แบบฝึกทักษะ เรื่อง เซต เล่มที่ 3

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง เซต
รายวชิ าคณติ ศาสตร์ (ค31101)
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพทั ธ์

สบั เซตและเพาเวอร์เซต

โดย

นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
ตำแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นกมลาไสย อำเภอกมลาไสย จงั หวดั กาฬสนิ ธ์ุ
สำนักงานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษาเขต 24
สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน
กระทรวงศึกษาธิการ

1

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

คำชีแ้ จง

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์ (ค 31101) หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1
เร่อื ง เซต ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำขึ้น จำนวน 7 เลม่ เลม่ น้เี ป็นเลม่ ที่ 3 เรื่อง เอกภพ
สัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต ประกอบดว้ ย

1. คำชแ้ี จงในการใช้แบบฝึกทกั ษะสำหรับนกั เรยี น
2. สาระ/มาตรฐาน/ตวั ชวี้ ัด/จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
3. แบบทดสอบก่อนเรยี น
4. คำอธิบายเนอ้ื หา ตวั อย่างบทเรยี นทเ่ี รยี นในชุดนั้นๆ
5. แบบฝึกทักษะ
6. แบบทดสอบหลงั เรียน
7. เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ
8. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรยี น
แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต ใชเ้ วลาในการ
เรยี นรู้ 2 ชว่ั โมง นกั เรียนสามารถทำแบบฝึกทกั ษะได้ตามลำดับขน้ั ตอนที่กำหนดไว้ซงึ่ จะทำให้
นักเรียนได้รับประโยชนต์ ่อตนเองและสามารถนำไปประยุกตใ์ ช้ในชวี ติ ประจำวันได้

2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำช้ีแจงสำหรบั ครู

 เตรียมเอกสารแบบฝกึ ทักษะ ใหเ้ พยี งพอกบั จำนวนนักเรยี น
 ผ้สู อนตอ้ งศึกษาเนื้อหา ในบทเรียนใหเ้ ข้าใจล่วงหนา้ อยา่ งละเอียด
 ช้แี จงบทบาทของนกั เรยี นในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
 คอยใหค้ ำปรกึ ษาแกน่ ักเรียนทกุ ขั้นตอนอย่างใกลช้ ดิ ในขณะทีน่ ักเรียนปฏบิ ัติ

กิจกรรม
 เกบ็ ข้อมลู ของนักเรียน เพอื่ พัฒนาความกา้ วหนา้

ฉลาดคดิ ฉลาดเรยี นรู้ จา้

3

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำช้แี จงในการใช้แบบฝึกทกั ษะสำหรับนกั เรยี น

1. นกั เรียนอ่านคำช้แี จงและคำแนะนำในการทำแบบฝึกทักษะให้เข้าใจก่อนทำกิจกรรม
ทกุ คร้งั

2. นกั เรยี นอ่านจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ของแบบฝึกทักษะเพื่อให้ทราบว่าเม่ือเรียนจบ
แล้วนกั เรยี นจะมีความรู้ในเรื่องใดบ้าง

3. นกั เรียนทำแบบทดสอบก่อนเรยี น เพื่อวัดความรู้พื้นฐานของนักเรยี น และนักเรยี น
ไม่ควรดูเฉลยกอ่ นทำการทดสอบ เม่ือนักเรียนทำแบบทดสอบเสรจ็ แล้วจงึ คอ่ ยตรวจตามเฉลย

4. ศึกษาสาระการเรียนรู้ของชดุ แบบฝกึ ทกั ษะให้เข้าใจแลว้ ลงมือทำแบบฝกึ ทักษะ
ตามลำดับ

5. เมอ่ื นักเรียนมีปญั หาหรือทำแบบฝกึ ทักษะไมไ่ ด้ ให้กลับไปอา่ นสาระการเรียนรู้หรือ
ศึกษาตวั อย่างอีกครัง้ หรือปรึกษาครผู สู้ อน

6. การเขยี นคำตอบของแบบฝกึ ทักษะใหน้ ักเรียนทำดว้ ยความรอบคอบ ใหผ้ ลงาน
มคี วามถูกต้อง สะอาดเรียบร้อย สวยงาม

7. ฝึกปฏิบัตติ ามแบบฝึกทกั ษะแลว้ ตรวจสอบคำตอบตามเฉลย ถ้าทำไดน้ ้อยกว่า 80%
ของแตล่ ะแบบฝึกทักษะให้กลับไปทบทวนใหม่

8. นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี น ตรวจและใหค้ ะแนนตามเฉลย ถ้าตำ่ กว่า 8 ข้อ
ใหก้ ลบั ไปศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะอีกคร้งั

9. สรุปผลการเรียน ประเมิน ปรับปรงุ และพฒั นาตนเอง
10. การศกึ ษาตามแบบฝึกทักษะเล่มนี้จะไมบ่ รรลผุ ลสำเรจ็ ถา้ นักเรียนขาดความ
ซ่อื สัตย์ในการทำแบบฝึกทักษะ

4

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

สาระ / มาตรฐาน / ตวั ช้ีวัด /จุดประสงค์การเรยี นรู้

สาระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรปู (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ ัน
ม.4-6/1 มีความคดิ รวบยอดในเรอื่ งเซตและการดำเนนิ การของเซต
มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ (mathematical

model) อื่น ๆ แทนสถานการณ์ตา่ ง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนำไปใช้แก้ปญั หา
ม.4-6/1 เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แสดงเซต และนำไปใชแ้ กป้ ญั หา
ม.4-6/2 ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการให้เหตผุ ลโดยใชแ้ ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จุดประสงค์การเรยี นรู้

 หาสบั เซตและเพาเวอรเ์ ซตของเซตต่างๆได้
 บอกไดว้ ่าเซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง และเซตว่างเปน็ สบั เซตของทุกเซต

เพอ่ื ความสำเรจ็ ในการเรียนรู้
อย่าลืมใช้ ฟัง คดิ ถาม และเขยี นบันทึก
นะคะ

5

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบทดสอบกอ่ นเรยี นแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
เล่มท่ี 3 เรอื่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำชี้แจง

