สรุปความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็ น

ความน่าจะเป็ น หมายถึง จานวนท่ีแสดงให้ทราบว่าเหตกุ ารณ์ใดเหตุการณ์หน่ึงมีโอกาสที่จะเกิดขึน้ มากน้อย
เพียงใด เช่น ในกล่องใบหน่ึงมีลกู บอลสีแดง 5 ลกู สีขาว 3 ลกู หลบั ตาหยิบขึน้ มา 1 ลกู โอกาสท่ีจะหยิบได้ลกู บอลสีใด
มากกว่ากนั

กรณีนีต้ อบได้ว่า โอกาสหยิบลกู บอลสีแดงได้มากกว่า เพราะในจานวน 8 ลกู เป็นลกู สีแดงถึง 5 ลกู แต่มีลกู สี
ขาวเพยี ง 3 ลกู เท่านนั้
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ (probability)

กลา่ วถงึ ขนั้ ตอนและวิธีการหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ และยกตวั อยา่ งประกอบ อธิบายอยา่ งละเอยี ด ซงึ่
ก่อนจะเรียนเร่ือง ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์น้องๆสามารถทบทวน การทดลองส่มุ และเหตุการณ์ ได้ที่ ⇒⇒ การ
ทดลองสมุ่ และเหตกุ ารณ์ ⇐⇐

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (probability) คือ อตั ราส่วนระหว่างจานวนเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)) กบั จานวน
แซมเปิลสเปซ (n(S)) ท่ีมีโอกาสเกดิ ขึน้ ได้พร้อม ๆ กัน ใช้สญั ลกั ษณ์ “P(E)” แทนความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่
สนใจ
โดยที่ n(E) แทน จานวนผลลพั ธ์ทงั้ หมดของเหตกุ ารณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทน จานวนผลลพั ธ์ทงั้ หมดท่ีจะเกดิ ขนึ ้ ได้
P(E) แทน ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์

ดงั นนั้ P(E) =

ข้อควรจา
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. ถ้า P(E) = 0 เหตกุ ารณ์นนั้ ๆ จะไมม่ โี อกาสเกดิ ขนึ ้ เลย
3. ถ้า P(E) = 1 เหตกุ ารณ์นนั้ ๆ เกิดขนึ ้ แนน่ อน

ตัวอย่างท่ี 1 จากการโยนลกู เต๋า 2 ลกู 1 ครัง้ จงหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ต่อไปนี ้
1) เหตกุ ารณ์ท่ีได้ผลรวมของแต้มมากกวา่ หรือเทา่ กบั 11
2) เหตกุ ารณ์ทีไ่ ด้ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคู่
3) เหตกุ ารณ์ที่ลกู เตา๋ ขนึ ้ แต้ม 1 อยา่ งน้อยหน่ึงลกู

วธิ ที า หา S จากการทอดลกู เตา๋ 2 ลกู 1 ครัง้ ได้ดงั นี ้
S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 36

1) เหตกุ ารณ์ทีไ่ ด้ผลรวมของแต้มมากกวา่ หรือเทา่ กบั 11
อธิบายเพิม่ เตมิ : ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเทา่ กบั 11 หมายความวา่ เมอื่ นาแต้มของลกู เตา๋ 2 ลกู มาบวกกนั

แล้วได้ผลลพั ธ์เท่ากบั 11 และมากกว่า 11
ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ท่ไี ด้ผลรวมของแต้มมากกวา่ หรือเท่ากบั 11
E1 = { (5, 6) , (6, 5 ) , ( 6, 6) }
n (E1) = 3

P (E1) = ==

ดงั นนั้ ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทีไ่ ด้ผลรวมของแต้มมากกวา่ หรือเท่ากบั 11 เทา่ กบั

2) เหตกุ ารณ์ทไ่ี ด้ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคู่
อธิบายเพิ่มเตมิ : ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคู่ จะต้องเกดิ จากแต้มคที่ งั้ สองลกู และแต้มคทู่ งั้ สองลกู

ให้ E2 แทน เหตกุ ารณ์ทีไ่ ด้ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคู่

E2 = { (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (2,6) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (4,6) ,
(5,1) ,(5,3) ,(5,5),(6,2) ,(6,4) ,(6,6) }

n(E2) = 18

P(E2) = = ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ท่ไี ด้ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคู่ เทา่ กบั
3) เหตกุ ารณ์ทลี่ กู เต๋าขนึ ้ แต้ม 1 อย่างน้อยหนึ่งลกู

อธิบายเพิม่ เติม : ลกู เตา๋ ขนึ ้ แต้ม 1 อยา่ งน้อยหน่งึ ลกู หมายความวา่ ขนึ ้ แต้ม 1 หนงึ่ ลกู หรือสองลกู ก็ได้
ให้ E3 แทน เหตกุ ารณ์ที่ลกู เตา๋ ขนึ ้ แต้ม 1 อยา่ งน้อยหนง่ึ ลกู
E3 = { (1,1) ,(1,2) ,((1,3) ,(1,4) ,(1,5) ,(1,6) ,(2,1) ,(3,1) ,(4,1) ,(5,1) ,(6,1) }
n(E3) = 11

P(E3) =

ดงั นนั้ ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ท่ลี กู เตา๋ ขนึ ้ แต้ม 1 อยา่ งน้อยหน่งึ ลกู เทา่ กบั

การทดลองสุ่ม (random experiment)
การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองหรือการกระทาใด ๆ ซ่ึงทราบว่าผลลพั ธ์อาจจะเป็น

อะไรได้บ้าง แตไ่ ม่สามารถบอกได้อยา่ งถกู ต้องแนน่ อนวา่ ในแต่ละครัง้ ที่ทดลองผลทีเ่ กิดขนึ ้ จะเป็นอะไรในบรรดาผลลพั ธ์ท่ี
อาจเป็นไปได้เหลา่ นี ้

ตวั อย่างท่ี 1 จงพิจารณาว่าการกระทาตอ่ ไปนี ้ เป็นการทดลองสมุ่ หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
1) การโยนเหรียญ 1 เหรียญ หน่งึ ครัง้
ตอบ เป็นการทดลองส่มุ เพราะว่าในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ หนึ่งครัง้ อาจจะออกหวั หรือก้อย แต่ไม่สามารถระบไุ ด้
แน่นอนวา่ จะออกหวั หรือก้อย
2) การทอดลกู เต๋า 1 ลกู หน่งึ ครัง้ ลงในถ้วย
ตอบ เป็นการทดลองส่มุ เพราะว่าในการทอดลกู เต๋า 1 ลกู หน่ึงครัง้ ลงในถ้วย ลกู เต๋าจะหงายหน้าที่มีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5
และ 6 แตไ่ ม่สามารถระบไุ ด้แนน่ อนวา่ ลกู เตา๋ จะหงายหน้าทีม่ แี ต้มใด
3) การเดนิ ทางไปโรงเรียน
ตอบ ไม่เป็นการทดลองสมุ่ เพราะวา่ ในการเดนิ ทางไปโรงเรียน เราไมส่ ามารถตอบได้เลยวา่ ผลลพั ธ์เป็นอะไรบ้าง
4) การแข่งขนั ฟตุ บอลในแตล่ ะนดั
ตอบ เป็นการทดลองส่มุ เพราะว่าในการแข่งขันฟุตบอลในแต่ละนัด มีผล แพ้ ชนะ หรือ เสมอ แต่ไม่สามารถระบุได้
แน่นอนว่าผลการแข่งขนั จะเป็นแบบใด
5) การถอนเงนิ จากธนาคาร
ตอบ ไมเ่ ป็นการทดลองสมุ่ เพราะวา่ ในการถอนเงินจากธนาคาร เราไมส่ ามารถตอบได้เลยวา่ ผลลพั ธ์เป็นอะไรบ้าง

จากตวั อย่างข้างต้น สรุปได้ว่า

เราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ท่ีเกิดขึน้ จากแต่ละการกระทาจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามี
ผลลพั ธ์อะไรบ้างท่ีจะเกดิ ขนึ ้ ได้ เรียกการกระทาเหลา่ นวี ้ า่ การทดลองสุ่ม

ปริภมู ติ วั อย่าง หรือแซมเปิ ลสเปซ (S)
ปริภมู ติ ัวอย่าง หรือแซมเปิ ลสเปซ (S) คือ เซตของผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกิดขนึ ้ ทงั้ หมดจากการทดลองส่มุ
ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี นแซมเปิลสเปซ และหาจานวนของผลลพั ธ์ทงั้ หมดทีเ่ ป็นไปได้ จากการทดลองสมุ่ ตอ่ ไปนี ้
1) การโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 2 ครัง้

ตอบ แซมเปิลสเปซทเ่ี ป็นไปได้ทงั้ หมด ได้แก่ HH, HT, TH, TT
จานวนของแซมเปิลสเปซหรือผลลพั ธ์ทงั้ หมดที่เป็นไปได้ เท่ากบั 4
2) ส่มุ หยบิ ลกู ปิงปอง 2 ลกู พร้อมกนั จากกล่องใบหน่ึง ทม่ี ลี กู ปิงปอง สมี ว่ ง 1 ลกู , สีส้ม 1 ลกู และสเี ขยี ว 1 ลกู

ตอบ แซมเปิลสเปซท่ีเป็นไปได้ทงั้ หมด ได้แก่ มว่ งส้ม, มว่ งเขียว และส้มเขียว
จานวนของแซมเปิลสเปซหรือผลลพั ธ์ทงั้ หมดท่เี ป็นไปได้ เทา่ กบั 3

ตวั อย่างท่ี 2 มแี ปน้ วงกลมอยหู่ นึง่ แปน้ ได้จาการแบง่ วงกลม ออกเป็น 10 สว่ น มีหมายเลขกากบั 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
ตามลาดบั หมนุ แปน้ 1 ครัง้ ให้นกั เรียนตอบคาถามตอ่ ไปนี ้

1. ผลลพั ธ์ทงั้ หมดทอี่ าจจะเกดิ ขนึ ้ ได้ เป็นอย่างไร
ตอบ มี 10 แบบ คอื 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

2. ผลลพั ธ์ที่เข็มชใี ้ นช่องจานวนคู่ เป็นอยา่ งไร
ตอบ มี 5 แบบ คือ 0,2,4,6,8

3. ผลลพั ธ์ที่เข็มชใี ้ นชอ่ งจานวนคี่ เป็นอย่างไร
ตอบ มี 5 แบบ คือ 1,3,5,7,9

4. ผลลพั ธ์ทเ่ี ขม็ ชใี ้ นช่องมากกว่า 7 เป็นอย่างไร
ตอบ มี 2 แบบ คอื 8,9

5. ผลลพั ธ์ทเ่ี ขม็ ชใี ้ นช่องเป็นจานวนเฉพาะ เป็นอยา่ งไร
ตอบ มี 4 แบบ คอื 2,3,5,7