หน่วยที่ 3

หนว่ ยท่ี 3
ระบบเลขฐาน
สาระสำคญั
ในการเขยี นโปแกรมและการศึกษาระบบคอมพิวเตอรบ์ างครั้งมีความจำเป็นและสามารถเปลี่ยนระบบเลข
ฐานต่าง ๆ ได้ เนื่องจากมนุษย์ไม่คุ้นเคยกับเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก ซึ่งเป็นหัสที่ใช้กันในระบบ
คอมพวิ เตอร์ เม่ือเขยี นโปรแกรมสัง่ งานคอมพวิ เตอร์ คอมพิวเตอร์ไมส่ ามารถเข้าใจภาษาระดับสูงหรือภาษามนุษย์
ได้ ดังนั้น จึงมีการแปลงภาษาเหลา่ น้ันเป็นภาษาที่เครื่องคอมพิวเตอร์เข้าใจกอ่ น ต้องมีการเปล่ียนเลขฐานสลบั ไป
มาระหว่างเลขฐานสิบ เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก เวลานำข้อมูลผ่านการประมวลผลตามวิธีของระบบ
คอมพวิ เตอรอ์ อกแสดงผลกจ็ ะแปลงรหสั น้ันเปน็ รหัสทีม่ นุษยเ์ ข้าใจ
สมรรถนะประจำหนว่ ย
แปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์
เรื่องท่จี ะศึกษา
1. การแปลงระบบเลขฐาน
2. การเปลีย่ นแปลงเลขฐานต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบ
3. การแปลงเลขฐานสิบ ให้เป็นเลขฐานต่าง ๆ
4. การเปล่ียนเลขฐานสิบที่เป็นทศนยิ มเปน็ ฐานต่าง ๆ
5. การบวกและการลบเลขฐาน
6. การคูณและการหารเลขฐาน
7. การแปลงระหว่างระบบเลอฐานสองและเลขฐานแปด
8.การแปลงระหว่างระบบเลอฐานสองและฐานสบิ หก
9.การแปลระหว่างเลอฐานแปดและฐานสิบหก
จดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรม
1. อธิบายการแปลงระบบเลขฐานได้
2. แปลงเลขฐานต่าง ๆ เปน็ เลขฐานสิบได้
3. แปลงเลขฐานสิบใหเ้ ปน็ เลขฐานตา่ งๆ ได้
4. แปลงเลขฐานสบิ ที่เปน็ ทศนยิ มเป็นฐานต่างๆ ได้
5. บวกและลบเลขฐานได้
6. คูณและหารเลขฐานได้

7. แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้
8. แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและฐานสิบหกได้
9. แปลงระหว่างเลขฐานแปตและฐานสิบหกได้
1. การแปลงระบบเลขฐาน

ตัวเลขที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันมีส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ สัญลักษณ์ และมูลค่า ในการเขียนจำนวนเลขต้องมี
เลขฐานกำกับไว้ทุกครัง้ เพื่อให้เข้าใจตรงกัน เช่น จำนวนเลข 123 อาจเป็นได้ทัง้ เลขฐาน 5, 8, 10, 16, ถ้าหากไม่
เขยี นฐานกำกับไวใ้ ห้ชดั เจน ยกเวน้ เฉพาะจำนวนเลขฐานสบิ เพราะทุกคนคนุ้ เคยกันจงึ ยกเว้นไม่ตอ้ งห้อยฐาน ส่วน
เลขฐานอนื่ ตอ้ งเขยี นฐานกำกับไว้ทุกครง้ั

การเปล่ยี นระบบเลขฐาน หมายถงึ การเปลีย่ นข้อมูลตวั เลขจากเลขฐานหนง่ึ ไปเปน็ ตวั เลขในอีกระบบเลข
ฐานหนึ่ง เช่นการเปลี่ยนจากตัวเลขในระบบฐานสิบเป็นเลขในระบบเลขฐานสอง หรือการเปลี่ยนจากตัวเลขใน
ระบบเลขฐานสองเปน็ ตวั เลขในระบบเลขฐานสบิ เป็นตน้

รูปที่ 3.1 แสดงการเปลยี่ นจากตวั เลขเปน็ เลขฐานสิบ

ระบบเลขท่ีมนุษยใ์ ชง้ านจะใช้ระบบเลขฐานสบิ แตใ่ นระบบคอมพิวเตอรท์ ำงานนน้ั จะทำงาน
2. กในารรเะปบล่ยี บนเแลปขลฐงาเลนขสฐอางนตดา่ ังงนๆั้นเปเน็ พเลื่อขใฐหา้สนาสมิบารถนำข้อมูลไปใช้งานได้ทั้งสองระบบจึงต้องมีการ

เปลี่ยนแปลงเลขฐาน

รูปท่ี 3.2 แสดงการเปลี่ยนจากตัวเลขในระบบเลขฐานสบิ
การแปลงเลขฐานต่าง ๆ เปน็ เลขฐานสบิ มหี ลกั การในการแปลงลักษณะเดยี วกัน คือ
1. นำเลขฐานที่ต้องการแปลงให้เป็นฐานสิบ นำมายกกำลังด้วยค่าเลขกำลังประจำหลัก เช่น ต้องการ
แปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสบิ ก็นำเลข 2 มายกกำลงั ตามด้วยคา่ ยกกำลังหลกั โดยเริม่ จากหลักแรก คา่ ยก
กำลงั ประจำหลัก คอื เลข 0 หลักท่ีสอง
2. นำค่าเลขยกกำลังที่ไดจ้ ากข้อ 1 มาคณู กับเลขหลักดังกลา่ ว ในระบบเลขฐานน้ัน
3. ทำซ้ำ ข้อ 1 และ 2 กับตวั เลขแต่ละตัวของฐานนน้ั
4. นำผลลพั ธ์ทีไ่ ดม้ าบวกกัน จะไดค้ ำตอบเลขฐานสบิ
การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 10
ขนั้ ตอนการแปลงเลขฐานใด ๆ เป็นเลขฐานสิบ มขี น้ั ตอนดังน้ี
1. นำเลขฐานที่ตอ้ งการแปลงมายกกำลงั ดว้ ยคา่ เลขยกกำลังประจำหลกั ดงั ตวั อยา่ ง
ตารางท่ี 3.1 เปน็ การนำคา่ เลขฐาน 2 มายกกำลังตวั ยค่าเลขยกกำลงั ประจำหลกั

เลขฐาน 2 หลกั ท่ี - 6 5 4 3 2 1

เลขยกกำลงั ประจำหลกั - 25 24 23 22 21 20

ค่าของเลขฐานสิบ - 32 16 8 4 2 1

ตารางที่ 3.1 แสดงการนำเลขฐาน 2 มายกกำลังด้วยค่ายกกำลงั ประจำหลกั

2. คา่ เลขยกกำลงั ท่ีไดม้ าคูณกบั ตวั เลขในระบบเลขฐานน้นั เช่น เลขฐานสอง คอื 1001 นำมาคณู กบั ค่าเลขยกกำลัง

ที่ได้

หลกั ท่ี 1 คา่ ทไ่ี ด้ คือ 1 * 1 = 1

หลกั ท่ี 2 ค่าท่ีได้ คือ 0 * 2 = 0

หลกั ที่ 3 คา่ ท่ีได้ คือ 0 * 4 = 0

หลักท่ี 4 ค่าที่ได้ คือ 1 * 8 = 8

3. นำลัพธ์ท่ีไดม้ าบวกกนั จำได้ค่า คอื 8 + 1 = 9 ดงั นั้น เลขฐานสอง 1001 มีค่าเท่ากับ 9 ในเลขฐานสิบ

ตวั อย่าง 3.1 จงแปลงเลขฐานสอง 1101 ให้เปน็ เลขฐานสิบ

วิธที ำ (1001)2 = (1 * 23) + (1 * 22) + (0 * 21) + (1 * 20)
=8+4+0+1

= 13

หรอื ใช้วธิ แี ยกหลัก

1. คา่ ประจำหลกั 23 22 21 20

2. ค่าของเลขฐาน 10 8421

3. ตัวเลขฐาน 2 ทีต่ ้องการแปลงคา่ 1101

4. นำค่าประจำหลกั คณู กบั ตัวเลขทต่ี อ้ งการ 8421

5. นำผลลัพธ์ท้งั หมดมารวมกัน จะได้คำตอบ 13

ตวั อยา่ ง 3.2 จงแปลงเลขฐานสอง 101.101 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบ

วธิ ที ำ (101.101)2 = (1 * 22) + (0 * 21) + (1 * 20) + (1 * 2-1) + (0 * 2-2) + (1 * 2-3)

= 4 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1
2 4 8
= 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 +0 + 0.125

= 5.625

หรือใช้วิธีแยกหลกั 22 21 20 2-1 2-2 2-3
1. ค่าประจำหลกั
2. ค่าของเลขฐาน 10 4 2 1 0.5 0.25 0.125
3. ตวั เลขฐาน 2 ทีต่ ้องการแปลงคา่
10110 1

4. นำคา่ ประจำหลักคูณกบั ตวั เลขที่ต้องการ 4 0 1 0.5 0 0.125
5. นำผลลัพธท์ ้ังหมดมารวมกัน จะได้คำตอบ 5.625

การแปลงเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 10

เลขฐาน 8 หลกั ท่ี - 6 5 4 3 2 1

เลขยกกำลงั ประจำหลกั - 85 84 83 82 81 80

ค่าของเลขฐานสบิ - 32768 4096 512 64 8 1

ตารางที่ 3.2 แสดงการนำเลขฐาน 8 มายกกำลังด้วยคา่ ยกกำลังประจำหลกั

ตวั อยา่ ง 3.3 จงแปลงเลขฐานแปด 647 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ

วิธที ำ (647)8 = (6 * 82) + (4 * 81) + (7 * 80)

= 384 + 32 + 7

= 423

หรือใชว้ ธิ ีแยกหลัก

1. คา่ ประจำหลกั 82 81 80

2. คา่ ของเลขฐาน 10 64 8 1

3. ตัวเลขฐาน 2 ท่ีต้องการแปลงคา่ 647

4. นำค่าประจำหลักคูณกับตวั เลขทต่ี อ้ งการ 384 32 7

5. นำผลลพั ธท์ งั้ หมดมารวมกัน จะได้คำตอบ 423

ตวั อย่าง 3.4 จงแปลงเลขฐานแปด 523.204 ให้เปน็ เลขฐานสบิ

วธิ ีทำ (523.204)8 = (5 * 82) + (2 * 81) + (3 * 80) + (2 * 8-1) + (0 * 8-2) + (4 * 8-3)

= 320 +16 + 3 + 21 + 0 + 4
8 64 512
= 320 +16 + 3 + 0.25 + 0 + 0.0078

= 339.2578

หรอื ใชว้ ิธแี ยกหลกั 88 8 888
1. ค่าประจำหลัก 64 8 1 0.125 0.0156 0.00195
2. คา่ ของเลขฐาน 10 52 3 204
3. ตัวเลขฐาน 2 ทตี่ ้องการแปลงคา่ 320 16 3 0.25 0 0.0078
4. นำคา่ ประจำหลักคูณกับตัวเลขทต่ี ้องการ
5. นำผลลัพธ์ทัง้ หมดมารวมกัน จะได้คำตอบ 339.26
การแปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 10

Dec Hex Binary
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0001
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111

การแปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 10

เลขฐาน 16 หลักท่ี - 6 5 4 3 2 1
164 163 162 161 160
เลขยกกำลงั ประจำหลัก - 165 65536 4069 256 16 1

คา่ ของเลขฐานสิบ - 1048576

ตารางท่ี 3.2 แสดงการนำเลขฐาน 16 มายกกำลงั ด้วยค่ายกกำลงั ประจำหลัก

ตวั อยา่ ง 3.5 จงแปลงเลขฐานสบิ หก D76F ให้เปน็ เลขฐานสิบ

วธิ ที ำ (D76F16) = (13 * 163) + (7 * 162) + (6 * 161) + (15 * 160)
= 53247 + 1729 + 96 + 15

= 55151

หรือใชว้ ิธีแยกหลัก

1. คา่ ประจำหลัก 163 162 161 160
16 1
2. คา่ ของเลขฐาน 10 4096 256 6 F(15)
96 15
3. ตัวเลขฐาน 2 ท่ีตอ้ งการแปลงค่า D(13) 7
55151
4. นำคา่ ประจำหลักคูณกับตัวเลขท่ตี ้องการ 53248 1792

5. นำผลลพั ธ์ท้งั หมดมารวมกัน จะไดค้ ำตอบ

ตวั อย่าง 3.6 จงแปลงเลขฐานสิบหก A4B.4C ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ

วธิ ีทำ (A4B.4C16) = (10 * 162) + (4 * 161) + (11 * 160) + (4 * 16-1) + (12 * 16-2)

= 2560+ 64 + 11 + 4 + 12
16 256
= 2635.2969

หรือใช้วธิ แี ยกหลกั

1. คา่ ประจำหลกั 16 16 16 16 16

2. คา่ ของเลขฐาน 10 256 16 1 0.0625 0.0039

3. ตวั เลขฐาน 2 ทต่ี ้องการแปลงคา่ A(10) 4 B(11) 4 C(12)

4. นำค่าประจำหลักคณู กับตัวเลขทต่ี ้องการ 2560 64 11 0.25 0.0469

5. นำผลลพั ธท์ ้ังหมดมารวมกัน จะไดค้ ำตอบ 2635.30

3. การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานตา่ ง ๆ

การแปลงเลขฐานสบิ ให้เปน็ เลขฐานใด ๆ ทำไดด้ ังน้ี

1. นำเลขฐานสบิ ท่ีต้องการแปลงเป็นเสซฐานอน่ื ๆ มาเปน็ ตัวตง้ั

2. นำเลขฐานที่ต้องการเปลี่ยนมาเป็นตัวหาร เช่น ต้องการเปลี่ยนเป็นเลขฐานสอง ก็นำ 2 มาหาร ถ้า

ตอ้ งการเปลยี่ นเปน็ เลขฐาน 16 ก็นำ 16 มาหาร

3. ในการหารแต่ละครั้ง ให้เขียนเศษของการหารไว้ และนำเลขจำนวนเต็มที่ได้จากการหารมาหารต่อไป

เศษในการหารคร้ังแรกถือเป็นเลขหลักท่มี ีนยั สำคัญน้อยท่ีสดุ (Least Significant Digit)

4. ทำซ้ำในข้อ 3 จนกว่าค่าจำนวนเต็มที่ได้จากการหารมีค่าน้อยกว่าเลขฐานที่ต้องการ คือ การต่อไม่ได้

แล้ว เศษในการหารครง้ั สดุ ทา้ ยถอื เป็นเลขหลกั ทีน่ ยั สำคญั มากทีส่ ุด(MSD : MostSignificant Digit)

5. นำเศษที่ได้จากการหารนำมาเรียงต่อกันจากครั้งหลังสุดไปหาครั้งแรกสุด หรือจากหลักที่มีนัย

ความสำคญั มากทสี่ ุดไปหาหลกั ท่ีมีนยั ความสำคัญทีน่ ้อยที่สุด

ตารางท่ี 3.4 แสดงเลขฐานสบิ
ตัวอย่าง 3.7 จงเปล่ยี น 14710 ให้เปน็ เลขฐานสอง
วธิ ที ำ 2)1 4 7

2)7 3 เศษ 1 หลักที่มีนัยสำคญั น้อยทส่ี ดุ (LSO)
2)3 6 เศษ 1
2)1 8 เศษ 0

2)9 เศษ 0
2)4 เศษ 1
2)2 เศษ 0
หลักที่มนี ยั สำคัญมากที่สุด (MSD) 1 เศษ 0

เรียงคำตอบจากเลขหลักท่ีมนี ัยสำคัญมากท่สี ดุ ไปยังเลขหลักท่มี นี ยั สำคัญน้อยท่ีสุด ดังน้ันผลลัพธ์ทไี่ ดจ้ าก
การแปลงเลข 14710 เป็นเลขฐาน 2 คือ 100100112

