Bab 7 Koordinat

ANDA AKAN MEMPELAJARI Sistem koordinat ialah satu kaedah untuk Sistem koordinat Cartes telah diperkenal
oleh René Descartes dari Perancis atau lebih
7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes menentukan kedudukan suatu titik atau objek dikenali sebagai Castesius. Ahli matematik
7.2 Titik Tengah dalam Sistem dalam satu dimensi, dua dimensi atau tiga ini telah mencipta satah koordinat yang
dimensi. terdiri daripada dua garisan berserenjang
Koordinat Cartes digelar ‘paksi’. Koordinat adalah pasangan
7.3 Sistem Koordinat Cartes Kedudukan dalam satu dimensi ditentukan nombor yang menunjukkan kedudukan satu
oleh satu titik di atas garisan atau suatu titik dan garis.
nombor. Kedudukan dalam dua dimensi
ditentukan oleh sistem koordinat di atas satah Untuk maklumat lanjut:
atau dua nombor. Kedudukan dalam tiga
dimensi ditentukan oleh tiga nombor. http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms121

BAB 7 MASLAHAT BAB INI
BAB 7
Sistem koordinat ini banyak menyumbang
RANGKAI KATA kepada kerjaya yang berkaitan dengan

• Titik tengah • Midpoint Seorang ahli arkeologi melakukan pencarian
• Jarak • Distance dan penggalian melalui sistem koordinat
• Kedudukan • Position daripada pemetaan secara digital.
• Koordinat • Coordinate Pakar astronomi menggunakan sistem
• Paksi-x • x-axis koordinat ini untuk mereka dapat menentukan
• Paksi-y • y-axis kedudukan bintang-bintang.
• Hipotenus • Hypotenuse Lokasi kedudukan ditentukan daripada sistem
• Asalan • Origin koordinat yang membantu ahli geografi
• Plot • Plot mengenal pasti kawasan dan kedudukan
• Satah Cartes • Cartesan plane muka bumi.
• Skala • Scale

AKTIVITI QR CODE Destinasi Perwakilan Jarak Jarak Jumlah jarak perjalanan =
Azri segi tiga mengufuk mencancang jarak mengufuk +
Tujuan: Mengenal pasti kedudukan suatu titik Imbas QR Code atau jarak mencancang
Bahan: Lembaran kerja layari http://rimbunanilmu.
Langkah: my/mat_t2/ms122a untuk Dari sekolah 3 km 4 km 3 km 4 km + 3 km = 7 km
1. Buka fail MS122A yang disediakan dan cetak lembaran kerja. mendapatkan lembaran ke rumah 4 km
2. Dengan menggabungkan jarak mengufuk dan mencancang, kerja di sebelah.
Dari rumah
tentukan kedudukan bagi bandar Batu Pahat, Kluang dan ke padang
Segamat. futsal

Koordinat merupakan pasangan nombor yang dapat menentukan kedudukan suatu titik pada satah Dari masjid
Cartes. Koordinat suatu titik ditentukan berdasarkan jarak dari paksi-x, jarak dari paksi-y dan ke kedai
asalan. Daripada aktiviti di atas, dapatkah anda menentukan jarak di antara dua tempat? Dari sekolah
ke masjid

Dari sekolah
ke kedai

Perbincangan:

(i) Daripada perwakilan segi tiga bersudut tegak, dapatkah anda kenal pasti jarak paling

7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes hampir yang dilalui oleh Azri ke destinasi yang tertentu?

7.1.1 Jarak dua titik pada satah Cartes (ii) Apakah cara yang paling mudah untuk mengira jarak yang terpendek?
(iii) Apakah yang anda fahami tentang jarak pada satah Cartes?

BAB 7 TAHUKAH ANDA ?
Jarak mencancang
Satah Cartes mempunyai
BAB 7 dua paksi seperti dalam
Tujuan: Kenal pasti jarak di antara dua titik pada satah Cartes Menerangkan maksud Untuk menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes, kaedah rajah yang berikut. Garis
Bahan: Lembaran kerja jarak di antara dua titik perwakilan segi tiga bersudut tegak digunakan. Kaedah ini dapat mengufuk ialah paksi -x dan
Langkah: pada satah Cartes. mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi dua titik garis mencancang ialah
pada satah Cartes. Jarak ini dapat ditentukan daripada skala pada paksi-y . Kedua-dua paksi
QR CODE paksi-x dan paksi-y. tersebut akan bersilang
antara satu sama lain secara
y Rajah menunjukkan pelan Imbas QR Code atau Perjalanan terus dari A ke B tanpa melalui C ialah jarak yang terpendek. serenjang. Titik persilangan
kedudukan tempat yang layari http://rimbunanilmu. tersebut ialah asalan yang
Padang Masjid sering dilalui oleh Azri. my/mat_t2/ms122b untuk y merupakan permulaan
Futsal mendapatkan lembaran nombor pada kedua-dua
kerja di sebelah. paksi-x dan paksi- y . Nilai
x 7B nombor akan semakin besar
6 apabila ke kanan dan ke
Rumah Kedai atas, manakala nilai nombor
Sekolah akan semakin mengecil
5 apabila ke kiri dan ke bawah.

4 y
b (a, b)
1 km 3A C
1 km 2

1 Jarak mengufuk

1. Buka fail MS122B yang telah disediakan dan cetak lembaran kerja. O 12345 x x
2. Secara berpasangan, kenal pasti pergerakan Azri. a
3. Pergerakan Azri hendaklah dilukis dalam bentuk perwakilan segi tiga bersudut tegak. Asalan (0, 0)
4. Hitung jarak mengufuk dan mencancang berdasarkan 1 kotak grid diwakili 1 km dan
Kaedah teorem Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak AB, iaitu
dilabelkan seperti rajah yang diberikan.
5. Jumlahkan jarak perjalanan dan lengkapkan jadual. AB2 = AC 2 + CB 2 Koordinat (x, y). Nilai x
AB = AC 2 + CB 2 ditulis dahulu diikuti nilai y.

CONTOH 1 7.1.2 Rumus jarak di antara dua titik pada satah

Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes berikut. TAHUKAH ANDA ? Menerbitkan rumus jarak
di antara dua titik pada
(a) y (b) y Apakah itu skala? Skala Tujuan: Menentukan jarak di antara dua titik yang mempunyai satah Cartes.
perlu ditentukan dalam
5 10 sistem koordinat Cartes. koordinat-x atau koordinat-y yang sama
Pada paksi-x, unit yang Bahan: Lembaran kerja
A4 8 boleh ditulis ialah 1, 2, Langkah:

3 P 6 Q paksi-y boleh juga ditulis 1, 1. Bersama-sama rakan anda, kenal pasti kedudukan koordinat pada satah Cartes.
2 4 2, 3, ... dan nilai di bawah
2. Lengkapkan jadual di bawah dengan menentukan koordinat -x atau koordinat -y yang sama.
1 x
2 Contoh:
O Dengan ini, setiap kotak
1234 x O 5 10 15 diwakili suatu unit. Selain Koordinat Koordinat yang sama Jarak
itu, skala juga boleh ditulis
dalam jujukan seperti 2, 4, A (2 , 1) B (2 , 4) koordinat-x
6, 8, ... atau 5, 10, 15, ...
B pada kedua-dua paksi. C (–1, 3) D (7 , 3)
Keadaan ini berdasarkan
kesesuaian dalam keadaan E (6 , 5) F (6 , –5)
yang tertentu.
G (–7, 2) H (1 , 2)

(c) y (d) y Perbincangan:
Bagaimanakah anda dapat menerbitkan suatu rumus mudah bagi menentukan jarak di antara
5 10 y dua titik yang mempunyai
4 (i) koordinat-x yang sama?
3 8F (ii) koordinat-y yang sama?
2
1 6
4
O 10 20 30 40
2G

O 4 8 12 16
BAB 7
BAB 7
6
4 x Jarak dapat ditentukan sekiranya,
2 (i) dua titik mempunyai koordinat-y yang sama.
x
O 246 y

x

DE Skala pada paksi-x ialah 2 unit. Cuba anda perhatikan segi
Skala pada paksi-y ialah 2 unit. tiga pada satah Cartes di
bawah.
A B
(x1, y1) (x2, y1) y

Penyelesaian: Ox A
Jarak AB = (x2 x1) unit 5

(ii) dua titik mempunyai koordinat-x yang sama. 4
y
C (x1, y2) 3

(a) Skala pada paksi-x dan paksi-y y 2
ialah 1 unit. 1B C
Jarak AB = 6 × 1 (b) Skala pada paksi-x ialah Sukuan II Sukuan I
= 6 unit 5 unit dan paksi-y ialah 2 unit. x, y) (x, y) O 12 34 5 x
Jarak PQ = 6 × 5 Ox
= 30 unit Tapak segi tiga BC selari
Sukuan III Sukuan IV dengan paksi-x. Keadaan
(c) Skala pada paksi-x ialah 10 unit (d) Skala pada paksi-x ialah x y) (x y) ini menjadikan koordinat
dan paksi-y ialah 1 unit. 4 unit dan paksi-y ialah 2 unit.
Jika (x, y) ialah (3, 4) di bagi y masing-masing
Jarak DE = 4 × 10 Jarak FG = 4 × 2 sukuan I. Nyatakan nilai O D (x1, y1) x adalah sama. Ini dinamakan
titik tersebut di sukuan II, Jarak CD = (y2 y1) unit
III dan IV. Apakah jenis paksi-y sepunya. Begitu
transformasi yang dilalui juga sebaliknya.
oleh titik tersebut?
= 40 unit = 8 unit

CONTOH 2 QR CODE 2. Gerakkan koordinat A dan B pada satah Cartes berpandukan jadual.
3. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi garisan AB.
Hitung jarak di antara pasangan titik berikut. Imbas QR Code atau 4. Bandingkan paparan jawapan yang diberikan dengan jawapan anda menggunakan
(a) (2, –3) dan (4, –3) layari http://rimbunanilmu.
(b) (0, 1) dan (0, –2) my/mat_t2/ms126a untuk rumus jarak di antara dua titik.
permainan Sasaran 5. Lengkapkan jadual di bawah dengan membuktikan jawapan dengan memilih Hint.
Kapal Selam.
Penyelesaian: Titik Perbezaan Jarak Jarak AB
A (1, y)
(a) Jarak di antara titik itu ialah
5 unit
=4–2 Jarak mengufuk = x2 x1 A B Mengufuk Mencancang AB = (x2 x1)2 + (y2 y1)2
= 2 unit C (1, 3) 4 unit B (x, 3) x2 – x1 y2 – y1

(b) Jarak di antara titik itu ialah (a) (1, 5) (1, 7) 1–1=0 7– 5=2

= 1 – (–2) Jarak mencancang = y2 y1 (b) (4, 1) (1, 1)
= 3 unit

CONTOH 3 (c) (8, 2)

Rajah menunjukkan jarak di antara dua titik A dan B. Lengkapkan (d) (6, 7) (2, 4)
koordinat A dan B.
Perbincangan:
Penyelesaian: (i) Apakah yang anda fahami tentang jarak AB?
(ii) Apakah perkaitan rumus teorem Pythagoras?
y – 3 = 5 unit x – 1 = 4 unit
y =5+3 x =4+1
= 8 unit = 5 unit

Maka, koordinat A ialah (1, 8). Maka, koordinat B ialah (5, 3).
BAB 7
BAB 7
Jarak AB merupakan jarak hipotenus. Rumus teorem Pythagoras digunakan untuk menentukan
jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

7.1.3 Jarak di antara dua titik pada satah Jarak di antara dua titik pada satah Cartes = (x2 x1)2 + (y2 y1)2

xy Menentukan jarak di antara CONTOH 4
dua titik pada satah Cartes.
Hitung jarak di antara titik A dengan titik B pada satah Cartes
dalam rajah di bawah.

Tujuan: Mengenal pasti jarak di antara dua titik QR CODE y ac
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah: Imbas QR Code atau 8 A b
layari http://rimbunanilmu. 7
1. Buka fail MS126B yang telah disediakan. my/mat_t2/ms126b untuk c = a2 + b2
mengenal pasti jarak di 6
antara dua titik. Apakah rumus ini?
5 Teorem yang menyatakan
bahawa bagi sebarang
4 segi tiga bersudut 90° dan
kuasa dua hipotenusnya
3 adalah bersamaan dengan
jumlah kuasa dua sisi
2 B yang lain.

1

O 12345678 x

Penyelesaian: 7.1.4 Penyelesaian masalah

Kaedah 1 A CONTOH 6
Berdasarkan rajah di sebelah, lukis sebuah segi tiga bersudut tegak ACB.
AC = 6 unit, BC = 4 unit Hitung perimeter bagi sebuah segi tiga sama kaki jika bucu-bucu Menyelesaikan masalah
bagi segi tiga tersebut ialah A (1, 1), B (3, 4) dan C (5, 1). yang melibatkan jarak di
antara dua titik dalam sistem.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan teorem Pythagoras, AB 6 unit y
C Memahami masalah
AB2 = BC 2 + AC 2 ABC adalah segi tiga sama kaki dengan bucu-bucu A (1, 1), 8
AB2 = 4 2 + 6 2 B (3, 4) dan C (5, 1).
AB2 = 16 + 36 7
AB = 52 Merancang strategi
• Lukis segi tiga dan tentukan titik-titik tersebut pada 6
= 7.21 unit
4 unit B satah Cartes. 5 B (3, 4)
• ABC = AB + BC + AC 4
• Tentukan jarak AC dan AB.
3

y 2 C (5, 1)
x1, y1 567
Kaedah 2 1 A (1, 1) 4 x
Jarak = (x2 x1 )2 + ( y2 A (1,7) O 123

y1 )2

Jarak AB = 2 2
= 42 2
Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan
y2 y1
= 16 + 36 Maka, perimeter segi tiga ABC ialah
x2 x1 3.6 + 3.6 + 4 = 11.2 unit.
O
BAB 7
BAB 7
= 52 x2 , y2 Jarak AB = 32 + 22
B (5, 1) = 9+4
= 7.21 unit
x
Maka, jarak AB ialah 7.21 unit. = 13

CONTOH 5 = 3.6 unit Jarak di antara dua titik
AB = BC
Hitung jarak di antara titik P dengan titik Q. = (x2 x1)2 + (y2 y1)2
CONTOH 7 Jarak merupakan ukuran
(a) P (b) y ruang di antara dua titik.

3 cm P 6 Diberi bahawa jarak AB = 10 unit. Hitung nilai v. y B (6, 9)
Q (–2, 6) 10 unit
5 Penyelesaian:
5 cm
4 Memahami masalah Melaksanakan strategi
Penyelesaian:
(a) PQ 2 = 52 + 32 3

= 25 + 9 2 Q Menghitung nilai v. AB = v)2 + (9 2
PQ = 34 1 (4, 1)

= 5.83 cm O 1234 x 10 = v)2 + 62 A (v, 3) C
O x
Maka, jarak PQ ialah 5.83 cm. (b) PQ2 = [4 – (–2)]2 + (1 – 6)2 Merancang strategi 10 = v)2 + 36
Jarak AB = 10
= 62 + (–5)2 Rumus jarak 10 2 = v)2 + 36 2

= 36 + 25 = (x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 )2 10 2 v) 2
= 61
64 v Membuat kesimpulan
= 7.81 cm Maka, nilai v ialah –2.
Maka, jarak PQ ialah 7.81 cm. v
v
v = –2

JOM CUBA 7.1 4. Diberi jarak mengufuk 4 unit dan jarak mencancang 3 unit bagi dua titik A dan B, hitung nilai
a dan b.

1. Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes di bawah. (a) y (b) y

y

E 6A B b) B (5, b)
x
5 (a) C (b) D A (a, 1)
4 O
x
3 O A (a, 0)

(c) 2 B (c) y (d) y
1 A (a, 4)

O x
2 4 6 8 10 12
B (2, b)
F O x B (0, b) x
G (d) H A (a, –1) O

2. Hitung jarak AB. B 5. Rajah menunjukkan titik K, L, M, N, P dan Q y
(a) A (b) pada satah Cartes.
Hitung jarak di antara titik yang berikut. K 8
2 cm 1 200 cm (a) KM 7
(b) ML 6 L
4 cm (c) PN 5
(d) KQ 4M
BAB 7 B
BAB 73
2
A 600 cm 1N

O 1234 56 x

(c) y (d) y
A
4 Q
4 B 3 P
3 2 4 6 8 10 12 2
2 1 x
A1
x O 12345 6. Tentukan jarak KL jika K (2, 2) dan L berada pada paksi-x dengan jarak 7 unit ke kanan dari
O paksi-y.

B 7. Tentukan jarak AB jika masing-masing berada pada paksi-y dengan jarak 5 unit ke atas dan 2 unit
ke bawah dari paksi-x.
3. Nyatakan jarak di antara pasangan titik berikut.
(a) (1, 3) dan (1, 7) 8. Hitung jarak di antara KL jika L berada pada asalan dan K berada 3 unit ke kiri dari paksi-y
dan 5 unit ke atas dari paksi-x.

(d) (7, 4) dan (8, 4)

9. Tentukan nilai a dan b berdasarkan maklumat dalam rajah di bawah. Tujuan: Mengenal pasti titik tengah suatu garisan (x2, y2)
y Bahan: Kertas grid, jangka lukis dan pembaris Titik
Langkah: tengah
b 3 unit 1. Murid A akan membina satah Cartes pada kertas grid.
2. Murid B akan memilih dua titik koordinat dan membina suatu
5 unit (x1, y1)
garisan yang menyambungkan titik tersebut.
(5, 2) 3. Murid C akan membina pembahagi dua sama serenjang pada

Oa x garisan tersebut. QR CODE

10. Diberi jarak mencancang dari titik V yang terletak di utara titik W ialah 4 unit. Tentukan Perbincangan: Imbas QR Code atau
koordinat W jika koordinat V ialah Apakah yang anda fahami daripada pembinaan pembahagi dua layari http://rimbunanilmu.
sama serenjang bagi garisan tersebut? my/mat_t2/ms133 untuk
(c) (5, –2) (d) (0, – 4 ) melihat video animasi
Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tentang bagaimana
tembereng garis. menentukan titik tengah
daripada perisian
11. Berdasarkan rajah di bawah, hitung perimeter ABCD. geometri dinamik.

CONTOH 8

y Tentukan titik tengah bagi garis lurus AB.

BAB 7
BAB 7
8 (a) (b) A D B C
7B
6 A M PQ B
5
4 C Penyelesaian: (b) Titik tengah bagi garis lurus AB ialah D.
3A 56
2 (a) Titik tengah bagi garis lurus AB
1D ialah P.

O 12 34 4 unit AD B

x AM 4 unit B

PQ

12. Segi tiga ABC mempunyai bucu A (–2, –1), B (–2, 5) dan C (1, –1). Hitung perimeter bagi segi CONTOH 9 Nyatakan koordinat pusat
tiga itu. bulatan bagi rajah di
P ialah titik tengah bagi garis lurus AB. y bawah. Apakah hubungan
Tentukan koordinat P. antara pusat bulatan
8 dengan titik tengah?
7.2 Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes 7A
6 y
7.2.1 Titik tengah di antara dua titik Menerangkan maksud titik 5 B
tengah di antara dua titik 4 8
Anda telah mempelajari cara menentukan jejari bagi suatu diameter pada satah Cartes. 3
bulatan. Adakah anda fahami konsep titik tengah? Berbincang 2 6
dengan rakan anda tentang konsep ini. 1C
4
x
2

O 2 4x

O 123456

Penyelesaian: Titik Titik tengah bagi jarak: Titik tengah
AB Mengufuk Mencancang x1 + x2 y1 + y2
Langkah 1: Tentukan titik tengah bagi garis lurus AC dan BC. (4 , 5) (2 , 1) 2 ‚ 2
Langkah 2: Lukis pembahagi dua sama serenjang bagi AC dan BC.
Langkah 3: Persilangan di antara pembahagi dua sama serenjang AC dan pembahagi dua sama

serenjang BC merupakan titik tengah bagi garis AB.
Langkah 4: Maka, titik P ialah (3, 4).

y (–1, 5) (3 , 1)

7A Titik tengah (1 , 3) (7 , 1)
(3, 4)
6
5 P
4
(3 , 4)
3
2
1C B x (1 , 2) (–5, 2)
O 12 34 5 6

7.2.2 Rumus titik tengah Perbincangan: QR CODE
(i) Adakah titik tengah bagi garis lurus AB terhasil daripada
Tujuan: Menerbit rumus titik tengah Imbas QR Code atau
Bahan: Perisian geometri dinamik persilangan titik tengah bagi jarak mengufuk dan jarak layari http://rimbunanilmu.
Langkah: mencancang? my/mat_t2/ms135 untuk
1. Buka fail MS134 yang telah disediakan. (ii) Bina suatu kesimpulan untuk menentukan rumus titik tengah mendapatkan lembaran
2. Kenal pasti titik A dan B. berdasarkan aktiviti ini. kerja.
BAB 7
BAB 7
Titik tengah bagi suatu garis yang condong dapat ditentukan
Menerbitkan rumus titik dengan mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang yang
tengah di antara dua titik masing-masing dibahagikan kepada dua.
pada satah Cartes.
Titik tengah = x1 + x2 , y1 + y2
QR CODE 2 2

Imbas QR Code atau 7.2.3 Koordinat titik tengah di antara dua titik Menentukan koordinat titik
layari http://rimbunanilmu. tengah di antara dua titik
my/mat_t2/ms134 untuk Kedudukan titik tengah dapat ditunjukkan dengan pembinaan pada satah Cartes.
mengenal pasti titik tengah. pembahagi dua sama serenjang. Persilangan di antara pembahagi
dua sama serenjang dengan tembereng garis dapat menentukan
koordinat titik tengah pada satah Cartes.

y

5 B(6, 4) 6 + 2 4+0
4 2 2
M= ,
3. Ubah kedudukan titik A dan titik B dalam jadual yang diberikan. 3M
4. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang. 2 (4, 2) M = (4 , 2)
5. Buka fail MS135 dan lengkapkan jadual yang diberikan.
6. Hitung titik tengah M dengan suatu pengiraan yang melibatkan jarak mengufuk dan jarak 1 A(2, 0) x
O 123456
mencancang.

CONTOH 10 7.2.4 Penyelesaian masalah

Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus AB dengan A(2, 5) dan B(2, 1). CONTOH 12 y Menyelesaikan masalah yang
melibatkan titik tengah dalam
Penyelesaian: Rajah menunjukkan garis PAQ pada suatu satah
y Cartes. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ. P sistem koordinat Cartes.
Tentukan koordinat P.
A (2, 5) ialah (x1 , y1) dan B (2, 1) ialah (x2 , y2) 7
6
Titik tengah AB = x1+ x2 , y1+ y2 5 A (2, 5) Penyelesaian: 2A
22 4
3 Memahami masalah Q
= 2+2,5+1 2 Diketahui jarak AP = AQ. O x
22 1 B (2, 1) Katakan P = (x, y).
2
4 ,6 O 1 2345 6
= 22 x Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan

= (2 , 3) Jarak AP = AQ, maka Hitung kedudukan mengufuk dan Maka koordinat P
P (x , y) mencancang bermula dengan titik A
Maka, titik tengah AB ialah (2, 3). yang masing-masing 2 unit.

BAB 7
2 unit

2 unit
BAB 7
A (0 , 2) Titik tengah, A (0, 2)
Q(2 , 0)
CONTOH 11 2 unit P(x , y) x+ 2 =0 , y+ 0 =2
Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus MN. 2 unit Q(2 , 0) 2 2
x+2=0 , y =4
y
x
7M

CONTOH 13

1N 10 x Titik P ialah titik tengah bagi garis lurus KL. Diberi koordinat K ialah (–3, 12) dan koordinat
O4 P ialah (2, 9). Hitung koordinat L.

Penyelesaian: Penyelesaian:

M (10, 7) ialah (x1 , y1) dan N (4, 1) ialah (x2 , y2) Titik tengah ialah titik yang K (–3, 12) ialah (x1 , y1) dan L (x2 , y2)
membahagi dua sama
suatu tembereng. Titik tengah, P = 3+ x2 , 12 + y2
2 2
Titik tengah MN = x1+ x2 , y1+ y2 y
22 K(4, 5) 12 + y2
3+ x2 2
Ox (2, 9) = 2 ,
10 + 4 , 7 + 1
= 22 L 3+ x2 12 + y2
Jika asalan merupakan titik 2 2
14 , 8 tengah bagi garis lurus KL. = 2 , = 9 Menara KLCC setinggi 88
22 Dapatkah anda tentukan tingkat. Jarak yang paling
= koordinat L? 3 + x2 = 4 , 12 + y2 = 18 sesuai untuk membina
skybridge adalah pada
= (7, 4) x2 = 7 , y2 = 6 tingkat ke- 42 dan 43.
Mengapa?
Maka, titik tengah MN ialah (7, 4). Maka, koordinat L ialah (7, 6).

JOM CUBA 7.2 5. Rujuk rajah di bawah. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ dan B ialah titik tengah bagi garis
lurus RQ. Tentukan koordinat P dan R.
1. Dalam setiap rajah yang berikut, tentukan titik tengah bagi garis lurus PQ.
y
(a) (b) B 2.5 mC 2.5 m Q P
P P
ABC QD A

2m 5m 3A
5m

2. Berdasarkan rajah di bawah, nyatakan koordinat titik tengah bagi garis lurus O Qx
4
(a) AB
(b) CD y B –2 B
(c) AD 8A
7 R

6

5

4 6. Titik tengah bagi segi empat tepat dalam rajah di bawah adalah di asalan. Tentukan

3 (a) nilai a dan b.
(b) jarak bagi garis lurus BC.
2D C y B
1 A (–3, a)

O 123 4 56 x (c) koordinat B.

BAB 7
BAB 7
Ox

3. Tentukan koordinat titik tengah bagi garis lurus y
(a) PQ
(b) RS W8 D C (b, – 4)
(c) TU 7
(d) WV P R
6 Q
4. Tentukan titik tengah bagi pasangan titik berikut. 5 7. Titik asalan ialah titik tengah bagi tinggi segi empat selari. Hitung
(a) P (–1, 7) dan Q (–1, 1).
(b) R (3, –6 ) dan S (3, 2). 4 (a) nilai m dan n.
(c) A (3, 1) dan B (5, 1).
(d) C (5, 0) dan D (1, 0). 3 T S (b) titik tengah bagi garis lurus PQ.
2
(c) titik tengah bagi garis lurus SR.
1
y
O 1234 56 x
P (– 4, n) Q

VU

Ox
S R (m, – 6)

8. Diberi garis lurus AB = BD dengan D (–1, 3) dan B (1, 1). Hitung koordinat bagi titik A. JOM CUBA 7.3

y

9. Garisan yang menyambungkan titik (–8, 3) dan (s, 3) mempunyai titik tengah (0, u). Hitung 1. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi tiga sama kaki dengan
nilai s dan u.
tinggi segi tiga ialah 4 unit. Hitung A
(a) koordinat C.

10. Garis AB selari dengan paksi-x dengan titik A (3, a) dan titik tengah bagi garis lurus AB ialah (5, 1). (b) koordinat A. C B (2, 1)
Hitung (c) koordinat titik tengah bagi garis lurus AB. O x
(a) nilai a. (d) jarak AC.
(b) koordinat B.
2. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi empat tepat. y
7.3 Sistem Koordinat Cartes Jarak KL ialah 8 unit dan jarak KN ialah 12 unit. Hitung K L (2, 10)

7.3.1 Menyelesaikan masalah koordinat (a) jarak LN. T

Menyelesaikan masalah (b) koordinat titik tengah bagi garis lurus NM. O
yang melibatkan sistem (c) koordinat T. NM
koordinat Cartes.
y x

CONTOH 14

Rajah menunjukkan sebuah segi empat selari. A B (11, 6) 3. Jika garis PQ selari dengan paksi-y dan mempunyai titik tengah, M(4, 0) dengan jarak bagi garis

Diberi jarak di antara titik A dengan B ialah 5 lurus MP ialah 3 unit, hitung
unit. Hitung
(a) koordinat P. (b) koordinat Q. (c) jarak PQ.
BAB 7
BAB 7
(a) koordinat A. 4. Jarak AB = KL, iaitu 8 unit dan masing-masing selari dengan paksi-x. Jika titik tengah bagi garis
lurus AB ialah (0, 3) dan jarak titik tengah bagi garis lurus AB ke titik tengah bagi garis lurus KL
(b) titik tengah garis lurus AC. 2D C ialah 2 unit ke bawah, hitung
Penyelesaian: (a) koordinat K dan L.
(a) O1 x (b) koordinat titik tengah bagi garis lurus KL.
(b) Memahami masalah
Memahami masalah
Tentukan titik A apabila AB selari Garis lurus AC selari dengan paksi-y. Titik 5. Diberi P (4, 0) dan Q berada di paksi-y dengan 6 unit ke atas dari paksi-x, hitung
dengan DC. A dan titik C mempunyai koordinat-x yang (a) titik tengah bagi garis lurus PQ.
sama, iaitu 6. (b) jarak di antara titik P dengan titik tengah bagi garis lurus PQ.
Merancang strategi
Garis lurus AB selari dengan paksi-x. Merancang strategi x1 + x2 , y1 + y2 MENJANA KECEMERLANGAN
Koordinat-y bagi titik A ialah 6. Rumus titik tengah = 2 2

Melaksanakan strategi Melaksanakan strategi 1. Antara titik yang berikut, yang manakah mewakili y
Jarak AB = 5 unit. (a) (–3, 2)
Koordinat-x (b) (0, 5) 8B D
(c) (4, –2) E
=6 A (6 ,, 6) C (6 ,, 2) (d) (6, 8) 7 C
x1 y1 x2 y2 6
Membuat kesimpulan 5A
Maka, koordinat A ialah (6, 6). 6+6 , 6+2
22 = (6, 4) 4

3 I F
K2
Membuat kesimpulan
Maka, titik tengah garis lurus AC ialah (6, 4). 1

O 123456 x

J HG

2. Jika titik K berada pada paksi-x dan 4 unit ke kiri pada paksi-y. Tentukan koordinat L yang REFLEKSI DIRI
berada 5 unit ke atas dari titik K.
Pada akhir bab ini, saya dapat:
3. P Q dan R
Hitung jarak bagi kedudukan baharu PQ dan RQ. 1. Menerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

y P 2. Menerbitkan rumus jarak di antara dua titik pada satah Cartes.
4
R2 3. Menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.
4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem
O2 5x
koordinat Cartes.
Q 5. Menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.

4. ABCD ialah sebuah segi empat sama sisi dengan A berada di (0, 0) dan B (–5, 0). Hitung 6. Menerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.
perimeter bagi segi empat itu.
7. Menentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.
5. Jika KLM merupakan sebuah segi tiga bersudut tegak dengan K (1, 0) dan L (5, 0) merupakan 8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat
tapak dan ML ialah tinggi bagi segi tiga tersebut. Jarak M ke L ialah 5 unit, hitung luas segi
tiga tersebut. Cartes.
9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes.
6. Titik tengah bagi pepenjuru sebuah segi empat sama berjarak 2 unit daripada bucu segi empat
itu. Hitung luas segi empat sama itu. Hasilkan pelan kedudukan kelas anda di atas kertas grid dengan skala 1 cm kepada 2 meter
pada paksi mengufuk dan paksi mencancang. Jika perlu, anda boleh mengubah skala mengikut
kesesuaian. Anda boleh menentukan kedudukan koordinat tempat rakan anda masing-masing.
Tampal pelan ini di hadapan kelas anda sebagai rujukan.
BAB 7 Koordinat

paksi mencancangPaksi xPaksi yAsalanSatah Cartes
Paksi yang mengufuk Paksi yang mencancang Titik persilangan paksi Suatu satah Cartes
BAB 7dan berserenjangdan berserenjangmengufuk dan paksiterdiri daripada
dengan paksi-y dalam dengan paksi-x dalam mencancang. Koordinat satu garis nombor
sistem koordinat Cartes. sistem koordinat Cartes. asalan ialah (0, 0). mengufuk (horizontal)
dan satu garis nombor
Jarak di antara dua titik y mencancang (vertikal)
Ukuran jauh atau ruang di yang bersilang pada
antara dua titik. sudut tegak.

Paksi sepunya (x2 x1)2 + (y2 y1)2 Ox Titik Tengah
(y2 y1) dan (x2 x1) paksi mengufuk Titik yang membahagi dua
asalan
sama suatu tembereng.

x1 + x2 , y1 + y2
2 2