แบบฝึกทักษะเล่มที่-2-แฟกทอเรียล การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

แฟกทอเรียล
เรื่อง การเรียงสับเปลย่ี น

และการจดั หมู่ - 0 -

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบอ้ื งตน้ และความน่าจะเปน็ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 -1-
โดยการจดั การเรียนรูแ้ บบ 5E+3T สรา้ งข้ึนเพื่อเป็นการเสริมสร้างและพฒั นาการเรยี นรูข้ องนกั เรยี น
โดยเนน้ ผูเ้ รยี นเป็นสาคญั เปดิ โอกาสให้นักเรียนไดแ้ สวงหาความรดู้ ว้ ยตนเอง ใช้ทกั ษะต่าง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุ่งพัฒนาผลสมั ฤทธิแ์ ละสมรรถภาพการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรข์ องนกั เรียน ให้สอดคล้องกบั
สาระและมาตรฐานการเรยี นรูท้ ก่ี าหนดไว้ ท้งั นี้ ได้นาสถานการณ์ในชวี ิตประจาวนั ทน่ี ักเรียนเคยพบมาแลว้
มาเชอ่ื มโยงกบั ความรู้ใหมเ่ พ่ือให้นกั เรยี นไดเ้ รียนรู้ไดง้ า่ ยและตอ่ เนอื่ งกัน ท้ังส่งเสรมิ ให้นักเรยี นไดศ้ ึกษา
หาความรู้และสรปุ องคค์ วามรดู้ ว้ ยตนเอง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบื้องตน้ และความนา่ จะเป็น ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 4
ประกอบดว้ ย แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรท์ ง้ั หมด 4 เล่ม ดังน้ี

เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ียวกับการนับ
เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสับเปล่ยี น และการจดั หมู่
เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง การทดลองสมุ่ ปริภูมิตัวอย่าง และเหตกุ ารณ์
เล่มท่ี 4 เร่อื ง ความน่าจะเปน็
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 นี้
ประกอบด้วย สาระ มาตรฐานตัวชวี้ ัด สาระสาคญั ใบความรู้ เนอ้ื หา แบบฝกึ หัด แบบทดสอบหลงั เรยี น
และการจดั การเรยี นรูท้ มี่ งุ่ พัฒนาทกั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ การให้เหตผุ ล การแกป้ ัญหา การนา เสนอ
ความคดิ ทางคณิตศาสตร์ และยังสง่ เสรมิ การเรียนรูด้ ว้ ยวธิ ีการทหี่ ลากหลาย เพอ่ื พฒั นาคุณภาพผู้เรียน
ตามศกั ยภาพ เนน้ ผูเ้ รียนเปน็ สาคญั
ผูจ้ ดั ทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอื้ งต้นและความนา่ จะเป็น
ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ท่ีได้จดั ทาขน้ึ นี้ จะเป็นประโยชนต์ ่อครูและนกั เรยี นในการพัฒนาการจัดกิจกรรม
การเรียนรูใ้ หม้ ีประสทิ ธิภาพบรรลตุ ามวัตถปุ ระสงค์ทต่ี งั้ ไว้

พรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

สารบัญ ห นา้
เร่อื ง

คานา.........................................................................................ผิดพลาด! ไมไ่ ดก้ าหนดทค่ี น่ั หนา้ -2-
สารบัญ ...........................................................................................................................- 2 -
คาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น

ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 สาหรบั ครู …………………………………………………………………- 3 -
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบอื้ งตน้ และความน่าจะเป็น

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 สาหรบั นักเรยี น ……………………………………………………….…- 4 –
แผนผงั ข้นั ตอนในการเรียนรูด้ ้วย แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนับเบอ้ื งตน้

และความนา่ จะเป็น ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 ………………………………………………….…- 5 –
เนื้อหา/สาระการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสาคญั และเวลา

เรือ่ ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสบั เปลยี่ น และการจัดหมู่ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 …………..…- 6 –
ใบความรูท้ ่ี 1 เรื่อง แฟกทอเรียล……..………………………………………….…………………….…….- 8 –
แบบฝกึ หดั ที่ 1 เร่อื ง แฟกทอเรยี ล……..…………………………………………………………………….- 11 –
ใบความรู้ที่ 2 เรือ่ ง หลกั การเรียงสบั เปลยี่ นเชิงเส้นของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกนั ทงั้ หมด………….….…...- 13 –
แบบฝกึ หัดท่ี 2 เรอ่ื ง หลักการเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด……………..…- 16 –
ใบความรูท้ ี่ 3 เรอ่ื ง หลักการเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้นของสง่ิ ของท่แี ตกตา่ งกันท้งั หมด 2……..……..…- 18 –
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 เร่อื ง หลกั การเรียงสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ ของสิง่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมด 2……….……- 21 –
ใบความรู้ที่ 4 เรื่อง หลกั การจดั หมู่ของสง่ิ ของทแี่ ตกตา่ งกันทง้ั หมด………………………………….…- 23 –
แบบฝกึ หดั ที่ 4 เรื่อง หลกั การจดั หมขู่ องสง่ิ ของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทัง้ หมด………………………………...…- 26 –
ใบความรู้ที่ 5 เร่ือง หลักการจดั หมู่ของสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกันทงั้ หมด 2..……………………………….- 29 –
แบบฝึกหดั ท่ี 5 เร่อื ง หลักการจัดหมขู่ องสงิ่ ของทแ่ี ตกต่างกนั ทง้ั หมด 2…...……………………….…- 32 –
แบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 ........................................................– 34 -
บรรณานกุ รม…………………………………………………………………………………………………..- 38 -

การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 -3-
ครูผูส้ อนเป็นผู้ทมี่ บี ทบาทสาคญั ทจ่ี ะช่วยใหก้ ารดาเนินการเรียนรูข้ องนกั เรียนบรรลตุ ามวัตถปุ ระสงค์ ครูผู้สอน
จงึ ควรศกึ ษารายละเอียดเก่ียวกบั การปฏบิ ตั ติ นกอ่ นทจี่ ะใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ดังนี้

1. ครูต้องศึกษาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปีที่ 4 และอ่านเนือ้ หาสาระอยา่ งละเอยี ดรอบคอบ พรอ้ มท้งั ทาความเข้าใจเนื้อหาก่อนการใช้งาน

2. ครูเตรยี มแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ให้ครบถว้ นและเพียงพอต่อจานวนนกั เรยี น
3. ครูเตรียมเคร่ืองมอื วดั ผลประเมนิ ผล เพ่อื ทราบความกา้ วหนา้ ของนักเรียน
4. ครูช้แี จงให้นักเรียนทราบเกยี่ วกบั ขั้นตอนและวิธกี ารสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรอ์ ยา่ งชดั เจน
และประโยชนท์ ่ีจะไดร้ ับจากการเรยี นรูโ้ ดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
5. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบบทบาทของนกั เรียน โดยเน้นยา้ ความซือ่ สัตย์ การมีวนิ ัย ใฝเ่ รยี นรู้
การแสดงความคดิ เหน็
6. ครูจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ให้แกน่ กั เรยี น โดยใหค้ าแนะนา ดูแล เสนอแนะ และเสริมแรง
ตามแนวทางของแผนการจดั การเรียนรู้
7. ครูสงั เกตความรว่ มมอื และความตั้งใจในการเรียนรู้ การทากิจกรรมเป็นรายบคุ คลและการทา
กิจกรรมกลมุ่ รว่ มกบั ผอู้ นื่
8. ครูร่วมสรุปบทเรยี นกบั นกั เรยี นเพ่อื เป็นการยา้ ความเขา้ ใจของนักเรยี นในทกุ กิจกรรม
9. ให้นกั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียนเพ่ือวดั ความรขู้ องนักเรียน และประเมินผลการเรยี นรู้ของ
นกั เรยี นอย่างตอ่ เน่อื งหลงั จบการเรยี นรู้ในแตล่ ะแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์

1. นักเรยี นศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเปน็ -4-
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ให้เขา้ ใจก่อนลงมอื ศกึ ษาเรียนรู้หรือทากิจกรรมทกุ ครงั้

2. นักเรยี นศกึ ษาสาระ มาตรฐานตัวชว้ี ดั จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ และสาระสาคัญ ในแบบฝึกทักษะ
คณติ ศาสตร์ทง้ั หมดอยา่ งละเอยี ด หากมขี อ้ สงสยั หรือมคี าถาม ใหป้ รึกษาครูผูส้ อน

3. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอยา่ ง และทาแบบฝกึ หดั ด้วยความตั้งใจม่งุ มน่ั จนเกิดความรู้ ความเขา้ ใจและ
ทกั ษะการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

4. ในการเรยี นรู้ นักเรยี นควรมกี ารวางแผนการทากจิ กรรม กรณเี ปน็ รายกล่มุ ควรมีการแบง่ หน้าที่
และรว่ มกันปฏิบตั ิกิจกรรม

5. ในการปฏบิ ัตกิ ิจกรรมการเรียนรู้ นักเรยี นควรปฏบิ ัตงิ านใหท้ นั กบั เวลาทก่ี าหนด
6. นกั เรียนควรมคี วามรว่ มมอื ร่วมใจ มคี วามสามัคคี ร่วมกนั แสดงความคดิ เหน็ และยอมรับ
เสยี งส่วนใหญใ่ นการปฏบิ ัตกิ ิจกรรมกลมุ่
7. หากนักเรียนมีปัญหาหรือไมเ่ ข้าใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนไดต้ ลอดเวลา
8. ขัน้ ตอนสดุ ทา้ ยของการเรยี นรู้ด้วยแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบอื้ งตน้ และ
ความน่าจะเป็น ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 นกั เรยี นต้องทาแบบทดสอบหลงั เรยี นประจาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

นักเรยี นศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ สาหรบั นักเรียน -5-

ศึกษาสาระ มาตรฐานตวั ชว้ี ัด จุดประสงค์การเรียนรู้ และสาระสาคญั

ดาเนนิ การศึกษาเน้อื หาสาระการเรียนรู้ โดยปฏบิ ัติกิจกรรม
- ศกึ ษาเนื้อหา ใบความรู้ ตัวอย่าง
- ทาแบบฝกึ หดั
- ตรวจแบบฝึกหัด/ตรวจสอบดูเฉลย
ไม่ผา่ น 80%

