດໃຫ້ມີຄ່າໃນກຸ່ມ D ໃນພ ົ້ນທີື່ n ມິຕິ ແລະ ຄ່າຂອງຕໍາລາຢູ່ໃນພ ົ້ນທີື່ m ມິຕິ; ເວົົ້າວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ 0 p D ຖ້າກໍານົດເມັດໃກ້ f p( 0 ) ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ V ໂດຍ f p q ( 0 0 ) = ຈະມີ ຜ່ານເມັດ 0 p ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ U ເຊິື່ງ f p V ( ) ເມ ື່ອ p U D ເວົົ້າວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ຖ້າ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ແຕ່ລະເມັດໃນ D p f q 0 p 0 q U V ຮູບທີ 2.2 ຄວາມຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາ f ທິດສະດີ 2.6 ໃຫ້ f ແລະ g ເປັນຕໍາລາຄ່າຈິງ ຖ້າ f ແລະ g ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງເຂດກໍານົດ D ແລ້ວ 1) f g + ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D 2) fg ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D 3) f g + ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ( ແລະ ເປັນຈໍານວນຄົງຄ່າ) 4) f g ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ p ໃນ D ຖ້າ g p( ) 0 ທິດສະດີນີົ້ເວົົ້າເຖິງການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຜົນບວກ, ຜົນຄູນ ແລະ ຜົນຫານ ຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ; ເວົົ້າງ່າຍໆ ວ່າ: ຜົນ ບວກ, ຜົນຄູນ ແລະ ຜົນຫານຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງສອງຕໍາລາ ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. ພິສູດ 2) ຕ້ອງການພິສູດວ່າ: fg ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ D ນັົ້ນຄ ພຽງແຕ່ສະແດງວ່າ: fg ມີຄຸນລັກສະນະຂອງການຈ້ອມ ກໍານົດເມັດໃດໆ 0 p D ແລະ ອັນດັບໃດໆ pn ໃນ D ເຊິື່ງຈ້ອມຫາ 0 p , ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: f ແລະ g ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ນັົ້ນຄ : lim ( n ) ( 0 ) n f p f p → = ແລະ lim ( n ) ( 0 ) n g p g p → = ພວກເຮົາປະສົງຈະໄດ້ວ່າ: f p g p ( n n ) ( ) ຕ້ອງເປັນອັນດັບຈ້ອມ ແລະ lim lim lim ( n n n n ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) n n n f p g p f p g p f p g p → → → = = ນັົ້ນຄ ຕໍາລາ fg ມີຄຸນລັກສະນະຂອງການຈ້ອມ. ສະນັົ້ນ, ຜົນຄູນຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງສອງຕໍາລາ ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ ເນ ື່ອງ. ການພິສູດອ ື່ນໆ ທີື່ເຫຼ ອ ປະໄວ້ເປັນແບບເຝີກຫັດຂອງນັກສຶກສາ. ທິດສະດີ 2.7 ໃຫ້ g ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມ D ແລະ f ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມ S ຖ້າ 0 p D ແລະ g p q D ( 0 0 ) = ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕໍາລາປະກອບ F ກໍານົດໂດຍ F p f g p ( ) = ( ( )) ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p p q 0 p g 0 q U V F f
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 22 c − c c + ຮູບທີ 2.3 ພິສູດ ຈາກຮູບ f q c F p ( 0 0 ) = = ( ) ໃຫ້ ໃຫ້ 0 ເປັນຈໍານວນຈິງໃດໆ ເນ ື່ອງຈາກ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 q ດັົ່ງນັົ້ນ, ຈະມີເມັດໃກ້ 0 q ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ V ທີື່ ເຮັດໃຫ້ ຖ້າ q V ແລະ q ຢູ່ໃນເຂດກໍານົດຂອງ f ແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f q f q ( ) − ( 0 ) ແລະ ເນ ື່ອງຈາກ g p q ( 0 0 ) = ແລະ g ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ພວກເຮົາຈຶື່ງຮູ້ວ່າ: ຈະມີເມັດໃກ້ 0 p ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ U ເຊິື່ງ g p V ( ) ສໍາລັບເມັດທັງຫຼາຍ p U D . ດັົ່ງນັົ້ນ, ຖ້າພວກເຮົາໃຫ້ q g p = ( ) ຈະໄດ້ວ່າ: f g p f g p ( ( )) − ( ( 0 )) ເມ ື່ອ p U D ເຊິື່ງ ສາມາດຂຽນໃໝ່ເປັນ F p F p ( ) − ( 0 ) ພວກເຮົາພິສູດໃຫ້ເຫັນແລ້ວວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ຕົວຢ່າງ ຈົົ່ງພິຈາລະນາການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີົ້: 1) f x x x x ( 1 2 1 , , , n ) = 2) sin( x y + ) 3) ( ) 2 2 ln x y + ແກ້ 1) ໃຫ້ f x x x x ( 1 2 1 , , , n ) = ຢູ່ໃນ n , ໃຫ້ ເປັນຈໍານວນບວກໃດໆ, ເລ ອກ = ສໍາລັບ n x ຖ້າ 0 − x a ນັົ້ນຄ ( ) ( ) 2 1 1 0 n n n − = − + + − x a x a x a ພິຈາລະນາ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 f x f a x a x a − = − = − ( ) ( ) 2 1 1 n n n − + + − = x a x a ດັົ່ງນັົ້ນ, lim ( ) ( ) x a f x f a → = ດັົ່ງນັົ້ນ, f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ x a = ໃນທໍານອງດຽວກັນ, ສໍາລັບຕໍາລາທົົ່ວໆ ໄປ ເຊິື່ງນິຍາມໃນລັກສະນະດຽວກັນ f x x x x i n i n i ( 1 2 , , , , 1,2,3, , ) = = ຈະໄດ້ວ່າ: i f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ n ທຸກຄ່າ i 2) ໃຫ້ f x y x y ( , ) = + ແລະ g z z ( ) = sin ເນ ື່ອງຈາກ x ແລະ y ຕ່າງທີື່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ແລະ ໂດຍທິດສະດີ2.6 ຈະໄດ້: x y + ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. ນັົ້ນຄ f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ 2 ແລະ g ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ ດັົ່ງນັົ້ນ, g f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ 2 ດ້ວຍ. ( g f x y g f x y x y )( , , sin ) = = + ( ( )) ( ) ດັົ່ງນັົ້ນ, sin( x y + ) ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ 2 3) ໃຫ້ ( ) 2 2 f x y x y , = + ແລະ g z z ( ) = ln f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ 2 ແລະ ( ) 2 2 f x y x y , 0 = + ເມ ື່ອ ( x y, 0,0 ) ( ) ແລະ g ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ເທິງ z z| ແລະ z 0 ດັົ່ງນັົ້ນ, ( g f x y )( , ) ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດເທິງ 2 ຍົກເວັົ້ນ ( x y, 0,0 ) = ( ) ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) 2 2 ln x y + ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດ ຍົກເວັົ້ນ ( x y, 0,0 ) = ( ) ຕົວຢ່າງຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ 1) ໃຫ້ 2 S = ແລ້ວຕໍາລາຄ່າຈິງ ທີື່ນິຍາມເທິງ S ຕ ໍ່ໄປນີົ້ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ a) ຕໍາລາຄົງຄ່າ ກໍານົດໂດຍສົມຜົນ f x y c ( , ) = ເມ ື່ອ ( x y, ) ເປັນສະມາຊິກໃດໆ ຂອງ S ແລະ C ເປັນຈໍານວນຈິງຄົງຄ່າໃດໆ
