MATEMATIKA NILAI STASIONER DAN JENISNYA

TITIK STASIONER DAN JENISNYA SERTA GRAFIK FUNGSI
MATEMATIKA WAJIB SMA KELAS XI
SMA NEGERI 2 PEMALANG

GURU MATA PELAJARAN : DARORI, S.Pd

arini@876_1

APLIKASI TURUNAN (2)
TITIK STASIONER & JENISNYA SERTA GRAFIK FUNGSI

KELAS XI. MIPA 1-3 SMA NEGERI 2 PEMALANG

GURU MATA PELAJARAN : DARORI, S. Pd.

Seperti yang sudah dibahas pada pertemuan minggu lalu tentang interval fungsi naik dan interval fungsi

turun. Kita ingat kembali tentang fungsi naik dan fungsi turun.
1. Syarat fungsi naik jika ′( ) > 0
2. Syarat fungsi turun jika ′( ) < 0

Contoh 1 :
Tentukan interval yang menunjukkan fungsi ( ) = 3 + 9 2 + 15 + 4

a. Naik

b. Turun

Jawab :
Diketahui : ( ) = 3 + 9 2 + 15 + 4
Maka : ′( ) = 3 2 + 18 + 15

a. ( ) merupakan fungsi naik jika ′( ) > 0
′( ) > 0
3 2 + 18 + 15 > 0
1
3 (3 + 15)(3 + 3) > 0
( + 5)(3 + 3) > 0
= −5 atau = −1

++++ −−− ++++

-5 -1
x < -5 atau x > -1

Jadi interval fungsi naik : < −5 atau > −1

b. ( ) merupakan fungsi naik jika ′( ) < 0
′( ) < 0
3 2 + 18 + 15 < 0

++++ −−− ++++

-5 -1
−5 < < −1

Jadi interval fungsi turun : −5 < < −1

arini@876_2

3. Titik Stasioner dan Jenis – Jenisnya
Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Y

-1 0 1X
( ) = 1 − 2

Gambar : 1

( ) = 1 − 2

′( ) = −2

1. Fungsi naik : ′( ) > 0
−2 > 0
< 0

2. Fungsi turun : ′( ) < 0
−2 < 0
> 0

3. Fungsi Stasioner (tidak naik dan tidak turun) : ′( ) = 0
−2 = 0
= 0

Y

2 ( ) = 3 5 − 5 3
X
-2 -1 0 1
-2 2

Gambar : 2

arini@876_3

Syarat Stasioner ′( ) = 0
( ) = 3 5 − 5 3

′( ) = 15 4 − 15 2
15 4 − 15 2 = 0
15 2( 2 − 1) = 0
15 2( − 1)( + 1) = 0
= 0 atau = 1 atau = −1
= −1 maka ( ) = 3 5 − 5 3

(−1) = 3(−1)5 − 5(−1)3
(−1) = 3(−1) − 5(−1)
(−1) = 2
Nilai stasioner untuk x = -1 adalah 2
= 1 maka ( ) = 3 5 − 5 3
(1) = 3(1)5 − 5(1)3
(1) = 3(1) − 5(1)
(1) = −2
Nilai stasioner untuk x = 1 adalah -2
= 0 maka ( ) = 3 5 − 5 3
(0) = 3(0)5 − 5(0)3
(0) = 3(0) − 5(0)
(0) = 0
Nilai stasioner untuk x = 0 adalah 0
Jadi fungsi tersebut stasioner terjadi di titik (-1, 2), (1, -2), dan (0, 0) dan titik – titik tersebut disebut titik
stasioner.
Jadi titik stasioner fungsi ( ) = 3 5 − 5 3 adalah : (-1, 2), (1, -2), dan (0, 0)

Jenis – Jenis Titik Stasioner

1. Titik Balik Minimum

−−− ++++ • Untuk x < 1 nilai ′( ) negatif
1 Untuk x = 1 nilai ′( ) = 0
Untuk x > 1 nilai ′( ) positif
Gambar : 3 Karena nilai ′( ) berubah tanda dari

negatif ke nol kemudian ke positif maka

jenis titik baliknya disebut titik balik

minimum

arini@876_4

2. Titik Balik Maksimum

++++ −−− • Untuk x < 1 nilai ′( ) positif
1 Untuk x = 1 nilai ′( ) = 0
Gambar : 4 Untuk x > 1 nilai ′( ) negatif
Karena nilai ′( ) berubah tanda dari

positif ke nol kemudian ke negatif maka

jenis titik baliknya disebut titik balik

maksimum

3. Titik Belok • Untuk x < 1 nilai ′( ) positif
Untuk x = 1 nilai ′( ) = 0
++++ ++++ Untuk x > 1 nilai ′( ) positif
1 Karena nilai ′( ) berubah tanda dari

Gambar : 5 positif ke nol kemudian ke positif maka

jenis titik baliknya disebut titik belok

• Untuk x < 1 nilai ′( ) negatif
Untuk x = 1 nilai ′( ) = 0
Untuk x > 1 nilai ′( ) negatif
Karena nilai ′( ) berubah tanda dari

positif ke nol kemudian ke positif maka

jenis titik baliknya disebut titik belok

−−− −−−

1

Gambar : 6

Pada Gambar 2 berarti :
• Titik balik maksimum (-1, 2)
• Titik belok (0, 0)
• Titik balik minimum (1, -2)

Contoh 2 :
Diketahui fungsi ( ) = 2 3 − 9 2 + 12

Tentukan :

a. Titik stasioner
b. Jenis titik stasioner
c. Nilai maksimum dan nilai minimum

arini@876_5

Jawab :
( ) = 2 3 − 9 2 + 12
′( ) = 6 2 − 18 + 12

a. Titik stasioner syaratnya ′( ) = 0
′( ) = 0
6 2 − 18 + 12 = 0
2 − 3 + 2 = 0
( − 1)( − 2) = 0
= 1 atau = 2
= 1 maka f(1) = 2(1)3 − 9(1)2 + 12(1) = 5
= 2 maka f(2) = 2(2)3 − 9(2)2 + 12(2) = 4

Jadi terdapat dua titik stasioner yaitu (1, 5) dan (2, 4)

b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, dibuat garis bilangan :

• ′( ) = 6 2 − 18 + 12

• x = 0 maka ′( ) = 6(0)2 − 18(0) + 12 = 12 (positif)

++++ ● − − − ● ++++ • x = 1 maka ′( ) = 6(1)2 − 18(1) + 12 = 0 (nol)
12
• x = 3 maka ′( ) = 6 ( 3)2 − 18 ( 3) + 12 = − 3 (negatif)
2 22 2

• x = 3 maka ′( ) = 6(3)2 − 18(3) + 12 = 12 (positif)

Maksimum Minimum

Gambar : 7

Dari grafik dapat dilihat bahawa titik (1, 5) adalah titik balik maksimum dan titik (2, 4) adalah titik balik
minimum

c. Nilai maksimum, minimum, serta grafik fungsi
Y

( ) = 2 3 − 9 2 + 12
5

4 X
0 12

Gambar : 8
Jadi nilai maksimumnya adalah ∞ dan nilai minimumnya adalah −∞

arini@876_6

Contoh 3 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi ( ) = 3 dalam interval −2 ≤ ≤ 2

Jawab :
( ) = 3
′( ) = 2 2
′( ) = 0
2 2 = 0
= 0

Cari nilai fungsinya dengan mengambil titik-titik ujung interval dan titik pembuat stasioner yaitu :
Untuk x = -2, 0, dan 2
Untuk x = -2 maka (−2) = (−2)3 = −8
Untuk x = 0 maka (0) = (0)3 = 0
Untuk x = 2 maka (2) = (2)3 = 8

Jadi nilai maksimum fungsinya : 8 dan nilai minimumnya : -8

Contoh 4 :
Diketahui fungsi ( ) = 4 + 4 3 − 2 2 − 12 + 4 pada interval −2 ≤ ≤ 0

Tentukan :
a. Titik stasioner
b. Jenis titik stasioner
c. Nilai maksimum dan nilai minimum
d. Grafik fungsi

Jawab :
a. Titik stasioner
( ) = 4 + 4 3 − 2 2 − 12 + 4
′( ) = 4 3 + 12 2 − 4 − 12
′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3)
′( ) = 0
4 3 + 12 2 − 4 − 12 = 0
4( − 1)( + 1)( + 3) = 0
3 + 3 2 − − 3 = 0
( − 1)( + 1)( + 3) = 0
= 1, atau = −1 atau = −3

Untuk x = 1 maka (1) = (1)4 + 4(1)3 − 2(1)2 − 12(1) + 4 = −5
Untuk x = -1 maka (−1) = (−1)4 + 4(−1)3 − 2(−1)2 − 12(−1) + 4 = 11
Untuk x = -3 maka (−3) = (−3)4 + 4(−3)3 − 2(−3)2 − 12(−3) + 4 = −5

Jadi titik stasionernya adalah A (1, -5), B (-1, 11), dan C (-3, -5)

arini@876_7

b. Jenis titik stasioner

Kita akan menguji daerah :

sebelah kiri -3 yaitu kita ambil angka -4

antara -3 dan -1 yaitu kita ambil angka -2

antara -1 dan 1 kita ambil angka 0

sebelah kanan 1 kita ambil angka 2
Akan diuji ke ′( ) untuk mengetahui daerah tersebut positif atau negatif

′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3)
• x = -4 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (negatif)
• x = -3 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (nol)
• x = -2 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (positif)
• x = -1 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (nol)
• x = 0 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (negatif)
• x = 1 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (nol)
• x = 2 maka ′( ) = 4( − 1)( + 1)( + 3) (positif)

−−− ● ++++ ● − − − ● ++++
-4 -3 -2 -1 0 1 2

Gambar : 9

Jadi jenis titik – titik stasionernya adalah :
• Titik A(-3, -5) Titik balik minimum
• Titik B(-1, 11) titik balik maksimum
• Titik C(1, -5) titik balik minimum

c. Nilai maksimum dan minimum
( ) = 4 + 4 3 − 2 2 − 12 + 4 pada interval −2 ≤ ≤ 0

Untuk x = 1 maka (1) = (1)4 + 4(1)3 − 2(1)2 − 12(1) + 4 = −5
Untuk x = -1 maka (−1) = (−1)4 + 4(−1)3 − 2(−1)2 − 12(−1) + 4 = 11
Untuk x = -3 maka (−3) = (−3)4 + 4(−3)3 − 2(−3)2 − 12(−3) + 4 = −5
Titik – titik ujung interval :
Untuk x = -2 maka (−2) = (−2)4 + 4(−2)3 − 2(−2)2 − 12(−2) + 4 = 4
Untuk x = 0 maka (0) = (0)4 + 4(0)3 − 2(0)2 − 12(0) + 4 = 4
Jadi nilai maksimum 11 dan nilai minimumnya -5

arini@876_8

d. Jika digambar grafiknya kita cukup mengambil titik-titik stasionernya untuk membantu dalam
pembuatan sketsa grafiknya

Y
(−1,11)

11

( ) = 4 + 4 3 − 2 2 − 12 + 4

-3 -1 0 1 X

(−3, −5) -5
(1, −5)

Gambar : 10

LATIHAN

1. Tentukan interval yang menunjukkan fungsi berikut naik dan interval fungsi turun

a. ( ) = 2 − 5 + 6

b. ( ) = 3 + 9 2 − 13

22

c. ( ) = 2−
2

2. Tunjukkan bahwa fungsi ( ) = 5 + 3 3 + − 12 selalu naik untuk setiap x bilangan real

3. Tunjukkan bahwa fungsi ( ) = − 1 3 − 8 + 6 selalu turun untuk setiap x bilangan real
3

4. Tentukan titik stasioner beserta jenisnya dari fungsi-fungsi berikut:

a. = 2 − 8 + 10

b. = 3 + 3 2 + 3 − 3

c. = 1 3 − 3 2 + 2 + 3
3 2

d. = 3 − 6 2 + 9 − 7

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi berikut dalam interval yang telah diketahui,

kemudian tulislah hasilnya dalam bentuk ≤ ( ) ≤
a. ( ) = 2 − 6 + 5 dalam interval −2 ≤ ≤ 7

arini@876_9

b. ( ) = + 9 dalam interval −5 ≤ ≤ 4



c. ( ) = 2 dalam interval −4 ≤ ≤4

−3

d. ( ) = 3 + 9 2 + 15 − 2 dalam interval −4 ≤ ≤ 5

6. Diketahui fungsi ( ) = 3 − (2 + 1) 2 + 15 − 4.

7. Fungsi tersebut mencapai nilai balik maksimum untuk x = 1

a. Tentukan nilai k

b. Tentukan koordinat titik balik minimumnya

8. Tentukan titik stsioner, jenis titik stasioner, nilai maksimum, nilai balik minimum dan grafiknya dari

fungsi-fungsi berikut :
a. ( ) = 2 − 8 + 7 pada interval −1 ≤ ≤ 6
b. ( ) = − 2 + 4 − 3
c. ( ) = 2 − 2 + 3 pada interval −3 ≤ ≤ 8
d. ( ) = 3 − 3 2 + 4 pada interval −4 ≤ ≤ 5
e. ( ) = 3 − 9 2 + 24 − 1
f. ( ) = 3 − 9 2 + 15 + 2
g. ( ) = 4 − 2 2 + 2
h. ( ) = 3 4 − 4 3

9. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi berikut :
a. ( ) = ( − 3)2, = [0, 5]
b. ( ) = 2 − 2 − 1, = [−1, 2]
c. ( ) = − 3 , = [−1, −1]
d. ( ) = 3 − 3 2 + 1 , = [−1, 3]
e. ( ) = 2 3 − 3 2 − 12 + 8 , = [0, 3]

10. Gambarlah grafik fungsi ( ) = 3(4 − )

Keterangan :
• = [−1, 2] artinya pada interval −1 ≤ ≤ 2
• = (−1, 2] artinya pada interval −1 < ≤ 2
• = [−1, 2) artinya pada interval −1 ≤ < 2
• = (−1, 2) artinya pada interval −1 < < 2

arini@876_10