เล่ม2เรื่องเซตจำกัดเซตอนันต์และเซตที่เท่ากัน

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่

๔เรอ่ื ง เซต

เลม่ ที่ ๒ เรื่อง เซตจากดั เซตอนันต์ และเซตทีเ่ ท่ากัน

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการพิเศษ

โรงเรยี นกมลาไสย

อาเภอกมลาไสย จงั หวัดกาฬสินธ์ุ
สานกั งานเขตพ้ืนทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต ๒๔
สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

1

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่อื ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนันตแ์ ละเซตท่ีเท่ากนั

คานา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง เซต วชิ าคณิตศาสตร์ (ค 31101) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4
จัดทาข้ึนเพอ่ื ยกระดบั ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน ในภาคเรียนท่ี 1 ปีการศึกษา 2560 โดยจัดทาข้ึน
ทั้งหมด 7 เลม่ เล่มน้ีคอื เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง เซตจากัด เซตอนนั ตแ์ ละเซตที่เท่ากนั แบบฝึกทกั ษะเล่มน้ี
เป็นแบบฝึกทักษะที่นกั เรยี นสามารถเรียนรไู้ ดด้ ว้ ยตนเอง มีสาระสาคัญ จดุ ประสงค์การเรียนรขู้ องแต่
ละแบบฝกึ ทักษะ สาระการเรียนรูม้ ตี ัวอยา่ งแสดงใหผ้ ้เู รียนไดศ้ ึกษาก่อน เมื่อเขา้ ใจแลว้ จงึ ทาแบบฝึก
ทักษะ มเี ฉลยเพื่อให้นักเรยี นไดต้ รวจสอบคาตอบ

ในการสรา้ งแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง เซตจากดั เซตอนันต์และเซตทีเ่ ท่ากัน
ประกอบด้วยคาช้ีแจงในการใชแ้ บบฝึกทักษะ แบบทดสอบก่อนเรยี น ใบความรู้ แบบฝกึ ทักษะ
ภาคผนวก เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น-หลงั เรียน

หวงั เป็นอย่างย่ิงวา่ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ นี้ จะเปน็ ส่วนหน่งึ ของเครอ่ื งมือทจ่ี ะชว่ ยให้
ผ้เู รียนเกิดการเรยี นรอู้ ย่างสมบรู ณ์ มปี ระสิทธภิ าพ เอื้อประโยชนแ์ ก่ผู้เรยี น ครูผู้สอน ทม่ี ีความสนใจ
ตามสมควร

นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรือ่ ง เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตที่เทา่ กนั

สารบัญ

เรอื่ ง หน้า

คานา 1
สารบัญ 2
คาช้แี จง 3
คาช้แี จงสาหรบั ครู 4
คาชี้แจงการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตรส์ าหรบั นกั เรยี น 5
สาระ/มาตรฐาน/ตัวช้ีวัด/จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 6
แบบทดสอบกอ่ นเรียน 7
สาระการเรยี นรู้
11
ใบความรู้ที่ 2.1 13
แบบฝึกทักษะท่ี 2.1 15
ใบความรู้ที่ 2.2 17
แบบฝึกทักษะท่ี 2.2 18
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.3 19
แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.4 20
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.5 21
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.6 22
แบบทดสอบหลงั เรียน 26
ตารางบันทกึ คะแนน 27
บรรณานุกรม

3

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนันตแ์ ละเซตทเ่ี ทา่ กัน

คาชี้แจง

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์ (ค 31101) หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1
เรอ่ื ง เซต ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 จดั ทาขน้ึ จานวน 7 เลม่ เลม่ นีเ้ ป็นเลม่ ที่ 2 เรอื่ ง เซตจากัด
เซตอนันตแ์ ละเซตทเี่ ทา่ กัน ประกอบดว้ ย

1. คาช้ีแจงในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะสาหรบั นักเรียน
2. สาระ/มาตรฐาน/ตวั ช้วี ดั /จุดประสงค์การเรียนรู้
3. แบบทดสอบก่อนเรียน
4. คาอธบิ ายเนอ้ื หา ตัวอย่างบทเรียนทีเ่ รียนในชดุ น้ันๆ
5. แบบฝกึ ทักษะ
6. แบบทดสอบหลังเรยี น
7. เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ
8. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรยี น
แบบฝึกทกั ษะเล่มท่ี 2 เรื่อง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตที่เท่ากัน ใช้เวลา
ในการเรยี นรู้ 2 ชัว่ โมง นกั เรียนสามารถทาแบบฝกึ ทกั ษะได้ตามลาดับขน้ั ตอนท่ีกาหนดไว้
ซ่งึ จะทาให้นกั เรยี นไดร้ บั ประโยชนต์ อ่ ตนเองและสามารถนาไปประยุกตใ์ ช้ในชวี ิตประจาวันได้