1. แบบทดสอบฉบับน้ีมีจำนวน 10 ขอ้ ใช้เวลาทำ 10 นาที

2. นกั เรียนโปรดอยา่ เขียนข้อความหรือทำเครอื่ งหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ให้นกั เรยี นเขยี นหัวกระดาษให้สมบรู ณ์ และอ่านคำชแ้ี จงก่อนตอบข้อสอบ

4. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยเลือกตอบชนิด 4 ตวั เลอื ก ใหน้ ักเรยี นเลือกคำตอบท่ีถกู ที่สดุ

เพยี งข้อเดยี วดว้ ยเคร่ืองหมาย X ในกระดาษคำตอบ

ตัวอยา่ ง ถา้ นักเรยี นต้องการตอบข้อ ก ให้ทำดังนี้

ข้อ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถ้านักเรียนตอ้ งการเปล่ยี นคำตอบจากข้อ ก เปน็ ข้อ ค ให้ทำดังนี้

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เมือ่ นักเรยี นทำขอ้ สอบเสร็จหรือหมดเวลาแลว้ ให้สง่ กระดาษคำตอบพร้อมกับแบบทดสอบ

นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์
ครผู สู้ อน

6

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

1. กำหนดให้ A = 2, {4, 6} ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
ก. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ข. P(A) = , {2}, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ค. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ง. P(A) = , {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}

2. เซตใดตอ่ ไปน้ไี มม่ ีสบั เซตแท้
ก. A = 
ข. B = xQ x2 – 9 = 0
ค. C = x I+ x2 – 5x + 6 = 0
ง. D = xQx2 – 9 = 0

3. ถา้ A = a, b, {c, d} แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มจี ำนวนสมาชิกกี่ตวั
ก. 16 ตวั
ข. 12 ตวั
ค. 8 ตวั
ง. 6 ตวั

4. ถ้า A และ B เปน็ เซตใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี
1). ถา้ A  B แลว้ A = B 2). ถ้า A = B แลว้ A  B
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เปน็ จริง
ข. ขอ้ ความ 1) เท่าน้ันท่เี ปน็ จรงิ
ค. ข้อความ 2) เทา่ นั้นที่เป็นจริง
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจริง

5. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
1) เซตว่างเป็นสบั เซตแท้ของทุกเซต
2) ถ้า A เปน็ เซตใดๆ แลว้ จะมสี บั เซตแทข้ อง A อย่างน้อยหนึ่งเซต
ขอ้ ความใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง
ก. ข้อความ 1) และ 2) เป็นจริง
ข. ข้อความ 1) เท่านั้นที่เป็นจรงิ
ค. ข้อความ 2) เท่านัน้ ท่ีเปน็ จรงิ
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไม่เป็นจรงิ

7

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

6. กำหนดให้ A = xx เปน็ จำนวนเตม็ บวกคี่ และ x  10  แลว้ จำนวนสบั เซตแท้
ของ A ที่ไมเ่ ทา่ กบั เซตวา่ ง ตรงกับข้อใด
ก. 30 เซต
ข. 31 เซต
ค. 62 เซต
ง. 63 เซต

7. กำหนดให้ A = {1}, {2, 3}, {1, 2, 3},  แล้ว n(P(A)) เท่ากบั ข้อใด
ก. 4 ตวั
ข. 8 ตวั
ค. 16 ตวั
ง. 32 ตวั

8. กำหนดให้ A เป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก
B เป็นเซตของจำนวนเตม็ บวกคู่
C เปน็ เซตของจำนวนเตม็ คี่
D เปน็ เซตของจำนวนนบั ทีเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

จงพจิ ารณาวา่ ข้อใดต่อไปน้ีเป็นจรงิ
ก. B  P(A)
ข. D  P(B)
ค. C  P(A)
ง. C  P(B)

9. กำหนดให้ A = x x เปน็ จำนวนนบั คู่ และเป็นจำนวนเฉพาะ จงหา P(A)
ก. {2}
ข. {}, {2}
ค. , {2}
ง. {, 2}

10. กำหนดให้ A = , 0, , 1, 2 จำนวนสับเซตแท้ของ A ตรงกับข้อใด
ก. 31
ข. 32
ค. 33
ง. 34

8

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

ใบความรูท้ ี่ 3.1
เรอ่ื ง เอกภพสมั พัทธ์ และสบั เซต

เอกภพสมั พัทธ์ ( Relative Universe )

บทนยิ าม
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกทั้งหมดในขอบข่ายท่ีกำลงั พิจารณาอยู่ใน

ขณะนั้น เขยี นแทนด้วย U

เช่น
U = { x  x เปน็ อกั ษรในภาษาอังกฤษ }
A = { x  x เป็นสระในภาษาอังกฤษ }
B = { x  x เปน็ อักษรในภาษาอังกฤษในคำว่า “ Math “ }
ดงั น้ัน A  U และ B  U

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 20 } จงหาเอกภพสัมพัทธม์ า 3 เซต

เอกภพสัมพทั ธ์ (U) 3 เซต เชน่ ตัง้ ใจศกึ ษาเรยี นรใู้ ห้มาก ๆ นะคะ
1. { 1 , 2 , 3 , . . . , }

2. { x  x เปน็ จำนวนเต็มบวก }

3. { x  x เป็นจำนวนเตม็ }

ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนดให้ U เปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก
1. A = { 1 , 2 , 3 , . . . }
2. B = { -1 , -2 , -3 , . . . }
3. C = { 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , . . . }
ดังนัน้ จะได้ว่า A  U , B  U , และ C  U

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ( U ) เป็นเซตจำนวนนบั จงเขยี นเซตต่อไปนี้
แบบแจกแจงสมาชกิ

1) A = { x  x  10 }
2) B = { x  x2 + x – 12 = 0 }
3) C = { x  x เปน็ จำนวนนบั ที่ 5 หารลงตวั }