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 23 b) ຕໍາລາພາບສາຍ (Projection Function) ທັງສອງຕ ໍ່ໄປນີົ້ຄ I x y x ( , ) = ແລະ J x y y ( , ) = 2) ຕໍາລາພະຫຸບົດຂອງຕົວປ່ຽນ 2 ຕົວ ທີື່ຢູ່ໃນຮູບ ( ) 1 1 , i m j i ij i j f x y a x y = = = ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ເມ ື່ອ ij a 3) ໃຫ້ S ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງ 2 ເຊິື່ງເປັນຕໍາລາພະຫຸບົດ f x y ( , ) ບ ໍ່ເປັນສູນເທິງກຸ່ມ S ນີົ້, ຈະໄດ້ວ່າ: 1 f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕໍາລາປົກກະຕິ ( ) ( ) ( ) , , , g x y R x y f x y = ຈະຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດໃນ 2 ທີື່ເຊິື່ງ f x y ( , 0 ) 4) ຈາກການທີື່ເຄີຍຮູ້ມາແລ້ວວ່າ: ຕໍາລາໃຈກໍາລັງ, ຕໍາລາໂລກາລິດ ແລະ ຕໍາລາໄຕມຸມມິຕິ ຈະຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດທີື່ ມັນນິຍາມ ຈຶື່ງພົບວ່າ: ຕໍາລາ ( ) ( ) 3 2 f x y z x y xz xyz , , sin 3 = + − ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ທຸກເມັດໃນ 3 ເພາະມັນເປັນຕໍາລາ ປະກອບຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງສອງຕໍາລາ ຄ : ( ) 3 2 h x y z x y xz xyz , , 3 = + − ແລະ g x x ( ) = sin ຖ້າພວກເຮົາຂະຫຍາຍພ ົ້ນທີື່ໃຫ້ໃຫຍ່ຂ ົ້ນ ໂດຍການໃຫ້ n S ຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເວົົ້າໄວ້ໃນຕົວຢ່າງທັງ 4 ຂ ໍ້, ກ ໍ່ ຍັງຄົງເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. 2.4 ຄຸນລັກສະນະການປະມານຄ່າ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີ ຈາກປະຕິບັດການກ່ຽວກັບການຄໍານວນຕົວເລກ, ພົບວ່າ: ຈໍານວນປົກກະຕິມີຄວາມສໍາຄັນຫຼາຍ; ຈໍານວນ ປົກກະຕິໜາແໜ້ນ (Dense) ໃນຈໍານວນຈິງ, ເພາະປິດ (Closed) ຂອງ 0 ຄ ແລະ ທຸກໆ ຈໍານວນຈິງ ອາດຈະ ຖ ກປະມານຄ່າດ້ວຍຈໍານວນປົກກະຕິໃນໄລຍະໃກ້ຄຽງ; ຈໍານວນສົນໃດໆ a bi + ອາດຖ ກປະມານຄ່າດ້ວຍຈໍານວນ 0 0 a b i + ເມ ື່ອ 0 a , 0 b ເປັນຈໍານວນປົກກະຕິ. ການສຶກສາເລ ື່ອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມເຕີມເຕັມ, ມັກຈະກ່ຽວຂ້ອງກັບຕໍາລາພະຫຸບົດໃນຫຼາຍໆ ກ ລະນີ. ພວກ ເຮົາສະດວກທີື່ຈະແທນຕໍາລາ f ທີື່ຫຍຸ້ງຍາກຊັບຊ້ອນດ້ວຍຕໍາລາພະຫຸບົດ F ທີື່ມີຄ່າໃກ້ຄຽງກັບ f ທີື່ສຸດ, ມີການ ປະມານຄ່າຫຼາຍແບບທີື່ແຕກຕ່າງກັນໄປທີື່ມີປະໂຫຍດທາງຄະນິດສາດຫຼາຍ. ໃນບັນດາການປະມານຄ່ານີົ້, ຈະເວົົ້າເຖິງ ເລ ື່ອງທີື່ງ່າຍທີື່ສຸດໄດ້ແກ່: ການປະມານຄ່າໂດຍສະໝໍໍ່າສະເໝີ (Uniform Approximation) ນິຍາມ 2.6 ຕໍາລາ F ເປັນການປະມານຄ່າໂດຍ ຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີຂອງຕໍາລາ f ເທິງກຸ່ມ E ຖ້າ f p F p p E ( ) − ( ) , ຖ້າ f ແລະ F ເປັນຕໍາລາຕົວປ່ຽນດຽວ ໂດຍ E ເປັນຫວ່າງປິດ a b, ພວກເຮົາສາມາດເຮັດຄວາມເຂົົ້າໃຈ ກັບນິຍາມນີົ້ທາງເລຂາຄະນິດໂດຍງ່າຍ. ຖ້າໃຫ້ S ເປັນແຜ່ນບາງໆ ທີື່ມີຄວາມກວ້າງ 2 ເຊິື່ງໄດ້ຈາກການເຄ ື່ອນເສັົ້ນ ມີຄວາມຍາວເທົົ່າກັບ 2 ໄປຕາມເສັົ້ນສະແດງຂອງ f ໂດຍໃຫ້ເສັົ້ນສະແດງຂອງ f ເປັນເສັົ້ນກາງຂອງແຜ່ນບາງໆ ດັົ່ງຮູບ. ດັົ່ງນັົ້ນ, F ເປັນການປະມານຄ່າໂດຍ ຂອງ f ຖ້າເສັົ້ນສະແດງຂອງ F ທັງໝົດບັນຈຸຢູ່ໃນກຸ່ມ S ເວົົ້າອີກ ຢ່າງວ່າ: F ຢູ່ໃນເມັດໃກ້ຂອງ F , ລັດສະໝີ F ຂຽນແທນດ້ວຍ E f F− ເຊິື່ງ E ເປັນສັນຍາລັກທີື່ໝາຍເຖິງ ub ( ) E g l g p = ເຊິື່ງ p E ອ່ານວ່າ: ຂອບເຂດເທິງຄ່ານ້ອຍສຸດ ຫຼ ຄ່າສູງສຸດຂອງ g ເທິງ E ດັົ່ງນັົ້ນ, E f F− ເປັນຄ່າແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ f ແລະ F ທີື່ຫຼາຍທີື່ສຸດເທິງກຸ່ມ E ອ່ານ E g ວ່າ: ນອຣ໌ມຂອງ g
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 24 a b ຮູບທີ 2.4 a b, f F− ຜົນທີື່ພວກເຮົາວ່າເປັນປະໂຫຍດຫຼາຍຂອງການປະມານຄ່ານີົ້ເລ ື່ອງຫຼຶື່ງກ ໍ່ຄ : ທິດສະດີປະມານຄ່າໄວແຍຣ໌ສຕຣາສ໌ (Weierstrass Approximation Theorem) ເຊິື່ງເວົົ້າວ່າ: ອາດປະມານຄ່າຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງໜຶື່ງຕົວປ່ຽນໃດໆ ນິ ຍາມເທິງຫວ່າງປິດ a b, ດ້ວຍຕໍາລາພະຫຸບົດ; ພວກເຮົາຈະບ ໍ່ພິສູດໃນທີື່ນີົ້ ແລະ ຈະບ ໍ່ຂະຫຍາຍຄວາມຄິດນີົ້ໄປຫາຕໍາ ລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ, ແຕ່ພວກເຮົາຈະພິສູດການປະມານຄ່າດ້ວນຕໍາລາລີເນແອເປັນຫວ່າງໆ (Piecewise Linear Function) ເຊິື່ງມີເສັົ້ນສະແດງເປັນ Polygonal Line. ທໍາອິດຂ ໃຫ້ສຶກສາແນວຄິດຂອງການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ຖ້າພວກເຮົາກັບໄປພິຈາລະນາຕໍາລາພະຫຸບົດ ທີື່ເຄີຍເວົົ້າແລ້ວໃນຫົວຂ ໍ້ກ່ອນໆ ຄ : ຕໍາລາ F ກໍານົດໂດຍ ( ) 2 F x y x y , 3 = + ພວກເຮົາພິສູດກັນແລ້ວວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງຈະຕຸລັດທີື່ມີຂ້າງຍາວຂ້າງລະໜຶື່ງຫົວໜ່ວຍ, ມີເມັດ ຍອດທີື່ (0,1), (1,0), (1,1) ແລະ ພວກເຮົາຍັງຮູ້ຈາກທິດສະດີກ່ຽວກັບການຕ ໍ່ເນ ື່ອງອ ື່ນໆ ອີກວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງໃນ ໜ້າພຽງ 2 ພວກເຮົາຈະຂຽນອີກຄັົ້ງວ່າ: F x y F x y x x x x y y ( , , 3 ) − = − + + − ( 0 0 0 0 0 ) ( )( ) ( ) ຖ້າພວກເຮົາກໍານົດຈໍານວນຈໍານວນໜຶື່ງ ໄວ້ໃຫ້ກ່ອນ, ພວກເຮົາຕ້ອງຫາກຸ່ມ U ເຊິື່ງເປັນເມັດໃກ້ p x y 0 0 0 = ( , ) ທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ ເມ ື່ອເມັດ p ທັງໝົດຢູ່ໃນ U ແລ້ວ F p F p ( ) − ( 0 ) ຖ້າພວກເຮົາເລ ອກ U ເປັນຈະຕຸລັດຂ້າງຍາວຂ້າງລະ 2 , ມີໃຈກາງທີື່ 0 p ພວກເຮົາມີ 0 x x − ແລະ 0 y y − ເມ ື່ອເມັດ p U ຈໍານວນ ນີົ້ຍັງບ ໍ່ໄດ້ກໍານົດວ່າ: ເປັນເທົົ່າໃດ, ແຕ່ພວກເຮົາອາດຈະເລ ອກໃຫ້ມີຂະໜາດນ້ອຍກວ່າ 1 ດັົ່ງນັົ້ນ, ເມ ື່ອ p U ພວກເຮົາມີ: 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x − = − + − + + 2 2 1 2 ດັົ່ງນັົ້ນ, ເມັດໃດໆ p U ພວກເຮົາມີ: F p F p x x x x y y x x ( ) − − − + − + + + ( 0 0 0 0 0 0 ) 3 1 2 3 4 2 ( ) ( ) ເພ ື່ອຈະພິສູດວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ພວກເຮົາຕ້ອງການຈະເຮັດໃຫ້ທາງຊ້າຍມ ມີຂະໜາດນ້ອຍກວ່າ ສໍາລັບ ທຸກໆ p U ເຊິື່ງເຮັດໄດ້ໂດຍເລ ອກ ທີື່ເຮັດໃຫ້ທາງຂວາມ ຂອງອະສົມຜົນນ້ອຍກວ່າ ດັົ່ງນັົ້ນ, ພວກເຮົາຈຶື່ງ ເລ ອກ ເປັນຈໍານວນ ເຊິື່ງ 0 0 4 2 x + ໂດຍການເລ ອກ ແບບນີົ້ ພວກເຮົາແນ່ໃຈໄດ້ທັນທີວ່າ: F p F p ( ) − ( 0 ) ສໍາລັບເມັດ p U ແລະ F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ແຕ່ລະເມັດ 0 p ໃນຂະນະນີົ້ຂ ໃຫ້ກວດສອບໂດຍລາຍລະອຽດວ່າ: ພວກເຮົາເຮັດຫຍັງໄດ້ແດ່? ພວກເຮົາສັງເກດເຫັນວ່າ: ຂະໜາດ ເມັດໃກ້ U ເຊິື່ງເລ ອກມານັົ້ນ ຂ ົ້ນຢູ່ກັບຄ່າຂອງ ແລະ ຄ່າຂອງ 0 x ເຊິື່ງຂ ົ້ນກັບເມັດ 0 p ດ້ວຍນັົ້ນເອງ. ພົບວ່າ: ຖ້າ ເມັດ 0 p ຢູ່ໄກອອກໄປທາງຂວາມ ເລ ົ້ອຍໆ 0 x ຈະເພີື່ມຂ ົ້ນເລ ົ້ອຍໆ ແລະ ຄ່າຂອງ 0 x ຈະຫຼຼຸດລົງ. ຖ້າພວກເຮົາກໍາລັງພະຍາຍາມຈະສະແດງວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມ D ທີື່ມີຂອບເຂດໂດຍສະເພາະ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ເນ ື່ອງ ຈາກເມັດ 0 p ຕ້ອງຢູ່ໃນ D ສະນັົ້ນ, 0 x ຕ້ອງມີຄ່າຂອບເຂດເທິງ ພວກເຮົາກ ໍ່ສາມາດເລ ອກຄ່າຂອງ 0 x ເຊິື່ງມີ ຂະໜາດນ້ອຍກວ່າຄ່າທີື່ກໍານົດໄວ້ວ່າ: 0 0 4 2 x + ແລະ ພວກເຮົາສາມາດຈະເລ ອກເມັດໃກ້ 0 p ຂະໜາດ ດຽວກັນເທົົ່ານັົ້ນທີື່ຈະໃຊ້ໄດ້ກັບທຸກໆ ຕໍາແໜ່ງຂອງ 0 p ໃນ D ດັົ່ງທີື່ພວກເຮົາເຄີຍຫາ ໄປແລ້ວວ່າ: = (.2) ໃຊ້ໄດ້ກັບທຸກເມັດທັງໝົດ 0 p ໃນຈະຕຸລັດ. ປາກົດການພິເສດນີົ້ ຄ : ຄວາມສາມາດໃນການເລ ອກ ທີື່ເປັນອິດສະຫຼະ, ຈາກ 0 p ຈຶື່ງເກີດເປັນນິຍາມນີົ້ຂ ົ້ນວ່າ: ນິຍາມ 2.7 f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີເທິງກຸ່ມ E ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອທຽບເທົົ່າກັບແຕ່ລະ 0 ຈະມີຈໍານວນໜຶື່ງ 0 ທີື່ເຮັດໃຫ້ f p f q ( ) − ( ) ເມ ື່ອ p ແລະ q ຢູ່ໃນ E ແລະ p q −
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 25 ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີນີົ້ກ່ຽວພັນເຊ ື່ອມໂຍງກັບກຸ່ມໆ ໜຶື່ງສະເໝີ ເຊິື່ງຕ້ອງກໍານົດກຸ່ມໃດກຸ່ມໜຶື່ງລົງໄປ ໂດຍສະເພາະ ຈຶື່ງຈະພິຈາລະນາໄດ້ວ່າ: ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີ ຫຼ ບ ໍ່ ເຊັົ່ນ: ຕົວຢ່າງຂອງຕໍາລາ F ທີື່ອະທິບາຍມາ ແລ້ວວ່າ: F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີເທິງກຸ່ມ S ເມ ື່ອ S ເປັນຈະຕຸລັດທີື່ມີຂ້າງຍາວຂ້າງລະໜຶື່ງຫົວໜ່ວຍ ເຊິື່ງໂດຍ ແທ້ຈິງແລ້ວ F ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີເທິງກຸ່ມທີື່ມີຂອບເຂດຈໍາກັດໃດໆ ແຕ່ສາມາດພິສູດວ່າ: F ບ ໍ່ເປັນຕໍາລາທີື່ ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີເທິງໜ້າພຽງທັງໝົດ. ພວກເຮົາຈະຈໍາກັນໄດ້ວ່າ: ຖ້າຕໍາລາ f ຖ ກນິຍາມທີື່ເມັດ 0 p p = ແລະ ຖ້າ ( ) 0 lim p p f p → ຫາຄ່າໄດ້. ດັົ່ງນັົ້ນ, ເວົົ້າວ່າ: f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ 0 p ຖ້າ ( ) ( ) 0 0 lim p p f p f p → = ເຊິື່ງມີຄວາມໝາຍວ່າ: ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ຈະມີ 0 ເຊິື່ງ f p f p ( ) − ( 0 ) ຖ້າ 0 p p − ແລະ p ຢູ່ໃນເຂດກໍານົດຂອງ f ຄຸນລັກສະນະຂອງການຕ ໍ່ເນ ື່ອງນີົ້ເປັນຄຸນລັກສະນະສະເພາະທີື່ ແລະ ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄຸນລັກສະນະປີດຂອງຄ່າຕ່າງໆ ຂອງຕໍາລາກັບຄ່າຂອງ f p( 0 ) ເມ ື່ອ p ເຂົົ້າໃກ້ 0 p . ເວົົ້າພ ສັງເຂບວ່າ: ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີ (Uniform Continuity) ເທິງກຖ່ມໜຶື່ງ ໃນເວລາເມັດ 0 p ສໍາລັບຄ່າ p ທັງໝົດ ເຊິື່ງຢູ່ຫ່າງຈາກ 0 p ເປັນໄລຍະຫ່າງ ເຊິື່ງເປັນ ຄ່າດຽວກັນໂດຍຕະຫຼອດ (ເຂົົ້າໃກ້ 0 p ຢ່າງສະໜໍໍ່າສະເໝີ ຫຼ ສະເໝີກັນ) ສໍາລັບທຸກໆ 0 p ເມັດໃນກຸ່ມ. ຂ ໃຫ້ມາເບິື່ງຕົວຢ່າງຂອງຕໍາລາ ເຊິື່ງຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງເຂດກໍານົດຂອງຕໍາລາ. ພິຈາລະນາຕໍາລາ f ກໍານົດໂດຍ ( ) ( ) 1 f x x , 0,1 x = ພວກເຮົາສະແດງໄດ້ໂດຍບ ໍ່ຍາກວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ແຕ່ລະເມັດ a(0,1) , ຖ້າ 2 a x ດັົ່ງນັົ້ນ, ສໍາລັບຈໍານວນ ບວກໃດໆ 0 ພວກເຮົາມີ 2 1 1 2 a x a x x a ax a − − = − y ( ) 1 f x x = x a 2 a ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ 2 2 a a x − ຫຼ 2 2 2 2 a a a x − − ເນ ື່ອງຈາກ, ພວກເຮົາຈໍາກັດຄ່າ x ໂດຍ 2 a x ຈະເຫັນວ່າ: ຄໍານວນຈາກ 2 min , , 2 2 a a a = = ສິື່ງທີື່ສໍາຄັນທີື່ສຸດກ ໍ່ຄ : ຈົົ່ງສັງເກດວ່າ: ເປັນຕໍາລາຂອງທັງ a ແລະ ພວກເຮົາເບິື່ງເຫັນວ່າ: ສໍາລັບເມັດ a ເຊິື່ງໃກ້ໆ 0 , ຈະເຂົົ້າໃກ້ 0 ດ້ວຍ. ນອກຈາກນີົ້, ຂະນະທີື່ a ເຂົົ້າໃກ້ 0 ພວກເຮົາຕ້ອງເລ ອກ ໃຫ້ມີຂະໜາດນ້ອຍລົງ ເພ ື່ອທີື່ຈະເຮັດໃຫ້ຄ່າ ຂອງຕໍາລາ 1 x ເຂົົ້າໃກ້ຄ່າຂອງ 1 a . ໃນຕົວຢ່າງນີົ້ພົບວ່າ: ພວກເຮົາບ ໍ່ອາດຈະເລ ອກ ພຽງຈໍານວນດຽວ ແລະ ໃຊ້ໄດ້ ກັບທຸກເມັດ x(0,1) ຫຼ ເວົົ້າອີກຢ່າງວ່າ: ບ ໍ່ອາດເລ ອກ ເຊິື່ງຂ ົ້ນກັບ ແຕ່ຢ່າງດຽວບ ໍ່ຂ ົ້ນກັບຄ່າຂອງ x ສະຫຼຼຸບ ວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີ. ລັກສະນະທີື່ບົົ່ງຊີົ້ວ່າເປັນການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີ(Negation of Uniform Continuity)
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 26 ຕໍາລາ f ເຊິື່ງຖ ກນິຍາມເທິງກຸ່ມ E ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ E ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ 0 ມີ ເຊິື່ງສໍາລັບຈໍາ ນວນບວກໃດໆ 0 ມີເມັດ p ແລະ q ເຊິື່ງ p q − ແລະ f p f q ( ) − ( ) ຕົວຢ່າງ 2.9 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຕໍາລາ f ກໍານົດໂດຍ ( ) ( ) 1 f x x , 0,1 x = ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ (0,1) ແກ້ ເລ ອກ = 2 ດັົ່ງນັົ້ນ, ສໍາລັບແຕ່ລະ 0 , ໃຫ້ 1 1 min , 2 4 = , 1 p = 2 , 1 q = ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 p q f p f q pq − − = = = ຈຶື່ງສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງບ ໍ່ສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ (0,1) ທິດສະດີ 2.8 ຖ້າ E ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ແລະ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ E ດັົ່ງນັົ້ນ, f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ E ພິສູດ ຈະພິສູດໂດຍທາງອ້ອມ ສົມມຸດວ່າ: f ບ ໍ່ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ E ນັົ້ນໝາຍຄວາມວ່າ: ຈະມີຈໍານວນບວກບາງຄ່າ 0 ສໍາລັບຈໍານວນໃດໆ 0 ຈະມີເມັດ p ແລະ q ໃນ E ເຊິື່ງ p q − ແຕ່ f p f q ( ) − ( ) ຖ້າສົມມຸດຖານນີົ້ເປັນຈິງ, ພວກເຮົາສາມາດເລ ອກຄ່າສະເພາະຂອງ ແລະ ຈາກນັົ້ນເລ ອກ ໃຫ້ມີຂະໜາດ ຕ່າງໆ ກັນ ເຊັົ່ນ: 111 1, , , , 234 ສໍາລັບການເລ ອກ ແຕ່ລະຄ່າ, ພວກເຮົາສາມາດສ້າງເມັດສອງເມັດໃນ E ເອີົ້ນ n p ແລະ n q ສໍາລັບ 1 n = ເຊິື່ງມີຄຸນລັກສະນະວ່າ: 1 n n p q n − = ແລະ ເຊິື່ງ f p f q ( ) − ( ) ຕ ໍ່ໄປສະແດງວ່າ: ພວກເຮົາເຮັດບ ໍ່ໄດ້, ຖ້າວ່າ: f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ E ເພາະວ່າ: ກຸ່ມ E ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ, ພວກ ເຮົານໍາໃຊ້ທິດສະດີໂບລຊາໂນ-ໄວແຍຣ໌ສຕຣາສ໌(Bolzano-Weierstrass Theorem) ໃນການສະຫຼຼຸບວ່າ: ອັນດັບ pn ຕ້ອງມີເມັດຂອບເຂດ 0 p E ແລະ ຈະມີອັນດັບຍ່ອຍ qnk ຈ້ອມຫາ 0 p ເນ ື່ອງຈາກພົດຕ່າງໆ ຂອງອັນດັບ qn ເຂົົ້າໃກ້ພົດຕ່າງໆ ຂອງອັນດັບ pn ພວກເຮົາປະສົງຈະໄດ້ວ່າ: qnk ຈ້ອມຫາ 0 p ດ້ວຍ. ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: 0 0 0 0 1 0 k k k k k k k k n n n n n n n n k q p q p p p q p p p p p n − = − + − − + − + − → ແຕ່ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ E , f ຕ້ອງມີຄຸນລັກສະນະຂອງການຈ້ອມ ແລະ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: lim 0 ( ( ) ( )) ( 0 0 ) ( ) k k n n k f p f q f p f p → − = − = ເຊິື່ງຂັດແຍ້ງກັຍທີື່ສົມມຸດໄວ້ວ່າ: ( ) ( ) 0 n n f p f q − ສໍາລັບຄ່າທັງໝົດ n . ດັົ່ງນັົ້ນ, f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຢ່າງສະໝໍໍ່າສະເໝີເທິງ E ທິດສະດີ 2.9 ຖ້າ f ເປັນຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງຫວ່າງປິດ ແລະ ມີຂອບເຂດ a b, ດັົ່ງນັົ້ນ, ສໍາລັບຈໍານວນບວກ ໃດໆ 0 ຈະມີຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເປັນຫວ່າງໆ F ເຊິື່ງເປັນຄ່າປະມານຂອງຕໍາລາ f ໂດຍສະໝໍໍ່າສະເໝີ ໂດຍ ເທິງ ຫວ່າງນັົ້ນ. ພິສູດ ຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງເປັນຫວ່າງໆ ມີເສັົ້ນສະແດງປະກອບໄປດ້ວຍເສັົ້ນຊ ື່ຫຼາຍເສັົ້ນ, ມີຈໍານວນຈໍາກັດ, ຂະນະ ທີື່ ນ້ອຍລົງ, ຈໍານວນທ່ອນຊ ື່ໃນເສັົ້ນສະແດງຂອງຕໍາລາ F ອາດຈະຕ້ອງເພີື່ມຂ ົ້ນ ເພ ື່ອວ່າຈະໄດ້ສອດຄ້ອງກັບພຶດຕິ ກໍາຂອງ f
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 27 ໃນການພິສູດ, ພວກເຮົາເລ ອກເມັດ 0 1 , , , P P PN ເທິງເສັົ້ນສະແດງຂອງຕໍາລາ f ທີື່ກໍານົດມາໃຫ້; ຈາກນັົ້ນ, ສ້າງຕໍາລາ F ໂດຍຂີດເສັົ້ນເຊ ື່ອມເມັດເຫຼົົ່ານີົ້ ເຊິື່ງເປັນວິທີທີື່ໝັົ່ນໃຈວ່າ ເມັດທັງຫຼາຍ Pk ຢູ່ໃກ້ຊິດກັນຢ່າງພຽງພ . ພວກເຮົາຈະຕັດສິນໃຈຂະໜາດຂອງຈໍານວນ N ພາຍຫຼັງແບ່ງຫວ່າງ a b, ອອກເປັນຫວ່າງຍ່ອຍໆ N ຫວ່າງ ທີື່ເມັດ 0 1 2 N a x x x x b = = ໃຫ້ Pk ເປັນເມັດ ( x y k k , ) ເຊິື່ງ y f x k k = ( ) ກະລຸນາສັງເກດເຫັນວ່າ: Pk ຢູ່ເທິງເສັົ້ນສະແດງຂອງ f . ຕ ໍ່ໄປ ນິຍາມຕໍາລາ F ເທິງແຕ່ລະຫວ່າງຍ່ອຍ ໂດຍ ( ) ( 1 1 ) ( ) 1 k k k k k k x x y x x y F x x x + + + − + − = − ..... 1( ) ສໍາລັບຄ່າທັງໝົດ x ເຊິື່ງ k k 1 x x x + ຈະສັງເກດເຫັນວ່າ: F x( ) ຢູ່ໃນຮູບ A Bx + ເທິງຫວ່າງນີົ້. ດັົ່ງນັົ້ນ, ເສັົ້ນສະແດງຈະເປັນເສັົ້ນຊ ື່. ທໍານອງດຽວກັນ, ໃຫ້ k x x = ແທນລົງໃນ (1) ພວກເຮົາຈະໄດ້: F x y f x ( k k k ) = = ( ) ຂະນະທີື່ F x y f x ( k k k + + + 1 1 1 ) = = ( ) ດັົ່ງນັົ້ນ, ສ່ວນຂອງເສັົ້ນສະແດງຂອງ F ຈະເລີື່ມຈາກ Pk ໄປຫາ Pk +1 ຂະນະທີື່ພວກເຮົາພ້ອມທີື່ຈະເລ ອກຈໍານວນຖ້ວນ N ກໍານົດ ໃຫ້ໄວ້ກ່ອນ, ພວກເຮົາໃຊ້ຄວາມຕ ໍ່ເນ ື່ອງໂດຍສະໝໍໍ່າສະເໝີຂອງ f ເລ ອກ 0 ທີື່ມີຄຸນລັກສະນະ ວ່າ: f x f x ( ) − ( ) ເມ ື່ອ x ແລະ x ເປັນສອງເມັດທີື່ຕໍາແໜ່ງໃດໆ ເທິງຫວ່າງ a b, ເຊິື່ງ x x − ເລ ອກ N ໃຫ້ມີຂະໜາດໃຫຍ່ພ ທີື່ b a N − ມີຜົນໃຫ້ແຕ່ລະຫວ່າງຍ່ອຍສັົ້ນກວ່າ ເນ ື່ອງຈາກເມັດ x ແລະ x ຕ້ອງສອດຄ້ອງກັບ x x − ພວກເຮົາສະຫຼຼຸບວ່າ: F x f x ( ) − ( ) ເຊິື່ງ ເປັນຈໍານວນຈິງກັບທຸກໆ ຫວ່າງຍ່ອຍ x x k k , +1 ເຫັນຊັດເຈນວ່າ: ພວກເຮົາໄດ້ພິສູດຄວາມສະໝໍໍ່າສະເໝີນີົ້ເທິງຫວ່າງ ທັງໝົດ a b, ແລະ F f − 2.5 ຄຸນລັກສະນະຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ມີຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ທິດສະດີ 2.10 ໃຫ້ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມ D ແລະ ໃຫ້ 0 p D ເຊິື່ງ f p( 0 ) 0 ດັົ່ງນັົ້ນ, ມີກຸ່ມ U ເຊິື່ງເປັນ ເມັດໃກ້ 0 p ແລະ ຈໍານວນບວກຈໍານວນໜຶື່ງ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f p( ) ສໍາລັບເມັດທັງໝົດ p U D ເວົົ້າງ່າຍໆ ຄ ຖ້າ f ເປັນບວກຢ່າງດຽວທີື່ 0 p , f ຕ້ອງເປັນບວກໃກ້ໆ 0 p ດ້ວຍ. ພິສູດ ເລ ອກ ເປັນຈໍານວນບວກ ( 0 ) 1 2 = f p ໂດຍນິຍາມການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ, ພວກເຮົາສາມາດເລ ອກ ເມັດໃກ້ 0 p ເຊິື່ງ f p f p ( ) − ( 0 ) ເມ ື່ອ p U D ສໍາລັບເມັດ p ໃດໆ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: f p f p f p f p f p f p f p f p ( ) = − + − − − = − = ( ) ( 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ທິດສະດີ 2.11 ຖ້າ S ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕໍາລາຕ ໍ່ເນ ື່ອງໃດໆ ເທິງກຸ່ມ S ມີຂອບເຂດເທິງ S ພິສູດ ການພິສູດເຫັນໄດ້ຊັດ, ຖ້າເຮັດກັບຕໍາລາໜຶື່ງຕົວປ່ຽນ ໂດຍທິດສະດີ 2.9 ຈະມີຕໍາລາລີເນແອເປັນ ຫວ່າງໆ ເຊິື່ງເປັນການປະມານຄ່າຂອງ f ໂດຍສະໝໍໍ່າສະເໝີພາຍໃນຄ່າ 1 2 ນັົ້ນຄ ( ) ( ) 1 2 F x f x − ສໍາລັບຄ່າ ທັງໝົດ x S ແນ່ນອນວ່າ: F ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຂອບເຂດ, ເສັົ້ນສະແດງຂອງຕໍາລາຄ ເສັົ້ນສະແດງທີື່ມີຫຼາຍແຈ ທີື່ມີຈໍານວນແຈ ເປັນຈໍານວນຈໍາກັດ. ຖ້າ F x B ( ) ສໍາລັບຄ່າທັງໝົດ x S ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 f x f x F x F x B − + + x S ແລະ ເປັນຕໍາລາທີື່ມີຂອບເຂດເທິງ S ດ້ວຍ.