สำหรับเลขฐาน 2 ในหนังสือบางเล่ม อาจจะใช้คำว่า Most Significant Bit (MSB) แทนเลขที่มี
นัยสำคัญมากที่สุด และใช้ Least Significant Bit (LSB) แทนเลขหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด เนื่องจากเลข
แต่ละหลกั ของเลขฐานมีหน่วยเป็นบติ

ตวั อย่าง 3.8 จงเปลีย่ น 524710 เป็นเลขฐาน 8
วธิ ีทำ 8)5 2 4 7

8)6 5 5 เศษ 7 หลกั ที่มีนยั สำคญั น้อยที่สดุ (LSO)
8)8 1 เศษ 7
8)1 0 เศษ 1

หลกั ที่มนี ยั สำคัญมากทีส่ ดุ (MSD) 1 เศษ 2
ผลลพั ธ์ท่ีไดจ้ ากการแปลงเลข 524710 เปน็ เลขฐาน 8 เท่ากับ 121778

ตวั อย่าง 3.9 จงเปลย่ี น 3782610 เปน็ เลขฐาน 16
วธิ ที ำ 16)3 7 8 2 6

16)2 3 6 4 เศษ 2 หลักท่ีมีนัยสำคญั น้อยทีส่ ดุ (LSO)
16)1 4 7 เศษ 12
หลักท่มี ีนัยสำคญั มากทสี่ ดุ (MSD) 9 เศษ 3
ผลลพั ธ์ทีไ่ ด้จากการแปลงเลข 3782610 เป็นเลขฐาน 16 เท่ากบั 93C216

4. การเปล่ยี นเลขฐานสบิ ที่เป็นทศนยิ มเปน็ ฐานต่าง ๆ
ทำได้โดยการนำเลขฐาน 10 ที่เป็นทศนิยมคูณด้วยฐานที่ต้องการเปลี่ยนแปลงโดยคูณเฉพาะส่วนที่เป็น

ทศนยิ มเท่าน้ัน เนอื่ งจากคา่ ประจำหลักของจำนวนทศนิยมในแตล่ ะหลักนน้ั จะคูณดว้ ยตัวยกกำลังท่ีเปน็ ลบ ผลคูณ
ที่ได้ถ้ามีจำนวนเต็มทดไว้ข้างหน้าด้านซ้ายมือ ถ้าไม่มีจำนวนเต็มให้ใส่ 0 ไว้ทางด้านซ้ายมือและคูณต่อไปเรื่อย ๆ
โดยคณู เฉพาะคา่ ทศนิยมเท่าน้ัน จนกระท่งั ค่าทศนยิ มที่คงเหลือมีค่าเป็น 0 หรือใกลเ้ คยี งกบั 0 มากท่สี ุด แล้วจะได้

ค่าที่ต้องการ โดยการอ่านค่าจำนวนเต็มที่ทดไว้ข้างหน้าทางซ้ายมือตามลำดับ โดยอ่านจากด้านบนและด้านล่าง
รวมทั้งจำนวนเต็มทเ่ี ป็น 0 ต้องรวมเข้าไปด้วย

ตวั อยา่ ง 3.10 จงเปลย่ี น 0.62510 เป็นเลขฐาน 2

วธิ ที ำ .625 * 2 = 1.25 ได้เลขจำนวนเตม็ คอื 1 (MSD)

.25 * 2 = 0.5 ไดเ้ ลขจำนวนเต็ม คอื 0

.5 * 2 = 1.0 ไดเ้ ลขจำนวนเตม็ คอื 1 (LSD)

ผลลัพธ์ท่ีได้จากการแปลงเลข 0.62510 เป็นเลขฐาน 2 เทา่ กับ 0.1012

ตัวอยา่ ง 3.11 จงเปลย่ี น 0.734510 เป็นเลขฐาน 2
วิธีทำ .7345 * 2 = 1.469 ได้เลขจำนวนเตม็ คือ 1 (MSD)

.469 * 2 = 0.938 ได้เลขจำนวนเตม็ คือ 0
.938 * 2 = 1.876 ได้เลขจำนวนเต็ม คือ 1
.876 * 2 = 1.752 ได้เลขจำนวนเตม็ คือ 1
.752 * 2 = 1.504 ได้เลขจำนวนเต็ม คือ 1
.504 * 2 = 1.008 ได้เลขจำนวนเตม็ คือ 1 (LSD)
ผลลัพธ์ที่ได้จากการแปลงเลข 0.734510 มีค่าประมาณ 0.1011112

5. การบวกและการลบเลขฐาน
การบวกเลขฐาน (Addition)
การบวกเลขฐาน (Addition) อาศัยหลักการเหมือนกับการบวกเลขฐาน 10 แตกต่างตรงที่ต้องบ่งบอกค่า

ประจำฐาน แตใ่ นกรณีท่ีบวกเลขฐานต่างกนั เช่น เลขฐาน 2 บวกกับ เลขฐาน 16 ต้องแปลงให้เทา่ กนั กอ่ น โดยการ
เลือกที่จะแปลงให้เป็นฐานใดฐานหนึ่ง อาจจะนำเลขฐาน 2 แปลงเป็นฐาน 16 หรือนำเลขฐาน 16 แปลงเป็นเลข
ฐาน 2 หรือแปลงเป็น เลขฐาน 10 ข้ึนอยูก่ บั ความถนัดของแต่ละบคุ คล

