modul matematika keuangan

Matematika
Keuangan

First Edition

ii

Matematika
Keuangan

First Edition

Wahyuni Ekasasmita
Parepare, Indonesia

Department Mathematics
Institut Teknologi B.J. Habibie

Parepare, Indonesia

This book was typeset using LATEX software.

©Copyright 2022 Wahyuni Ekasasmita

DAFTAR ISI

1 Bunga Sederhana 1
1.1 Bunga Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Manipulasi Rumus Bunga Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Menghitung P, jika diketahui SI, R, dan T . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Menghitung R, jika diketahui SI, P, dan T . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Menghitung T, jika diketahui SI, R, dan P . . . . . . . . . . . 3
1.3 Menghitung Total Uang dan Menghitung P jika S, R, & T Diketahui . 4
1.4 Pembayaran Angsuran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Diskon 9
2.1 Diskon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Manipulasi Nilai S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Menghitung Tingkat Diskon (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Menghitung Perriode (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Hubungan antara Diskon dengan Bunga Sederhana . . . . . . . . . . . 14
2.3 Wesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Wesel tanpa Bunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Wesel dengan Bunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Diskon Tunai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Bunga Majemuk 19
3.1 Bunga Majemuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Manipulasi Rumus Bunga Majemuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Menghitung P , jika diketahui S, i, dan n . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Menghitung n, jika diketahui S, P, dan i . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Menghitung tingkat bunga i, jika diketahui S, P, dan n . . . . . 22
3.3 Bunga Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Anuita Biasa 25
4.1 Anuitas Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Nilai Sekarang pada Anuitas Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Manipulasi P , jika diketahui P V, i, dan n . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Menghitung n, jika diketahui P V, P, dan i . . . . . . . . . . . . 28

v

vi DAFTAR ISI

4.3.3 Menghitung tingkat bunga i, jika P V, P , dan n diketahui . . . 29
4.4 Nilai yang Akan Datang pada Anuitas Biasa . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
31
4.5.1 Menghitung P , jika diketahui F V, i, dan n . . . . . . . . . . . . 32
4.5.2 Menghitung P , jika diketahui F V, i, dan n . . . . . . . . . . . . 33
4.5.3 Menghitung tingkat bunga n, jika F V, P , dan i diketahui . . .

5 Anuitas dimuka dan ditunda 35
5.1 Anuitas Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Nilai Sekarang pada Anuitas di muka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1 Menghitung P , jika diketahui P V,i, dan n . . . . . . . . . . . . 37
5.3.2 Menghitung n, jika diketahui P V, P , dan i . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Nilai yang akan datang pada Anuitas di Muka . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Manipulasi Rumus Nilai yang Akan Datang . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5.1 MenghitungP , jika diketahui F V, i, dan n . . . . . . . . . . . . 40
5.5.2 Menghitung n, jika diketahui FV, P, dan i . . . . . . . . . . . . 40
5.6 Anuitas ditunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Manipulasi Nilai Sekarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.7.1 Menghitung P , jika diketahui P V, i, k, dan n . . . . . . . . . . 42
5.8 Nilai yang akan datang pada Anuitas ditunda . . . . . . . . . . . . . . 43

DAFTAR PUSTAKA 45

BAB 1

Bunga Sederhana

Orang yang memiliki uang lebih biasanya akan meminjamkan atau menyimpan uang
mereka pada lembaga keuangan, baik bank ataupun nonbank yang menberikan tingkat
bunga tertentu. Selain itu dapat juga diinvestasikan dalam surat utang/obligasi dan
saham

1.1 Bunga Sederhana

Seperti telah dijelaskan di bagian sebelumnya, orang yang membutuhkan uang dapat
meminjam sejumlah uang dari orang lain atapun lembaga keuangan, seperti bank.
Sejumlah uang yang dipinjam tersebut harus dikembalikan dalam jangka waktu ter-
tentu. Bagi kreditor, pihak yang kekurangan dana, nilai uang yang mereka pinjamkan
nilainya akan bertambah sesuai dengan jangka waktu, karena uang tersebut meng-
hasilkan bunga. Jika bunga dihitung berdasarkan jumlah awal uang yang dipinjam,
kita menyebutnya dengan bunga sederhana (simple interest). Sejumlah uang yang
dipinjam disebut pokok(principle). Bunga bisanya dihitung dalam persentasi tertentu
dari pokok. Persentasi ini disebut dengan tingkat bunga (interest rate)untuk satu
tahun. Sehingga dapat dituliskan dengan X% p.a. Tingkat bunga merepresentasikan
nilai waktu dari uang. Uang yang dipinjamkan pada hari ini desebut present value,
sedangkan nilai uang yang sudah termasuk bunga setelah beberapa periode disebut
dengan future value.

INGAT:
Tingkat bunga sederhana adalah bunga untuk satu tahun dibagidengan pokok pinjaman

Example 1.1.1

pokok pinjaman =Rp250.000
bunga dalam 1 tahun
=Rp20.000
maka tingkat bunganya = 20.000 × 100

250.000
=8% p.a

1

2 BAB 1. BUNGA SEDERHANA

Jika bunga sederhana (SI) hanya diperhitungkan dalam jangka waktu tertentu dalam
satu tahun, kita tinggal membagi periodenya dengan satu tahun.

Example 1.1.2

SI dari pokok sebesarRp100.000 dengan tingkat bunga 8% p.a =Rp8.000
maka SI untuk 3 bulan
3 × 8.000
=
12

=Rp 2.000

Formula dasar untuk perhitungan bunga sederhana adalah :
secara sistematis, dinyatakan dalam persamaan berikut

SI = P RT

dengan :

SI = simple interest (bunga sederhana)
P = principal (pokok)
R = interest rate p.a (tingkat bunga pertahun)
T = time(waktu dalam tahun)

Nilai-nilai tingkat bunga dan waktu saling berhubungan antara yang satu dengan
lainnya. Jika tingkat bunga merupakan tingkat bunga tahunan, maka waktunya harus
digambarkan dalam tahunan. Demikian juga jika tingkatan waktu.

Jika T dinyatakan dalam hari, ada 2 metode untuk mencari T , yaitu

1. Bunga tepat (Exact Interest), jumlah hari dalam 1 tahun ada 365 hari, maka ,
jumlah hari

T=
365

2. Bunga biasa (Ordinary Interest), jumlah hari dalam 1 tahun ada 360 hari, maka,
jumlah hari

T=
360

1.2 Manipulasi Rumus Bunga Sederhana

1.2.1 Menghitung P, jika diketahui SI, R, dan T

Jika, tingkat bunga, bunga yang dihasilkan, dan periode waktu diketahui, maka den-

gan menggunakan rumus P = SI , kita dapat menghitung berapa pokok uang dipin-
RT

jamkan.

1.2. MANIPULASI RUMUS BUNGA SEDERHANA 3

Example 1.2.1 Hitunglah pokok pinjaman, jika dalam 6 bulan dapat menghasilkan
bunga sebesar Rp24.000 dengan tingkat bunga 8% p.a

Diketahui :
SI = Rp24.000
R = 8%
6
T = = 0, 5
12

Solusi :
SI

P=
RT
24.000

P = 0, 08 × 0, 5 = Rp 600.000

Maka pokok pinjaman adalah Rp 600.000

1.2.2 Menghitung R, jika diketahui SI, P, dan T

Jika, pokok pinjaman, bunga yang dihasilkan dan periode waktu diketahui, maka

dengan menggunakan rumus R = SI , kita dapat menghitung tingkat bunga yang
PT

dikenakan terhadap pinjaman tersebut.