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 28 ຕໍາລາໃດໆ ທີື່ມີຂອບເຂດ ແລະ ການຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງກຸ່ມໆ ໜຶື່ງ ອາດຈະບ ໍ່ມີຄ່າສູງສຸດ ຫຼ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດເທິງກຸ່ມນັົ້ນກ ໍ່ໄດ້ ເຊັົ່ນ: ຕໍາລາ ( ) 2 f x x = ເທິງຫວ່າງເປີດ 0 1 x ແລະ ຕໍາລາ ( ) 1 x f x x = + ເທິງຫວ່າງ 0 x ແຕ່ຖ້າ ກຸ່ມນັົ້ນເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ສະຖານະການກ ໍ່ຈະປ່ຽນໄປ. ທິດສະດີ 2.12 ຖ້າ S ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ແລະ f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ດັົ່ງນັົ້ນ, f ມີຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕໍໍ່າສຸດທີື່ ບາງເມັດເທິງ S ພິສູດ ໂດຍທິດສະດີ2.11 ມີຂອບເຂດເທິງ S ສະນັົ້ນ, ຈະມີຈໍານວນ B ແລະ b ເຊິື່ງ b f p B ( ) ສໍາລັບເມັດທັງໝົດ p S ໃຫ້ M ເປັນຄ່າຂອບເຂດເທິງນ້ອຍສຸດຂອງຄ່າຂອງ f ເທິງ S ແລະ ໃຫ້ m ເປັນຄ່າຂອບເຂດລຸ່ມຫຼາຍສຸດ ຂອງຄ່າຂອງ f ເທິງ S ຈະໄດ້ວ່າ: m f p M ( ) ສໍາລັບເມັດທັງໝົດ p S ແຕ່ຂະນະນີົ້ M ບ ໍ່ອາດຈະມີຄ່າ ເພີື່ມຂ ົ້ນ ແລະ m ບ ໍ່ອາດຈະມີຄ່າຫຼຼຸດລົງ. ກ ລະນີ 1 ຖ້າມີເມັດ 0 p ໃນ S ເຊິື່ງ f p M ( 0 ) = ດັົ່ງນັົ້ນ, M ເປັນຄ່າສູງສຸດຂອງ f ເທິງ S ກ ລະນີ 2 ຖ້າບ ໍ່ມີເມັດ 0 p ເຊິື່ງ f p M ( 0 ) = ດັົ່ງນັົ້ນ, f p M ( ) ສໍາລັບເມັດ p ທັງໝົດໃນ S ກ ລະນີນີົ້ສ້າງຕໍາລາ ( ) ( ) 1 g p M f p = − ເນ ື່ອງຈາກຕົວຫານບ ໍ່ມີໂອກາດເປັນສູນໄດ້, g ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ S ແລະ ແນ່ນອນວ່າ g ຕ້ອງມີຂອບເຂດເທິງ S ຖ້າພວກເຮົາສົມມຸດໃຫ້ g p A ( ) ສໍາລັບເມັດທັງໝົດ p S ດັົ່ງນັົ້ນ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 1 A M f p − ທັງໝົດທີື່ຢູ່ໃນ p S ນັົ້ນຄ ( ) 1 f p M A − ເຊິື່ງຂັດແຍ້ງກັບທີື່ກໍານົດໃຫ້ M ເປັນຂອບ ເຂດເທິງຄ່ານ້ອຍສຸດຂອງຕໍາລາ f ເທິງ S ພວກເຮົາຈຶື່ງສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: ກ ລະນີ 2 ນີົ້ເກີດຂ ົ້ນບ ໍ່ໄດ້; ສະນັົ້ນ, ຈະຕ້ອງມີ ເມັດ 0 p ໜຶື່ງເມັດໃນ S ເຊິື່ງ f p M ( 0 ) = ໃນທາງຄ້າຍໆ ກັນ, ພວກເຮົາພິສູດໄດ້ວ່າ: ຕ້ອງມີເມັດໆ ໜຶື່ງໃນ S ເຊິື່ງ f ມີຄ່າເທົົ່າກັບ m ເຊິື່ງເປັນຂອບ ເຂດລຸ່ມຄ່າຫຼາຍສຸດຂອງຄ່າຂອງຕໍາລາ f ເທິງ S ທິດສະດີ 2.13 Intermediate Value Theorem ໃຫ້ f ກໍານົດໃຫ້ມີຄ່າເທິງກຸ່ມ E ເມ ື່ອ E ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ. ດັົ່ງນັົ້ນ, f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ E ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ ເສັົ້ນ ສະແດງຂອງ f ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ. ພິສູດ ພວກເຮົາຈະພິສູດຕອນດຽວ, ສ່ວນທີື່ເຫຼ ອໃຫ້ເປັນແບບເຝິກຫັດໃຫ້ນັກສຶກສາຄົົ້ນຄວ້າ. ສົມມຸດໃຫ້ເສັົ້ນສະແດງຂອງ f ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ເອີົ້ນວ່າ: ກຸ່ມ C C = ເມັດທັງໝົດ (a b, ) ເຊິື່ງ x E ແລະ y f x = ( ) ພວກເຮົາຈະພິສູດວ່າ: f ຕ້ອງຕ ໍ່ເນ ື່ອງເທິງ E ຖ້າຂ ໍ້ຄວາມນີົ້ເປັນຜິດ. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຈະມີເມັດໆ ໜຶື່ງ 0 x E ແລະ ຈໍານວນໜຶື່ງ 0 ແລະ ອັນດັບ xn ໃນ E ເຊິື່ງຈ້ອມຫາ 0 x ແຕ່ວ່າ f x f x ( n ) − ( 0 ) ສໍາລັບທຸກໆ n ໃຫ້ y f x 0 0 = ( ) , y f x n n = ( ), p x y n n n = ( , ) ດັົ່ງນັົ້ນ, ເມັດ n p ທັງຫຼາຍໃນກຸ່ມ C ; ໂດຍສົມມຸດຖານ C ເປັນກຸ່ມເຕີມເຕັມ ອັນດັບ pn ຕ້ອງມີອັນດັບຍ່ອຍ pnk ໜຶື່ງອັນດັບ ເຊິື່ງຈ້ອມຫາເມັດ p a b = ( , ) ໃນກຸ່ມ C ເນ ື່ອງຈາກ ( , ) n n n k k k p x y = ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: lim nk k x a → = ແລະ lim nk k y b → =
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 29 ເນ ື່ອງຈາກ (a b C , ) ແລະ C ເປັນເສັົ້ນສະແດງຂອງ f ພວກເຮົາຮູ້ອີກວ່າ: b f a = ( ) ໃນຂະນະນີົ້, ພວກເຮົາເລ ອກ xn ໃຫ້ຈ້ອມຫາ 0 x ສະນັົ້ນ, ອັນດັບຍ່ອຍຂອງ xn ກ ໍ່ຕ້ອງຈ້ອມຫາ 0 x ດ້ວຍ ແລະ ພວກເຮົາ ສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: 0 a x = ນັົ້ນຄ b f x = ( 0 ) ແນວໃດກ ໍ່ຕາມ, ພວກເຮົາຂຽນໄວ້ແລ້ວວ່າ: y f x 0 0 = ( ) ແລະ ພວກເຮົາຈຶື່ງຮູ້ວ່າ: 0 b y = ອັນເປັນ ການສະແດງວ່າ: 0 lim k n k y y → = ເຊິື່ງຂັດແຍ້ງກັບທີື່ມີຢູ່ວ່າ: y y f x f x n n − = − 0 0 ( ) ( ) ຕໍາລາ f ຕ້ອງຕ ໍ່ ເນ ື່ອງເທິງ E 2.6 ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ໃນຫົວຂ ໍ້ນີົ້, ພວກເຮົາຈະສຶກສາເຖິງການຫາຄ່າຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ, ເພ ື່ອສຶກສາເຖິງການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ຂອງຕໍາລາ ຈະເຫັນວ່າ: ຈາກນິຍາມການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາ, ຖ້າ f ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ x a = ແລ້ວຈະໄດ້ວ່າ: lim ( ) ( ) x a f x f a → = ໃນການພິຈາລະນາຂອບເຂດຂອງຕໍາລາໜຶື່ງຕົວປ່ຽນ ຈະໃຊ້ການພິຈາລະນາຄ່າຂອບເຂດທາງ ເບ ົ້ອງຂວາມ ແລະ ຂອບເຂດທາງເບ ົ້ອງຊ້າຍມ ເຊິື່ງມີພຽງສອງທາງເທົົ່ານັົ້ນທີື່ x ຈະເຂົົ້າໃກ້ a ແຕ່ສໍາລັບຕໍາລາຂອງ ຫຼາຍຕົວປ່ຽນມີທາງເປັນໄປໄດ້ຈໍານວນທໍາມະຊາດບ ໍ່ຖ້ວນທີື່ x ຈະເຂົົ້າໃກ້ a ດັົ່ງນັນ, ຈະພິຈາລະນາ ໂດຍເບິື່ງ ຈາກນິຍາມ ແລະ ທິດສະດີຕ ໍ່ໄປນີົ້: ນິຍາມ 2.8 ຖ້າ : n m f → ແລະ S ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງເຂດກໍານົດຂອງ f ຖ້າ a ເປັນເມັດຂອບເຂດ ຂອງ a ແລະ m L ຈະເວົົ້າວ່າ: lim ( ) x a f x → ຫາຄ່າໄດ້ເທິງ S ແລະ ມີຄ່າເທົົ່າກັບ L ເຊິື່ງຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາ ລັກ lim ( ) x a f x L → = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ື່ອ ສໍາລັບແຕ່ລະຄ່າ 0 ທີື່ກໍານົດໃຫ້ 0 ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ f x L ( ) − ຖ້າ x S ແລະ 0 − x a ຖ້າ S ເປັນສ່ວນໜຶື່ງຂອງເສັົ້ນຊ ື່ ຫຼ ເສັົ້ນໂຄ້ງ ເຊິື່ງມີ a ເປັນເມັດປາຍ ຈະເກີດກ ລະນີພິເສດທີື່ສໍາຄັນ ຄ : ການຫາ ຂອບເຂດຂອງ f x( ) ເມ ື່ອ x ເຂົົ້າໃກ້ a ເທິງ S ຈະເປັນການຄໍານວນຫາຄ່າຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຕົວປ່ຽນດຽວ ເຊັົ່ນ: ໃຫ້ເສັົ້ນໂຄ້ງມີສົມຜົນສໍາຮອງ ຄ : x t = ( ), y t = ( ), 0 1 t ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) 