9

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

วิธีทำ

1) จาก A เป็นเซตจำนวนนบั ท่ีน้อยกว่าหรือเท่ากับ 10

A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }

2) จาก B เปน็ เซตจำนวนนับท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ x2 + x – 12 = 0
พจิ ารณา x2 + x – 12
=0

( x + 4) (x – 3) = 0

x = 3 , -4

จะได้ 3 เปน็ จำนวนนบั แต่ -4 ไมเ่ ป็นจำนวนนบั

ดังน้นั B = { 3 }

3) จาก C เปน็ จำนวนนบั ท่ี 5 หารลงตวั

C = { 5 , 10 , 15 , . . . }

ฉลาดคิด ฉลาดเรยี นรู้ จา้

10

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สับเซต ( Subset )

บทนยิ าม
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ เรากล่าวว่า A เปน็ สับเซตของ B ก็ต่อเม่อื

สมาชิกทกุ ตัวของ A เป็นสมาชกิ ของ B เขียนแทนดว้ ย A  B

เชน่ A = { 1 , 2 , 3 }
B = {4,3,2,1}

จะได้ A  B เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ A เป็นสมาชิกของ B
C = {1,5,7}

D = {7,5,1}

จะได้ C  D เพราะสมาชิกทกุ ตัวของ C เปน็ สมาชิกของ D
เซต A ไม่เปน็ สบั เซตของ B ถา้ มีสมาชิกอย่างนอ้ ยหนึ่งตัวของ A ทีไ่ ม่เป็นสมาชกิ

ของ B เขียนแทนด้วย A  B
เชน่ A = { a , b , c , d , e }
B = {a,e,i,o,u}

จะได้ A  B เพราะวา่ สมาชกิ บางตวั ของ A ได้แก่ b , c , d ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B

และจะได้ว่า B  A เพราะวา่ สมาชกิ บางตัวของ B ได้แก่ i , o , u ไมเ่ ปน็
สมาชกิ ของ A

ตงั้ ใจศกึ ษาเรยี นรู้
เพอ่ื อนาคตท่ีสดใส

11

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

ตัวอย่างท่ี 1 จงพจิ ารณาว่าเซตใดเป็นสบั เซตของเซตใดบ้าง
1) A = { a , b , c } } , B = { a , b , c , d , e , f }
2) A = { x  x เปน็ จำนวนคู่ } , B = { x  x = 2n และ n  I+ }

วธิ ที ำ
1) A = { a , b , c } } , B = { a , b , c , d , e , f }

ดงั นัน้ A  B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน็ สมาชกิ ของ B

2) A = { x  x เปน็ จำนวนคู่ }

 A = { 0 , 2 , 4 , 6 , . . . }
B = { x  x = 2n และ n  I+ }
จาก x = 2n , n  I+ จะได้ x = 21 , 22 , 23 , 24 , . . . .

 B = { 2 , 4 , 8 , 16 , . . . }

ดังน้นั A  B เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ B เป็นสมาชิกของ A

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงพจิ ารณาเซตท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปน้ี

A = {0,1} จะเรยี นรูไ้ ด้ดจี ะต้องมสี ตนิ ะคะ
B = {0,1,2}

C = {0}

D = {0,1,2,3}

วิธีทำ

จะได้

1) A  B , A  C

2) B  D

3) C  A , C  B , C  D

4) D  A , D  B , D  C

5) Ø  A , Ø  B , Ø  C และ Ø  D

6) A  A , B  B , C  C และ D  D

12

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

ตวั อยา่ งที่ 3 จงพจิ ารณาขอ้ ต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมเหตุผล
1) { 0 }  Ø

ผิด เพราะ 0  { 0 } แต่ 0  Ø
2) { 0 , { 1 } }  { -1 , 0 , {1 } }

ถูก เพราะ 0 , { 1 }  { 0 , { 1 } } และเป็นสมาชิกของ { -1 , 0 , {1 } }
3) { 1 , { 2 } }  { { 1 } , 2 }

ผดิ เพราะ 1  { 1 , { 2 } } แต่ 1  { { 1 } , 2 }
4) Ø  { { 4 } }

ถกู เพราะว่า Ø เป็นสับเซตของทุกเซต

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงพิจารณาเซตทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปนี้
A = {1,2} , B = {1,2,4}
C = {2} , D = {0,1,2,4}

วธิ ที ำ จะได้ว่า

1) A  B , A  D

2) B  D

3) C  A , C  B , C  D

4) D  A , D  B , D  C

5) Ø  A , Ø  B , Ø  C และ Ø  D

6) A  A , B  B , C  C และ D  D

มีสติ คดิ อย่างรอบคอบ แล้วปญั ญาจะเกดิ

13

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สบั เซตแท้ ( Proper Subset )
A เป็นสับเซตแท้ของ B กต็ อ่ เมือ่ A  B แต่ A  B
เชน่ { a , i , o } เป็นสับเซตแท้ของ { a , e , i , o , u }
และ { a , e , i , o , u } เป็นสบั เซตของ { a , e , i , o , u }

ข้อสังเกต
1. เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตวั มนั เอง นัน่ คือ ถา้ A เปน็ เซตใด ๆ แลว้ A  A
2. เซตว่างเปน็ สบั เซตของทุกเซต นั่นคือ A เปน็ เซตใด ๆ แล้ว Ø  A
3. จำนวนสบั เซตของเซต มีได้เทา่ กบั 2n สบั เซต เมอื่ n แทนจำนวนสมาชิกของเซต A
4. ถา้ เซตสองเซตเป็นสบั เซตซึ่งกันและกนั กล่าวคือ A  B และ B  A แล้ว
เซต A จะเทา่ กับเซต B หรือ A = B

ใช้หัวใจนักปราชญ์ สุ จิ ปุ ลิ
ในการเรียนรนู้ ะคะ

14

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1

คำสั่ง ให้นกั เรยี นทำเครื่องหมาย ลงในชอ่ งที่แสดงความสัมพันธข์ องเซตตอ่ ไปน้ี

ขอ้ เซตทกี่ ำหนด ความสมั พนั ธ์
A เปน็ สับเซต B A ไม่เปน็ สับเซต B

A = {2, 4}, 
B = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

1 A = {1, 2} , B = { 1, 2, 3, 4}

2 C = {3, 4, 5} , D = { 1, 2, 3, 4}

3 E = {a, b} , F = { a, b, c, d}

4 G = {1, 2, 3, 4} ,

H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5 I = {5, 10, 15, 20}
J = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

6 K = {a, b, c} , L = { a, b, d, e, f}

7 M = {1, 2, 3, 4, 6} , N ={1, 2, 3, 4, 5}

8 O = { } , P = { 1, 2, 3}

9 Q = {a, b, c, d} , R = { a, b, c, e, f, g}

10 S = {1, 2, 3} , T = { 1, 2, 3}

ความพยายามอยู่ทไ่ี หน ความสำเร็จอย่ทู ีน่ ่ัน

15

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝึกทักษะที่ 3.2

คำส่งั ให้นกั เรียนเขยี นสับเซตทั้งหมดของเซตท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้

 A=
สบั เซตคือ ...........................................................................................

 B = 2
สับเซตคอื ...........................................................................................

 C = 2, 3
สับเซตคือ ...........................................................................................

 D = 2, 3, 4
สบั เซตคอื ...........................................................................................

 E = 2, 3, 4, 5
สับเซตคอื ...........................................................................................

 F = 
สบั เซตคือ ...........................................................................................

 G = , {}
สับเซตคอื ...........................................................................................

 H = , 1, {1}
สับเซตคือ ...........................................................................................

 I = 1, {1}, {{1}}
สับเซตคือ ...........................................................................................

 J = , 0, {, 0}
สบั เซตคอื ...........................................................................................

ตง้ั ใจศึกษาเรยี นรู้
เพ่ืออนาคตท่ีสดใส

16

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝึกทักษะที่ 3.3

คำสง่ั กำหนดให้ A = 2, 4, 6, 8 จงหาสิง่ ตอ่ ไปนี้

 จำนวนสับเซตของ A
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสบั เซตแทข้ อง A
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสบั เซตไมแ่ ทข้ อง A
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสบั เซตแทข้ อง A ท่ีไม่ใชเ่ ซตวา่ ง
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสบั เซตของ A ทมี่ สี มาชิก 1 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสบั เซตของ A ที่มสี มาชกิ 2 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสับเซตของ A ที่มสี มาชิก 3 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสับเซตของ A ที่มสี มาชิก 4 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 จำนวนสับเซตของ A ทม่ี สี มาชกิ 0 ตวั
ตอบ ...........................................................................................

 สบั เซตท่เี ปน็ สบั เซตไม่แทข้ อง A คอื
ตอบ ...........................................................................................

เพื่อความสำเร็จในการเรยี นรู้
อยา่ ลืมใช้ ฟัง คิด ถาม และ
เขียนบันทึกนะคะ

17

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

ใบความรทู้ ี่ 3.2
เรือ่ ง เพาเวอรเ์ ซต

เพาเวอรเ์ ซต ( Power Set )

บทนิยาม
กำหนดให้ A เปน็ เซตใดๆ เพาเวอรเ์ ซตของ A คือ เซตที่มีสบั เซตท้งั หมดของ A

เขียนแทนดว้ ย P(A) เขียนอยใู่ นรปู เซต นั่นคอื P(A) = { x  x  A }

ถ้า A เป็นสบั เซตใด ๆ ทีม่ สี มาชกิ n ตวั แล้วจำนวนสับเซตของ A เทา่ กับ 2n

การเขยี นสบั เซต จะตอ้ งเขียนเซตซ่งึ ประกอบด้วย

1. เซตว่าง

2. เซตทีป่ ระกอบด้วยสมาชิก 1 ตวั

3. เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชกิ 2 ตวั

4. เซตทป่ี ระกอบด้วยสมาชิก n ตวั ตงั้ ใจศึกษาเรียนรู้
เช่น A = { a , b } เพอ่ื อนาคตท่สี ดใส
จะไดส้ บั เซตของ A คือ Ø , { a } , { b } , { a , b }

ดงั นั้น เพาเวอร์เซตของเซต A คอื { Ø , { a } , { b } , { a , b } }

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนสบั เซตทัง้ หมดของเซต A

เมอ่ื กำหนด A = { 3 , 5 }

วิธีทำ
A = { 3 , 5 } จำนวนสมาชิกของเซต A เท่ากับ 2
ดงั น้ัน จำนวนสับเซตของเซต A เท่ากับ 22 = 4

คอื Ø , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 }
ดงั น้ัน P(A) = { Ø , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } }

18

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาจำนวนสบั เซตท้ังหมดของเซต B
กำหนดให้ B = { 1 , 3 , { 1 , 2 } }

วธิ ที ำ
B = { 1 , 3 , { 1 , 2 } } จำนวนสมาชกิ ของ B มี 3 ตัว
จำนวนสบั เซตท้งั หมดของเซต B เท่ากบั 23 = 4 สบั เซต
คือ { 1 } , { 3 } , { { 1 , 2 } } , { 1 , 3 } , { 1 , { 1 , 2 } },
{3,{1,2}},{1,3,{1,2}},{ }
ดังน้ัน P(B) = { { 1 } , { 3 } , { { 1 , 2 } } , { 1 , 3 } , { 1 , { 1 , 2 } },
{3,{1,2}},{1,3,{1,2}},{ }}

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ C = { Ø , { 1 } } จงหา P(C)
วธิ ีทำ

C = { Ø , { 1 } } จำนวนสมาชิกของ C มี 2 ตวั
จำนวนสบั เซตทั้งหมดของเซต C เท่ากบั 22 = 4 สบั เซต
คอื Ø, { Ø } , { { 1 } } , { Ø , { 1 } }
ดังนั้น P(C) = { Ø, { Ø } , { { 1 } } , { Ø , { 1 } } }