Example 1.2.2 Hitunglah tingkat bunga yang dikenakan, jika pokok pinjaman sebesar
Rp600.000 dalam 6 bulan dapat menghasilkan bunga sebesar Rp 24.000

Diketahui :
SI = Rp24.000
P = Rp 600.000
6
T = = 0, 5
12

Solusi :
SI

R=
PT
24.000

R = 600.000 × 0, 5 = 0, 08

Maka tingkat bunga dari pinjaman tersebut adalah 8%

1.2.3 Menghitung T, jika diketahui SI, R, dan P

Jika tingkat bunga, bunga yang dihasilkan, dan pokok pinjaman diketahui, maka den-

gan menggunakan rumus T = SI , kita dapat menghitung periode pinjaman tersebut.
PR

4 BAB 1. BUNGA SEDERHANA

Example 1.2.3 Hitunglah jangka waktu pinjaman, jika pokok pinjaman sebesar Rp
600.000 dengan tingkat bunga 8% dapat menghasilkan bunga sebesar Rp 24.000

Diketahui :
SI = Rp24.000
P = Rp 600.000
R = 8%

Solusi :
SI

T=
PR
24.000

T = 600.000 × 0, 08 = 0, 5

Maka periode dari pinjaman tersebut adalah 0, 5 tahun / 6 bulan

1.3 Menghitung Total Uang dan Menghitung P jika
S, R, & T Diketahui

Jumlah pokok ditambah dengan bunga yang diperoleh dari pokok disebut dengan
nilai yang akan datang (future value). Dinotasikan dengan S. Sehingga, kita dapat
menuliskan persamaan sebagai berikut: S = P + SI Seperti yang sudah dibahas
sebelumnya, bahwa

SI = P RT

. Sehingga, kita dapat mensubstitusikan nilai SI ke persamaan di atas, maka per-
samaannya menjadi:

S = P + P RT

S = P (1 + RT )

Dengan menggunakan rumus tersebut kita dapat menghitung future value (S) dari
present value (P) yang memberikan bunga sederhana. Sehingga, dengan merubah
dependent variable menjadi P, kita dapat mencari nilai pokok.

S
P=

1 + RT

Example 1.3.1 Berapakah total yang harus dibayarkan dari pinjaman senilai Rp

1.4. PEMBAYARAN ANGSURAN 5

800.000 setelah 90 hari dengan tingkat bunga biasa 8% p.a?

Diketahui :
P = Rp800.000
90
T = = 0, 25
360
R = 8%

Solusi :
S = P (1 + RT )
S = Rp 800.000(1 + 8% × 0, 25)
S = Rp 816.000

Maka periode dari pinjaman tersebut adalah 0, 5 tahun /6 bulan

Example 1.3.2 Berapakah besarnya pokok, jika setelah diinvestasikan selama 3,5
tahun akan menjadi Rp 1.500.000 dengan tingkat bunga sederhana 12% p.a?

Diketahui :
S = Rp1.500.000
T = 3, 5
R = 12%

Solusi :
S

P=
1 + RT
1.500.0000

T = 1 + 0, 12 × 3, 5 = Rp 1.056.338

Jadi pokok yang diinvestasikan adalah Rp 1.056.338, merupakan pembulatan dari
Rp 1.056.338, 028

1.4 Pembayaran Angsuran

Untuk membantu pelanggan yang tidak dapat membayar tagihan secara penuh pada
saat pembelian, biasanya penjual bereedia menerima sejumlah uang sebagai uang
muka, dan sisanya diangsur dengan jumlah angsuran dan tingkat bunga yang disepa-
kati.

Example 1.4.1 Seorang pedagang menjual televisi seharga Rp 1.000.000 dengan ke-
sepakatan, pembeli membayar Rp 200.000 sebagai uang muka dan sisanya diangsur
sebanyak 5 kali sama besar setiap bulan. atas transaksi ini, pembeli dikenakan bunga
sebesar 10% p.a.

6 BAB 1. BUNGA SEDERHANA

Hitunglah jumlah pembayaran angsuran yang diterima oleh pedagang!

Diketahui :
P = Rp800.000
5
T = = 0, 4167
12
R = 10%

Solusi :
S = P (1 + RT )
S = Rp 800.000(1 + 0, 1 × 0, 4167)
S = Rp 833.336

Maka besarnya angsuran setiap bulan adalah

Rp 833.336
=

5
S = Rp 166.667

Berikut ini merupakan tabel yang menggambarkan pembayaran cicilan dalam 5 bu-
lan: Tabel 1.1 merupakan tabel sederhana yang menggambarkan bunga flat, karena

Tabel 1.1: Pembayaran cicilan dalam 5 bulan

cicilan Pokok Pembayaran Bunga Pokok Pokok
ke Awal yang yang Akhir
Cicilan dibayar
1 800.000 dibayarkan 640.000
2 640.000 480.000
3 480.000 166.667 6.667 160.000 320.000
4 320.000 166.667 6.667 160.000 160.000
5 160.000 166.667 6.667 160.000 0
166.667 6.667 160.000
166.667 6.667 160.000

bunga dihitung dengan tingkat bunga 10% (yang dibagi 12 untuk mendapatkan bunga
perbulan) dari pokok awal, yaitu Rp 800.000. Sebenarnya pembeli tersebut memba-
yar bunga lebih dari 10% p.a. Hal ini dikarenakan pada setiap pembayaran angsuran,
bunga yang dibayarkan selalu sama, padahal pokok hutangnya semakin kecil, sehingga
tingkat bunganya semakin besar pada setiap angsuran, seperti dijelaskan oleh tabel
berikut:

1.4. PEMBAYARAN ANGSURAN 7

Tabel 1.2: tingkat bunga dalam 5 bulan

cicilan Pokok Bunga Perhitungan Tingkat
ke Hutang yang Bunga
diba- % p.a
yarkan

1 800.000 6.667 6.667 × 12 × 100 10,00
2 640.000 6.667 800.000 12,51
3 480.000 6.667 16,68
4 320.000 6.667 6.667 × 12 × 100 25,01
5 160.000 6.667 640.000 50,03

6.667 × 12 × 100
480.000

6.667 × 12 × 100
320.000

6.667 × 12 × 100
160.000

Sehingga tingkat bunga rata-rata adalah 114,43 = 22, 85%
5

Dapat kita simpulkan bahwa bunga yang sebenarnya dibayarkan bukanlah 10%p.a

flat interest, melainkan 22, 85%, yang kemudian disebut sebagai effective interest rate.

Tingkat bunga efektif mendekati dua kali lipat dari tingkat bunga flat, terutama jika

jumlah angsuran lebih dari 12. Cara cepat dalam menghitung bunga efektif adalah

dengan menggunakan rumus berikut ini: Sehingga tingkat bunga rata-rata adalah

2 × 5 × 10
E = = 16, 67%

5+1

Example 1.4.2 Tuan A membeli sebuah sepeda seharga Rp 1.500.000 dengan cara
diangsur dalam 15 bulan, dan telah setuju untuk membayar uang muka sebesar Rp
300.000 serta dikenakan bunga sebesar 8% p.a. Hitunglah:

1. Total bunga sederhana

2. Tingkat bunga efektif

Solusi :

1. Bunga yang dihasilkan dari pokok sebesar Rp 1.200.000 dengan tingkat bunga
8%p.a yang diangsur dalam 15 bulan adalah:

S = P RT
S = Rp 1.200.000 × 0, 08 × 15

12

8 BAB 1. BUNGA SEDERHANA

2. Tingkat bunga efektif

2×N ×R
E=

N +1
2 × 15 × 8
=

15 + 1

= 15%

Tingkat bunga efektif dari angsuran tersebut adalah 15% (mendekati dua kali bunga
flat)

CHALLENGE QUESTION :
Seorang investor menginvestasikan sejumlah uang selama 1 tahun dengan menghara-
pkan keuntungan dari bunga sederhana. Jika 3 bulan pertama investasi tersebut
dapat memberikan tingkat bunga 15%p.a dan 9 bulan berikutnya memberikan tingkat
bunga 13%p.a.Berapakah total uang yang diinvestasikan oleh investor tersebut, jika
pada akhir tahun total bunga yang dia peroleh sebesar Rp. 8.640.000? (Jawaban: Rp
64.000.000)

BAB 2

Diskon

2.1 Diskon

Saat melakukan pinjaman ke bank, bunga dihitung berdasarkan nilai jatuh tempo dari
pinjaman tersebut. Bunga pinjaman langsung mengurangi nilai pinjaman atau bunga
dibayar di muka, yang disebut dengan diskon bank (bank discount), yang selanjutnya
disebut diskon. Tingkat bunga yang digunakan dalam perhitungan diskon dinamakan
tingkat diskon bank (bank discount rate), yang selanjutnya disebut tingkat diskon.
Jangka waktu yang digunakan dalam perhitungan diskon disebut periode diskon,yaitu
jangka waktu sejak tanggal pengajuan pinjaman hingga tanggal jatuh tempo. Diskon
digunakan untuk jangka waktu pendek, sehingga, pada umumnya periode diskon ku-
rang dari satu tahun.
Untuk mempermudah pemahaman perbedaan antara bunga dan diskon, perhatikan
contoh berikut:

1. Seorang investor menyetorkan uang sejumlah Rp 100.000.000 untuk memperoleh
uang Rp 102.000.000 pada saat jatuh tempo (memperoleh tingkat bunga2% yang
dihitung dari nilai awal)

2. Seorang investor cukup menyetorkan uang sejumlah Rp 98.000.000 untuk mem-
peroleh uang Rp 100.000.000 pada saat jatuh tempo (memperoleh tingkat diskon
2% yang dihitung dari nilai jatuh tempo

9

10 BAB 2. DISKON

Gambar 2.1: Ilustrasi Bunga dan Diskon

Perhitungan diskon dinyatakan sebagai berikut

Sedangkan D = SdT
Dengan:
P = S − D = S − SdT = S(1 − dT )

P = principal (pokok)
S = nilaijatuhtempo (pokok)
D = diskon
d = tingkatdiskon
T = periodediskon

Example 2.1.1 Pak Amir bersedia untuk membayar pinjaman bank senilai Rp 70.000.000
dalam 60 hari, jika tingkat diskon yang dikenakan bank atas pinjaman tersebut adalah
18% berapakah uang yang diterima Pak Amir serta besar diskon dari pinjaman terse-

2.1. DISKON 11

but?

Diketahui :
S = Rp70.000.000
60 1
T= =
360 6
d = 18%

Solusi :
S = P (1 + RT )
D = SdT
= Rp 70.000.000 × 0, 18 × 1 = Rp 2.100.000
6
P =S−D
= Rp70.000.000 − Rp 2.100.000 = Rp 67.900.000

Example 2.1.2 Ana meminjam uang sejumlah Rp 30.000.000 dengan jangka waktu
3 bulan. Atas pinjaman ini, Ana dikenakan dtingkat diskon sebesar 15%. Berapakan
uang yang diterima Ana?

Diketahui :

S = Rp30.000.000

31
T= =

12 4
d = 15%

Solusi :

S = P (1 + RT )

D = SdT

= S(1 − dT ) = Rp30.000.000(1 − 0, 15 × 1 = Rp 28.875.000
)
4

Latihan :

1. Hitunglah besarnya diskon yang akan dipotong oleh pemberi pinjaman untuk
setiap kasus di bawah ini. Sertakan perhitungan Anda!

2. Dengan kasus yang sama seperti contoh 1, hitunglah besarnya uang yang di-
terima oleh peminjam untuk setiap kasus di bawah ini. Sertakan perhitungan
Anda!

12 BAB 2. DISKON

S (Rp) Tingkat Periode Perhitungan D
Diskon % p.a

5.000.000 5 6 bulan 5.000.000 × 5% × 0, 5 125.000
7.250.000 12 1 bulan
10.000.000 8,5 90 Hari
6.200.000 11 7 Minggu
11.100.000 10 60 Hari

2.1.1 Manipulasi Nilai S

Dengan menggunakan rumus D = SdT kita dapat menghitung nilai yang dari pinja-
man pada saat jatuh tempo, dengan cara:

D
S=

dT

Jika yang diketahui adalah P, d, dan T , maka rumus yang digunakan untuk mencari
nilai jatuh tempo adalah:

P
S = (1 − dT )

Example 2.1.3 Berapakah nilai jatuh tempo sebuah pinjaman, jika bank mengenakan
potongan sejumlah Rp 2.000.000 untuk pinjaman yang diajukan nasabah selama 3
bulan dengan tingkat diskon 8%?

Diketahui :
D = Rp2.000.000
3
T = = 0, 25
12
d = 18%

Solusi :
D

S=
dT
2.000.000

= 0, 08 × 0, 25 = Rp100.000.000

2.1. DISKON 13

S (Rp) Tingkat Periode Perhitungan D
Diskon % p.a

5.000.000 5 6 bulan 5.000.000 × (1 − 5% × 4.875.000
0, 5)
7.250.000 12
10.000.000 8,5 1 bulan
6.200.000 11
11.100.000 10 90 Hari

7 Minggu

60 Hari

2.1.2 Menghitung Tingkat Diskon (d)

Dengan menggunakan rumus D = SdT kita dapat menghitung tingkat diskon, dengan

cara: D
d=

ST

Example 2.1.4 Seorang nasabah melakukan pinjaman uang ke bank sejumlah Rp
55.000.000, yang akan dilunasi dalam 30 hari. Jika ia hanya menerima uang sebesar
Rp 54.450.000, berapakah tingkat diskon yang diberikan bank atas pinjaman tersebut?

Diketahui :

S = Rp55.000.000

P = Rp54.450.000

30
T=

360
Solusi :

D
d=

ST

= 550.000 = Rp12%

55.000.000 × 1
12

2.1.3 Menghitung Perriode (T)

Dengan menggunakan rumus D = SdT kita dapat menghitung nilai yang dari pinja-
man pada saat jatuh tempo, dengan cara:

D
T=

Sd

14 BAB 2. DISKON

Example 2.1.5 Seorang nasabah melakukan pinjaman uang ke bank sejumlah Rp
80.000.000 dengan tingkat diskon 15%, berapa lama ia harus melunasi utangnya, jika
ia hanya menerima Rp 77.000.000?

Diketahui :
S = Rp80.000.000
P = Rp77.000.000
d = 15%
D = Rp 80.000.000 − Rp 77.000.000
= Rp3.000.000

Solusi :
D 3.000.000

T = Sd = 80.000.000 × 15% = 0, 25 = 3 bulan

2.2 Hubungan antara Diskon dengan Bunga Seder-
hana

Saat tingkat bunga dan tingkat diskon yang dikenakan sama besar, perhitungan nilai
diskon akan lebih besar daripada nilai bunga, sehingga; Saat, R = d, D < SI

Example 2.2.1 Sebuah sebuah bank menawarkan pinjaman Rp 1.000.000 yang jatuh
tempo dalam 60 hari. Jika bank memberikan 2 alternatif, yaitu mengenakan tingkat
bunga 6% atau mengenakan tingkat diskon 6%, sebagai peminjam, alternatif mana
yang lebih menguntungkan?

1. Dengan tingkat diskon 6%

D = SdT
= Rp 1.000.000 × 6% × 60 = Rp10.000
360

P =S−D
= Rp 1.000.000 − Rp 10.000 = Rp 990.000

2. Dengan tingkat bunga 6%

S
P=

1 + RT

= Rp 1.000.000 = Rp990.099, 1

1 + 0, 06 × 60
360

SI = S − P

= Rp 1.000.000 − Rp 990.099, 1 = Rp 9.900, 9

2.3. WESEL 15

Jadi, sebagai nasabah, jika diberikan pilihan tingkat bunga dan tingkat diskon yang
sama besar, akan lebih menguntungkan jika kita memilih bunga, karena memberikan
nilai P yang lebih besar. Sebaliknya, bagi pemberi pinjaman akan lebih menguntungkan
menggunakan metode diskon dalam memberikan pinjaman

Saat diskon dan bunga sederhana memiliki jumlah yang sama besar, tingkat bunga
lebih besar daripada tingkat diskon, sehingga; Saat, D = SI, R > d

2.3 Wesel

Wesel merupakan perjanjian tertulis (promissory notes) dalam rangka mendapatkan
uang. Ada dua jenis wesel, yaitu wesel dengan bunga (interest-bearing notes) dan
wesel tanpa bunga (non-interest-bearing notes). Sebuah wesel dapat diperjualbelikan
lebih dari satu kali sebelum tanggal jatuh tempo.

2.3.1 Wesel tanpa Bunga

Example 2.3.1 Sebuah wesel tanpa bunga yang berjangka 3 bulan dikeluarkan tanggal
2 Maret, didiskontokan kepada bank pada tanggal 3 April, dengan tingkat diskon 12%.
Jika bank memberikan Rp 14.700.000, berapakah face value dari wesel tersebut? (pada
wesel tanpa bunga face value = nilai saat jatuh tempo)

Diketahui :
P = Rp 14.700.000

d = 12T

periodediskondihitungsej aktanggal3Aprilsampai2J uni(tanggalj atuhtempowese

= Rp 14.700.000 = Rp15.000.000

1 − 12% × 1
6

2.3.2 Wesel dengan Bunga

Untuk wesel dengan bunga (interest-bearing notes), nilai jatuh tempo tidak diketahui.
Sehingga saat mendiskontokan wesel dengan bunga (interest-bearing notes), kita harus
melakukan 2 tahap berikut

1. Menentukan nilai jatuh tempo
Tambahkan bunga pada wesel. Bunga dihitung berdasarkan rate dan jangka
waktu yang tertera pada wesel. (Gunakan S = P (1 + RT ))

2. Menentukan nilai P

Hitunglah bunga yang dibayarkan di muka (diskon) berdasarkan discount rate

dan periode diskon, yaitu jangka waktu sejak wesel didiskontokan sampai tanggal
jatuh tempo wesel tersebut. (Gunakan P ′ = S − SdT )

16 BAB 2. DISKON

Example 2.3.2 Riki memiliki sebuah wesel senilai Rp 500.000.000 dengan tingkat
bunga 12% yang diterbitkan tanggal 15 November 2022 dan akan jatuh tempo dalam
90 hari setelah tanggal pernerbitan. Pada tanggal 30 November2022, Riki mendiskon-
tokan wesel tersebut ke bank yang memberikan tingkat diskon 14%. Berapakah jumlah
uang yang akan diterima oleh Riki dari bank tersebut?

Diketahui :
P = Rp 500.000.000
R = 12%
d = 14%
90 1
T = = (jangka waktu wesel sampai jatuh tempo)
360 4
75 1
T = = jangka waktu sejak pendiskontoan sampai wesel jatuh tempo)
360 4

1. Hitunglah nilai jatuh tempo dari wesel tersebut

S = P (1 + RT )
= Rp500.000.000(1 + 12% × 1 ) = Rp515.000.000
4

2. Menghitung nilai yang akan diterima pada saat pendiskontoan

P ′ = S − SdT

= Rp515.000.000 − (Rp515.000.000 × 14% × 75
)
360

= Rp515.000.000 − Rp 15.020.833, 33 = Rp 499.979.166, 7

Untuk menambah pemahaman terhadap perhitungan di atas perhatikan time line
berikut ini

2.4. DISKON TUNAI 17

2.4 Diskon Tunai

Dalam kehidupan sehari-hari, sering menemukan termin kredit yang memberikan po-
tongan dengan syarat tertentu. Misalnya 2/10, n/30 yang artinya pembeli akan men-
dapatkan potongan/diskon sebesar 2% jika melunasi kreditnya dalam waktu 10 hari.
Inilah yang disebut sebagai diskon tunai. Dengan mengetahui termin kredit tersebut,
kita dapat mencari tahu tingkat bunga yang ekuivalen dengan diskon/potongan yang
diberikan

Example 2.4.1 Pak Amin membeli sejumlah persediaan untuk tokonya dari seorang

supplier dengna term 3 , n seharga Rp 50.000.000. berapakah tingkat bunga yang
20 60

efektif yang ekuivalen dengan tingkat diskon yang ditawarkan oleh supplier tersebut?

Diketahui :
P = Rp 50.000.000 − Rp 1.500.000
= 48.500.000
SI = Rp 1.500.000
40
T=
360

Solusi :
1. Cara 1

SI
R=

PT

= Rp1.500.000 = 0, 2783505 ≈ 27, 83%

Rp48.500.000 × 40
360

2. Cara 2

R = 360 × 0, 03 = 0, 2783505 ≈ 27, 83%
40 0, 97

Latihan Soal

1. Ivan bersedia membayar pinjamannya sebesar Rp 6.300.000 dalam 30 hari. Jika
bank mengenakan bunga yang dibayar di muka sebesar 12%. Berapakah be-
sarnya diskon yang diterima oleh bank, serta berapakah uang pinjaman yang
diterima oleh Ivan?

2. Berapakah nilai jatuh tempo dari pinjaman yang memberikan diskon sebesar Rp
50.000 dengan jangka waktu 120 hari, dengan tingkat diskon 5%?

3. Tingkat diskon untuk pinjaman berjangka 60 hari adalah 12%. Berapakah
tingkat bunga yang ekuivalen dengan tingkat diskon tersebut?

18 BAB 2. DISKON

4. Ina memperoleh uang Rp 7.125.000 atas pinjaman sebesar Rp 7.500.000, jika
tingkat diskon yang dikenakan bank adalah 15%. Berapa bulankan Ina harus
melunasi pinjamannya?

5. Sebuah wesel tanpa bunga didiskontokan ke bank tepat 45 hari sebelum wesel
tersebut jatuh tempo dengan tingkat diskon 4%. Jika bank menghargai wesel
tersebut Rp 59.700.000, berapakah face value wesel tersebut?

6. Sebuah wesel dengan bunga 4jatug tempo dengan tingkat diskon 5%, jika diskon
yang diperoleh bank adalah Rp 820.000, berapakah face value dan jumlah uang
yang diterima saat pendiskontoan wesel tersebut?

7. Sebuah toko menerima tagihan sebesar Rp 100.000.000 dengan termin 2/10,
n/30. Pemilik toko berencana untuk mengajukan pinjaman agar dapat melunasi
tagihan tersebut dalam waktu kurang dari 10 hari agar mendapatkan diskon
tunai. Berapakah tingkat bunga tertinggi yang masih menguntungkan pemilik
toko dalam rangka memperoleh diskon tunai tersebut serta berapakah jumlah
pinjaman yang harus ia jukan?

8. Sebuah wesel senilai Rp 80.000.000 dengan tingkat bunga 5% diterbitkan tanggal
7 April 2012 akan jatuh tempo 60 hari setelah tanggal terbit. Pada tanggal
22 April 2012, wesel tersebut didiskontokan ke bank dengantingkat diskon 6%.
Berapakah jumlah yang harus dibayarkan oleh bank pada tanggal 22 April 2012?

9. Sebuah pinjaman menghasilkan Rp 2.000.0000 dalam 90 hari dengan rate 5%.
Berapakah nilai jatuh tempo dan jumlah uang yang diterima peminjam jika
(1) menggunakan metode diskon, (2) menggunakan metode bunga sederhana?
Metode manakah yang lebih menguntungkan bagi peminjam?

10. Alif meminjam uang sebesar Rp 8.000.000, tetapi harus mengembalikan Rp
8.500.000 dalam waktu 45 hari. Jika selisih senilai Rp 50.000 dianggap sebagai
bunga yang dibayar di muka, berapakah tingkat diskon yang dikenakan terhadap
pinjaman tersebut? Jika selisih senilai Rp 50.000 dianggap sebagai bunga yang
ditambahkan dari pokok pinjaman senilai Rp 800.000, berapakah tingkat bunga
sederhana pinjaman tersebut?

BAB 3

Bunga Majemuk

3.1 Bunga Majemuk

Pada bab sebelumnya, kita menggunakan P awal yang sama sebagai dasar perhitungan
bunga yang disebut dengan bunga sederhana. Pada bunga majemuk dasar pengenaan
bunga pada setiap periodenya selalu berubah-ubah. Karena, yang menjadi dasar un-
tuk menghitung bunga majemuk adalah jumlah pokok periode sebelumnya ditambah
dengan bunga yang didapat pada periode sekarang. Sehingga, dengan tingkat bunga
yang sama, besarnya bunga yang diperoleh akan semakin besar. Hal inilah yang men-
jadi daya tarik bunga majemuk bagi para investor.

Periode perhitungan bunga majemuk dapat dinyatakan dalam pertahun, persemester,
perbulan, atau perminggu. Sehingga, jika bunga dinyatakan dalam 4 bulan, maka
tingkat bunga pun harus dinyatakan dalam 4 bulanan, sehingga, tingkat bunga per-
tahun harus dibagi tiga. Perhatikanlah contoh di bawah ini untuk memahami konsep
bunga majemuk:

Example 3.1.1 Berapakah nilai akhir dan jumlah bunga dari uang sejumlah Rp 10.000.000
dalam 9 bulan, jika tingkat bunga yang dikenakan adalah 4% p.a yang dihitung 3 bu-
lanan, bandingkan jika bunga 4% merupakan bunga sederhana!

T ingkat bunga per periode 4%
Jumlah periode = = 1%

19 4
9
= =3
3

20 BAB 3. BUNGA MAJEMUK

P okok awal 10.000.000
+ / + bunga 2 100.000
P okok periode 2
+ / + bunga periode 2 10.100.000
P okok periode 3 101.000
+ / + bunga periode 3
N ilai akhir periode 3 10.201.000
Jumlah bunga 102.010

Jika menggunakan bunga sederhana, maka : 10.303.010
Jumlah bunga
=N ilai akhir − P okok
=10.303.010 − 10.000.000
=303.010

=10.000.000×4%× 9
12

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat bunga yang sama,
bunga mejemuk akan menghasilkan jumlah bunga yang lebih besar dibandingkan den-
gan penggunaan bunga sederhana. Dalam perrhitungan bunga majemuk, kita akan
mengenal istilah-istilah berikut:

S= nilai akhir (future value)
P= pokok (present value)
Jm = tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m kali per tahun
i= tingkat bunga per periode
n= jumlah periode

Secara sistematis, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan persamaan
berikut:

S = P (1 + i)n

Example 3.1.2 Dengan menggunakan rumus, hitunglah nilai yang akan datang dan
bunga majemuk yang dapat dihasilkan dari uang Rp 10.000.000 dalam 3 tahun dengan
J12 = 12% p.a!

Diketahui :
P = Rp10.000.000
12%
r = = 1%
12
n = 3 × 12 = 36

3.2. MANIPULASI RUMUS BUNGA MAJEMUK 21

Solusi :
S = P (1 + r)n
= Rp10.000.000(1 + 0, 01)36
= Rp14.307.687, 84

Bunga majemuk (CI) = S − P
= Rp14.307.687, 84 − Rp10.000.000
= Rp4.307.687, 84

3.2 Manipulasi Rumus Bunga Majemuk

3.2.1 Menghitung P , jika diketahui S, i, dan n

Jika, nilai yang akan datang, tingkat bunga dan periode diketahui, maka dengan sedikit
mengubah rumus awal bunga majemuk kita dapat menghitung berapa nilai sekarang
dari sejumlah uang tertentu, dengan cara:

P = S = S(1 + i)−n
(1 + i)n

Example 3.2.1 Berapakah uang yang harus diinvestasikan jika kita menginnginkan
uang sejumlah Rp 50.000.000 pada akhir tahun kedua, dengan menggunakan J2 =
10%?

Diketahui :
S = Rp50.000.000
10%
i = = 5%
2
n=2×2=4

Solusi :
P = S(1 + i)−n
= Rp50.000.000(1 + 0, 05)−4
= Rp41.135.123, 74

3.2.2 Menghitung n, jika diketahui S, P, dan i

Dengan rumus awal bunga majemuk kita dapat mengetahui berapa periode yang diper-

lukan untuk mendapatkan sejumlah uang tertentu di masa yang akan datang dengan

cara sebagai berikut:

n= log S
P

log(1 + i)

22 BAB 3. BUNGA MAJEMUK

Example 3.2.2 Berapakah waktu yang diperlukan agar uang Rp 7.500.000 hari ini
mmenjadi Rp 20.000.000 dengan tingkat bunga J12 = 12%?

Diketahui :

S = Rp20.000.000

12%
i = = 1%

12
P = Rp7.500.000

Solusi :

n= log S
P

log(1 + i)

= log Rp20.000.000
Rp7.500.000

log(1 + 0, 01)

= 98, 58 ≈ 99

3.2.3 Menghitung tingkat bunga i, jika diketahui S, P, dan n

Jika nilai sekarang, nilai yang akan datang, dan periode diketahui, kita dapat menen-
tukan tingkat bunga dengan cara:

i= n S −1
P

Example 3.2.3 Berapakah tingkat bunga yang diberikan jika seorang nasabah bisa
menghasilkan bunga sebesar Rp 2.200.000 dari tabungan Rp 10.000.000 dalam waktu
6 bulan, dan bunga dihitung perbulan

Diketahui :
S = Rp12.200.000
n=6
P = Rp10.000.000

Solusi :
i= n S −1
P
= 6 12.200.000 − 1
10.000.000
= 0, 03369
i = 3, 369%

3.3. BUNGA EFEKTIF 23

3.3 Bunga Efektif

Pada bahasan bunga sederhana, kita mengetahui ada dua jenis bunga, yaitu bunga
nominal dan bunga efektif. Bunga efektif adalah bunga yang sebenarnya dihasilkan,
yang selalu lebih besar dari tingkat bunga nominal. Pada bunga majemuk, bunga
efektif didapat dengan membagi bunga yagn didapatkan dengan nilai P.

Example 3.3.1 Berapakah tingkat bunga efektif yang dikenakan atas uang yang di-
investasikan selama 1 tahun, jika uang tersebut berjumlah Rp 20.000.000 dan mem-
berikan bunga J12 = 24%?

Diketahui :
P = Rp20.000.000
n = 12
24%
i = = 2%
12

Solusi :
S = P (1 + i)n
= Rp20.000.000(1 + 0, 02)12
= Rp25.364.835, 89
25.364.835, 89

Bunga Ef ektif =
20.000.000

= 26, 824%
i = 2, 235%

Jika nilai P dan S tidak diketahui, maka untuk menghitung tingkat bunga efektif

adalah sebagai berikut:

J1 = (1 + i)m − 1

Untuk contoh di atas, maka:

J1 = (1 + i)m − 1
= (1 + 0, 02)12 − 1
= 26, 824%

i = 2, 235%

CHALLENGE QUESTION : Sejumlah uang akan menjadi 3 kali lipat 10 tahun dengan
bunga yang dibayarkan setiap semester. Jika tingkat bunga naik 1%, berapa lama
waktu yang diperlukan agar uang tersebut menjadi 3 kali lipat kembali? (Jawaban:
9,2 tahun)

24 BAB 3. BUNGA MAJEMUK

BAB 4

Anuita Biasa

4.1 Anuitas Biasa

Anuitas merupakan konsep yang sangat penting dalam dunia keuangan. Penggunaan
konsep anuitas sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari, contohnya pembayaran
KPR, dan pembayaran bunga obligasi. Dari contoh tersebut, dapat disimpulkan ba-
hawa anuitas merupakan pembayaran dengan jumlah uang dan interval waktu yang
sama dalam jangka waktu/periode tertentu. Berdasarkan waktu pembayarannya, anu-
itas dibedakan menjadi tiga, yaitu anuitas biasa, anuitas di muka, dan anuitas ditunda.
Pada anuitas biasa, pembayaran dilakukan pada setiap akhir periode, sedangkan pada
anuitas di muka, pembayaran dilakukan pada setiap awal periode. Sementara untuk
anuitas ditunda, pembayarannya sama seperti anuitas biasa, yaitu pada setiap akhir
periode, namun pembayaran pertamnya ditunda beberapa lama sesuai dengan kesepa-
katan. Pada praktiknya, jika disebutkan anuitas, maka anuitas yang dimaksud adalah
anuitas biasa. Hanya anuitas biasa yang akan dibahas dalam bab ini. Dalam konsep
anuitas, dikenal istilah nilai sekarang (present value) yang dinotasikan dengan PV dan
nilai yang akan datang (future value) yang dinotasikan dengan FV.

4.2 Nilai Sekarang pada Anuitas Biasa

Perhitungan nilai sekarang dimaksudkan untuk mengetahui nilai saat ini dari sejum-
lah uang yang akan dibayarkan atau diterima dalam interval waktu tertentu selama
periode yang telah ditentukan. Untuk mencari nilai sekarang, kita dapat menggunkan
rumus bunga majemuk yang telah dipelajari pada bab sebelumnya.
Perhatikanlah contoh di bawah ini untuk memahami perhitungan nilai sekarang den-
gan menggunakan persamaan bunga majemuk:

Example 4.2.1 Berapakah nilai sekarang dari uang sejumlah Rp 100.000 yang akan
diterima setiap 3 bulan selama satu tahun dengan tingkat bunga 2% perbulan?

25

26 BAB 4. ANUITA BIASA

Perhitungan nilai sekarang dengan menggunakan rumus bunga majemuk memang ter-

lihat mudah dan sederhana, namun bagaimana jika jumlah periodenya banyak? Tentu

saja penggunaan rumus bunga majemuk akan memakan waktu karena harus dihitung

satu persatu. Nilai sekarang dari anuitas dapat dihitung dengan menggunkan rumus

berikut:

(1 − (1 + i)−n)
PV = P

i

Dengan: Untuk soal yang sama, maka:

PV = nilai sekarang (present value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode

Example 4.2.2 Berapakah nilai sekarang dari uang sejumlah Rp 100.000 yang akan
diterima setiap 3 bulan selama satu tahun dengan tingkat bunga 2% perbulan?

Diketahui :
P = Rp100.000
i = 2% × 3 = 6%
n=4

Solusi :
(1 − (1 + i)−n)

PV = P
i
1 − (1 + 6%)−4

= Rp100.000
0, 06

= Rp346.510, 56

4.3. MANIPULASI RUMUS NILAI SEKARANG 27

Selain dua cara di atas, penghitungan nilai sekarang dapat pula dicari dengan meng-
gunakan tabel. Jika, menggunakan tabel kita hanya perlu mencocokan tingkat bunga
dan jumlah periode, kemudian mengalikannya dengan nilai P.

Example 4.2.3 Hitunglah nilai sekarang dari pembayaran Rp 2.000.000 di setiap
akhir bulan selama 2 tahun dengan tingkat bunga 12%p.a!

Diketahui :
P = Rp2.000.000
12%
i = = 1%
12
n = 2 × 12 = 24

Solusi :
(1 − (1 + i)−n)

PV = P
i
1 − (1 + 0, 01)−24

= Rp2.000.000
0, 01

= Rp42.486.774, 52

4.3 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang

4.3.1 Manipulasi P , jika diketahui P V, i, dan n

Jika, nilai sekarang, tingkat bunga, dan jumlah periode diketahui, maka jumlah uang
yang dibayarkan pada setiap periode dapat dihitung dengan cara :

PV
P = (1−(1+i)−n)

i

Example 4.3.1 Edi membeli sebuah ruko seharga Rp 500.000.000 dengan membayar
uang muka Rp 100.000.000 dan sisanya dicicil sebanyak 18 kali yang dibayarkan pada
setiap akhir bulan. Jika bunga yang dikenakan atas ruko adalah 12%p.a, berapakah

28 BAB 4. ANUITA BIASA

yang harus dibayarkan Edi setiap bulannya?

Diketahui :
P V = Rp400.000.000
12%
i = = 1%
12
n = 18

Solusi :
PV

P = (1−(1+i)−n)

i

400.000.000
= (1−(1+0,01)−18)

0,01

= Rp24.392.819, 16

4.3.2 Menghitung n, jika diketahui P V, P, dan i

Dari rumus awal kita dapat mengetahui berapa periode yang diperlukan untuk mem-
buat sejumlah uang yang diterima di masa depan memiliki nilai sekarang yang di-
inginkan. Berikut merupakan cara untuk menghitung jumlah periode:

log 1 − P V ×i
n=− P

log(1 + i)

Example 4.3.2 Untuk melunasi hutang sejumlah Rp 50.000.000, Sari memutuskan
untuk mencicil Rp 2.500.000 tiap bulan. Jika pemberi pinjaman mengenakan bunga
10% p.a atas pinjaman tersebut, berpa kali Ari harus melunasi hutangnya?

Diketahui :

P V = Rp50.000.000

10%
i = = 0, 833%

12
P = Rp2.500.000

Solusi :

log 1 − 50.000.000×0,833%
n=− 2.500.000

log(1 + 0, 833%)

= − log, 8334
log1, 00833

= 21, 96 ≈ 22 kali

4.3. MANIPULASI RUMUS NILAI SEKARANG 29

4.3.3 Menghitung tingkat bunga i, jika P V, P , dan n diketahui

Dari rumus awal kita dapat mengetahui berapa periode yang diperlukan untuk mem-
buat sejumlah uang yang diterima di masa depan memiliki nilai sekarang yang di-
inginkan. Berikut merupakan cara untuk menghitung jumlah periode: Jika nilai
sekarang, besar pembayaran tiap periode, dan jumlah periode, kita bisa mencari
tingkat bunga dengan 2 langkah sederhana berikut ini:

1. Cari nilai 2 nilai PV yang lebih besar dan yang lebih kecil dari nilai PV yang
diinginkan dengan cara memasukan sembarang nilai i ke dalam rumus nilai
sekarang dari anuitas. Jika nilai PV yang didapat lebih besar, naikan tingkat
bunga agar mendapat nilai PV yang lebih rendah, dan sebaliknya.

2. Setelah memperoleh tingkat bunga yang mengahasilkan PV lebih besar dan lebih
kecil, gunakanlah interpolasi sebagai berikut:

i − i2 = P V − P V2
i1 − i2 P V1 − P V2

log 1 − P V ×i
n=− P

log(1 + i)

Example 4.3.3 Berapakah tingkat bunga pertahun yang diberikan jika sebuah pin-
jaman sebesar Rp 100.000.000 dapat dilunasi dalam 20 kali pembayaran sebesar Rp
5.500.000 di setiap akhir bulan?
Diketahui:

P V =Rp 100.000.000
P =Rp5.500.000
n =20

Langkah 1, masukan sembarang nilai i:
misal i = 1% (12%p.a), maka:

(1 − (1 + i)−n)
P V =P

i
1 − (1 + 0, 01)−20

P V =5.500.000
0, 01

=Rp99.250.541, 31

Karena PV dengan tingkat bunga 12% p.a lebih kecil dari PV yang diinginkan, maka,
turunkan tingkat bunga, missal: 0, 833% (10% p.a), maka:

(1 − (1 + i)−n)
PV = P

i
1 − (1 + 0, 00833)−20

P V = 5.500.000
0, 00833

= Rp100.939.511, 2

30 BAB 4. ANUITA BIASA

Langkah 2, gunakan interpolasi untuk mencari nilai i yang diinginkan :

i − i2 = P V − P V2
i1 − i2 P V1 − P V2
i − 0, 833 100.000.000 − 100.939.511, 2
1 − 0, 833 = 99.250.541, 31 − 100.939.511, 2

i − 0, 833 −939.511, 2
0, 167 = −1.688.969, 89, 2

i − 0, 8333 ≈ 0, 925% = 11, 1%p.a

4.4 Nilai yang Akan Datang pada Anuitas Biasa

Nilai yang akan datang dari sebuah anuitas merupakan nilai pada akhir periode anuitas
tersebut. Jumlah tersebut merupakan jumlah seluruh permbayaran di tiap periode
ditambah dengan bunga.
Perhatikan contoh berikut!

Example 4.4.1 Berapakah nilai yang akan datang dari pembayaran Rp 100.000 se-
tiap tiga bulan selama satu tahun, dengan tingkat bunga 4% p.a

Secara sistematis, persamaan untuk nilai yang akan datang dari sebuah anuitas biasa
adalah sebagai berikut:

(1 + i)n − 1
FV = P

i

, Untuk soal yang sama, maka:

4.5. MANIPULASI RUMUS NILAI SEKARANG 31

PV = nilai sekarang (present value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode

Example 4.4.2

Diketahui :
P = Rp100.000
4%
i = = 1%
4
n=4

Solusi :
(1 + i)n − 1

FV = P
i
(1 + 1%)4 − 1

= Rp100.000
1%

= Rp406.040, 1

4.5 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang

4.5.1 Menghitung P , jika diketahui F V, i, dan n

Jika, nilai yang akan datang, tingkat bunga, dan jumlah periode diketahui, maka
jumlah uang yang dibayarkan pada setiap periode dapat dihitung dengan cara :

FV
P = (1+i)n−1

i

Example 4.5.1 Frida menabung dengan jumlah yang sama tiap bulan. Setelah menabung
selama 2,25 tahun, jumlah uang Frida adalah Rp 450.000.000. Jika, bank tersebut

32 BAB 4. ANUITA BIASA

memberikan bunga 12% p.a, berapakah jumlah yang disetor Frida setiap akhir bulan?

Diketahui :
F V = Rp450.000.000
12%
i = = 1%
12
n = 2, 25 × 12 = 27

Solusi :
FV

P = (1+i)n−1

i

450.000.000
= (1+0,01)27−1

0,01

= Rp14.600.487, 91

4.5.2 Menghitung P , jika diketahui F V, i, dan n

Jika, nilai yang akan datang, tingkat bunga, dan jumlah periode diketahui, maka
jumlah uang yang dibayarkan pada setiap periode dapat dihitung dengan cara :

FV
P = (1+i)n−1

i

Example 4.5.2 Frida menabung dengan jumlah yang sama tiap bulan. Setelah menabung
selama 2,25 tahun, jumlah uang Frida adalah Rp 450.000.000. Jika, bank tersebut
memberikan bunga 12% p.a, berapakah jumlah yang disetor Frida setiap akhir bulan?

Example 4.5.3

Diketahui :
F V = Rp450.000.000
12%
i = = 1%
12
n = 2, 25 × 12 = 27

Solusi :
FV

P = (1+i)n−1

i

450.000.000
= (1+0,01)27−1

0,01

= Rp14.600.487, 91

4.5. MANIPULASI RUMUS NILAI SEKARANG 33

4.5.3 Menghitung tingkat bunga n, jika F V, P , dan i diketahui

Untuk menentukan periode, kita dapat menggunakan persamaan awal dari nilai yang
akan datang, sebagai berikut :

log 1 + F V ×i
n=− P

log(1 + i)

Example 4.5.4 Untuk mengisi liburan Dea berencana untuk menabung Rp 2.000.000
di bank mulai akhir bulan ini, jika uang yang diperlukan Dea adalah Rp 25.000.000
dan bank memberikan bunga 10%p.a, berapa bulan waktu yang dip

Diketahui :

F V =Rp 25.000.000

P =Rp2.000.000

10%
i = = 0, 833

12
Solusi :

log 1 + F V ×i
n=− P

log(1 + i)

log 1 + 25.000.000×0,833
=− 2.000.000

log(1 + 0, 833)

= − log1, 104125
log1, 00833

=11, 94 ≈ 12 kali

34 BAB 4. ANUITA BIASA

CHALLENGE QUESTION

1. Dengan menabung sebesar Rp 1.000.000 setiap bulan Dina mengharapkan akan
memperoleh uang sebesar Rp 20.000.000 dalam 1 tahun. Berapakah setoran
yang dibutuhkan jika Dina mengharapkan uang Rp 30.000.000 di akhir tahun
pertama? (Jawaban : Rp 1.513.256,704)

2. Ani bersedia membayar utangnya sebesar Rp 100.000.000 dengan mencicil se-
tiap akhir bulan selama 3 tahun bunga 10%p.a, jika setelah mecicil sebanyak 12,
Ani berencana untuk mempercepat pelunasan dari 3 tahun menjadi 2 tahun, bera-
pakah besar angsuran yang harus dibayar Aniselama 12 bulan berikutnya, jika pi-
hak pemberi pinjaman menaikan bunga sebesar 2%? (Jawaban: Rp 3.291.588,107)

BAB 5

Anuitas dimuka dan ditunda

5.1 Anuitas Biasa

Pada BAB 4, kita telah mempelajari tentang anuitas biasa. Pada dasaranya anu-
itas dimuka tidak jauh berbeda dengan anuitas biasa, perbedaanya hanya terletak
pada pembayaran pertama. Jika pada anuitas biasa pembayaran/penerimaan ter-
akhir dilakukan pada akhir periode pertama atau, maka anuitas dimuka pemba-
yaran/penerimaan pertama dilakukan pada saat transaksi. Dengan demikian untuk
kasus jumlah dan waktu periode cicilan yang sama, anuitas dimuka akan selesai lebih
cepat dibandingkan dengan anuitas biasa. Untuk lebih jelasnya perbedaan antara anu-
itas biasa dan dimuka bisa dijelaskan seperti berikut. Seperti yang telah dijelaskan

pada bab sebelumnya, anuitas di muka merupakan anuitas yang pembayaran peri-
odiknya dilakukan pada awal dari interval pembayaran. Karena pembayaran pertama
dilakukan di awal periode atau pada hari ini, maka anuitas di muka berkahir satu
periode setelah pembayaran terakhir dilakukan.
Seperti pada anuitas biasa, pada anuitas di muka dikenal dua istilah; nilai sekarang
(present value) yang dinotasikan dengan PV dan nilai yang akan datang (future value)
yang dinotasikan dengan FV.

35

36 BAB 5. ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA

5.2 Nilai Sekarang pada Anuitas di muka

Karena perbedaan antara anuitas biasa dan anuitas di muka hanya terletak pada pem-
bayaran pertama dan pembayaran terakhir, maka untuk menghitung nilai sekarang
pada anuitas di muka pun, sama dengan perhitungan nilai sekarang pada anuitas bi-
asa, dengan sedikit perbedaan periodenya, yaitu n-1 periode.
Perhatikanlah contoh di bawah ini untuk memahami perbedaan antatara anuitas biasa
dan anuitas di muka:

Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa, dengan jumlah periode yang sama,
periode pada anuitas di muka berakhir satu periode sebelum periode anuitas biasa
berakhir. Sehingga, persamaan untuk menghitung nilai sekarang pada anuitas di
muka dinotasikan sebagai berikut:

Dengan demikian bisa disimpulkan bahwa PV pada anuitas dimuka sama dengan
menghitung PV anuitas biasa dengan jumlah periode (n-1) ditambah dengan nilai
pembayaran cicilan pertama pada saat terjadinya transaksi. Persamaan di atas dapat
ditulis seperti berikut

Example 5.2.1 Hitunglah nilai sekarang dari pembayaran Rp 2.000.000 selama 2

5.3. MANIPULASI RUMUS NILAI SEKARANG 37

PV = nilai sekarang (present value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode

tahun dengan tingkat bunga 12% p.a, jika pembayaran pertama dilakukan hari ini!

Diketahui :

P = Rp 2.000.000

12%
i = = 1%

12
n = 2 × 12 = 24

Solusi :

PV = P 1 − (1 + i)−n+1 + 1 +1

i

= Rp 2.000.000 1 − (1 + 0, 01)−24+1 + 1 +1

0, 01

= Rp 42.911.642, 26

5.3 Manipulasi Rumus Nilai Sekarang

5.3.1 Menghitung P , jika diketahui P V,i, dan n

P = PV

1−(1+i)−n+1 +1 + 1
i

Example 5.3.1 Lisa membeli sebuah notebook seharga Rp 9.550.000 dengan melakukan
cicilan sebanyak 18 kali setiap bulan dengan tingkat bunga 18%p.a. Jika pembayarn
cicilan pertama dilakukan saat pembelian, berapakah besarnya cicilan perbulan yang
harus dibayarkan oleh Lisa?

Diketahui :
P V = Rp 9.550.000
18%
i = = 1, 5%
12
n = 18

38 BAB 5. ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA

Solusi :

P = PV

1−(1+i)−n+1 +1 + 1
i

= 9.550.000

1−(1+0,015)−18+1 +1 + 1
0,015

= Rp 600.340,

5.3.2 Menghitung n, jika diketahui P V, P , dan i

log 1 − P V ×i
n=− P

log(1 + i)

Example 5.3.2 Untuk melunasi hutang sejumlah Rp 75.000.000, Sari memutuskan
untuk mencicil Rp 5.000.000 tiap bulan. Jika pemberi pinjaman mengenakan bunga
12% p.a atas pinjaman tersebut, berpa kali Ari harus melunasi hutangnya?

Diketahui :

P V = Rp 75.000.000

12%
i = = 1%

12
P = Rp 5.000.000

Solusi :

log 1 − P V ×i
P =− P

log(1 + i)

log 1 − 75.000.000×1%
=− 5.000.000

log(1 + 1%)

= 16, 33 ≈ 17kali

5.4 Nilai yang akan datang pada Anuitas di Muka

Nilai yang akan datang dari sebuah anuitas adalah akumulasi jumlah pembayaran
dan jumlah bunga pada akhir periode. Sehingga, pada anuitas di muka nilai yang
akan datang ekuivalen dengan jumlah pembayaran dan bunga satu periode setelah
pembayaran terkahir sebagaimana ditunjukan oleh gambar berikut ini.

5.4. NILAI YANG AKAN DATANG PADA ANUITAS DI MUKA 39

Gambar tersebut menunjukan akumulasi pembayaran sampai periode (n-1) sama

dengan anuitas biasa, namun karena pembayaran pada anuitas di muka berakhir satu

periode lebih cepat dari anuitas biasa, maka kita perlu menabahkan bunga untuk

satu periode berikutnya. Sehingga, persamaan untuk anuitas di muka adalah sebagai

berikut:

FV = P (1 + i)−n − 1 (i + 1)

i

FV = nilai yang akan datang (future value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode

Example 5.4.1 Diani menabung Rp 2.000.000 setiap awal bulan selama 5 tahun
pada sebuah bank yangmemberikan bunga 10, 5%p.a. berapakah jumlah tabungan yang
dimiliki Diani pada akhir tahun ke-5?

Diketahui :

P = Rp 2.000.000

10, 5%
i = = 0, 875%

12
n = 5 × 12 = 60

Solusi :

FV = P (1 + i)−n − 1 (i + 1)

i

(1 + 0, 00875)−n − 1 (0, 00875 + 1)
= 2.000.000

0, 00875

= Rp 158.311.030, 4

40 BAB 5. ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA

5.5 Manipulasi Rumus Nilai yang Akan Datang

5.5.1 MenghitungP , jika diketahui F V, i, dan n

P= FV

(1+i)n −1 (1 + i)
i

Example 5.5.1 Anis membutuhkan uang Rp 100.000.000 pada tanggal 31 Desember
2023, dan memutuskan untuk menabung setiap tahun, dimulai pada tanggal 1 Januari
2014. Jika bunga atas tabungan tersebut 12%p.a, berapakah jumlah uang yang harus
ditabung oleh Anis setiap tahunnya?

Diketahui :

F V = Rp 100.000.000

i = 12%

n = 10

Solusi :

P= FV
=
(1+i)n −1 (1 + i)
i

100.000.000

(1+0,12)n −1 (1 + 0, 12)
0,12

= Rp5.087.871, 8

5.5.2 Menghitung n, jika diketahui FV, P, dan i

log 1 + F V ×i
n=− P (1+i)

log(1 + i)

Example 5.5.2 Jika Sara menabung Rp 1.000.000 pada setiap awal bulan pada se-
buah bank yangmemberikan bunga 9%p.a, berapa kali Sara harus menabung agar Ia

5.6. ANUITAS DITUNDA 41

dapat mencapai uang sekurang-kurangnya Rp 76.000.000?

Diketahui :

F V = Rp 76.000.000

9%
i = = 0, 75%

12
P = Rp 1.000.000

Solusi :

log 1 + F V ×i
n=− P (1+i)

log(1 + i)

log 1 + 76.000.000×0,0075
=− 1.000.000(1+0,0075)

log(1 + 0, 0075)

= 60, 001 ≈ 61kali

5.6 Anuitas ditunda

Pada prinsipnya anuitas ditunda sama dengan anuitas biasa, namun pembayaran per-
tamanya ditunda beberapa periode setelah periode pertama pembayaran bunga be-
rakhir, misalnya sebanyak k periode. Karena pembayaran pertama anuitas biasa di-
lakukan pada akhir periode pertama, maka pembayaran pertama pada nuitas ditunda
adalah k + 1. Sehingga jika waktu pembayaran pertama diketahui, nilai selama pe-
riode penundaan dapat dihitung menggunakan persamaan bunga majemuk dengan
mengurangi satu periode pembayaran bunga.

P 1−(1+i)−n
i
P V = (1 + i)k−1

42 BAB 5. ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA

PV = nilai sekarang (present value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode
k= periode penundaan

Example 5.6.1 Hitunglah nilai sekarang dari pembayaran Rp 1.000.000 setiap bulan
selama 1 semester, jika pembayaran pertama dilakukan 3 bulan lagi dengan tingakat
bunga 18%p.a!

Diketahui :

P = Rp 2.000.000

18%
i = = 1, 5%

12
n = 10

k=3

Solusi :

P 1−(1+i)−n
i
P V = (1 + i)k−1

2.000.000 1−(1+0,015)−10
0,015
= (1 + 0, 015)3−1

= Rp 5.530.041, 65

5.7 Manipulasi Nilai Sekarang

5.7.1 Menghitung P , jika diketahui P V, i, k, dan n

P V (1 + i)k−1
P=

1−(1+i)−n
i

Example 5.7.1 Angga meminjam uang sebesar Rp 100.000.000 dengan bunga 14%p.a
dan setuju untuk mengembalikan pinjaman tersebut dalam 14 kali cicilan setiap 6 bu-
lan sekali. Jika pembayaran pertama dilakukan 3,5 tahun yang akan datang, berapakah

5.8. NILAI YANG AKAN DATANG PADA ANUITAS DITUNDA 43

yang harus dibayarkan Angga setiap kali mencicil pinjaman tersebut?

Diketahui :
P V = Rp 100.000.000
14%
i = = 7%
2
n = 14
k=7

Solusi :
P V (1 + i)k−1

P=

1−(1+i)−n
i

100.000.000(1 + 0, 07)7−1
=

1−(1+0,07)−14
0,07

= Rp 17.160.092

5.8 Nilai yang akan datang pada Anuitas ditunda

Nilai yang akan datang pada anuitas ditunda merupakan nilai pada akhir periode yang
terdiri atas seluruh pembayaran periodic ditambah dengan akumulasi bunga sampai
akhir periode. Sehingga, nilai yang akan datang pada anuitas ditunda sama dengan
nilai yang akan datang pada anuitas biasa.

(1 + i)−n − 1
FV = P

i

FV = nilai yang akan datang (future value)
P= jumlah yang dibayarkan secara periodik (payment)
i= tingkat bunga
n= jumlah periode

1. Hari ini Tifa berulangtahun yang ke-46 tahun, dan memutuskan untuk mulai
menabung Rp 10.000.000pertahun pada sebuah bank yang memberikan tingkat
bunga 13menabung terakhir kali pada ulang tahunnya yang ke-65, sekaligus me-
mindahkan semua saldo tabungannya pada sebuah dana pensiun yang mem-
berikan bunga 14,5pensiun ini, Tifa mendapatkan Rp X selama 15 tahun, dimulai
saat ia memindahkan uangnya. Berapakah nilai X? (Jawaban : Rp 133.322.763,33)

44 BAB 5. ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA