34801331-การแปลงทางเรขาคณิต

รายวิชา คณิตศาสตร ใบความรูที่ 1 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

การเล่ือนขนาน

การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตทีม่ ีการเล่อื นจดุ ทุกจุดไปบนระนาบตามแนว
เสนตรงในทศิ ทางเดียวกนั และเปน ระยะทางท่ีเทา กนั ตามท่ีกําหนด
ตวั อยา ง กาํ หนดให ∆ ABC เปนรูปตนแบบ เมอื่ เลอ่ื นขนาน ∆ ABC ไปในทศิ ทางและระยะทาง

ตามท่กี าํ หนดดังรูป แลว ∆ A′B′C′ เปน ภาพที่ไดจากการเลอ่ื นขนาน

AL

BP B′ P′

C C′

จากรปู จะเหน็ วา มกี ารเลอ่ื นจดุ A ไปท่ีจุด A′ เลอ่ื นจุด B ไปที่จุด B′ และ เลือ่ นจุด C ไปที่
จดุ C′ ในทศิ ทางเดยี วกนั และเปน ระยะเทากนั จะไดว า A′A′ , B′B′ และ C′C′ ขนานกันและ
ยาวเทากนั

ถา P เปนจุดใด ๆ บน ∆ ABC แลว จะมี P′ บน ∆ A′B′C′ เปน จุดที่สมนัยกนั กบั จุด P

และ PP′ จะขนานและยาวเทากนั กับความยาวของ AA′ , BB′ และ CC′ ดว ย
ในการบอกทิศทางและระยทางของการเลอ่ื นขนาน จะไดเ วกเตอร เปนตวั กําหนด

จากตวั อยา งขา งตน อาจใชเวกเตอร MN เพ่อื บอกทศิ ทางและระยะทางของการเล่อื นขนานดงั รูป
A A′

BM P B′ P′
C
NC ′

เวกเตอร MN อาจเขยี นแทนดว ย MN ซงึ่ จะมที ศิ ทางจากจดุ เริม่ ตน M ไปยังจุดสิน้ สุด N
และมขี นาดเทา กบั ความยาวของ

จากตัวอยา งการเลือ่ นขนานขางตนจะไดว า

1

1. A′A′ , B′B′ , C′C′ และ P′P′ จะขนานกนั กบั MN MN
2. AA′ = BB′ = CC′ = PP′ จะขนานกนั กบั MN
การกาํ หนดเวกเตอรของการเลือ่ นขนานอาจใหจ ุดเร่มิ ตนอยูบ นรูปตนแบบหรืออยนู อกรปู ตน แบบก็ได
ในการเลือ่ นขนาน เม่ือกาํ หนดเวกเตอรของการเลือ่ นขนานรูปตน แบบมาให เราตอ งวิเคราะห
วาจะตอ งเล่ือนรูปตน แบบไปในทิศทางใด และเปนระยะเทา ไร
ถาเวกเตอรของการเล่ือนขนานทก่ี าํ หนดใหขนานกับแกน X หรือแกน Y การเลื่อนขนานรูป
ตน แบบกจ็ ะกระทําไดง า ย แตถ า เวกเตอรทก่ี ําหนดใหนั้นไมขนานกับแกน X และแกน Y แลว เราอาจ
ใชว ธิ ดี งั ตวั อยางตอ ไปน้ีเพื่อชว ยในการหาภาพท่ไี ดจากการเล่ือนขนาน
ตวั อยาง ใหน ักเรียนพจิ ารณาการเลือ่ Yนขนานจุด P ดวย MN ตอ ไปน้ี

N6

4
M 2 P•

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 X

2

วิธที ่ี 1 เล่ือนจดุ P ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนวยและเลอื่ นขึ้นไปตามแนวแกน Y 3
หนวย จะไดต าํ แหนง ของจดุ P′ ดังรปู

M4 N6 P′
34
3
2 P4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 X

3

รายวิชา คณิตศาสตร แบบฝกพัฒนาการเรียนรูท ี่ 1 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ชั้น มธั ยมศึกษาปที่ 2

การเลื่อนขนาน M

กาํ หนด ∆ DEF จงเขียนภาพทไี่ ดจ ากการเลอื่ นขYนาน ∆ DEF ดว ย MN
D

6

4F

E 2N

-6 -4 -2 0 24 6 X

รูปแบบการประเมิน ดี พอใช ควรปรบั ปรงุ
ประเมนิ ตนเอง
ประเมินผลจากครู
ประเมนิ ผลจากผูปกครอง

ชอื่ .......................................................................................ช้นั .................เลขท.ี่ .............

4

รายวิชา คณิตศาสตร แบบทดสอบกอ นเรียน- หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) หลงั เรียนที่ 1 การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ช้ัน มธั ยมศึกษาปที่ 2

การเลื่อนขนาน

1. จงหาพกิ ดั ของจดุ (3,-1) ทเี่ กดิ จากการเล่ือนขนานเดยี วกับการสงจดุ B (-2,6) ไปยงั จดุ (6,2)

ก. (11,-5) ข. (13-4)

ค. (5,-5) ง. (0,-11)

2. จงหาพกิ ดั ของจุด A (4,-2) ทเ่ี กิดจากการเล่ือนขนานเดยี วกนั การสงจุด B (-1,5) ไปยังจุด B′

(5,1)

ก. (0,-8) ข. (2,-2)

ค. (10,-6) ง. (8,4)

3. ขอใดจดั เปน การเลอื่ นขนาน

ก. เขม็ นาฬิกาท่กี ําลงั เดนิ

ข. เงาของตน ไมใ นลําธาร

ค. รถไฟที่แลนตรงไป

ง. ชิงชาสวรรค

4. เล่ือนจดุ (5,7) ไปทางซา ย 6 หนวย จะเปน จุดใด

ก. (5,13) ข. (11,7)

ค. (-1,7) ง. (-5,1)

5. เล่ือนจดุ (-8,3) ไปทางซาย 4 หนวย จะเปน จดุ ใด

ก. (-8,7) ข. (-4,3)

ค. (-12,3) ง. (-8,-1)

ชอ่ื .......................................................................................ช้นั .................เลขท.่ี .............

5

รายวิชา คณิตศาสตร ใบความรทู ี่ 2 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 2

การสะทอ น

การสะทอนบนระนาบเปน การแปลงทางเรขาคณติ ทมี่ เี สนตรง  ที่ตรงึ เสน หนึง่ เปนเสนสะทอ น

แตล ะจดุ P บนระนาบจะมีจดุ P′ เปน ภาพทไ่ี ดจ ากการสะทอ นจดุ P โดยท่ี

1. ถา จดุ P ไมอ ยบู นเสน ตรง  แลว เสน ตรง  จะแบง ครงึ่ และต้งั ฉากกบั PP′

2. ถาจดุ P อยูบนเสนตรง  แลว จุด P และจดุ P′ เปนจุดเดียวกัน

ตวั อยา งการสะทอนทม่ี เี สนตรง  เปนเสนสะทอ น

A
C

C′

B

B′

A′

รูปเรขาคณติ ทสี่ ามารถหารอยพับและพับรปู ท้งั สองขา งของรอยพบั ใหทบั กนั สนิทไดเรยี กวา

รปู สมมาตรบนเสน และเรยี กรอยพบั น้นั วา แกนสมมาตร รปู สมมาตรบนเสนแตละรปู อาจมจี าํ นวน

แกนสมมาตรไมเทา กนั เชน D P C

EF

AQ B

ABCD เปน รูปสเี่ หลีย่ มจัตุรสั และเปน รปู สมมาตรบนเสน ทมี่ ีแกนสมมาตร 4 เสน ไดแ ก
AC , BD , EF และ PQ

รปู สมมาตรบนเสน เปนรปู ที่เกิดจากการสะทอ น โดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอ น

6

ในกรณีท่ีกําหนดเสน สะทอนเปนเสน ตรงที่ไมใชแกน X หรือแกน Y อาจหาพกิ ันของจดุ ทเี่ ปน
ภาพทไี่ ดจ ากการสะทอ นจดุ ทีก่ ําหนดใหโดยพิจารณาดงั น้ี

ถาเสน สะทอนไมขนานกบั แกน X และไมขนานกบั แกน Y แตเปนเสนในแนวทแยง ให
ลากเสน ตรงผา นจดุ ท่ีกาํ หนดใหแ ละต้งั ฉากกับเสน สะทอน ภาพของจดุ ทกี่ ําหนดใหจะอยูบ นเสน ตัง้ ฉาก
ทสี่ รา งขนึ้ และอยหู างจากเสน สะทอนเปนระยะเทากนั กบั ทจ่ี ุดทก่ี ําหนดใหอ ยูหา งจากเสนสะทอ น เมอ่ื
ไดภ าพของจดุ น้นั แลวจึงหาพิกดั
ตวั อยา ง กาํ หนดจุด P( -3,3), Q(4,0) และ R (-3,-4) มีเสน ตรง  ผา นจดุ (-4, -2) และ (1,3)
ดงั รูป

Y



P4
• • (1, 3)
(-3, -3) 2

-6 -4 -2 0 Q (4, 0) X
2 •4 6

• (-4, -2) -2

•R -4
(-3, -4)
จากรูปหาพิกัดของจุด P′,Q′ และ R′ ซงึ่ เปน ภาพทไี่ ดจากการสะทอนจดุ P, Q และ R
ตามลาํ ดบั ดังนี้

7

Q′ Y

(-2, 6)

P 4
•
(-3, -3) 2

-4 -2 Q (4, 0) X

R -6 0 P′ (1, -1) 4 6
(-6, -1)
-2

•R -4
(-3, -4)
1) ลากเสนตรง m1 ผา นจดุ P และใหตั้งฉากกับเสนสะทอ น 
2) หาจดุ P′ บนเสน ตรง m1 ที่ทาํ ใหจุด P และจดุ P′ อยูหางจากเสนตรง  เทา กัน
3) จากรปู จะไดพิกดั ของจดุ P′ เปน (1,-1)
4) ในทํานองเดียวกนั เมื่อลากเสนตรง m2 ผานจดุ Q และใหตงั้ ฉากกับเสนสะทอ น  แลว
หาจดุ Q′ จะไดพิกดั ของจดุ Q′ เปน (-2,6)
5) ในทาํ นองเดียวกันเมือ่ ลากเสน ตรง m3 ผานจดุ R และใหตัง้ ฉากกับเสนสะทอน  แลวหา
จดุ R′ จะไดพิกดั ของจุด R′ เปน (-6, -1)

8

รายวิชา คณิตศาสตร แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 2 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดับช้ัน มธั ยมศึกษาปที่ 2

การสะทอ น

ใหนักเรียนพจิ ารณาวา ขอ ใดเปน รปู สะทอน และขอใดเปนรูปการเลอ่ื นขนาน

1. ………………………..

2. ……………………….

3. ……………………….

9

4. ………………………..

รูปแบบการประเมนิ ดี พอใช ควรปรบั ปรงุ
ประเมินตนเอง
ประเมินผลจากครู
ประเมินผลจากผูปกครอง

ชอ่ื .......................................................................................ช้ัน.................เลขท.ี่ .............

10

รายวิชา คณิตศาสตร แบบทดสอบกอ นเรียน- หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) หลังเรียนที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต

ระดับช้ัน มธั ยมศึกษาปที่ 2

การสะทอ น

ใหนักเรียนทําเคร่ืองหมายกากบาท (X) ลงหนา ขอทเี่ ปนคาํ ตอบถูก
1. ขอ ใดจดั เปนการสะทอน

ก. เงาของตนไมใ นลาํ ธาร
ข. เขม็ นาฬิกาทก่ี ําลงั เดนิ
ค. ชงิ ชาสวรรค
ง. รถไฟที่แลน ตรงไป
2. ถารูปตนแบบคอื แลว ภาพของ A′ ท่ีเกิดจากการสะทอ นโดยมแี กน X
เปน เสน สะทอ น คอื ขอ ใด

ก. ข.

ค. ง.

3. กาํ หนด AB โดยมีแกน X เปนเสนสะทอ น จดุ A มีพกิ ัดเปน (-3,4) และจดุ B มีพิกัดเปน
(4,-2) จงหาพกิ ดั ของจดุ A′ และ B′

ก. A′ (-3,-4), B′ (4,2)
ข. A′ (-3,4), B′ (-4,2)
ค. A′ (3,4), B′ (-4,-2)
ง. A′ (3,-4), B′ (-4,2)
4 .ถารปู หนง่ึ เกิดจากการแปลงอีกรปู หนงึ่ โดยทจ่ี ดุ P แปลงไปเปนจุด Y จดุ Q แปลงไปเปนจุด X
และจดุ R แปลงไปเปนจุด Z ดังรูป

P QX Y

Z 11

ก. การเล่อื นขนาน R

ข. การหมนุ

ค. การสะทอ น

ง. การสะทอ นและการหมนุ

5. ขอใดคอื จดุ S′ และ T ′ ซง่ึ เปน ภาพทไ่ี ดจ ากการสะทอน ST โดยมี L เปนเสนสะทอน
YY LL

T 44 SS
T 22

-4-4 --22 00 22 44 XX

-2 -2

ก. S′ (0,1),T ′(-4,2)
ข. S′ (2,3),T ′(6,2)
ค. S′ (1,2),T ′(5,1)
ง. S′ (0,2),T ′(-4,1)

ชอ่ื .......................................................................................ช้นั .................เลขท.ี่ .............

12

รายวิชา คณิตศาสตร ใบความรูที่ 3 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ช้ัน มธั ยมศึกษาปที่ 2

การหมุน

การหมุนบนระนาบเปน การแปลงทางเรขาคณติ ทม่ี จี ดุ O ทต่ี รึงจดุ หนงึ่ เปน จุดหมุนแตล ะจดุ P บน
ระนาบ มจี ดุ P′ เปน ภาพทีไ่ ดจากการหมนุ จดุ P รอบจดุ O ตามทิศทางทีก่ าํ หนดดวยมมุ ที่มขี นาด
k โดยท่ี

1) ถาจดุ P ไมใ ชจดุ O แลว OP = OP′ และขนานของ POˆP′ เทากับ k
2) ถา จดุ P เปน จดุ เดียวกันกบั O แลว P เปน จุดหมุน

ตวั อยา ง จดุ หมนุ O อยบู นรปู ตนแบบ
1)

ตวั อยางที่ 1 ถา ∆ A′B′C′ เปนภาพท่ไี ดจ ากการหมนุ ∆ ABC ทก่ี าํ หนดให รอบจดุ กาํ เนดิ O ตาม
เข็มนาฬกิ าดวยมุมขนาด 180 องศา จงหา

1) พกิ ัดของจุด A′, B′ และ C′ ซึ่งเปน ภาพทไี่ ดจ ากการหมุนจุด A,B และ C ตามลาํ ดับ
2) ∆ A′B′C′ ซ่งึ เปนภาพทไี่ ดจากการหมุน ∆ ABC

13

แนวคิด จากโจทยก ําหนดให O เปน จดุ หมนุ และหมุน ∆ ABC ตามเขม็ นาฬิกาดว ยมมุ ขนาด 180

องศา เราสามารถหาจดุ A′, B′ และ C′ ไดโดยการลากเสนตรงผา นจดุ ยอดมุมของ ∆ ABC กบั
จดุ หมนุ O เพอ่ื ใหเกดิ มมุ ตรงซง่ึ มีขนาด 180 องศา

เมอื่ ลาก AO , BO และ CO แลวใหห าจดุ A′, B′ และ C′ ซง่ึ แตละจดุ จะอยหู า งจากจดุ O
เปนระยะทเี่ ทากันกับระยะทีจ่ ดุ A,B และ C อยาหางจากจดุ O ตามลําดับ

จากแนวคดิ ทาํ ไดด งั น้ี
1. หาพกิ ดั ของจุด A′, B′ และ C′ ดงั นี้

- ลาก AO , BO และ CO
- ใช O เปนจดุ ศูนยกลางรัศมี OA เขยี นสวนโคง ตัด OA ท่จี ดุ A′ จะได A′ (9,-5)
- ใช O เปนจุดศนู ยก ลางรัศมี OB เขียนสว นโคงตดั OAที่จุด B′ จะได B′ (4,-5)
- ใช O เปน จุดศูนยก ลางรัศมี OC เขียนสวนโคงตัด OC ท่ีจดุ C′ จะได C′(4,-1)
นัน่ คือ A′, B′ และ C′ มพี กิ ดั เปน (9,-5), (4,-5) และ (4,-1) ตามลาํ ดับ

2. ลาก A′B′ , B′C′ และ C′A′ จะได ∆ A′B′C′ เปน ภาพทไี่ ดจากการหมนุ ∆ ABC รอบจดุ
กาํ เนิด O ตามเข็มนาฬิกาดว ยมมุ ขนาด 180 องศา

14

15

รายวิชา คณิตศาสตร แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 3 หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) การแปลงทางเรขาคณิต

ระดบั ชั้น มธั ยมศึกษาปที่ 2

การหมุน

: P′Q′R′S′ เปน ภาพท่ไี ดจาการหมนุ PQRS ทวนเขม็ นาฬกิ าดวยมุมที่มขี นาด 90 องศา

รูปแบบการประเมิน พิกดั ของจุด P′ = (.....................) พอใช ควรปรบั ปรงุ
พิกัดของจดุ Q′ = (.....................)
พกิ ัดของจุด R′ = (.....................)
พิกดั ของจดุ S′ = (.....................)

ดี

ประเมนิ ตนเอง

ประเมนิ ผลจากครู

ประเมินผลจากผปู กครอง

ชอ่ื .......................................................................................ช้ัน.................เลขท.่ี .............

16

รายวิชา คณิตศาสตร แบบทดสอบกอ นเรียน- หนวยการเรียนรูที่ 4
(ค 22101) หลงั เรียนที่ 3 การแปลงทางเรขาคณิต

ระดับช้ัน มธั ยมศึกษาปที่ 2 จากรูปท่ีกําหนดให 90°

การหมุน รอบ

1. ขอใดคอื ภาพทเี่ กดิ จากการหมนุ
ทวนเข็มนาฬิกา

ก. ข.

ค. ง.

2. รปู สามเหลยี่ ม ABC จดุ A มพี กิ ดั เปน (3,0) จดุ B มพี ิกัดเปน (5,1) และจดุ C มพี ิกดั เปน (2,3)

จงหาพิกดั ของจุด C บนภาพจากการหมนุ รปู สามเหลย่ี ม ABC โดยหมนุ รอบจุดกาํ เนดิ ดวยมมุ 180°

ก. (2,3) ข. (2,-3)

ค. (-2,3) ง. (-2,-3)

3. รปู สามเหลย่ี ม DEF จดุ D มพี กิ ดั เปน (3,0) จดุ E มพี กิ ดั เปน (5,1) และ จดุ F มีพิกัดเปน (2,3)

จงหาพิกดั ของจดุ E บนภาพจากการหมนุ รปู สามเหลยี่ ม DEF โดยหมนุ รอบจุดกาํ เนิดดวย 180°

ก. (5,-1)) ข. (-5,-1)

ค. (5,1) ง. (-5,1)

17

4. ขอใดเปนการหมุน ∆ ABC โดยการหมนุ เขม็ นาฬกิ า และมจี ดุ P เปนจุดหมุน เปนมุม 90 องศา
ก. ข.

ค. ง.

5. ขอ ใดจัดเปนการหมนุ
ก. เงาของตนไมใ นลําธาร
ข. เขม็ นาฬิกาทีก่ ําลงั เดิน
ค. ชงิ ชา สวรรค
ง. รถไฟท่ีแลน ตรงไป
ชอ่ื .......................................................................................ช้ัน.................เลขที.่ .............

18