4

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่อื ง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนันต์และเซตท่เี ท่ากนั

คาชแี้ จงสาหรบั ครู

 เตรยี มเอกสารแบบฝึกทกั ษะ ใหเ้ พยี งพอกบั จานวนนักเรียน
 ผสู้ อนตอ้ งศกึ ษาเนื้อหา ในบทเรียนให้เขา้ ใจลว่ งหน้าอยา่ งละเอยี ด
 ชแ้ี จงบทบาทของนกั เรยี นในการใช้แบบฝึกทักษะ
 คอยใหค้ าปรึกษาแก่นักเรยี นทกุ ข้นั ตอนอยา่ งใกล้ชดิ ในขณะท่นี ักเรียนปฏิบัติ

กจิ กรรม
 เกบ็ ขอ้ มูลของนกั เรยี น เพอ่ื พฒั นาความกา้ วหนา้

5

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนันต์และเซตท่เี ท่ากัน

คาช้แี จงในการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรยี น

1. นักเรยี นอา่ นคาชีแ้ จงและคาแนะนาในการทาแบบฝกึ ทักษะใหเ้ ข้าใจกอ่ นทากจิ กรรม
ทกุ ครัง้

2. นักเรยี นอ่านจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ของแบบฝกึ ทกั ษะเพือ่ ใหท้ ราบวา่ เม่ือเรียนจบแลว้
นักเรยี นจะมคี วามรู้ในเรือ่ งใดบา้ ง

3. นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี น เพื่อวดั ความรพู้ น้ื ฐานของนกั เรียน และนกั เรียน
ไมค่ วรดูเฉลยกอ่ นทาการทดสอบ เม่อื นักเรยี นทาแบบทดสอบเสร็จแลว้ จงึ คอ่ ยตรวจตามเฉลย

4. ศึกษาสาระการเรยี นรู้ของชดุ แบบฝกึ ทกั ษะใหเ้ ขา้ ใจแล้วลงมือทาแบบฝกึ ทักษะ
ตามลาดบั

5. เมื่อนกั เรยี นมปี ัญหาหรอื ทาแบบฝึกทกั ษะไมไ่ ด้ ใหก้ ลับไปอ่านสาระการเรียนรหู้ รอื
ศึกษาตัวอย่างอกี คร้งั หรอื ปรกึ ษาครผู สู้ อน

6. การเขยี นคาตอบของแบบฝึกทักษะใหน้ กั เรียนทาด้วยความรอบคอบ ให้ผลงาน
มคี วามถกู ตอ้ ง สะอาดเรยี บร้อย สวยงาม

7. ฝกึ ปฏิบตั ติ ามแบบฝกึ ทกั ษะแลว้ ตรวจสอบคาตอบตามเฉลย ถ้าทาไดน้ อ้ ยกวา่ 80%
ของแตล่ ะแบบฝึกทกั ษะใหก้ ลบั ไปทบทวนใหม่

8. นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี น ตรวจและใหค้ ะแนนตามเฉลย ถา้ ตา่ กว่า 8 ข้อ
ให้กลบั ไปศกึ ษาแบบฝกึ ทักษะอีกครงั้

9. สรปุ ผลการเรียน ประเมิน ปรบั ปรงุ และพฒั นาตนเอง
10. การศึกษาตามแบบฝกึ ทักษะเล่มนจ้ี ะไมบ่ รรลผุ ลสาเรจ็ ถา้ นักเรียนขาดความ
ซื่อสตั ยใ์ นการทาแบบฝกึ ทักษะ

6

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรอื่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตทเี่ ทา่ กัน

สาระ / มาตรฐาน / ตวั ช้วี ัด /จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

สาระท่ี 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ ัน
ม.4-6/1 มีความคิดรวบยอดในเรอ่ื งเซตและการดาเนินการของเซต

มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ (mathematical
model) อื่น ๆ แทนสถานการณต์ า่ ง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้แกป้ ญั หา

ม.4-6/1 เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอรแ์ สดงเซต และนาไปใช้แกป้ ญั หา
ม.4-6/2 ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใหเ้ หตผุ ลโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1. บอกไดว้ า่ เซตใดเป็นเซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ต์
2. บอกไดว้ ่าเซตคู่ใดเป็นเซตทเี่ ท่ากัน

7

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตท่เี ท่ากัน

แบบทดสอบก่อนเรยี นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนันต์และเซตท่ีเท่ากนั

คาชีแ้ จง

1. แบบทดสอบฉบับน้ีมีจานวน 10 ขอ้ ใช้เวลาทา 10 นาที

2. นักเรยี นโปรดอยา่ เขียนขอ้ ความหรอื ทาเครอื่ งหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ให้นกั เรียนเขียนหัวกระดาษให้สมบูรณ์ และอ่านคาชแ้ี จงก่อนตอบข้อสอบ

4. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยเลือกตอบชนิด 4 ตัวเลือก ให้นักเรียนเลือกคาตอบท่ีถกู ทสี่ ดุ

เพียงขอ้ เดียวด้วยเครื่องหมาย X ในกระดาษคาตอบ

ตัวอย่าง ถ้านกั เรยี นต้องการตอบข้อ ก ให้ทาดงั นี้

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถ้านักเรยี นตอ้ งการเปลย่ี นคาตอบจากข้อ ก เปน็ ข้อ ค ใหท้ าดงั น้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เม่ือนักเรียนทาขอ้ สอบเสร็จหรอื หมดเวลาแลว้ ให้สง่ กระดาษคาตอบพร้อมกบั แบบทดสอบ

นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
ครูผสู้ อน

8

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เร่ือง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตทเี่ ท่ากนั

1. เซตในขอ้ ใดเปน็ เซตจากัด
ก. xx เปน็ จานวนเตม็ คู่
ข. xx เป็นจานวนเตม็ คูท่ ่ีนอ้ ยกว่า 10
ค. xx เปน็ จานวนเต็มทม่ี ากกวา่ 1
ง. xx เป็นจานวนเตม็ และ 3 x 10

2. ข้อใดเป็นเซตจากดั
ก. เซตของจานวนจรงิ
ข. เซตของจานวนเตม็
ค. เซตของจานวนนกั เรียนในหอ้ ง
ง. A = xx เป็นจานวนเต็มบวกท่หี ารดว้ ย 3 เหลือเศษ 1

3. เซตในข้อใดเป็นเซตอนันต์
ก. xx เปน็ จานวนเตม็ ตง้ั แต่ 1 ถึง 3 
ข. xx เปน็ จานวนเต็มลบท่ีอยูร่ ะหว่าง -5 กับ 1 
ค. xx เป็นจานวนเตม็ และ 2x = x+4 
ง. xx เป็นจานวนเต็มลบและ x -1 

4. เซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. เซตว่างเปน็ เซตจากดั
ข. { 0 } ไม่เป็นเซตว่าง
ค. {{ }} เปน็ เซตจากดั

5. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี
1) ถ้า A เป็นเซตอนันต์แล้ว xxA จะเป็นเซตอนันต์
2) ถา้ A เป็นเซตจากดั แล้ว xxA จะเปน็ เซตจากัด
ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกตอ้ ง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เป็นจริง
ข. ขอ้ ความ 1) เทา่ นั้น เป็นจรงิ
ค. ขอ้ ความ 2) เทา่ นั้น เป็นจริง
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ปน็ จรงิ

9

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่อื ง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตทเ่ี ท่ากนั

6. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ U เปน็ เซตของจานวนเตม็ บวกและ

A = xx เปน็ จานวนค่ที ี่น้อยกว่า 12
B = xx เป็นจานวนเฉพาะท่ีนอ้ ยกว่า 12

C = xx เปน็ จานวนเต็มทน่ี ้อยกวา่ 12 ท่ีหารดว้ ย 2 เหลอื เศษ 1
ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง
ก. A = B
ข. A = C
ค. B = C
ง. A = B = C

7. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ U เป็นเซตของจานวนนับทเ่ี ป็นจานวนเฉพาะ
A = x  X U , B = xx+1U , C = xx-1U
เซตทีก่ ลา่ วมามีเซตทเี่ ป็นเซตวา่ งกเ่ี ซต
ก. 3 เซต
ข. 2 เซต
ค. 1 เซต
ง. 0 เซต

8. เซตต่อไปนเี้ ซตใดเป็นเซตว่าง

ก. {}
ข. {0}
ค. {x x เปน็ จานวนเตม็ ทีท่ าให้ 4x2 1  0}
ง. {x x เป็นจานวนเต็มทีท่ าให้ 4x3 x2  0}

10

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตท่เี ทา่ กนั

9. จงพิจารณาว่า เซตทีก่ าหนดใหต้ ่อไปนี้ มเี ซตใดท่เี ทา่ กนั
A = xx แทนพยัญชนะในคาว่า “กรรมกร”
B = xx แทนพยญั ชนะในคาว่า “มรรคา”
C = xx แทนพยัญชนะในคาวา่ “มกราคม”
D = xx แทนพยญั ชนะในคาว่า “รากไม้”
มีเซตใดท่ีเทา่ กนั
ก. A = D
ข. B = C
ค. A = C
ง. C = D

10. ถ้าเซต A เปน็ เซตจากดั และเซต B เป็นเซตอนันต์ แลว้ ข้อใดเปน็ จริง
ก. A ∩ B เปน็ เซตอนนั ต์
ข. B ∪ A เป็นเซตจากัด
ค. สบั เซตของเซต B เปน็ เซตจากดั
ง. A  B เปน็ เซตจากดั

11

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่อื ง เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ตแ์ ละเซตท่เี ท่ากัน

ใบความรทู้ ี่ 2.1
เรอื่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ต์

เซตว่าง (Empty set หรอื Null set)
บทนิยาม เซตวา่ ง คอื เซตที่ไมม่ สี มาชกิ สญั ลักษณท์ ่ีใช้แทนเซตว่าง

คือ { } หรอื  (สัญลกั ษณ์  เปน็ อักษรกรกี อา่ นวา่ ฟาย (phi))

ตัวอย่างของเซตวา่ ง ได้แก่
กาหนดให้ U = 0, 1, 2, 3, 4, 5

 A = x2x = 1 จะได้ A = 
 B = xx0 จะได้ B = 

 C = { x| x เป็นจงั หวดั ในประเทศไทยที่ขึ้นต้นดว้ ย “ข”}

ตวั อยา่ งของเซตวา่ ง ได้แก่
A = {x | x2 < 0}
B = {x | 2x2 + 3 = x – 3}
C = {x | x เปน็ จงั หวัดในประเทศไทยที่ข้ึนตน้ ด้วย “ ข ”}

ความพยายามอยูท่ ่ไี หน ความสาเร็จอยู่ท่นี ่ัน

12

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่ือง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตทีเ่ ทา่ กัน

เซตจากัด (Finite set)
บทนิยาม เซตจากดั คือ เซตซง่ึ มจี านวนสมาชิกเป็นจานวนเต็มบวกหรือศนู ย์

เช่น
 A = 1, 3, 5, 7, 9 , n(A) = 5
 B = 2, 4, 6, 8, …, 40 , n(B) = 20
 C = {0, 2, 4,…,10} , n(C) = 6
 D = {x| x เป็นพยญั ชนะในคาว่า “เซตวา่ ง” } , n(D) = 4
 E = {1,2,…,8} , n(E) = 8
 F = {x  I+ | x < 5} , n(F) = 4

ตั้งใจศกึ ษาเรยี นรู้
เพ่ืออนาคตท่ีสดใส

13

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่ือง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตท่เี ท่ากนั

เซตอนนั ต์ (Infinite set)

บทนยิ าม เซตอนันต์ คอื เซตซ่ึงไม่ใช่เซตจากดั เชน่
 A = 1, 2, 3, ...
 C = xx เป็นจานวนเตม็ และ x  10
A = {x| x เปน็ จานวนเฉพาะท่มี ากกว่า 5 }
B = {3,7,11,15,…}
C = {1,2,3,…}

ตวั อยา่ งของเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x | x เปน็ จานวนเตม็ บวก และ x  7}
B = {x | x เปน็ จานวนเฉพาะท่มี ากกว่า 5}
C = {3, 7, 11, 15, . . .}

ขยนั ฝกึ นะคะจะได้เกง่

14

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ตแ์ ละเซตทเี่ ท่ากัน

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.1

คาส่งั ให้นกั เรียนพิจารณาว่าเซตทก่ี าหนดให้เปน็ เซตจากดั หรอื เซตอนนั ต์
โดยทาเครอ่ื งหมาย  ลงในช่องทเ่ี ป็นคาตอบ

เซตท่ีกาหนดให้ คาตอบ
เซตจากัด เซตอนนั ต์
1. A = 1, 3, 5, …, 59
2. B = xx เป็นจานวนเต็มคู่
3. C = ก, ข, ค, ง, …, ฮ
4. D = xxR และ 3  x 15
5. E = xx I และ 3  x 15
6. F = xxR และ x2 +2 = 0
7. G = 2, {2}, {2, 4}, (2, 4, 6,…}
8. H = xx เปน็ จานวนเตม็ ซ่งึ มากกวา่ 2 
9 I = xx I และ x  5 
10. J = xx เปน็ สระในภาษาอังกฤษ

ขอปรบมือชน่ื ชมคนเกง่
ทุกคนเลยค่ะ...

เกณฑก์ ารให้คะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได.้ ....................คะแนน

15

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนันตแ์ ละเซตท่ีเทา่ กัน

ใบความรทู้ ี่ 2.2
เรอื่ ง เซตที่เท่ากนั

เซตทีเ่ ท่ากัน (equal sets or identical sets)
บทนยิ าม เซต A เทา่ กับเซต B หมายถงึ สมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เปน็ สมาชกิ
ของเซต B และสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A
เซต A เท่ากับเซต B เขยี นแทนดว้ ย A = B

จากบทนิยาม เซต A เท่ากบั เซต B หมายความวา่ เซต A และเซต B มสี มาชกิ เหมือนกันทุกตวั
และเซต A ไมเ่ ท่ากับเซต B หมายความว่า มสี มาชิกอยา่ งนอ้ ยหนึง่ ตัวของเซต A ที่ไมใ่ ชส่ มาชิกของ
เซต B หรือมีสมาชิกอยา่ งน้อยหนึ่งตวั ของเซต B ทไ่ี มใ่ ชส้ มาชกิ ของเซต A เขียนแทนด้วย A  B

เช่น A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดั้งนน้ั เซต A เท่ากนั กบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A = B

กาหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาวา่ มเี ซตใดบ้างที่เทา่ กนั

วิธีทา A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้ A=B เพราะมสี มาชกิ เหมือนกนั ทุกตัว
แต่ A≠C , B≠C เพราะวา่ 7 A และ 7  B

16

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตทเ่ี ท่ากนั

กาหนด A = {2, 3} , B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}

จงแสดงว่า เซต A เทา่ กบั เซต B

วธิ ีทา A = {2, 3}

B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}

x2 – 5x + 6 =0

(x – 2)(x – 3) =0

x = 2 หรือ x = 3

B = {2, 3}

ดงั นัน้ A = B

สรปุ ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับพ้ืนฐานเบ้ืองตน้ ของเซต โดยเขยี นเป็นแผนผงั ความคิด
(Mind Maping) เช่น

A = {a,b,c} แบบแจกแจงสมาชกิ

ความหมาย สญั ลกั ษณ์
ของเซต แทนเซต

วิธกี ารเขยี นเซต แบบบอกเง่อื นไข

ความเป็นมาของเซต พน้ื ฐานเบอ้ื งต้น
ของเซต
สับเซต

เซตจากัด ลกั ษณะของเซต เซตทเี่ ท่ากนั A เป็นสบั เซตของ B เมอื่
สมาชิกทุกตวั ของ A
เซตวา่ ง เซตอนันต์
เป็นสมาชกิ ทุกตัวของ B

เซตสองเซตเทา่ กันกต็ ่อเม่ือ
สมาชิกทุกตวั ของทงั้ สองเซต

เหมอื นกัน

17

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เร่อื ง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตท่เี ท่ากนั

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2

คาสงั่ ให้นกั เรียนพจิ ารณาวา่ เซตทีก่ าหนดให้เปน็ เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ต์ หรอื เซตที่เทา่ กนั
โดยทาเครอื่ งหมาย  ลงในช่องของคาตอบ (ตอบไดม้ ากกว่า 1 คาตอบ)

คาตอบ

เซตทกี่ าหนดให้ เซต เซต เซต เซตท่ี

ว่าง จากดั อนันต์ เท่ากัน

1. A = 1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 5

2. A = 2, 4, 6, 8, 10

B = xx เปน็ จานวนนับที่นอ้ ยกว่า 5 

3. A = 2, 4, 6, 4, 2 , . B = 4, 2, 2, 6, 6 

4. A = 1, 2, 3, …  , B = xx  2 

5. A = xx I และ 0  x  1

B = xx เป็นจานวนเตม็ คู่ และ 4  x  6

6. A = xxR และ x2 = 1

B = xx I และ x2  1

7. A = 1, 2, 3, …, 20, B = 2, 4, 5, …, 100

8. A = 1, 2, 3, … , B = 2, 4, 6, …

9. A = xx I และ x  1

B = xx I และ x  0

10. A = xx I และ 1 x  2

B = xx I และ -1 x  0

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

18

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรื่อง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตทเี่ ทา่ กัน

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.3

คาสงั่ ให้นักเรยี นพิจารณาวา่ เซตท่กี าหนดให้เป็นเซตว่าง เซตจากัด เซตอนันต์หรอื
เซตท่เี ทา่ กนั และระบจุ านวนสมาชิกด้วย

ตัวอยา่ ง A = xx เปน็ จานวนเต็มบวกท่หี ารด้วย 3 ลงตัว

ตอบ เซตอนันต์ ............................. จานวนสมาชกิ ...ไมจ่ ากดั ...

1. B = xx เป็นจานวนเต็มบวกทห่ี ารดว้ ย 3 เหลือเศษ 1
ตอบ............................................................ จานวนสมาชิก..............

2. D = xx เป็นจานวนเต็ม และ x+1= x - 1
ตอบ............................................................. จานวนสมาชกิ ..............

3. G = {1}, {2}, {4}, {6}, {10}, … 
ตอบ.............................................................. จานวนสมาชกิ ..............

4. H =  xx +1 เป็นจานวนคู่ 
เมื่อกาหนด U เป็นเซตของจานวนเตม็ คูบ่ วก
ตอบ............................................................. จานวนสมาชกิ ..............

5. I = x-4 x 5  เมือ่ กาหนด U เป็นจานวนเตม็
ตอบ............................................................. จานวนสมาชกิ ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนน ตอบถูกทกุ คาตอบได้ 2 คะแนน ตอบถูก 1 คาตอบได้ 1 คะแนน
ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

19

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ตแ์ ละเซตทเ่ี ท่ากัน

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.4

คาส่งั ใหน้ กั เรยี นใสเ่ ครอ่ื งหมายเทา่ กับ ( ) หรือ ไมเ่ ท่ากบั ( ) เพ่อื แสดงความสมั พนั ธ์
ระหว่างเซตคตู่ ่อไปนี้

เซต ความสมั พนั ธ์
A=B
ตวั อย่าง A = a, b, c , B = c, a, b A…….B
 A = a, b, c , B = 1, 2, 3 A…….B
 A = 7, 8, 9 , B = 8, 7, 8, 9 A…….B
 A = 2, 4, 6 , B = 4, 6, 2, 6 M…….N
 M = xx  I และ x2 = 36 , N = 6 C…….D
 C = 1, 3, 5, 7 , D = 7, 1, 5, 3
 E = xx เปน็ จานวนเต็มบวกค่ีท่ีนอ้ ยกว่า 10 E…….F

F = 1, 3, 5, 7, 9 G…….H
 G =xx แทนพยัญชนะในคาวา่ “ซอกซอน” 
C…….D
H = xx แทนพยญั ชนะในคาวา่ “ซ้อนกนั ” 
 C = 0, 1, 3, 7, D = xxI และ x10 Y…….Z
 Y = xx เปน็ จานวนเต็มคู่บวกทีน่ ้อยกว่า 10
S…….T
Z = 2, 4, 6, 8
 S = xx เปน็ จานวนเตม็ บวก และ x2 = 49

T = 7

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบถกู ได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได.้ ....................คะแนน

20

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่อื ง เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตทเี่ ทา่ กนั

แบบฝกึ ทักษะที่ 2.5

คาสงั่ ใหน้ กั เรียนพิจารณาเซตตอ่ ไปนี้ แลว้ ทาเครอื่ งหมาย  หน้าข้อท่ถี ูกต้อง
และทาเครอื่ งหมาย  หน้าขอ้ ท่ีไม่ถกู ต้อง

......... 1. xx  I และ x2  -1 เป็นเซตจากดั
......... 2. xx  I และ x  -50 เป็นเซตอนันต์

......... 3. xx  I และ 8 x 9 เป็นเซตว่าง

......... 4. xx  I และ 8 x 9 เปน็ เซตจากดั
......... 5. x 21  x  1 เป็นเซตอนนั ต์
......... 6. ถ้า A = B และ B = C แลว้ A = C

…….. 7. ถ้า A = B แล้ว B = A

…….. 8. ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C

…….. 9. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C

…….. 10. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C

ต้งั ใจศกึ ษาเรยี นรู้
เพ่ืออนาคตทีส่ ดใส

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้.....................คะแนน

21

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ต์และเซตทีเ่ ท่ากนั

แบบฝึกทักษะท่ี 2.6

กาหนดให้

A = { 2, 3, 5}

B = {xx เป็นจานวนเฉพาะท่ีนอ้ ยกวา่ 7}

C = {xx เป็นจานวนเต็มท่อี ยูร่ ะหว่าง 1 และ 6}
D = {3, 2, 5}

E = {xx เปน็ จานวนจรงิ ที่อยรู่ ะหวา่ ง 1 และ 6}

F = {xx เป็นจานวนเตม็ บวกทนี่ อ้ ยกวา่ 6}

G = 84 , 100 , 18 
20 6
H =  9, 25, 4

I = {xx เป็นจานวนคท่ี ีม่ ากกวา่ 1 และนอ้ ยกวา่ 6}
คาสงั่ ให้นกั เรียนพิจารณาวา่ เซตใดตอ่ ไปน้เี ปน็ เซตที่เทา่ กนั แล้วทาเครื่องหมาย  หน้าข้อท่ีถูกตอ้ ง

และทาเครื่องหมาย  หน้าข้อทีไ่ มถ่ ูกตอ้ ง

1. …..… A = B

2. …..… A = I
3. …..… C = B

4. …..… D = A

5. …..… G = I ขยันฝกึ นะคะจะไดเ้ ก่ง
6. …..… B = H
7. …..… D = H
8. …..…. E = F

9. …..… F = I

10. ….… D = G

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ได.้ ....................คะแนน

22

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรอื่ ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตทีเ่ ท่ากนั

แบบทดสอบหลังเรยี นแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
เล่มท่ี 2 เรอื่ ง เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตท่เี ทา่ กนั

คาชีแ้ จง

1. แบบทดสอบฉบับนมี้ จี านวน 10 ข้อ ใช้เวลาทา 10 นาที

2. นกั เรยี นโปรดอยา่ เขยี นขอ้ ความหรือทาเครื่องหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ให้นกั เรยี นเขยี นหวั กระดาษใหส้ มบูรณ์ และอ่านคาช้แี จงกอ่ นตอบข้อสอบ

4. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยเลือกตอบชนดิ 4 ตวั เลอื ก ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทีถ่ กู ทส่ี ดุ

เพียงข้อเดยี วด้วยเคร่ืองหมาย X ในกระดาษคาตอบ

ตวั อยา่ ง ถ้านกั เรยี นตอ้ งการตอบข้อ ก ให้ทาดงั นี้

ข้อ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถา้ นักเรียนตอ้ งการเปล่ียนคาตอบจากข้อ ก เปน็ ขอ้ ค ใหท้ าดังน้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เมื่อนกั เรยี นทาขอ้ สอบเสร็จหรอื หมดเวลาแลว้ ให้สง่ กระดาษคาตอบพร้อมกบั แบบทดสอบ

นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
ครผู ้สู อน

23

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตท่ีเทา่ กัน

1. เซตในข้อใดต่อไปน้ีไม่ถกู ต้อง
ก. เซตวา่ งเปน็ เซตจากดั
ข. { 0 } ไม่เปน็ เซตวา่ ง
ค. { } เป็นเซตจากดั
ง.  เป็นเซตอนันต์

2. กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ U เป็นเซตของจานวนเตม็ บวกและ
A = xx เป็นจานวนค่ที ีน่ ้อยกว่า 12
B = xx เปน็ จานวนเฉพาะทีน่ ้อยกวา่ 12
C = xx เป็นจานวนเตม็ ท่นี อ้ ยกว่า 12 ทีห่ ารด้วย 2 เหลือเศษ 1
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง
ก. A = B
ข. A = C
ค. B = C
ง. A = B = C

3. เซตในข้อใดเปน็ เซตจากัด
ก. xx เปน็ จานวนเตม็ คู่
ข. xx เป็นจานวนเตม็ ค่ทู ีน่ ้อยกว่า 10
ค. xx เปน็ จานวนเต็มทม่ี ากกวา่ 1
ง. xx เปน็ จานวนเต็มและ 3 x 10

4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
1) ถ้า A เป็นเซตอนนั ตแ์ ลว้ xx A จะเปน็ เซตอนันต์
2) ถา้ A เป็นเซตจากัดแลว้ xx A จะเป็นเซตจากัด
ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง
ก. ข้อความ 1) และ 2) เป็นจรงิ
ข. ข้อความ 1) เทา่ นั้น เป็นจริง
ค. ขอ้ ความ 2) เทา่ นัน้ เปน็ จริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไม่เปน็ จริง

24

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่ือง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนันตแ์ ละเซตท่เี ทา่ กนั

5. เซตในข้อใดเป็นเซตอนนั ต์
ก. xx เป็นจานวนเต็มตัง้ แต่ 1 ถึง 3 
ข. xx เป็นจานวนเตม็ ลบทอ่ี ยู่ระหว่าง -5 กับ 1 
ค. xx เปน็ จานวนเต็มและ 2x = x+4 
ง. xx เป็นจานวนเตม็ ลบและ x -1 

6. เซตตอ่ ไปนเี้ ซตใดเปน็ เซตว่าง
ก. {}
ข. {0}
ค. {x x เป็นจานวนเต็มทท่ี าให้ 4x2 1  0}
ง. {x x เปน็ จานวนเต็มที่ทาให้ 4x3 x2  0}

7. กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ U เปน็ เซตของจานวนนับที่เปน็ จานวนเฉพาะ
A = x X U , B = xx+1U , C = xx-1U
เซตทกี่ ลา่ วมามเี ซตที่เป็นเซตว่างก่ีเซต
ก. 3 เซต
ข. 2 เซต
ค. 1 เซต
ง. 0 เซต

8. ข้อใดเป็นเซตจากัด
ก. เซตของจานวนจรงิ
ข. เซตของจานวนเต็ม
ค. เซตของจานวนนกั เรยี นในหอ้ ง
ง. A = xx เป็นจานวนเต็มบวกท่ีหารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 1

25

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรือ่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนันตแ์ ละเซตท่ีเท่ากัน

9. ถ้าเซต A เป็นเซตจากัดและเซต B เป็นเซตอนันต์ แลว้ ขอ้ ใดเป็นจรงิ
ก. A ∩ B เปน็ เซตอนันต์
ข. B ∪ A เป็นเซตจากดั
ค. สับเซตของเซต B เปน็ เซตจากดั

ง. A  B เป็นเซตจากดั

10. จงพจิ ารณาวา่ เซตทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ มเี ซตใดท่เี ทา่ กัน

A = xx แทนพยัญชนะในคาว่า “กรรมกร”

B = xx แทนพยญั ชนะในคาว่า “มรรคา”
C = xx แทนพยัญชนะในคาว่า “มกราคม”
D = xx แทนพยญั ชนะในคาว่า “รากไม้”
มีขอ้ ใดถูกตอ้ ง
ก. C = D
ข. B = C
ค. A = C
ง. A = D

26

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เร่ือง เซตว่าง เซตจากดั เซตอนนั ต์และเซตที่เทา่ กัน

แบบฝึกหัดเพ่ิมเติมเสริมทักษะ
เล่มที่ 2 เรอ่ื ง เซตจากดั เซตอนนั ต์ และเซตทีเ่ ท่ากนั

คาชแี้ จง ให้นักเรยี นพจิ ารณาเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ขอ้ ใดเป็นเซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนันต์
และเซตทเ่ี ทา่ กนั แลว้ ทาเครอ่ื งหมาย  ลงในช่องว่างใหถ้ กู ตอ้ ง

ข้อที่ เซตที่กาหนดให้ คาตอบ

เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนนั ต์ เซตที่
เท่ากัน

1 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}

2 A = {2, 4, 6, 8, 10},
B = {x | x เปน็ จานวนนับทน่ี อ้ ยกว่า 5}

3 A = {2, 4, 6, 4, 2} , B = {4, 2, 2, 6, 6}

4 A = {1, 2, 3, . . .} , B = {x | x  2}
5 A = {x  I | 0 < x < 1} ,

B = {x  I | x เปน็ จานวนคู่ และ 4 < x <
6}
6 A = {x  R | x2 = 1} , B = {x  I | x2 <
1}

7 A = {1, 2, …, 20}, B = {2, 4, …,100}

8 A = {1, 2,3 …,}, B = {2, 4,6 …}

9 A = {x  I | x < 1}

B = {x  I | x  0}
10 A = {x  I | 1 < x < 2} ,

B = {x  I | -1 < x < 0}

27

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เร่ือง เซตวา่ ง เซตจากัด เซตอนันต์และเซตทเ่ี ท่ากนั

ตารางบันทกึ คะแนน

แบบฝกึ ทกั ษะที่ คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

2.1 10
2.2 10
2.3 10
2,4 10
2.5 10
2.6 10
แบบทดสอบหลังเรยี น 10

คะแนนรวม 70

28

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรอื่ ง เซตว่าง เซตจากัด เซตอนนั ตแ์ ละเซตท่เี ทา่ กนั

บรรณานกุ รม

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชัย มาเจรญิ ทรัพย.์ แบบฝึกหดั และประเมินผลการเรียนรู้
คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์, 2548.

กรมวชิ าการ. หลกั สตู รการศึกษาข้นั พื้นฐานพทุ ธศักราช 2551 สาระและมาตรฐานการเรียนรู้
กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: องคก์ ารรบั สง่ สนิ ค้าและพัสดภุ ณั ฑ์, 2551.

จารัส อนิ สม. คมู่ อื คณติ ศาสตรช์ ้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรยี นที่ 1. กรุงเทพฯ : แมค็ ,
2547.

จีระ เจรญิ สุขวิมลและวนิ ิจ วงศ์รตั นะ. สรุปสตู รหลัก&สูตร คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 1-2.
กรงุ เทพฯ: ไฮเอด็ พบั ลิชช่งิ จากัด,ม.ป.ป.

ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. แบบฝึกคณิตศาสตร์มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 1. กรุงเทพฯ :
แม็ค, 2549.

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร. คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน
คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์
ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพนื้ ฐานพุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :
โรงพิมพค์ ุรุสภาลาดพร้าว, 2556.
. หนังสอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กล่มุ สาระ
การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้นื ฐานพทุ ธศกั ราช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพรา้ ว, 2556.

เซตและวิธีการเขยี นเซต. (ออนไลน์) ; https://www.sites.google.com. เข้าถึงเมอื่ 18
มกราคม 2560.

เซต. (ออนไลน)์ ; https :// www.trueplookpanya.com. เข้าถงึ เมื่อ 18 มกราคม 2560.
. https :// www.thaigoodview.com. เข้าถงึ เมอ่ื 18 มกราคม 2560.
. https :// www. mathsetter.wordpress.com. เขา้ ถึงเมื่อ 18 มกราคม 2560.

Images for เซตและการดาเนินการของเซต. (ออนไลน์) ; https://www.google.co.th/search?.
เขา้ ถึงเมอื่ 19 มกราคม 2560.