คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค 23202 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เสนอ ค ุ ณคร ู ว ุ ฒ ิไกรไชยช ่ วย กล ่ ุ ม Doraemon ม.3/1 ปี การศึกษา 2566
ควรร ้ ู ก ่ อนเร ี ยน สมการเชิงเส้นสองตัวแปร สมการ ax + bx + c = ๐ เมื่อ a,b และ c เป็นค่าคงตัวที่ a และ b ไม่เท่ากับ พร้อมกันเรียกว่ารูป ทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เมื่อนำรูปทั่วไปของ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรมาจัดรูป จะได้ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 แบบดังนี้ ค าตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในรูป ax + by = c ที่มี x,y เป็นตัวแปร คือจำนวนที่แทน x และ y แล้วทำให้สมการเป็นจริง กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1.สมการเชิงเส้น สองตัวแปร ax + bx = c โดยที่ a และ b ไม่เท่ากับศูนย์จะ เป็นเส้นตรงที่ ตัดแกน x และแกน y 2. ถ้าสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมีสมการในรูป y = ax + b และ y = ax + d เมื่อ a, b และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ และ b ≠ d แล้วกราฟของสมการเชิง เส้นทั้ง 2 เส้นนี้จะขนานกัน 3. กำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปร y = ax + b ถ้า a > ๐ จะได้กราฟเส้นตรง เอียงทำมุมแหลม กับแกน x และถ้า a < ๐ จะได้กราฟเส้นตรงเอียงทำมุมป้าน กับแกน x 4. กราฟของสมการ y = c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใดๆ เป็นเส้นตรงที่ขนาดกับแกน x และตัดแกน y ที่จุด (๐,c) และกราฟของสมการ x = m เป็นจำนวนจริงใดๆ เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ที่จุด (m,๐) A = ความชัน A > O = กราฟเอียงขวา A < O = กราฟเอียงซ้าย
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรประกอบด้วยสมการเชิงเส้นที่มีตัวเเปร 2 ตัวและมีจำนวน สมการจำนวนจำกัด กำหนดให้ a,b,c,d, e และ f เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ a, b ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน เรียก ax + by =c dx + ey =f ว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วย 2 สมการ และคำตอบของ ระบบสมการ คือจำนวนที่แทน x และ y แล้วทำให้สมการเป็นจริงทั้งสองสมการ และนิยมเขียนคำตอบของ ระบบสมการในรูป (x,y)
คำตอบของระบบสมการ มี 3 คำตอบ 1. มีคำตอบเดียว ตัวอย่างเช่น * กราฟของสมการทั้งสอง ตัดกัน ที่จุดเดียวคือจุด (-1,1) ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (-1,1) 2. มีหลายคำตอบ ตัวอย่างเช่น * กราฟของเส้นตรงทั้งสองเส้น ทับกันแสดงว่า คู่อันดับทั้งหมด ที่อยู่ ในระบบสมการคือคำตอบ ดังนั้น ระบบสมการนี้มีหลาย คำตอบ 3. ไม่มีคำตอบ ตัวอย่างเช่น * กราฟของทั้งสองเส้นขนาน กันจึงไม่มีจุดตัด ดังนั้น ระบบสมการนี้ ไม่มีคำตอบ
ตัวอย่างที่ 1 y=x+3 y=x+3 y= 3 +6 2 y=x+3 ตอบ : มีหลายคำตอบ x 0 1 2 Y=x+3 3 4 5 x 0 1 2 Y=x+5 3 4 5
ตัวอย่างที่ 2 2x-3y=-9 y= 3 2 x+ 9 5 3cx-u= 5(y-4)+2 y= 3 5 + 3 ตอบ : มีคำตอบเดียว x 0 3 6 y= 2 3 + 9 3 3 5 7 x 5 10 15 y= 3 5 + 3 6 9 12
ตัวอย่างที่ 3 3x-2y=3 y= 3 2 − 3 2 3x=2y-6 y= 3 6 + 6 2 ตอบ : ไม่มีคำตอบ x 1 3 5 y= 3 2 + 3 2 0 3 6 x 0 2 4 y= 2 2 + 6 2 3 6 6
หาจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรระบบสมการ ให้ ax + by =c ----- dx + ey= f ----- โดยจะมีแกนนอนหรือเรียกว่าแกน x และแกนตั้งหรือเรียกว่าแกน y บริเวณที่เส้นกราฟซึ่ง แสดงข้อมูลตัดผ่านแกนจะเรียกว่า จุดตัด หากเส้น กราฟตัดผ่านแกน y จะเรียกว่า จุดตัดแกน y และหากเส้นกราฟตัดผ่าน แกน x จะเรียกว่า จุดตัดแกน x การหาจุดตัดแกน x จะหาได้ง่าย หรือ ยากขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ โดยการหาจุดตัด จะสามารถนำไปใช้ในการสร้างกราฟของ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมี 2 วิธี 1. วิธีแก้ระบบสบการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่า 2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร ********************************************************************************************************* 1. วิธีแก้ระบบสบการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่า มีขั้นตอนการแก้สมการดังนี้ 1. เลือกสมการ หรือ เพื่อเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง 2. นำสมการที่ได้จากการจัดรูปในข้อ 1. แทนที่ตัวแปรนั้นในอีกสมการหนึ่ง 3. แก้สมการจะได้ค่าของตัวแปรหนึ่ง 4. นำค่าของตัวแปรที่ได้จากข้อ 3. แทนค่าในสมการข้อ 1. จะได้ค่าของอีก ตัวแปรหนึ่ง ไปดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 3x- Y = 17 x + 2 y = 8 วิธีทำ ให้ 3x- Y = 17 ----------- 1 x + 2 y = 8 ----------- 2 จากสมการ 1 เขียน y ในรูปของ x ได้เป็น Y = 3x – 17 ----------- 3 นำ y ที่ได้จากสมการ 3 แทนในสมการ 2 จะได้ x + 2 (3 x-17) = 8 สมการนี้เป็นสมการตัวแปรเดียว แก้สมการหาคา x จะได้ x + 6 X – 34 = 8 x + 6x = 8 + 34 7x = 42 X = 42 7 หรือ X = 6 เมื่อแทน x ด้วย 6 ในสมการ 3 จะได้ y = 3 (6) – 17 = 18 – 17 หรือ y = 1 ตอบ : ( 6 , 1 )
ตัวอย่างที่ 2 3x = 9 – 2y x + y = 3 วิธีทำ ให้ 3x = 9 - 2y ----------- 1 x + y = 3 ------------ 2 จากสมการ 2 เขียน x ในรูปของ y ได้เป็น x = 3 – y ----------- 3 นำ x ที่ได้จากสมการ 3 แทนในสมการ 1 จะได้ 3 (3 -y) = 9 – 2y 9 – 3y = 9 – 2y 9 – 9 = -2y + 3y หรือ y = 0 เมื่อแทน y ด้วย 0 ในสมการ 3 จะได้ x = 3 – 0 หรือ x = 3 ตอบ : ( 3 , 0 )
ตัวอย่างที่ 3 2x – y = –4 4x = 7 + 2y วิธีทำ ให้ 2x – y = - 4 ----------- 1 4x = 7 + 2y ------------ 2 จากสมการ 1 เขียน y ในรูปของ x ได้เป็น y = 2y + 4 ----------- 3 นำ y ที่ได้จากสมการ 3 แทนในสมการ 2 จะได้ 4x = 7 +2(2x + 4 ) 4x = 7 + 4x + 8 4x – 4x = 15 O = 15 ตอบ : ทำให้สมการนี้เป็นเท็จ (สมการนี้ไม่มีคำตอบ)
2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร ขั้นตอนการแก้สมการดังนี้ 1. ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากันหรือเป็นจำนวนตรงข้าม กัน โดยการคูณ หรือการหารด้วยค่าคงตัว 2. ใช้สมบัติเท่ากันเกี่ยวกับการบวกกำจัดสัมประสิทธิ์ตรงข้ามกันในข้อ 1. 3. แก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปรในขั้นตอนนี้สมการต้องเหลือเพียงตัวแปรเดียว 4.นำคำตอบที่ได้ไปแทนค่าในสมการใด สมการหนึ่งเพื่อหาค่าของตัวแปรอีกตัว ตัวอย่างที่ 1 7x + 3y = 25 2x - 3y = 11 วิธีทำ ให้ 7x + 3y = 25 ----------- 1 2x - 3y = 11 ------------ 2 กำจัดตัวแปร y โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการบวก ดังนี้ 1 + 2 จะได้ (7x + 3y) +(2x 3y) = 25 + 11 9x = 36 X = 36 9 หรือ X = 4 เมื่อแทน x ด้วย 4 ในสมการ 1 จะได้ 7(4) +3y = 25 28 + 3y = 25 3y = 25 – 28 3y = -3 y = −3 3 หรือ y = -1 ตอบ : ( 4 , -1 )
ตัวอย่างที่ 2 4x - 3y = 11 5x + 2y = 8 วิธีทำ ให้ 4x - 3y = 11 ----------- 1 5x + 2y = 8 ------------ 2 เลือกกำจัดตัวแปร y ต้องทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เป็นจำนวนตรงข้ามกัน โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการบวก ดังนี้ 1 x 2 จะได้ 8x – 6y = 22 ----------- 3 2 x 3 จะได้ 15x + 6y = 24 ----------- 4 กำจัดตัวแปร y โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการบวก ดังนี้ 3 + 4 จะได้ (8x - 6y) + (15x + 6y) = 22 + 24 23x = 46 X = 46 23 หรือ X = 2 เมื่อแทน x ด้วย 2 ในสมการ 1 จะได้ 4(2) - 3y = 11 Note 8 - 3y = 11 จะเห็นได้ว่าสัมประสิทธิ์ 6 ของ y -3y = 11 – 8 ในสมการ 3 และ 4 เป็น ค.ร.น. -3y = 3 ของ 2 และ 3 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ y = 3 −3 ในสมการ 1 และ 2 หรือ y = -1 ตอบ : ( 2 , -1 )
ตัวอย่างที่ 3 3 2 x - 3 4 y = 15 4 4 3 x - 5 3 y = 3 วิธีทำ ให้ 3 2 x - 3 4 y = 15 4 ----------- 1 4 3 x - 5 3 y = 3 ------------ 2 เพื่อทำให้สัมประสิทธิ์ของ x และ y เป็นจำนวน จึงต้องนำ ค.ร.น. ของ 2,4 คือ 4 คูณ ทั้งสองข้างของสมการ 1 และนำ 3 คูณทั้งสองข้างของสมการ 2 ดังนี้ 1 x 4 จะได้ 6x – 3y = 15 ----------- 3 2 x 3 จะได้ 4x - 5y = 9 ----------- 4 เลือกกำจัดตัวแปร y ต้องทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เป็นจำนวนตรงข้ามกัน โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการคูณ ดังนี้ 3 x 5 จะได้ 30x - 15y = 75 --------- 5 4 x (-3) จะได้ -12x + 15y = -27 --------- 6 กำจัดตัวแปร y โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการบวก ดังนี้ 5 + 6 จะได้ (30x – 15y) + (-12x + 15y) = 75 + (-27) 18x = 48 X = 48 18 หรือ X = 8 3 เมื่อแทน x ด้วย 8 3 ในสมการ 3 จะได้ 6( 8 3 ) - 3y = 15 16 - 3y = 15 -3y = 15 – 16 -3y = -1 y = −1 −3 หรือ y = 1 3 ตอบ : ( 8 3 , 1 3 )
ตัวอย่างที่ 4 0.2x + 0.3y = 0.5 0.7x + 0.4y = -0.2 วิธีทำ ให้ 0.2x + 0.3y = 0.5 ----------- 1 0.7x + 0.4y = -0.2 ------------ 2 เพื่อทำให้สัมประสิทธิ์ของ x และ y ซึ่งเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งเป็นจำนวนเต็ม จึงต้องนำ 10 คูณทั้งสองข้างของสมการ 1 และ 2 ดังนี้ 1 x 10 จะได้ 2x + 3y = 5 ----------- 3 2 x 10 จะได้ 7x + 4y = -2 ----------- 4 เลือกกำจัดตัวแปร x ต้องทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ให้เป็นจำนวนตรงข้ามกัน โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการคูณ ดังนี้ 3 x 7 จะได้ 14x + 21y = 35 --------- 5 4 x (-2) จะได้ -14x - 8y = 4 --------- 6 กำจัดตัวแปร x โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการบวก ดังนี้ 5 + 6 จะได้ (14x – 21y) + (-14x + 8y) = 35 + 4 13y = 39 y = 39 13 หรือ y = 3 เมื่อแทนค่า y ด้วย 3 ในสมการ 3 จะได้ 2x + 3(3) = 5 2x + 9 = 15 2x = 5 – 9 2x = -4 x = −4 2 หรือ x = -2 ตอบ : (-2, 3 )
โจทย์ปัญหา ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1. สมมติตัวแปร 2 ตัวเพื่อแทนปริมาณ 2 ปริมาณที่ต้องการทราบค่า 2. สร้างระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นสอง ตัวแปรสองสมการ โดยใช้เงื่อนไขจากโจทย์ปัญหานี้ 3. แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตัวอย่างที่1 3 เท่าของจำนวนที่หนึ่งน้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 14 และ 19 เท่าของจำนวนที่ น้อยกว่า 16 เท่าของจำนวนที่หนึ่งอยู่ 12 จงหาจำนวนทั้งสองนี้ วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนที่หนึ่ง Y แทนจำนวนที่สอง จากโจทย์ 3 เท่าของจำนวนที่หนึ่งน้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 14 มีความหมาย เหมือนกับ 2 เท่าของจำนวนที่สองมากกว่า 3 เท่าของจำนวนที่หนึ่งอยู่ 14 เขียนเป็นสมการได้ 2y – 3x = 14 และ 9 เท่าของจำนวนที่สองน้อยกว่า 16 เท่าของจำนวนที่หนึ่งอยู่ 12 มีความหมายเหมือนกับ 16 เท่าของจำนวนที่หนึ่งมากกว่า 9 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 12 เขียนเป็นสมการได้ 16x – 9y = 12 ซึ่งจะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ดังนี้ 2y – 3x = 14 ----------- 1 16x - 9y = 12 ------------ 2 1 x 9 จะได้ -27x + 18y = 126 ------------ 3 2 x 2 จะได้ 32x – 18y = 24 ------------ 4 3 + 4 จะได้ 5x = 150 x = 150 5 หรือ x = 30
เมื่อแทน x ด้วย 30 ในสมการ 1 จะได้ 2y – 3(30) = 14 2y – 90 = 14 2y = 14 + 90 y = 104 2 หรือ y = 52 ตอบ : จำนวนที่หนึ่งเท่ากับ 30 และจำนวนที่สองเท่ากับ 52 ตัวอย่างที่2 จำนวนที่มี 2 หลักจำนวนหนึ่งมีเลขโดดในหลักหน่วยน้อยกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 ถ้าสลับ เลขโดดในหลักหน่วยและเลขโดดในหลักสิบ ทำให้ 2 เท่าของจำนวนเดิมมากกว่า 3 เท่าของจำนวน ใหม่ที่มีเลขโดดสลับหลักกันอยู่ 4 จงหาจำนวนนี้ วิธีทำ ให้ x แทนเลขโดดที่อยู่ในหลักสิบ Y แทนเลขโดดที่อยู่ในหลักหน่วย จากโจทย์ เลขโดดในหลักหน่วยน้อยกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 เขียนเป็นสมการได้ x – y = 3 โดยจำนวนนี้เท่ากับ 10x + y ดังนั้น จำนวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันกับจำนวน 10x + y คือ 10y + x และ 2 เท่าของจำนวนเดิมมากกว่า 3 เท่าของจำนวนใหม่ที่มีเลขโดดสลับหลักกันอยู่ 7 เขียนเป็นสมการได้ 2(10x + y) – 3(10y + x) = 7 20x + 2y – 30y – 3x = 7 17x – 28y = 7 ซึ่งจะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ดังนี้ x – y = 3 ----------- 1 17x – 28y = 7 ------------ 2
เลือกกำจัดตัวแปร x โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการคูณและสมบัติการเท่ากันสำหรับ การบวก ดังนี้ 1 x (-17) จะได้ -17x + 17y = -51 ------------ 3 2 x 3 จะได้ – 11y = -44 y = −44 −11 หรือ y = 4 แทนค่า y ด้วย 4 ในสมการ 1 จะได้ x – 4 = 3 หรือ x = 7 ตอบ : จำนวนนี้คือ 74 ตัวอย่างที่ 3 คุณพิมพ์ใจว่าจ้างลุงบุญสมมาตกแต่งสวน โดยให้ช่วยปลูกต้นกุหลาบตามแนวขอบสนามหญ้ารูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบสนามหญ้าด้านยาวด้านหนึ่งอยู่ติดถนนใหญ่ ลุงบุญสมคิดค่าปลูกฟุตละ 10 บาท และที่ขอบสนามด้านอื่นอีก 3 ด้าน คิดค่าปลูกฟุตละ 5 บาท ถ้าเส้นรอบรูปของสนาม หญ้ายาว 1,740 ฟุต และคุณพิมพ์ใจต้องจ่ายค่าจ้างทั้งหมด 11,325 บาท จงหาความยาวและ ความกว้างของสนามหญ้านี้ วิธีทำ ให้ x แทนความยาวด้านกว้างของสนามหญ้า Y แทนความยาวด้านยาวของสนามหญ้า จากโจทย์ เส้นรอบรูปของสนามหญ้ายาว 1,740 ฟุต เขียนเป็นสมการได้ 2(x + y) = 1,740 นำ 2 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้ x + y = 870 และลุงบุญสมคิดค่าปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญ้าด้านยาว ที่อยู่ติดกับถนนใหญ่ ฟุตละ 10 บาท ส่วนขอบสนามหญ้า ด้านอื่นอีก 3 ด้าน คิดค่าปลูกฟุตละ 5 บาท และคุณพิมพ์ใจ ต้องจ่ายค่าจ้างทั้งหมด 11,325 บาท
ดังนั้น ค่าปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญ้าด้านยาวที่ติดกับถนนใหญ่เท่ากับ 10y บาท ค่าปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญ้าด้านยาวที่ไม่ติดกับถนนใหญ่เท่ากับ 5y บาท และ ค่าปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญ้าด้านกว้างอีก 2 ด้านเท่ากับ 5x +5x บาท เขียนเป็นสมการได้ 10y + 5y + 5x + 5x = 11,325 15y + 10x = 11,325 นำ 5 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3y + 2x = 2,265 Note ซึ่งจะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ดังนี้ ความยาวรอบรูป 3y + 2x = 2,265 ----------- 1 สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ x + y = 870 ------------ 2 2(ความกว้าง + ความยาว) เลือกกำจัดตัวแปร x โดยใช้สมบัติการเท่ากันสำหรับการคูณและสมบัติการเท่ากันสำหรับ การบวก ดังนี้ 2 x (-2) จะได้ -2y – 2x = -1,740 ------------ 3 1 + 3 จะได้ y = 525 เมื่อแทนค่า y ด้วย 525 ในสมการ 2 จะได้ x +525 = 870 X = 870 - 525 หรือ x = 345 ตอบ : สนามหญ้านี้มีความกว้างเท่ากับ 345 ฟุต และมีความยาวเท่ากับ 525 ฟุต
แบบฝึกหัด จากกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในข้อ 1-7 จงพิจารณาว่ามีคำตอบ หรือไม่ถ้ามี 1 คำตอบหรือมีหลายคำตอบ ข้อ 1. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ ข้อ 2. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ
ข้อ 3. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ ข้อ 4. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ
ข้อ 5. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ ข้อ 6. Y (1) ไม่มีคำตอบ X (2) มี 1 คำตอบ (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ
ข้อ 7. Y (1) ไม่มีคำตอบ (2) มี 1 คำตอบ X (3) มี 2 คำตอบ (4) มีหลายคำตอบ ข้อ 8. จำนวนจำนวนหนึ่งเป็น 3 เท่าของจำนวนอีกจำนวนหนึ่ง ผลต่างของจำนวนทั้งสองนี้ เท่ากับ 10 จงหาจำนวน 2 จำนวนนี้ X = 3y ------------- 1 X – y = 10 ------------- 2 1) (5 , 15 ) 2) (6 , 15) 3) (7 , 15 ) 4) (8 , 15) ข้อ 9. จำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนอีกจำนวนหนึ่งอยู่ 4 ผลต่างของ จำนวนทั้งสองนี้เท่ากับ 2 จงหาจำนวน 2 จำนวนนี้ x- y = 4 ------------- 1 x - y = 10 ------------- 2 1) (5 , 6 ) 2) (5 , 7) 3) (4 , 6 ) 4) (4 , 8)
ข้อ 10. ในการทำโครงงานคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่ง ครูแบ่งนักเรียน 27 คน เป็น 2 กลุ่ม โดยกลุ่ม หนึ่งมีจำนวนนักเรียนมากกว่า 2 เท่าของอีกกลุ่มหนึ่งอยู่ 3 คน จงหาจำนวนนักเรียนในแต่ละ กลุ่ม X + y = 27 ------------- 1 X - 2y = 3 ------------- 2 1) (8 , 18) 2) (7 , 18) 3) (8 , 19) 4) (7 , 19) ข้อ 11. ความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับ 32 นิ้ว ถ้าความยาวของฐาน มากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านประกอบมุมยอดอยู่ 2 นิ้ว จงหาความยาวแต่ละด้านของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วนี้ X + y = 32 ------------- 1 X - y = 2 ------------- 2 1) (12 , 21) 2) (12 , 20) 3) (12 , 18) 4) (12 , 19) ข้อ 12. เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งเท่ากับ 10 ฟุต ถ้า 2 เท่าของความยาวด้าน กว้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวด้านยาว จงหาความกว้างและความยาวของรูปเหลี่ยม ผืนผ้า 2x + 2y = 10 ------------- 1 2x = y ------------- 2 1) (1 , 5) 2) (2 , 4) 3) (1 , 4) 4) (2 , 5)
ข้อ 13. จำนวนที่มี 2 หลักจำนวนหนึ่ง มีเลขโดดในหลักหน่วยมีค่าเป็น 3 เท่าของเลขโดดใน หลักสิบ และจำนวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันจะมากกว่าจำนวนเดิมอยู่ 54 จงหาจำนวน จำนวนนี้ x = 3y ------------- 1 (10x + y) - (10y + x) = 54 ------------- 2 1) (9 , 3) 2) (9 , 4) 3) (9 , 5) 4) (9 , 6) ข้อ14. จำนวนที่มี 2 หลักจำนวนหนึ่ง มีค่ามากกว่าผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักอยู่ 9 และจำนวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันจะมีค่าน้อยกว่า 4 เท่าของจำนวนเดิมอยู่ 3 จงหาจำนวน จำนวนนี้ (10 x + y) - x – y = 9 ------------- 1 4(10x + y) - (10y + x) = 3 ------------- 2 1) (1 , 3) 2) (1 , 4) 3) (1 , 5) 4) (1 , 6) ข้อ 15 วิมลมีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท ส่วนหนึ่งนำไปฝากธนาคารเพื่อรับดอกเบี้ย 2% อีก ส่วนนำไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล 4% สิ้นปี มีรายได้รวมกัน 4,000 บาท อยากทราบว่าวิมลนำ เงินไปลงทุนแต่ละประเภทเท่าใด 1) (40,000 , 80,000) 2) (40,000 , 90,000) 3) (40,000 , 100,000) 4) (40,000 , 120,000)
ข้อ 16. ติ๊กสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได้ 200 เหรียญ คิดเป็นเงิน รวมกัน 920 บาท อยากทราบว่า ติ๊กมีเหรียญแต่ละชนิดกี่เหรียญ 1) (80 , 110) 2) (80 , 120) 3) (80 , 160) 4) (80 , 170) ข้อ 17. อัตราค่าเข้าชมการแข่งขันฟุตบอลนัดพิเศษนัดหนึ่งเป็นดังนี้ ผู้ใหญ่คนละ 200 บาท เด็กคนละ 100 บาท ปรากฎว่ามีผู้เข้าชมทั้งหมด 10,000 คนและขายบัตรเข้าชมได้เงิน 1,739,200 บาทอยากทราบว่า มีผู้ใหญ่และเด็กเข้าชมการแข่งขันฟุตบอลครั้งนี้อย่างละกี่คน 1) (7,292 , 2,600) 2) (7,291 , 2,700) 3) (7,392 , 2,608) 4) (7,293 , 2,609) ข้อ 18. เมื่อ 10 ปีล่วงมาแล้ว สเปนมีอายุเป็น 4 เท่าของมาร์ค ต่อจากปัจจุบันนี้ไป อีก 6 ปี สเปนจะมีอายุเป็น 3 เท่าของมาร์ค ปัจจุบันทั้งสองมีอายุคนละกี่ปี 1) สเปนมีอายุ 50 และมาร์คมีอายุ 18 ปี 2) สเปนมีอายุ 48 และมาร์คมีอายุ 33 ปี 3) สเปนมีอายุ 44 และมาร์คมีอายุ 16 ปี 4) สเปนมีอายุ 48 และมาร์คมีอายุ 18 ปี
ข้อ 19. อันเลี้ยงแมวและไก่ไว้จำนวนหนึ่งนับหัว รวมกันได้ 30 หัวนับขารวมกันได้ 56 ขา อันเลี้ยงไก่ไว้กี่ตัว 1) 15 ตัว 2) 12 ตัว 3) 13 ตัว 4) 14 ตัว ข้อ 20. เชือกขดหนึ่งยาว 40 เมตรนำไปล้อมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านกว้างสั้น กว่าด้านยาว 4 เมตร จงหาพื้นที่ของที่ดินแปลงนี้ 1) 93 ตร.ม. 2) 94 ตร.ม. 3) 95 ตร.ม. 4) 96 ตร.ม.
เฉลยแบบฝึกหัด 1. ตอบข้อ 1 11. ตอบข้อ 2 2. ตอบข้อ 2 12. ตอบข้อ 3 3. ตอบข้อ 4 13. ตอบข้อ 1 4. ตอบข้อ 2 14. ตอบข้อ 4 5. ตอบข้อ 2 15. ตอบข้อ 1 6. ตอบข้อ 1 16. ตอบข้อ 2 7. ตอบข้อ 4 17. ตอบข้อ 3 8. ตอบข้อ 1 18. ตอบข้อ 4 9. ตอบข้อ 3 19. ตอบข้อ 2 10. ตอบข้อ 3 20. ตอบข้อ 4
จัดทำโดย 1. นายจตุพร กำลังเลิศ เลขที่ 1 2. นายปรรณพัชร เเจ้งเเสงทอง เลขที่ 4 3. นายพชรพล จันละมา เลขที่ 5 4. นายภุวนนท์ เล็บขาว เลขที่ 7 5. นายวสันต์ สมมาตร์ เลขที่ 9 6. นายสุรชัย ผงอ้วน เลขที่ 13 7. นายอัครชัย สมจิตต์ เลขที่ 14 8. นางสาวณัฐชฎาพร ร่วมสุข เลขที่ 20 เสนอ คุณครูวุฒิไกร ไชยช่วย