ตวั อยา่ ง 3.12 จงหาผลบวกของ 1112 และ 3158 เป็นเลขฐาน 2

วิธที ำ ตัวทด 1 1

จำนวนที่ 1 111

จำนวนท่ี 2 10

ผลลัพธ์ 1 0 0 1

ตอบ 1112 + 102 = 10012

หลักการคำนวณ
หลักหนว่ ย 1 + 0 = 1 ไมเ่ กินองค์ประกอบของเลขฐาน ใชเ้ ป็นคา่ ประจำหลกั ได้
หลักสิบ 1 + 1 = 2 หารด้วย 2 เหลอื เศษ 0 ใชต้ ัวเศษเป็นคา่ ประจำหลัก แล้วทด 1 หลักต่อไป
หลักรอ้ ย 1 + 1 = 2 หารด้วย 2 เหลือเศษ 0 ใช้ตัวเศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วทด 1 หลกั ตอ่ ไป
หลักพนั 1 เป็นหลักจากการทด ไม่มีจำนวนบวกจงึ ย้ายมาเปน็ คา่ ประจำหลกั ได้

ตัวอย่าง 3.13 จงหาผลบวกของ 24378 และ 3158 เปน็ เลขฐาน 8

วิธีทำ ตวั ทด 1

จำนวนที่ 1 2 4 3 7

จำนวนท่ี 2 315

ผลลพั ธ์ 2 7 5 4

ตอบ 24378 + 3158 = 2754

หลักการคำนวณ
หลักหนว่ ย 7 + 5 = 12 หารด้วย 8 เหลอื เศษ 4 ใช้ตัวเศษเปน็ คา่ ประจำหลกั แลว้ ทด 1 หลักต่อไป
หลกั สิบ 1 + 3 + 1 = 2 ไม่เกนิ องค์ประกอบของเลขฐาน ใชเ้ ป็นค่าประจำหลักได้
หลกั รอ้ ย 1 + 1 = 2 ไมเ่ กนิ องคป์ ระกอบของเลขฐาน ใช้เปน็ คา่ ประจำหลักได้
หลักพัน 2 เป็นหลกั จากการทด ไม่มีจำนวนบวกจึงยา้ ยมาเปน็ ค่าประจำหลักได้

ตัวอยา่ ง 3.14 จงหาผลบวกของ 286716 และ 36516 เปน็ เลขฐาน 16

วธิ ีทำ ตัวทด

จำนวนท่ี 1 2 8 6 7

จำนวนที่ 2 365

ผลลพั ธ์ 2 11 12 12

แทนค่า 2 B C C

ตอบ 286716 + 36516 = 2BCC16

หลกั การคำนวณ
หลกั หน่วย 7 + 5 = 12 ไม่เกนิ องค์ประกอบของเลขฐาน ใช้เป็นคา่ ประจำหลักได้ แทน 12 ดว้ ย C
หลักสบิ 6 + 6 + = 12 ไมเ่ กนิ องคป์ ระกอบของเลขฐาน ใชเ้ ป็นค่าประจำหลักได้ แทน 12 ด้วย C
หลักรอ้ ย 8 + 3 = 11 ไมเ่ กินองคป์ ระกอบของเลขฐาน ใชเ้ ปน็ ค่าประจำหลักได้ แทน 12 ด้วย
หลักพัน 2 เป็นหลกั จากการทด ไม่มจี ำนวนบวกจึงย้ายมาเป็นคา่ ประจำหลกั ได้

ตวั อยา่ ง 3.15 จงหาผลบวกของ FA8416 และ DC8716 เปน็ เลขฐาน 16
วธิ ที ำ ตวั ทด 1 1 1

จำนวนท่ี 1 15 10 8 4

จำนวนที่ 2 13 12 11 7

ผลลัพธ์ 1 13 7 3 11

แทนค่า 1 D 7 3 B

ตอบ FA8416 + DC8716 = 1D73B16
หลักการคำนวณ
หลกั หน่วย 4 + 7 = 11 ไมเ่ กนิ องค์ประกอบของเลขฐาน ใช้เปน็ คา่ ประจำหลกั ได้ แทน 11 ด้วย B
หลักสิบ 8 + 11 = 19 หารดว้ ย 16 เหลือเศษ 3 ใช้ตวั เศษเป็นค่าประจำหลกั แลว้ ทด 1 หลกั ต่อไป
หลกั ร้อย 1 + 10 + 13 = 23 หารด้วย 16 เหลือเศษ 13 ใช้ตวั เศษเป็นคา่ ประจำหลกั แล้วทด 1 หลกั ตอ่ ไป
หลักพนั 1 + 15 + 13 = 29 หารดว้ ย 16 เหลือเศษ 13 ใช้ตัวเศษเปน็ ค่าประจำหลกั แล้วทด 1 หลกั ตอ่ ไป

แทน 13 ด้วย D
หลกั หม่ืน 1 เปน็ หลักจากการทด ไม่มจี ำนวนบวกจงึ ย้ายมาเปน็ คา่ ประจำหลักได้

การลบเลขฐาน (Subtraction)
การลบเลขฐาน (Subtraction) เหมือนกับการลบเลขฐาน 10 แตกต่างตรงที่ค่ายืมมาจะมีค่าเท่ากับค่า

ประจำฐานนั้น ถ้าหากตัวตั้งไม่น้อยกว่าตัวลบก็จะไม่มีการยืม จึงสามารถลบได้ทันที่เหมือนกับเลขฐาน 10 แต่ใน
กรณีที่ลบเลขฐานต่างกัน เช่น เลขฐาน 2 ลบเลขฐาน 16 จะต้องแปลงให้เท่ากันก่อน โดยการเลือกที่จะแปลงให้
เปน็ ฐานใดฐานหนึ่ง หรืออาจจะนำทั้งคแู่ ปลงเป็นฐาน 10 ก่อนก็ได้ ข้ึนอยกู่ บั ความถนดั ของแต่ละบุคคล

ตัวอย่าง 3.16 จงหาผลต่าง 1012 และ 102 เป็นเลขฐาน 2

วธิ ที ำ ตวั ยมื 2

จำนวนที่ 1 101

จำนวนที่ 2 10

ผลลพั ธ์ 1 1

ตอบ 1012 + 102 = 112

หลกั การคำนวณ ไม่เกินองค์ประกอบของเลขฐาน ใช้เปน็ คา่ ประจำหลักได้
หลกั หน่วย 1 - 0 = 1 ไมไ่ ด้ เพราะค่าตวั ต้งั นอ้ ยกว่าตัวลบ ยมื จากหลกั ถดั ไป มคี ่าประจำฐานเป็น 2
หลักสิบ 0 – 1 ใชต้ ัวเศษเปน็ คา่ ประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่าของหลกั ถัดไป เหลือ 0
หลักร้อย 2 – 1 = 1

ตัวอยา่ ง 3.17 จงหาผลต่าง 65238 และ 49358 เปน็ เลขฐาน 8

วิธที ำ ตวั ยมื 888

จำนวนที่ 1 6 5 2 3

จำนวนที่ 2 4 7 3 5

ผลลพั ธ์ 1 5 6 6

ตอบ 65238 + 49358 = 15668

หลักการคำนวณ

หลักหน่วย 3 – 5 ไม่ได้ เพราะคา่ ตวั ตง้ั น้อยกวา่ ตัวลบ ยืมจากหลักถดั ไป มคี ่าประจำฐานเปน็ 8

จงึ มีคา่ เทา่ กับ 11 – 5 = 6 ใช้ตวั เศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่าของ

หลักถดั ไป

หลักสบิ 0–1 ไม่ได้ เพราะคา่ ตวั ตัง้ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ ยมื จากหลักถดั ไป มีคา่ ประจำฐานเปน็ 8

จึงมีค่าเท่ากับ 9 – 3 = 6 ใช้ตัวเศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่าของ

หลกั ถัดไป

หลกั รอ้ ย 5 - 7 ไมไ่ ด้ เพราะค่าตัวตง้ั นอ้ ยกวา่ ตัวลบ ยมื จากหลกั ถัดไป มีค่าประจำฐานเปน็ 8

จงึ มคี ่าเท่ากับ 12 – 7 = 1 ใช้ตวั เศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่าของ

หลกั ถดั ไป

หลกั พัน 6 – 4 ลบไดแ้ ตถ่ ูกยมื ไป 1 ค่า จะได้ 5 – 4 = 1

ตัวอยา่ ง 3.18 จงหาผลตา่ ง FD8416 และ DCB716 เป็นเลขฐาน 16

วิธที ำ ตัวยมื 16 16

จำนวนท่ี 1 15 13 8 4

จำนวนที่ 2 13 12 11 7

ผลลัพธ์ 2 0 12 13

แทนคา่ 2 0 C D

ตอบ FD8416+ DCB716 = 20CD16

หลักการคำนวณ ไมไ่ ด้ เพราะค่าตัวต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ ยืมจากหลักถดั ไป มคี า่ ประจำฐานเปน็ 16
หลกั หนว่ ย 4 - 7 จึงมีค่าเท่ากับ 20 – 7 = 13 ใช้ตัวเศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่า
ของหลกั ถัดไป
หลกั สบิ 8 – 11 ไมไ่ ด้ เพราะค่าตัวต้ังน้อยกวา่ ตัวลบ ยมื จากหลกั ถัดไป มีค่าประจำฐานเป็น 16
จึงมีค่าเท่ากับ 23 – 11 = 12 ใช้ตัวเศษเป็นค่าประจำหลัก แล้วลบออก 1 ค่า
หลกั ร้อย 12 – 12 = 0 ของหลักถดั ไป
หลักพนั 15 – 13 = 2 ใชต้ ัวเลขเปน็ คา่ ประจำหลกั
ใช้ตวั เลขเปน็ ค่าประจำหลัก

6. การคณู และการหารเลขฐาน
การคณู เลขฐานสอง
การคณู เลขฐานสอง ใชห้ ลกั การเดยี วกบั การคูณเลขฐานสิบ แต่งา่ ยกว่า เน่อื งจากเลขในระบบเลขฐานสอง

มคี ่าแค่ 0 และ 1 ดังน้นั ผลการคณู ย่อยของแตล่ ะของตวั คณู จะมผี ลลพั ธ์เป็น 2 กรณี คอื

1. ผลลพั ธ์การคูณยอ่ ยเป็น 0 ท้ังหมดในกรณตี วั คณู มีคา่ เปน็ 0
2. ผลลัพธ์การคณู ย่อยมคี ่าเทา่ กบั ตวั ตงั้ ในกรณตี วั คณู มคี า่ เปน็ 1

ตัวอย่าง 3.19 จงหาผลตา่ งของ 1012 และ 102 เป็นเลขฐาน 2
วธิ ที ำ 101

10
000
1010
1010

: (1012) * (10)2 = (10102)

