KONSEP NILAI MUTLAK

e-Book anyflip

arini@876_1

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
MENEMUKAN KONSEP NILAI MUTLAK, GAMBAR GRAFIK

DAN PERSAMAAN NILAI MUTLAK
KELAS X. MIPA 1 SMA NEGERI 2 PEMALANG

Guru Mata Pelajaran : Darori, S.Pd.

1. Konsep Nilai Mutlak

Nilai mutlak sebuah bilangan adalah jarak yang diukur dari 0 pada garis bilangan. Karena jarak selalu
positif atau nol maka nilai mutlak sebuah bilangan selalu tidak negatif. Jika x adalah suatu bilangan
real, maka nilai mutlak dari x diberi simbol | |. Untuk menentukan konsep dari nilai mutlak silahkan
perhatikan dari ilustrsi di bawah ini.

Perhatikan konsep jarak antara dua titik pada garis bilangan di bawah ini :

3 5

A● C● B● ● E● 2 ●D
-4 -2 -1
-3 0 123 4

Gambar 1

Gambar di atas menunjukkan bahwa :

a. Jarak dari titik A ke titik B adalah B – A = -1 – (-4) = -1 + 4 = 3
b. Jarak dari titik C ke titik D adalah D – C = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5
c. Jarak dari titik E ke titik D adalah D – E = 3 – 1 = 2

Berdasarkan ilustrasi di atas dapat disimpulkan sebagai berikut :
• Jarak dari titik a ke titik b pada garis bilangan adalah :

a − b, jika a > b
d(a, b) = {0, jika a = b

b − a, jika a < b

atau disingkat :

d(a,b) = {−a,a, jika a ≥ 0
jika a < 0

arini@876_2

Konsep nilai mutlak dari bilangan real x mempunyai pengertian secara geometris sebagai
jarak dari x ke 0 pada garis bilangan sehingga nilai mutlak dapat digunakan sebagai ukuran
jarak antara dua bilangan(titik) pada garis bilangan real.
Secara umum, nilai mutlak untuk ∈ didefinisikan sebagai berikut.

| | = {− ,, jika ≥ 0
jika < 0

--------------- +++++++++++
●

x<0 0 x≥0

| | = − | | =

Gambar 2

Contoh 1 :
Tentukan nilai dari nilai mutlak di bawah ini :

a. |−6|
b. |0|
c. |8|
d. |√3 − 2|
e. |2 − √3|
f. |4| + |−8| − |−2|

Jawab :
a. |−6| = −(−6) = 6
b. |0| = 0
c. |8| = 8
d. |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3 ................ ( karena √3 < 2 )
e. |2 − √3| = 2 − √3 ....................................... ( karena 2 > √3 )
f. |4| + |−8| − |−2| = 4 + 8 − 2 = 10

arini@876_3

Contoh 2 :

Tulislah dalam bentuk definisi fungsi nilai mutlak
a. ( ) = | − 2|
b. ( ) = |2 − 6|
c. ( ) = |31 + 9|
d. ( ) = |4 − 2 |

Jawab :

a. ( ) = | − 2|
Jika ≥ 2 maka − 2 ≥ 0 sehingga | − 2| = − 2
Jika < 2 maka − 2 < 0 sehingga | − 2| = 2 −

Atau bisa ditulis sebagai berikut :

| − 2| = { 2 −2, jika ≥ 2
− , jika < 2

b. ( ) = |2 − 6| jika ≥ 3
|2 − 6| = {26 −−26 ,, jika < 3

. ( ) = 1 + 9|
|3

1 + 9 jika ≥ −27
3 , jika < −27
1 1
|3 + 9| = {

− 3 − 9,

d. ( ) = |4 − 2 |

|4 − 2 | = {42 − −2 4 ,, jika ≤ 2
jika > 2

2. Sifat – Sifat Nilai Mutlak

Jika x dan y adalah sembarang bilangan real maka :

a. | − | = | − |

b. | . | = | |. | |

c. | | = | |
| |

arini@876_4

Contoh 3 :
Lengkapi tabel berikut :

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
√ 2
| |
| |2

a. Perhatikan tiap – tiap nilai pada tabel di atas
b. Baris manakah yang memiliki nilai sama

Kesimpulan :
1. | | = ⋯
2. | |2 = ⋯

Jadi : | | = √ 2
| |2 = 2

3. Menggambar Grafik Nilai Mutlak

Contoh :
Gambarlah grafik dari = | − 2|
Jawab :
Langkah pertama kita abuat dulu tabel berikut :

Tabel :

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
= | − 2| 5 4 3 2 1 0 1 2
(-3, 5) (-2, 4) (-1, 3) (0, 2) (1, 1) (2, 0) (3, 1) (4, 2)
(x, y)

Langkah kedua titik – titik koordinat di atas dituliskan pada grafik koordinat kartesius
Grafik fungsi dari : = | − 2| adalah :

arini@876_5

= | − 2|

Gambar 3

4. Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan dimana pernyataan yang memuat variabel ada dalam tanda nilai mutlak ( |… | ) disebut
persamaan nilai mutlak.
Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut :
Jika a adalah bilangan real
| | =

1. Menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan cara aljabar

Cara 1 : x = −a
| | =
Maka :
x = a atau

Jadi himpunan penyelesaiannya : {− , }

arini@876_6

Cara 2 :
| | =

Maka : Pemfaktoran :
2 − 2 = ( + )( − )
2 = 2
2 − 2 = 0
( + )( − ) = 0
+ = 0 atau − = 0
x = - a atau x = a

Jika ditanya himpunan penyelesaiannya :
Maka himpunan penyelesaiannya : {− , }

Contoh 4 :
Selesaikan persamaan berikut :

a. | − 2| = 6
b. | − 3| + 2 = 5
c. |3 − 2| = | + 4|
d. | 2 − 10| = 6

Jawab :

a. | − 2| = 6

Cara 1 :

| − 2| = 6 x–2=–6
x – 2 = 6 atau x =–6+2
x = 6 + 2 atau x =–4
x = 8 atau

Jika ditanya himpunan penyelesaiannya :
Maka himpunan penyelesaiannya : {−4, 8}

arini@876_7

Cara 2 : Pemfaktoran :
| − 2| = 6 2 − 2 = ( + )( − )
( − 2)2 = 62
( − 2)2 − 62 = 0
( − 2 + 6)( − 2 − 6) = 0
( + 4)( − 8) = 0
+ 4 = 0 atau − 8 = 0
= −4 atau = 8

Jika ditanya himpunan penyelesaiannya :
Maka himpunan penyelesaiannya : {−4, 8}

Untuk selanjutnya silahkan kamu pilih dengan cara mana yang menurut kamu paling mudah, boleh
cara 1 maupun cara 2

b. | − 3| + 2 = 5

Jawab :
| − 3| + 2 = 5
| − 3| = 3
− 3 = 3 atau − 3 = −3
= 6 atau = 0
Himpunan penyelesaiannya adalah {0, 6}

c. |3 − 2| = | + 4|

Jawab :
Cara 1 :

|3 − 2| = | + 4|
3 − 2 = + 4 atau 3 − 2 = −( + 4)
3 − = 4 + 2 atau 3 − 2 = − − 4
3 − = 4 + 2 atau 3 + = −4 + 2
2 = 6 atau 4 = −2

1
= 3 atau = − 2

arini@876_8

Cara 2 : Pemfaktoran :
|3 − 2| = | + 4| 2 − 2 = ( + )( − )
(3 − 2)2 = ( + 4)2
(3 − 2)2 − ( + 4)2 = 0
((3 − 2) + ( + 4))((3 − 2) − ( + 4)) = 0
(4 + 2)(2 − 6) = 0
4 + 2 = 0 atau 2 − 6 = 0
4 = −2 atau 2 = 6
1
= − 2 atau = 3

d. | 2 − 10| = 6

Jawab :
| 2 − 10| = 6
2 − 10 = 6 atau 2 − 10 = −6
2 = 10 + 6 atau 2 = −6 + 10
2 = 16 atau 2 = 4
= ±4 atau = ±2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−2, 2, −4, 4}

Contoh 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan | − 3| + |3 − 1| = 12

Jawab :

Dengan definisi nilai mutlak diperoleh :

| − 3| = { 3 −3, jika ≥ 3 ...................... ( 1 )
− , jika < 3

dan

3 − 1 , 1 ...................... ( 2 )
|3 − 1| = { jika ≥ 3

1 − 3 , 1
jika < 3

Dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) maka ada tiga syarat x , yaitu : < 1 , 1 ≤ < 3 , dan ≥3
3 3

arini@876_9

Tiga syarat domain di atas diperoleh dari :

Ada 3 daerah yaitu : sebelah kiri 1 , antara 1 dan 3 , dan sebelah kanan 3
3 3

Adapun untuk menentukan tanda “ < “ , " ≤ “ , " ≥ " dengan melihat didefinisi nilai mutlak di atas,

yaitu :

< 1 , ≥ 1 dan < 3 ( ditulis 1 ≤ < 3 ) , ≥ 3
3 3 3

1 1 ≥ 3
< 3 3 ≤ < 3

13
3

a. Untuk < 1
3

| − 3| + |3 − 1| = 12

(3 − ) + (1 − 3 ) = 12

−4 + 4 = 12

−4 = 8

= −2 ( memenuhi karena = −2 berada pada domain < 1 )
3

b. Untuk 1 ≤ < 3

3

| − 3| + |3 − 1| = 12

(3 − ) + (3 − 1) = 12

2 + 2 = 12

2 = 10

= 5 ( tidak memenuhi karena = 5 tidak berada pada domain 1 ≤ <3 )
3

c. Untuk ≥ 3

| − 3| + |3 − 1| = 12
( − 3) + (3 − 1) = 12
4 − 4 = 12
4 = 16
= 4 ( memenuhi karena = 4 berada pada domain ≥ 3 )
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : {−2, 4 }

arini@876_10

2. Menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan cara Grafik
Contoh 6
Tentukan penyelesaian persamaan | + 2| = 4 dengan cara grafik
Jawab :
a. Langkah pertama kita buat grafik fungsi = | + 2|
b. Kemudian buat grafik fungsi y = 4
c. Carilah titik potong antara grafik fungsi = | + 2| dengan grafik fungsi y = 4
d. Hasil penyelesaiannya adalah absis dari koordinat titik potong tersebut.
e. Coba kamu bandingkan dengan penyelesaian persamaan nilai mutlak dengan cara aljabar

! bagaimana hasilnya, sama atau tidak ?

Gambar 4
Jadi penyelesaian dari persamaan nilai mutlak | + 2| = 4 adalah – 6 dan 2
Himpunan Penyelesaiannya adalah : HP = { -6, 2 }

arini@876_11

Latihan Soal :

1. Tulislah dalam bentuk definisi fungsi nilai mutlak
a. ( ) = | − 8|

b. ( ) = |4 − 8|

c. ( ) = |3 − |
d. ( ) = |21 − 4|
2. Tentukan nilai dari :
a. |8|
b. |−10|
c. |−3| + 3
d. |−6| − 4
e. |20| − |−4| + |−6|

f. 32 + 4 − |−12 − 3|

g. |2 − √7| + |5 − √7|

3. Selesaikan persamaan berikut
a. | | + 4 = 10

b. 2| | = 13
c. 5 = 2| | − 3
d. 28 = 5| | + 3

4. Tentukan himpunan penyelesaiannya !
a. | − 3| = 2
b. |7 − | = 3

c. | − 4| − 2 = 7

d. |2 − 3| − 5 = 3

e. |3 − 5| = 4

f. 2 |2 + 1| = 4

3

g. | + 3| = | − 4|

h. |4 − 3| = | − 7|
i. | 2 − 9| = 5

j. | | + | − 2| = 4

k. | + 3| + |2 − 5| = 14

5. Gambarlah grafik fungsi di bawah ini :
a. ( ) = | − 4|
b. ( ) = | + 2|

arini@876_12

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, Marthen dan Yuza Terzalgi. 2013. Matematika untuk SMA-MA kelas X . Bandung
: Yrama Widya

Mujiono dan Dian Yustin Retnasari. 2019. Buku Siswa Matematika untuk SMA/MA Kelas X.
Surakarta : PT Putra Nugraha Sentosa

Noormandiri, B.K dan Endah Sucipto. 2004. Buku Pelajaran Matematika SMA untuk Kelas
X. Jakarta : Erlangga

Tim Kreatif. 2013. Belajar Prakstis Matematika Mata Pelajaran Wajib untuk SMA / MA
Kelas X Semester 1. Klaten : Viva Pakarindo

*** Selamat belajar, semoga kita beserta keluarga selalu diberikan kesehatan dan keselamatan @arini876 ***

arini@876_13