ทาแบบทดสอบหลงั เรยี น/ตรวจสอบดูเฉลย
ผา่ น 80%

ศึกษาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เลม่ ต่อไป

เร่อื ง แฟกทอเรยี ล วธิ เี รียงสับเปลยี่ น และวธิ กี ารจัดหมู่

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตัวชวี้ ดั

สาระที่ 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลกั การนบั เบอ้ื งต้น ความน่าจะเป็น และนาไปใช้

ตวั ชวี้ ดั

ค 3.2 ตวั ชวี้ ัด ม.4/1 เข้าใจและใช้หลกั การบวกและการคณู การเรยี งสบั เปลี่ยน และการจดั หมู่

ในการแก้ปญั หา

เนอื้ หา/สาระการเรยี นรู้ -6-

- แฟกทอเรยี ล

- วิธกี ารเรยี งสับเปลยี่ น

- วธิ ีการจัดหมู่

สาระสาคญั

เมอ่ื n เป็นจานวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n หมายถงึ ผลคูณของจานวนเตม็ บวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n เขียน

แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ n! อา่ นวา่ แฟกทอเรียลเอ็น หรอื เอ็นแฟกทอเรียลเตม็ บวกใดหรอื ศูนย์

วิธกี ารเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้น คือ วิธีจัดเรียงสิ่งของซง่ึ อาจนามาเพยี งบางสว่ นหรือนามาเรียงทง้ั หมด

โดยคานึงถงึ ลาดบั หรือตาแหน่งของสิง่ มชี วี ิตแตล่ ะส่ิงเปน็ สาคัญ

วิธกี ารจัดหมู่ (Combination) หมายถงึ การนาส่ิงของทีม่ คี วามแตกตา่ งกนั ท้ังหมดหรอื เพียงบางสว่ น

มาจดั หมู่ โดยไม่ถือตาแหนง่ หรอื ลาดบั ก่อนหลงั เปน็ สาคญั จานวนวิธจี ัดหมู่ของส่งิ ของ n สง่ิ ซง่ึ แตกต่างกนั ทง้ั หมด

ใหม้ ีหมูล่ ะ r สิง่ Cn,r= (n n! โดยท่ี r≤n
-r)!r!

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ -7-
ด้านความรู้ (K)

1.นกั เรียนหาคาตอบของแฟกทอเรยี ลได้
2.นกั เรียนนักเรยี นสามารถแก้ปัญหาเก่ียวกับวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ ได้
3.นักเรียนสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับวธิ จี ดั หมไู่ ด้
ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ(P)
1. นกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหาโดยใช้แฟกทอเรยี ลได้
2. นกั เรยี นสามารถใหเ้ หตผุ ลในการแก้ปญั หาได้
ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค(์ A)
1. ความสนใจกระตือรือร้น
2. ความรับผดิ ชอบ
3. มีวนิ ยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา
4. ความใฝร่ ูใ้ ฝ่เรยี น
5. การยอมรบั ฟงั ผอู้ ่นื

แฟกทอเรียล (Factorial)

บทนยิ าม

ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก แลว้ ผลคูณของจานวนเตม็ บวกตง้ั แต่ 1 ถึง n ดังนี้
1 x 2 x 3 x … x n เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ n! อ่านวา่ แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอน็ แฟกทอเรียล

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนจานวนต่อไปน้ีในรูปของการคูณ และหาคาตอบ -8-
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปนีใ้ นรูปของแฟกทอเรียล = 3!
3x2x1 = 6!
6x5x4x3x2x1 = 9!
9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 4!
4x3x2x1 = 7!
7x6x5x4x3x2x1

ตวั อยา่ งที่ 3 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ยูใ่ นรูปไมม่ แี ฟกทอเรยี ล

1. n
(n - 2)

วธิ ีทา n = nx n-1 x n-2
(n - 2) (n - 2)

= n x (n - 1)

2. n1
(n - 3)

วิธีทา n1 = n 1 xnx n-1 x n-2 x n-3
(n - 3) (n - 3)
-9-
= (n + 1) x n x (n – 1) x (n – 2)

3. 13
11

วิธีทา 13 = 13 x 12 x 11
11 11
=
= 13 x 12

156

4. 21
18

วธิ ีทา 21 = 21 x 2 x 19 x 18
18 18

= 21 x 20 x 19

= 7,980

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาค่า n จากสมการ (n n 2) = 132
-

วธิ ีทา n = 132
(n - 2)

nx n-1 x n-2 = 132
(n - 2)

n x (n - 1) = 132
n2 – n = 132
n2 – n – 132
=0

(n - 12)(n + 11) = 0

n = -11 , 12 - 10 -

เน่อื งจากบทนิยาม n เป็นจานวนเตม็ บวก ดงั นน้ั คา่ n = 12 เพราะ 12 เปน็ จานวนเต็มบวก

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาคา่ n จากสมการ n - 1 = 56
(n 1)

วธิ ีทา n1 = 56
(n - 1)

n 1 xnx n-1 = 56
(n - 1)