0 0 lim t t x → + = ແລະ ( ) 0 0 lim t t y → + = ເມ ື່ອ ( x y 0 0 , ) ເປັນເມັດຂອງ a ໃຫ້ g t f t t ( ) = ( ( ), ( )) ຈະເຫັນວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , 0 , lim , lim x y x y t x y S f p q g t → → = ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ: ຂອບເຂດຂອງ f x y ( , ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ເຂົົ້າໃກ້ (0,0) ຕາມລວງນອນຈາກທາງຂວາຄ ( ) 0 lim ,0 x f x → + ແລະ ຂອບເຂດຕາມລວງຕັົ້ງຈາກທາງຕໍໍ່າກວ່າຄ ( ) ( ) 0 0 lim 0, lim 0, y t f y f t → → − − = − ຖ້າ ( x y, ) ເຂົົ້າໃກ້ (0,0) ຕາມລວງ ເຊິື່ງມີຄວາມຊັນເທົົ່າກັບ 1 ຈະໄດ້ຄ່າເທົົ່າກັບ ( ) 0 lim , t f t t → + ທິດສະດີຕ ໍ່ໄປນີົ້, ໃຊ້ກວດສອບການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາໄດ້ ຈາກນິຍາມຈະໄດ້ການພົວພັນຂອງ lim ( ) x a f x → ແລະ lim ( ) x a x S f x → ດັົ່ງນີົ້: ທິດສະດີ 2.14 ກໍານົດໃຫ້ : n m f → , S ເປັນອະນຸກຸ່ມຂອງເຂດກໍານົດຂອງ f , a ເປັນເມັດຂອບເຂດ ຂອງ S ແລະ m L ຖ້າ lim ( ) x a f x L → = ພວກເຮົາຈະໄດ້: lim ( ) x a x S f x L → = ດັົ່ງນັົ້ນ, ສໍາລັບທຸກໆ ເສັົ້ນໂຄ້ງ S ທີື່ຜ່ານເມັດ a ຖ້າ ສາມາດຫາເສັົ້ນໂຄ້ງ 1 S ແລະ 2 S ເຊິື່ງເຮັດໃຫ້ ( ) ( ) 1 2 lim lim x a x a x S x S f x f x → → ນັົ້ນສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: lim ( ) x a f x → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້.
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 30 ຕົວຢ່າງ 2.10 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y x y f x y x y x y = + = ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ແກ້ ໃນທີື່ນີົ້ເຂດກໍານົດຂອງ f ຄ ( ) 2 − 0,0 ແລະ (0,0) ເປັນເມັດຂອບເຂດຂອງເຂດກໍານົດ ຂອງ f ກໍານົດໃຫ້ 0 , ເລ ອກ = ໃຫ້ ( , ) f x y D ເຊິື່ງ 0 , 0,0 − ( x y) ( ) ( ) 2 2 x y, 2 2 2 x y + ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + − = = = + = + + + + ຕົວຢ່າງ 2.11 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 xy x y f x y x y x y = + = ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ແກ້ ພິຈາລະນາເທິງເສັົ້ນຊ ື່ x = 0 (ແກນ y ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ຢູ່ເທິງເສັົ້ນຊ ື່ x = 0 ແລະ ( x y, 0,0 ) ( ) ພວກເຮົາຈະໄດ້: x = 0 , y 0 ດັົ່ງນັົ້ນ, f x y ( , 0 ) = ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ເທິງເສັົ້ນຊ ື່ x = 0 ພິຈາລະນາເທິງເສັົ້ນຊ ື່ y x = ( ) 2 2 , 2 2 x x f x y x = = ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ເທິງເສັົ້ນຊ ື່ y x = ຈະເຫັນວ່າການໄດ້ຜົນເຊັົ່ນນີົ້ບ ໍ່ຊ່ວຍໃຫ້ຂ ໍ້ສະຫຼຼູບໃດໆ ກ່ຽວກັບ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ແຕ່ຖ້າພິຈາລະນາ 2 2 x x y + ແລະ 2 2 y x y + ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , xy x y f x y x y x y x y − + = = + + + ດັົ່ງນັົ້ນ, ຖ້າກໍານົດໃຫ້ 0 ເລ ອກ = ສໍາລັບ ( , ) f x y D ເຊິື່ງ 0 , 0,0 − ( x y) ( ) 2 2 x y + ຈະໄດ້ ( ) ( ) 2 2 x y x y , 0,0 − + = ດັົ່ງນັົ້ນ, ຈາກນິຍາມສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຕົວຢ່າງ 2.12 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 2 , xy f x y x y = + , ( x y, 0,0 ) ( ) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → (ຖ້າຫາໄດ້) ແກ້ ໃຫ້ 1 S ຄ ເສັົ້ນຊ ື່ ເຊິື່ງມີສົມຜົນ y x = ສະນັົ້ນ, S x y y x 1 = = ( , | ) ໃຫ້ 2 S ຄ ເສັົ້ນຊ ື່ ເຊິື່ງມີສົມຜົນ y x = − ສະນັົ້ນ, S x y y x 2 = = − ( , | )
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 31 ດັົ່ງນັົ້ນ, (0,0) ຢູ່ໃນ 1 S ແລະ 2 S ເມ ື່ອ ( ) 1 x y S , ຈະໄດ້: ( ) 2 2 2 1 , 2 x f x y x x = = + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0,0 , 1 lim , x y 2 x y S f x y → = ເມ ື່ອ ( ) 2 x y S , ຈະໄດ້: ( ) 2 2 2 1 , 2 x f x y x x − = = − + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0,0 , 1 lim , x y 2 x y S f x y → = − ຈະເຫັນວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , 0,0 , 0,0 , , lim , lim , x y x y x y S x y S f x y f x y → → ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ຕົວຢ່າງ 2.13 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y x y f x y x y x y = + = ຈົົ່ງຊອກຫາ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ແກ້ ໃຫ້ S x y y mx 1 = = ( , | ) ແລະ ( ) 2 2 S x y y x = = , | ເມ ື່ອ ( ) 1 x y S , ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 3 4 2 2 2 2 , mx mx f x y x m x x m = = + + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0,0 , lim , 0 x y x y S f x y → = ເມ ື່ອ ( ) 2 x y S , ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 4 4 4 1 , 2 x f x y x x = = + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0,0 , 1 lim , x y 2 x y S f x y → = ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ຖ້າພິຈາລະນາຂອບເຂດຊ້ອນ (Iterated Limit) ເຊິື່ງກ່ຽວຂ້ອງກັບຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ f x y ( , ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ເຂົົ້າໃກ້ (a b, ) ໂດຍການຫາຄ່າຂອບເຂດຂອງຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະເທ ື່ອລະຕົວ ເມ ື່ອ x ເຂົົ້າໃກ້ a ຫຼ ເມ ື່ອ y ເຂົົ້າໃກ້ b ດັົ່ງນັົ້ນ, ສໍາລັບຕໍາລາສອງຕົວປ່ຽນ f x y ( , ) ຈະມີຂອບເຂດຊ້ອນ 2 ຮູບແບບຄ : limlim , ( ) x a y b f x y → → ແລະ limlim , ( ) y b x a f x y → → ; ແລະ ຖ້າຕໍາລາຂອງສາມຕົວປ່ຽນ f x y z ( , , ) ຈະມີຂອບເຂດຊ້ອນຢູ່ 6 ຮູບແບບ ໂດຍທົົ່ວໄປສໍາ ລັບຕໍາລາ ເຊິື່ງມີ n ຕົວປ່ຽນອິດສະຫຼະ ຈະມີຂອບເຂດຊ້ອນ n! ຮູບແບບ. ຕົວຢ່າງ 2.14 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y x y f x y x y x y = + = ແກ້ ຈາກຕົວຢ່າງ 2.13 ໄດ້ສະແດງແລ້ວວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ແຕ່ຖ້າພິຈາລະນາຂອບເຂດຊ້ອນ ພວກເຮົາຈະໄດ້: ( ) 0 0 0 limlim , lim0 0 x