เซต-1_compressed

เซต
เลขยกกำลัง

จัดทำโดย
นายเฉลิมชนม์ ดีพิษ

ม.6/5 เลขที่ 3

เซต

ความหมาย ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่
ของเซต เหล่า กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะ
ทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ใน
เซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็ นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็ นสมาชิก

ของ "

เซตว่าง (EMPTY SET) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทน ลักษณะของเซต

∅ด้วย " { } " หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2

เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

เซตจำกัด (FINITE SET) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวน

สมาชิกได้ ∅ มีจำนวนสมาชิกเป็ น 0
เช่น

{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิก

เป็ น 50

เซตอนันต์ (INFINITE SET) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่

สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }

เซตของจุดบนระนาบ

ลักษณะของเซต

การเขียนเซต
1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (TABULAR FORM)

หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปี กกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้
จุด 3 จุด (TRIPPLE DOT) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (SET BUILDER FORM)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปี กกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย L ( L อ่านว่า

โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { X L เงื่อนไขของ X }

ตัวอย่าง



1. เซตที่เท่ากัน (EQUAL SETS) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้ง
สองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B

≠เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (EQUIVALENT SETS) คือ เซตที่มีจำนวน
สมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

ความสัมพันธ์
ของเซต

สับเซต

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็ นสับเซตของ

เซต B ⊂เซต A เป็ นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
สัญลักษณ์ ⊄เซต B ไม่เป็ นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็ นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้ น 2^N ( 2 ยกกำลัง N

)

สับเซตแท้
นิยาม A เป็ นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A

⊂ ≠B เเละ A B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { A, B, C } จงหา
สับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A

∅ได้แก่ , {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B,

C}
หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับ

เซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้ น 2^N-1 (2 ยกกำลัง N-
1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซต
ออกมาในรูปแผนภาพได้ดังนี้

ถ้า A เป็ ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ
A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมด
ของ A}

เพาเวอร์เซต ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
∅ ∈ ∅ ⊂1.
P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็ นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็ นเซต

เช่นกัน ∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็ นเซตจำกัด เเละ N(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี

สมาชิก 2^ N(A) ( 2 ยกกำลัง N(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
เอกภพ ∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

สัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้ นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่
เป็ นสมาชิกของเซตนี้ เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซตนี้
โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็ นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { X N | 1 < X < 20 }
∈A = { X N | X = N

+ 3 เมื่อ N เป็ นจำนวนนับคี่ } ∈B = { X N | X = N

+ 3 เมื่อ N เป็ นจำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็ นสับเซตของ U

แผนภาพของ แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพ
เวนน์ - ออยเออร์ แสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้

ตัวอย่าง เรียกเป็ นชื่อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
7, 8, 9, 10 } การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มัก
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4,
เขียนเเทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืน
5 }, C = { 3, 5, 6, 7 } ผ้าหรือรูปปิ ดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่ง
เป็ นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม
หรือวงรีหรือรูปปิ ดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซต

ย่อยอยู่ในรูปปิ ดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพสัมพัทธ์ U ของ
เซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (แต่ไม่ทั้งหมด) แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

⊂ ≠ถ้าเซต A B เเต่ A B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนินการ
บนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็ นเซต
ใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (UNION)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ
เซต B

∪เขียนแทนด้วย A B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

∪ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (INTERSECTION)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A

เเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

∩ดังนั้น A B = { 3 }

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (COMPLEMENT)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของ

เอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็ นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (DIFFERENCE)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของ

เซต A แต่ไม่เป็ นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ
ที่ควรทราบ

∪ ∅ ∪1. A
∩ ∅ ∅ ∩A
สมบัติการดำเนิน = A, A U = U
การบนเซต = ,A U=A


∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
สมบัติการดำเนิน ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C
การบนเซตการหา
จำนวนสมาชิกของ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)
เซตจำกัด
4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

∩5. A - B = A B'

⊂เพิ่มเติม ∅1. A - B =
∩2. A
ถ้า A B เเล้ว ∪3. A

B=A
B=B

1. เซตจำกัด 2 เซต

∪ ∩N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B)
∪ ∩N[(A - B) (B - A)] = N(A) + N(B) - 2[N(A B)]

2. เซตจำกัด 3 เซต

∪ ∪ ∩ ∩ ∩N(A B C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A B) - N(A C) - N(B

C)

∩ ∩+ N(A B C)

O-NET



แบบฝึ กหัด

1.จากการตรวจสุขภาพของนักเรียนชั้น ม.4/8 จำนวน 40 คน ปรากฎว่าเป็ นโรค
ฟั นผุหรือโรคตาแฉะจำนวน 32 คน เป็ นทั้งโรงฟั นผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน
ถ้ามีนักเรียนเป็ นโรคฟั นผุอย่างเดียว 17 คน อยากทราบว่า

1) มีนักเรียนเป็ นโ่รคฟั นผุกี่คน

2) มีนักเรียนเป็ นโรคตาแฉะกี่คน

3) มีนักเรียนเป็ นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน

4) มีกี่คนที่ไม่เป็ นทั้งโรคฟั นผุและโรคตาแฉะ

2. นักเรียนชายชั้น ม. 4/8 จำนวน 50 คน ชอบเล่นฟุตบอล 25 คน ชอบเล่น
บาสเกตบอล 20 คน และชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล 5 คน อยากทราบ
ว่า
1) ชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน
2) ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียวกี่คน
3) มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล



เลขยกกำลัง

ถ้า A แทนจำนวนใด ๆ และ N แทนจำนวนเต็มบวก บทนิยาม
“A ยกกำลัง N” เขียนแทนด้วย Aⁿ มีความหมายดังนี้



A ⁿ = A X A X A X … X A (A คูณกัน N ตัว)



เรียก Aⁿ ว่า เลขยกกำลัง ที่มี A เป็ นฐาน และ N

เป็ นเลขชี้ กำลัง

สัญลักษณ์ 2⁵ อ่านว่า “สองยกกำลังห้า” หรือ “สองกำลังห้า” หรือ “ กำลังห้าของสอง”



2⁵ แทน 2 X 2 X 2 X 2 X 2



2⁵ มี 2 เป็ นฐาน และ 5 เป็ นเลขชี้ กำลัง



และในทำนองเดียวกัน



สัญลักษณ์ (-2)⁵ อ่านว่า “ลบสองทั้งหมดยกกำลังห้า” หรือ “ กำลังห้าของลบสอง”



(-2)⁵ แทน (-2) X (-2) X (-2) X (-2) X (-2)



(-2)⁵ มี -2 เป็ นฐาน และ 5 เป็ นเลขชี้ กำลัง

เมื่อมีจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราอาจใช้เลขยกกำลังเขียนแทน
จำนวนเหล่านั้นได้ เช่น

7 X 7 X 7 เขียนแทนด้วย 7³

(0.2) X (0.2) X (0.2) X (0.2) X (0.2) เขียนแทนด้วย (0.2)⁵

(¹⁄₃) X (¹⁄₃) X (¹⁄₃) X (¹⁄₃) เขียนแทนด้วย (¹⁄₃)⁴

ข้อสังเกต การเขียนเลขยกกำลังแทนจำนวน เช่น (-3)² และ -3² มีความหมาย
ต่างกัน ดังนี้

(-3)² หมายถึง (-3) X (-3) และ (-3)² = 9

-3² หมายถึง –(3 X 3) และ -3² = -9

≠จะพบว่า (-3)² -3² แต่ในบางจำนวน เช่น (-3)³ และ -3³ แม้ว่าความหมายจะ

ต่างกันแต่มีผลลัพธ์เป็ นจำนวนเดียวกันคือ -27 ดังนั้น จึงควรเขียนสัญลักษณ์ที่
แทนจำนวนนั้ นให้ถูกต้อง

กำหนดจำนวนเต็ม 4 จำนวน คือ 16, 36, 48 และ -32 ให้เขียนใน
รูปการคูณและแยกตัวประกอบ เขียนจำนวนโดยใช้เลขยกกำลัง ดังนี้

16 = 4 X 4 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 16 คือ 42

16 = 2 X 2 X 2 X 2 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 16 คือ 24

36 = 6 X 6 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 36 คือ 62

36 = 2 X 2 X 3 X 3 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 36 คือ 22 X
32

48 = 3 X 4 X 4 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 48 คือ 3 X 42

48 = 3 X 2 X 2 X 2 X 2 เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน 48 คือ 3
X 24

-32 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) เขียนโดยใช้สัญลักษณ์แทน -32 คือ
(-2)5

สมบัติ
เลขยกกำลัง

1. คุณสมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้ กำลังเป็ นจำนวนเต็มบวก
เมื่อ A เป็ นจำนวนใด ๆ และ M, N เป็ นจำนวนเต็มบวก

2. คุณสมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้ กำลังเป็ นจำนวนเต็มบวก เมื่อ A เป็ น
จำนวนใด ๆ และ M, N เป็ นจำนวนเต็มบวก

สำหรับคุณสมบัติข้อนี้ สามารถแบ่งออกได้เป็ น 3 กรณีได้แก่



2.1 M > N : จะได้ผลลัพธ์เป็ นจำนวนเต็มบวก

2.2 M = N : จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 1

2.3 M < N : จะได้ผลลัพธ์เศษส่วน

3. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณของจำนวนหลายๆ จำนวน
โดย ถ้า A และ B เป็ นจำนวนใดๆ และ N เป็ นจำนวนเต็มบวกแล้ว

4. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการหารของจำนวนหลายๆจำนวน โดย ถ้า
A และ B เป็ นจำนวนใดๆ และ N เป็ นจำนวนเต็มบวกแล้ว

5. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็ นเลขยกกำลัง

6. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้ กำลังเป็ นเศษส่วน
แบ่งออกเป็ น 2 กรณี ได้แก่

6.1 เมื่อ A > 0 และ N เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

≠ ≥6.2 เมื่อ A 0 และ M เป็ นจำนวนเต็มบวก ; N 2

O-NET



แบบฝึ กหัด