หลักการนับเบื้องต้น ม.5

หลักการนับเบื้องต้น



นางสาวพรพิมล แบบเกษตรกรณ์ เลขที่12 5/1
นางสาวลภัสรดา โอภา เลขที่21 5/1

นำเสนอ
อาจารย์นงลักษณ์ อ่ำสุพรรณ

คำนำ
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) มีหน้ าที่ในการ พัฒนา

หลักสูตร วิธีการเรียนรู้ การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คู่มือครู แบบฝึก
ทักษะ กิจกรรม และสื่อการเรียนรู้เพื่อใช้ประกอบการเรียนรู้ในกลุ่มสาระการเรียนรู้
วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ของระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๕ เล่ม ๒ นี้ จัดทําตาม ผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้น

พื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเนื้อหาสาระ ข้อเสนอแนะ เกี่ยวกับการสอน
แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหว่างเรียน การ
วิเคราะห์ความสอดคล่องของแบบฝึกหัดท้ายบทกับจุดมุ่งหมายประจําบท ความรู้เพิ่ม
เติม สําหรับครู ซึ่งเป็นความรู้ที่ครูควรทราบนอกเหนือจากเนื้อหาในหนังสือเรียน
ตัวอย่าง แบบทดสอบประจําบทพร้อมเฉลย รวมทั้งเฉลยแบบฝึกหัด ซึ่งสอดคล้องกับ
หนังสือเรียน รายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๕ เล่ม ๒ ที่ต้องใช้
ควบคู่กัน สสวท. หวังเป็นอย่างยิ่งว่า คู่มือครูเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียน
รู้ และเป็นส่วนสําคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษากลุ่มสาระการเรียน
รู้ คณิตศาสตร์ ขอขอบคุณผู้ ทรงคุณวุฒิ บุคลากรทางการศึกษา และหน่วยงานต่าง ๆ

ที่มีส่วน เกี่ยวข้องในการจัดทําไว้ ณ โอกาสนี้

สารบัญ

หลักการนับเบื้องต้น
2.1 เนื้อหาสาระ
2.2 ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน
2.3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน
2.4 การวัดผลประเมินผลระหว่างเรียน
2.5 การวิเคราะห์แบบฝึกหัดท้ายบท
2.6 ความรู้เพิ่มเติมสําหรับครู
2.7 ตัวอย่างแบบทดสอบประจําบท

หลักการนับเบื้องต้น
การศึกษาเรื่องหลักการนับเบื้องต้นมีความสําคัญต่อการแก้ปัญหาในชีวิตจริง ซึ่งจะพบ

ปัญหาที่ ใช้ความรู้เกี่ยวกับการนับอยู่เสมอ เช่น การวางแผนการจัดการแข่งขันกีฬา การกํา
หนดป้ าย ทะเบียนรถยนต์นั่งส่วนบุคคล การบริหารจัดการเกี่ยวกับการออกตั๋วชมการแสดง
ความรู้เกี่ยวกับ หลักการนับ เช่น หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัด
หมู่ จะช่วยให้สามารถ นับจํานวนสิ่งต่าง ๆ ได้สะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสิ่งที่ต้องการนับมีจํา
นวนมาก และมีเงื่อนไข ซับช้อน นอกจากนี้ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบททวินามซึ่งเป็นการใช้
ความรู้เกี่ยวกับหลักการนับ เพื่อ ช่วยให้การกระจาย ( + ) n x y เมื่อ x y , เป็นจํานวนจริงใด
ๆ และ n เป็นจํานวนเต็มบวก ทําได้ รวดเร็วขึ้น โดยในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 บทที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น จะนําเสนอหลักการ
บวกและหลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของ สิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด การเรียง
สับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด การ เรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของ
สิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด และทฤษฎีบททวิ
นาม

1 เนื้อหาสาระ

หลักการบวก (กรณีทั่วไป) ในการทํางานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธีทํางานออกเป็น k กรณี โดยที่ กรณี

ที่ 1 สามารถทําได้ 1 n วิธี กรณีที่ 2 สามารถทําได้ 2 n วิธี  กรณีที่ k สามารถทําได้ k n วิธี ซึ่งวิธีการ

ทํางานในทั้ง k กรณีไม่ซ้ําซ้อนกัน และการทํางานในแต่ละกรณีทําให้งานเสร็จ สมบูรณ์ แล้วจะสามารถทํา

งานนี้ได้ทั้งหมด 1 2 k nn n ++ +  วิธี

หลักการคูณ (กรณีทั่วไป) ในการทํางานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งขั้นตอนการทํางานออกเป็น k ขั้นตอน

ซึ่งต้องทํา ต่อเนื่องกัน

บทนิยาม 1 ให้n เป็นจํานวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n! (อ่านว่า “เอ็น แฟกทอเรียล”) r n มาเรียง

≤ ≤ให้ Pn r, แทนจํานวนวิธีในการนําสิ่งของ r ชิ้น จากสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยที่ 0

สับเปลี่ยนเชิงเส้น

ถ้ามีสิ่งของ n ชิ้น ในจํานวนนี้มี 1 n ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี 2 n ชิ้นที่เหมือนกันเป็น กลุ่มที่

สอง … และมี k n ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ 1 2 k nn n n ++ +=  แล้ว จํานวนวิธีเรียงสับ

เปลี่ยนสิ่งของ n ชิ้น ดังเงื่อนไขข้างต้น

จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น เท่ากับ (n −1 !) วิธี

ให้ Cn r, หรือ n r แทนจํานวนวิธีเลือกสิ่งของ r ชิ้น จากสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น

จํานวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชิ้น จะเท่ากับจํา
นวน วิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ n r − ชิ้น
ทฤษฎีบททวินาม ให้ x y , เป็นจํานวนจริง และ n เป็นจํานวนเต็มบวก

2 ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน
จุดมุ่งหมายของกิจกรรม กิจกรรมนี้ใช้เพื่อนําเข้าสู่บทเรียน เรื่องหลักการนับเบื้องต้น เพื่อให้
นักเรียนเห็นความสําคัญ ของหลักการนับเบื้องต้น แนวทางการดําเนินกิจกรรม
1.ครูสุ่มถามเลขหมายโทรศัพท์เคลื่อนที่ของนักเรียนในชั้นเรียน 4 – 5 คน และบันทึกคําตอบที่
ได้ ลงบนกระดาน แล้วชี้แนะให้นักเรียนสังเกตเห็นว่าเลขหมายโทรศัพท์เคลื่อนที่จะขึ้นต้นด้วย
ตัวเลขต่าง ๆ กัน จากนั้นให้นักเรียนอ่านสถานการณ์ต่อไปนี้ ในปัจจุบันเลขหมายโทรศัพท์
เคลื่อนที่จะขึ้นต้นด้วย 08, 09 หรือ 01 และตามด้วย เลขโดดอีก 8 ตัว หรือขึ้นต้นด้วย 061,
062, 063, 064 หรือ 065 และตามด้วยเลขโดด อีก 7 ตัว
2. ครูให้นักเรียนอภิปรายร่วมกันว่า ถ้าต้องการทราบจํานวนเลขหมายโทรศัพท์เคลื่อนที่ ที่เป็น
ไปได้ในรูปแบบข้างต้น จะมีได้ทั้งหมดกี่เลขหมายและมีวิธีการนับอย่างไร หมายเหตุ คําถามนี้
ต้องการให้นักเรียนเห็นภาพว่า การนับจํานวนเลขหมายโทรศัพท์เคลื่อนที่ที่ สอดคล้องกับเงื่อนไข
ในข้อ 1 อาจไม่สะดวกที่จะนับโดยตรงเหมือนกับการนับจํานวน สิ่งของที่มีไม่มากและมีเงื่อนไข
ไม่ซับซ้อน เช่น การนับจํานวนนักเรียนในห้อง จํานวนไม่ยืน ต้นในบริเวณโรงเรียน หรือจํานวน
หนังสือในกระเป๋ านักเรียน ดังนั้น การใช้ความรู้เกี่ยวกับ หลักการนับเบื้องต้นจะช่วยให้สามารถ
นับจํานวนสิ่งของต่าง ๆ ได้สะดวกขึ้น โดยเฉพาะ อย่างยิ่งเมื่อสิ่งของที่นับมีจํานวนมากและมี
เงื่อนไขที่ซับซ้อน

3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน
กิจกรรม บทพากย์เอราวัณ

ช้างเอราวัณจากพระราชนิพนธ์เรื่องรามเกียรติ์ในสมเด็จพระพุทธเลิศหล้านภาลัยเป็นกาพย์ฉบัง 16 ซึ่งบรรยาย
ลักษณะของช้างเอราวัณพาหนะของพระอินทร์ซึ่งช้างในบทภาคนี้เกิดการเนรมิตของอินทรชิตเพื่อหลอกล่อกองทัพของ
พระรามโดยส่วนหนึ่ งของบทช้างเอราวัณเป็ นดังนี้

ช้างนิมิตฤทธิแรงแข็งขัน________เผือกผ่องผิวพรรณ
สีสังข์สะอาดโอฬาร์
สามสิบสามเศียรโสภา_________เศียรหนึ่ งเจ็ดงา
ดั่งเพชรรัตน์รูจี
งาหนึ่งเจ็ดโบกขรณี ___________สระหนึ่งย่อมมี
เจ็ดกออุบลบันดาล
กอหนึ่ งเจ็ดดอกดวงมาลย์_______ดอกหนึ่ งแบ่งบาน
มีกลีบได้เจ็ดกลีบผกา
กลีบหนึ่ งมีเทพธิดา____________เจ็ดองค์โสภา
แน่งน้ อยลำเพานงพาล
นางหนึ่ งย่อมมีบริวาร__________อีกเจ็ดเยาวมาลย์
ล้วนรูปนิรมิตมายา

ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้โดยใช้ข้อมูลจากบทช้างเอราวัณข้างต้น
1. ช้างเอราวัณมีกี่เศียร
2. เศียรช้างเอราวัณมีงากี่กิ่งและช้างเอราวัณมีงารวมทั้งหมดกี่กิ่ง
3. งานแต่ละกิ่งมีสระบัวกี่สระและช้างเอราวัณมีสระบัวรวมทั้งหมดกี่สระ
4.สระบัวแต่ละสระมีกี่กมและช้างเอราวัณมีกอบัวทั้งหมดกี่กอ
5.กอบัวแต่ละกอมีดอกบัวกี่ดอกและช้างเอราวัณมีดอกบัวรวมทั้งหมดกี่ดอก
6.ดอกบัวแต่ละดอกมีกี่กลีบและช้างเอราวัณมีกี่ดอกบัวรวมทั้งหมดกี่กลีบ
7.กลีบดอกบัวแต่ละกลีบมีเทพธิดากี่องค์และช้างเอราวัณมีเทพธิดารวมทั้งหมดกี่
องค์
8.เทพธิดาแต่ละองค์มีบริวารกี่นางและช้างเอราวัณมีบริวารรวมทั้งหมดกี่นาง
9.ช้างเอราวัณมีเทพธิดาและบริวารรวมทั้งหมดกี่นาง