(n + 1) x n = 56
n2 + n
n2 + n – 56 = 56

=0

(n - 7)(n + 8) =0

n = -8 , 7

เนอื่ งจากบทนิยาม n เป็นจานวนเต็มบวก ดังนน้ั ค่า n = 7 เพราะ 7 เป็นจานวนเต็มบวก

คาชแี้ จง จงแสดงวธิ ที าให้ถกู ต้อง - 11 -

ข้อที่ 1 จงเขียนจานวนตอ่ ไปน้ใี นรูปของการคูณ และหาคาตอบ
1.1 9!
เขียนในรูปของการคูณ ………………………………………………………………………
คาตอบ ………………………………………………………………………………………...
1.2 10!
เขยี นในรูปของการคูณ ………………………………………………………………………
คาตอบ ………………………………………………………………………………………...
1.3 6!
เขียนในรูปของการคูณ ………………………………………………………………………
คาตอบ ………………………………………………………………………………………...
1.4 13!
เขยี นในรูปของการคูณ ………………………………………………………………………
คาตอบ ………………………………………………………………………………………...

ขอ้ ท่ี 2 จงเขยี น n3 ใหอ้ ยูใ่ นรูปไม่มีแฟกทอเรยี ล
n

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ท่ี 3 จงหาค่า n จากสมการ n - 1 = 110
(n 1)

……………………………………………………………………………………………………………………………… - 12 -
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

การเรยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เส้นของสิ่งของท่ีแตกตา่ งกันทง้ั หมด - 13 -

ถา้ ต้องการนาส่ิงของท่ีแตกตา่ งกัน n ช้ิน มาเรียงสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ สามารถหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน
ทั้งหมดโดยใชห้ ลักการคูณ ดังน้ี

ขั้นตอนที่ 1 ตาแหน่งท่ี 1 มวี ธิ เี ลอื กสิ่งของมาวางได้ n วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 ตาแหนง่ ท่ี 2 แตล่ ะวธิ ีที่วางสงิ่ ของในตาแหน่งที่ 1

มีวธิ ีเลือกสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ท่ี 2 ได้ n - 1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 ตาแหน่งท่ี 3 แตล่ ะวธิ ที ี่วางส่ิงของในตาแหนง่ ท่ี 1 และ 2

มีวธิ ีเลอื กส่ิงของมาวางในตาแหน่งที่ 3 ได้ n - 2 วิธี
.
.
.

ขนั้ ตอนที่ n ตาแหน่งที่ n แตล่ ะวธิ ที ่ีวางสงิ่ ของในตาแหนง่ ท่ี 1 ถึง n - 1
มีวธิ ีเลอื กสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ที่ n ได้ 1 วธิ ี

ดังนนั้ จานวนวธิ ใี นการนาสง่ิ ของท่แี ตกต่างกนั ท้ังหมด n ช้นิ มาเรยี งสับเปลี่ยนเชงิ เส้น เท่ากับ
n ĭ (n - 1) ĭ (n - 2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = n! วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 1 สมมตวิ ่า กิง่ กาญจน์ และแก้ว ยืนเป็นแถวหน้ากระดานเพอ่ื ถา่ ยรูปดว้ ยกันทงั้ สามคน
จะมีวิธีจดั แถวเพือ่ ถ่ายรูปไดท้ ั้งหมดกี่วธิ ี

วิธที า

กิ่ง กาญจน์ แก้ว

ตาแหน่งที่ 1 ตาแหนง่ ที่ 2 ตาแหน่งท่ี 3
จากโจทยก์ ารเข้าแถวหนา้ กระดาน เปน็ การเรียงคน 3 คน เป็นแนวเสน้ ตรง

ดงั น้นั จะมวี ิธจี ดั แถวเพ่อื ถ่ายรูปทั้งหมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 2 ร้านคา้ ต้องการนากระเป๋ารุ่นใหมท่ แี่ ตกตา่ งกนั 4 ใบ วางโชว์หนา้ รา้ น โดยวางเรยี งกันในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจดั วางกระเป๋าได้ทงั้ หมดกว่ี ธิ ี

วิธที า

ตาแหนง่ ท่ี 1 ตาแหนง่ ที่ 2 ตาแหนง่ ที่ 3 ตาแหนง่ ท่ี 4
จากโจทย์การนากระเปา๋ มาวางโชวห์ นา้ ร้าน ซงึ่ เปน็ การวางเรียงในแนวเสน้ ตรง
ดงั น้นั จะสามารถวางเรียงกระเปา๋ ได้ทง้ั หมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 24 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 3 ต้องการจดั คน 4 คนซึ่งมีผูช้ าย 1 คน และมีผู้หญิง 3 คน นัง่ เก้าอ้ี 4 ท่ีนง่ั จะมีวธิ กี ารนง่ั เก้าอี้
ได้ท้งั หมดก่ีวธิ ี ถ้าผูช้ ายตอ้ งน่ังเก้าอีต้ ัวที่ 1 เท่าน้นั

วธิ ีทา ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กผูช้ าย 1 คนมานง่ั เกา้ อตี้ ัวท่ี 1
ขัน้ ตอนท่ี 2 นาคนที่เหลอื อยู่ไปเรียง

