Portofolio Matematika_Theresa Pradipta Sari_XII MIPA 2

KAIDAH PENCACAHAN
MATEMATIKA WAJIB XII

PORTOFOLIO
DIGITAL

Theresa Pradipta
XII MIPA 2 (34)

Aturan Aturan Kombinasi
perkalian penjumlahan
binomial
Kaidah newton
Pencacahan

Permutasi siklis segitiga
pascal

beberapa unsur Semua unsur
sama berbeda



PERTEMUAN 1

Deskripsi gambar dan
tabel/diagram
pencacahan

DESKRIPSI GAMBAR

fani memiliki 5 baju dengan warna berbeda dan 3 celana
dengan warna berbeda. Berapa banyak cara Fani dapat
menggunakan setelan baju dan celana tersebut?



ANALISIS TABEL

Maka banyak cara Fani dapat

mengenakan setelan baju dan

15celana sebanyak cara

RUMUS 15n1 x n2 = 5 x 3 =

Banyak cara=n1 x n2 x ... x nk

Analisis perbedaan
masalah aturan filling

slot

Teknik
Filling Slot

Definisi Rumus

Teknik Filling Shot merupakan aturan P1 x P2 x P3 x ... x Pn

pengisin tempat atau dalam Bahasa
Inggris disebut filling slot
merupakan cara yang digunakan
untuk menentukan banykanya cara
suatu
objek menenpati tempatnya.

ANALISIS 1

Terdapat angka-angka 7,5,6, 3 Terdapat angka-angka 7,5,6, 3
Akan disusun bilangan terdiri dari Akan disusun bilangan terdiri dari
3 angka (boleh berulang). 3 angka berbeda (tidak boleh berulang).
Tulislah angka berapa saja yang dapat Tulislah angka berapa saja yang dapat
kamu susun? kamu susun?
Ada berapa banyak angka yang terbentuk? Ada berapa banyak angka yang terbentuk?

ANALISIS 2

Terdapat angka-angka 7,5,6, 3 Terdapat angka-angka 7,5,6, 3

Akan disusun bilangan ganjil terdiri dari Akan disusun bilangan genap terdiri dari
3 angka (boleh berulang). 3 angka berbeda (tidak boleh berulang).

Tulislah angka berapa saja yang dapat Tulislah angka berapa saja yang dapat

kamu susun? kamu susun?

Ada berapa banyak angka yang terbentuk? Ada berapa banyak angka yang terbentuk?

ANALISIS 3

Terdapat angka-angka 7,5,6, 3, 2 Terdapat angka-angka 7,5,6, 3,2

Akan disusun bilangan lebih dari 500 Akan disusun bilangan lebih dari 550
terdiri dari 3 angka (boleh berulang). terdiri dari 3 angka (boleh berulang).

Tulislah angka berapa saja yang dapat Tulislah angka berapa saja yang dapat

kamu susun? kamu susun?

Ada berapa banyak angka yang terbentuk? Ada berapa banyak angka yang terbentuk?

Aturan penjumlahan
dan aturan perkalian

Aturan Aturan
Penjumlahan Perkalian

Definisi Definisi

Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan Jika ada beberapa pekerjaan yang
dengan n1 cara dan pekerjaan dan harus dilakukan dengan cara n1 dan
pekerjaan kedua dengan n2 cara, serta n2, seta keduanya harus dilakukan
kedua pekerjaan tidak dapat dilakukan
bersamaan, maka terdapat n1 x n2(bersamaan), maka terdapat

n1 + n2 cara cara untuk melakukan pekerjaan
untuk melakukan salah satu pekerjaan
Rumus
tersebut
n1 x n2 x ... x nm
Rumus

n1 + n2 + ... + nm

Aturan Aturan
penjumlahan Perkallian

Contoh soal Contoh soal

Pak Ahmad memiliki 5 jenis mobil dan 4 Dari 10 orang siswa, akan dipilih masing-
jenis sepeda motor. masing satu orang ketua, wakil,sekretaris,
Berapa banyak cara pak Ahmad dapat dan bendahara. Tentukan banyak pilihan
bepergian dengan kendaraan pribadinya yang mungkin

Penyelesaian: Penyelesaian:
9banyak cara = 5 + 4 =
ketua wakil sekretaris bendahara
10 9 87

10 x 9 x 8 x 7 = 5.040

Latihan mandiri
aturan penjumlahan
dan aturan perkalian

Latihan mandiri 1

Kota A dan kota E dihubungkan oleh
beberpa jalan melalui kota B, C, dan D
seperti pada gambar
berikut:

Jika seseorang berangkat dari kota A
menuju kota E, berapa banyak alternatif
jalan yang dipilih

Latihan mandiri 2

Sebuah hotel akan membuat papan nomor
kamar. Pemilik hotel berkeinginan
menggunakan angka 0,1,2,3,5,6,7,8,9, dan
nomor yang terbentuk terdiri dari 3 angka
berbeda dan bernilai lebih dari 500. Banyak
papan nomor kamar yang dapat dibuat
adalah

Penilaian diri

Apakah kalian tahu yang dimaksud dengan aturan
perkalian?

Apakah kalian tahu yang dimaksud dengan aturan
penjumlahan?

Apakah kalian tahu yang dimaksud dengan faktorial?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
dengan menggunakan aturan perkalian?
Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
dengan menggunakan aturan penjumlahan?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
dengan menggunakan konsep faktorial?

Permutasi

Pemutasi cara untuk mengatur susunan

dalamobjek-objek berbeda
urutan tertentu tanpa ada objek

yang diulang dari objek-objek
tersebut.

Permutasi terbagi menjadi 3:
1. Beberapa unsur sama

2. semua unsur berbeda
3. siklis

Contoh kasus permutasi
A juara 1 dan B juara 2 tidak sama
dengan B juara 1 dan A juara 2.

Permutasi Kombinasi

Definisi Definisi

cara untuk mengatur susunan cara untuk mengatur susunan

dalamobjek-objek berbeda tanpaobjek-objek berbeda
urutan tertentu tanpa ada objek memperhatikan urutan atau
susunan objek tertentu
yang diulang dari objek-objek

tersebut.

Analisis perbedaan

Pada permutasi, contoh kasusnya A juara 1 dan B juara 2 tidak

sama dengan B juara 1 dan A juara 2.

Sedangkan pada kombinasi, contoh kasusnya A berjabat

tangan dengan B sama dengan B berjabat tangan dengan A

Beberapa unsur sama Permutasi

Misalkan dari n unsur yang tersedia Contoh soal
terdapat k unsur yang sama (k < n),
maka banyak permutasi dari n unsur Berapa banyak permutasi pada kata
itu ditentukan dengan aturan MATEMATIKA?

Rumus Penyelesaian

n n! n = 10 10 10!
P r= r1 (M) = 2
r2 (A) = 3 P
=
r1! r2! ... rk! r3 (T) = 2 2,3,2 2! x 3! x 3!

=10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!

4! x 3!

=151.200

Semua unsur berbeda Permutasi

Permutasi dari n-unsur akan disusun Contoh soal
sebanyak r-unsur dimana n>r
Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih 4
Rumus kandidat yang akan dipilih menjadi ketua dan
wakil. Aturan pemilihan adalah setiap orang
n n! hanya boleh dipilih untuk 1 jabatan.
P r = (n-r)! Berapakah kemungkinan cara untuk memilih 2
orang menjadi ketua dan wakil?

Penyelesaian

4 4!

P2 =

(4-2)!
4 x 3 x 2!

=

2!

=4 x 3
= 12

siklis Permutasi

Permutasi dari n-unsur akan disusun Contoh soal
dalam wadah melingkar/unsur yang
saling mengelilingi Presiden, Wapres, Seknet, dan 5 Menko duduk
mengelilingi meja pada rapat paripurna.
Rumus Tentukan banyak cara posisi duduknya!

P = (n-1)! Penyelesaian

n =8
p = (8-1)!

= 7!
=7x6x5x4x3x2x1
= 5040

Latihan soal
permutasi

Latihan mandiri 1

Suatu keluarga yang terdiri dari 6 orang
duduk melingkar pada meja
makan. Jika ayah dan ibu selalu duduk
berdampingan, maka banyak
cara posisi duduk melingkar anggota
keluarga tersebut adalah…

Latihan mandiri 2

Dengan berapa cara 5 anak laki-laki dan 3
anak perempuan dapat disusun di suatu
lingkaran jika anak perempuan selalu
berdekatan

Latihan mandiri 3

Dalam berapa cara 6 buku pelajaran
berbeda dapat disusun pada sebuah rak
buku?

Latihan mandiri 4

Dari sejumlah siswa yang terdiri dari 3 siswa
kelas X, 4 siswa kelas XI, dan 5 siswa kelas
XII, akan dipilih pengurus OSIS yang terdiri
dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris.
Ketua harus berada dari kelas yang lebih
tinggi dari wakil ketua dan sekretaris.
Berapa banyak cara untuk memilih pengurus
OSIS?

Latihan mandiri 5

Untuk keamanan suatu bank, nasabah
diminta membuat kata sandi dari susunan 4
huruf kata "AMAN" dan diikuti 2 angka yang
tidak boleh sama (contoh: naam54). Berapa
banyak kata sandi yang dibuat?

Penilaian diri

Apakah kalian tahu yang dimaksud permutasi?

Apakah kalian tahu yang dimaksud permutasi dengan
pembatasan?
Apakah kalian tahu yang dimaksud dengan permutasi
siklis?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
dengan menggunakan konsep permutasi?
Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
yang terkait permutasi dengan pembatasan?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
yang terkait permutasi siklis?v

PERTEMUAN 3

Kombinasi

Kombinasi r unsur yang diambil dari n

unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda)

adalah

≤suatu pilihan dari r unsur tanpa
Kombinasi memperhatikan urutannya (r n).


Banyak kombinasi r unsur yang diambil
contoh kombinasi A berjabat tangan dari n unsur yang tersedia

dengan B sama dengan B berjabat n
tangan dengan A
Cr

Banyak kombinasi r unsur yang
diambilk dari n unsur yang tersedia
ditentukan dengan aturan

n n!

Cr = r!(n-r)!

Rumus Kombinasi

n n! Penyelesaian
n = 18-5 = 13
Cr = r!(n-r)! r = 8-5 = 3

Contoh soal C133
= 13! / 3! (10)!
= 13x12x11x10! / 3x2x1x10!
Seorang murid diminta mengerjakan 8 soal = 1716 / 6
dari 18 soal dengan ketentuan nomor 1 = 286
sampai 5 harus dikerjakan. Berapa banyak
pilihan soal yang dapat dipilih?

Latihan soal
kombinasi

Ada 4 orang anak, akan dipilih 3 orang Latihan mandiri 1
untuk menjadi pengurus kelas sebagai
ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa Ada 4 orang anak, akan dipilih 3 orang
banyak cara memilih 3 orang tersebut? untuk
mengikuti seminar. Berapa banyak cara
memilih 3 orang tersebut?

Jika terdapat 10 soal dalam ujian. Peserta Latihan mandiri 2
didik diminta mengerjakan 8 soal dari 10
soal tersebut. Jika terdapat 10 soal dalam ujian. Peserta didik
Berapa banyak cara peserta didik dapat diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal
mengerjakan soal tersebut? tersebut.

Jika nomor genap wajib di kerjakan

Berapa banyak cara peserta didik dapat
mengerjakan soal tersebut?

3 4

Pada sebuah lingkaran, terdapat 8 titik Diketahui terdapat 4 titik sembarang (tidak
yang berbeda. Dengan menggunakan ada 3 titik yang tak segaris), yaitu titik A, B,
kedelapan titik tersebut, C dan D. berapa banyak garis yang dapat
banyaknya tali busur yang dapat di buat di bentuk dari 4 titik tersebut?
adalah…

5 6

Dalam sebuah pertemuan terdiri dari 3 Dalam sebuah pertemuan terdiri dari 10
orang, dimana setiap orang berjabat orang, dimana setiap orang berjabat
tangan satu kali dengan setiap tangan satu kali dengan setiap
orang lainnya dalam pertemuan tersebut. orang lainnya dalam pertemuan tersebut.
Berapa banyaknya jabat tangan yang Berapa banyaknya jabat tangan yang
terjadi? terjadi??

7 8

Dalam sebuah pertemuan sejumlah orang, Jika terdapat 10 soal dalam ujian. Peserta
dimana setiap orang berjabat tangan satu didik diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal
kali dengan setiap orang lainnya dalam
pertemuan tersebut. Jika terjadi 15 jabat tersebut. Jika semua nomor ganjil wajib
tangan, berapakah jumlah orang yang ada dikerjakan, Berapa banyak cara peserta didik
dalam pertemuan tersebut?
dapat mengerjakan soal tersebut?

9 10

Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal, dari Jika terdapat 5 soal dalam ujian. Peserta didik

nomor 1 sampai nomor 10, peserta ujian diminta mengerjakan 3 soal dari 5 soal

wajib mengerjakan soal nomor 1, 3, dan 5 tersebut. Jika semua nomor 1 wajib

serta lainnya mengerjakan 8 dari 10 soal dikerjakan, Berapa banyak cara peserta didik

yang tersedia. Banyak cara peserta ujian dapat mengerjakan soal tersebut?

memilih soal yang dikerjakan adalah

11 12

Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan koi
dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan memancing 2
koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan ikan dari kolam tersebut. Berapa banyaknya

1 ikanmemancing dari kolam tersebut. cara pa Ali mendapatkan ikan yang sama?

Berapa banyaknya cara pa Ali

mendapatkan 1 ikan Koi?

13 14

Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan koi

Koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan memancing dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan memancing 2

2 ikan dari kolam tersebut. ikan dari kolam tersebut. Berapa banyaknya

1Berapa banyaknya cara pa Ali mendapatkan cara pa Ali mendapatkan ikan yang sama?
ikan Koi dan 1 ikan mujair?

15 16

alam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan koi Dalam suatu kotak terdapat 5 bola hijau dan 4

3dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan memancing bola merah. Akan diambil 2 buah bola secara
ikan dari kolam tersebut. Berapa banyaknya acak 1 bola. Berapa banyak cara memilih
cara pa Ali mendapatkan minimal 1 ikan hijau dan 1 bola merah?
koi?

17 18

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola hijau Dalam suatu kotak terdapat 5 bola hijau dan 4
dan 4 bola merah. bola merah.

Akan diambil 3 buah bola secara acak. Akan diambil 3 buah bola secara acak.
Berapa banyak cara memilih 2 bola hijau Berapa banyak cara memilih ketiganya
dan 1 bola merah? merah?

19 20

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola hijau Dalam suatu kotak terdapat 5 bola hijau dan 4
dan 4 bola merah.
bola merah.
Akan diambil 3 buah bola secara acak.
Berapa banyak cara menimal 2 bola Akan diambil 2 buah bola secara acak.
merah
warna samaBerapa banyak cara memilih ?

Penilaian diri

Apakah kalian tahu yang dimaksud kombinasi?

Apakah kalian tahu yang dimaksud ekspansi binomial?

Apakah kalian dapat mengidentifikasi masalah yang
terkait dengan kombinasi
Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
yang terkait kombinasi?
Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan
yang terkait ekspansi binomial?