T spe Chapitre 10

Chapitre 10 MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE GRAVITATION FEUILLE DE

Chap. 13 du livre ROUTE

T spe PC

Sommaire Ressources ❏ animation
❏ vidéo du cours :
❏ Feuille de route
❏ Synthèse du cours
❏ Activité 1 : mouvement des satellites et planètes
❏ Activité 2 : Le cercle des planètes disparues

S’entraîner – p267 à 276 J’ai du mal ? ❏ Ex. 4*
❏ Ex. 8*
❏ qcm p267 ❏ Ex. 10*
❏ Ex. 1 p268

Les numéros d’exercices sur fond blanc sont corrigés à la fin du livre Je réussi ?
(p462 et plus).
❏ Ex. 15
❏ Ex. 13 ❏ Ex. 18
❏ Ex. 14*

Comprendre et mémoriser Se tester avant le DS

❏ Ranger tous les documents du chapitre en suivant l’ordre du ❏ Ex. 20*
sommaire ❏ Ex. ECE*

❏ Lire le cours dans le livre p 264-266
❏ Si besoin, regarder activement une vidéo de cours
❏ Réaliser une fiche résumé du cours ou une carte mentale
❏ Faire un maximum d’exercices
❏ S’entraîner sur des annales du bac sur Labolycee.org

Chapitre 10 MECANIQUE CELESTE ET SATELLITES COURS

Chap. 13 du livre

T Spé PC

Problématiques :
En quoi les lois de Kepler permettent-elles de caractériser le mouvement d’une planète ou d’un satellite ? Quelles sont les
caractéristiques particulières d’un satellite géostationnaire ?

Histoire : Copernic Nicolas, montre que la Terre et les autres planètes du système solaire, tournent autour du Soleil (1543).
Kepler formule trois lois sur le mouvement des planètes autour du Soleil (1609).

I. Préambule
I.1. Référentiels d’étude

Le référentiel héliocentrique est le plus adapté pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.
Dans le cas des satellites terrestres, on choisira le référentiel géocentrique. Ces référentiels sont considérés comme
galiléens.

I.2. Période de révolution

Période de révolution T : temps mis par un satellite/astre pour effectuer un tour complet autour de l’astre attracteur.

II. Lois de Kepler (1609)
Les trois lois de Kepler sont valables pour les planètes du système solaire, mais aussi pour les satellites de la Terre.

II.1. Première loi de Kepler : loi des orbites

1ère loi de Kepler : dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe un de ses
foyers. Cette loi s’applique plus généralement à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Point Mathématique à propos des ellipses :
Une ellipse est une courbe caractérisée par :

• son centre O
• ses foyers fixes F et F'
• son grand axe : AA'= 2a
• son demi-grand axe : OA = OA’= a
• son excentricité e = FF’ / AA’.

Si e = 0, alors l’ellipse est un cercle ( FF’ = 0, a = rayon du cercle = r )

Exemples :

Hormis pour Pluton et Mercure, on peut
raisonnablement faire l’approximation que les
trajectoires des autres planètes du système
solaire sont circulaires.

T spe – PC – Chapitre 10 – cours Page 1

II.2. 2e loi de Kepler : loi des aires
2e loi de Kepler : le segment Soleil-Planète (SP) balaie des aires égales pendant des durées égales. Cette loi s’applique plus
généralement à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Pour une même durée t, on a :aire
A1 = aire A2 = aire A3

Conséquences de la 2e loi de Kepler :
Les 3 durées considérées étant identiques, on a donc : Longueur de l’arc P3P4 > Longueur de l’arc P5P6 > Longueur de l’arc P1P2

Plus la planète (ou le satellite) est proche du soleil (de l’astre attracteur), plus sa vitesse est élevée.

Application : montrer que dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’une planète est uniforme

D’après la 2e loi de Kepler, le segment Soleil-Planète (SP) balaie des aires égales
pendant des durées égales.
Si la trajectoire est circulaire, alors les longueurs des arcs de cercle parcourus
par la planète sont identiques sur des intervalles de temps identiques.
Longueur de l’arc P3P4 = Longueur de l’arc P5P6 = Longueur de l’arc P1P2

Même distance parcourue, même durée, donc même vitesse.

Dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’une
planète (ou d’un satellite) est uniforme.

II.3. 3e loi de Kepler : loi des périodes

3e loi de Kepler : le rapport entre le carré de la période de révolution T d’une planète autour du soleil et le cube du demi-grand
axe a de la trajectoire est constant. Cette loi s’applique plus généralement à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

2
3 =

Remarque

La constante ne dépend alors que de la masse de l’astre attracteur.

Dans l’approximation des trajectoires circulaires, l’expression de cette loi devient 2 = avec r, rayon de la trajectoire.
3

T spe – PC – Chapitre 10 – cours Page 2

III. Détermination des caractéristiques d’un mouvement orbital

Contexte : on cherche à déterminer toutes les caractéristiques du mouvement d’une
planète P de masse m en orbite autour du soleil S de masse M. La démarche proposée
s’applique plus généralement à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Hypothèse : on se place dans l’approximation des trajectoires circulaires mouvement
circulaire uniforme (rayon R, vitesse v)

Référentiel : héliocentrique considéré galiléen avec repère de Frenet (P, ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ )

Bilan des forces extérieures et schéma

Seule la force d’attraction gravitationnelle exercée par le soleil agit sur la
planète

.
= . 2 . ⃗ ⃗ ⃗⃗

Deuxième loi de Newton pour déterminer l’accélération de la planète :

∑ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = . = . . . . ⃗ ⃗ ⃗⃗ = . = . . ⃗⃗ ⃗⃗
2 2

L’accélération a même direction et même sens que la force gravitationnelle : l’accélération est centripète (normale à la

trajectoire)

Vitesse v de la planète :

Dans la base de Frenet, = . ⃗ ⃗ ⃗ + . ⃗⃗ ⃗⃗ avec = et = 2


= 0 ⇒ =
⇒ . ⃗⃗ ⃗ + . ⃗⃗ ⃗⃗ = . . ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⇒ { ⇒ 2 = . ⇒ = √ .
2 = . ⇒ 2 = .
2 2

La valeur de la vitesse de la planète est indépendante de sa masse, elle dépend uniquement de la distance R qui sépare

son centre de celui du Soleil et de la masse du soleil (astre attracteur).

Période de révolution T = durée d’un tour

= ⇒ = 2


⇒ = 2 = 4 2 2 = √4 2 2× = √4 2 3
√ .
√ . . .

⇒ = 2 √ 3
.

Application : montrer que l’expression de la période T est en accord avec la 3e loi de Kepler.

= 2 √ 3 ⇒ 2 = 4 2 3 ⇒ 2 = 4 2 =
. . 3 .

Cette expression montre que la constante qui figure dans l’expression de la 3e loi de Kepler ne dépend que de la masse M de l’astre
attracteur.

IV. Satellite géostationnaire

IV.1. Définition

Un satellite en orbite autour de la Terre est dit géostationnaire lorsqu’il semble immobile vu de la surface de la Terre : il est
toujours à la verticale d'un même point de la Terre. Il est donc immobile dans le référentiel terrestre.

Pour être géostationnaire, un satellite doit avoir une trajectoire circulaire dans le sens de rotation de la Terre et dans le plan
de l'équateur.

Sa période de révolution T doit être égale à celle de la Terre (≈ 24 h) et cela impose une certaine altitude h.

T spe – PC – Chapitre 10 – cours Page 3

IV.2. Comment lancer un satellite géostationnaire ?

• Le plan de révolution du satellite contient le centre de la Terre.

• Le satellite doit suivre la rotation de la Terre sur elle-même... et donc
se trouver dans le plan de l’équateur.

• Le satellite doit avoir une trajectoire circulaire.

• Le satellite doit se trouver à la bonne altitude :

D’après la troisième loi de Kepler :

2 = = 4 2
3 .

