Bab 8 Graf Fungsi

ANDA AKAN MEMPELAJARI Indeks Jisim Badan (IJB) ialah satu René Descartes (1596-1650), menyatakan
8.1 Fungsi bahawa fungsi ialah hubungan matematik
8.2 Graf Fungsi ukuran anggaran lemak di dalam badan antara dua pemboleh ubah. Perkataan ‘fungsi’
berdasarkan berat dan tinggi seseorang. Leibniz (1646-1716) dalam bukunya. Idea
Ukuran IJB yang tinggi ialah tanda konsep fungsi ini disambung oleh Leonhard
kandungan lemak yang banyak. Hitungkan tatatanda fungsi, iaitu y = f (x).
IJB anda.
Untuk maklumat lanjut:
BAB 8
BAB 8http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms145

RANGKAI KATA MASLAHAT BAB INI
Fungsi banyak diaplikasikan dalam bidang
• Graf fungsi • Graph of function ekonomi, teknologi, sains, kejuruteraan,
• Fungsi • Function perbankan dan matematik. Kerjaya yang
• Pemboleh ubah • Variable memerlukan pengetahuan tentang fungsi,
• Hubungan • Relation antaranya ialah jurutera, ahli ekonomi,
• Persamaan linear • Linear equation juruaudit, pensyarah dan pegawai bank.
• Jadual nilai • Table of value Melalui fungsi indeks pasaran saham, kita
• Fungsi linear • Linear function dapat meramalkan masa yang sesuai untuk
• Fungsi bukan linear • Non-linear function membeli atau menjual sesuatu saham.
• Skala • Scale
• Fungsi salingan • Reciprocal function
• Fungsi kubik • Cubic function
• Fungsi kuadratik • Quadratic function

AKTIVITI Input Output Input x3 Output
8
Tujuan: Mengenal hubungan antara dua kuantiti 64 64 4 2 23 27
Bahan: Lembaran kerja
Langkah: 27 27 3 3 33
1. Gambar di bawah menunjukkan iklan tiket taman tema air mengikut kategori. Berdasarkan
05
iklan tersebut, lengkapkan jadual di bawah.
17
8
1 10

125

Keluarga Kategori Jadual A Jadual B
Kanak-kanak
Dewasa Perbincangan:

1 Jika input itu ialah domain manakala output itu julat, tentukan julat untuk
set A = {64, 27, 0, 18, 1125} dan set B = {2, 3, 5, 7, 10}.
2

3

Jumlah Daripada aktiviti di atas, fungsi merupakan hubungan setiap input mempunyai hanya satu output.

2. Kategori Bilangan Harga Jumlah (RM) Mengenal pasti fungsi
2 × 30 60
Dewasa 2 Terdapat dua jenis hubungan yang menghasilkan fungsi

Kanak-kanak (a) Hubungan satu kepada satu (b) Hubungan banyak kepada satu

Jumlah Jarak • unit • km Arnab • Tabiat
makanan
3. Daripada jadual di atas, apakah kaitan antara jumlah bayaran tiket bagi setiap keluarga haiwan
dengan kategori ahli keluarganya?
Isi padu • • ml Lembu • • Herbivor
BAB 8
BAB 8
Harga • • RM Kuda •

Daripada jadual di atas, dapat diketahui bahawa jumlah harga tiket bergantung kepada bilangan dan Terdapat dua jenis hubungan yang bukan fungsi
kategori ahli keluarga.
(a) Hubungan satu kepada banyak (b) Hubungan banyak kepada banyak
8.1 Fungsi
Subjek kegemaran Kenderaan yang

dinaiki ke sekolah

Rania • • Sains Fairuz •
Jannah • • Matematik
• Bahasa Ijah • • Kereta

Menerangkan maksud Inggeris • Motosikal
fungsi.
Ravi • • Bas

Tujuan: Mengenal fungsi Siah Meng •

Bahan: Lembaran kerja dan kalkulator

Langkah: Hubungan ialah padanan unsur dari set A kepada set B. Hubungan dapat diwakili dengan
menggunakan
1. Gunakan simbol (punca kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti
(a) rajah anak panah
nombor output bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual A. (b) graf
(c) pasangan tertib
2. Gunakan simbol x3 (kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti nombor output
bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual B.

CONTOH 1 (c) Hubungan satu kepada banyak

Hubungan satu kepada banyak ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai

(a) Rajah anak panah lebih dari satu imej. Q

Set A f : tambah 1 Set B x memetakan ke f (x) (i) P Q (ii) 8
0• 7
1• •1 x f (x) f : faktor •3 6
2• •2 5
3• •3 6• •5 3• •4 4
5• •4 5• •4 4• •6 3
•6 4• •3 2
•8 1
Hubungan di atas ialah
(b) Graf fungsi ‘tolak 1’, ditulis O 12345 P
dengan tatatanda berikut:
Set B f : x x – 1 atau
f (x) = x – 1
6 (iii) Pasangan tertib, R = {(3, 3), (3, 6), (4, 4), (4, 8)}
5
4 (d) Hubungan banyak kepada banyak
3
2 Hubungan banyak kepada banyak ialah hubungan yang mana sekurang-kurangnya satu objek
1 mempunyai lebih dari satu imej dan lebih dari satu objek mempunyai imej yang sama.