- 14 -

ดังนนั้ จะมวี ิธีจัดคน 4 คน นัง่ เก้าอ้ี 4 ท่นี ัง่ ได้ 1 ĭ 3! = 1 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ภูมีกระเปา๋ 5 ใบ สีดา 2 ใบ และแดง 3 ใบ เขาต้องการนากระเปา๋ ไปวางเรียงในตูโ้ ดยท่ี
ตาแหน่งแรกเขาตอ้ งการวางกระเป๋าสแี ดงเทา่ นน้ั ภูจะสามารถนากระเป๋าไปวางเรียงบนตูไ้ ด้ก่วี ิธี

วิธีทา ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กกระเป๋าสแี ดง 1 ใบมาวางตาแหน่งท่ี 1
ข้ันตอนท่ี 2 นากระเปา๋ ทเี่ หลอื ไปเรียง

ดงั น้ัน จะมีวิธีนากระเป๋าไปเรียงบนตู้ได้ 3 ĭ 4! = 3 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 72 วธิ ี

- 15 -

คาชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคาถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรูเ้ รือ่ ง หลกั การเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ เส้นของสิ่งของ - 16 -
ท่แี ตกตา่ งกันท้งั หมด

ข้อท่ี 1 นารนิ นารูปภาพทีแ่ ตกต่างกัน 5 รูป มาจัดแสดงโดยเรียงตอ่ กนั ในแนวเสน้ ตรง จะมีวธิ ีจัดแสดงรูปภาพ
ได้ท้งั หมดก่วี ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอ้ ที่ 2 ศรสี ดุ าตอ้ งการนารองเทา้ 10 คู่ไปวางเรียงบนช้นั วางรองเทา้ โดยท่ศี รสี ุดามีรองเท้าแตะ 4 คู่
รองเท้าผ้าใบ 6 คู่ ถา้ ศรสี ุดาตอ้ งการให้รองเทา้ ผา้ ใบวางในตาแหนง่ ที่ 1 แลว้ ศรสี ุดาจะสามารถเรียง
รองเทา้ ได้ทง้ั หมดกีว่ ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอ้ ที่ 3 ยวุ ดซี ้ือหนังสือมา 6 เล่ม เปน็ หนังสือนวนิยาย 2 เล่ม หนงั สอื ภาษาอังกฤษ 2 เล่ม และหนังสอื - 17 -
วทิ ยาศาสตร์ 2 เล่ม ยุวดจี ะสามารถนาหนงั สอื ไปเรียงบนชนั้ หนังสอื ชั้นหนึ่งไดก้ ่วี ิธี ถ้าตาแหนง่ ที่ 3
ตอ้ งเป็นหนังสือภาษาอังกฤษเทา่ น้ัน

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

จานวนวธิ ีในการนาสง่ิ ของ r ช้นิ จากสงิ่ ของท่แี ตกต่างกนั n ชน้ิ มาเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น คอื

Pn, r = n! วิธี
(n -r)!

ตวั อยา่ งท่ี 1 รา้ นคา้ แหง่ หน่งึ มรี องเทา้ ทง้ั หมด 5 แบบ ตอ้ งการนารองเท้า 3 แบบ มาจดั แสดงหน้ารา้ น
เป็นแนวเสน้ ตรงจะจัดได้ทงั้ หมดกแ่ี บบ

วธิ ีทา

จากโจทย์ มีรองเท้าท้ังหมด 5 คู่ นน่ั คอื n = 5 และต้องการนาไปจัดแสดง 3 คู่ นั่นคือ r = 3 - 18 -

จากสูตร Pn, r = n!
(n -r)!

แทนค่า P5, 3 = 5!
(5 -3)!

= 5!
2!

= 5 x 4 x 3 x 2!
2!
= 5x4x3

= 60

ดงั นัน้ รา้ นคา้ สามารถนารองเทา้ มาจัดแสดงไดท้ ง้ั หมด 60 แบบ

ตวั อยา่ งท่ี 2 ท่ีป้ายรถประจาทางแหง่ หนึง่ มเี ก้าอ้ี 5 ตัว วางเรยี งกนั เป็นแถวยาว ถ้าคน 6 คน มารอรถที่ปา้ ยนี้
จงหาจานวนวธิ ีการน่งั เก้าอี้ โดยที่เกา้ อแี้ ต่ละตวั จะมคี นนง่ั หนง่ึ คน

วิธีทา

จากโจทย์ มีคนทง้ั หมด 6 คน นน่ั คอื n = 6
และตอ้ งการนามานั่งเก้าอี้ 5 คน นัน่ คือ r = 5

จากสูตร Pn, r = n!
(n -r)!

แทนคา่ P6, 5 = 6! - 19 -
(6 - 5)!

= 6!
1!

= 6x5x4x3x2x1
1

= 720
ดงั นนั้ สามารถนงั่ เกา้ อี้ไดท้ ้ังหมด 720 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 3 รหัสบตั รATM ประกอบดว้ ยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
จานวน 4 ตวั เชน่ 0123 , 2543 , 4809 จงหาจานวนรหัสบตั ร ATM ทั้งหมดทเี่ ป็นไปได้
โดยหา้ มใชเ้ ลขโดดซ้ากนั

วิธที า

จากโจทย์ มเี ลขโดดท้งั หมด 10 ตวั นั่นคือ n = 10

และนามาสรา้ งรหสั บตั ร 4 ตัว นน่ั คือ r = 4

จากสูตร Pn, r = n!
(n -r)!

แทนค่า P1 , 4 = 1!
(1 - 4 !

