Modul 1 - Sukatan Membulat

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

MODUL 1: SUKATAN MEMBULAT

NOTA RINGKAS
• Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat sebuah bulatan oleh lengkok

yang sama panjang dengan jejari bulatan itu

8.1 Radian

Pertukaran unit radian kepada darjah dan sebaliknya.

x rad  180o Darjah 180o
 1 rad =  = 57.3°

Radian

xo   1 o =  rad = 0.01745
180o 180

Contoh 1:
Tukarkan 120 okepada radian

Penyelesaian :

120° = 120
× 180 1° = 180
2
= 3 2.0947

Latihan 1

Tukar sudut yang berikut kepada darjah kepada radian.
(Beri jawapan anda dalam sebutan ).

(a) 15 (b) 30 (c) 90
Penyelesaian : (e) 315
[ ] [ ]
1 =  rad 6
180 2

=> 15 = 15  =  rad (f) 300
180


= rad

12

(d) 45

[ ] [1.75 ] 1.67

4

1

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 2 a: Contoh 2 b :
Tukarkan 1.047 radian kepada darjah
Penyelesaian : Tukarkan kepada darjah
6
180°
1 = Penyelesaian :

180° 180°
1.047 = 1.047 × 6 = 6 ×

= 60° = 30°

Latihan 2
1. Tukar sudut yang berikut dari radian kepada darjah.

(Beri jawapan anda tepat kepada dua tempat perpuluhan.)

(a) 0.5 rad (b) 2  rad (c) 5  rad

Penyelesaian : 3 6

1 rad =  (e) rad 120°
180 5
(f) (2− 1.5) rad
=> 0.5 rad = 0.5  180


= 28.65 150°

(d) 4.562 rad

261.38° 36° 274.06°
1.7453
2. Tukar sudut yang berikut dari darjah kepada radian.
(Beri jawapan anda tepat kepada 4 angka bererti).

(a) 20 (b) 50 (c) 100
Penyelesaian :

1 =  rad
180

=> 20 = 20  =  rad
180

= 0.3491 rad (e) 70.4 0.8727
(d) 230
(f) 30830’
[Ingat!!!!..... 1 = 60’]

4.015 1.229 5.385

2

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

8.2 Panjang Lengkok Bulatan

B Dalam rajah di sebelah, lengkok AB mencangkumsuatusudut

j s rad di pusatbulatan O. Katakan s dan j masing -
 masingmewakilipanjanglengkokdanjejaribulatan.

Oj Panjanglengkok AB berkadarlansungdengansudut yang
u
A tercangkumpadapusat O. Denganperkadaran

= ℎ
ℎ 0

=

2 2

s = j

Contoh 3 :
Diberi bulatan dengan pusat 0 , jejari 5 cm. Cari panjang lengkok PQR jika sudutP adalah
1.2 radian

Penyelesaian :

Formula panjang lengkok adalah seperti berikut :
=
Diberi = 5 dan = 1.2
= (5)(1.2 )
= 6

Latihan 3
Kira panjang lengkok AB bagi setiap sektor dan bulatan berikut :

Rajah Jejari, j  dalam(rad) Panjang lengkok, s

1 7 cm 2.73 rad s = jθ
. = 7  2.73
2.73 rad = 19.11 cm
B
A
O 7 cm

2
.

4.412 B

rad
5 cm O

A [22.06]
3

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

3 [9.536]
.

B

s

1.95 rad 8 cm A
O

4
.B

1.45 A
rad

O 18 cm

5 [ 26.1]
. [52.84]
[8.1684]
10 cm
1 rad A

B 26
6 = rad
.
18 cm
26

4

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Contoh 4 :
Penyelesaian :
Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan Diberi = 6 dan s = 7.68
dengan sektor POQ yang mempunyai jejari S = j
6 cm. Diberi panjang lengkok minor PQ 7.68 = (6)( )
adalah 7.68 cm. Cari nilai dalam radian.
7.68
= 6
= 1.28

Latihan 4
Cari nilai dalam radian bagi setiap sektor dan bulatan berikut :

Rajah Jejari, j Panjang lengkok, s  (dalam rad)

1. S = 19.11 7 cm 19.11 cm
B cm =
rad 2.73 rad
O 7 cm A

2.

S= 22.06cm rad
=
rad B
O [4.412 rad]

5 cm

A
3. B

S = 9.536 cm
rad
O 8 cm A

[1.192 rad]

5

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 5 :
Suatu lengkok dengan panjang 5 cm mencakupi sudut 69° pada pusat suatu bulatan.
Carikan jejari bulatan itu.

Penyelesaian : Panjang lengkok, s = jθ
5 = j × 1.204
= j = 4.153 cm

Diberi

π
= 69° × 180°

= 1.204 rad.

Latihan 5
Kira panjang jejari bagi setiap sektor dan bulatan berikut :

Rajah  (dalam rad) Panjang lengkok, s Jejari, j

1.

S = 19.11 s = j

cm

2.73 rad 19.11 cm 19.11 = j ( 2.73)

B 2.73 rad j = 7 cm

A
O

2. B [7 cm]
S = 7.96 cm [2 cm]

3.98
rad

O

A

3. S = 6 cm
B

2 rad A
O

[ 3 cm]

6

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

8.2.2 Perimeter Tembereng Bulatan

Kawasan yang berlorek dalam rajah merupakan tembereng bulatan. Perimeter bagi
tembereng ialah hasil tambah semua sempadannya.

Perimeter tembereng =
2 2 +

di mana j = jejari dan = sudut yang dicangkum oleh tembereng

Contoh 6:
Hitungkan perimeter bagi tembereng bulatan seperti dalam rajah di sebelah.

Penyelesaian:  POQ = 53.48°

Sin = 4.5 Perimeter tembereng
10 = 2 (10) (sin 532.48°) + 10 ( 0.9335)
= 18.3339 cm
= 26.74°

Latihan 6. Soalan
Hitungkan perimeter sektor minor SOT.
No Gambarajah
1

[65.966 cm]

2 Hitungkan perimeter sektor major FOG.

[ 81.632 cm]

3. Hitungkan perimeter sektor major AOB.
Diberi sudut major AOB ialah 235°15’
dengan jejari 5 cm.

O
A

B [29.39 cm]

7

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

8.3 Luas Sektor B

= j s
 A

= θ Oj
2 2 u

L= 1 2
2

Luas , L = = 1 2
2

Contoh 7 : Q P

Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan 1.2
diameter PR. Diberi bahawa PR=20 cm dan POQ = 1.2 rad. rad.
Cari
(a) luas sektor minor POQ O
(b) luas sektor QOR
R
Penyelesaian

(a) r= ½ PR  = 1.2
A = 1 r 2 rad.
2 = ½ (20)
= 1 (10)2(1.2) = 10 cm
2
= 60 cm2 r= ½ PR  = − 1.2 rad.
= ½ (20) = 1.942 rad.
(b) = 10 cm
A = 1 r 2
2
= 1 (10)2(1.942)
2
= 97.1 cm2

8

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Latihan 7
Kira luas sektor bagi setiap rajah yang berikut.

Rajah jejari  Luas sektor
(dalam rad) L
j

(a)

5.5 cm

0.62rad

[ 9.38 ]

(b) Sektor major SOT

(c) Sektor major JOK [281.25]
[10.45]
K [18.75]

3 cm

0.82 rad
JO
(e) Sektor major SOT

9

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 8 :

Suatu sektor bulatan dengan jejari 8 cm mempunyai luas 73.6 cm2. Carikan sudut sektor
bulatan dalam darjah dan minit.

Penyelesaian :

Luas Sektor = 1 j2θ θ = 73.6
2 32

1 = 2.3 rad.
2
73.6 = (8)2θ 180°
= 2.3 × π
73.6 = 32θ
= 131.78°

= 131° 47'

Latihan 8

Kirakan sudut sektor bagi setiap rajah yang berikut.

Rajah jejari Luas sektor 
j L (dalam rad)

(a) L = 1 2
5.5 cm 2
1
A = 30cm2 5.5 cm 30 cm2 30 = 2 (5.5)2

= 1.9835 rad

(b) Suatu sektor bulatan dengan jejari 4 cm [2.4]
mempunyai luas 19.2 cm2. Carikan
sudut sektor bulatan dalam darjah dan
minit.

(c) Sektor AOB

[0.644]

(e) Sektor OPQ

[0.609]

10

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 9 :

Carikan jejari suatu sektor jika sudut yang dicakupi pada pusat bulatan ialah 1.55 radian dan
luas sektor ialah 27.9 cm2.

Penyelesaian :

Luas Sektor = 1 j2θ
2

27.9 = 1 j2(1.55)
2

j2 = 27.9
0.775

= 36

j = 6 cm

Latihan 9

Kira jejari suatu sektorbagi setiap kes yang berikut.

Rajah Luas sektor, L  (dalam rad) jejari, j

(a) [8.98]

A = 25 cm2

0.62 rad

(e) Carikan jejari suatu sektor jika
sudut yang dicakupi pada
pusat bulatan ialah 2.27
radians dan luas sektor ialah
113.5 cm2.

(c) Luas sektor major [10]
JOK = 30cm2 [5.08]

K

0.82 rad
JO

11

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Latihan Pengukuhan

1. . Rajah menunjukkan 2.

sektor sepunya dengan Rajah menunjukkan
sebuah bulatan dengan
pusat. Diberi bahawa pusat O dan diameter 16
cm. Diberi panjang
AB : OA = 3 : 2, cari lengkok PQ ialah 16 cm.
Cari
a) panjang bagi OA

dan AB

b) perimeter rajah yang

berlorek. a)  , dalam darjah dan minit terhampir

b) panjang PQ

c) kawasanrantauberlorek

[a)2 ,3 b) 15.8 ] [ a) 1140 35’ b)13.462 c) 137.067 ]

3.Gambarajah menunjukkan sektor bagi 4. Rajah 7 menunjukkan sebuah semibulatan
sebuah bulatan berpusat O dan AOC ialah PQR berpusat O.
segitiga bersudut tegak.
Q

DC 

15cm PO R

θ Diberi bahawa panjang lengkuk PQ ialah 6.5
O A 5c B
cm dan jejari semibulatan ialah 5 cm.
m (a) Cari nilai θ dalam radian,

Diberi OC = OD = 15 cm dan AB = 5 cm, (b) Cari luas, dalam cm², sektor QOR.
hitung nilai θ, dalam radian.seterusnya luas
rantau berlorek

[0.8412, 126.73] [a)1.3 b) 23.025]

5. Rajah menunjukkan sektor BOC bagi 6. Rajah menunjukkan sektor POQ berpusat O.

sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa A Diberi bahawa RS =16 cm dan

ialah titik tengah OB dan OC = 21 cm. Cari QS = SO= OR = 10 cm.

(a) panjang lengkok BC. (a) panjang, dalam cm, lengkok PQ.
(b) luas kawasan berlorek. (b) Luas, dalam cm2, rantau berlorek.

.

[a) 370.96 b) 322.96]

[a)31.08 b) 216.55]

12

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Soalan - Soalan Berformat SPM
Kertas Satu
1.Rajah menunjukkan separuh bulatan OABCberpusat di O

0.8 rad

Diberi luas sektor AOB ialah 36.72 cm2. Cari jejari separuh bulatan tersebut.

[ r = 5.6 cm ]

2. Rajah menunjukkan lengkok PQ dan lengkok RS bagi dua buah bulatan sepusat O.

S
P

rad O



4p

R 2p Q

Cari nilai p jika luas kawasan berlorek ialah 166 2 cm2. [ p = 5 cm]
3

3. Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak OPQ dan sektor-sektor SOT dan PQS
yang masing-masing berpusat di O dan Q. Diberi bahawa OS = SQ dan perimeter
kawasan berlorek ialah 16.12 cm. Hitungkan nilai jejari QS.
Q

60°
S

O TP

[ j=7]

13

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

4. Gambarajah menunjukkan bulatan BAC dengan pusat O yang berjejari 8 cm, PQ ialah
panjang lengkok dengan pusat O. Sudut reflex POQ ialah 1.65 π radian.

P
B
8 cm
A
0 1.65 rad

C
Q

Diberi titik B dan C ialah titik tengah masing-masing bagi OP dan OQ, kirakan luas

kawasan yang berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan π. [33.6π]

5.

RT dan ST masing-masing ialah tangen kepada bulatan itu pada R dan S. Diberi

bahawa panjang lengkok minor RS ialah 6 cm dan OT= 10 cm



ungkapkan dalam sebutan ,

a) jejari bulatan tersebut

b) luas kawasan berlorek

[ a) = 6 b) 48 − 218 ]


14

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Kertas Dua

1. Rajah menunjukkan dua buah bulatan. Bulatan besar berpusat di P and berjejari 9 cm.
Bulatan kecil berpusat di Q dan berjejari 6 cm. Kedua-duabulatan itu bersentuh di titik M.
Garis lurus RS ialah tangen sepunya kepadakedua-dua bulatan itu di titik R da ntitik S.