3 = .
2 4 2

3 = . 2
4 2

= 3√ 4 . 2 2

R = distance entre le centre de la Terre et le satellite = + ℎ avec RT rayon de la Terre et h altitude du satellite

ℎ = − ℎ = 3√ 4 . 2 2 −

Application : réaliser l’application numérique en veillant à respecter les unités légales.
• = 6371 = 6,371 × 106
• = 6,67 × 10−11
• = 5,972 × 1024

ℎ = 3√6,67×10−141 × 25,972×1024 × (24 × 3600)2 − 6,371 × 106
ℎ ≈ 3,6 × 107 = 36000

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Chapitre 10 MOUVEMENT DES SATELLITES ET PLANETES ACTIVITE
T Spé PC 1

« Combien de détours ai-je du faire, sur combien de murailles ai-je dû tâtonner dans les ténèbres de mon
ignorance avant de trouver la porte qui mène à la lumière du vrai …Ainsi, ai-je rêvé de la vérité. »

Johannes Kepler (1571-1630).

A partir des observations de Tycho Brahé (1546-1601), Kepler (1571-1630) a pu établir autour de 1610 des
lois qui permettent de décrire et prévoir le mouvement des planètes du système solaire dans le référentiel
héliocentrique (référentiel centré sur le soleil et dont les axes pointent 3 directions “ fixes ”). Ces lois mo-
délisent plus généralement le mouvement de tout système en orbite, donc également les mouvements de
satellites autour de la Terre. Ce sont donc des lois empiriques, qui ont été démontrées ultérieurement,
grâce aux lois de Newton !

Documents

Document 1 Les comètes Document 3 Positions de la comète de Halley entre 1986 et 2024
La figure ci-dessous respecte l’échelle : 1 cm ↔ 2UA
Une comète est, en
astronomie, un petit
corps du Système
solaire constitué d’un
noyau de glace et de
poussière. Lorsque son
orbite, qui a
généralement la forme d’une ellipse très allongée,
l’amène près du Soleil, elle s’entoure d’une sorte de
fine atmosphère brillante constituée de gaz et de
particules, appelée chevelure ou coma, souvent
prolongée d’une traînée lumineuse composée de
gaz et de poussière, la queue, qui peut s’étendre
sur 30 à 80 millions de kilomètres.

source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Comète

Document 2 La découverte de la comète de Halley

Document 4 Selon des annales chinoises, les
premières observations de la
comète de Halley datent d’au moins
240 av. J.C.
Edmund Halley (1656 – 1743) ayant
déterminé les orbites des 24
comètes les plus brillantes, a observé que les
orbites des comètes de 1531, 1607 et 1682 se
ressemblaient : il en a tiré la conclusion qu’il s’agit
de la même comète. Il a alors prédit le retour de
cette comète pour 1758. La comète fut au rendez-
vous en décembre 1758 !

Les ellipses

Une ellipse est la figure géométrique formée par l’ensemble des points M tels que
FM+F’M = constante. F et F’ sont les foyers de l’ellipse. Une ellipse est caractérisée par
deux distances particulières : son demi grand axe a et son demi petit axe b.
Le cercle est une ellipse particulière telle que F et F’ sont confondus et appelés centre
du cercle. Alors les distances a et b sont égales et appelées rayon du cercle, noté R.

T spe – PC – Chapitre 10 – activité 1 Page 1

Document 5 Données sur les 8 planètes du système solaire

Nom Demi-grand axe Demi petit axe Période de révolution Période de rotation
(UA) (UA) (années) (jours)
0,24 58,64
Mercure 0,39 0,34 0,62 -243,02
1 1
Vénus 0,72 0,72 1,88 1,03
11,86 0,41
Terre 1,00 0,99 29,46 0,43
84,01 -0,72
Mars 1,52 1,45 164,8 0,67

Jupiter 5,20 5,08

Saturne 9,54 9,28

Uranus 19,23 18,77

Neptune 30,07 29,93

Travail à effectuer

1. Étude de la 1re loi de Kepler : les planètes tournent autour du soleil… mais avec quelle trajectoire ?

1re loi de Kepler : dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de chaque planète est une ellipse dont un des
foyers est le centre du Soleil.

1.1. Montrer à l’aide des documents 4 et 5 (souligner les données utiles à la démonstration) que la trajectoire du
centre de la Terre autour du Soleil est pratiquement un cercle dont le centre est le centre du Soleil.

1.2. Reformuler la 1re loi de Kepler dans ce cas d'une trajectoire circulaire.

2. Étude de la 2e loi de Kepler ou loi des aires : des ellipses, mais à quelle vitesse ?

2e loi de Kepler ou loi des aires : le segment de droite reliant le centre du soleil au centre de chaque planète balaie des
aires égales pendant des durées égales.

2.1. Cas de la comète de Halley
2.1.1. Exploiter les documents 1 et 2 pour prévoir en quelle année la comète de Halley sera observable la prochaine fois.
2.1.2. La vitesse de la comète par rapport au Soleil est-elle constante ? Justifier à l’aide du document 3.
2.1.3. À l’aide du document 3, montrer que la 2e loi de Kepler est vérifiée pour la comète en hachurant trois aires
balayées pendant deux ans par le segment reliant le centre du Soleil au centre de la comète.

L’objectif des questions qui suivent est de montrer que la loi des aires de Kepler est compatible avec l’évolution de la vitesse
constatée en (2.1.2).

2.1.4. La figure ci-contre représente un astre en orbite elliptique autour du
Soleil. On a représenté en grisé la portion d’aire balayée par le segment SA
pendant une durée Δt.

a) En utilisant la 2e loi de Kepler, représenter l’aire balayée par le
segment SB pendant la même durée Δt.
b) Déduire de la figure une comparaison entre les vitesses de l’astre
en A et en B. Est-ce en accord avec la réponse (2.1.2) ?
2.2. Cas des planètes en orbite circulaire
La plupart des planètes ont une orbite assez voisine d’un cercle. Le cercle est une ellipse particulière, dont les deux foyers
sont confondus et appelés « centre du cercle ».
2.2.1. Dans le cas d’une orbite circulaire, réaliser une figure analogue à celle de la question 2.1.4.
2.2.2. Que peut-on déduire de la loi des aires à propos de la vitesse d’un astre en orbite circulaire autour du Soleil ?
Justifier à l’aide de la figure précédente.

T spe – PC – Chapitre 10 – activité 1 Page 2

3. Étude de la 3e loi de Kepler : mise à l’épreuve de la 3e loi de Kepler à l’aide du système solaire et des satellites de Jupiter

Dès 1595, Kepler, jeune professeur de mathématiques du collège de Graz est persuadé qu’il y a un lien entre le rayon moyen de
l’orbite d’une planète du système solaire et sa vitesse sur son orbite. Mais il lui faudra patience et persévérance pour trouver
empiriquement une relation entre le rayon « R » de l’orbite moyenne d’une planète et sa période de révolution T. Cette
relation (la « troisième loi de Kepler ») est publiée en 1618 dans un ouvrage intitulé Harmonices mundi grâce aux mesures les
plus précises de Tycho Brahe.

Le 8 mars 1618, il a déjà écrit la loi correcte, mais l’a écartée, la croyant imprécise à cause d’une erreur de calcul. Toutefois, le
15 mai, l’idée se représente à lui et, finalement, « l’emporte sur les ténèbres de son esprit ». Il a fallu « 22 ans d’attente » pour
que Kepler détienne la clé de l’Harmonie céleste :

« Enfin, il est certain et tout à fait exact que la proportion qui lie les temps périodiques de chaque couple de planètes est
précisément la proportion sesquialtère des distances moyennes ».

La 3e loi de Kepler est souvent donnée sous cette forme :

Tout astre en orbite autour d’un même astre attracteur, le rapport du carré de la période de révolution T sur le cube du demi-

grand axe a de la trajectoire est une constante :

2 =
3

3.1. La 3e loi de Kepler et les planètes du système solaire
On dispose d’un programme Python sur Capytale (code 0679-1110060) permettant de la vérifier pour le système solaire.

3.1.1. Quelles sont les données en entrée ? Que calcule le programme ?

3.1.2. Utiliser le programme pour montrer que les planètes du système solaire satisfont la 3e loi de Kepler. Noter le
coefficient de proportionnalité.

3.2. La 3e loi de Kepler et les satellites de Jupiter

Galilée, le 7 janvier en 1610, observe pour la première fois la
planète Jupiter à l’aide d’une lunette astronomique. Il note
dans son ouvrage « le messager des étoiles » la position de
trois « étoiles », apparemment proches de la planète. Voici
son croquis :

Cependant le lendemain, Galilée note que… les étoiles se
sont déplacées ! Voici le croquis que Galilée réalise le
lendemain :

De jour en jour, Galilée observe que la position des « étoiles » varie périodiquement. Il en conclut qu’il ne s’agit pas
d’étoiles mais des satellites de Jupiter. Galilée en identifie quatre : Europe, Io, Ganymède et Callisto.

Il parvient à déterminer les propriétés orbitales des satellites de Jupiter :

Satellite période rayon de l’orbite
Io 1,8 jours 421 800 km
Europe 3,6 jours 671 100 km
Ganymède 7,3 jours 1 070 400 km
Calisto 16,9 jours 1 882 700 km

3.2.1. Les satellites de Jupiter satisfont-ils aussi la 3e loi de Kepler ? Utiliser le programme précédent en l’adaptant ainsi
que les données ci-dessus pour répondre (code Capytale : 0196-1110191). Noter le coefficient de proportionnalité.

3.2.2. La constante 2 est-elle la même pour les planètes autour du Soleil et pour les planètes autour de Jupiter ?
3

T spe – PC – Chapitre 10 – activité 1 Page 3

4. Les lois de Kepler et la physique de Newton

Le triomphe de Newton a été, grâce à ses 3 lois et à la loi de la Gravitation Universelle, de pourvoir retrouver théoriquement les
lois empiriques de Kepler. Nous allons vérifier dans cette activité que le mouvement circulaire est compatible avec les lois de
Newton et retrouver la 2e et la 3e loi de Kepler.
On étudie une planète de centre P de masse m, soumise à la force d’attraction gravitationnelle du Soleil dont la masse est notée

MS. P se trouve à une distance R du centre du soleil (noté S) et son vecteur vitesse est noté ⃗ . On suppose que cette planète n’est

soumise qu’à l’action du Soleil et que sa trajectoire est circulaire.

4.1. Sur une figure, représenter la force exercée par le Soleil sur la planète et exprimer sa valeur.
4.2. En appliquant la 2e loi de Newton dans le référentiel héliocentrique, qu’on considérera galiléen pour le mouvement
de la planète, exprimer la valeur de l’accélération � � � � ⃗ du centre de la planète et préciser sa direction et son sens.
4.3. Rappeler l’expression générale de l’accélération dans le cas d’un mouvement circulaire dans le référentiel de Frenet.
En déduire que la valeur de la vitesse de la planète est constante.

4.4. Déterminer l’expression de la vitesse v de la planète. Justifier alors l’affirmation suivante : « Sur une même orbite
circulaire, tous les satellites vont à la même vitesse ».

4.5. Déterminer l’expression de la période T en fonction du rayon R, de G et de M. Vérifier que cette expression est en
accord avec la 3e loi de Kepler.

4.6. En exploitant la relation établie précédente, calculer la masse du Soleil, puis celle de Jupiter. Vous pouvez utiliser le
programme Python pour répondre à la question.

4.7. Pourquoi, à votre avis, la masse de la planète Mercure n’a-t-elle pu être déterminée qu’en 1841, contrairement à
celles de la Terre, de Jupiter et de Saturne (toutes estimées par Newton au XVIIe siècle) ?

5. Satellites géostationnaires

Un satellite est « géostationnaire » s’il reste en permanence à la
verticale d’un même point de la surface de la Terre.

5.1. Quel est le mouvement d’un tel satellite dans le
référentiel terrestre ?

5.2. Parmi les quatre représentations proposées ci-contre,
quelles sont les deux qui sont compatible a priori avec
une telle définition ?

5.3. Retrouver, par un calcul utilisant la période du
satellite géostationnaire, l’altitude où le satellite doit
forcément se situer.

5.4. Calculer la valeur de la vitesse d'un tel satellite dans
le référentiel géocentrique.

DONNÉES :

• masse de la Terre : MT = 6,0.1024 kg

• rayon moyen de la Terre : 6 371 km

• constante gravitationnelle G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-1

• 1UA = 149 597 871 km

T spe – PC – Chapitre 10 – activité 1 Page 4

Chapitre 10 LE CERCLE DES PLANETES DISPARUES ACTIVITE
T Spé PC 2

Contexte

La planète Pluton, découverte par l’américain Clyde TOMBAUGH en 1930 était considérée comme la neuvième planète de
notre système solaire. Le 5 janvier 2005, une équipe d’astronomes a découvert sur des photographies prises le 21 octobre 2003
un nouveau corps gravitant autour du Soleil. Provisoirement nommé 2003 UB313, cet astre porte maintenant le nom d’Éris, du
nom de la déesse grecque de la discorde.
La découverte d’Éris et d’autres astres similaires (2003 EL61, 2005 FY9, etc.) a été le début de nombreuses discussions et
controverses acharnées entre scientifiques sur la définition même du mot « planète ».
Au cours d’une assemblée générale, le 24 août 2006 à Prague, 2 500 astronomes de l’Union astronomique internationale (UAI)
ont décidé à main levée de déclasser Pluton pour lui donner le rang de « planète naine » en compagnie de Cérès (gros
astéroïde situé entre Mars et Jupiter) et d’Éris.

Documents

Document 1 Orbite d’Éris Document 2 Découverte de Dysnomia
Éris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une
Document 3 période de révolution TÉ valant environ 557 années. Les astronomes ont découvert ensuite qu’Éris
possède un satellite naturel qui a été baptisé
Données Dysnomia (fille d’Éris et déesse de l’anarchie).
Six nuits d’observation depuis la Terre ont
• Période de révolution terrestre : TT = 1,00 an permis de reconstituer l’orbite de Dysnomia.
• Période de révolution de Pluton : TP = 248 ans On a obtenu le document ci-dessous :
• MÉ et MD sont les masses respectives d’Éris et de Dysnomia
• Masse de Pluton : MP = 1,31 × 1022 kg
• Rayon de l’orbite circulaire de Dysnomia : RD = 3,60 × 107 m
• Période de révolution de Dysnomia : TD = 15,0 jours

≈ 1,30 × 106 s
• Constante universelle de gravitation :

G = 6,67 × 10–11 m3 · kg–1 · s–2
• Le mouvement de Dysnomia autour d’Éris est supposé

circulaire uniforme.

Travail à effectuer

1. Énoncer précisément la troisième loi de Kepler, relative à la période de révolution d’une planète autour du Soleil, dans
le cas d’une orbite elliptique.

2. L’orbite d’Éris se situe-t-elle au-delà ou en-deçà de celle de Pluton ? Justifier par un calcul littéral.
3. Définir le référentiel permettant d’étudier le mouvement de Dysnomia autour d’Éris.

Par la suite, ce référentiel sera considéré comme galiléen.

4. Établir l’expression du vecteur accélération du centre de gravité de Dysnomia aD en fonction des paramètres de
l’énoncé

5. Préciser la direction et le sens de ce vecteur accélération.

6. Montrer que la période de révolution TD de Dysnomia a pour expression : = 2 ⋅ √ 3

⋅

Retrouve-t-on la troisième loi de Kepler ? Justifier.

7. Déduire de l’expression de TD celle de la masse MÉ d’Éris. Calculer sa valeur.

8. Calculer le rapport des masses d’Éris et de Pluton. Expliquer alors pourquoi la découverte d’Éris a remis en cause le
statut de planète pour Pluton.

T spe – PC – Chapitre 10 – activité 2 Page 1