ตวั อย่าง 3.20 จงหาผลลพั ธข์ องการคูณเลขฐานสอง (10110.100)2 * (101)2
วิธีทำ 1011100

101
10110100
000000000
1011010000
11110000.100
: (10110.100)2 * (101)2 = (11110000.1002)

การคณู เลขฐานแปด
การคูณเลขฐานแปด มีหลักการเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ แต่แตกต่างกันตรงที่เลขฐานแปด มีค่าสูงสุด
คือ 7 ดงั นัน้ หากคา่ ที่คูณมีผลลัพธ์เกิน 7 ต้องนำมาแปลงให้อยู่ในรูปเลขฐานแปดก่อน เนื่องจากผลลัพธ์ท่ีคำนวณ
น้นั จะอยู่ในรปู เลขฐานสิบ
เชน่ 4 * 5 ผลลพั ธ์ คือ 20 ซงึ่ อยู่ในรปู เลขฐานสิบ ดงั นน้ั ตอ้ งแปลงใหเ้ ปน็ ฐานแปด คือ 2 เศษ 4 โดยท่ี 2
คือ เลขทีท่ ดไปยงั หลักถดั ไป สว่ น 4 คือ ผลลัพธ์ของหลักน้ัน

ตวั อย่าง 3.21 จงหาผลลัพธ์ของการคูณเลขฐานแปด (318) * (128)
วธิ ีทำ 31

12
62
310
370
: (318) * (128) = (3708)
จากตวั อย่างที่ 3.21 เปน็ กรณที ผ่ี ลลัพธจ์ ากการคูณมคี ่าไมเ่ กนิ 7 ดังนั้น นำค่าท่คี ณู มาหาผลลัพธ์ไดท้ ันที

ตวั อย่าง 3.22 จงหาผลลัพธข์ องการคูณเลขฐานแปด (428) * (268)
วิธีทำ 42

26
314
1040
1354
: (428) * (268) = (13548)
จากตัวอยา่ งท่ี 3.22 เปน็ กรณีท่ผี ลลัพธจ์ ากการคูณมีค่าไม่เกนิ 7 ดงั นั้น นำคา่ ทค่ี ณู มาหาผลลพั ธ์ได้ทันที
การคูณเลขฐานสบิ หก
การคณู เลขฐานสบิ หก มีหลกั การเชน่ เดียวกบั การคณู เลขฐานแปด แตกตา่ งกนั เพียงระบบฐานเท่านนั้
ตวั อย่าง 3.23 จงหาผลลพั ธข์ องการคณู เลขฐานสิบหก (4B2)16 * (2E)16
วิธีทำ 4B2

2E
41BC
9640
D7FC
: (4B2)16 * (2E)16= (D7FC)16

การหารเลขฐานสอง
การหารเลขฐานสอง มหี ลักการเชน่ เดยี วกับการหารเลขฐานสบิ
ตวั อย่างที่ 3.24 จงหาผลลพั ธข์ องการคูณเลขฐานสอง (10110)2 ÷ (10)2
วิธที ำ 1011

10) 10110
10
011
10
10
10
00

: (10110)2 ÷ (10)2 = (1011)2

การหารเลขฐานแปด
การหารเลขฐานแปด มีหลักการคล้ายกับการคูณ คือ ถ้าผลลัพธ์จากการหารมีค่าไม่เกิน 7 สามารถนำ
ผลลัพธ์นน้ั มาตอบได้เลย แตห่ ากผลลพั ธ์มีค่าเกิน 7 ต้องแปลงใหเ้ ป็นเลขฐานแปดกอ่ น

ตัวอยา่ ง 3.25 จงหาผลลพั ธข์ องการคณู เลขฐานแปด (64)8 ÷ (2)8
วธิ ีทำ 2 ) 6342

6
4
4
0
: (64)8 ÷ (2)8 = (32)8

การหารเลขฐานสบิ หก
การหารเลขฐานสิบหก มหี ลักการเช่นเดียวกับการหารเลขฐานแปด แตกต่างกันเพียงระบบฐานเทา่ น้ัน

ตวั อยา่ ง 3.26 จงหาผลลพั ธข์ องการคูณเลขฐานสบิ หก (D7FC)16 ÷ (2E)16
วธิ ีทำ 2E) D74FBC2

B8
1FF
1FA

5C
5C
00

7. การแปลงระหวา่ งระบบเลขฐานสองใหเ้ ป็นเลขฐานแปด
การแปลงระหว่างระบบเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปดได้โดยแบ่งเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต

โดยการนับตัวเลขจากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ครบ 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป ถ้าเป็นทศนิยมให้แบง่ จาก
ซ้ายไปขวา และการแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองก็ทำเช่นเดียวกัน หรือจะแปลงเลขฐานสองให้เป็น
เลขฐานสบิ กอ่ นแล้วแปลงใหเ้ ปน็ เลขฐานแปดก็ได้ ดังตัวอยา่ งวิธที ำด้านล่าง

เลขฐานแปด เลขฐานสอง
0 000

1 001

2 010
3 011
4 100
5 110
6 110
7 111

ตารางท่ี 3.4 แสดงความสมั พันธ์ระหวา่ งเลขฐานแปดกับเลขฐานสอง
การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด ทำได้โดยแบ่งเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต โดยนับจาก
ทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุดสดุ ทา้ ยมีไม่ถงึ 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป แต่ถ้าเป็นทศนิยมแบ่งเป็นชดุ ให้นับจากทางซ้ายไป
ขวา

ตัวอยา่ ง 3.27 จงแปลง (11110111)2 ให้เปน็ เลขฐานแปด
วิธที ำ แบง่ เลขฐานสองดังกล่าวออกเป็นกล่มุ กลุม่ ละ 3 บิต โดยนบั จากทางขวามาซ้าย

(11 110 111)2 = 011 110 111

= 36 7
: (11110111)2 = (367)2

ตัวอย่าง 3.28 จงแปลง (11101001000.01011)2 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด . เตมิ 0
010 110
เตมิ 0
วิธที ำ (11101001000.01011)2 = 011 101 001 000

= 351 0. 26
: (11101001000.01011)2 = (3510.26)8
ตัวอย่าง 3.29 จงแปลง (2357)8 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง
วธิ ีทำ (2357)8 = 2 5 3 7

= 010 101 011 111
: (2357)8 = (10101011111)2

ตัวอย่าง 3.30 จงแปลง (247.51)8 ให้เป็นเลขฐานสอง 5 1
วิธีทำ (2357)8 = 2 4 7 .

= 010 100 111 . 101 001
: (2357)8 = (10101011111)2

8. การแปลงระหวา่ งระบบเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสบิ หก
การแปลงระหว่างระบบเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถทำได้โดยการแปลงตัวเลขฐานสิบก่อน

ส่วนวิธที ี่งา่ ย กค็ ล้าย ๆ กับการแปลงเลขระหวา่ งฐานสองและฐานแปด ตา่ งกันเพยี งเลขฐานสิบหก 1 หลัก สามารถ
แทนดว้ ยเลขฐานสอง 4 บิต

เลขฐานสบิ หก เลขฐานสอง
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

ตารางท่ี 3.5 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐานสิบหกกับเลขฐานสอง เติม 00
1000 1100
ตวั อย่าง 3.31 จงแปลง (110000111100111.100011)2 ให้เปน็ เลขฐานสบิ หก
วิธที ำ เติม 0

(110000111100111.100011)2 = 0110 0001 1110 0111 .

= 6 1 E 7. 8 C

: (110000111100111.100011)2 = (61E7.8C)16
หมายเหตุ

วิธีการเติม 0 ในกรณี แปลงเลขฐานสองให้เลขฐาน ให้แบ่งเป็น 3 หลัก (3 บิต) และ 4 หลัก (4 บิต) หาก
แปลงเป็นฐานสบิ หก นับจากทางขวามาซ้าย หากซ้ายสดุ ไม่ครบ 3 หรือ4 ให้เติม 0 ข้างหนา้ (กรณกี อ่ นจุดทศนิยม)
หลงั จดุ ทศนยิ มนบั จากทางซา้ ยมาขวา หากขวาสดุ ไมค่ รบ 3 หรอื 4 หลัก ใหเ้ ตมิ 0 ข้างหลัง
ตวั อยา่ ง 3.31 จงแปลง (8ADF.238)16 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ หก
วธิ ที ำ (8ADF.238)16 = 8 A D F . 2 3 8

= 1000 1010 1101 1111 . 0010 0011 1000
: (8ADF.238)16 = (1000101011011111.001000111000)2
9. การแปลงระหว่างเลขฐานแปดใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก
การแปลงระหว่างเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหก มีวิธีทำได้หลายวิธี แต่วิธีที่ง่ายที่สุด คือ แปลงเลขท่ี
ต้องการเปล่ียนให้เป็นฐานสองกอ่ น แล้วจึงแปลงต่อให้เป็นเลขฐานทตี่ ้องการ

ระบบเลขฐานสิบหก ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด

(ก) ข้นั ตอนการแปลงจากระบบเลขฐานสบิ หกเป็นระบบเลขฐานแปด

ระบบเลขฐานสิบหก ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด

(ข) ขั้นตอนการแปลงจากระบบเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสบิ หก

รปู ที่ 3.5 แสดงขัน้ ตอนการแปลงระหวา่ งระบบเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสบิ หก

ตวั อยา่ ง 3.33 จงแปลง (3A6E)16 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด
วิธที ำ (3A6E)16 = 0011 1010 0110 1110 (แปลงเปน็ ฐานสบิ หกเปน็ ฐานสอง)

= (0011 1010 0110 1110)

= 011 101 011 101 110 (แบง่ เป็นกลุ่มละ 3บิต)

= 3 5 1 5 6 (แบง่ เป็นกลุ่มละ 3บิต)
: (3A6E)16 = (35156)8
ตวั อย่าง 3.33 จงแปลง (4721.327)8 ให้เป็นเลขฐานสบิ หก
วธิ ีทำ (4721.327)8 = 100 . 111 010 001 . 011 010 111

= (100111010001011010111)
= 1001 1101 0001 . 0110 1011 1000

= 9 5 1. 6 B 8
: (4721.327)8 = (951.6B8)16

สรุปเนือ้ หาสำคัญ ( ผงั มโนทัศน์ )

การเปลี่ยนแปลงเลขฐานต่าง ๆ การเปล่ียนแปลงเลขฐานสิบ
เป็นเลขฐานสิบ ใหเ้ ป็นเลขฐานต่าง ๆ

การแปลงระบบเลขฐาน การเปล่ียนเลขฐานสิบที่เป็น
ทศนยิ มเปน็ ฐานต่าง ๆ
การแปลงระหว่างระบบเลขฐาน
แปดและเลขฐานสิบหก ระบบจำนวน

การบวกและการลบเลขฐานตา่ ง ๆ