จัดหมู่แบบมีเงื่อนไข10

การจดั หมู่

จดั ทาโดย : นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

ตวั อยา่ งที่ 1 กลอ่ งใบหนึ่งมลี กู บอลทแี่ ตกตา่ งกนั 9 ลกู เป็ นลกู บอลสแี ดง 5 ลกู และลกู บอลสี
นา้ เงนิ 4 ลกู ถา้ ตอ้ งการหยบิ ลกู บอล 2 ลกู จากกลอ่ งใบนี้ จงหาจานวนวธิ กี ารหยบิ ลกู บอลโดย
ทไี่ ดล้ กู บอลหมดทกุ สี

ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กเลอื กลกู บอลสแี ดง 1 ลกู จาก 5 ลกู ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กเลอื กลกู บอลสนี า้ เงนิ 1 ลกู

จะไดว้ า่ n = 5 , r = 1 จาก 4 ลกู จะไดว้ า่ n = 4 , r = 1

C5 , 1 = 5! = 5! C4 , 1 = 4! = 4!
(5 − 1)!1! 4!1! (4 − 1)!1! 3!1!

= 5 x 4! =5 = 4x 3! =4
1 x 4! 1x 3!

ดงั นน้ั สามารถเลอื กหยงิ ลูกบอลไดท้ งั้ หมด 5 x 4 = 20 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 2 มนี ักเรยี น 9 คน ซงึ่ มี ก,ขและ ค รวมอยดู่ ว้ ยตอ้ งการเลอื กนักเรยี นทงั้ หมด 5 คน
จะมวี ธิ เี ลอื กไดก้ วี่ ธิ ี ถา้ ใน 5 คนนั้นตอ้ งมี ก , ข และ ค รวมอยดู่ ว้ ยเสมอ

ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื ก ก , ข , ค ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กนักเรยี นอกี 2 คน

จะไดว้ า่ n = 3 , r = 3 จะไดว้ า่ n = 6 , r = 2

C3 , 3 = 3! = 3! C6 , 2 = 6! = 6!
(3 − 3)!3! 0!3! (6 − 2)!2! 4!2!

= 3! = 6 x 5 x 4!
1 x 3! 2 x 1 x 4!

= 1 = 15
ดงั นน้ั สามารถเลอื กนกั เรยี นไดท้ ง้ั หมด 1 x 15 = 15 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 3 มสี ตี า่ ง ๆ กนั 8 สี ใน 8 สนี ีม้ สี แี ดง นา้ เงนิ และเขยี ว รวมอยดู่ ว้ ยจะมวี ธิ เี ลอื กกวี่ ธิ ี
ถา้ เลอื กสมี า 5 สี โดยที่ ใน 5 สนี ี้ มสี แี ดง สนี า้ เงนิ และสเี ขยี วอยเู่ สมอ

ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กสแี ดง สเี ขยี ว สนี า้ เงนิ ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กสอี นื่ ๆ อกี 2 สี

จะไดว้ า่ n = 3 , r = 3 จะไดว้ า่ n = 5 , r = 2

C3 , 3 = (3 3! = 3! C5 , 2 = 5! = 5!
− 3)!3! 0!3! (5 − 2)!2! 3!2!

= 3! = 5 x 4 x 3!
1 x 3! 2 x 1 x 3!

= 1 = 10

ดงั นน้ั สามารถเลอื กสไี ดท้ ง้ั หมด 1 x 10 = 10 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 4 มอี กั ษรพมิ พใ์ หญอ่ ยู่ 3 ตวั คอื A , B และ C พยญั ชนะตวั พมิ พเ์ ล็ก 5 ตวั คอื m ,
p , q , r และ s มสี ระตวั พมิ พเ์ ล็กอยู่ 4 ตวั คอื a , e , o , u ถา้ นามาจดั เป็ นคาซงึ่ ประกอบดว้ ย
อกั ษร 6 ตวั ซงึ่ ไม่มคี วามหมายก็ไดแ้ ละคาดงั กลา่ วตอ้ งประกอบดว้ ยพยญั ชนะ ตวั พมิ พเ์ ล็ก 3
ตวั สระตวั พมิ พเ์ ล็ก 2 ตวั และตอ้ งขนึ้ ตน้ ดว้ ยอกั ษรใหญ่ 1 ตวั จะจดั ไดก้ วี่ ธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กพยญั ชนะ ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กพยญั ชนะ ขนั้ ตอนที่ 3 เลอื กสระตวั พมิ พ ์

ตวั พมิ พใ์ หญ่ 1 ตวั ตวั พมิ พเ์ ล็ก 3 ตวั เล็ก 2 ตวั

จะไดว้ า่ n = 3 , r = 1 จะไดว้ า่ n = 5 , r = 3 จะไดว้ า่ n = 4 , r = 2

C3 , 1 = 3! C5 , 3 = 5! C4 , 2 = 4!
(3 − 1)!1! (5 − 3)!3! (4 − 2)!2!
3! 5!
= 2!1! = 2!3! = 4!
2!2!

= 3 x 2! = 5 x 4 x 3! = 4 x 3 x 2!
1 x 2! 2 x 1 x 3! 2 x 1 x 2!

= 3 = 10 =6

ดงั นนั้ สามารถนาตวั พยญั ชนะและสระมาจดั คาได้ 3 x 10 x 6 = 180 วธิ ี

แบบฝึ กหดั

1. มพี นักงาน 10 คน ซงึ่ มี a , b และ c รวมอยดู่ ว้ ย ตอ้ งการเลอื กพนักงานทง้ั หมด 6 คน
เพอื่ เขา้ อบรม จะมวี ธิ เี ลอื กไดก้ วี่ ธิ ี ถา้ ใน 6 คนนั้นตอ้ งมี a , b และ c รวมอยดู่ ว้ ยเสมอ

2. มอี กั ษรพมิ พใ์ หญอ่ ยู่ 3 ตวั คอื A , B และ C พยญั ชนะตวั พมิ พเ์ ล็ก 5 ตวั คอื w , p , q ,
r และ s มสี ระตวั พมิ พเ์ ล็กอยู่ 4 ตวั คอื a , e , i , u ถา้ นามาจดั เป็ นคาซงึ่ ประกอบดว้ ย
อกั ษร 7 ตวั ซงึ่ ไม่มี ความหมายก็ไดแ้ ละคาดงั กลา่ วตอ้ งประกอบดว้ ยพยญั ชนะ ตวั พมิ พ ์
เล็ก 2 ตวั สระตวั พมิ พเ์ ล็ก 4 ตวั และตอ้ งขนึ้ ตน้ ดว้ ยอกั ษรใหญ่ 1 ตวั จะจดั ไดก้ วี่ ธิ ี

3. มสี ตี า่ ง ๆ กนั 10 สี ใน 10 สนี ีม้ สี ชี มพู นา้ เงนิ และฟ้ า รวมอยดู่ ว้ ยจะมวี ธิ ตี า่ ง ๆ ถา้ เลอื ก
สมี า 4 สี โดยทใี่ น 4 สนี ี้ มสี ชี มพูสฟี ้ าและสนี า้ เงนิ อยเู่ สมอ