เรยี นร้อู ย่างมสี ติกันทุกๆคน
นะคะ

19

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.4

คำสัง่ 1. กำหนด A, B และ C เปน็ เซต จงพิจารณาวา่ ข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด
โดยทำเครอ่ื งหมาย หรือ  หน้าข้อที่กำหนด

 ตวั อย่าง : A B ก็ตอ่ เมื่อ AB
1. P(A)
2.   P(A)
3. {} P(A)
4. {}P(A)
5. AP(A)
6. {A}  P(A)
7. {A}P(A)
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ P(A) กจ็ ะเปน็ เซตอนันต์ด้วย
9. ถา้ A  B แล้วจะได้ P(A)  P(B)
10. ถ้า AP(B) แล้วจะได้ A  B

ถ้าขอ้ ไหนไม่เข้าใจหรือ
ทำไม่ได้ก็กลบั ไปศึกษาเรียนรู้อกี คร้ัง
นะคะ

20

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำสัง่ 2. ให้นักเรยี นบอกจำนวนสมาชิกของ P(A) เมือ่ กำหนดเซต A ดังต่อไปนี้

เซต จำนวนสมาชิกของ P(A)
1. A = {1, 2}, {3} 4
2. A = 
3. A =  ………………..
4. A = 2, 3, {2, 3} , 4 ………………..
5. A = {1}, {1, 2} ………………..
6. A = {1}, {2},  ………………..
7. A = , 1, {1}, {2} ………………..
8. A = a, 1, b, 2, c, 3 ………………..
9. A =  2, {4, 5}, 4 ………………..
10. A = , {} ………………..
11. A = 1234 ………………..
………………..

ฉลาดคดิ ฉลาดศึกษาฉลาด
เรียนรู้กันทกุ ๆ คน นะคะ

21

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.5

คำสั่ง ให้นกั เรยี นหาเพาเวอรเ์ ซตจาก เซตที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี

A=
ตอบ P(A) = ………………………………………………..

 B = a
ตอบ P(B) = ………………………………………………..

 C = a, b
ตอบ P(C) = ………………………………………………..

 D = a, b, 
ตอบ P(D) = ………………………………………………..

 E = , {}
ตอบ P(E) = ………………………………………………..

 F = 2, {4, 6}
ตอบ P(F) = ………………………………………………..

 G = xx  I และ 1  x  4 
ตอบ P(G) = ………………………………………………..

 H = xx2 + 2x - 3 = 0 
ตอบ P(H) = ………………………………………………..

 ถา้ P(A) = {0}, 
ตอบ A = ………………………………………………..

 ถา้ P(B) = {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, 
ตอบ B = ………………………………………………..

จะเรียนรูไ้ ด้ดจี ะต้องมสี ตนิ ะคะ

22

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบทดสอบหลงั เรยี นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

คำชแี้ จง

1. แบบทดสอบฉบับนี้มจี ำนวน 10 ขอ้ ใช้เวลาทำ 10 นาที

2. นกั เรยี นโปรดอย่าเขยี นข้อความหรือทำเคร่ืองหมายใด ๆ ลงบนแบบทดสอบ

3. ใหน้ ักเรยี นเขยี นหัวกระดาษใหส้ มบูรณ์ และอ่านคำชแี้ จงกอ่ นตอบข้อสอบ

4. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยเลอื กตอบชนดิ 4 ตัวเลือก ใหน้ กั เรยี นเลือกคำตอบที่ถกู ทส่ี ดุ

เพียงข้อเดียวด้วยเครื่องหมาย X ในกระดาษคำตอบ

ตวั อย่าง ถา้ นกั เรยี นตอ้ งการตอบข้อ ก ให้ทำดงั น้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) () ()

ถา้ นักเรียนต้องการเปล่ียนคำตอบจากข้อ ก เป็นข้อ ค ใหท้ ำดังน้ี

ขอ้ 0. ก ข คง

(X) ( ) (X ) ( )

5. เม่ือนักเรียนทำขอ้ สอบเสรจ็ หรือหมดเวลาแลว้ ใหส้ ง่ กระดาษคำตอบพร้อมกับแบบทดสอบ

นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
ครผู ูส้ อน

23

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

1. ถา้ A = a, b, {c, d} แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีจำนวนสมาชิกกตี่ วั
ก. 16 ตวั
ข. 12 ตวั
ค. 8 ตวั
ง. 6 ตวั

2. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) เซตวา่ งเปน็ สับเซตแท้ของทุกเซต
2) ถา้ A เป็นเซตใดๆ แล้วจะมสี บั เซตแท้ของ A อยา่ งน้อยหนึ่งเซต

ขอ้ ความใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เปน็ จริง
ข. ขอ้ ความ 1) เทา่ น้นั ท่ีเป็นจรงิ
ค. ขอ้ ความ 2) เท่าน้นั ที่เปน็ จริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไม่เป็นจริง

3. เซตใดต่อไปนไี้ มม่ สี บั เซตแท้
ก. A = 
ข. B = xQ x2 – 9 = 0
ค. C = x I+ x2 – 5x + 6 = 0
ง. D = xQx2 – 9 = 0

4. กำหนดให้ A เปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก
B เปน็ เซตของจำนวนเตม็ บวกคู่
C เปน็ เซตของจำนวนเต็มค่ี
D เป็นเซตของจำนวนนับทเี่ ป็นจำนวนเฉพาะ

จงพิจารณาวา่ ขอ้ ใดตอ่ ไปนเ้ี ปน็ จริง
ก. B  P(A)
ข. D  P(B)
ค. C  P(A)
ง. C  P(B)

5. กำหนดให้ A = xx เปน็ จำนวนเต็มบวกค่ี และ x  10  แล้วจำนวนสบั เซตแท้
ของ A ทไ่ี มเ่ ทา่ กับเซตว่าง ตรงกับข้อใด
ก. 30 เซต
ข. 31 เซต
ค. 62 เซต
ง. 63 เซต

