หลักการนับเบื้องต้น ม.5

MATH

Principles
of

Counting

นางสาว ณัฐชา ลงทอง



เลขที่ 14 ชั้นมัธยมศึกาาปีที่ 5/1



วันเกิด 18 /01/48



งานอดิเรก ดูหนัง ฟังเพลง อ่านนิยาย



อ่านหนังสือ
นางสาว ประภาภรณ์ สังข์สิทธิ์



เลขที่ 28 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5/1



วันเกิด 21/01/48



งานอดิเรก ดูหนัง ฟังเพลง อ่านนิยาย



ชอบกินผลไม้ แตงโม

INK
&

AUM

เนื้อหาสาระ

1.หลักการบวก
ในการทำงานอย่างหนึ่ง สามารถแบ่งวีทำงานออกเป็น K กรณี โดยที่

กรณีที่ 1 สามารถทำได้ N1 วิธี
กรณีที่ 2 สามารถทำได้ N2 วิธี

:
กรณีที่ K สามารถทำได้ NK วิธี
ซึ่งวิธีการทำงานในทั้ง K กรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละคนกรณีทำให้งานเสร็จสมบูรณ์ แล้ว
จะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด N1 +N2+…+NK วิธี

2.หลักการคูณ
การทำงานอย่างหนึ่ง สามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น K ขั้นตอนซึ่งต้องทำต่อเนื้องกัน
โดยที่

ขั้นตอนที่ 1 สามารถทำได้ N1 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ N2 วิธี
ในแต่ละขันตอนขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 สามารถทำขั้นตอนที่ 3 ต่อไปได้ N3 วิธี

:
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ K-1 สามารถทำขั้นตอนที่ K ต่อไปได้ NK วิธี

แล้วจะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด N1 × N2 × …× NK วิธี

3.บทนิยาม 1
แฟกทอเรียล N คือ การคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง N เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ N!
(อ่านว่า “เอ็น แฟกทอเรียล”)

นั่นคือ N!=1×2×3×…×(N-1) × N
หรือ N!=N×(N-1)×…× 3×2×1

และให้ 0!= 1

4.สมการการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น จะได้ว่า

5.สมการารจัดหมู่ จะได้ว่า

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
1.1 แผนภาพต้นไม้
แผนภาพต้นไม้ เป็นวิธีการอย่างหนึ่ง ในการหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของการกระทำเหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่ง
และ แผนภาพต้นไม้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ
• แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ
• แผนภาพต้นไม้ ที่มีแตกออกไม่เป็นระเบียบ

ตัวอย่าง

1.2กฎการนับเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( การคูณ )

กฎข้อที่ 1
ถ้าต้องการท างานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกท าได้ N1วิธีและในแต่ละวิธี
ที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธี
เลือกทำงานอย่างที่สองได้ N2 วิธี จะท างานทั้งสองอย่างนี้ได้ N1 N2 วิธี

ตัวอย่างที่1
จากคำว่า PHYSIC ถ้านำมาจัดเป็นคำใหม่โดยไม่คำนึงถึงความหมาย จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
โดยที่
1) ให้แต่ละคำมีอักษร 3 ตัว
2) ให้แต่ละคำมีอักษร 4 ตัว
แนวคิด

คำว่า PHYSIC ประกอบด้วยตัวอักษร 6 ตัวที่แตกต่างกัน
ให้แต่ละคำมีอักษร 3 ตัว จัดได้ดังนี้

ตำแหน่งที่ 1 จัดได้ 6 วิธี
ตำแหน่งที่ 2 จัดได้ 5 วิธี
ตำแหน่งที่ 3 จัดได้ 4 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดจะจัดคำใหม่ให้มีตัวอักษร 3 ตัว ทั้งหมด 6 × 5 × 4= 120 วิธี

1.3 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การบวก)

หลักการบวกในการทำงานอย่างหนึ่งมีวิธีการทำ K วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ K
โดยที่
การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีที่ N1 วิธี
การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ N2 วิธี การทำงานวิธีที่ K มีวิธีทำ NK วิธี และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน
แล้วจำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ N1+N2+…+NK วิธี

3. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การบวก)
หลักการบวกในการทำงานอย่างหนึ่งมีวิธีการทำ K วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ K
โดยที่
การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีที่ N1 วิธี
การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ N2 วิธี การทำงานวิธีที่ K มีวิธีทำ NK วิธี และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้ว
จำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ N1+N2+…+NK วิธี

ตัวอย่างที่1
มีหนังสือ 6 เล่ม เป็นตำราภาษาอังกฤษ 2 เล่ม จะจัดเรียงบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี
ถ้าหัวแถวและท้ายแถวเป็นตำราภาษาอังกฤษ
แนวคิด
โจทย์ข้อนี้ต้องการจัดเรียงตำราบนชั้นหนังสือ
โดยหัวแถวและท้ายแถวเป็นตำราภาษาอังกฤษ การท างานในข้อนี้มี 2 วิธี
คือ ถ้าสมมติให้ตำราภาษาอังกฤษ แทนด้วยตัว A และ B จะมีวิธีการจัดเรียงได้ดังนี้

กรณีที่ 1 เล่ม A อยู่หัวแถวเล่ม B อยู่ท้ายแถว
เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี(เล่ม A เท่านั้น )
เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี(จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี(เล่มที่เหลือจากต าแหน่งที่ 2 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี(เล่มที่เหลือจากต าแหน่งที่ 2 และ 3 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี(เล่มที่เหลือจากต าแหน่งที่ 2, 3 และ 4 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งท้ายแถวได้ 1 วิธี(เล่ม B เท่านั้น
เลือกวางตำแหน่งท้ายแถวได้ 1 วิธี(เล่ม B เท่านั้น )
จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี

กรณีที่ 2 เล่ม B อยู่หัวแถวเล่ม A อยู่ท้ายแถว
เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี (เล่ม B เท่านั้น )
เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี (จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 และ3 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2, 3 และ 4 ที่ไม่ใช่ A และ B)
จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี