MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
MODUL 1: SUKATAN MEMBULAT
NOTA RINGKAS
• Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat sebuah bulatan oleh lengkok
yang sama panjang dengan jejari bulatan itu
8.1 Radian
Pertukaran unit radian kepada darjah dan sebaliknya.
x rad 180o Darjah 180o
1 rad = = 57.3°
Radian
xo 1 o = rad = 0.01745
180o 180
Contoh 1:
Tukarkan 120 okepada radian
Penyelesaian :
120° = 120
× 180 1° = 180
2
= 3 2.0947
Latihan 1
Tukar sudut yang berikut kepada darjah kepada radian.
(Beri jawapan anda dalam sebutan ).
(a) 15 (b) 30 (c) 90
Penyelesaian : (e) 315
[ ] [ ]
1 = rad 6
180 2
=> 15 = 15 = rad (f) 300
180
= rad
12
(d) 45
[ ] [1.75 ] 1.67
4
1
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 2 a: Contoh 2 b :
Tukarkan 1.047 radian kepada darjah
Penyelesaian : Tukarkan kepada darjah
6
180°
1 = Penyelesaian :
180° 180°
1.047 = 1.047 × 6 = 6 ×
= 60° = 30°
Latihan 2
1. Tukar sudut yang berikut dari radian kepada darjah.
(Beri jawapan anda tepat kepada dua tempat perpuluhan.)
(a) 0.5 rad (b) 2 rad (c) 5 rad
Penyelesaian : 3 6
1 rad = (e) rad 120°
180 5
(f) (2− 1.5) rad
=> 0.5 rad = 0.5 180
= 28.65 150°
(d) 4.562 rad
261.38° 36° 274.06°
1.7453
2. Tukar sudut yang berikut dari darjah kepada radian.
(Beri jawapan anda tepat kepada 4 angka bererti).
(a) 20 (b) 50 (c) 100
Penyelesaian :
1 = rad
180
=> 20 = 20 = rad
180
= 0.3491 rad (e) 70.4 0.8727
(d) 230
(f) 30830’
[Ingat!!!!..... 1 = 60’]
4.015 1.229 5.385
2
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
8.2 Panjang Lengkok Bulatan
B Dalam rajah di sebelah, lengkok AB mencangkumsuatusudut
j s rad di pusatbulatan O. Katakan s dan j masing -
masingmewakilipanjanglengkokdanjejaribulatan.
Oj Panjanglengkok AB berkadarlansungdengansudut yang
u
A tercangkumpadapusat O. Denganperkadaran
= ℎ
ℎ 0
=
2 2
s = j
Contoh 3 :
Diberi bulatan dengan pusat 0 , jejari 5 cm. Cari panjang lengkok PQR jika sudutP adalah
1.2 radian
Penyelesaian :
Formula panjang lengkok adalah seperti berikut :
=
Diberi = 5 dan = 1.2
= (5)(1.2 )
= 6
Latihan 3
Kira panjang lengkok AB bagi setiap sektor dan bulatan berikut :
Rajah Jejari, j dalam(rad) Panjang lengkok, s
1 7 cm 2.73 rad s = jθ
. = 7 2.73
2.73 rad = 19.11 cm
B
A
O 7 cm
2
.
4.412 B
rad
5 cm O
A [22.06]
3
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
3 [9.536]
.
B
s
1.95 rad 8 cm A
O
4
.B
1.45 A
rad
O 18 cm
5 [ 26.1]
. [52.84]
[8.1684]
10 cm
1 rad A
B 26
6 = rad
.
18 cm
26
4
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 4 :
Penyelesaian :
Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan Diberi = 6 dan s = 7.68
dengan sektor POQ yang mempunyai jejari S = j
6 cm. Diberi panjang lengkok minor PQ 7.68 = (6)( )
adalah 7.68 cm. Cari nilai dalam radian.
7.68
= 6
= 1.28
Latihan 4
Cari nilai dalam radian bagi setiap sektor dan bulatan berikut :
Rajah Jejari, j Panjang lengkok, s (dalam rad)
1. S = 19.11 7 cm 19.11 cm
B cm =
rad 2.73 rad
O 7 cm A
2.
S= 22.06cm rad
=
rad B
O [4.412 rad]
5 cm
A
3. B
S = 9.536 cm
rad
O 8 cm A
[1.192 rad]
5
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 5 :
Suatu lengkok dengan panjang 5 cm mencakupi sudut 69° pada pusat suatu bulatan.
Carikan jejari bulatan itu.
Penyelesaian : Panjang lengkok, s = jθ
5 = j × 1.204
= j = 4.153 cm
Diberi
π
= 69° × 180°
= 1.204 rad.
Latihan 5
Kira panjang jejari bagi setiap sektor dan bulatan berikut :
Rajah (dalam rad) Panjang lengkok, s Jejari, j
1.
S = 19.11 s = j
cm
2.73 rad 19.11 cm 19.11 = j ( 2.73)
B 2.73 rad j = 7 cm
A
O
2. B [7 cm]
S = 7.96 cm [2 cm]
3.98
rad
O
A
3. S = 6 cm
B
2 rad A
O
[ 3 cm]
6
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
8.2.2 Perimeter Tembereng Bulatan
Kawasan yang berlorek dalam rajah merupakan tembereng bulatan. Perimeter bagi
tembereng ialah hasil tambah semua sempadannya.
Perimeter tembereng =
2 2 +
di mana j = jejari dan = sudut yang dicangkum oleh tembereng
Contoh 6:
Hitungkan perimeter bagi tembereng bulatan seperti dalam rajah di sebelah.
Penyelesaian: POQ = 53.48°
Sin = 4.5 Perimeter tembereng
10 = 2 (10) (sin 532.48°) + 10 ( 0.9335)
= 18.3339 cm
= 26.74°
Latihan 6. Soalan
Hitungkan perimeter sektor minor SOT.
No Gambarajah
1
[65.966 cm]
2 Hitungkan perimeter sektor major FOG.
[ 81.632 cm]
3. Hitungkan perimeter sektor major AOB.
Diberi sudut major AOB ialah 235°15’
dengan jejari 5 cm.
O
A
B [29.39 cm]
7
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
8.3 Luas Sektor B
= j s
A
= θ Oj
2 2 u
L= 1 2
2
Luas , L = = 1 2
2
Contoh 7 : Q P
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan 1.2
diameter PR. Diberi bahawa PR=20 cm dan POQ = 1.2 rad. rad.
Cari
(a) luas sektor minor POQ O
(b) luas sektor QOR
R
Penyelesaian
(a) r= ½ PR = 1.2
A = 1 r 2 rad.
2 = ½ (20)
= 1 (10)2(1.2) = 10 cm
2
= 60 cm2 r= ½ PR = − 1.2 rad.
= ½ (20) = 1.942 rad.
(b) = 10 cm
A = 1 r 2
2
= 1 (10)2(1.942)
2
= 97.1 cm2
8
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Latihan 7
Kira luas sektor bagi setiap rajah yang berikut.
Rajah jejari Luas sektor
(dalam rad) L
j
(a)
5.5 cm
0.62rad
[ 9.38 ]
(b) Sektor major SOT
(c) Sektor major JOK [281.25]
[10.45]
K [18.75]
3 cm
0.82 rad
JO
(e) Sektor major SOT
9
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 8 :
Suatu sektor bulatan dengan jejari 8 cm mempunyai luas 73.6 cm2. Carikan sudut sektor
bulatan dalam darjah dan minit.
Penyelesaian :
Luas Sektor = 1 j2θ θ = 73.6
2 32
1 = 2.3 rad.
2
73.6 = (8)2θ 180°
= 2.3 × π
73.6 = 32θ
= 131.78°
= 131° 47'
Latihan 8
Kirakan sudut sektor bagi setiap rajah yang berikut.
Rajah jejari Luas sektor
j L (dalam rad)
(a) L = 1 2
5.5 cm 2
1
A = 30cm2 5.5 cm 30 cm2 30 = 2 (5.5)2
= 1.9835 rad
(b) Suatu sektor bulatan dengan jejari 4 cm [2.4]
mempunyai luas 19.2 cm2. Carikan
sudut sektor bulatan dalam darjah dan
minit.
(c) Sektor AOB
[0.644]
(e) Sektor OPQ
[0.609]
10
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 9 :
Carikan jejari suatu sektor jika sudut yang dicakupi pada pusat bulatan ialah 1.55 radian dan
luas sektor ialah 27.9 cm2.
Penyelesaian :
Luas Sektor = 1 j2θ
2
27.9 = 1 j2(1.55)
2
j2 = 27.9
0.775
= 36
j = 6 cm
Latihan 9
Kira jejari suatu sektorbagi setiap kes yang berikut.
Rajah Luas sektor, L (dalam rad) jejari, j
(a) [8.98]
A = 25 cm2
0.62 rad
(e) Carikan jejari suatu sektor jika
sudut yang dicakupi pada
pusat bulatan ialah 2.27
radians dan luas sektor ialah
113.5 cm2.
(c) Luas sektor major [10]
JOK = 30cm2 [5.08]
K
0.82 rad
JO
11
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Latihan Pengukuhan
1. . Rajah menunjukkan 2.
sektor sepunya dengan Rajah menunjukkan
sebuah bulatan dengan
pusat. Diberi bahawa pusat O dan diameter 16
cm. Diberi panjang
AB : OA = 3 : 2, cari lengkok PQ ialah 16 cm.
Cari
a) panjang bagi OA
dan AB
b) perimeter rajah yang
berlorek. a) , dalam darjah dan minit terhampir
b) panjang PQ
c) kawasanrantauberlorek
[a)2 ,3 b) 15.8 ] [ a) 1140 35’ b)13.462 c) 137.067 ]
3.Gambarajah menunjukkan sektor bagi 4. Rajah 7 menunjukkan sebuah semibulatan
sebuah bulatan berpusat O dan AOC ialah PQR berpusat O.
segitiga bersudut tegak.
Q
DC
15cm PO R
θ Diberi bahawa panjang lengkuk PQ ialah 6.5
O A 5c B
cm dan jejari semibulatan ialah 5 cm.
m (a) Cari nilai θ dalam radian,
Diberi OC = OD = 15 cm dan AB = 5 cm, (b) Cari luas, dalam cm², sektor QOR.
hitung nilai θ, dalam radian.seterusnya luas
rantau berlorek
[0.8412, 126.73] [a)1.3 b) 23.025]
5. Rajah menunjukkan sektor BOC bagi 6. Rajah menunjukkan sektor POQ berpusat O.
sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa A Diberi bahawa RS =16 cm dan
ialah titik tengah OB dan OC = 21 cm. Cari QS = SO= OR = 10 cm.
(a) panjang lengkok BC. (a) panjang, dalam cm, lengkok PQ.
(b) luas kawasan berlorek. (b) Luas, dalam cm2, rantau berlorek.
.
[a) 370.96 b) 322.96]
[a)31.08 b) 216.55]
12
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Soalan - Soalan Berformat SPM
Kertas Satu
1.Rajah menunjukkan separuh bulatan OABCberpusat di O
0.8 rad
Diberi luas sektor AOB ialah 36.72 cm2. Cari jejari separuh bulatan tersebut.
[ r = 5.6 cm ]
2. Rajah menunjukkan lengkok PQ dan lengkok RS bagi dua buah bulatan sepusat O.
S
P
rad O
4p
R 2p Q
Cari nilai p jika luas kawasan berlorek ialah 166 2 cm2. [ p = 5 cm]
3
3. Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak OPQ dan sektor-sektor SOT dan PQS
yang masing-masing berpusat di O dan Q. Diberi bahawa OS = SQ dan perimeter
kawasan berlorek ialah 16.12 cm. Hitungkan nilai jejari QS.
Q
60°
S
O TP
[ j=7]
13
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
4. Gambarajah menunjukkan bulatan BAC dengan pusat O yang berjejari 8 cm, PQ ialah
panjang lengkok dengan pusat O. Sudut reflex POQ ialah 1.65 π radian.
P
B
8 cm
A
0 1.65 rad
C
Q
Diberi titik B dan C ialah titik tengah masing-masing bagi OP dan OQ, kirakan luas
kawasan yang berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan π. [33.6π]
5.
RT dan ST masing-masing ialah tangen kepada bulatan itu pada R dan S. Diberi
bahawa panjang lengkok minor RS ialah 6 cm dan OT= 10 cm
ungkapkan dalam sebutan ,
a) jejari bulatan tersebut
b) luas kawasan berlorek
[ a) = 6 b) 48 − 218 ]
14
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Kertas Dua
1. Rajah menunjukkan dua buah bulatan. Bulatan besar berpusat di P and berjejari 9 cm.
Bulatan kecil berpusat di Q dan berjejari 6 cm. Kedua-duabulatan itu bersentuh di titik M.
Garis lurus RS ialah tangen sepunya kepadakedua-dua bulatan itu di titik R da ntitik S.
[Guna π = 3.142]
Diberi bahawa RPQ = Ө radian,
(a) tunjukkan bahawa Ө = 1.37 (kepada dua tempat perpuluhan),
(b) hitung panjang, dalam cm, lengkok minor MS,
(c) hitung luas, dalam cm2, rantau berlorek. [ b) 10.63cm c) 22.849 cm2 ]
2. Rajah menunjukkan sebuah bulatan PQR berpusat O danberjejari10 cm. OABC ialah
sebuah sektor bulatan berpusat O dan berjejari 22 cm.
Diberi panjang lengkok ABC ialah 35 cm. Cari
(a) POR, dalam radian.
(b) perimeter, dalam cm, kawasan yang
berlorek.
(c) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.
[a) 1.591 rad b) 102.75 cm c) 162.40 cm2]
3. Rajah menunjukkan dua sektor OBC dan OADEF bulatan-bulatan dengan pusat
sepunya, O. Diberi bahawa OB = 10 cm, BOC = 38 dan
A ialah titik tengah OB. Perimeter bagi sektor
BOC adalah sama dengan panjang lengkung
ADEF.Guna = 22 , carikan
7
(a) sudut, dalam radian yang dicangkum oleh
lengkung ADEF pada pusat O.
(b) perimeter, dalam cm sektor ODEF,
(c) luas, dalam cm2 bagi kawasan berlorek.
[a) 5.3266 rad b) 73.266 cm c) 99.495 cm2]
15
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
5. Dalam Rajah , AOBC ialah sebuah semi bulatan berpusat O dengan jejari 5 cm. Segi tiga
OBC ialah segi tiga sama sisi.
[Guna = 3.412 ]
Hitung
a) nilai θ, dalam radian. [2 markah]
b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
[4 markah]
c) luas, dalam cm 2 , kawasan berlorek.
[4 markah]
[a) 1.047rad b) 37.136 cm c) 15.362 cm2]
6. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berjejari 7 cm dengan pusat O. KM dan LM adalah
dua garis tangen kepada bulatan di K dan L. (Guna = 3.142).
Diberi KM = 24 cm,
Hitungkan
(a) nilai θ, dalam radian,
[3 markah]
(b) perimeter rantau berlorek
[3 markah]
(c) luas rantau berlorek
[4 markah]
[a) 1.287rad b) 66.018cm c) 104.937 cm2]
7. Rajah menunjukkan dua sektor bulatan iaitu sektor OCBA yang berpusat di O dan
sektor PCOA yang berpusat di P. OAP dan OPC adalah dua segi tiga sama sisi
yang kongruen dan mempunyai sisi 8 cm. [1 markah]
B Cari
[Guna π = 3.142]
(a) sudut refleks AOC dalam radian.
(b) panjang, dalam cm, kawasan berlorek. [3 markah]
O
(c) luas, dalam cm2, sektor major OCBA. [2 markah]
A C (d) Luas, dalam cm2, kawasan berlorek. [4 markah]
[a) 2.095rad b) 50.272 cm c) 134.05 cm2 d) 122.466 2]
P
16
MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
8. Rajah menunjukkan sebuah semibulatan OACB berpusat O dan jejari 6 cm dan sebuah
sektor AOC berpusat A.
[Guna π = 3.142]
Diberi bahawa CAO = θ radian,
(a) tunjukkan bahawa θ = 1.047 (kepada
tiga temapat perpuluhan) [ 2 markah]
(b) hitung perimeter, dalam cm, kawasan
berlorek, [4 markah]
(c) hitung luas, dalam cm 2 , kawasan
berlorek. [4 markah]
[b) 37.136 cm c) 37.71 cm2]
9.
Rajah menunjukkan draf logo bebentuk bulatan yang dicipta oleh Hassan. Ketiga-tiga
kawasan berlorek adalah kongruen. Diberi perimeter kawasan berlorek ialah 80 cm.
Cari
a)jejari dalam cm bagi logo itu kepada integer terhampir
b)luas dalam 2 bagi kawasan yang tidak berlorek dalam segitiga
[a) 40 b) 861.72]
17