24

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

6. กำหนดให้ A = xx เปน็ จำนวนนบั คู่ และเปน็ จำนวนเฉพาะ จงหา P(A)
ก. {2}
ข. {}, {2}
ค. , {2}
ง. {, 2}

7. กำหนดให้ A = , 0, { }, 1, 2 จำนวนสับเซตแท้ของ A ตรงกบั ข้อใด
ก. 31
ข. 32
ค. 33
ง. 34

8. ถ้า A และ B เป็นเซตใดๆ จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
1). ถา้ A  B แลว้ A = B
2). ถ้า A = B แล้ว A  B
ข้อใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง
ก. ข้อความ 1) และ 2) เปน็ จรงิ
ข. ข้อความ 1) เทา่ นนั้ ท่เี ป็นจริง
ค. ข้อความ 2) เท่านัน้ ท่ีเป็นจริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจริง

9. กำหนดให้ A = 2, {4, 6} ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
ก. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ข. P(A) = , {2}, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ค. P(A) = , 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}
ง. P(A) = , {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}

10. กำหนดให้ A = {1}, {2, 3}, {1, 2, 3},  แลว้ n(P(A)) เทา่ กับข้อใด
ก. 4 ตวั
ข. 8 ตวั
ค. 16 ตวั
ง. 32 ตวั

25

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

บรรณานกุ รม

กนกวลี อุษณกรกุลและรณชัย มาเจริญทรพั ย์. แบบฝกึ หดั และประเมินผลการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.4 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์, 2548.

กระทรวงศึกษาธกิ าร. หลักสูตรการศกึ ษาข้ันพื้นฐานพทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ:
ชมุ นมุ การเกษตรแห่งประเทศไทย, 2551.

กรมวิชาการ. หลกั สูตรการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐานพทุ ธศกั ราช 2551 สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ: องค์การรบั ส่งสนิ คา้ และพัสดุภณั ฑ์, 2551.

จำรัส อนิ สม. คู่มอื คณติ ศาสตร์ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรียนที่ 1. กรงุ เทพฯ : แมค็ ,
2547.

จีระ เจรญิ สุขวิมลและวินจิ วงศร์ ตั นะ. สรุปสตู รหลกั &สตู ร คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 1-2.
กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลิชช่ิง จำกัด,ม.ป.ป.

ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. แบบฝกึ คณิตศาสตรม์ ัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรยี นที่ 1. กรงุ เทพฯ :
แม็ค, 2549.

ธนวัฒน์ (สนั ต)ิ สุนทราพรพล. คูม่ ือสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐาน-เพม่ิ เตมิ (ม.4-5-6)
เล่ม 1-6. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER,ม.ป.ป.

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร. คมู่ ือครสู าระ
การเรียนรกู้ ลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4. กรงุ เทพฯ :
โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2548.

เซตและวธิ กี ารเขยี นเซต. (ออนไลน)์ ; https://www.sites.google.com. เข้าถงึ เมอื่ 18
มกราคม 2560.

เซต. (ออนไลน)์ ; https :// www.trueplookpanya.com. เข้าถงึ เมื่อ 18 มกราคม 2560.
เซต. (ออนไลน์) ; https :// www.thaigoodview.com. เขา้ ถงึ เมื่อ 18 มกราคม 2560.
เซต. (ออนไลน์) ; https :// www. mathsetter.wordpress.com. เขา้ ถงึ เมอ่ื 18 มกราคม

2560.
Images for เซตและการดำเนินการของเซต. (ออนไลน)์ ; https://www.google.co.th/search?.

เข้าถงึ เมอ่ื 19 มกราคม 2560.

26

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

ภาคผนวก

27

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 3.1

คำส่งั ใหน้ ักเรยี นทำเคร่ืองหมาย ลงในช่องที่แสดงความสัมพนั ธ์ของเซตต่อไปนี้

ขอ้ เซตทีก่ ำหนด ความสัมพนั ธ์
A เปน็ สับเซต B A ไมเ่ ป็นสบั เซต B

A = {2, 4}, 
B = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

1 A = {1, 2} , B = { 1, 2, 3, 4} 

2 C = {3, 4, 5} , D = { 1, 2, 3, 4} 

3 E = {a, b} , F = { a, b, c, d} 

4 G = {1, 2, 3, 4} , 
H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5 I = {5, 10, 15, 20} 
J = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

6 K = {a, b, c} , L = { a, b, d, e, f} 

7 M = {1, 2, 3, 4, 6} , N ={1, 2, 3, 4, 5} 

8 O = { } , P = { 1, 2, 3} 

9 Q = {a, b, c, d}, R = { a, b, c, e, f, g} 

10 S = {1, 2, 3} , T = {1, 2, 3} 

ขยนั คิด ขยนั อ่าน
ขยนั ฝึกหัด เก่งแนน่ อนจ้า

28

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2

คำสงั่ ใหน้ ักเรียนเขยี นสบั เซตท้ังหมดของเซตที่กำหนดได้ดงั น้ี

 A=
สบั เซตของ A คอื 

 B = 2
สบั เซตของ B คือ 2, 

 C = 2, 3
สบั เซตของ C คือ 2, 3,2, 3, 

 D = 2, 3, 4
สบั เซตของ D คือ2, 3,4,2, 3, 2, 4, 3, 4,2, 3, 4,

 E = 2, 3, 4, 5
สับเซตของ F คือ 2, 3,4, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5,
3, 4,3, 5, 4, 5, 2, 3, 4,2, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 5,
2, 3, 4, 5, 

