หน่วยที่1

หน่วยท่ี 1
ระบบจำนวน
สาระสำคัญ
มนุษย์มีแนวคิดเกี่ยวกับการใช้จำนวนและตัวเลขตั้งแต่สมัยโบราณ โดยเริ่มรู้จักการนับ
(Counting) และพยายามคิดค้นเพื่อพัฒนาเครื่องมือที่ช่วยในการคิดคำนวณเป็นลำดับเรื่อยมาตั้งแต่
การใช้นิ้วมือ ก้อนหิน กิ่งไม้ รอยขีด เป็นต้น เมื่อสังคมได้พัฒนามากขึ้น มนุษย์รู้จักการเลี้ยงสัตว์
เพาะปลูก แลกเปลี่ยนสิ่งของ และค้าขาย การคำนวณยิ่งมีความสำคัญและความจำเป้นสำหรับการ
ดำรงชีวติ เป็นลำกับ
สมรรถนะประจำหน่วย
แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมีหลัก และไม่มีหลัก , เลขฐานวิทยาศาสตร์ และสามารถ
ประยกุ ต์ใช้ในการดำรงชวี ติ
เรอ่ื งท่จี ะศกึ ษา
1. ววิ ัฒนาการของระบบจำนวน
2. จำนวนและตวั เลข
3. โครงสรา้ งระบบจำนวน
4. เลขจำนวนเต็ม
5. เศษสว่ นและทศนิยม
6. เลขมีหลกั และไม่มหี ลัก
7. เลขฐานวทิ ยาศาสตร์
8. คุณสมบัติพ้นื ฐานของระบบจำนวนจรงิ
9. ความสัมพันธ์ในระบบจำนวนจรงิ
10. ชว่ งของจำนวนจริง

จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม
1. อธบิ ายววิ ัฒนาการของระบบจำนวนได้
2. เปรยี บเทยี บจำนวนและตัวเลขได้
3. วเิ คราะหโ์ ครงสรา้ งระบบจำนวนได้
4. แยกแยะเลขจำนวนเตม็ ได้
5. จดจำความสัมพันธข์ องระบบจำนวนได้
6. แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมหี ลกั และไม่มหี ลัก , เลขฐานวิทยาศาสตรไ์ ด้
7. นำระบบจำนวนไปประยกุ ต์ใชใ้ นการดำรงชีวิตใหเ้ หมาะสม

1. ววิ ัฒนาการของระบบจำนวน
1.1 ความคดิ ทางคณิตศาสตรย์ ุคบาบโิ ลเนยี

รปู ท่ี 1.1 แสดงคณิตศาสตรย์ คุ บาบโิ ลเนีย
ชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์อยู่กับธรรมชาติ เมื่อธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไป การเฝ้าสังเกตเห็น
การเปลย่ี นแปลงตามหลักความจริงตา่ ง ๆ ทำใหเ้ กดิ ความรู้ เช่น เมื่อสังเกตเห็นดวงอาทิตย์ข้ึนทางทิศ
หนึ่งเป็นประจำทุกวัน และตกอีกด้านหนึ่งสามารถกำหนดทิศเป็นทิศตะวันออก คือ ทิศที่ดวงอาทิตย์
ขึ้น มีการกำหนดเป็นทิศเหนือ ใต้ และรับรู้เรื่องเวลา โดยสังเกตเวลาที่ดวงอาทิตย์ขึ้น และเวียนรอบ
ครบอีกหนึ่งครั้งโดยแบ่งเปน็ วัน มีการแบ่งเวลาเป็นช่ัวโมงและนาที ต่อมาเมื่อสังเกตต่อไปนาน ๆ พบ
เรื่องราวฤดูกาล รู้ว่าสามารถแบ่งฤดูกาลแบ่งเป็นปี โดยสังเกตว่าการเปลี่ยนแปลงของฤดูกาลขึ้นกับ
ธรรมชาติ โดยมีดวงอาทิตย์เปลี่ยนตำแหน่งการขึ้นที่ขอบฟ้าทีละนิด โดยเล่ื อนไปทาง
ตะวันออกเฉียงเหนือ จนถึงเดือนมิถุนายนประมาณวันที่ 21-22 มิถุนายน ดวงอาทิตย์ขึน้ เยื้ยงไปทาง

ทศิ เหนือมากสดุ และเลื่อนกลบั มาทางทศิ ตะวนั ออกเฉียงใต้ จนถึงประมาณวันท่ี 21-22 ธนั วาคม ดวง
อาทิตย์เลื่อนมาขึ้นทางทิศตะวันออกเฉียงใต้มากสุด และวนเวียนกลับไปมาจนทำให้มนุษย์เข้าใจใน
เรื่องฤดูการและมีการแบง่ ขอบเขตของเวลาเปน็ ปี มีการแบ่งหน่วยยอ่ ยตามสภาพของเดอื น ซึ่งถือเอา
สภาพของดวงอาทติ ยอ์ ยูใ่ นตำแหนง่ ดาวตามจักรราศเี ป็นเดือนตา่ ง ๆ

จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิโลน ซึ่งอยู่ใน
ช่วงเวลาประมาณห้าพันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมที่เก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ำเฟรติสและยูเฟร
ติส ได้ใช้ตัวเลขการนับด้วยฐานหกสิบ และแบ่งหน่วยเวลาเป็นนมาตรา 60 ดังที่ใช้กันมาในเรื่องเวลา
และใช้แบ่งวงกลมเป็นองศาฟลิ ิปดา เปน็ ต้น

ชาวบาบิโลนมีระบบการนับจำนวนที่ก้าวหน้าโดยไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ เพราะตัวเลขฐานสิบมี
การแบ่งจำนวนที่ลงตัวเพียง 2 กบั 5 แตช่ าวบาบิโลนใช้ตัวเลข 60 ซง่ึ มีการแบง่ จำนวนลงตัวได้ถึง 10
ตัวเลข ชาวบาบิโลนแบ่งเวลาในหนึ่งวันเป็น 24 ชั่วโมง ทุก ๆ ชั่วโมง มี 60 นาที ทุก ๆ นาที่มี 60
วินาที ถ้าจะเขียนตัวเลขแทนเวลาจะเขียนได้เป็น 5h 25' 30" มีความหมายว่า 5 ชั่วโมง 25 นาที 30
วินาที หรือเขียนในฐาน 60 เป็น 5 25/60 30/3600 ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10
2/100 5/1000

ชีวิตความเป็นอยู่ของคนที่เกี่ยวข้องกับการนับและปริมาณ หน่วยนับจึงมีความสำคัญเพราะ
การสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกันจำเป็นต้องมีหน่วยนับ ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิ
โลนยังไม่รู้จักกับตัวเลขทศนิยม รู้จักแต่จำนวนเต็ม และมีฐานหกสิบ หลักฐานที่สำคัญที่ยนื ยันว่าชาว
บาบโิ ลนใช้เลขฐานหกสิบ คือ มกี ารคน้ พบตารางคาํ นวณทีล่ มุ่ น้ำยเู ฟรติส ในปี ค.ศ. 1854 ตารางท่พี บ
เปน็ ตารางตวั เลขยกกําลงั สอง เช่น 82 = 1 4 ซึ่งมคี วามหมายเป็น 82 = 1 4 = 1 * 60 + 4 = 64 หรือ
ตวั อย่าง 592 = 58 1 ( =58 * 60 + 1 = 3481 ) สงิ่ ท่ีนา่ ประหลาดใจ คอื ชาวบาบโิ ลนรู้จักวิธีการคูณ
และหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมีลักษณะท่ีใช้ตารางยกกําลังสองของตัวเลขท่ที ำขึน้
โดยสมมุติว่า ต้องการคูณตัวเลข a และ b ซาวบาบิโลนใช้หลักการของการยกกําลังสองของตัวเลขท่ี

ได้จากตาราง โดยใช้หลักการ a + b ((a + b)2-a2b2)/2 จากหลักการนี้เขียนได้ คือ a ∎ b = (a +
b)2 /4 – (a-b)2 /4

1.2 ความคิดทางคณิตศาสตรย์ ุคสมัยอียิปตแ์ ละโรมัน

รปู ท่ี 1.2 แสดงคณิตศาสตรย์ ุคสมยั อียิปตแ์ ละโรมัน
ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลนมาเป็นอารยธรรมที่ลุ่มแม่น้ ำไนล์ใน
ประเทศอียปิ ต์ ส่ิงมหัศจรรย์ของโลกทยี่ ังหลงเหลอื อยู่ คือ พีระมิด ที่แสดง ความสามารถของคนในยุค
นั้น ชาวอียิปต์โบราณให้ความสำคัญอย่างมากกับการจดบันทึก และการสื่อสาร จึงได้ประดิษฐ์
กระดาษปาปิรุส (papyrus) ขึ้น ซึ่งทำมาจากตน้ กกท่ีเติบโตอย่างแพร่หลายในแถบลุ่มแม่น้ำไนล์ ชาว
อยี ิปตโ์ บราณสอื่ ความหมายด้วยอกั ษรภาพท่ีเรยี กว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซง่ึ รวมไปถึงตัวเลขด้วย
อักษรภาพแทนตัวเลขตา่ ง ๆ มีดังนี้

รปู ท่ี 1.2 แสดงอกั ษรไฮโรกลฟิ
ในช่วงทีอ่ ยี ิปตโ์ บราณรุ่งเรือง 2,000 กว่าปีนั้น อักษรภาพไฮโรกลิฟ ได้ถกู เปลี่ยนแปลงไปตาม
ยุคตามสมัย ต่อมาชาวอียิปต์โบราณเห็นว่าการเขียนแบบไฮโรกลิฟนั้นไม่กระชับ จึงพัฒนาสัญลักษณ์

แบบ ไฮราติก (Hieratic) ขึ้นดังแสดงในรูปที่ 1.4 ตัวเลขแบบไฮราติกนั้น ต้องใช้ความจํามากขึ้น
เพราะมีสัญลักษณ์ทั้งหมด 36 ตัว (จากเดิมที่มีอักษรภาพ เพียง 7 ตัว) ข้อดี คือ เมื่อนําไปเขียนเป็น
ตัวเลข วิธีใหม่นี้สามารถลดจำนวนสัญลักษณ์ลง จากเดิมตัวเลข 9,999 ต้องใช้อักษรภาพ 36 ตัว ก็
เหลือใช้สัญลักษณ์แบบไฮราติกเพียง 4 ตัวเท่านั้น สำหรับข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสัญลักษณ์
แบบไฮราตกิ และระบบจำนวนที่ใช้กันอยู่ในปัจจบุ ันน้ัน คือ ตำแหน่งของสญั ลกั ษณ์แบบไฮราติก ไม่มี
ผลต่อคา่ ของตวั เลข

รูปที่ 1.4 แสดงอกั ษรภาพไฮราตกิ
สมยั กรีก

ในสมัย 2,600 ปีถึง 2,300 ปีที่แล้ว ชาวกรีกได้รับความรู้ทางคณิตศาสตร์จากชาวอียิปต์และ
ชาวบาบิโลน ชาวกรีกเป็นนักคิดชอบการใช้เหตุผล เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่เพียงเกร็ดความรู้ที่ใช้ให้
เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น จึงได้วางกฎเกณฑท์ ำให้คณติ ศาสตร์กลายเป็น วิชาที่มเี หตุผล มีการพิสูจน์ให้
เหน็ จรงิ เปน็ วชิ าท่ีนา่ รู้ไว้เพม่ิ พูนสตปิ ญั ญา นกั คณติ ศาสตร์ท่ี สำคญั ในสมยั นี้ คอื

เธลีส (Thales ประมาณ 640-546 ปีก่อนคริสต์ ศักราช) เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นัก
ดาราศาสตร์ชาวกรีก เธลีสได้ทํานายว่าจะเกิดสุริยคราสล่วงหน้าซึ่งได้เกิดขึ้น ก่อนพุทธศักราช 42 ปี
รู้จักพิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิต เช่น เส้นผ่าศูนย์กลางจะแบ่งครึ่งวงกลม มุมที่ฐานของรูป
สามเหลยี่ ม หน้าจ่ัวเท่ากนั และมมุ ในครึ่งวงกลมเปน็ มมุ ฉาก เปน็ ต้น

รปู ท่ี 1.5 แสดงเธลสี
เธลสิ เป็นคนแรกทค่ี ำนวณหาความสงู ของพรี ะมดิ ในอียปิ ตโ์ ดยใชเ้ งา
ปีทาโกรัส (Pythagoras ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก
เปน็ ผู้ริเร่มิ ต้ัง โรงเรียนสอนวชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละปรัชญา ปีทาโกรสั และศิษย์ สนใจเรอื่ งราวของจำนวน
กันมาก เพราะคิดว่าวิชาการต่าง ๆ และการงานแทบทุกชนิดของมนุษย์จะต้องมีจำนวนเข้ามา
เกี่ยวขอ้ งอยู่ด้วยเสมอ การเรยี นรูเ้ รอื่ งของจำนวน คือ เรียนรู้ เรอ่ื งราวตา่ ง ๆ ของธรรมชาติ

รูปท่ี 1.6 แสดงปที าโกรัส

อาร์คมิ ดิ ีส (Archimedes ประมาณ 287-212 ปี ก่อนคริสต์ศกั ราช) นักคณิตศาสตร์ นกั ฟิสกิ ส์
ชาวกรีก สนใจการหาพื้นที่วงกลม ปริมาตรของทรงกระบอกและกรวย นักคณิตศาสตร์ สมัยนี้รู้จัก
คำนวณอตรรกยะ เช่น พาย และสามารถคํานวณค่าโดยประมาณได้โดยใช้ภาพหลายเหลี่ยมขนาด
ใหญ่กว่าอยขู่ ้างนอกวงกลม และรูปหลายเหลี่ยมขนาดเลก็ กว่าอยู่ข้างในวงกลม ยิง่ จำนวนด้านของรูป
หลายเหลย่ี มเพม่ิ ขน้ึ จะใกลเ้ คยี งกบั ขอบของวงกลมมากยิ่งข้นึ เมอื่ รปู หลายเหลยี่ มมจี ำนวนด้านถงึ 96
ด้าน อาร์คิมิดสี ยังพสิ จู นด์ ้วยว่าพนื้ ทขี่ องวงกลมน้นั เทา่ กบั คูณกับค่ากาํ ลังสองของรศั มขี องวงกลม

ค่า มีคา่ ประมาณเท่าไร ?
ตอบ ประมาณ 3.1429

สมัยกลาง
(ประมาณ พ.ศ. 1072-1979) อาณาจักรโรมันเสื่อมสลายลงในปี พ.ศ. 1019 ชาวอาหรับรับ

การถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์จากกรีก ได้รับความรู้เรื่องจำนวนศูนย์และวิธีเขียนตัวเลขแบบ
ใหมจ่ ากอินเดีย ตวั เลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ที่ใช้กนั ทกุ วันนี้ จึงมชี ่อื วา่ ฮนิ ดูอารบิก ชาวอาหรับแปล
ตําราภาษากรกี ออกเป็นภาษาอาหรบั ไว้มากมาย ทงั้ ทางดาราศาสตร์ คณติ ศาสตร์และแพทยศาสตร์

สมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา (ประมาณ พ.ศ. 1980-2143) สงครามครูเสดระหว่างชาวยุโรปกับชาว
อาหรับซึ่งกินเวลาร่วม 300 ปี สิ้นสุดลง ชาวยุโรปเริ่มฟื้นฟูทางการศึกษา และ มีการก่อตั้ง
มหาวิทยาลัยกันขึ้น ชาวยุโรปไดศ้ ึกษาวิชาคณิตศาสตร์จากตําราของชาวอาหรับ ในปี พ.ศ. 1983 คน
รู้จกั วธิ ีพิมพ์หนังสือ ไมต่ อ้ งคัดลอกดังเช่นแต่ก่อน ตาํ ราคณติ ศาสตรจ์ ึงแพร่หลายทั่วไป ชาวยุโรปแล่น
เรือมาค้าขายกับอาหรับ อินเดีย ชวา และไทยในปี พ.ศ. 2035 คริสโตเฟอร์ โคลัมบัส (Christopher
Columbus ประมาณ ค.ศ. 1451 - 1506) นักเดินเรือชาวอิตาเลียนแล่นเรือไปพบทวีปอเมริกาใน
พ.ศ. 2054 ชาวโปรตุเกสเข้ามาค้าขายในกรุงศรีอยุธยา การค้าขายเจริญรุ่งเรือง ชาวโลกสนใจ
คณิตศาสตร์มากขึ้นเพราะใช้เป็นประโยชน์ได้มากในการค้าขายและเดินเรือ พบตําราคณิตศาสตร์
ภาษาเยอรมัน พมิ พ์ใน พ.ศ. 2032

มีการใช้เครื่องหมาย + และ - ตําราคณิตศาสตร์ที่แพรห่ ลายมาก คือ ตําราเกี่ยวกับเรขาคณติ
อธิบายวิธีบวก ลบ คณู หารจำนวนโดยไม่ตอ้ งใชล้ กู คดิ การหารยาวก็เรม่ิ ต้นมาจากสมยั น้ี และยังคงใช้
กันอยู่ตราบเท่าปัจจุบัน นักดาราศาสตร์ใช้คณิตศาสตร์ในงานค้นคว้าเกี่ยวกับดวงดาวบนท้องฟ้า นิ
โคลัส คอเปอร์นิคัส (Nicolas Copernicus ค.ศ. 1473-1543) นักดาราศาสตร์ผู้อ้างว่าโลกหมุนรอบ
ดวงอาทติ ยเ์ กดิ ในสมัยนี้

การเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ประมาณ พ.ศ. 2144-2343) เริ่มต้นประมาณแผ่นดิน
สมเดจ็ พระนเรศวรมหาราช แห่งกรุงศรีอยธุ ยาจนถึงแผ่นดิน สมเด็จพระพทุ ธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช
แห่งกรุงรัตนโกสินทร์ ในรอบสองร้อยปี ต่อมาความเจริญทางด้านดาราศาสตร์ การเดินเรือ การค้า
การกอ่ สร้าง ทำใหจ้ ำเป็นตอ้ งคดิ เลขใหไ้ ด้เรว็ และถกู ตอ้ ง ในปี พ.ศ. 2157

รปู ที่ 1.7 แสดงครสิ โตเฟอรโ์ คลมั บัส
เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. 1550-1617) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต
ได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับลอการิทึม ซึ่งเป็นวิธีคูณ หาร และการยกกําลังจำนวนมาก ๆ ให้ได้ผลลัพธ์
ถูกต้องและรวดเร็ว ในที่สุดก็มีการประดิษฐ์บรรทัดคํานวณขึ้นโดยใช้หลักเกณฑ์ของลอการิทึม
นอกจากนีย้ งั มนี กั คณิตศาสตรท์ ส่ี ำคญั อกี คอื

รูปที่ 1.7 แสดงเนเปอร์ จอหน์ เนเปยี ร์

แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) และปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de
Fermat ค.ศ. 1601-1665) พบวิชาความน่าจะเป็นทั้งสองท่านนี้เป็นชาวฝรั่งเศส ปาสกาลได้รับการ
ยกย่องว่าเป็นคนแรกท่ปี ระดิษฐ์เคร่ืองคิดเลข

เซอร์ไอแซก นิวตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ 16421727) นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์
ชาวอังกฤษ และกอตต์ฟรดี วลิ เฮลม์ ไลบ์นิตส์ (Gottfried Wilhelm Leibnitz ค.ศ. 1646-1716 นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน) พบวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็นวิชาที่นําไปใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวาง การ
ค้นพบวิชาแคลคูลัสในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบ ค.ศ. 1646 - 1716 นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน พบวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็น วิชาที่นําไปใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวาง การ
ค้นพบวิชา แคลคูลัสในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบกฎทางวิทยาศาสตร์ของ
นิวตัน เช่น กฎของการเคลื่อนที่ทฤษฎีของการโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นความก้าวหน้าข อง
วิทยาการสมัยใหม่ ผลงานของนักคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในสมัย 100 ปี ต่อมามุ่งไปในแนวใช้
แคลคูลสั ให้เป็นประโยชน์ในการศกึ ษาคณติ ศาสตร์ และวิชาฟิสิกส์แขนงตา่ ง ๆ

รปู ท่ี 1.9 แสดงเซอร์ไอแซก นิวตัน
นักคณิตศาสตรท์ า่ นอื่น

นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในสมัยนี้มี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ค.ศ.
1707-1783) ชาวสวิตเซอร์แลนด์ ผู้ให้กำเนิดทฤษฎีว่าด้วยกราฟ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรัง่ เศส โจแฮฟ

ลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ปีแยร์ ซิมง เดอ ลาปลาซ (Pierre
Simon de Laplace ค.ศ. 1749-1827) ใช้แคลคูลัสสร้างทฤษฎี ของกลศาสตร์ และกลศาสตรฟ์ ากฟา้
ซึ่งเปน็ พ้นื ฐานของวิศวกรรมศาสตร์ และตาราศาสตร์
สมัยปจั จบุ ัน

(ประมาณ พ.ศ. 2344-ปจั จบุ ัน) เร่มิ ประมาณแผน่ ดนิ พระบาทสมเดจ็ พระพุทธเลศิ หล้านภาลัย
นักคณิตศาสตร์ในสมัยนี้สนใจในเรื่องรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ (วิชาว่าด้วยการ
ใชเ้ หตุผล) นาํ ผลงานของนกั คณติ ศาสตรร์ ุ่นก่อนมาวเิ คราะห์ ใคร่ครวญ สง่ิ ใดที่นกั คณติ ศาสตร์รุ่นก่อน
เคยกล่าวว่าเป็นจริงแล้ว นักคณิตศาสตร์รุ่นนี้ก็นํามาคิดหาทางพิสูจน์ให้เห็นจริง ทำให้ความรู้ทาง
คณติ ศาสตรเ์ ดมิ มีพ้ืนฐานมั่นคง มหี ลักมเี กณฑท์ ี่จะอธิบายให้เข้าใจไดว้ ่า การคดิ คาํ นวณต่าง ๆ ต้องทำ
เช่นนน้ั เช่นน้ีเพราะเหตุใด

ในขณะเดียวกันได้สร้างคณิตศาสตร์แขนงใหม่ ๆ ให้เกิดขึ้นเพื่อนำมาใช้ให้เป็นประโยชน์
เหมาะสมกบั สภาพสงั คมปัจจุบนั จะขอกล่าวถึงนักคณิตศาสตร์ และแซหงใหมข่ องคณิตศาสตรใ์ นสมัย
นี้พอสังเขป

คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
มีผลงานดีเด่นทางคณิตศาสตร์มากมายหลายด้าน ได้แก่ พีชคณิต การวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวน การ
วิเคราะห์เชงิ ตัวเลข ความนา่ จะเป็นและสถิติศาสตร์ รวมทัง้ ดาราศาสตร์และฟสิ กิ ส์

รูปท่ี 1.10 แสดงคาร์ล ฟรีดริค เกาส์

นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเซฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ. 1792-1856) นัก
คณติ ศาสตรช์ าวรสุ เซีย และ จาโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ. 1802-1860)

ใครเป็นผไู้ ดร้ บั การยกยอ่ งเป็นผู้ใหก้ ำเนดิ วชิ าเรขาคณิตนอกระบบยูคลดิ ในส่วนเรขาคณติ
แบบไฮเพอรอ์ โบลกิ
ตอบ นิโคไล อิวาโนวชิ โลบาเซฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski)

นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. 1802-1829) นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ มี
ผลงานในด้านพีชคณิตและการวิเคราะห์ เมื่ออายุประมาณ 19 ปี พิสูจน์ได้ว่าสมการกําลังห้าที่มีตัว
แปรตัวเดียวในรูปทั่วไป (ax2 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) จะไม่สามารถหาคําตอบโดยวิธี
พีชคณิตได้เสมอไปเหมือนสมการที่มีกําลังต่ำกว่าห้า นอกจากนี้ยังมีผลงานอื่น ๆ ในด้านทฤษฎีของ
อนุกรม อนันต์ ฟังก์ชันอดิศัย กลุ่มจตุรงค์ และฟังก์ชันเชิงวงรี เซอร์ วิลเลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir
William Rowan Hamilton ค.ศ. 1805-1865)

นักคณิตศาสตร์ชาวไอริส มีผลงานในด้านพีชคณิต ตาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ในปี ค.ศ. 1843
ไดส้ ร้างจำนวนชนดิ ใหม่ขึน้ เรยี กว่า ควอเทอรเ์ นียน เป็นจำนวนทเ่ี ขยี นได้ในรปู a + bi + cj + dk โดย
ที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง i2 = j2 = k2 = ijk = -1 ควอเทอร์เนียน มีคุณสมบัติต่างไปจาก
จำนวนธรรมดาสามัญ กล่าวคือ ไม่มีสมบัติการสลับที่เม่ือพดู ถึงจำนวนคนมักจะคิดว่า จำนวนตัวหน้า
คูณจำนวนตัวหลงั จะไดผ้ ลลัพธเ์ ท่ากับจำนวนตัวหลังคูณจำนวนตัวหน้า เขียนได้ในรปู ab = ba แต่ค
วอเทอร์เนียนไม่เป็นเช่นนั้น ij = k แต่ ji = -k แสดงว่า ij > ji แฮมิลทันได้รับเกียรติว่าเป็นผู้ให้กำเนิด
วิชาเมทริกซ์ร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์ (James Joseph Sylvester ค.ศ. 1814-1897) และ
อาร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur Cayley ค.ศ. 1821 - 1895) ทั้งสองท่านนีเ้ ป็นนกั คณิตศาสตร์อังกฤษ

รูปที่ 1.11 แสดงเซอร์ วลิ เลยี ม โรแวน แฮมลิ ทัน

แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann ค.ศ. 1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มี
ผลงานในด้านเรขาคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวิชาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ เป็นผู้ใหก้ ำเนิดวิชาเรขาคณติ แบบรมี ันน์ ซึ่งเป็น
รากฐานของทฤษฎสี ัมพันธภาพสมัยปัจจบุ ัน

แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann A.ศ. 1826 - 1 866) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
มีผลงานในต้านเรขาคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎศี ักย์ โทโปโลยี และวิชาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเปน็
รากฐานของทฤษฎสี มั พันธภาพสมัยปจั จบุ ัน

คาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Kar Weierstrass ค.ศ. 1815-1897) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มี
ผลงานในต้นการวิเคราะห์ เป็นผู้นิยามฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้อนุกรม
กำลัง สรา้ งทฤษฎีเกีย่ วกบั ฟงั ก์ชนั เชงิ วงรี และแคลลลู ัสของการแปรผัน

จอร์จ บลู (George Boole A.ศ. 1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษมีผลงานในต้น
ตรรกศาสตร์พืชคณิต การวิเคราะห์ แคลลูลัสของการแปรผัน ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นผู้ให้กำเนิด
วิชาพืชคณิตแบบบลู

รปู ท่ี 1.12 แสดงจอร์จ บลู
เกออรจ์ คนั เทอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845-1917) นกั คณติ ศาสตรช์ าวเยอรมนั เป็นผู้ริเร่ิม
นำเซตมาใช้ในการอธิบายเรื่องราวทางคณิตศาสตร์ และได้รบั ผลสำเร็จเปน็ อย่างดีเปน็ ผู้ให้กำเนิดวิชา
ทฤษฎีเซต ความรู้เกี่ยวกับเซตทำใหท้ ราบเรื่องราวเกี่ยวกับจำนวนจริงและจำนวนอนนั ต์เพ่มิ ขน้ึ ตอ่ มา

นักคณติ ศาสตร์อกี หลายท่านได้ชว่ ยกันปรับปรงุ เร่ืองเซตให้สมบูรณ์จนเป็นท่ียอมรับและนำไปใช้อย่าง
กว้างขวางในวิชาคณติ ศาสตร์

โยเชียห์ วิลลาร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน มีผลงานใน
ตา้ นวิชาฟสิ ิกส์เชงิ คณิตศาสตร์ และวิชากลศาสตร์เชงิ สถิติ เป็นผใู้ หก้ ำเนดิ วชิ าเวกเตอรว์ เิ คราะห์

รูปท่ี 1.13 แสดงโยเชียห์ วลิ ลาร์ด กิบส์
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. 1879-1955) นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ใช้
คณิตศาสตร์สรา้ งทฤษฎีสมั พันธภาพ เปน็ เหตใุ หค้ วามคดิ เหน็ เกีย่ วกับเอกภพและสสารซง่ึ เชือ่ กันมาแต่
เติมเปลี่ยนแปลงไป ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สมัยปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์
และอวกาศต้องใช้ความรูท้ างคณติ ศาสตรป์ ระยุกต์แบบใหม่
จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. 1903- 1957) นักคณิตศาสตร์ชาว
ฮังการี มีผลงานทั้งในตันคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ และเศรษฐศาสตร์ เช่น ทฤษฎี
ควอนตัม ทฤษฎีคอมพิวเตอร์และการออกแบบคอมพิวเตอร์ กำหนดการเชิงเส้นกลุ่มจตุรงค์ต่อเนื่อง
ตรรกศาสตร์ ความน่าจะเป็น เปน็ ผู้ใหก้ ำเนิดทฤษฎีการเส่ียง
คณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เกิดขึ้นในสมัยปัจจุบัน ได้แก่ ทฤษฎีเซต กำเนิดเมื่อ พ.ศ.2435 โท
โปโลยี กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2438 ทฤษฎีการเส่ียง กำเนิดเม่อื พ.ศ. 2474 และกำหนดการเชง็ เสน้ กำเนิด
เมอ่ื พ.ศ. 2490
คณติ ศาสตร์เริม่ จากเป็นเกร็ดความรู้ทมี่ นษุ ยน์ ำมาใช้ให้เป็นประโยชนใ์ นการดำรงชีวิตในสมัยส่ี
พนั ปกี อ่ นคอ่ ย ๆ มีกฎเกณฑท์ วเี พ่มิ พูนขน้ึ ตลอดมา คณติ ศาสตรเ์ ปรยี บเหมอื นต้นไม้ นบั วนั จะผลิดอก

ออกผลนำประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษย์ทุกยุคทุกสมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทาง
คณิตศาสตร์แก่เยาวชนของชาติ จึงมคี วามสำคญั อย่างมาก
2. จำนวนและตวั เลข

จำนวน (Number)หมายถงึ ตัวบง่ ช้ีปริมาณ ซ่ึงเปน็ ผลมาจากตัวเลข (Numeral) ประกอบกัน
ตัวเลข (Numeral) หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจำนวน ซึ่งสามารถบ่งชี้ปริมาณ
โดยตัวเลข ได้ถือกำเนิดมาเมื่อหลายพนั ปีกอ่ นโดยซาวอียิปต์ และเมื่อมีการติดต่อกับอารยธรรมอื่น ๆ
ได้เกิดวิวัฒนาการตัวเลขอื่น ๆ ตามมา เช่น ตัวเลขบาบิโลน ตัวเลขโรมัน ตัวเลขจีน และอีกมากมาย
รวมทั้งตัวเลขไทย ซึ่งตัวเลขที่ได้รับความนิยมมากที่สุดไต้แก่ ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งประกอบไปด้วย
ตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3. 4. 5, 6. 7, 8 และ 9 ซึ่งเม่ือค่าของจำนวนมีค่ามากกว่า 9 ขึ้นไปจะเกิด
การประกอบกนั ชน้ื มาของตวั เลขทั้ง 10

3. โครงสรา้ งระบบจำนวน รปู ท่ี 1.14 แสดงตัวเลขฮินดูอารบกิ
จำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเตม็ จำนวนเศษสว่ น จำนวนทศนิยม
ทศนิยมไมร่ ูจ้ บ รากท่ีถอดไม่ได้ลงตัว

จำนวนเต็มลบ จำนวนศูนย์ จำนวนเต็มบวก รปู ท่ี 1.15 แสดงโครงสร้างระบบจำนวน

จากรูปท่ี 1.15 แบ่งโครงสรา้ งระบบจำนวนออกได้ดังต่อไปนี้
จำนวนจริง (Real Number) คือ จำนวนทุกจำนวน ซึ่งอาจเป็นได้ทั้งจำนวนตรรกยะหรือ
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คอื จำนวนทส่ี ามารถเขียนแทนเศษส่วนได้ โดยจะอยู่
ในรูป *A* / *B* โดยท่ี B จะต้องไม่เทา่ กับศูนย์
จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) คอื จำนวนทไ่ี มส่ ามารถเขียนแทนเป็นเศษส่วนได้

ทศนิยมไมร่ ู้จบ รากท่ีถอดไมล่ งตัว คือ จำนวนอตรรกยะ

4. เลขจำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม (Integer) คือ จำนวนที่เป็นเลขลงตัวไม่มีเศษ หรือมีค่าหลังจุดทศนิยมเป็นศูนย์

หมายถึง จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) จำนวนเต็มศูนย์ (Zero Integer) และจำนวนเต็มลบ
(Negative Integer) เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วไม่ได้มีแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้นที่ใช้บ่งชี้ปริมาณ เช่น
อุณหภมู ขิ องอากาศตดิ ลบ จำนวนเงนิ คงเหลือในบญั ชขี องธนาคาร เป็นต้น

จำนวนเต็มบวก

จำนวนเตม็ ลบ จำนวนเต็มบวก

-3 -2 -1 0 2 3 4
รูปท่ี 1.16 แสดงเลขจำนวนเตม็

จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) คือ จำนวนนับที่มีค่าเริ่มตันที่ 1 และมีค่าเพิ่มขึ้นได้
เร่ือย ๆ เพราะจำนวนนบั ไม่มคี ่าส้ินสุด

จำนวนเตม็ ศนู ย์ (Zero Integer) คือ จำนวนทไ่ี ม่ถือเปน็ จำนวนนับ โดยการเริ่มตันนับค่าจะ
เริ่มตันที่ 1 เช่น เด็กคนที่ 1, 2, 3…. ไปเรื่อย ๆ แต่ไม่นิยมบอกว่า มีเด็ก 0 คน แต่อาจบอกแทนได้วา่
ไม่มีเด็ก จำนวนศูนย์ อาจแทนความหมายว่าไม่มี แต่บางครั้งก็ใช้เลข 0 เพื่อบ่งชี้ปริมาณได้เช่น ผล
การแชง่ ขันฟุตบอล 0 ประตูต่อ 0 หรอื ขณะน้ีอณุ หภูมิ 0 องศาเซลเชียส เปน็ ตนั

จำนวนเต็มลบ (Negative Integer) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 0 โดยมีเครื่องหมายลบ
กำกับอยู่หน้าตัวเลขจำนวนนั้น เช่น -3 อ่านว่า ลบสาม และมีคำน้อยลง ถ้าตัวเลขเพิ่มข้ึนไปเรื่อย ๆ
เพราะจำนวนนบั ไมม่ ีค่าสนิ้ สดุ
5. เศษสว่ นและทศนิยม

เศษส่วน (Fraction) หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป A โดยที่ A เป็นจำนวนเต็มบวกหรือ

B

ศูนย์ และ B จะต้องไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ เช่น 3 เป็นตนั

2

ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ตัวเลขเพื่อแทนจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็ม ซึ่ง
อาจเป็นทศนิยมลัวน เช่น 0.5 หรือ 0.75 โดยทศนิยมอาจมีจำนวนเต็มอยู่ด้วยเช่น 2.5 หรือ 4.725
เปน็ ตน้

จำนวนนับหรือจำนวนเต็ม สามารถบอกปริมาณได้ แต่ไม่สามารถบอกปริมาณบางอย่างได้
เช่น มีลูกอม 3 เม็ด แบ่งให้เด็ก 2 คน จะได้คนละเท่าใด คำตอบ คือ 3 หารด้วย 2 จะได้ 0.5 หรือ

1

1.5 เม็ด โดยพบว่าทศนิยม คือ เศษส่วนท่ีมีตวั หาร หรือเลขของส่วนเป็น 1 จึงไม่คอ่ ยนิยมนำมาเขียน
เช่น

รปู ท่ี 1.17 แสดงลูกอม

เศษสว่ น สามารถเปลย่ี นเป็นทศนิยมด้วยการหาร ทนิยมทีไ่ ด้จากเศษส่วนมี 2 แบบ คอื
ทศนยิ มที่หารลงตวั และทศนิยมทห่ี ารไมล่ งตัว หรอื ทศนยิ มซำ้ เชน่ 1 = 0.333 (เลขท่ีซำ้ คือ 3)

3

สามารถเขยี นใหม่ ดงั นี้ 1 = 0.3
3

ตัวอยา่ ง การเขียนทศนยิ มซ้ำ เชน่
4 = 0.121212... เขียนแทนดว้ ย 0.12*

33

19 = 1.727272... เขียนแทนดว้ ย 0.72*

11

3 = 1.5000... เขียนแทนดว้ ย 0.50*

2

ในกรณีที่ซำ้ ดว้ ยเลข 0 จะไม่นิยมเขยี นส่วนท่ีซ้ำ เชน่
3 มักจะเขียนแทน ดงั นี้ = 1.5

2

มักจะเขยี นแทน ดังนี้ = 0.4



การปัดเศษทศนยิ มใหเ้ ปน็ จำนวนเตม็
การปดั เศษสว่ นให้เปน็ จำนวนเตม็ เช่น 45.7 สามารถปดั ใหเ้ ปน็ 46 ได้ เพราะมีค่าใกลเ้ คยี งกับ

46 มากกวา่ 45 โดยการปดั ทศนิยม ถ้าตวั เลขน้อยกวา่ 5 ใหป้ ดั ทิ้ง แตถ่ ้าตวั เลขทปี่ ดั มีคา่ มากกว่า 5ให้
ปัดขึ้น ในกรณีที่ค่าทศนิยมเท่ากับ 5 ซึ่งแต่เต็มจะปัดทั้งทั้งหมด จะทำให้เกิดผลคลาดเคลื่อน เมื่อมี
การนำทศนยิ มมารวมกัน จงึ มีหลักการปดั ทศนิยมเมอื่ มีคา่ เท่ากบั 5

ดังน้ี
ถา้ 5 ตามหลังทศนิยมที่เป็นเลขคู่ จะใชท้ ศนยิ มเดมิ
ถ้า 5 ตามหลังทศนยิ มที่เปน็ เลขคี่ จะปดั ขึ้น

เชน่ 25.425 ทศนยิ ม 2 ตำแหน่งปดั เปน็ 25.42
25.475 ทศนิยม 2 ตำแหน่งปดั เปน็ 25.48

6. เลขมหี ลกั และไมม่ หี ลกั
เลขมีหลกั
คือ การนำตวั เลขมารวมกลุ่มกัน เพ่อื ให้ค่าและบง่ ช้ปี ริมาณ โดยอาศัยวธิ ีการกำหนด หลักของ

ตัวเลข (Position Notation) ในการพจิ ารณาค่าของตัวเลขจะพจิ ารณาค่า 2 ค่า คือ
1. คา่ ประจำตวั ของตวั เลขแตล่ ะตวั
2. คาหลกั ในตำแหนง่ ทตี่ ัวเลขนัน้ ปรากฏ

คำถาม ตัวเลขท่อี ยู่ด้านขวาสุดแตกต่างกับตัวเลขที่อยูด่ า้ นซา้ ยสุดอยา่ งไร
ตอบ ตัวเลขที่อยู่ตำแหน่งขวาสุดจะมีคำหลักที่น้อยที่สุด และตัวเลขที่อยู่ทางซ้ายสุดจะมีค่ามากที่สุด
เชน่ 845 ตวั เลข 4 ไมไ่ ด้มีคำเท่ากบั 4 แตม่ ีคำเทา่ กับตวั เลขดณู ดว้ ยค่าประจำหลัก คือ หลกั สิบ ซึ่งจะ
เทา่ กับ 40

ตวั อยา่ ง 1.1 จงตอบคำถามตอ่ ไปน้ี
25412 เลข 5 มีค่าเท่าใด
ตอบ 5 * 1,000 = 5,000
7850 เลข 5 มีคา่ เท่าใด
ตอบ 5 * 10 = 50
หรอื 0 * 100 = 0
5 * 101 = 50
8 * 102 = 800
7 * 103 = 7000

เลขไมม่ หี ลกั
คือ ระบบตัวเลขแต่ละตัวไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็จะมีค่าคงที่เสมอ เช่น ระบบเลขโรมัน ซึ่งใช้

สัญลักษณ์แทนค่าต่อไปนี้

I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

รปู ท่ี 1.18 แสดงการใชเ้ ลขโรมนั ในการบอกเวลา
ในส่วนจำนวนที่มีค่าตั้งแต่ 4,000 ขึ้นไป แทนสัญลักษณ์ด้วยบาร์ (-) ไว้ด้านบนของตัวอักษร
แทนการคณู และการหารด้วย 1,000 เชน่ VI มคี า่ เทา่ กับ 6 x 1,000 = 6,000
ข้อเสียของการใช้ระบบเลขฐานนี้ คือ ไม่สะดวกในการคำนวณเกี่ยวกับการบวก การลบ การ
คูณ และการหาร เหมือนกับการใช้ระบบเลขที่หลัก แต่อย่างไรก็ตามสามารถหาผลลัพธ์จากการ
คำนวณดังกล่าวได้ จำนวนที่เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์หลายตัว ถ้าเขียนสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อยกว่าไว้
ด้านช้ายมือของสัญลักษณ์ที่มีค่ามากกว่า ค่าของจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากลบด้วย
จำนวนทีม่ คี า่ น้อย เชน่
IX มคี ่าเท่ากบั 10-1 = 9
VL มคี ่าเท่ากับ 50-5 = 45

ในกรณีท่เี ขียนสัญลกั ษณ์ท่ีมีคา่ น้อยกว่าได้ไวด้ ้านขวามอื ของสัญลกั ษณท์ มี่ ีคา่ มากกวา่ ค่าของ
จำนวนที่ได้ จะมีค่าเทา่ กบั จำนวนทมี่ ีค่ามากกว่า บวกด้วยค่าของจำนวนทม่ี ีค่านอ้ ยกว่า เช่น

VI มีคา่ เทา่ กับ 5+ 1 = 6
LV มคี า่ เทา่ กบั 50 + 5 = 55
ตัวอยา่ ง 1.2 การแทนค่าด้วยเลขโรมัน

1234567

I II III IV V VI VII

8 9 10

VIII IX X

100 200 300 400 500 600 700

C CC CCC CD D DC DCC

800 900 1000

DCCC CM M

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
MM MMM IV V VI VII VIII
9000 10000
IX X

ตัวอยา่ ง 1.3 จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้ ตอบ 5
VII เลข V มคี ่าเท่าใด ตอบ 1000
MCV เลข M มคี า่ เท่าใด ตอบ 10
XI เลข X มคี า่ เท่าใด

ตัวอย่าง 1.4 จงเขียนเลขต่อไปนใ้ี ห้อยู่ในรูปเลขโรมนั
1) 105
2) 620
3) 3560

วิธที ำ
105 = 100 + 5
= CV
620 = 600 + 20
= DCXX
3560 = MMMDLX

ตัวอย่าง 1.5 จงเขียนเลขตอ่ ไปนี้ ให้อยใู่ นรูปเลขอารบกิ
1) XL
2) CMXX
3) MMCCL

วธิ ีทำ
XL = 50 – 10
= 40
CMXX = 1000 – 100 + 10 + 10
= 920
MMCCL= 1000 + 1000 + 100 + 100 + 50
= 2250

7. เลขฐานวทิ ยาศาสตร์
ตัวเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่มักไม่มีความชับซ้อน หรือมีจำนวนของตัวเลขที่ไม่มาก

แต่สำหรับในหอ้ งปฏิบตั ิการท่ีต้องการความแมน่ ยำจากการคำนวณสูง ตวั เลขในการคำนวณตา่ ง ๆ จะ
มีจำนวนที่ละเอียด และมีจำนวนมาก หากใช้การเขียนตัวเลขในรูปแบบปกติจะทำให้การเขียนแทน

จำนวนต่าง ๆ ตอ้ งใช้การเขียนที่ยาวและอ่านไดล้ ำบาก เช่น การเขียนเลข 1760000000000 หรือเลข
ทศนิยม 0.0000000000564

จากตัวเลขตงั กล่าว จะเห็นได้ว่าไม่สะดวกต่อการใช้งาน และอาจทำให้อ่านค่าผดิ พลาดไดง้ ่าย
ดังนั้น จึงมักจะใช้การเขยี นเลขทางวิทยาศาสตร์ ( Scientific Notation ) แทนการใช้ตวั เลขปกติเพอ่ื
แสดงค่าของจำนวนที่มีปรมิ าณมากและสื่อใหเ้ ช้าตรงกนั โดยนิยมเขียนให้อยู่ในรปู ของเลขฐาน 10 ท่ี
ยกกำลังแทน ดงั ตวั อยา่ งการเขยี นดา้ นลา่ ง

รปู ที่ 1.19 แสดงการทดลองทางวทิ ยาศาสตร์

100 = 1 10-1 = 0.1
0.01
101 = 10 10-2 = 0.001
0.0001
102 = 100 10-3 = 0.00001
0.000001
103 = 1000 10-4 =

104 = 10000 10-5 =

105 = 100000 10-6 =

ตัวอย่าง 1.6 จงแปลคา่ ของตัวเลขตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยู่ในรูปทางวทิ ยาศาสตร์
วธิ ที ำ 98700 = 9.87 * 10000

= 9.87 * 104
548 = 5.48 * 100

= 5.48 * 102

0.0287 = 2.78 * 0.01
= 2.78 * 10-2

0.00004578 = 4.578 * 10-5
ตัวอย่าง 1.6 จงแปลงเลขทางวทิ ยาศาสตร์ต่อไปนีใ้ หอ้ ยูใ่ นรปู เลขปกติ
วิธที ำ

4 * 101 = 4 * 10
= 40

4.5 * 102 = 4.5 * 100
= 450

4.56 * 10-7 = 0.000000456
8. คุณสมบตั พิ น้ื ฐานของระบบจำนวนจริง

จำนวนจรงิ

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเตม็ จำนวนเศษส่วน จำนวนทศนยิ ม
ทศนิยมไม่รู้จบ รากที่ถอดไม่ไดล้ งตวั

จำนวนเตม็ ลบ จำนวนศูนย์ จำนวนเต็มบวก

รปู ท่ี 1.20 แสดงระบบจำนวนจริง

คุณสมบตั ิเก่ียวกบั การบวก
1.คุณสมบัติปิดของการบวก คือ ผลบวกของจำนวนจริง 2 จำนวน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมจะต้อง

เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ดังนั้น a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวน
จริงดว้ ย

2. คณุ สมบตั ิการสลบั ทข่ี องการบวก การบวกเลขจำนวนจริง สามารถสลบั ท่ีกันไดร้ ะหว่างตัว
ตั้ง และตัวกระทำคือ a + b = b + a เช่น 2 + 5 = 5 + 2

3. คณุ สมบตั ิการจดั หมขู่ องการบวก การบวกสามารถจัดกลุ่มการบวกไดใ้ หม่มีรปู แบบ คอื (a
+ b) + c = a + (b + c) จากตวั อย่างจะเหน็ ได้วา่ สามารถจัดหมู่ โดยการนำ a + b กอ่ นแล้วจึงนำมา
บวกกบั c หรอื จะนำ b + c ก่อนแลว้ จึงบวก a กไ็ ด้ เชน่ (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3)

4. เอกลักษณ์ของการบวก คอื 0 เป็นเอกลกั ษณข์ องการบวก เม่ือบวกจำนวนจริงใดๆ กับ 0
จะได้ผลลพั ธ์เทา่ กบั จำนวนจริงน้นั เชน่ a +0 = a

5. อินเวอร์สการบวก คอื เลขทรี่ วมกบั จำนวนจริงใดแล้วไดผ้ ลลพั ธ์ของการบวกเป็นศนู ย์ a +
(-a) = (-a) + a = 0 เม่ือ -a เป็นอินเวอร์สการบวกของ a

a เปน็ อนิ เวอรส์ การบวกของ -a
อินเวอร์สการบวกของเลขจำนวนจริงใด ๆ จะมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น เช่น อินเวอร์สของเลข
จำนวนจริง 2 คอื -2 เทา่ นน้ั
คุณสมบตั เิ กี่ยวกับการคูณ
1. คุณสมบัติปิดของการคูณ ผลลัพธ์ของการนำเลขจำนวนจริง 2 จำนวนมาคูณกันจะได้เลข
จำนวนจริงขึ้นมาใหม่ 1 จำนวน เช่น a และ b เป็นเลขจำนวนจริง ผลลัพธ์ของ a x b จะเป็นเลข
จำนวนจริงดว้ ย
2. คณุ สมบตั กิ ารสลบั ที่ของการคณู การคูณกันของเลขจำนวนจริงสามารถจัดกลุ่มของการ
คูณใหมไ่ ด้ เชน่

axb=bxa
2x5=5x2

3. คุณสมบัติการจัดกลมุ่ ของการคูณ การคูณกันของเลขจำนวนจรงิ สามารถจัดกลมุ่ ของการ
คณู ใหม่ได้ เชน่

(a x b) x c = a x (b x c)
(2 x 5) x 3 = 2 x (5 x 3)
นอกจากน้ี อาจเขียนการคูณกันของจำนวนจรงิ โดยละเครอื่ งหมายคูณ และวงเลบ็ ได้ เชน่
abcd=axbxcxd

(a x b x c) x d
4. เอกลักษณข์ องการคณู คือ 1 เป็นเอกลกั ษณข์ องการคณู ของเลขจำนวนจริงเม่ือคณู จำนวน
จริงใดๆ ด้วย 1 ผลลพั ธท์ ี่ได้ คอื เลขจำนวนจรงิ ตงั กล่าว เชน่ a x 1 = a
5. อินเวอร์สของการคูณ คือ เลขจำนวนจริงที่นำไปคูณกับเลขจำนวนจริงหนึ่งๆ แล้วให้
ผลลพั ธ์จากการคูณเทา่ กบั 1 เช่น

A x a-1 = a-1 x a = 1
เมอ่ื a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a

a เป็นอินเวอรส์ การคูณของ a-1
นอกจากคุณสมบัติการบวก และการคูณของเลขจำนวนจริงแล้ว ยังมีคุณสมบัติที่เกี่ยวกับท้ัง
การบวกและการคูณ คือ คุณสมบตั กิ ารกระจายของเลขจำนวนจรงิ เช่น

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
2 x (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3)
คณุ สมบตั เิ กี่ยวกบั การลบและการหาร
การลบ คือ การบวกด้วยค่าอนิ เวอรส์ ของตัวลบ เชน่ a - b = a + ( -b )
โดยเครอื่ งหมายลบ ( - ) ใช้แทนความหมาย 3 ประการ คือ
1. ใช้แทนเลขจำนวนลบ เช่น -2
2. ใชแ้ ทนการกระทำการลบ
3. ใชแ้ ทนอนิ เวอร์สของการบวก เช่น -2 เปน็ อนิ เวอร์สของการบวกของ 2

การหาร คือ การคูณดว้ ยอินเวอร์ของการหาร เชน่
= ab-1 (b ≠ 0)



กรณีถ้า ค่า a = 0 ผลลัพธ์ของการหาร มคี ่าเท่ากบั ศูนย์
คุณสมบัตเิ กีย่ วกบั การยกกำลงั และการหาราก

นยิ ามของเลขยกกำลัง
การยกกำลงั ของเลขจำนวนจริงใด ๆ มคี ่าเท่ากบั การคูณของเสขจำนวนจริงน้นั ฯ ตามจำนวน
ของเลขทีย่ กกำลัง เชน่

23 = 2 x 2 x 2 (2 คูณกนั 3 คร้ัง โดยท่ีเลขยกกำลังเปน็ จำนวนนบั )
นยิ ามการหาราก

การหารากในกรณีที่เป็นรากที่ 2 สามารถเขียนแทนด้วย เมื่อ√ ไม่เป็นนิยามการหาราก
การหารากที่ ก เขยี นแทนดว้ ย √ก เมือ่ ก เป็นจำนวนนับที่ไมใ่ ช่ 1 และ 2
คุณสมบตั ทิ ่เี ก่ียวข้องกับการยกกำลังและการหาราก มีดงั นี้

1. เลขยกกำลังท่ีมฐี านเหมอื นกนั คณู กนั มีค่าเท่ากับฐานยกกำลงั ด้วยคา่ เลขยกกำลงั บวกกัน

∎ = +

2. เลขยกกำลังท่ถี ูกยกกำลังอกี ครัง้ หนง่ึ มีคา่ เทา่ กับฐานยกกำลงั ดว้ ยคา่ เลขยกกำลังคณู กัน

( )n = ∎

3. ผลคณู ของเลข ab ทั้งหมดยกกำลงั n มคี า่ เท่ากบั an คูณกบั am

( )ก = ก ∎ ก

4. ผลหารของเลข ( )n =


5. เลขจำนวนจรงิ ใด ๆ ยกกำลงั ศูนย์ มคี า่ เท่ากบั 1

0 = 1
6. เลขยกกำลังจริงทมี่ กี ำลังเปน็ ค่าเศษส่วน มคี า่ เทา่ กบั รากที่ n ของจำนวนจรงิ

1 = √ก
ก

7. เลขทม่ี คี า่ เลขยกกำลังเป็นลบ มีคา่ เท่ากบั เศษ 1 ส่วนด้วยเลขดงั กล่าว ยกกำลังบวก

−ก = 1
ก
8. เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันหารกัน มีค่าเท่ากับเลขฐานนั้น ยกกำลังด้วยค่าเลขกำลังลบ

กัน

= −


9. ความสมั พนั ธ์ในระบบจำนวนจรงิ

เกีย่ วกบั เท่ากนั

นยิ าม a = b ต่อเมื่อ a และ b ใชแ้ ทนจำนวนจรงิ เดียวกัน ซงึ่ คณุ สมบัติของการเท่ากันมดี ังน้ี

1. คุณสมบตั ิการสะทอ้ น a = a

2. คณุ สมบัติการสมมาตรคอื ถา้ a = b แล้ว

จะได้ b = a ดว้ ย

3. คณุ สมบัตกิ ารถ่ายทอด ถา้ a = b

และ b = c แล้ว

จะได้ a = c ดว้ ย

4. คุณสมบัตกิ ารเพมิ่ ข้นึ เทา่ กนั ถ้า a = b แล้ว

จะได้ a + c = b + c

5. คุณสมบัติการตัดออกของการบวก ถ้า a + c = b + c แล้ว

จะได้ a = b

6. คุณสมบตั กิ ารเพ่มิ ขึน้ เท่ากนั ถ้า a = b แล้ว

จะได้ a * c = b * c

7. คุณสมบัตกิ ารตัดออกของการคูณ ถา้ a * c = b * c แล้ว

จะได้ a = b

เก่ยี วกับการไมเ่ ท่ากนั
คุณสมบัติเก่ยี วกบั การไม่เทา่ กัน มดี งั นี้
1. คณุ สมบัติการถา่ ยทอด

ถ้า a < b = b < c แล้ว
จะได้ a < c ดว้ ย
2. คณุ สมบัติการบวกเพ่มิ ด้วยจำนวนเดียวกนั
ถา้ a < c แล้ว
a + c < b + c ดว้ ย (c จะเป็นค่าบวก หรอื ลบก็ได้)
3. คณุ สมบตั ิการคณู เพมิ่ ด้วยจำนวนบวก
ถ้า a < b แลว้
a * c < b * c ดว้ ย (c จะตอ้ งเป็นคา่ บวก)
4. การคูณจำนวนทมี่ คี ่าลบ เชน่
4.1 ถา้ a < b แลว้
a*c<b*c
4.2 ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว
a*b>0
4.3 ถา้ a > 0
a*b<0
5. การหารด้วยจำนวนบวก
ถา้ a < b แลว้

<



6. การหารดว้ ยจำนวนลบ
ถา้ a < b แล้ว
<



เม่อื c เปน็ คา่ ลบ เคร่ืองหมายจะถกู กลบั ข้าง จากมากว่าเป็นนอ้ ยกว่า หรือนอ้ ยกว่า
เป็นมากกว่า

7. a2 < 0 เสมอ และ a2 = 0 ถ้า a = 0
10. ช่วงของจำนวนจริง

ช่วง (Interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่แสดงอยู่ในรูปของเส้นจำนวน และสามารถ
กำหนดเป็นช่วงของจำนวนได้ โดยทุก ๆ จำนวนจะมีจุดอยู่บนเส้นจำนวนได้เพียงจุดเดียวเท่าน้ัน
ตัวอย่างเช่น

-3 -2 -1 0 1 23

และต่อไปน้ีคือช่วงของจำนวนจริงในรูปแบบตา่ ง ๆ พร้อมตวั อย่างทแ่ี สดงอยบู่ นเสน้ จำนวน

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ a < b

1. ช่วงเปดิ (a , b)

(a , b) = { x a < x < b } a b

(-4 , 5) = { x - 4 < x < 5 } -4 5
2. ชว่ งปิด [a , b] a b
[a , b] = { x a < x < b }

[1 , 10] = { x a < x < 10 } 1 10
3. ช่วงกึ่งเปดิ / กง่ึ ปดิ b

• ชว่ งกึง่ เปดิ / กึง่ ปดิ (a , b)

(a , b] = { x a < x < b } a

[-5 , 10] = { x -5 < x < 10 } -5 10
• ช่วงกึ่งปดิ / กง่ึ เปิด [a , b) b
-1
[a , b) = { x a < x < b } a
a
[-5 , -1) = { x -5 < x < -1 } -5 -5
4. ช่วงอนนั ต์ a a
0
• ช่วง (a , ∞ )
(a , b] = { x a < x < b }

[1 ,∞) = { x x > 1 } 1
• ช่วง (a , ∞ ) a

(a , b] = { { x x > a }

[1 , ∞) = { x x > 1 } 1
• ช่วง ( −∞ , )

(−∞ , a) = { x x < a }

[−∞ , a) = { x x < -5 }

[−∞ , ∞) = { x x เป็นจำนวนจริง}
• ชว่ ง ( −∞ , ]

(−∞ , a] = { x x < a }

(−∞ , 0] = { x x < 0 }

สรุปเนอื้ หาสำคัญ ( ผังมโนทศั น์ )

จำนวนและตวั เลข โครงสร้างระบบจำนวน

วิวัฒนาการของระบบจำนวน เลขจำนวนเตม็

ระบบจำนวน

ความสัมพันธใ์ นระบบ เศษส่วนและทศนิยม
จำนวนจรงิ

คุณสมบัติพื้นฐานของระบบ เลขมหี ลัก และไม่มีหลัก
จำนวนจรงิ

เลขฐานวิทยาศาสตร์