y x f x y → → → = = ແລະ ( ) 0 0 0 limlim , lim0 0 y x y f x y → → → = = ຂ ໍ້ສັງເກດ ຈະເຫັນວ່າ: ເຖິງແມ່ນ ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , limlim , x y y x f x y f x y → → → → = ແຕ່ບ ໍ່ໄດ້ຂ ໍ້ສະຫຼຼຸບວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , 0 x y f x y → = ຕົວຢ່າງ 2.15 ກໍານົດໃຫ້ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y x y f x y x y x y − = + = ຈົົ່ງພິຈາລະນາຂອບເຂດຊ້ອນ. ແກ້ ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 limlim , limlim lim 1 x y x y x x y x f x y → → → → → x y x − = = = +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 32 ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 limlim , limlim lim 1 y x y x x x y y f x y → → → → → x y y − − = = = − + ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , limlim , x y y x f x y f x y → → → → ແລະ ຈະເຫັນວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ຕົວຢ່າງ 2.16 ກໍານົດໃຫ້ ( ) 1 sin , 0 , 0 , 0 x y x f x y x x + = = ຈົົ່ງພິຈາລະນາຂອບເຂດຊ້ອນຂອງຕໍາລາ. ແກ້ ກໍານົດ 0 , ໃຫ້ 2 = ສໍາລັບ ( x y, ) ເຊິື່ງ x , y ພິຈາລະນາ ( ) ( ) 1 f x y x y x y , 0,0 sin 6 2 x − = + = + = ດັົ່ງນັົ້ນ, ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ພິຈາລະນາ ( ) 0 0 0 0 0 1 limlim , limlim sin lim 0 x y x y x f x y x y x → → → → → x = + = = ແຕ່ ( ) 0 0 limlim , y x f x y → → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້, ເນ ື່ອງຈາກ 0 1 lim sin x x y → x + ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້ເມ ື່ອ y 0 ຂ ໍ້ສັງເກດ ຈາກຕົວຢ່າງ 2.16 ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ: ເຖິງແມ່ນວ່າ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ແລະ ( ) 0 0 limlim , x y f x y → → ຈະຫາຄ່າໄດ້ ແລະ ມີຄ່າເທົົ່າກັນ, ແຕ່ບ ໍ່ຈໍາເປັນຕ້ອງສະຫຼຼຸບວ່າຂອບເຂດຊ້ອນທີື່ເຫຼ ອຢູ່ຄ : ( ) 0 0 limlim , y x f x y → → ຈະຫາຄ່າ ໄດ້ດ້ວຍ. ຕົວຢ່າງ 2.17 ພິຈາລະນາຂອບເຂດຊ້ອນຂອງ ( , ) m n f m n m n − = + ເມ ື່ອ m ແລະ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນບວກ ເມ ື່ອ m n, → + ແກ້ lim lim lim 1 1 ( ) m n m m n →+ →+ →+ m n − = − = − + lim lim lim 1 1 ( ) n m n m n →+ →+ →+ m n − = = + ດັົ່ງນັົ້ນ, lim lim lim lim m n n m m n m n →+ →+ →+ →+ m n m n − − + + ຂ ໍ້ສັງເກດ ຈາກຕົວຢ່າງ 2.17 ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າ: ຂອບເຂດຊ້ອນອາດຈະຫາຄ່າໄດ້, ແຕ່ມີຄ່າບ ໍ່ເທົົ່າກັນຄ ກັບ ຕົວຢ່າງ 2.15 ເຊິື່ງສາມາດສະຫຼຼຸບໄດ້ໂດຍທິດສະດີຕ ໍ່ໄປນີົ້ວ່າ: ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາຈະຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ທິດສະດີ 2.15 ພິຈາລະນາຂອບເຂດ 1) ( ) ( ) ( ) , , lim , x y a b f x y → 2) limlim , ( ) x a y b f x y → → 3) limlim , ( ) y b x a f x y → → ຖ້າຂ ໍ້1) ຫາຄ່າໄດ້ (ຄ່ານັບໄດ້ ຫຼ ຄ່າອະສົງໄຂ) ແລະ ຂ ໍ້2) ຫຼ ຂ ໍ້3) ຫາຄ່າໄດ້ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ຂ ໍ້2) ຫຼ ຂ ໍ້ 3) ຈະຕ້ອງເທົົ່າກັບ ຂ ໍ້1) ແລະ ຖ້າຂອບເຂດ ຂ ໍ້1), 2), 3) ຫາຄ່າໄດ້ ພວກເຮົາຈະໄດ້ວ່າ: ຂ ໍ້1), 2), 3) ຈະຕ້ອງເທົົ່າ ກັນ ພິສູດ (ແບບເຝີກຫັດ) ຕໍາລາທີື່ມີການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ a ຈະເວົົ້າວ່າ: ເປັນຕໍາລາບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ ເຊິື່ງການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງນີົ້ຈະໃຊ້ໄດ້ໃນ 2 ທາງຄ :
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 33 ທໍາອິດຄ : ຕໍາລານິຍາມທີື່ເມັດ a ໄດ້, ແຕ່ບ ໍ່ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດນັົ້ນ ເຊັົ່ນ: ກໍານົດ f x y ( , ) ດັົ່ງນີົ້: ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 1 , 0 , , 1 x y x y f x y x y + = ຈະເຫັນວ່າ: ຕໍາລານີົ້ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດ ຍົກເວັົ້ນທີື່ ( x y, ) ເຊິື່ງ ( x y, 1 ) = ນັົ້ນຄ : ຕໍາລາ f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ ທຸກເມັດໃນວົງມົນ ເມັດໃຈກາງ (0,0) , ລັດສະໝີ 1 ແຕ່ຖ້າພິຈາລະນາ f ເທິງກຸ່ມ D ເຊິື່ງ: D x y x y = ( , | , 1 ) ( ) ຈະໄດ້ວ່າ: ມີການຕ ໍ່ເນ ື່ອງທຸກເມັດໃນ D ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ໃຊ້ໃນອີກທາງໜຶື່ງຄ : ຈະໃຊ້ໃນກ ລະນີທີື່ຕໍາລານິຍາມທີື່ເມັດນັົ້ນບ ໍ່ໄດ້ ເຊັົ່ນ: ຖ້າເປັນຕໍາລາໜຶື່ງຕົວ ປ່ຽນ, ໃຫ້ ( ) 1 f x x = ຈະເຫັນວ່າ: ຕໍາລານີົ້ນິຍາມທີື່ x = 0 ບ ໍ່ໄດ້. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຈະໄດ້ວ່າ: f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ x = 0 ນອກຈາກນັົ້ນ, ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງອາດຈະຈໍາແນກລັກສະນະຂອງການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງໄດ້ 2 ຊະນິດຄ : ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ໂອນ ອອກໄດ້(Removable Discontinuity) ເຊິື່ງໝາຍເຖິງ ຖ້າ ( ) 0 lim x f x → ຫາຄ່າໄດ້, ແຕ່ຄ່າຕໍາລາທີື່ a ຫາບ ໍ່ໄດ້ ຫຼ ຫາໄດ້ແຕ່ບ ໍ່ເທົົ່າກັບຄ່າຂອບເຂດ; ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງອີກຊະນິດໜຶື່ງເອີົ້ນວ່າ: ການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງແບບເອສເຊນທຽລ (Essential Discontinuity) ຖ້າ ( ) 0 lim x f x → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ຕົວຢ່າງ 2.18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 0,0 , 0 , , 0,0 xy x y f x y x y x y = + = ດັົ່ງໄດ້ສະແດງໃນຕົວຢ່າງແລ້ວວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim x y f x → ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້. ດັົ່ງນັົ້ນ, ຕໍາລານີົ້ມີການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງແບບເອສ ເຊນທຽລ. ຕົວຢ່າງ 2.19 ( ) 2 2 2 2 , x y f x y x y = + ຈະເຫັນວ່າ: f (0,0) ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້, ແຕ່ ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim x y f x → ຫາຄ່າໄດ້ໄດ້ເທົົ່າກັບ 0 ເພາະວ່າ: ຖ້າໃຫ້ 0 ເລ ອກ = ໃຫ້ ( x y, ) ຢູ່ໃນເຂດກໍານົດຂອງ f ເຊິື່ງ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 , 0,0 − = + + x y x y x y ພິຈາລະນາ ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y x y x y + + − = = + = + + + ດັົ່ງນັົ້ນ, f x y ( , ) ມີການບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ຖອນອອກໄດ້. ບົດເຝີກຫັດ 1. ຈົົ່ງຊອກຫາຂອບເຂດຂອງຕໍາລາ ( ) ( ) 2 2 2 sin 1 , 1 , 2 x x y f x y y x xy + + = + + ທີື່ເມັດ (0,0) (ຖ້າມີ) 2. ຄວນຈະໃຫ້ເມັດ ( x y, ) ຢູ່ໃກ້ກັບເມັດ (0,0) ຫຼາຍພຽງໃດເພ ື່ອທີື່ຈະໃຫ້ f x y f ( , 0,0 ) − ( ) ຖ້າ 1) ( ) 2 2 f x y x y , = + ແລະ = 0.01 2) ( ) 2 , 1 y f x y x = + ແລະ = 0.001 3. ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີົ້ບ ໍ່ມີຂອບເຂດທີື່ເມັດ (0,0) 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , 0,0 xy f x y x y x y = + 2) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 , , , 0,0 xy f x y x y x y = + 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , , 0,0 xy f x y x y x y x y = + −
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 34 4. ຈົົ່ງໃຊ້ນິຍາມອະທິບາຍການມີຢູ່ຂອງຂອບເຂດຕ ໍ່ໄປນີົ້: 1) ( ) 2 2 lim , , p x y p x y → x y + = + 2) 2 2 2 2 lim p xy z → x y z − + + 5. ຈົົ່ງຊອກຫາຂອງຂອບເຂດ 1) ( ) ( ) ( ) , 3,2 lim 3 4 x y x y → − 2) ( ) ( ) ( ) , 1,4 lim 5 3 x y x y → − 3) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 1,1 lim x y x y → + 4) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 5,3 lim 2 x y x y → − 5) ( ) ( ) ( ) 2 , 2, 4 lim 2 x y x x y → − − + + 6) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 3, 1 lim 4 2 x y x y x y → − + − + 7) ( ) ( ) ( ) 3 3 , 2,2 lim 4 x y y x y → − + 8) ( ) ( ) 2 2 , 5,2 12 lim x y x y → x y + − 9) ( ) ( ) 2 2 , 1,1 lim x y x y → x y − − 10) ( ) ( ) 3 3 , 2, 1 8 lim x y 2 x y → − x y + + 11) ( , 1,1 ) ( ) lim x y x y x y e e e e → − − − + 12) ( ) ( ) 2 2 , 3,1 3 lim x y 9 x y → y x − − 13) ( ) ( ) 3 3 , 1,3 3 lim x y 27 x y → x y − − 14) ( ) ( ) 2 , 0,0 4 lim x y 2 3 y y → xy y + − 15) ( ) ( ) 2 2 2 2 , 3,2 2 6 lim x y 4 8 3 x xy y → x xy y + − − + 16) ( ) ( ) 3 3 , 1,1 lim x y x y → x y − − 17) ( , 0,1 ) ( ) lim x y x y y → x + − 18) ( ) ( ) 2 2 , 1,2 2 lim x y 4 y x → x y − − 6. ຈົົ່ງອະທິບາຍການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາ ເມ ື່ອ: 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 1 , 0, , 1 x y x y f x y x y + = 2) ( ) 2 2 , , , x y x y f x y x y x y x y − = − − = 7. ກໍານົດ ( ) 2 2 2 2 , x y f x y x y = + ກັບ f (0,0 0 ) = ຈົົ່ງພິຈາລະນາວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ (0,0) ຫຼ ບ ໍ່ ໂດຍຄຸນ ລັກສະນະຂອງການຈ້ອມ. 8. ກໍານົດ ( ) 2 2 , xy f x y x y = + ເມ ື່ອ 2 2 x y + 0 ແລະ f (0,0 0 ) = ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: f ບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ (0,0) 9. ກໍານົດ ( ) 5 , x y f x y x y + = − ຈົົ່ງໃຊ້ນິຍາມໂດຍກົງຂອງການຕ ໍ່ເນ ື່ອງ. ພິສູດວ່າ: f ຕ ໍ່ເນ ື່ອງທີື່ເມັດ (4,1) ໂດຍ ການພິສູດວ່າ: ຖ້າ 0 , f x y f ( , 4,1 ) − ( ) ເມ ື່ອ ( x y, ) ຢູ່ໃນເມັດໃກ້ (4,1) ໃຫ້ເລີື່ມຕົົ້ນການ ພິສູດດ້ວຍ f x y f x y ( , 4,1 2 4 8 1 ) − − + − ( ) ທີື່ເມັດທັງຫຼາຍຂອງຈະຕຸລັດ 3 5 x , 0 2 y 10. ຈົົ່ງພິຈາລະນາວ່າ: ຂອບເຂດຕ ໍ່ໄປນີົ້ຫາຄ່າໄດ້ ຫຼ ບ ໍ່, ຖ້າຫາຄ່າໄດ້ໃຫ້ພິສູດ 1) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 lim x y x y → x y + + 2) ( , 0,0 ) ( ) lim x y xy → 3) ( ) ( ) 3 2 6 4 , 0,0 lim x y x y → x y + 4) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 lim x y x y → x y − +
ແຄລຄູລັສ 3 Calculas 3 35 5) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 lim x y xy → x y − 6) ( ) ( ) 4 4 2 2 , 0,0 lim x y x y → x y − + 11. ຖ້າ f x y x y ( , 3 2 ) = − ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 4, 1 lim , 14 x y f x y → − = 12. ຖ້າ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 1,2 , 0 , , 1,2 x y x y f x y x y + = = ຈົົ່ງພິຈາລະນາການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງ f 13. ກໍານົດໃຫ້ ( , ) x y f x y x y + = − ຖ້າ x y + 0 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ ( ) 0 0 limlim , 1 x y f x y → → = ແລະ ( ) 0 0 limlim , 1 y x f x y → → = − ; ແລະ ພິຈາລະນາວ່າ: ( ) ( ) ( ) , 0,0 lim , x y f x y → ຫາຄ່າໄດ້ ຫຼ ບ ໍ່ 14. ກໍານົດໃຫ້ ( ) 1 , sin 2 f x y x y = + ຖ້າ x 0 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , limlim , x y y x f x y f x y → → → → 15. ຈົົ່ງພິຈາລະນາການຕ ໍ່ເນ ື່ອງຂອງຕໍາລາຕ ໍ່ໄປນີົ້: 1) ( ) 2 sin x y 2) x y e x y + + 3) ln( x y − ) 4) f x y x y ( , ln 1 ) = + − ( ) 5) ( ) 2 2 , , , x y x y f x y x y x y x y − = − − = 6) ( , , , 0,0 ) ( ) ( ) xy f x y x y x y = + 7) f x y z x ye ( , , 2 ) = + 16. 1) ຖ້າ ( ) ( ) ( ) , , lim , x y a b f x y → ຫາຄ່າໄດ້ ແລະ limlim , ( ) x a y b f x y → → ຫາຄ່າໄດ້ ຫຼ limlim , ( ) y b x a f x y → → ຫາຄ່າໄດ້) ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) ( ) ( ) ( ) , , lim , limlim , x y a b x a y b f x y f x y → → → = ຫຼ ( ) ( ) ( ) ( ) , , lim , limlim , x y a b y b x a f x y f x y → → → = 2) ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຖ້າ ( ) ( ) ( ) , , lim , x y a b f x y → , limlim , ( ) x a y b f x y → → , limlim , ( ) y b x a f x y → → ຫາຄ່າໄດ້ແລ້ວ, ຂອບ ເຂດທັງສາມນີົ້ຈະເທົົ່າກັນ. 3) ຈົົ່ງໃຊ້ຂ ໍ້ 2) ສະແດງ ( ) ( ) 2 2 2 , 0,0 lim x y x → x y + ຫາຄ່າບ ໍ່ໄດ້.