ยินดแี ละช่นื ชมคนเก่งทุกคนค่ะ

29

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

 F = 

สับเซตคอื , 
 G = , {}

สับเซตคือ , {}, , {}, 
 H = , 1, {1}

สับเซตคอื , , 1, {1} , , 1, , {1}, 1, {1},

, 1, {1}
 I = 1, {1}, {{1}}

สบั เซตคอื 1, {1}, {{1}}, 1, {1}, 1, {{1}}, {1}, {{1}},

1, {1}, {{1}}, 
 J = , 0, {, 0}

สบั เซตคอื , 0, {, 0}, , 0, , {, 0},

0, {, 0}, , 0, {, 0}, 

ตรวจสอบแลว้ ยังไม่เข้าใจ
ก็กลบั ไปศึกษาอีกครัง้ จ้า

30

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

เฉลยแบบฝึ กทักษะท่ี 3.3

คำสงั่ กำหนดให้ A = 2, 4, 6, 8 จงหาส่ิงต่อไปน้ี

กำหนดให้ A = 2, 4, 6, 8
เขยี นสับเซตของ A ทั้งหมดได้ดังน้ี

2, 4, 6, 8, 2, 4, 2, 6,
2, 8, 4, 6, 4, 8, 6, 8, 2, 4, 6
2, 4, 8, 2, 6, 8, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, 

 จำนวนสับเซตของ A
ตอบ 16 เซต

 จำนวนสบั เซตแทข้ อง A
ตอบ 15 เซต

 จำนวนสับเซตไม่แทข้ อง A
ตอบ 1 เซต

 จำนวนสบั เซตแทข้ อง A ท่ีไม่ใช่เซตว่าง
ตอบ 14 เซต

 จำนวนสับเซตของ A ทม่ี ีสมาชิก 1 ตัว
ตอบ 4 เซต

31

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

 จำนวนสบั เซตของ A ทมี่ ีสมาชิก 2 ตวั
ตอบ 6 เซต

 จำนวนสบั เซตของ A ทมี่ สี มาชิก 3 ตวั
ตอบ 4 เซต

 จำนวนสบั เซตของ A ที่มสี มาชิก 4 ตวั
ตอบ 1 เซต

 จำนวนสบั เซตของ A ทีม่ ีสมาชกิ 0 ตวั
ตอบ 1 เซต

 เซตทีเ่ ปน็ สับเซตไมแ่ ทข้ อง A คือ

ตอบ 2, 4, 6, 8

ตรวจสอบเพอ่ื ความเขา้ ใจจ้า

32

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3.4

คำส่ัง 1. กำหนด A, B และ C เปน็ เซต จงพจิ ารณาวา่ ข้อตอ่ ไปนี้ถูกหรอื ผดิ
โดยทำเครอ่ื งหมาย หรือ  หนา้ ข้อนัน้

 1.   P(A)
 2.   P(A)
 3. {}  P(A)
 4. {} P(A)
 5. AP(A)
 6. {A} P(A)
 7. {A} P(A)
 8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) กจ็ ะเปน็ เซตอนันต์ด้วย
 9. ถา้ AB แล้วจะได้ P(A)  P(B)
 10. ถ้า AP(B) แล้วจะได้ A  B

ยนิ ดีและช่ืนชมคนเก่งทุกคนค่ะ

33

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำสั่ง 2. ใหน้ กั เรียนบอกจำนวนสมาชิกของ P(A) เมอ่ื กำหนดเซต A ดงั ต่อไปนี้

เซต จำนวนสมาชิกของ P(A)

1. A = {1, 2}, {3} เพราะวา่ n(A) = 2
 n(P(A)) = 22
2. A =  =4

3. A =  เพราะวา่ n(A) = 1
 n(P(A)) = 21
4. A = 2, 3, {2, 3} , 4 =2
5. A = {1}, {1, 2}
6. A = {1}, {2},  เพราะว่า n(A) = 0
7. A = , 1, {1}, {2}
8. A = a, 1, b, 2, c, 3 n(P(A)) = 20
9. A =  2, {4, 5}, 4 =1

10. A = , {} n(P(A)) = 24
11. A = 1234 = 16

n(P(A)) = 22
=4

n(P(A)) = 23
=8

n(P(A)) = 24
= 16

n(P(A)) = 26
= 64

n(P(A)) = 23
=8

n(P(A)) = 22
=4

n(P(A)) = 21
=2

34

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.5

คำสงั่ ให้นักเรยี นหาเพาเวอร์เซตจาก เซตที่กำหนดให้ได้ดงั น้ี

A=
ตอบ P(A) = 

 A = a
ตอบ P(A) = {a}, 

 A = a, b
ตอบ P(A) = {a}, {b}, {a, b},  

 A = a, b, 
ตอบ P(A) = {a}, {b}, {}, {a, b}, {a, }, {b, }, {a, b, },  

 A = , {}
ตอบ P(A) = {}, {{}}, {, {}},  

ดเู ฉลยแล้ว...
ถกู หมดเลยใช่ไหมดทู ่าทาง
มีความสขุ นะคะ...

35

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต

 A = 2, {4, 6}

ตอบ P(A) = {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6},  

 A = xx  I และ 1  x  4 
ตอบ จะได้ x = 1, 2, 3

ดังนัน้ P(A) = {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},  

 A = xx2 +2x-3 = 0 
ตอบ จะได้ x2 + 2x - 3 = 0
(x + 3)(x - 1) = 0
x = 1, -3

นัน่ คอื A = -3, 1

ดงั นนั้ P(A) = {1}, {-3}, {1, -3}, 

 ถา้ P(A) = {0},  จงหา A
ตอบ เนอ่ื งจาก n(P(A)) = 2n
และ P(A) มีสมาชกิ 2 ตวั แสดงว่า เกดิ จาก 21
น่ันคอื A จะตอ้ งมีสมาชกิ 1 ตวั และเซตว่างเป็นสบั เซตของทุก

เซต

ดงั นัน้ A = 0

 ถา้ P(A) = {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, 
ตอบ จากแนวคดิ ข้อ 9 จะได้

A = 3, 5, 7

ยนิ ดีและช่ืนชมคนเก่งทกุ คนจ้า

36

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3

เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์
เซต

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น แบบทดสอบหลังเรยี น
1ง ค
2ง ง
3ค ง
4ค ก
5ง ก
6ก ค
7ค ก
8ก ค
9ค ง
10 ก ค