= 1! - 20 -
6!

= 1 x9x8x7x6
6

= 10 x 9 x 8 x 7

= 5,040
ดงั นัน้ สามารถนาเลขโดดมาสรา้ งรหัสบตั ร ATM ไดท้ ัง้ หมด 5,040 รหัส

คาชแี้ จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคาถามตอ่ ไปน้ี โดยใช้ความรูเ้ ร่อื ง หลักการเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ เส้นของส่งิ ของ - 21 -
ทีแ่ ตกตา่ งกนั ทัง้ หมด

ข้อที่ 1 รา้ นค้าแหง่ หน่งึ มกี ระเป๋าแบบใหม่ 9 แบบ ต้องการนาไปวางหนา้ ร้านเปน็ แนวเสน้ ตรง 4 แบบ จะสามารถ
ทาได้ท้ังหมดกวี่ ธิ ี

วิธที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใี่ ชใ้ นการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ท่ี 2 รหสั บัตรATM ประกอบดว้ ยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จานวน 6 ตวั - 22 -
จงหาจานวนรหสั บตั ร ATM ทั้งหมดทเ่ี ป็นไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ากนั

วิธที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใี่ ชใ้ นการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อท่ี 3 รหสั นกั เรยี น ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จานวน 5 ตัว
จงหาจานวนรหสั ประจาตวั นักเรียนทงั้ หมดทเี่ ปน็ ไปได้ โดยห้ามใช้เลขโดดซา้ กัน

วธิ ที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรท่ใี ช้ในการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจดั หมู่ (Combination) คอื จานวนวธิ เี ลือกกลมุ่ ของส่งิ ของโดยไมพ่ ิจารณาลาดบั ในการเลือกจานวนวิธี

จดั หมูข่ องสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกนั n ชน้ิ โดยเลือกคราวละ r ชนิ้ คอื

Cn, r = n! วิธี
(n - r)!r!

ตัวอยา่ งที่ 1 ในการเลือกตัวแทนนกั เรียน 3 คนจากผู้สมคั ร 5 คน จะมวี ิธีเลือกท้ังหมดกี่วิธี
วธิ ีทา

- 23 -

จากโจทย์ มผี ูส้ มัครทั้งหมด 5 คน นนั่ คือ n = 5 ต้องการเลือกตวั แทนจานวน 3 คน นนั่ คอื r = 3

จะได้วา่ C5, 3 = 5!
(5 - 3)!3!

= 5!
2!3!

= 5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3!

= 5x2

= 10

ดังนน้ั สามารถเลือกตวั แทนนักเรยี นไดท้ ง้ั หมด 10 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 2 มีนักเรียนอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนกั เรยี น 3 คนไปแข่งขันทกั ษะทางคณิตศาสตรจ์ ะทาได้
ท้งั หมดกี่วธิ ี

วธิ ที า

จากโจทย์ มีนักเรียนทง้ั หมด 6 คน นั่นคือ n = 6 และต้องการนักเรียน 3 คน น่นั คือ r = 3

จะไดว้ า่ C6, 3 = 6! = 6!
(6 - 3)!3! 6!3!

= 6 x 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 - 24 -
3 x 2 x 1 x 3!

ดังนนั้ สามารถเลือกนักเรียนไปแขง่ ขันทักษะทางคณติ ศาสตร์ได้ทง้ั หมด 20 วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 3 ถา้ ต้องการเลอื กคณะกรรมการชดุ หน่ึงจานวน 3 คน จากคน 4 คน จะเลอื กไดท้ ัง้ หมดกี่วธิ ี
วธิ ที า

จากโจทย์ มีคนท้ังหมด 4 คน น่นั คือ n = 4 และต้องการเลอื กคณะกรรมการ 3 คน นั่นคือ r = 3

จะไดว้ า่ C4, 3 = 4! = 4!
(4 - 3)!3! 1!3!

= 4 x 3! =4
1 x 3!

ดงั นัน้ สามารถเลอื กคณะกรรมการไดท้ ง้ั หมด 4 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 4 ขอ้ สอบชุดหน่ึงมี 8 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรียนเลอื กทาขอ้ สอบ 5 ขอ้ จงหาจานวนวธิ ีทน่ี กั เรียน
สามารถเลอื กทาขอ้ สอบในคร้งั นี้

วธิ ที า

จากโจทย์ มีข้อสอบทัง้ หมด 8 คน นั่นคอื n = 8 และนกั เรียนเลือกทา 5 ขอ้ น่นั คือ r = 5

จะไดว้ า่ C8, 5 = 8!
(8 - 5)!5!

= 8!
3!5!

= 8x7x6x5 - 25 -
3x2x1x5

= 8x7

= 56

ดงั น้ัน นกั เรยี นสามารถเลือกทาขอ้ สอบไดท้ ง้ั หมด 56 วธิ ี

คาชแ้ี จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคาถามตอ่ ไปนี้ โดยใช้ความรู้เร่อื ง หลกั การจดั หมู่ของสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกันทง้ั หมด

ข้อท่ี 1 มนี ักเรยี นอยู่ 6 คน ต้องการเลอื กนักเรยี น 4 คนไปแข่งขันทักษะทางดา้ นภาษาอังกฤษ จะทาได้ทงั้ หมด - 26 -
กีว่ ิธี

วิธีทา n = ……………………… r = …………………………….
สูตรท่ใี ช้ในการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อที่ 2 ข้อสอบชดุ หน่งึ มี 10 ข้อ โดยในการสอบให้นกั เรยี นเลือกทาขอ้ สอบ 6 ขอ้ จงหาจานวนวิธที น่ี กั เรียน - 27 -
สามารถเลอื กทาขอ้ สอบในครั้งนี้

วิธีทา n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใ่ี ช้ในการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 3 ในงานเล้ยี งแหง่ หน่ึงมคี น 6 คน ถา้ คนสองคนใด ๆ จบั มอื กนั หนึ่งครงั้ จงหาวา่ จะมกี ารจบั มือทงั้ หมดกี่คร้งั - 28 -
วธิ ีทา n = ……………………… r = …………………………….

สูตรที่ใชใ้ นการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจัดหมู่ (Combination) คือจานวนวธิ เี ลอื กกลมุ่ ของส่งิ ของโดยไมพ่ ิจารณาลาดบั ในการเลอื กจานวนวธิ ี

จดั หมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลอื กคราวละ r ชน้ิ คอื

Cn, r = n! วิธี
(n - r)!r!

ตวั อยา่ งที่ 1 ในตะกร้าใบหนงึ่ มแี อปเปิล 8 ผล และมงั คดุ 4 ผล จงหาจานวนวธิ ใี นการเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยิบได้
แอปเปลิ ท้งั 4 ผล

วธิ ที า

จากโจทย์ มแี อปเปิลท้ังหมด 8 ผล นั่นคอื n = 8 และตอ้ งเลือกมา 4 ผล นัน่ คอื r = 4 - 29 -

จะได้วา่ C8, 4 = 8!
(8 - 4)!4!

= 8!
4!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4 x 3 x 2 x 1 x 4!

= 2x7x5

= 70

ดงั นั้น สามารถหยบิ ผลไมใ้ นตะกร้าโดยทห่ี ยบิ ไดแ้ อปเปิลทง้ั 4 ผล 70 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 2 ในตะกรา้ ใบหน่ึงมแี อปเปิล 4 ผล และมงั คุด 4 ผล จงหาจานวนวิธใี นการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล
โดยหยบิ ไดแ้ อปเปิลท้งั 1 ผล และ มังคดุ 3 ผล

วิธีทา

ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกหยบิ แอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล จะได้ว่า n = 4 , r = 1

C4, 1 = 4!
(4 - 1)!1!

= 4!
3!1!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4 - 30 -

ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กหยิบมังคดุ 3 ผล จาก 4 ผล จะได้ว่า n = 4 , r = 3

C4, 3 = 4!
(4 - 3)!3!

= 4!
1!3!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4
ดังน้นั สามารถเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ไดแ้ อปเปิลทง้ั 1 ผล และ มงั คุด 3 ผล ได้ 16 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้าต้องการเลอื กคณะกรรมการนักเรียน 5 คน ซงึ่ ประกอบด้วยนักเรียนชาย 3 คน และนักเรยี น
หญิง 2 คน จากผู้สมัครนักเรยี นชาย 5 คน และนักเรียนหญิง 4 คน จงหาจานวนวิธีในการเลอื ก
คณะกรรมการนกั เรียนชุดนี้

วิธีทา

ขั้นตอนท่ี 1 เลือกคณะกรรมการผู้ชายจานวน 3 คน จาก 5 คน จะได้ว่า n = 5 , r = 3

C5, 3 = 5! = 5!
(5 - 3)!3! 2!3!

= 5 x 4 x 3! = 5x2
2 x 1 x 3!

= 10 - 31 -

ข้นั ตอนท่ี 2 เลอื กคณะกรรมการผหู้ ญงิ จานวน 2 คน จาก 4 คน จะได้ว่า n = 4 , r = 2

C4, 2 = 4! = 4!
(4 - 2)!2! 2!2!

= 4 x 3 x 2! = 2x3
2 x 1 x 2!

=6

ดังนน้ั สามารถเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี นไดท้ งั้ หมด 10 x 6 = 60 วธิ ี

คาชแ้ี จง จงวิเคราะหโ์ จทย์และตอบคาถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรูเ้ ร่อื ง หลักการจัดหมูข่ องสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด - 32 -

ข้อท่ี 1 ถ้าตอ้ งการเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี น 8 คน ซ่งึ ประกอบด้วยนกั เรยี นชาย 3 คน และนกั เรยี น
หญิง 5 คน จาก ผูส้ มคั รนกั เรียนชาย 7 คน และนักเรยี นหญิง 9 คน จงหาจานวนวิธีในการเลือก
คณะกรรมการนักเรยี นชุดน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 2 มีพนักงาน 10 คน ซงึ่ มี a , b และ c รวมอยูด่ ้วย ต้องการเลือกพนักงานทั้งหมด 6 คน - 33 -
เพ่ือเข้าอบรม จะมวี ิธเี ลือกไดก้ ว่ี ธิ ี ถ้าใน 6 คนน้ันตอ้ งมี a , b และ c รวมอยู่ดว้ ยเสมอ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบทดสอบหลงั เรียน
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสับเปลย่ี น และการจดั หมู่

คาชแี้ จง : แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลอื ก ใหน้ กั เรียนเลอื กคาตอบที่ถูกทีส่ ดุ
เพียงข้อเดียวดว้ ยเครอื่ งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาตอบ
**********************************************************************************

1. 4! มีค่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 4
2. 8
3. 12
4. 24
n!
2. (n - 2)! สามารถเขยี นอยูใ่ นรูปไม่มีแฟกทอเรียลไดต้ รงกับข้อใด

1. n
2. n2
3. n(n – 1)
4. n(n + 1) - 34 -

3. กาหนดให้ (n + 1)! = 56 แล้วคา่ ของ n มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้
(n - 1)!

1. -8
2. -7
3. 8
4. 7
4. มีนกั เรยี น 3 คน ตอ้ งการนานักเรยี น 3 คนน้ีไปถา่ ยรูปเป็นแถวหน้ากระดาน จะสามารถจัดแถวเพอ่ื ถ่ายรูป
ไดท้ ัง้ หมดกีว่ ิธี
1. 3 วิธี

2. 6 วิธี
3. 9 วธิ ี
4. 27 วธิ ี

5. พรตอ้ งการนารองเทา้ 5 คูไ่ ปวางเรียงบนช้ันวางรองเทา้ โดยทศี่ รีสดุ ามรี องเท้าแตะ 3 คู่ รองเทา้ ผา้ ใบ 2 คู่ - 35 -
ถ้าพรตอ้ งการให้รองเทา้ ผา้ ใบวางในตาแหนง่ ที่ 1 แลว้ พรจะสามารถเรยี งรองเท้าได้ทง้ั หมดกว่ี ิธี
1. 120 วิธี
2. 48 วธิ ี
3. 24 วิธี
4. 6 วิธี

6. หวานมหี นงั สอื คณติ ศาสตร์ทแ่ี ตกต่างกนั 12 เลม่ ตอ้ งการนาไปเรยี งบนชน้ั หนงั สอื ชั้นหนงึ่ จานวน 3 เล่ม
แลว้ หวานจะสามารถนาหนังสอื คณติ ศาสตรไ์ ปเรียงไดท้ ้ังหมดกีว่ ิธี
1. 1,320 วธิ ี
2. 132 วธิ ี
3. 12 วธิ ี
4. 3 วธิ ี

7. รหัสบัตร ATM ประกอบดว้ ยตวั เลข 0 – 9 จานวน 4 ตวั โดยไม่มีตวั เลขซ้ากนั จงหาวา่ จะสามารถสร้าง
รหัสบัตร ATM ได้ทง้ั หมดกร่ี หสั
1. 5,040 รหสั
2. 210 รหัส
3. 40 รหสั
4. 4 รหัส

8. ในการเลือกตวั แทนนักเรยี น 4 คน จากนกั เรยี นทั้งหมด 10 คน จะสามารถเลอื กตวั แทนนกั เรยี นได้ทง้ั หมด
กีว่ ิธี
1. 14 วธิ ี
2. 40 วธิ ี
3. 210 วธิ ี
4. 5,040 วิธี

9. ขอ้ สอบชุดหนงึ่ มี 10 ข้อ โดยในการสอบให้นักเรียนเลือกทาขอ้ สอบ 3 ขอ้ นกั เรยี นสามารถเลอื กทาข้อสอบ
ในคร้ังนีไ้ ด้ทัง้ หมดกีว่ ธิ ี
1. 30 วธิ ี
2. 120 วธิ ี
3. 720 วิธี
4. 10! วิธี

10. กลอ่ งใบหนงึ่ มลี กู บอลทแ่ี ตกตา่ งกนั 8 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 5 ลูก และลูกบอลสนี ้าเงนิ 3 ลูก ถา้ ตอ้ งการ
หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอ่ งใบนี้ จงหาจานวนวธิ ีการหยิบลูกบอลโดยทีไ่ ด้ลกู บอลหมดทกุ สี
1. 15 วธิ ี
2. 28 วธิ ี
3. 56 วธิ ี
4. 120 วิธี

- 36 -

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรือ่ ง

คาชแี้ จง : ให้นักเรยี นเลือกคาตอบท่ีถกู ทสี่ ุดเพียงขอ้ เดียวด้วยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาตอบ - 37 -

ข้อที่ 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไ่ี ด้

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ :

โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กนกวลี อษุ ณกรกุล และ รณชัย มาเจริญทรัพย์. (2553). แบบฝกึ หัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

พ้ืนฐาน ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 เลม่ 2. กรงุ เทพมหานคร : สานักพิมพเ์ ดอะบคุ ส์.

กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนคิ การเรียนคณิตศาสตร์ : ความน่าจะเป็น กรงุ เทพมหานคร :

สานักพมิ พ์ฟสิ กิ ส์เซน็ เตอร์.

ทินกฤต เรือนสม. (2560). รายงานการพัฒนาแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความน่าจะเปน็ วิชาคณติ ศาสตร์

พ้นื ฐาน สาหรับนกั เรียนชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5.

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร์

เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6 กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง

การศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. - 38 -
. (2554). หนงั สอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 กลมุ่ สาระ

การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551.

กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.