O 12345 Set A (i) P f : dibahagi Q (ii) Q

(c) Pasangan tertib 24 • •4 8
18 • •6 6
P = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)} 16 • •8 4
2
CONTOH 2 O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 P

(a) Fungsi satu kepada satu (iii) Pasangan tertib, S = {(24, 4), (24, 6), (24, 8), (18, 6), (16, 4), (16, 8)}

Fungsi satu kepada satu ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai hanya
satu imej.
BAB 8
BAB 8
(i) P f : darab 2 Q (ii) Q

1• •2 8 oleh graf dalam contoh di atas. Graf garis lurus diperoleh
6 apabila semua pasangan
2• •4 4 tertib bagi persamaan
2 linear diplot dan
3• •6 disambungkan.
O 1234
4• •8 P

(iii) Pasangan tertib, A ={(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} 8.1.2 Perwakilan fungsi

(b) Fungsi banyak kepada satu Rajah di bawah menunjukkan fungsi, f yang memetakan x kepada Mengenal pasti fungsi
yang ditulis sebagai f (x) = .
berdasarkan perwakilan
Fungsi banyak kepada satu ialah hubungan yang lebih dari satu objek dihubungkan dengan imej P fQ fungsi dalam bentuk
yang sama. •1 pasangan tertib, jadual,
9• •3 graf dan persamaan.
(i) P f : gandaan Q (ii) Q 16 • •4
•3 25 • •5
6• 5 36 • •6
9• 4
21 • 3 Domain Kodomain
2

1 Set P = {9, 16, 25, 36} ialah domain dan unsur-unsurnya dinamakan objek. Set Q = {1, 3, 4, 5,
O 3 6 9 12 15 18 21 P 6} ialah kodomain. Unsur-unsur dalam set Q yang dihubungkan kepada objek dalam set P
dinamakan imej. Julat bagi fungsi itu ialah {3, 4, 5, 6}.
(iii) Pasangan tertib, B = {(6, 3), (9, 3), (21, 3)}

CONTOH 3 5. Diberi set S = {10, 12, 18, 20} dan set R = {2, 4, 10, 12}. Hubungan dari set S kepada set R
Diberi set P = {1, 2, 3} dan set Q = {4, 5, 6}. Fungsi, f yang memetakan set P kepada set Q ialah
(a) pasangan tertib (b) jadual (c) graf (d) persamaan

(a) pasangan tertib (b) jadual (c) graf (d) persamaan 6. Rajah berikut menunjukkan fungsi f (x) = 3x dalam domain x f (x)

Penyelesaian: 1 x 5. 1• •3
•6
Tentukan nilai a dan b. 2• •a
3• • 12
(a) {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} (b) P 1 2 3 •b
4•
y Q4 5 6
7. Nyatakan domain dan julat hubungan berikut. 5•
6
(d) 4 = 1 + 3 (a) • 0 (b) y
(c) 5 5
–5 • •8 4
4 5=2+3 2•
3 4•
2 6=3+3 • 15 3

1 y = x + 3 atau f(x) = x + 3 • 16 2
1
O 123 x –5–4–3–2––1O1 1 2 3 4 5 x
–2
Fungsi yang memetakan x kepada y boleh ditulis menggunakan tatatanda fungsi iaitu f(x).

Maka, fungsi ini boleh ditulis sebagai f(x) = x + 3. –3
–4
–5
8.1
8.2 Graf Fungsi

1. Rajah di sebelah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q. P Q Kita telah mempelajari bahawa perwakilan
fungsi boleh dibuat dalam bentuk graf. Graf
Nyatakan 3• •9 fungsi ialah perwakilan fungsi pada satah
(a) jenis hubungan. 6• • 18 Cartes. Dengan melukis graf, kita dapat
(b) julat hubungan itu. 9• • 20 menjelaskan hubungan antara pemboleh
ubah dalam fungsi tersebut. Graf ini juga
akan membantu kita mengenal pasti beberapa
maklumat bagi menyelesaikan masalah.
BAB 8
BAB 8

2. Rajah di sebelah menunjukkan satu fungsi. x p(x)
Nyatakan nilai b.
0• •0
3• •9 Gambar menunjukkan seorang pemain bola sepak menyepak bola,
5• • 15 menyebabkan bola itu melambung dan menurun. Lambungan bola
b• • 21 itu membentuk suatu lengkung.

3. Tentukan sama ada set pasangan tertib berikut ialah fungsi. Katakan lengkung itu mewakili fungsi s = 25t – 2.5t 2, dengan t ialah Bintang bola sepak
(a) P = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} masa dalam saat dan s ialah tinggi dalam meter. Hubungan antara s Malaysia dari Pulau
(b) Q = {(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)} dengan t dapat dilukis dalam bentuk graf. Beberapa maklumat boleh Pinang, Mohd Faiz Subri
(c) R = {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)} diperoleh daripada graf itu seperti ketinggian maksimum bola, masa mendapat penghargaan
bola itu sampai ke tanah semula dan jarak dari tempat tendangan. Anugerah Puskas (FIFA)
4. Tentukan sama ada hubungan dalam graf berikut ialah fungsi atau bukan fungsi. untuk gol terbaik 2016.
8.2.1 Membina jadual nilai
(a) y (b) Membina jadual nilai bagi
Daripada fungsi yang diberikan, suatu jadual nilai dapat dibina fungsi linear dan bukan
30 y untuk menentukan pasangan tertib (x, y) yang sepadan sebelum linear, dan seterusnya
25 graf dilukiskan. melukis graf menggunakan
20 20 skala yang diberikan.
15 x 16 x
10 12
5 8
4
O 123
O 123 45

CONTOH 4 CONTOH 5

(a) Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x, bagi (a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 2x + 4.
nilai x = –2, –1, 0, 1.
x –2 –1 0 1 2 3
(b) Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 2x2 – 1, bagi
nilai x = –1 hingga 2. Menggunakan kalkulator y0 6 10
untuk menghitung nilai
Penyelesaian: bagi jadual nilai. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada
Untuk = 2 2 – 1
(a) Apabila x = –2 Apabila x = –1 Apabila x = 0 Apabila x = 1 Tekan paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk nilai x 3.
y = 5– x
y= 5– x y = 5– x y= 5– x y=5–1 2 ALPHA ) ^ 2 - 1 Penyelesaian:
y=4 Bagi
y = 5 – (–2) y = 5 – (–1) y = 5 – 0 (a) y = 2x + 4 Set nilai ini boleh ditulis dalam
= –1,
y=5+2 y=5+1 y=5 tekan CALC -1 = Apabila x = –1 bentuk –2 3.
jawapan = 1 y = 2 (–1) + 4
y=7 y=6 Apabila x = 0 Apabila x = 2
= 0, = –2 + 4 y = 2 (0) + 4 y = 2 (2) + 4
Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x ialah tekan CALC 0 = =2
jawapan = –1 =0+4 =4+4
x –2 –1 0 1 =4 =8
y 7654 = 1,
tekan CALC 1 = Maka, Graf ini disebut juga
(b) Apabila x = –1 Apabila x = 0 Apabila x = 1 Apabila x = 2 jawapan = 1
y = 2x 2 – 1 x –2 –1 0 1 2 3 sebagai graf fungsi
y = 2x 2 – 1 y = 2x 2 – 1 y = 2x 2 – 1 y = 2(2)2 – 1 = 2, y 0 2 4 6 8 10
y=8–1 tekan CALC 2 = linear, kuasa tertinggi
y=7 jawapan = 7 bagi pemboleh ubah x
ialah 1.

y = 2(–1)2 – 1 y = 2(0)2 – 1 y = 2(1)2 – 1 (b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan.

y=2–1 y=0–1 y=2–1 skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
skala paksi-y : 2 cm kepada 2 unit
y=1 y = –1 y=1 Persamaan garis lurus
Plotkan titik mengikut pasangan tertib daripada jadual nilai y = mx + c, dengan m
Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 2x 2 – 1 ialah di atas, iaitu (–2, 0), (–1, 2), (0, 4), (1, 6), (2, 8) dan (3, 10). ialah kecerunan dan c ialah
pintasan-y merupakan set

fungsi linear.
BAB 8
BAB 8
x –1 0 1 2
y 1 –1 1 7

Melukis graf • Koordinat (0,0) Sambungkan titik. y Melukis graf garis
disebut juga 10 y = 2x + 4 (3, 10) lurus mestilah dengan
Seterusnya, pasangan tertib (x, y) tadi boleh diplotkan pada satah sebagai asalan dan Skala paksi - : menggunakan pembaris.
Cartes mengikut skala yang diberikan. Kemudian, titik-titik ini ditandakan dengan O. 2 cm kepada 2 unit 8 (2, 8)
disambungkan untuk membentuk graf. Bagi memudahkan graf 6 (1, 6) Pasangan tertib Apakah jenis graf fungsi
fungsi dibina, kita boleh mengikuti langkah-langkah ini. • Paksi - juga di bawah? Nyatakan fungsi
Langkah-langkah melukis graf: disebut sebagai paksi 4 (0, 4) tersebut.
mengufuk.
1. Bina jadual nilai bagi fungsi yang diberikan. (–1, 2)2 1 2 3x
• Paksi - juga
2. Lukis setiap paksi dengan skala yang diberikan atau dengan skala disebut sebagai paksi (–2, 0)
yang sesuai. mencancang. –2 –1 O

3. Plotkan titik (x, y) bagi pasangan tertib daripada jadual nilai. y Skala paksi- : 2 cm kepada 1 unit

4. Sambung titik-titik itu dengan garis lurus atau lengkung yang licin. paksi mencancang

paksi mengufuk

Ox

CONTOH 6 CONTOH 7

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x2 – 2x – 3. (a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 12 – x3.

x –2 –1 0 1 2 3 4 x –3 –2 –1 0 1 2 3

y5 –3 05 Bagi fungsi kuadratik y 39 13 12 –15

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan f (x) = ax2 + bx + c, (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada
2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk –3 x 3.
–2 x 4. kuasa tertinggi bagi
pemboleh ubah x ialah 2, Penyelesaian:
dan a 0. Bagi fungsi kubik ax3 + c,
Penyelesaian: (a) y = 12 – x3 kuasa tertinggi bagi
• Mata pensel yang tajam pemboleh ubah x ialah 3,
(a) y = x 2 – 2x – 3 Apabila x = 1 Apabila x = 2 dapat membantu murid Apabila x = –2 Apabila x = 1 Apabila x = 2 dan a 0.
y = 12 – 2(1) – 3 y = 22 – 2(2) – 3 melukis garis atau y = 12 – (–2)3 y = 12 – (1)3 y = 12 – (2)3
Apabila x = –1 lengkung dengan licin. Apakah jenis graf fungsi
y = (–1)2 – 2(–1) – 3 =1–2–3 =4–4–3 = 12 + 8 = 12 – 1 = 12 – 8 di bawah? Nyatakan fungsi
= –4 = –3 • Murid dibenarkan = 20 = 11 =4 tersebut.
=1+2–3 menggunakan pembaris
=0 garis lengkung. Maka,
Maka,
Bentuk graf ini dipanggil x –3 –2 –1 0 1 2 3
x –2 –1 0 1 2 3 4 bentuk parabola. y 39 20 13 12 11 4 –15
y 5 0 –3 – 4 –3 0 5
(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.
jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.
skala paksi-x : (–3, 39) y
skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit 2 cm kepada 1 unit y = 12 – x3 40

skala paksi-y : 2 cm kepada 1 unit skala paksi-y : 35
BAB 8
BAB 8
y
2 cm kepada 5 unit
(–2, 5) 5 (4, 5) 30

y = x2 – 2x – 3 25
4

Skala paksi-y : 3 Apakah jenis graf fungsi (–2, 20) 20
2 cm kepada 1 unit 2 di bawah? Nyatakan fungsi Pasangan tertib
tersebut. (–1, 13)
Skala paksi-y : 15 (0, 12)
1 (3, 0) x 2 cm kepada 5 unit (1, 11)
1234
(–1, 0) 10
–2 –1 O
5 (2, 4)
–1
Skala paksi-x : –3 –2 –1 O 1 2 3x
2 cm kepada 1 unit
–2 –5
–10
Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit Titik
persilangan
–3 (0, –3) (2, –3) Pasangan tertib merupakan
penyelesaian
–4 (1, – 4) –15 bagi dua
(3, –15) fungsi tersebut

CONTOH 8 CONTOH 9
(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x –2
(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 24 .
x

x – 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x – 4 –3 –2 –1 – 0.5 0.5 1 2 3 4

y –6 –12 –24 12 8 y 0.06 0.25 4 1 0.25 0.11 0.06

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 x 4. paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 x 4.

Penyelesaian: Penyelesaian:

(a) y = 24 Ftiduankgstei rstaalkinrigf ajinkayx==ax0. (a) y = x –2 y = ax n dengan n = –1, –2
x Fungsi salingan juga boleh Apabila x = –3 merupakan fungsi salingan.
ditulis sebagai y = ax –1. y = (–3)–2
Apabila x = –3 Apabila x = 1 Apabila x = 4 Bentuk graf ini dipanggil = 0.11 Apabila x = –1 Apabila x = 0.5
bentuk hiperbola. y = (–1)–2 y = (0.5)–2
y = 24 y = 24 y = 24 Maka,
–3 1 4 =1 =4

= –8 = 24 =6

Maka, x – 4 – 3 –2 –1 – 0.5 0.5 1 2 3 4
y 0.06 0.11 0.25 1 4 4 1 0.25 0.11 0.06
x – 4 –3 –2 –1 1 2 3 4
y – 6 – 8 –12 –24 24 12 8 6 (b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan
sambungkan titik tersebut.
(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan
sambungkan titik tersebut. skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit

skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit skala paksi-y : 2 cm kepada 0.5 unit

skala paksi-y : 2 cm kepada 5 unit y

BAB 8
BAB 8
y (–0.5, 4) 4 (0.5, 4) Pasangan tertib

25 (1, 24) Apakah jenis graf fungsi y = x –2
20 y = 2x4 di bawah? Nyatakan fungsi 3.5
tersebut.
15 Skala paksi-y : 3
Skala paksi-y : 2 cm kepada 0.5 unit 2.5
2 cm kepada 5 unit (2, 12)

10 (3, 8) Pasangan
tertib
5 (4, 6) 2

– 4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4x O 1.5
–5 Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
(– 4, –6) –10 (–1, 1) 1 Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
(–3, –8) –15 (1, 1)
(–2, –12)

–20 (– 4, 0.06) (–3, 0.11) 0.5 (2, 0.25) (3, 0.11)
(–1, –24) –25 –4 –3 (–2, 0.25) 12 (4, 0.06)
x
–2 –1 O
34

Bentuk graf ini juga adalah berbentuk hiperbola.

8.2.2 Tafsiran graf fungsi CONTOH 12 Tinggi (meter)

Daripada graf fungsi yang telah dibina, kita boleh membuat Mentafsir graf fungsi. Graf fungsi di sebelah menunjukkan pergerakan sebiji bola yang 5
tafsiran dan ramalan terhadap situasi yang berlaku atau dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Berdasarkan graf, tentukan 4
akan berlaku mengikut hubungan yang diperoleh daripada y 3
pemboleh ubah. (a) jarak bola itu dari tanah pada minit pertama.
6
5 (b) masa bola menyentuh tanah.
4 y = 2x + 2
CONTOH 10 3 Penyelesaian: 2
2
Rajah di sebelah menunjukkan graf fungsi y = 2x + 2. 1 Daripada graf: 1 Masa (minit)
Berdasarkan graf, tentukan (a) Apabila x = 1, y = 2 O 1234
(a) nilai y apabila x = 2.
(b) nilai x apabila y = 4. Maka, jarak bola dari tanah pada minit pertama ialah
2 meter.
Penyelesaian: y –2 –1 O 123 x (b) Apabila bola menyentuh tanah, tingginya ialah sifar.
–1 Apabila y = 0, x = 2
Daripada graf: Maka, bola menyentuh tanah pada minit ke-2.

(a) Apabila x = 2, maka y = 6 y=6 6 y = 2x + 2

(b) Apabila y = 4, maka x = 1 5 CONTOH 13

Pada y = 4, lukis satu y=4 4 Dalam ekspo keusahawanan yang lepas, Anis telah menjual Keuntungan (RM)
garis mengufuk ke kanan nasi goreng di gerai Persatuan Pengguna. Graf di sebelah 25
sehingga bertemu dengan 3 Pada x = 2, lukis satu menunjukkan bilangan bungkus nasi goreng yang dijual 20
garis fungsi y = 2x + 2. garis mencancang ke atas dengan keuntungan yang diperoleh Anis. 15
Kemudian, buat satu garis 2 sehingga bertemu dengan Berdasarkan graf: 10
mencancang ke bawah garis fungsi y = 2x + 2. (a) Berapakah keuntungan yang diperoleh Anis sekiranya 5
sehingga bertemu dengan 1 Kemudian, buat satu garis
paksi-x. Baca nilai x. mengufuk ke kiri sehingga dia berjaya menjual 20 bungkus nasi goreng? O 10 20 30 40 50 60
–2 –1 O x bertemu dengan paksi-y. (b) Jika Anis mendapat keuntungan sebanyak RM20, Bilangan bungkus nasi goreng (unit)
–1 Baca nilai y.
berapa bungkuskah nasi goreng yang telah dijualnya? Keuntungan (RM)
(c) Berapakah keuntungan Anis jika 26 bungkus nasi 30
25
gorengnya terjual? 20
(d) Nyatakan satu inferens yang sesuai bagi graf jualan itu. 15
(e) Berdasarkan trend graf tersebut, ramalkan keuntungan 13
10
Anis jika 60 bungkus nasi gorengnya berjaya dijual. 5

Penyelesaian:

(a) Keuntungan = RM10
(b) Bilangan nasi goreng = 40 bungkus
(c) Keuntungan = RM13
(d) Jumlah keuntungan Anis meningkat jika bilangan

bungkus nasi goreng yang dijual bertambah.
(e) RM30
BAB 8
BAB 8
123
x=2

x=1

CONTOH 11

Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi y = x 2 – 2. Berdasarkan graf, tentukan

(a) nilai y, apabila x = 2. y=7 y Buat garis mengufuk
(b) nilai-nilai x, apabila y = 7. y = 7, sehingga
12 menyentuh kedua-dua
Penyelesaian: 10 bahagian pada graf
8 y = x 2 – 2.
Daripada graf: 6 Kemudian, buat
(a) Apabila x = 2, maka y = 2 garis mencancang
(b) Apabila y = 7, maka x = 3 dan –3 ke bawah menuju
paksi-x.

4

y=2 2

–6 –4 –2 O 24 6 x
x = –3 –2 x=3
O 10 20 30 40 50 60
26

Bilangan bungkus nasi goreng (unit)

8.2.3 Penyelesaian masalah Membuat kesimpulan
(a) Jumlah wang yang disimpan pada hari ke-20 oleh
CONTOH 14
Menyelesaikan
mereka. Mereka akan menyimpan sebahagian daripada wang belanja masalah yang (c) Perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30 adalah pada hari ke-25.
itu di dalam tabung. Graf di bawah menunjukkan jumlah wang (RM) melibatkan graf fungsi. (d) Johan akan mendapat hadiah daripada bapanya kerana pada hari ke-30 tabung Johan

yang disimpan mengikut bilangan hari. Johan

Berdasarkan graf: Tinggi (cm)
(a) Berapakah jumlah wang yang disimpan pada 120 7
y = 6 + x – x2
hari ke-20 di dalam tabung 100 CONTOH 15 6
(i) 5 y = 2x
Dalam permainan animasi, kartun Jibam melompat dari 4
jumlah simpanan yang sama? 80 sebuah blok batu. Pada masa yang sama, sebiji batu akan
60 dibaling ke arahnya untuk menjatuhkan Jibam. Graf fungsi 3
perbezaan sebanyak RM30? 40 y = 6 + x – x2 mewakili pergerakan Jibam dan graf fungsi
(d) Bapa mereka berjanji akan memberikan 20 y = 2x mewakili pergerakan batu tersebut. y mewakili jarak 2
O dalam meter dan x ialah masa dalam saat.
hadiah kepada seorang daripada mereka yang Berdasarkan graf: 1
mempunyai wang paling banyak selepas (a) Apakah ketinggian maksimum lompatan Jibam?
sebulan. Siapakah yang akan mendapat hadiah (b) Pada saat keberapakah batu itu tepat mengenai Jibam? O 1 2 3 4 Masa (s)
(c) Pada saat keberapakah Jibam menyentuh permukaan
5 10 15 20 25 30
Bilangan hari tanah?
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Memahami masalah
(a) Mengenal pasti nilai wang yang disimpan pada hari ke-20.
BAB 8
BAB 8
Memahami masalah
(c) Menghitung perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30. • Fungsi y = 6 + x – x2 mewakili lompatan Jibam. Fungsi y = 2x mewakili balingan batu.
(d) Mengenal pasti siapakah yang akan mendapat hadiah berdasarkan simpanan paling • Mengenal pasti nilai ketinggian maksimum lompatan Jibam, masa batu mengenai Jibam

Merancang strategi dan masa Jibam sampai ke tanah.
(a) Baca nilai y apabila x
(b) Baca nilai x bagi titik persilangan dua garis tersebut. Merancang strategi
(c) Hitung perbezaan nilai sebanyak RM30 di antara dua garis tersebut. (a) Baca nilai ketinggian maksimum daripada graf y = 6 + x – x2.
(d) Baca nilai y apabila bilangan hari ialah 30. (b) Baca nilai x bagi titik persilangan dua graf tersebut.
(c) Baca nilai x jika y = 0.
Melaksanakan strategi
(a) Daripada graf, pada hari ke-20 Melaksanakan strategi
Daripada graf:
(b) Nilai x (a) Titik maksimum ialah (0.5, 6.25), maka ketinggian maksimum ialah 6.25.
(b) Nilai x ialah titik persilangan dua graf tersebut. Titik persilangan ialah (2, 4).
(c) Pada hari ke-25, RM100 – RM70 = RM30.
Maka, batu itu mengenai Jibam pada saat ke-2.
(d) Apabila x y = RM80; graf Johan, y = RM120. Maka, simpanan Johan (c) y = 0, x = 3. Maka, Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.
lebih banyak.
Membuat kesimpulan
Maka:
(a) Ketinggian maksimum lompatan Jibam ialah 6.25 meter.
(b) Batu yang dibaling itu mengenai Jibam pada saat ke-2.
(c) Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.

8.2 4 . Graf menunjukkan penggunaan petrol P liter yang Jarak, J (km)
digunakan oleh sebuah teksi bagi jarak J km. 50
1. Salin dan lengkapkan jadual nilai berikut bagi fungsi yang diberikan. Berdasarkan graf: 40
30
(a) y = 3x + 2 (b) y = 2x2 (a) Tentukan jarak teksi itu akan bergerak jika 20
tangkinya diisi sebanyak 10
x 01234 x 01 234
y 8 18 (i) 30 liter petrol. (ii) 42 liter petrol.
y5 14
(b) Hitung kos petrol bagi pergerakan teksi
(c) y = x3 + 2 sejauh 36 km jika 1 liter petrol bernilai
RM2.30.
x –2 –1 0 1 2 3

y –6 2 O 10 20 30 40 50
Petrol, P (liter)
60

2. Bina jadual nilai bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan nilai x yang diberikan. 5. Diberi satu fungsi y = 5x2 – 9x – 5.
(a) y = 2x – 2 untuk –3 x 3
(b) y = 2x2 + x – 5 untuk –1 x 3 (a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi tersebut untuk –2 x 3.
(c) y = 3x3 – 6 untuk –2 x 4
x –2 –1 0 1 2 3

y 33 –5 –9

3. Salin dan lengkapkan jadual-jadual nilai di bawah mengikut fungsi yang diberikan, seterusnya (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 5 unit
lukis graf dengan skala yang dinyatakan. pada paksi-y, plotkan semua titik pada graf itu.

(a) y = 5 + x (c) Seterusnya, lukis graf fungsi itu.

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 (d) Daripada graf, tentukan nilai x apabila y = 0.

y2 45 89

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit MENJANA KECEMERLANGAN
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 5 + x untuk –3 x 4.
BAB 8
BAB 8
(b) y = 4 – x 2 1. Tentukan sama ada setiap hubungan berikut ialah suatu fungsi atau bukan fungsi.
(a) {(0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12)}
x –3 –2 –1 0 1 2 3 (b) {(25, 5), (25, –5), (9, 3), (9, –3)}

y0 3 0 –5 2.
(a) Set integer, B = {1, 2, 3, 4, 5}
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit Set gandaan dengan 11, A = {11, 22, 33, 44, 55}
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 4 – x 2 untuk –3 x 3. (b) Set integer, I = {1, 2, 3, 4, 5}
Set kuasa dua sempurna, S = {1, 4, 9, 16, 25}
(c) y = 8 – x 3
3. Luas permukaan sebiji bola, L berbentuk sfera ialah hasil darab 4 dengan kuasa dua jejarinya, j.
x –3 –2 –1 0 1 2 3 (a) Nyatakan
(i) pemboleh ubah bersandar.
y 35 98 –19 (ii) pemboleh ubah tak bersandar.
(b) Tulis hubungan antara L dengan j.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 8 – x 3 untuk –3 x 3. 4. Diberi T = {1, 2, 3, 4} dan U = {1, 8, 27, 64}. Hubungan set T kepada set U ialah kuasa tiga.

(d) y =

x – 4 –3 –2 –1 –0.5 0.5 1 2 3 4

y –1 –1.33 –4 –8 4 1.33

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit (a) pasangan tertib (b) jadual (c) graf (d) persamaan
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = untuk –4 x 4.

5. Bapa Amirah memberikan wang belanja kepadanya sebanyak RM100. 8. Nizam memukul bola golf yang diberikan kepadanya. Tinggi (m)
20
(a) Jika dia berbelanja sebanyak RM2 setiap hari, hitung baki wang selepas Ketinggian bola itu, y meter dari permukaan tanah selepas 15
10
(i) 2 hari (ii) 5 hari (iii) 10 hari x saat ialah . Graf di sebelah menunjukkan 5

(b) Diberi RMy mewakili baki wang Amirah selepas x hari. Lengkapkan jadual pergerakan bola golf itu setelah dipukul. y = 8x – x2
nilai di bawah.
Berdasarkan graf:

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 (a) Berapakah ketinggian bola itu pada saat ke-3?
y 70 60 40 20 10
(b) Pada saat keberapakah bola itu berada di ketinggian 10 m.

(c) Pada saat keberapakah bola itu akan jatuh ke tanah?

(c) Lukis graf bagi fungsi y = 100 – 2x untuk 5 x 50. Gunakan skala 2 cm kepada 10 unit (d) Apakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola itu?
pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.
(e) Apakah trend bagi pergerakan bola golf itu?
(d) Daripada graf:
O 1 2 3 4 5 6 7Mas8a (s)
(i) Bilakah semua wang simpanan Amirah habis dibelanjakan?
9. Zarul ingin menyewa basikal untuk bersiar-siar di taman Masa (jam)
(ii) Bilakah wang simpanan Amirah berbaki sebanyak RM44? rekreasi. Terdapat dua buah kedai yang menawarkan 6
perkhidmatan menyewa basikal di situ, iaitu Syarikat A 5
p meter dan Syarikat B. Graf menunjukkan kadar bayaran dan masa 4 Syarikat B
dan panjang 3p meter. Jika A mewakili luas sangkar arnab itu, maka hubungan A dengan panjang penggunaan basikal yang ditetapkan oleh kedua-dua buah
dan lebar sisinya diwakili oleh A = 3p2. syarikat itu.
(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi A untuk 0 p 6.
Berdasarkan graf: 3 Syarikat A
p 0123456 2
A 27 75 108 (a) Berapakah bayaran yang dikenakan oleh Syarikat A bagi
3 jam penggunaan basikal itu?

(b) Lukis graf bagi fungsi A untuk 0 p 6. Gunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x (b) Jika Zarul ingin menyewa basikal untuk 1 jam sahaja, 1
dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y. syarikat basikal yang manakah menawarkan harga yang O
lebih murah? Jelaskan jawapan anda.
(c) Daripada graf, tentukan:
(c) Zarul mempunyai RM7 sahaja. Basikal syarikat yang
(i) Luas kawasan sangkar arnab itu apabila lebarnya ialah 5.2 m. manakah harus dipilih oleh Zarul? Jelaskan.
BAB 8
BAB 8
24 6 8 10
Bayaran (RM)

(d) Untuk tempoh berapa jamkah bayaran sewa basikal bagi 2 buah syarikat itu adalah sama?

7. Raj ialah pengerusi Kelab Komputer. Dia ingin menempah Kos (RM) (e) Jika Zarul menyewa basikal selama 6 jam daripada Syarikat B, berapakah bayaran yang perlu
kemeja-T untuk ahli kelab daripada Puan Aini, guru koperasi dibayar oleh Zarul?

sekolah. Puan Aini telah menyediakan satu graf bagi 400 10. Syarikat Maju dan Syarikat Berjaya ialah dua syarikat Bayaran (RM)
telekomunikasi yang menawarkan pakej pelan 5
menunjukkan kos dalam RM, dengan bilangan kemeja-T. 4
3
(a) Lengkapkan jadual di bawah berdasarkan graf. 300 prabayar telefon bimbit. Graf menunjukkan kadar 2

Bilangan kemeja-T 10 30 50 70 200 bayaran dan masa perbualan yang ditawarkan oleh Syarikat Maju
Kos (RM) Syarikat Berjaya
kedua-dua syarikat itu.

100 Berdasarkan graf:

(b) Setelah Raj mengamati graf tersebut, dia terkejut apabila (a) Berapakah kadar bayaran bagi 20 minit perbualan bagi

mendapati 0 helai kemeja-T kosnya RM50. Jika anda O 10 20 30 40 50 60 70 80 (i) Syarikat Maju (ii) Syarikat Berjaya
ialah Puan Aini, apakah penjelasan anda? Bilangan kemeja-T (helai)
1
(c) Berapakah jumlah kos yang perlu dibayar oleh Raj 30 minit untuk berbual sebulan, syarikat yang O
manakah menawarkan kadar bayaran yang lebih
untuk 68 helai kemeja-T? murah? Jelaskan. 5 10 15 20 25 30
Masa (minit)
(d) Jika Raj cuma mempunyai bajet sebanyak RM410, nyatakan jumlah kemeja-T yang dapat
ditempah olehnya. (c) Umai hanya mahu membelanjakan RM4 sahaja untuk perkhidmatan itu. Syarikat manakah
yang harus dipilih oleh Umai? Jelaskan.

Fungsi REFLEKSI DIRI

Fungsi ialah hubungan yang mana setiap objek dalam domain Pada akhir bab ini, saya dapat:
hanya mempunyai satu imej dalam kodomain.
1. Menerangkan maksud fungsi.
Fungsi satu ke satu 2.
Fungsi banyak ke satu
fungsi dalam bentuk pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan.
Perwakilan Fungsi 3. Membina jadual nilai bagi fungsi linear dan bukan linear, dan seterusnya

melukis graf dengan skala yang diberikan.
4. Mentafsir graf fungsi.

Pasangan tertib Jadual Graf Persamaan Anda dikehendaki membuat satu tugasan, iaitu
menghasilkan kad ucapan dengan menggunakan
corak fungsi yang diberikan. Lengkapkan jadual
nilai di bawah. Lukis lapan graf fungsi di bawah
pada sekeping kertas graf yang sama dengan skala
2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada
2 unit pada paksi-y. Labelkan setiap graf yang
BAB 8
BAB 8
Graf Fungsi dengan warna-warna yang digemari. Selepas itu,
gunting kertas graf itu mengikut ukuran yang anda Contoh corak daripada beberapa graf fungsi
Perwakilan fungsi dengan graf garis lurus pilih dan pastikan corak yang telah diwarnakan
atau lengkungan pada satah Cartes. memenuhi kawasan. Lekatkan graf ini pada kad
manila dan hias mengikut kreativiti anda untuk
Jadual nilai ialah jadual yang menunjukkan nilai menjadikannya sebagai sekeping kad ucapan.
pemboleh ubah bersandar dan pemboleh ubah tak
bersandar dan dibina sebelum graf dilukis. Bilangan Fungsi (y) x
–3 –2 –1 0 1 2 3
Langkah-langkah melukis graf.
1. Bina jadual nilai bagi julat yang dipilih. 1 y=x
2. Lukis paksi dengan skala yang diberikan.
3. Plotkan titik daripada jadual nilai. 2 y = –x + 9
4. Sambung titik itu untuk membentuk graf.
3 y = 2x + 8

4 y = –2x + 4

5 y = x2 – 3

6 y = –x 2 + 13

7 y = –x 3 + 5

8 y = 2x –2