[Guna π = 3.142]

Diberi bahawa  RPQ = Ө radian,
(a) tunjukkan bahawa Ө = 1.37 (kepada dua tempat perpuluhan),

(b) hitung panjang, dalam cm, lengkok minor MS,

(c) hitung luas, dalam cm2, rantau berlorek. [ b) 10.63cm c) 22.849 cm2 ]

2. Rajah menunjukkan sebuah bulatan PQR berpusat O danberjejari10 cm. OABC ialah
sebuah sektor bulatan berpusat O dan berjejari 22 cm.

Diberi panjang lengkok ABC ialah 35 cm. Cari
(a)  POR, dalam radian.
(b) perimeter, dalam cm, kawasan yang

berlorek.
(c) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.

[a) 1.591 rad b) 102.75 cm c) 162.40 cm2]

3. Rajah menunjukkan dua sektor OBC dan OADEF bulatan-bulatan dengan pusat

sepunya, O. Diberi bahawa OB = 10 cm, BOC = 38 dan

A ialah titik tengah OB. Perimeter bagi sektor

BOC adalah sama dengan panjang lengkung

ADEF.Guna  = 22 , carikan
7

(a) sudut, dalam radian yang dicangkum oleh

lengkung ADEF pada pusat O.

(b) perimeter, dalam cm sektor ODEF,

(c) luas, dalam cm2 bagi kawasan berlorek.

[a) 5.3266 rad b) 73.266 cm c) 99.495 cm2]

15

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

5. Dalam Rajah , AOBC ialah sebuah semi bulatan berpusat O dengan jejari 5 cm. Segi tiga
OBC ialah segi tiga sama sisi.

[Guna = 3.412 ]

Hitung

a) nilai θ, dalam radian. [2 markah]

b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

[4 markah]

c) luas, dalam cm 2 , kawasan berlorek.

[4 markah]

[a) 1.047rad b) 37.136 cm c) 15.362 cm2]

6. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berjejari 7 cm dengan pusat O. KM dan LM adalah

dua garis tangen kepada bulatan di K dan L. (Guna  = 3.142).

Diberi KM = 24 cm,
Hitungkan

(a) nilai θ, dalam radian,
[3 markah]

(b) perimeter rantau berlorek
[3 markah]

(c) luas rantau berlorek
[4 markah]

[a) 1.287rad b) 66.018cm c) 104.937 cm2]

7. Rajah menunjukkan dua sektor bulatan iaitu sektor OCBA yang berpusat di O dan

sektor PCOA yang berpusat di P.  OAP dan  OPC adalah dua segi tiga sama sisi

yang kongruen dan mempunyai sisi 8 cm. [1 markah]
B Cari

[Guna π = 3.142]
(a) sudut refleks AOC dalam radian.

(b) panjang, dalam cm, kawasan berlorek. [3 markah]
O

(c) luas, dalam cm2, sektor major OCBA. [2 markah]

A C (d) Luas, dalam cm2, kawasan berlorek. [4 markah]

[a) 2.095rad b) 50.272 cm c) 134.05 cm2 d) 122.466 2]

P

16

MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

8. Rajah menunjukkan sebuah semibulatan OACB berpusat O dan jejari 6 cm dan sebuah
sektor AOC berpusat A.

[Guna π = 3.142]

Diberi bahawa  CAO = θ radian,
(a) tunjukkan bahawa θ = 1.047 (kepada

tiga temapat perpuluhan) [ 2 markah]

(b) hitung perimeter, dalam cm, kawasan

berlorek, [4 markah]

(c) hitung luas, dalam cm 2 , kawasan

berlorek. [4 markah]

[b) 37.136 cm c) 37.71 cm2]

9.

Rajah menunjukkan draf logo bebentuk bulatan yang dicipta oleh Hassan. Ketiga-tiga
kawasan berlorek adalah kongruen. Diberi perimeter kawasan berlorek ialah 80 cm.
Cari
a)jejari dalam cm bagi logo itu kepada integer terhampir
b)luas dalam 2 bagi kawasan yang tidak berlorek dalam segitiga

[a) 40 b) 861.72]

17