แนวทางการจัดกิจกรรมบทช้างเอราวัณ

กิจกรรมนี้เสนอไว้ให้นักเรียนฝึ กฝนการใช้ความรู้เรื่ องหลักการบวกและการคูณเพื่ อแก้ปั ญหาโดยกิจกรรมนี้มี
สื่อแหล่งการเรียนรู้และขั้นตอนการดำเนินกิจกรรมดังนี้
สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
1 ใบกิจกรรมบทช้างเอราวัณ
2 รูปช้างเอราวัณจากสารานุกรมไทยสำหรับเยาวชน
ขั้นตอนการดำเนินกิจกรรม
1.ครูนำเข้าสู่กิจกรรมโดยเปิ ดสื่ อวีดีทัศน์หรือเล่าเรื่ องราวสั้นเกี่ยวกับช้างเอราวัณ
2.ครูแจกใบกิจกรรมบทพากย์ช้างเอราวัณให้กับนักเรียนทุกคนและแบ่งกลุ่มนักเรียนแบบคละความสามารถ
กลุ่มละ 3-4 คน
3 .ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มศึกษาในกิจกรรมบทช้างเอราวัณจากนั้นช่วยกันตอบคำถามข้อ 1-9 ในใบกิจกรรม
ครูควรเปิ ดโอกาสให้นักเรียนใช้แนวทางที่หลากหลายในการหาคำตอบและอนุญาตให้นักเรียนเขียนแสดงคำ
ตอบในรูปเลขยกกำลังได้โดยในระหว่างที่นักเรียนทำกิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนให้ทั่วถึงทุกกลุ่มและคอย
ชี้แนะเมื่ อนักเรียนมีปั ญหา
4 .ครูสุ่มเลือกนักเรียนเพื่อตอบคำถามและให้นักเรียนกลุ่มอื่นๆร่วมอภิปรายเกี่ยวกับคำตอบรวมทั้งกระตุ้นให้
นักเรียนให้เหตุผลประกอบคำตอบ
5. แสดงภาพตัวอย่างช้างเอราวัณจากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเพื่อสรุปเกี่ยวกับบทช้างเอราวัณที่
นักเรียนได้อ่านซึ่งเป็ นบทประพันธ์ที่แสดงถึงจินตนาการของกวีที่พรรณนาความยิ่งใหญ่ของช้างเอราวัณ

1.4 การวัดผลประเมินผลระหว่างเรียน
การวัดผลระหว่างเรียนมีเป้ าหมายเพื่อปรับปรุงการเรียนรู้และ
พัฒนาการสอนและการตรวจสอบนักเรียนแต่ละคนว่ามีความรู้ความ
เข้าใจในเรื่องที่ครูสอนมากน้ อยเพียงใดการให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด
เป็ นแนวทางหนึ่ งที่ครูอาจใช้เพื่ อประเมินด้านความรู้ระหว่างเรียนของ
นักเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่
5 เล่ม 2 ได้นำเสนอแบบฝึกหัดที่ควบคุมเนื้อหาที่สำคัญของแต่ละบท
ไว้สำหรับในบท 2 หลักการนับเบื้องต้นครูอาจใช้แบบฝึกหัดเพื่อวัด
ประเมินผลความรู้ในแต่ละเนื้ อหาได้ดังนี้

1.5 การวิเคราะห์แบบฝึกหัดท้ายบท

หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ได้เรียนจบบทที่ 2 หลักการนับเบื้องต้นแล้วนักเรียนสามารถ
1.ใช้หลักการนับเบื้ องต้นในการแก้ปั ญหา
2. ใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นกรณีที่สิ่งของแตกต่างกันทั้งหมดในการแก้ปัญหา
3.ใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นกรณีที่สิ่งของไม่แตกต่างกันทั้งหมดในการแก้ปั ญหา
4.ใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมกรณีที่สิ่งของแตกต่างกันทั้งหมดในการแก้ปั ญหา
5.ใช้วิธีจัดหมู่กรณีที่สิ่งของแตกต่างกันทั้งหมดในการแก้ปั ญหา
6.ใช้ทฤษฎีบททวินามในการแก้ปั ญหา
ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ได้นำเสนอแบบฝึกหัดท้ายบท
ที่ประกอบด้วยโจทย์เพื่อตรวจสอบความรู้หลังเรียนซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจของ
นักเรียนตามจุดมุ่งหมายนอกจากนี้มีโจทย์ฝึ กทักษะที่น่าสนใจและใจท้าทายครูอาจเลือกใช้แบบฝึ กหัด
ท้ายบทวัดความรู้ความเข้าใจของนักเรียนตามจุดมุ่งหมายของบทเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนมีความ
สามารถตามจุดมุ่งหมายเมื่อเรียนจบบทเงียบหรือไม่ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 มีจุดมุ่งหมายว่าเมื่อ
นักเรียนทั้งนี้แบบฝึ กหัดท้ายบทแต่ละข้อในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปี
ที่ 5 เล่ม 2 บทที่ 2 หลักการนับเบื้องต้นสอดคล้องกับจุดมุ่งหมายของบทเรียน

1.6 ความรู้เพิ่มเติมสําหรับครู
• P ใน Pn r, มาจากคําว่า Permutation ในภาษาอังกฤษ สําหรับในคณิตศาสตร์จะใช้ใน ความ
หมายของ “การเรียงสับเปลี่ยน” ในบางตําราอาจใช้สัญลักษณ์
• C ใน Cn r, มาจากคําว่า Combination ในภาษาอังกฤษ สําหรับในคณิตศาสตร์จะใช้ใน ความ
หมายของ “การจัดหมู่” ในบางตําราอาจใช้สัญลักษณ์
• ให้ Pn r, แทนจํานวนวิธีในการนําสิ่งของ r ชิ้น จากสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น มาเรียง สับ
เปลี่ยนเชิงเสอน
• ให้ Cn r, แทนจํานวนวิธีเลือกสิ่งของ r ชิ้น จากสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น
• ให้hA เป็นเซตใด ๆ ซึ่งมีสมาชิก n ตัว การแสดงว่าจํานวนสับเซตทั้งหมดของ A เท่ากับ 2n
สามารถทําได้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับ การจัดหมู่
• นอกจากการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมที่นําเสนอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 แล้ว ยังมีการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างจากที่นําเสนอไปแล้ว เช่น

ปัญหาเกี่ยวกับการร้อยลูกปัดเป็นวงกลม หรือการร้อยดอกไม้เป็นวงกลม สมมุติว่ามีลูกปั8ด 4

ลูก ซึ่งมีสีเขียว สีแดง สีฟ้ า และสีม่าง ถ้าต้องการจัดเรียงลูกปัดทั้ง 4 ลูกเป็นวงกลมบน ระนาบ
จะจัดได้ (4 1 ! 3! 6

1.7 ตัวอย่างแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอย่างแบบทดสอบประจําบท
ในส่วนนี้จะนําเสนอตัวอย่างแบบทดสอบประจําบทที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น สําหรับรายวิชา เพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใช้ได้ตตามจุดประสงค์ การเรียนรูป
ที่ตนองการวัดผลประเมินผล
ตัวอย่างแบบทดสอบประจําบท
1.กันยามีเสื้อ 4 ตัว เป็นเสื้อสีขาว สีน้ําเงิน สีส้ม และสีดํา มีกระโปรง 6 ตัว เป็นกระโปรงสีแดง สีดํา สี
ครีม สีน้ําเงิน สีน้ําตาล และสีขาว และมีรองเท้า 3 คู่ เป็นรองเท้าสีแดง สีดํา และ สีน้ําตาล ถ้ากันยา
ต้องการเลือกชุด 1 ชุดเพื่อใส่ไปสมัครงาน ซึ่งประกอบด้วยเสื้อ 1 ตัว กระโปรง 1 ตัว และรองเท้า 1 คู่
กันยาจะมีวิธีเลือกชุดเพื่อใส่ไปสมัครงานได้กี่วิธี
2. ทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกสองครั้ง จงหาจํานวนวิธีที่ผลคูณของแต้มที่ได้เป็นจํานวนคี่
3.ในตะกร้ามีแอปเปิ้ล 15 ผล เป็นแอปเปิ้ลที่เน่า 3 ผล จงหาจํานวนวิธีที่หยิบแอปเปิ้ลขึ้นมา จาก
ตะกร้า 4 ผล ได้แอปเปิ้ลที่เน่า 2 ผล
4. หน่วยงานในบริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 30 คน จัดงานเลี้ยงฉลองปีใหม่โดยมีของรางวัลให้กับ พนัก
งานจํานวน 6 รางวัล ดังนี้ รางวัลที่ 1 สร้อยคอทองคําหนัก 3 บาท จํานวน 1 รางวัล รางวัลที่ 2 ตั๋ว
เครื่องบินไป – กลับ 2 ที่นั่ง พร้อมที่พัก 1 คืน จํานวน 2 รางวัล ที่เหมือนกัน รางวัลที่ 3 เงินสด
5,000 บาท จํานวน 3 รางวัล จงหาจํานวนวิธีในการจับสลากของรางวัลโดยไม่มีพนักงานคนใดได้
มากกว่า 1 รางวัล
5. จงหาจํานวนวิธีจัดเรียงตัวอักษรในคําว่า “TRAVELLER” โดยไม่คํานึงถึงความหมายและ ขึ้นต้น
ด้วยตัวอักษร V เสมอ

6. สมปองมีเหรียญสองบาท จํานวน 4 เหรียญ เหรียญบาท จํานวน 8 เหรียญ จงหาจํานวนวิธี
ในการจ่ายเงินด้วยเหรียญดังกล่าวเพื่อซื้อสินค้าราคา 10 บาท โดยร้านค้าไม่ต้องทอนเงิน
(ร้านค้ารับเหรียญทุกชนิด)
7. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลที่มีขนาดเท่ากัน 6 ลูก แต่ละลูกเขียนหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หรือ
6 กํากับไว้หมายเลขละ 1 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลสามลูกพร้อมกัน จงหาจํานวนวิธีที่ผลรวมของ
จํานวนที่เป็นหมายเลขของลูกบอลทั้งสามเป็นจํานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
8. ห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน 41 คน เป็นนักเรียนชาย 25 คน และนักเรียนหญิง 16 คน
ต้องการ คัดเลือกตัวแทนเพื่อถือพานในวันไหว้ครูเป็นนักเรียนชาย 1 คน และนักเรียนหญิง 1
คน และตัวแทนเพื่อกล่าวคําปฏิญาณเป็นนักเรียนชายหรือนักเรียนหญิงก็ได้ 1 คน ที่ไม่ซ้ํากับ
ตัวแทนถือพาน จงหาจํานวนวิธีในการคัดเลือกตัวแทนทั้งหมด 9. เกมวงล้อพาโชค ประกอบ
ด้วยช่องที่เท่ากัน 10 ช่อง แต่ละช่องเขียนเลขโดดตัวใดตัวหนึ่งตั้งแต่ 0 – 9 ไว้โดยไม่มีช่อง
ใดที่เขียนเลขโดดซ้ํากัน ผู้เล่นแต่ละคนจะได้หมุนวงล้อ 2 ครั้ง และจะได้รับ รางวัลเมื่อแต่ม
ของการหมุนทั้งสองครั้งรวมกันมากกว่า 14 แต้ม จงหาจํานวนวิธีที่ผู้เลานต่ละ คนจะได้รับ
รางวัลในการเล่นเกมนี้

10. ฐิติเลือกซื้อแปรงสีฟัน 1 อัน และยาสีฟัน 1 หลอด จากทั้งหมด 5 ยี่ห้อ คือ A, B, C, D
และ E โดยยี่ห้อ A, C และ E จะขายแปรงสีฟันและยาสีฟันแยกกัน ส่วนยี่ห้อ B และ D จะ
ขาย แปรงสีฟันและยาสีฟันรวมกันเป็นชุดเท่านั้น จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่ฐิติจะเลือกซื้อ
แปรงสีฟัน และยาสีฟันยี่ห้อเหล่านี้
11. สวนสนุกแห่งหนึ่งมีชิงช้าสวรรค์ซึ่งมีกระเช้าทั้งหมด 16 กระเช้าที่แตกต่างกัน เป็นกระ
เช้าสีเหลือง น้ําเงิน เขียว และแดง สีละ 4 กระเช้า (ดังรูป) ถ้าพ่อและ แม่พาตะวันและจันทร์
เจ้าไปเล่นชิงช้าสวรรค์ ดังกล่าว โดยทั้งสี่คนขึ้นกระเช้าเดียวกัน จงหา จํานวนวิธีที่ทั้งสี่คนขึ้น
ชิงช้าสวรรค์ 2 รอบ โดยได้ กระเช้าสีที่แตกต่างกัน

12. กําหนดช่องสีต่าง ๆ โดยมีคําว่า Center เขียนกํากับ ไว้ที่ช่องสีฟ้ าที่อย่ตรงกลางดังรูป
ถ้าวิรยาต้องการ จัดวางเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ลงในช่อง โดยไม่มีเลขโดดใด
อยู่ในช่อง Center และผลรวม ของจํานวนที่อยู่ในช่องตรงกันข้ามที่มีสีเดียวกันเป็น 9 จง
หาจํานวนวิธีที่วิรยาจัดวางเลขโดดดังกล่าว

เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบประจําบท
1.พิจารณาการเลือกชุดของกันยาเพื่อใส่ไปสมัครงาน (โดยจะเลือกชิ้นใดก่อนก็ได้) ดังนี้ เลือกเสื้อ 1 ตัว จากเสื้อ
ทั้งหมด 4 ตัว ได้ 4 วิธี เลือกกระโปรง 1 ตัว จากกระโปรงทั้งหมด 6 ตัว ได้ 6 วิธี เลือกรองเท้า 1 คู่ จาก
รองเท้าทั้งหมด 3 คู่ได้3 วิธี ดังนั้น กันยาจะมีวิธีเลือกชุดเพื่อใส่ไปสมัครงานได้ 4 6 3 72 ××= วิธี
2.เนื่องจาก ผลคูณของแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกสองครั้ง จะเป็นจํานวนคี่เมื่อแต้มที่ ได้ทั้งสองครั้ง
เป็นจํานวนคี่ โดยแต้มที่เป็นจํานวนคี่ ได้แก่ 1, 3 และ 5 จะได้ว่า การทอดลูกเต๋าแบ่งเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้น
ตอนที่ 1 ทอดลูกเต๋าครั้งแรก ได้แต้มเป็นจํานวนคี่ ทําได้ 3 วิธี ขั้นตอนที่ 2 ทอดลูกเต๋าครั้งที่ 2 ได้แต้มเป็นจํา
นวนคี่ ทําได้3 วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่ผลคูณของแต้มที่ได้เป็นจํานวนคี่จากการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกสองครั้งเป็น 33
9 × = วิธี
3. ในตะกร้ามีแอปเปิ้ล 15 ผล เป็นแอปเปิ้ลที่เน่า 3 ผล และแอปเปิ้ลที่ดี 12 ผล พิจารณาการหยิบแอปเปิ้ล ดังนี้
หยิบแอปเปิ้ลที่เน่า 2 ผล จากแอปเปิ้ลที่เน่าทั้งหมด 3 ผล ได้ 3, 2 3! 3 2!1! C = = วิธี หยิบแอปเปิ้ลที่ดี 2 ผล
จากแอปเปิ้ลที่ดีทั้งหมด 12 ผล ได้ 12, 2 12! 66 10!2! C = = วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีที่หยิบแอปเปิ้ลขึ้นมาจาก
ตะกร้า 4 ผล ได้แอปเปิ้ลที่เนา 2 ผล เป็น 3 66 198 × = วิธี
4. วิธีที่ 1 การจับสลากเลือกพนักงานที่ได้รับรางวัลมี 3 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 จับสลากเลือกพนักงาน 1 คน
จากพนักงานทั้งหมด 30 คน เพื่อรับ รางวัลที่ 1 ทําได้ 30, 1 C = 30 วิธี ขั้นตอนที่ 2 จับสลากเลือกพนักงาน 2
คน จากพนักงานที่เหลือ 29 คน เพื่อรับ รางวัลที่ 2 ทําได้ 29, 2 29! 29 14 27!2! C = = × วิธี ขั้นตอนที่ 3 จับ
สลากเลือกพนักงาน 3 คน จากพนักงานที่เหลือ 27 คน เพื่อรับ รางวัลที่ 3 ทําได้ 27, 3 27! 25 13 9 24!3! C =
= ×× วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมดในการจับสลากของรางวัลโดยไม่มีคนใดได้มากกว่า 1 รางวัล เป็น 30 29 14
25 13 9 35,626,500 × × × ××= ( ) ( ) วิธี วิธีที่ 2 การจับสลากเลือกพนักงานที่ได้รับรางวัลมี 4 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 เลือกพนักงาน 6 คน จากพนักงานทั้งหมด 30 คน เพื่อรับรางวัล ทําได้ 30, 6 30! 29 25 13 9 7 24!6! C
= = × × ×× วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกพนักงาน 1 คน จากพนักงาน 6 คนที่เลือกในขั้นตอนที่ 1 เพื่อรับรางวัลที่ 1 ทําได้
6, 1 C = 6 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกพนักงาน 2 คน จากพนักงานที่เหลือ 5 คน เพื่อรับรางวัลที่ 2 ทําได้ 5, 2 5! 10 3!2!
C = = วิธี ขั้นตอนที่ 4 เลือกพนักงาน 3 คน จากพนักงานที่เหลือ 3 คน เพื่อรับรางวัลที่ 3 ทําได้ 3, 3 C =1 วิธี ดังนั้น
จํานวนวิธีทั้งหมดในการจับสลากของรางวัลโดยไม่มีคนใดได้เกิน 1 รางวัล เป็น 29 25 13 10 9 7 6 35,626,500 × ×
× ××× = วิธี
5. ตัวอักษรที่กําหนดให้มีทั้งหมด 9 ตัว คือ R, R, L, L, E, E, T, A และ V วิธีที่ 1 การจัดเรียงตัวอักษรดังกล่าวโดย
ไม่คํานึงถึงความหมายและขึ้นต้นด้วยตัวอักษร V เสมอ แบ่งเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 จัดเรียงตัวอักษร V
เป็นตัวอักษรตัวแรก ทําได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 จัดเรียงตัวอักษรอื่น ๆ ทําได้ 8! 5,040 2!2!2! = วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีจัด
เรียงตัวอักษรในคําว่า “TRAVELLER” โดยไม่คํานึงถึง ความหมายและขึ้นต้นด้วยตัวอักษร V เสมอ เป็น 1 5,040
5,040 × = วิธี วิธีที่ 2 การจัดเรียงตัวอักษรดังกล่าวโดยไม่คํานึงถึงความหมายและขึ้นต้นด้วยตัวอักษร V เสมอ คือ
การจัดให้ตัวอักษร V อยู่ในตําแหน่งหน้ าสุด และอีก 8 ตําแหน่งที่เหลือ เป็นตัวอักษรที่กําหนดให้ตัวใดก็ได้ ดังนั้น จํา
นวนวิธีจัดเรียงตัวอักษรในคําว่า “TRAVELLER” โดยไม่คํานึงถึง ความหมายและขึ้นต้นด้วยตัวอักษร V เสมอ เป็น
8, 8 8! 5,040 2!2!2! 2!2!2! P = = วิธี
6. วิธีที่ 1 เนื่องจาก เหรียญที่มีมูลค่าเท่ากันถือว่าเป็นเหรียญที่เหมือนกัน จะได้ว่า การจ่ายเงินของสมปองแบ่งเป็น 4
กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 การจ่ายเงินโดยใช้เหรียญสองบาท จํานวน 4 เหรียญ แบ่งเป้ น 2 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 จ่าย
เงินโดยใช้เหรียญสองบาท จํานวน 4 เหรียญ ได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 จ่ายเงินโดยใช้เหรียญบาท ทําได้1 วิธี คือ ใช้
เหรียญบาท จํานวน 2 เหรียญ ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะจ่ายเงินซื้อสินค้าราคา 10 บาท โดยใช้เหรียญสองบาท จํานวน 4
เหรียญ มีได้ 11 1 × = วิธี

อ้างอิง

http://www.krukird.com/mathm5_2.pdf