ถูกมากขึ้นกวา่ เดมิ ไหมคะ…
ขอปรบมือให้สำหรบั คนเก่งท่ีถกู ทุกข้อค่ะ

พบกนั ใหม่ในแบบฝึกทักษะเลม่ ต่อไป

37

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

คำนำ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต วชิ าคณิตศาสตร์ (ค 31101) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4
จดั ทำข้นึ เพอื่ ยกระดบั ผลสัมฤทธ์ทิ างการเรยี น ในภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560 โดยจัดทำขึน้
ท้ังหมด 7 เลม่ เลม่ นค้ี ือเล่มท่ี 3 เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ สบั เซตและเพาเวอร์เซต แบบฝึกทกั ษะเลม่ น้ี
เปน็ แบบฝกึ ทักษะทน่ี ักเรยี นสามารถเรียนรูไ้ ด้ด้วยตนเอง มีสาระสำคัญ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ของแต่
ละแบบฝึกทักษะ สาระการเรียนร้มู ีตวั อย่างแสดงใหผ้ เู้ รยี นได้ศกึ ษาก่อน เมอ่ื เขา้ ใจแลว้ จงึ ทำแบบฝกึ
ทกั ษะ มเี ฉลยเพือ่ ให้นกั เรียนได้ตรวจสอบคำตอบ

ในการสร้างแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต
ประกอบด้วยคำชแ้ี จง ในการใช้แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบกอ่ นเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ
ภาคผนวก เฉลยแบบฝกึ ทักษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน-หลงั เรยี น

หวงั เปน็ อยา่ งยง่ิ ว่าแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเปน็ สว่ นหนึ่งของเคร่ืองมือ
ท่ีจะช่วยใหผ้ เู้ รยี นเกิดการเรียนรู้อย่างสมบรู ณ์ มีประสิทธภิ าพ เอื้อประโยชนแ์ ก่ผเู้ รียน
ครูผ้สู อน ทม่ี คี วามสนใจตามสมควร

นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

38

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สารบัญ

เร่อื ง หน้า

คำชี้แจง 1
คำชแี้ จงการใชแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สำหรบั นักเรียน 3
สาระ/มาตรฐาน/ตวั ชวี้ ัด/จุดประสงค์การเรียนรู้ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน 5
สาระการเรียนรู้
9
ใบความรทู้ ่ี 3.1 15
แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1 16
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.2 17
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.3 18
ใบความรทู้ ่ี 3.2 20
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.4 22
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.5 23
แบบทดสอบหลังเรียน 27
บรรณานกุ รม

39

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง เอกภพสัมพัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

สารบัญ(ต่อ) หน้า

เร่อื ง 28
29
ภาคผนวก 30
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1 32
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3.2 34
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3.3 35
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3.4 38
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3.5 39
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน 41
แบบทดสอบเพ่มิ เติมเสรมิ ทักษะ
เฉลยแบบทดสอบเพ่ิมเติมเสริมทักษะ

40

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

แบบทดสอบเพ่ิมเตมิ เสริมทักษะ
เลม่ ที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

1. คำชี้แจง ให้นกั เรียนเติมคำตอบลงในช่องวา่ งแต่ละขอ้ ต่อไปนใี้ ห้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

ข้อที่ เซตทีก่ ำหนดให้ สับเซตท้ังหมดของเซตที่กำหนดให้ จำนวนสบั เซตทงั้ หมดของเซตที่
กำหนดให้
1.1 A = { }
1.2 A = {2}
1.3 A = {2, 3}
1.4 A = {2, 3, 4}

2. จงกาเคร่ืองหมาย / หนา้ ขอ้ ท่ีเห็นว่าถูก และกาเครอ่ื งหมาย  หน้าข้อท่ีเหน็ ว่าผดิ

…………. 2.1 ถา้ A  B แลว้ B  A

…………..2.2 ถ้า A  B และ a  A แลว้ a  B

…………..2.3 ถ้า A  B และ B = C แลว้ A  C

…………..2.4 กำหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5}  A
………….2.5 ถา้ A = {1, 3} แล้ว จำนวนสับเซตของ A เทา่ กับ 4 เซต

…………..2.6 ถ้า A = {a, b, c} แลว้   A
3. คำชแี้ จง จงเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ให้ถกู ต้องสมบูรณ์

1. กำหนด A = {6} จะได้ P(A) = ………………………………………………..
2. กำหนด A = {7, 5} จะได้ P(A) = ………………………………………………
3. กำหนด B = {6, 7, 9} จะได้ P(B) = ……………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. ถ้า A = {2} จงหา P(P(A))
P(P(A)) = …………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
5. ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก 6 ตัวแลว้ P(A) จะมีสมาชกิ ………………. ตวั

41

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรือ่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต

เฉลยแบบทดสอบเพิม่ เตมิ เสรมิ ทกั ษะ
เล่มที่ 3 เรอื่ ง เอกภพสมั พัทธ์ สับเซตและเพาเวอร์เซต

1. คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเตมิ คำตอบลงในชอ่ งว่างแตล่ ะข้อต่อไปนี้ให้ถูกตอ้ งสมบูรณ์

ขอ้ ท่ี สบั เซตทั้งหมดของเซตท่ีกำหนดให้ จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซตทกี่ ำหนดให้
1.1 { } 1
1.2 {2},  2
1.3 {2}, {3}, {2, 3}, 
1.4 {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, 4

{2, 3, 4},  8

2. จงกาเคร่ืองหมาย / หน้าขอ้ ที่เหน็ วา่ ถกู และกาเครือ่ งหมาย  หนา้ ข้อท่เี หน็ วา่ ผดิ

 2.1
/ 2.2
/ 2.3

 2.4
/ 2.5
/ 2.6
3. คำชแี้ จง จงเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนีใ้ ห้ถกู ต้องสมบูรณ์

1. P(A) = {{a}, }

2. P(A) = {{7}, {8}, {7, 8}, }

3. P(B) = {{6}, {7}, {9}, {6, 7}, {6, 9}, {7, 9}, {6, 7, 9}, }

4. P(P(A)) = {{{2}}, {}, {{{2}}, }, }
5. 64

42

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง เอกภพสัมพัทธ์ สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต