โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดย เด็กหญิงธัญญรัศม บุญชู เด็กหญิงภาวินีพยัคฆา เด็กหญิงภาวดีอุนทรีจันทร ครูที่ปรึกษา นายจรณชัย ศรีประดิษฐ นางสาวอารยา แกวทองสอน โรงเรียนเวียงสระ สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาสุราษฎรธานี ชุมพร รายงานฉบับนี้เปนสวนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร ประเภท การสรางทฤษฎีหรือคำอธิบาย ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนตน เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนักเรียนครั้งที่71 ประจำปการศึกษา 2566
ชื่อโครงงาน การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูใน รูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูศึกษา 1. เด็กหญิงธัญญรัศม บุญชู 2. เด็กหญิงภาวินี พยัคฆา 3. เด็กหญิงภาวดี อุนทรีจันทร ครูที่ปรึกษา 1. นายจรณชัย ศรีประดิษฐ 2. นางสาวอารยา แกวทองสอน ระดับการศึกษา มัธยมศึกษาตอนตน สถานศึกษา โรงเรียนเวียงสระ จ.สุราษฎรธานี ปการศึกษา 2566 บทคัดยอ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุงหมายเพื่อศึกษาสูตรปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม และสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยผลการศึกษาพบวา สูตรในการ หาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก และพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูใน รูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม มีดังนี้ . Vps = n n A T − ⋅ และ Vpm = n n A T 3 − ⋅ เมื่อ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ Vps คือ ปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม Vpm คือ ปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม T คือ ความสูงของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา
กิตติกรรมประกาศ การศึกษาโครงงานคณิตศาสตรประเภทสรางทฤษฎีหรือคำอธิบาย เรื่อง การศึกษาปริมาตรของ ปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมเลมนี้ สำเร็จลุลวงโดยไดรับความอนุเคราะหอยางดีจากครูจรณชัย ศรีประดิษฐ และครูอารยา แกวทองสอน ซึ่งไดกรุณาใหคำปรึกษาแนะนำแนวคิดวิธีการ และสละเวลาอันมีคาแกไขขอบกพรอง ของเนื้อหา และกระบวนการตาง ๆ ดวยความเอาใจใสอยางดียิ่ง คณะผูศึกษาขอกราบขอบพระคุณ เปนอยางสูงณ โอกาสนี้ ขอขอบพระคุณ คณะผูบริหารโรงเรียนเวียงสระ จ.สุราษฎรธานีทุกทาน ดร.จิราวรรณ เทพจินดา อาจารยประจำหลักสูตรสาขาวิชาคณิตศาสตร คณะครุศาสตรมหาวิทยาลัยราชภัฏสุราษฎรธานีและ คณะครูในกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียนเวียงสระ จ.สุราษฎรธานีทุกทานที่ใหการ สนับสนุนการดำเนินการศึกษาโครงงานเลมนี้จนสำเร็จดวยดี คุณคาและสารัตถประโยชน อันพึงมาจากโครงงานคณิตศาสตรเลมนี้ในครั้งนี้ คณะผูศึกษาขอ นอมเปนเครื่องบูชาพระคุณแด บิดา มารดา ตลอดจนครูอาจารยทุกทาน ที่ประสิทธิ์ประสาทวิชา ความรูแกคณะผูศึกษาตลอดมา คณะผูศึกษา
สารบัญ เรื่อง หนา บทคัดยอ ก กิตติกรรมประกาศ ข สารบัญ ค สารบัญตาราง ง สารบัญภาพ จ บทที่ 1 บทนำ 1 ที่มาและความสำคัญ 1 วัตถุประสงค 1 สมมุติฐานของการศึกษาคนควา 2 ขอบเขตการศึกษา 2 ตัวแปรที่ศึกษา 2 นิยามศัพท/นิยามเชิงปฏิบัติการ 3 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวของ 4 1. สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปเรขาคณิตพื้นฐานและรูป n เหลี่ยม ดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม 4 2. โครงงานคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ 7 บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ 8 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ 11 บทที่ 5 สรุปผลการศึกษาและขอเสนอแนะ 19 บรรณานุกรม 21 ภาคผนวก 22
สารบัญตาราง เรื่อง หนา ตารางปฏิทินการดำเนินงาน 9 ตารางสรุปสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาฯ 16
สารบัญภาพ ภาพ หนา ภาพที่ 1 รูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 11 ภาพที่ 2 รูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 12 ภาพที่ 3 รูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 13 ภาพที่ 4 รูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 14 ภาพที่ 5 ภาพแสดงความหมายของสัญลักษณ H , B และ R 16
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 1 บทที่ 1 บทนำ ที่มาและความสำคัญ คณิตศาสตรเปนศาสตรที่มีบทบาทสำคัญอยางยิ่งในการพัฒนาความคิดของมนุษย เรขาคณิต ก็เปนอีกสาระหนึ่งที่เปนทักษะพื้นฐานในชีวิตประจำวัน และในการเรียนในระดับที่สูงขึ้นไป คณิตศาสตรยังเปนศาสตรที่สำคัญอยางยิ่งตอการฝกทักษะ ความรูพื้นฐานในการดำรงชีวิต และมุงให นักเรียนนำความรูไปใชในชีวิตประจำวัน โดยเนนกระบวนการใหเกิดแนวคิด ความเขาใจและฝกให นักเรียนคิด พิจารณาอยางมีเหตุผล สามารถนำไปประยุกตเพื่อแกปญหาตาง ๆ ไดอยางมี ประสิทธิภาพ จากตราสัญลักษณของโรงเรียนเวียงสระทีมีลักษณะเปนรูปดอกบัวตูมมี 8 กลีบ อยูในวงกลมลอม ดวยลายตาออยแปดตาหรือใกลเคียงกับรูปดาว 8 แฉก และขนมอาลัวที่มีฐานเปนรูปดาวหลายแฉก มียอดแหลมคลายพีระมิด ซึ่งผูปกครองของชุมชนเวียงสระรวมกันผลิตเปนสินคาสงออกของชุมชน รวมทั้งความรูจากการเรียนเรื่อง การหาปริมาตรและพื้นที่ของรูปเรขาคณิตในชั้นเรียน และในหนังสือ เรียนระดับประถมศึกษาและมัธยมศึกษา หรือหนังสือของสำนักพิมพตาง ๆ ไดกลาวไวเพียงสูตร การหาปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมฯ และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา สามเหลี่ยมใด ๆ สูตรการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผา สี่เหลี่ยมดานขนาน สี่เหลี่ยม คางหมูและสี่เหลี่ยมใด ๆ สูตรการหาพื้นที่ของรูปวงกลม และจากการศึกษางานวิจัยทางคณิตศาสตร ก็มีเพิ่มขึ้นมาเพียงสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม แตยังไมมีการ อธิบายหรือศึกษาถึงสูตรการหาพื้นที่ของรูปรูปดาวหลายแฉก รวมไปถึงรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม และปริมาตรของปริซึมกับพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูจัดทำโครงงานจึงเกิดความสงสัยวา ถามีปริซึมหรือพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม จะสามารถหาปริมาตรและพื้นที่ฐานหรือ หนาตัดไดอยางไร โดยใชสูตรใดในการหาพื้นที่ และสะดวกตอการคิดคำนวณ จึงไดจัดทำโครงงาน คณิตศาสตรประเภททฤษฎีหรือการอธิบาย (Theortied Research Project) เรื่อง การศึกษา ปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม วัตถุประสงค 1. เพื่อศึกษาสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยู ในรูปวงกลม
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 2 2. เพื่อศึกษาสูตรในการหาปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 3. เพื่อศึกษาสูตรในการหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม สมมุติฐานของการศึกษาคนควา ไดสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม สูตรในการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ขอบเขตของการศึกษา เนื้อหา 1. รูปเรขาคณิตพื้นฐานและสูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน 2. รูป n เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลมและสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา ที่แนบอยูในรูปวงกลม ระยะเวลาในการศึกษา : ตุลาคม – พฤศจิกายน 2566 ตัวแปรที่ศึกษา การทดลองที่ 1 : หาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม โดยใชสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทาและสูตรการหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมหนาจั่ว ตัวแปรตน การหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตัวแปรตาม สูตรการหาพื้นที่ของรูปดาวn แฉก ตัวแปรควบคุม สูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา และสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว การทดลองที่ 2 : หาสูตรการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่แนบ อยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยหาจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตัวแปรตน การหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตัวแปรตาม สูตรการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 3 ตัวแปรควบคุม สูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม นิยามศัพท/นิยามเชิงปฏิบัติการ รูป n เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม หมายถึง รูปเรขาคณิตสองมิติ ที่มีจำนวนดานหรือ เหลี่ยม ตั้งแต 3 , 4 , … , n โดยแนบอยูในรูปวงกลมพอดี ซึ่งจุดยอดมุมแตละมุมจะอยูบนเสนรอบวง ของรูปวงกลม และมีดานเทากันทุกดาน มุมเทากันทุกมุม เมื่อมีn มีคามากเทาไหร รูปนั้นก็จะมีพื้นที่ ใกลเคียงรูปวงกลมมากขึ้นเทานั้น รูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หมายถึง รูปดาวที่มีจุด ยอดมุมแหลมอยูบนจุดเดียวกันกับจุดยอดมุมของรูป n ดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก หมายถึง ปริมาตรของปริซึมและ พีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 4 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวของ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐาน เปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูจัดทำโครงงาน ไดคนควาเนื้อหาสาระที่เกี่ยวของประกอบดวย 1. สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน และรูป n เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยู ในรูปวงกลม 2. โครงงานคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ 1. สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปเรขาคณิตพื้นฐานและรูป n เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูป วงกลม 1.1 รูปเรขาคณิตพื้นฐานและสูตรการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน รูปเรขาคณิตสองมิติ แบงออกเปน 2 กลุมใหญ ๆ ตามลักษณะของขอบหรือดานของรูป ไดแก กลุมที่มีขอบหรือดานของรูปเปนสวนของเสนตรง กลุมนี้คือ รูปหลายเหลี่ยม (polygon) และ กลุมที่มีขอบหรือดานเปนเสนโคงงอ เชน รูปวงกลม และรูปวงรี เปนตน กลุมนี้ไมมีชื่อเรียกโดยเฉพาะ 1) รูปสามเหลี่ยม มีดาน 3 ดาน มีมุม 3 มุม 2) รูปสี่เหลี่ยม มีดาน 4 ดาน มีมุม 4 มุม 3) รูปหาเหลี่ยม มีดาน 5 ดาน มีมุม 5 มุม 4) รูปหกเหลี่ยม มีดาน 6 ดาน มีมุม 6 มุม 5) รูปแปดเหลี่ยม มีดาน 8 ดาน มีมุม 8 มุม 6) รูป n เหลี่ยมดานเทา มีดานที่เทากัน n ดาน มีมุมที่เทากัน n มุม 7) รูปวงกลม มีเสนโคงเปนวงกลม และหางจากจุดศูนยกลางเปนระยะทางเทากัน 8) รูปวงรี มีเสนเสนโคงเปนวงรี โดยหางจากจุดศูนยกลางไมเทากัน ซึ่งรูปเรขาคณิตสองมิติดังกลาวมีสูตรการหาพื้นที่ที่แตกตางกันไป ในที่นี้จะกลาวถึงสูตรการ หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วและสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา ดังนี้ สูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว สูง ฐาน
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 5 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว = × × 1 ฐานสูง 2 ซึ่งถากำหนดให ฐาน (Base) มีความยาว B หนวย และสูง (Height) มีความสูง H หนวย สรุปไดวา พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว = ⋅ 1 BH 2 หรือ BH 2 สูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยหาไดจากการหาพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีขนาดเทากันจำนวน n รูป ซึ่งแนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยู ในรูปวงกลม พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = n เทาของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งจากสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว = ⋅ 1 BH 2 หรือ BH 2 จะได พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = 1 n BH 2 ⋅ ⋅ หรือ BH n 2 ⋅ ดังนั้น พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = nBH 2 1.2 สูตรการหาปริมาตรรูปเรขาคณิตพื้นฐาน ในที่นี้จะศึกษาและพิจารณาเกี่ยวกับสูตรการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดตาง ๆ ดังนี้
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 6
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 7 2. โครงงานคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ โครงงานคณิตศาสตรเรื่อง ศึกษาหาพื้นที่มากที่สุดของรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และพื้นที่มาก ที่สุดของรูป n เหลี่ยมดานเทา วงกลม เมื่อความยาวของเสนรอบรูปยาวเทากัน ของนายปติพงษ สุวรรณมณีโชติ และคณะ โรงเรียนนครสววรรคโดยไดทำการศึกษา เปรียบเทียบพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ดานเทา สามเหลี่ยมหนาจั่ว และสามเหลี่ยมใด ๆ เมื่อกำหนดใหความยาวเสนรอบรูปยาวเทากัน ศึกษา เปรียบเทียบพื้นที่มากที่สุดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผา สี่เหลี่ยมดานขนานหรือ สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน สี่เหลี่ยมรูปวาว และสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อกำหนดใหความยาวเสนรอบรูปยาว เทากัน เพื่อศึกษา หาความสัมพันธของการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทาโดยที่ n = 5, 6,7, . . . , 360 เมื่อกำหนดใหความยาวเสนรอบรูปยาวเทากัน และศึกษา เปรียบเทียบพื้นที่ของรูป n เหลี่ยม ดานเทา โดยที่ n = 3, 4, 5, 6, . . . , 360 และวงกลม เมื่อกำหนดใหความยาวเสนรอบรูปยาวเทากัน โครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การหาสูตรพื้นที่ของรูป N เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอก หรือแนบใน ของนางสาวพิรญาณ ดวงดีและคณะ โรงเรียนสุรวิทยาคาร ไดศึกษาหาสูตรพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน จัดทำขึ้น โดยมีวัตถุประสงคเพื่อ 1) เพื่อหา สูตรในการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา มุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน 2) เพื่อนำสูตรที่ ไดไปประยุกตใชในการทำโจทย ผลจากการศึกษาพบวา 1) จากการหาสูตรพื้นที่ของรูป n เหลี่ยม ดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน โดยนำความสัมพันธของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่ มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน มาคิดวิเคราะหวาหากจำนวน n เหลี่ยมดานเทามุมเทามากขึ้น จะ สามารถหาพื้นที่ของ n เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบในไดอยางไร และทำการ แกสมการเพื่อหาสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน พบวา สูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 8 บทที่ 3 วิธีการดำเนินการ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐาน เปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูจัดทำโครงงาน ไดดำเนินการดังนี้ 1. ขั้นตอนการดำเนินการ 2. ระยะเวลาดำเนินการ 3. ตารางปฏิทินการดำเนินการ 1. ขั้นตอนการดำเนินการ 1.1.ประชุมวางแผนและเลือกประเด็นปญหาที่สนใจ 1.2.นำประเด็นปญหาที่สนใจ “การหาพื้นที่ของดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ที่มีแรงบันดาลใจมาจากตราสัญลักษณประจำโรงเรียน รวมทั้ง ปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่มีแรงบันดาลใจมาจากขนมอาลัว” ไปปรึกษาครูที่ปรึกษาโครงงาน 1.3.ศึกษาเนื้อหาคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ งานวิจัย บทความคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ ดังนี้ 1.3.1 สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ของรูปเรขาคณิตพื้นฐานและรูป n เหลี่ยม ดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม 1.3.2 โครงงานคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ - โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง ศึกษาหาพื้นที่มากที่สุดของรูป สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และพื้นที่มากที่สุดของรูป n เหลี่ยมดาน เทา วงกลม เมื่อความยาวของเสนรอบรูปยาวเทากัน - โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การหาสูตรพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดาน เทามุมเทาที่มีวงกลมแนบนอกหรือแนบใน 1.4. ศึกษาคนหาขอเท็จจริงตามวัตถุประสงคของโครงงานขอที่ 1 โดยศึกษาสูตรการหา พื้นที่ของรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยเริ่มจากการ สรางรูปดาวที่มีขนาดตาง ๆ ดังนี้ 1.4.1. รูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 1.4.2. รูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 1.4.3. รูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 1.4.4. รูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 1.4.5. รูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 9 1.5.ศึกษาคนหาขอเท็จจริงตามวัตถุประสงคของโครงงานขอที่ 2 และ 3 โดยศึกษาสูตร การหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยตอยอดจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉก และสูตรทั่วไปในการหา ปริมตารของปริซึมและพีระมิด 1.6.นำขอมูลมาวิเคราะห และสรุปผลรายงาน 2. ระยะเวลาดำเนินการ ตุลาคม 2566 ถึง พฤศจิกายน 2566 3. ตารางปฏิทินการดำเนินการ วัน / เดือน / ป การดำเนินการ รวมเวลาที่ใช 1 ต.ค. 2566 ประชุมวางแผนและเลือกประเด็นปญหาที่สนใจ พรอมทั้ง นำประเด็นปญหาที่สนใจไปปรึกษาครูที่ปรึกษาโครงงาน 1 วัน 2 – 7 ต.ค. 2566 ศึกษาเนื้อหาคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ งานวิจัย บทความ คณิตศาสตรที่เกี่ยวของ 6 วัน 8 – 14 ต.ค. 2566 ศึกษาคนหาขอเท็จจริงตามวัตถุประสงคของโครงงานขอ ที่ 1 โดยศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉก ที่แนบ อยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยเริ่มจากการสรางรูปดาวที่มีขนาดตาง ๆ 7 วัน 15 – 22 ต.ค. 2566 ศึกษาคนหาขอเท็จจริงตามวัตถุประสงคของโครงงาน ขอที่ 2 และ 3 โดยศึกษาสูตรการหาปริมาตรของปริซึม และพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยตอยอดจาก สูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉก และสูตรทั่วไปในการ หาปริมาตรของปริซึมและพีระมิด 8 วัน 23 – 31 ต.ค. 2566 ดำเนินการทดลองการใชสูตรที่ไดจริงกับเพื่อนในชั้นเรียน และระหวางชั้นเรียน รวบรวมผลที่ไดจากการดำเนินการ มาวิเคราะหและสรุปผล อภิปรายปญหาตาง ๆ จากนั้น นำเสนอโครงงานตอครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อขอคำแนะนำ ปรับปรุงและแกไขขอผิดพลาด รวมถึงประเมินผลโครงงาน 9 วัน 1 – 5 พ.ย. 2566 จัดทำรายงานแลวนำเสนอครูที่ปรึกษาโครงงานอีกครั้งเพื่อ ตรวจสอบความเรียบรอย 5 วัน
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 10 วัน / เดือน / ป การดำเนินการ รวมเวลาที่ใช 6 – 20 พ.ย. 2566 จัดทำรายงานฉบับสมบูรณและจัดปายนิเทศเพื่อนำเสนอ โครงงานคณิตศาสตรตอไป 15 วัน
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 11 บทที่ 4 ผลการดำเนินการ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐาน เปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูจัดทำโครงงาน ไดดำเนินการเพื่อหาสูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ของรูปดังกลาวโดยมีผลการดำเนินการ ดังนี้ 1.ศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 1.1 ศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมโดยมีขั้นตอนดังนี้ ภาพที่ 1 รูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม จากภาพที่ 1 จะสังเกตไดวา รูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมมีพื้นที่ไมคงตัว แตจะขึ้นอยูกับตำแหนงของจุด E , F และ G ที่สามารถเลื่อนเขาใกลจุด ศูนยกลาง (จุด O) หรือเลื่อนออกหางไปยังดานแตละดานของรูปสามเหลี่ยม ABC บนเสนสีเหลืองที่ เปนเสนตั้งฉากระหวางดานแตละดานกับจุดศูนยกลาง (จุด O) และสามารถหาพื้นที่ของรูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมไดดังนี้ จากสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = nBH 2 จะไดวา สูตรการหาพื้นที่ของรูป 3 เหลี่ยมดานเทา = 3BH 2 เมื่อ B คือ ฐาน (Base) ของรูป BOC , ABO และ ACO H คือ ความสูง (Height) ของรูป BOC , ABO และ ACO ซึ่งทำใหไดสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยู ในรูปวงกลม (A3-3) โดยการนำพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม ลบออกดวย พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เหลือ (รูปสามเหลี่ยมสีฟา = ABE = ACF = BCG ) ในแตละดาน โดย R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมสีฟา จะไดดังนี้
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 12 A3-3 = 3BH 1 3 BR 2 2 − ดังนั้น A3-3 = 3B(H R) 2 − เมื่อ A3-3 คือ พื้นที่ของรูปดาว 3 แฉกที่แนบอยูในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน (Base) ของรูป BOC , ABO และ ACO (ความยาวแตละดานของรูป 3 เหลี่ยมดานเทา) H คือ ความสูง (Height) ของรูป BOC , ABO และ ACO (ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน) R คือ ความสูงของรูปABE , ACF และ BCG (ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขางหรือรูปสามเหลี่ยมสีฟาในรูป) 1.2 ศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลมโดยมีขั้นตอนดังนี้ ภาพที่ 2 รูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม จากภาพที่ 2 จะสังเกตไดวา รูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมมีพื้นที่ไมคงตัว แตจะขึ้นอยูกับตำแหนงของจุด E , F , G และ H ที่สามารถเลื่อนเขาใกลจุด ศูนยกลาง (จุด O) หรือเลื่อนออกหางไปยังดานแตละดานของรูปสี่เหลี่ยม ABCD บนเสนสีเหลืองที่ เปนเสนตั้งฉากระหวางดานแตละดานกับจุดศูนยกลาง (จุด O) และสามารถหาพื้นที่ของรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมไดดังนี้ จากสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = nBH 2 จะไดวา สูตรการหาพื้นที่ของรูป 4 เหลี่ยมดานเทา = 4BH 2 เมื่อ B คือ ฐาน (Base) ของรูป ADO , ABO ,BCO และCDO H คือ ความสูง (Height) ของรูป ADO , ABO ,BCO และCDO
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 13 ซึ่งทำใหไดสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลม (A4-4) โดยการนำพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม ลบออกดวยพื้นที่ของ รูปสามเหลี่ยมที่เหลือ (รูปสามเหลี่ยมสีฟา = ABE = ADG = DCH = BCE) ในแตละดาน โดย R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมสีฟา จะไดดังนี้ A4-4 = 4BH 1 4 BR 2 2 − ดังนั้น A4-4 = 4B(H R) 2 − เมื่อ A4-4 คือ พื้นที่ของรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน (Base) ของรูป ADO ,ABO ,BCO และCDO (ความยาวแตละดานของรูป 4 เหลี่ยมดานเทา) H คือ ความสูง (Height) ของรูป ADO ,ABO ,BCO และ CDO (ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน) R คือ ความสูงของรูปABE,ADG ,DCH และ BCE (ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขางหรือรูปสามเหลี่ยมสีฟาในรูป) 1.3 ศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลมโดยมีขั้นตอนดังนี้ ภาพที่ 3 รูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม จากภาพที่ 3 จะสังเกตไดวา รูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมมีพื้นที่ไมคงตัว แตจะขึ้นอยูกับตำแหนงของจุด K , F , G , J และ H ที่สามารถเลื่อนเขาใกลจุด ศูนยกลาง (จุด O) หรือเลื่อนออกหางไปยังดานแตละดานของรูปหาเหลี่ยม ABCDE บนเสนสีเหลืองที่ เปนเสนตั้งฉากระหวางดานแตละดานกับจุดศูนยกลาง (จุด O) และสามารถหาพื้นที่ของรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมไดดังนี้
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 14 จากสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = nBH 2 จะไดวา สูตรการหาพื้นที่ของรูป 5 เหลี่ยมดานเทา = 5BH 2 เมื่อ B คือ ฐาน (Base) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และDEO H คือ ความสูง (Height) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และDEO ซึ่งทำใหไดสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลม (A5-5) โดยการนำพื้นที่ของรูปหาเหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม ลบออกดวยพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมที่เหลือ (รูปสามเหลี่ยมสีฟา = ABH = BCG = CDF = DEK = AEJ) ในแตละดาน โดย R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมสีฟา จะไดดังนี้ A5-5 = 5BH 1 5 BR 2 2 − ดังนั้น A5-5 = 5B(H R) 2 − เมื่อ A5-5 คือ พื้นที่ของรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน (Base) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และ DEO (ความยาวแตละดานของรูป 5 เหลี่ยมดานเทา) H คือ ความสูง (Height) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และDEO (ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน) R คือ ความสูงของรูปABH ,BCG ,CDF,DEK และAEJ (ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขางหรือรูปสามเหลี่ยมสีฟาในรูป) 1.4 ศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมโดยมีขั้นตอนดังนี้ ภาพที่ 4 รูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 15 จากภาพที่ 4 จะสังเกตไดวา รูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูป วงกลมมีพื้นที่ไมคงตัว แตจะขึ้นอยูกับตำแหนงของจุด L , K , J , H , G และ M ที่สามารถเลื่อนเขา ใกลจุดศูนยกลาง (จุด O) หรือเลื่อนออกหางไปยังดานแตละดานของรูปหกเหลี่ยม ABCDEF บนเสน สีเหลืองที่เปนเสนตั้งฉากระหวางดานแตละดานกับจุดศูนยกลาง (จุด O) และสามารถหาพื้นที่ของรูป ดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมไดดังนี้ จากสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมดานเทา = nBH 2 จะไดวา สูตรการหาพื้นที่ของรูป 6 เหลี่ยมดานเทา = 6BH 2 เมื่อ B คือ ฐาน (Base) ของรูป AFO,ABO ,BCO,CDO ,DEO และEFO H คือ ความสูง (Height) ของรูป AFO,ABO ,BCO,CDO ,DEO และEFO ซึ่งทำใหไดสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลม (A6-6) โดยการนำพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทาที่แนบอยูในรูปวงกลม ลบออกดวยพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมที่เหลือ (รูปสามเหลี่ยมสีฟา = ABG = BCH = CDJ = DEK = EFL = AFM) ในแตละดาน โดย R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมสีฟา จะไดดังนี้ A6-6 = 6BH 1 6 BR 2 2 − ดังนั้น A6-6 = 6B(H R) 2 − เมื่อ A6-6 คือ พื้นที่ของรูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน (Base) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และ DEO (ความยาวแตละดานของรูป 6 เหลี่ยมดานเทา) H คือ ความสูง (Height) ของรูป AEO,ABO ,BCO,CDO และDEO (ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน) R คือ ความสูงของรูปABG ,BCH,CDJ,DEK,EFL และ AFM (ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขางหรือรูปสามเหลี่ยม สีฟาในรูป) ซึ่งจากการศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 3 , 4 , 5 และ 6 แฉกที่แนบอยูในรูป 3 , 4 , 5 และ 6 เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ก็สามารถสรุปความสัมพันธของสูตรการพื้นที่ดังกลาว ไดดัง ตารางตอไปนี้
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 16 ประเด็นการศึกษา สูตรที่ได การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 3 แฉกที่แนบอยู ในรูปสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม A3-3 = 3B(H R) 2 − การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยู ในรูปสี่เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม A4-4 = 4B(H R) 2 − การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยู ในรูปหาเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม A5-5 = 5B(H R) 2 − การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว 6 แฉกที่แนบอยู ในรูปหกเหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม A6-6 = 6B(H R) 2 − การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยู ในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม An–n = nB(H R) 2 − ภาพที่ 5 ภาพแสดงความหมายของสัญลักษณ H , B และ R ดังนั้น สามารถสรุปไดวา สูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คือ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 17 H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา 2. ศึกษาปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลม จากสูตรการหาปริมาตรของปริซึมซึ่งหาไดจากสูตรดังนี้ ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x ความสูงของปริซึม และจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลม คือ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา ดังนั้นสรุปไดวา สูตรการหาปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม เขียนแทนดวยสัญลักษณ Vps Vps = n n A T − ⋅ เมื่อ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ vps คือ ปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม T คือ ความสูงของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 18 3. ศึกษาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยู ในรูปวงกลม จากสูตรการหาปริมาตรของพีระมิดซึ่งหาไดจากสูตรดังนี้ ปริมาตรของพีระมิด = 1 3 x พื้นที่ฐาน x สูงตรง หรือจะกลาวไดวา ปริมาตรของพีระมิดใด ๆ จะมีคาเปน 1 ใน 3 ของปริมาตรปริซึมนั้น ๆ และจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูใน รูปวงกลม คือ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา ดังนั้นสรุปไดวา สูตรการหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม เขียนแทนดวยสัญลักษณ Vpm Vpm = n n A T 3 − ⋅เมื่อ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ vn–n คือ ปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม T คือ ความสูงของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 19 บทที่ 5 สรุปผลการศึกษาและขอเสนอแนะ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐาน เปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม คณะผูจัดทำโครงงาน ไดดำเนินการเพื่อหาสูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ของรูปดังกลาวจนกระทั่งมีผลการศึกษาและ ขอเสนอแนะ ดังนี้ วัตถุประสงค 1. เพื่อศึกษาสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยู ในรูปวงกลม 2. เพื่อศึกษาสูตรในการหาปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม 3. เพื่อศึกษาสูตรในการหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ผลการศึกษา จากการศึกษาคนควาเพื่อศึกษาสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม โดยการพิสูจนความสัมพันธเพื่อหาสูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตั้งแต n = 3 , 4 , 5 ,6 , … , n จนกระทั่งสามารถสรุปสูตรการหาพื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบ อยูในรูปวงกลมไดดังนี้ . An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา และจากการศึกษาคนควาเพื่อศึกษาสูตรในการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูป ดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมตั้งแต n = 3 , 4 , 5 ,6 , … , n
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 20 จนกระทั่งสามารถสรุปสูตรสูตรในการหาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่ แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลมไดดังนี้ Vps = n n A T − ⋅ และ Vpm = n n A T 3 − ⋅ เมื่อ An–n = nB(H R) 2 − เมื่อ Vps คือ ปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม Vpm คือ ปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม An–n คือ พื้นที่ของรูปดาว n แฉกที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทาซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม T คือ ความสูงของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก B คือ ฐาน หรือความยาวแตละดานของรูป n เหลี่ยมดานเทา H คือ ความสูง หรือระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับเสนรอบรูปที่ตั้งฉากกัน R คือ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมดานขาง n คือ จำนวนแฉกของรูปดาวและดานของรูปดานเทา ขอเสนอแนะจากการดำเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งตอไป 1. ควรศึกษาสูตรการหาพื้นที่ผิวของปริซึมและพีระมิดที่มีหนาตัดเปนรูปดาว n แฉก 2. ควรนำสูตรที่ไดจากการศึกษาในครั้งนี้ไปใชสรางโปรแกรมหรือเครื่องมือในการคิดคำนวณ
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 21 บรรณานุกรม ชัยศักดิ์ ลีลาจรัสกุล. โครงงานคณิตศาสตร. กรุงเทพมหานคร : เดอามสเตอรกรุป แมเนจเมนท, 2542. มานพ ชัยดิเรก, 2553. รากฐานคณิตศาสตร. ชลบุรี: ชลบุรีการพิมพ มานัส ทิพยสัมฤทธิ์กุล. กิจกรรมการเรียนรูสูโครงงานคณิตศาสตร. กรุงเทพฯ : เปนภาษาและศิลปะ จำกัด, 2550. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการ เรียนรูพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 1. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ สกสค.ลาดพราว.2561.Roger A.Freedman, ปยพงษ สิทธิคง แปลและเรียบเรียง, 2547 Pukbungzaza. (2555). รูปเรขาคณิต/รูปทรงเรขาคณิต. สืบคนเมื่อ 15 ตุลาคม 2566. จาก http://pukbungzaza.blogspot.com/2012/02/3-3-4-4-5-5-6-6-8-8-shape-form- shape-2.html
การศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม หนา 22 ภาคผนวก
ตัวอยางการคำนวณปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูป 4 เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตัวอยางการคำนวณปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูป 5 เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม ตัวอยางการคำนวณปริมาตรของปริซึมที่มีหนาตัดเปนรูปดาว 6 แฉกที่แนบอยูในรูป 6 เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม จากภาพขางตนสามารถคำนวณหาปริมตาร ของปริซึมไดจากสูตรดังนี้ หาปริมาตรจากสูตร V4–4 = 4 4 A T − ⋅ และหาพื้นที่ฐานจากสูตร A4-4 = 4B(H R) 2 − จากภาพขางตนสามารถคำนวณหาปริมตาร ของปริซึมไดจากสูตรดังนี้ หาปริมาตรจากสูตร V5–5 = 5 5 A T − ⋅ และหาพื้นที่ฐานจากสูตร A5-5 = 5B(H R) 2 − จากภาพขางตนสามารถคำนวณหาปริมตาร ของปริซึมไดจากสูตรดังนี้ หาปริมาตรจากสูตร V6–6 = 6 6 A T − ⋅ และหาพื้นที่ฐานจากสูตร A6-6 = 6B(H R) 2 −
ตัวอยางการคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว 4 แฉกที่แนบอยูในรูป 4 เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม การคำนวณหาปริมตารของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว 4 แฉกสามารถหาไดจากสูตรดังนี้ หาปริมาตรจากสูตร Vpm = 4 4 A T 3 − ⋅ และหาพื้นที่ฐานจากสูตร A4-4 = 4B(H R) 2 − ตัวอยางการคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว 5 แฉกที่แนบอยูในรูป 5 เหลี่ยม ดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม การคำนวณหาปริมตารของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว 3 แฉกสามารถหาไดจากสูตรดังนี้ หาปริมาตรจากสูตร Vpm = 5 5 A T 3 − ⋅ และหาพื้นที่ฐานจากสูตร A5-5 = 5B(H R) 2 − ภาพการศึกษาปริมาตรของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเปนรูปดาว n แฉก ที่แนบอยูในรูป n เหลี่ยมดานเทา ซึ่งแนบอยูในรูปวงกลม แสกน QR – Code ดูภาพเพิ่มเติม