แบบฝึกทักษะเล่มที่-2-แฟกทอเรียล การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

แฟกทอเรียล
เรื่อง การเรียงสับเปลย่ี น

และการจดั หมู่ - 0 -

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบ้ืองตน้ และความน่าจะเป็น ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 -1-
โดยการจดั การเรียนรู้แบบ 5E+3T สรา้ งข้นึ เพื่อเป็นการเสรมิ สร้างและพฒั นาการเรียนรูข้ องนกั เรยี น
โดยเนน้ ผูเ้ รยี นเป็นสาคญั เปิดโอกาสให้นกั เรยี นไดแ้ สวงหาความรดู้ ้วยตนเอง ใช้ทกั ษะต่าง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุ่งพัฒนาผลสมั ฤทธแิ์ ละสมรรถภาพการเรยี นรู้คณติ ศาสตรข์ องนักเรียน ให้สอดคลอ้ งกบั
สาระและมาตรฐานการเรียนรูท้ ก่ี าหนดไว้ ทัง้ น้ี ได้นาสถานการณ์ในชวี ติ ประจาวันทีน่ กั เรยี นเคยพบมาแลว้
มาเชอ่ื มโยงกบั ความรู้ใหมเ่ พื่อให้นักเรยี นไดเ้ รยี นรูไ้ ดง้ า่ ยและต่อเน่ืองกนั ท้ังส่งเสรมิ ใหน้ กั เรียนไดศ้ กึ ษา
หาความรู้และสรปุ องคค์ วามรดู้ ว้ ยตนเอง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความน่าจะเป็น ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4
ประกอบดว้ ย แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรท์ งั้ หมด 4 เล่ม ดงั นี้

เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบ้อื งตน้ เกี่ยวกบั การนับ
เล่มท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียล การเรียงสบั เปลีย่ น และการจัดหมู่
เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง การทดลองสมุ่ ปรภิ ูมติ วั อยา่ ง และเหตกุ ารณ์
เล่มท่ี 4 เร่อื ง ความน่าจะเปน็
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเปน็ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 นี้
ประกอบด้วย สาระ มาตรฐานตัวชี้วัด สาระสาคัญ ใบความรู้ เนอ้ื หา แบบฝึกหัด แบบทดสอบหลงั เรียน
และการจดั การเรยี นรู้ทม่ี งุ่ พฒั นาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ การใหเ้ หตผุ ล การแก้ปญั หา การนา เสนอ
ความคดิ ทางคณิตศาสตร์ และยังส่งเสริมการเรียนรูด้ ้วยวธิ กี ารทห่ี ลากหลาย เพอ่ื พัฒนาคุณภาพผูเ้ รียน
ตามศกั ยภาพ เนน้ ผูเ้ รียนเป็นสาคญั
ผูจ้ ดั ทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบ้ืองตน้ และความน่าจะเปน็
ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ที่ได้จดั ทาขนึ้ นี้ จะเป็นประโยชน์ตอ่ ครูและนกั เรียนในการพัฒนาการจดั กิจกรรม
การเรียนรูใ้ หม้ ีประสทิ ธิภาพบรรลตุ ามวตั ถปุ ระสงค์ทตี่ ัง้ ไว้

พรพิมาน ยุบลวฒั น์

สารบัญ ห นา้
เร่อื ง

คานา.........................................................................................ผิดพลาด! ไมไ่ ดก้ าหนดทค่ี น่ั หนา้ -2-
สารบัญ ...........................................................................................................................- 2 -
คาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น

ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 สาหรบั ครู …………………………………………………………………- 3 -
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเป็น

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 สาหรบั นักเรยี น ……………………………………………………….…- 4 –
แผนผงั ข้นั ตอนในการเรียนรู้ดว้ ย แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนับเบอ้ื งตน้

และความนา่ จะเป็น ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ………………………………………………….…- 5 –
เนื้อหา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั และเวลา

เรือ่ ง แฟกทอเรยี ล การเรยี งสบั เปลยี่ น และการจดั หมู่ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 …………..…- 6 –
ใบความรูท้ ่ี 1 เรื่อง แฟกทอเรียล……..………………………………………….…………………….…….- 8 –
แบบฝกึ หดั ที่ 1 เร่อื ง แฟกทอเรยี ล……..…………………………………………………………………….- 11 –
ใบความรู้ที่ 2 เรือ่ ง หลกั การเรียงสบั เปลยี่ นเชิงเสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกนั ทงั้ หมด………….….…...- 13 –
แบบฝกึ หัดท่ี 2 เรอ่ื ง หลักการเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด……………..…- 16 –
ใบความรูท้ ี่ 3 เรอ่ื ง หลักการเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้นของสง่ิ ของท่แี ตกตา่ งกันท้งั หมด 2……..……..…- 18 –
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 เร่อื ง หลักการเรียงสบั เปล่ยี นเชงิ เส้นของสิง่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมด 2……….……- 21 –
ใบความรู้ที่ 4 เรื่อง หลกั การจัดหมู่ของสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกันทงั้ หมด………………………………….…- 23 –
แบบฝกึ หดั ที่ 4 เรื่อง หลกั การจดั หมขู่ องสง่ิ ของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมด………………………………...…- 26 –
ใบความรู้ที่ 5 เร่ือง หลักการจัดหมู่ของสง่ิ ของทแี่ ตกตา่ งกันทง้ั หมด 2..……………………………….- 29 –
แบบฝึกหดั ท่ี 5 เร่อื ง หลักการจัดหมขู่ องสงิ่ ของทแ่ี ตกต่างกนั ทง้ั หมด 2…...……………………….…- 32 –
แบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 ........................................................– 34 -
บรรณานกุ รม…………………………………………………………………………………………………..- 38 -

การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 -3-
ครูผูส้ อนเป็นผู้ทมี่ บี ทบาทสาคญั ทจี่ ะช่วยให้การดาเนินการเรยี นรูข้ องนกั เรียนบรรลตุ ามวัตถปุ ระสงค์ ครูผู้สอน
จงึ ควรศกึ ษารายละเอียดเก่ียวกบั การปฏบิ ตั ติ นก่อนทีจ่ ะใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ดังนี้

1. ครูต้องศึกษาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปีที่ 4 และอ่านเนือ้ หาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ พร้อมทั้งทาความเข้าใจเนื้อหาก่อนการใช้งาน

2. ครูเตรยี มแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ใหค้ รบถว้ นและเพียงพอต่อจานวนนกั เรยี น
3. ครูเตรียมเคร่ืองมอื วดั ผลประเมนิ ผล เพอ่ื ทราบความกา้ วหนา้ ของนักเรียน
4. ครูช้แี จงให้นักเรียนทราบเกี่ยวกบั ขั้นตอนและวิธกี ารสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรอ์ ยา่ งชดั เจน
และประโยชนท์ ่ีจะไดร้ ับจากการเรยี นรูโ้ ดยใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
5. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบบทบาทของนักเรียน โดยเน้นยา้ ความซือ่ สัตย์ การมีวนิ ัย ใฝเ่ รยี นรู้
การแสดงความคดิ เหน็
6. ครูจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ใหแ้ ก่นักเรียน โดยใหค้ าแนะนา ดูแล เสนอแนะ และเสริมแรง
ตามแนวทางของแผนการจดั การเรยี นรู้
7. ครูสงั เกตความรว่ มมอื และความตั้งใจในการเรยี นรู้ การทากิจกรรมเป็นรายบคุ คลและการทา
กิจกรรมกลมุ่ รว่ มกบั ผอู้ นื่
8. ครูร่วมสรุปบทเรยี นกบั นกั เรียนเพอ่ื เปน็ การย้าความเขา้ ใจของนักเรยี นในทกุ กิจกรรม
9. ให้นกั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียนเพ่อื วัดความรขู้ องนักเรียน และประเมินผลการเรยี นรู้ของ
นกั เรยี นอย่างตอ่ เน่อื งหลงั จบการเรยี นรูใ้ นแต่ละแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์

1. นักเรยี นศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเปน็ -4-
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ให้เขา้ ใจก่อนลงมอื ศกึ ษาเรียนรู้หรือทากิจกรรมทกุ ครงั้

2. นักเรยี นศกึ ษาสาระ มาตรฐานตัวชว้ี ดั จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ และสาระสาคัญ ในแบบฝึกทักษะ
คณติ ศาสตร์ทง้ั หมดอยา่ งละเอยี ด หากมขี อ้ สงสยั หรือมคี าถาม ใหป้ รึกษาครูผูส้ อน

3. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอยา่ ง และทาแบบฝกึ หดั ด้วยความตั้งใจม่งุ มน่ั จนเกิดความรู้ ความเขา้ ใจและ
ทกั ษะการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์

4. ในการเรยี นรู้ นักเรยี นควรมกี ารวางแผนการทากจิ กรรม กรณเี ปน็ รายกล่มุ ควรมีการแบง่ หน้าที่
และรว่ มกันปฏิบตั ิกิจกรรม

5. ในการปฏบิ ัตกิ ิจกรรมการเรียนรู้ นักเรยี นควรปฏบิ ัตงิ านใหท้ นั กบั เวลาทก่ี าหนด
6. นกั เรียนควรมคี วามรว่ มมอื ร่วมใจ มคี วามสามัคคี ร่วมกนั แสดงความคดิ เหน็ และยอมรับ
เสยี งส่วนใหญใ่ นการปฏบิ ัตกิ ิจกรรมกลมุ่
7. หากนักเรียนมีปัญหาหรือไมเ่ ข้าใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนไดต้ ลอดเวลา
8. ขัน้ ตอนสดุ ทา้ ยของการเรยี นรู้ด้วยแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบอื้ งตน้ และ
ความน่าจะเป็น ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 นกั เรยี นต้องทาแบบทดสอบหลงั เรยี นประจาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

นักเรยี นศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ สาหรบั นักเรียน -5-

ศึกษาสาระ มาตรฐานตวั ชว้ี ัด จุดประสงค์การเรียนรู้ และสาระสาคญั

ดาเนนิ การศึกษาเน้อื หาสาระการเรียนรู้ โดยปฏบิ ัติกิจกรรม
- ศกึ ษาเนื้อหา ใบความรู้ ตัวอย่าง
- ทาแบบฝกึ หดั
- ตรวจแบบฝึกหัด/ตรวจสอบดูเฉลย
ไม่ผา่ น 80%

ทาแบบทดสอบหลงั เรยี น/ตรวจสอบดูเฉลย
ผา่ น 80%

ศึกษาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เลม่ ต่อไป

เร่อื ง แฟกทอเรยี ล วธิ เี รียงสับเปลยี่ น และวธิ กี ารจัดหมู่

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตัวชวี้ ดั

สาระที่ 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลกั การนบั เบอ้ื งต้น ความน่าจะเป็น และนาไปใช้

ตวั ชวี้ ดั

ค 3.2 ตวั ชวี้ ัด ม.4/1 เข้าใจและใช้หลกั การบวกและการคณู การเรยี งสบั เปลี่ยน และการจดั หมู่

ในการแก้ปญั หา

เนอื้ หา/สาระการเรยี นรู้

- แฟกทอเรยี ล -6-

- วิธกี ารเรยี งสับเปลยี่ น

- วธิ ีการจัดหมู่

สาระสาคญั

เมอ่ื n เป็นจานวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n หมายถงึ ผลคูณของจานวนเตม็ บวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n เขียน

แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ n! อา่ นวา่ แฟกทอเรียลเอ็น หรอื เอ็นแฟกทอเรียลเตม็ บวกใดหรอื ศูนย์

วิธกี ารเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้น คือ วิธีจัดเรียงสิ่งของซง่ึ อาจนามาเพยี งบางสว่ นหรือนามาเรียงทง้ั หมด

โดยคานึงถงึ ลาดบั หรือตาแหน่งของสิง่ มชี วี ิตแตล่ ะส่ิงเปน็ สาคัญ

วิธกี ารจัดหมู่ (Combination) หมายถงึ การนาส่ิงของทีม่ คี วามแตกตา่ งกนั ท้ังหมดหรอื เพียงบางสว่ น

มาจดั หมู่ โดยไม่ถือตาแหนง่ หรอื ลาดบั ก่อนหลงั เปน็ สาคญั จานวนวิธจี ัดหมู่ของส่งิ ของ n สง่ิ ซง่ึ แตกต่างกนั ทง้ั หมด

ใหม้ ีหมูล่ ะ r สิง่ Cn,r= (n n! โดยท่ี r≤n
-r)!r!

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
ด้านความรู้ (K)

1.นกั เรียนหาคาตอบของแฟกทอเรยี ลได้
2.นกั เรียนนักเรยี นสามารถแก้ปัญหาเก่ียวกับวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ ได้
3.นักเรียนสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับวธิ จี ดั หมไู่ ด้
ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ(P)
1. นกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหาโดยใช้แฟกทอเรยี ลได้
2. นกั เรยี นสามารถใหเ้ หตผุ ลในการแก้ปญั หาได้
ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค(์ A)
1. ความสนใจกระตือรือร้น
2. ความรับผดิ ชอบ
3. มีวนิ ยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา
4. ความใฝร่ ูใ้ ฝ่เรยี น
5. การยอมรบั ฟงั ผอู้ ่นื

-7-

แฟกทอเรียล (Factorial)

บทนยิ าม

ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก แลว้ ผลคูณของจานวนเตม็ บวกตง้ั แต่ 1 ถึง n ดังนี้
1 x 2 x 3 x … x n เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ n! อ่านวา่ แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอน็ แฟกทอเรียล

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนจานวนต่อไปน้ีในรูปของการคูณ และหาคาตอบ -8-
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปนีใ้ นรูปของแฟกทอเรียล = 3!
3x2x1 = 6!
6x5x4x3x2x1 = 9!
9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 4!
4x3x2x1 = 7!
7x6x5x4x3x2x1

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเขียนจานวนต่อไปน้ใี หอ้ ยูใ่ นรูปไม่มีแฟกทอเรียล

1. n
(n - 2)

วธิ ีทา n = nx n-1 x n-2
(n - 2) (n - 2)

= n x (n - 1)

2. n1
(n - 3)

วธิ ที า n1 = n 1 xnx n-1 x n-2 x n-3
(n - 3) (n - 3)

= (n + 1) x n x (n – 1) x (n – 2)

3. 13 -9-
11

วิธีทา 13 = 13 x 12 x 11
11 11
=
= 13 x 12

156

4. 21
18

วธิ ที า 21 = 21 x 2 x 19 x 18
18 18

= 21 x 20 x 19

= 7,980

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาค่า n จากสมการ (n n 2) = 132
-

วธิ ีทา n = 132
(n - 2)

nx n-1 x n-2 = 132
(n - 2)

n x (n - 1) = 132
n2 – n = 132
n2 – n – 132
=0

(n - 12)(n + 11) = 0

n = -11 , 12

เน่ืองจากบทนยิ าม n เปน็ จานวนเต็มบวก ดงั น้ัน คา่ n = 12 เพราะ 12 เปน็ จานวนเตม็ บวก

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาค่า n จากสมการ n - 1 = 56 - 10 -
(n 1)

วิธีทา n1 = 56
(n - 1)

n 1 xnx n-1 = 56
(n - 1)

(n + 1) x n = 56
n2 + n
n2 + n – 56 = 56

=0

(n - 7)(n + 8) =0

n = -8 , 7

เนอ่ื งจากบทนิยาม n เปน็ จานวนเต็มบวก ดังนนั้ ค่า n = 7 เพราะ 7 เปน็ จานวนเตม็ บวก

คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาใหถ้ กู ต้อง - 11 -

ขอ้ ท่ี 1 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปน้ีในรูปของการคูณ และหาคาตอบ
1.1 9!
เขียนในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คาตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.2 10!
เขยี นในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คาตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.3 6!
เขยี นในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คาตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.4 13!
เขียนในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คาตอบ : ………………………………………………………………………………………...

ขอ้ ท่ี 2 จงเขยี น n3 ให้อยู่ในรูปไมม่ ีแฟกทอเรียล
n

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ท่ี 3 จงหาค่า n จากสมการ n - 1 = 110
(n 1)

……………………………………………………………………………………………………………………………… - 12 -
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

การเรยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เส้นของสิ่งของท่ีแตกตา่ งกันทง้ั หมด - 13 -

ถา้ ต้องการนาส่ิงของท่ีแตกตา่ งกัน n ช้ิน มาเรียงสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ สามารถหาจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน
ทั้งหมดโดยใชห้ ลักการคูณ ดังน้ี

ขั้นตอนที่ 1 ตาแหน่งท่ี 1 มวี ธิ เี ลอื กสิ่งของมาวางได้ n วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 ตาแหนง่ ท่ี 2 แตล่ ะวธิ ีที่วางสงิ่ ของในตาแหน่งที่ 1

มีวธิ ีเลือกสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ท่ี 2 ได้ n - 1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 ตาแหน่งท่ี 3 แต่ละวธิ ที ี่วางส่ิงของในตาแหนง่ ท่ี 1 และ 2

มีวธิ ีเลอื กส่ิงของมาวางในตาแหน่งที่ 3 ได้ n - 2 วิธี
.
.
.

ขนั้ ตอนที่ n ตาแหน่งที่ n แตล่ ะวธิ ที ่ีวางสงิ่ ของในตาแหนง่ ท่ี 1 ถึง n - 1
มีวธิ ีเลอื กสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ที่ n ได้ 1 วธิ ี

ดังนนั้ จานวนวธิ ใี นการนาสง่ิ ของท่แี ตกต่างกนั ท้ังหมด n ช้นิ มาเรยี งสับเปลี่ยนเชงิ เส้น เท่ากับ
n ĭ (n - 1) ĭ (n - 2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = n! วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 1 สมมตวิ ่า กิง่ กาญจน์ และแก้ว ยืนเป็นแถวหน้ากระดานเพอ่ื ถา่ ยรูปดว้ ยกันทงั้ สามคน
จะมีวิธีจดั แถวเพือ่ ถ่ายรูปไดท้ ั้งหมดกี่วธิ ี

วิธที า

กิ่ง กาญจน์ แก้ว

ตาแหน่งที่ 1 ตาแหนง่ ที่ 2 ตาแหน่งท่ี 3
จากโจทยก์ ารเข้าแถวหนา้ กระดาน เปน็ การเรียงคน 3 คน เป็นแนวเสน้ ตรง

ดงั น้นั จะมวี ิธจี ดั แถวเพ่อื ถ่ายรูปทั้งหมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 2 ร้านคา้ ต้องการนากระเป๋ารุ่นใหมท่ แี่ ตกตา่ งกนั 4 ใบ วางโชว์หนา้ รา้ น โดยวางเรยี งกันในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจดั วางกระเป๋าได้ทงั้ หมดกว่ี ธิ ี

วิธที า

ตาแหนง่ ท่ี 1 ตาแหนง่ ที่ 2 ตาแหนง่ ที่ 3 ตาแหนง่ ท่ี 4
จากโจทย์การนากระเปา๋ มาวางโชวห์ นา้ ร้าน ซงึ่ เปน็ การวางเรียงในแนวเสน้ ตรง
ดงั น้นั จะสามารถวางเรียงกระเปา๋ ได้ทง้ั หมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 24 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 3 ต้องการจดั คน 4 คนซึ่งมีผูช้ าย 1 คน และมีผู้หญิง 3 คน นัง่ เก้าอ้ี 4 ท่ีนง่ั จะมีวธิ กี ารนง่ั เก้าอี้
ได้ท้งั หมดก่ีวธิ ี ถ้าผูช้ ายตอ้ งน่ังเก้าอีต้ ัวที่ 1 เท่าน้นั

วธิ ีทา ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กผูช้ าย 1 คนมานง่ั เกา้ อตี้ ัวท่ี 1
ขัน้ ตอนท่ี 2 นาคนที่เหลอื อยู่ไปเรียง

- 14 -

ดังนนั้ จะมวี ิธีจัดคน 4 คน นัง่ เก้าอ้ี 4 ท่นี ัง่ ได้ 1 ĭ 3! = 1 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ภูมีกระเปา๋ 5 ใบ สีดา 2 ใบ และแดง 3 ใบ เขาต้องการนากระเปา๋ ไปวางเรียงในตูโ้ ดยท่ี
ตาแหน่งแรกเขาตอ้ งการวางกระเป๋าสแี ดงเทา่ นน้ั ภูจะสามารถนากระเป๋าไปวางเรียงบนตูไ้ ด้ก่วี ิธี

วิธีทา ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กกระเป๋าสแี ดง 1 ใบมาวางตาแหน่งท่ี 1
ข้ันตอนท่ี 2 นากระเปา๋ ทเี่ หลอื ไปเรียง

ดงั น้ัน จะมีวิธีนากระเป๋าไปเรียงบนตู้ได้ 3 ĭ 4! = 3 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 72 วธิ ี

- 15 -

คาชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคาถามตอ่ ไปนี้ โดยใช้ความรู้เรอื่ ง หลกั การเรียงสับเปลยี่ นเชิงเสน้ ของสิง่ ของ - 16 -
ท่แี ตกตา่ งกันท้งั หมด

ข้อท่ี 1 นารนิ นารูปภาพทีแ่ ตกต่างกัน 5 รูป มาจดั แสดงโดยเรียงตอ่ กนั ในแนวเสน้ ตรง จะมีวธิ จี ัดแสดงรูปภาพ
ได้ท้งั หมดก่วี ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอ้ ที่ 2 ศรสี ดุ าตอ้ งการนารองเทา้ 10 คู่ไปวางเรียงบนชั้นวางรองเทา้ โดยทศี่ รสี ดุ ามรี องเทา้ แตะ 4 คู่
รองเท้าผ้าใบ 6 คู่ ถา้ ศรสี ุดาตอ้ งการใหร้ องเทา้ ผา้ ใบวางในตาแหน่งท่ี 1 แล้วศรีสุดาจะสามารถเรยี ง
รองเทา้ ได้ทง้ั หมดกีว่ ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ข้อที่ 3 ยวุ ดซี ้ือหนงั สือมา 6 เล่ม เปน็ หนังสอื นวนยิ าย 2 เล่ม หนงั สือภาษาอังกฤษ 2 เลม่ และหนงั สือ - 17 -
วทิ ยาศาสตร์ 2 เล่ม ยวุ ดีจะสามารถนาหนงั สอื ไปเรยี งบนชน้ั หนงั สอื ชั้นหน่งึ ไดก้ วี่ ธิ ี ถ้าตาแหนง่ ท่ี 3
ตอ้ งเปน็ หนังสือภาษาองั กฤษเทา่ นน้ั

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

จานวนวิธีในการนาสิ่งของ r ชิ้น จากสง่ิ ของที่แตกต่างกัน n ชน้ิ มาเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น คอื

Pn , r = n! วิธี
(n -r)!

ตวั อยา่ งท่ี 1 รา้ นคา้ แหง่ หนึ่งมรี องเทา้ ทงั้ หมด 5 แบบ ตอ้ งการนารองเท้า 3 แบบ มาจดั แสดงหน้ารา้ น
เป็นแนวเสน้ ตรงจะจดั ไดท้ ้ังหมดกแ่ี บบ

วธิ ีทา

จากโจทย์ มรี องเท้าท้งั หมด 5 คู่ นนั่ คือ n = 5 และตอ้ งการนาไปจัดแสดง 3 คู่ นั่นคือ r = 3 - 18 -

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P5 , 3 = 5!
(5 -3)!

= 5!
2!

= 5 x 4 x 3 x 2!
2!
= 5x4x3

= 60

ดงั นั้น ร้านคา้ สามารถนารองเท้ามาจดั แสดงได้ทง้ั หมด 60 แบบ

ตวั อยา่ งท่ี 2 ท่ีป้ายรถประจาทางแหง่ หน่ึงมเี กา้ อี้ 5 ตัว วางเรยี งกนั เป็นแถวยาว ถ้าคน 6 คน มารอรถที่ปา้ ยนี้
จงหาจานวนวธิ กี ารนง่ั เกา้ อี้ โดยทเี่ ก้าอีแ้ ต่ละตวั จะมคี นนง่ั หนง่ึ คน

วิธีทา

จากโจทย์ มคี นทง้ั หมด 6 คน นนั่ คอื n = 6
และต้องการนามานง่ั เก้าอ้ี 5 คน นัน่ คือ r = 5

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนคา่ P6 , 5 = 6! - 19 -
(6 - 5)!

= 6!
1!

= 6x5x4x3x2x1
1

= 720
ดงั นนั้ สามารถนงั่ เกา้ อไ้ี ดท้ ้งั หมด 720 วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 3 รหัสบตั รATM ประกอบดว้ ยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
จานวน 4 ตัว เชน่ 0123 , 2543 , 4809 จงหาจานวนรหสั บตั ร ATM ทั้งหมดทเี่ ป็นไปได้
โดยหา้ มใชเ้ ลขโดดซา้ กนั

วิธที า

จากโจทย์ มเี ลขโดดท้งั หมด 10 ตัว นนั่ คอื n = 10

และนามาสรา้ งรหสั บตั ร 4 ตัว น่นั คือ r = 4

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P1 , 4 = 1!
(1 - 4 !

= 1! - 20 -
6!

= 1 x9x8x7x6
6

= 10 x 9 x 8 x 7

= 5,040
ดงั นัน้ สามารถนาเลขโดดมาสร้างรหัสบตั ร ATM ได้ทั้งหมด 5,040 รหสั

คาชแี้ จง จงวเิ คราะห์โจทย์และตอบคาถามตอ่ ไปน้ี โดยใช้ความรู้เร่อื ง หลกั การเรียงสบั เปลยี่ นเชิงเส้นของสิง่ ของ - 21 -
ทแี่ ตกตา่ งกันท้งั หมด

ข้อที่ 1 รา้ นคา้ แห่งหนง่ึ มกี ระเป๋าแบบใหม่ 9 แบบ ต้องการนาไปวางหน้าร้านเป็นแนวเสน้ ตรง 4 แบบ จะสามารถ
ทาได้ทัง้ หมดก่ีวธิ ี

วิธที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใ่ี ช้ในการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อท่ี 2 รหัสบตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จานวน 6 ตัว - 22 -
จงหาจานวนรหสั บตั ร ATM ทง้ั หมดทเ่ี ปน็ ไปได้ โดยหา้ มใชเ้ ลขโดดซ้ากนั

วธิ ีทา n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใ่ี ชใ้ นการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อท่ี 3 รหสั นักเรยี น ประกอบดว้ ยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จานวน 5 ตัว
จงหาจานวนรหสั ประจาตัวนกั เรียนทง้ั หมดท่ีเป็นไปได้ โดยห้ามใช้เลขโดดซ้ากัน

วิธีทา n = ……………………… r = …………………………….
สูตรท่ีใชใ้ นการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจัดหมู่ (Combination) คือจานวนวธิ ีเลอื กกลุ่มของสิง่ ของโดยไมพ่ ิจารณาลาดับในการเลือกจานวนวิธี

จดั หมูข่ องส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกัน n ชน้ิ โดยเลอื กคราวละ r ช้ิน คอื

Cn , r = n! วธิ ี
(n - r)!r!

ตวั อยา่ งที่ 1 ในการเลือกตวั แทนนกั เรียน 3 คนจากผูส้ มคั ร 5 คน จะมีวิธีเลอื กทั้งหมดกี่วิธี
วธิ ที า

- 23 -

จากโจทย์ มีผู้สมัครทง้ั หมด 5 คน นั่นคือ n = 5 ต้องการเลอื กตัวแทนจานวน 3 คน นนั่ คอื r = 3

จะไดว้ า่ C5 , 3 = 5!
(5 - 3)!3!

= 5!
2!3!

= 5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3!

= 5x2

= 10

ดังนั้น สามารถเลอื กตัวแทนนักเรียนได้ทงั้ หมด 10 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 2 มีนกั เรียนอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนกั เรยี น 3 คนไปแข่งขันทกั ษะทางคณิตศาสตรจ์ ะทาได้
ท้งั หมดกี่วธิ ี

วธิ ที า

จากโจทย์ มีนกั เรียนทง้ั หมด 6 คน น่ันคอื n = 6 และต้องการนักเรียน 3 คน น่นั คือ r = 3

จะไดว้ า่ C6 , 3 = 6! = 6!
(6 - 3)!3! 6!3!

= 6 x 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 - 24 -
3 x 2 x 1 x 3!

ดงั น้ัน สามารถเลอื กนกั เรียนไปแขง่ ขันทกั ษะทางคณติ ศาสตร์ได้ทง้ั หมด 20 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 ถา้ ตอ้ งการเลอื กคณะกรรมการชดุ หนึง่ จานวน 3 คน จากคน 4 คน จะเลอื กไดท้ ัง้ หมดกี่วธิ ี
วธิ ที า

จากโจทย์ มคี นทงั้ หมด 4 คน นัน่ คือ n = 4 และต้องการเลอื กคณะกรรมการ 3 คน นั่นคือ r = 3

จะได้วา่ C4 , 3 = 4! = 4!
(4 - 3)!3! 1!3!

= 4 x 3! =4
1 x 3!

ดังนัน้ สามารถเลอื กคณะกรรมการไดท้ ง้ั หมด 4 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 4 ขอ้ สอบชดุ หนงึ่ มี 8 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรียนเลอื กทาขอ้ สอบ 5 ขอ้ จงหาจานวนวธิ ีทน่ี กั เรียน
สามารถเลอื กทาขอ้ สอบในครัง้ นี้

วธิ ที า

จากโจทย์ มีข้อสอบทัง้ หมด 8 คน น่ันคอื n = 8 และนกั เรียนเลือกทา 5 ขอ้ น่นั คือ r = 5

จะไดว้ า่ C8 , 5 = 8!
(8 - 5)!5!

= 8!
3!5!

= 8x7x6x5 - 25 -
3x2x1x5

= 8x7

= 56

ดงั น้ัน นกั เรยี นสามารถเลือกทาขอ้ สอบได้ทง้ั หมด 56 วธิ ี

คาชแี้ จง จงวิเคราะห์โจทย์และตอบคาถามตอ่ ไปน้ี โดยใช้ความรู้เรอ่ื ง หลกั การจดั หมู่ของสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกันทง้ั หมด

ข้อที่ 1 มีนักเรียนอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลือกนักเรยี น 4 คนไปแข่งขันทกั ษะทางด้านภาษาอังกฤษ จะทาได้ทงั้ หมด - 26 -
กีว่ ธิ ี

วธิ ที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทีใ่ ชใ้ นการคานวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 2 ข้อสอบชุดหน่ึงมี 10 ขอ้ โดยในการสอบให้นกั เรียนเลอื กทาขอ้ สอบ 6 ขอ้ จงหาจานวนวิธีทน่ี ักเรยี น - 27 -
สามารถเลอื กทาขอ้ สอบในคร้ังน้ี

วธิ ที า n = ……………………… r = …………………………….
สูตรท่ีใชใ้ นการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 3 ในงานเล้ยี งแหง่ หน่ึงมคี น 6 คน ถา้ คนสองคนใด ๆ จบั มอื กนั หนึง่ ครัง้ จงหาวา่ จะมกี ารจบั มอื ทง้ั หมดกี่คร้งั - 28 -
วธิ ีทา n = ……………………… r = …………………………….

สูตรที่ใชใ้ นการคานวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจดั หมู่ (Combination) คอื จานวนวิธีเลอื กกลมุ่ ของส่งิ ของโดยไม่พิจารณาลาดบั ในการเลอื กจานวนวธิ ี

จดั หมู่ของสง่ิ ของที่แตกตา่ งกัน n ช้ิน โดยเลอื กคราวละ r ชน้ิ คอื

Cn , r = n! วธิ ี
(n - r)!r!

ตัวอยา่ งท่ี 1 ในตะกรา้ ใบหน่งึ มแี อปเปลิ 8 ผล และมงั คุด 4 ผล จงหาจานวนวิธใี นการเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยิบได้
แอปเปลิ ท้ัง 4 ผล

วิธีทา

จากโจทย์ มีแอปเปลิ ท้ังหมด 8 ผล นั่นคือ n = 8 และต้องเลอื กมา 4 ผล นัน่ คอื r = 4 - 29 -

จะได้วา่ C8 , 4 = 8!
(8 - 4)!4!

= 8!
4!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4 x 3 x 2 x 1 x 4!

= 2x7x5

= 70

ดงั นัน้ สามารถหยบิ ผลไม้ในตะกรา้ โดยทห่ี ยบิ ได้แอปเปิลทง้ั 4 ผล 70 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 2 ในตะกรา้ ใบหนึ่งมีแอปเปลิ 4 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจานวนวิธีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล
โดยหยิบได้แอปเปลิ ท้งั 1 ผล และ มงั คดุ 3 ผล

วิธีทา

ข้ันตอนที่ 1 เลอื กหยิบแอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 1

C4 , 1 = 4!
(4 - 1)!1!

= 4!
3!1!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4 - 30 -

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กหยบิ มังคดุ 3 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 3

C4 , 3 = 4!
(4 - 3)!3!

= 4!
1!3!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4
ดังน้นั สามารถเลือกหยิบผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้แอปเปิลทงั้ 1 ผล และ มงั คุด 3 ผล ได้ 16 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 3 ถ้าต้องการเลอื กคณะกรรมการนักเรยี น 5 คน ซึง่ ประกอบด้วยนกั เรยี นชาย 3 คน และนักเรยี น
หญงิ 2 คน จากผูส้ มคั รนกั เรียนชาย 5 คน และนักเรยี นหญงิ 4 คน จงหาจานวนวิธีในการเลอื ก
คณะกรรมการนกั เรียนชุดนี้

วธิ ที า

ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกคณะกรรมการผู้ชายจานวน 3 คน จาก 5 คน จะได้ว่า n = 5 , r = 3

C5 , 3 = 5! = 5!
(5 - 3)!3! 2!3!

= 5 x 4 x 3! = 5x2
2 x 1 x 3!

= 10 - 31 -

ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกคณะกรรมการผหู้ ญงิ จานวน 2 คน จาก 4 คน จะไดว้ ่า n = 4 , r = 2

C4 , 2 = 4! = 4!
(4 - 2)!2! 2!2!

= 4 x 3 x 2! = 2x3
2 x 1 x 2!

=6

ดงั นัน้ สามารถเลือกคณะกรรมการนกั เรียนไดท้ ง้ั หมด 10 x 6 = 60 วธิ ี

คาชแ้ี จง จงวิเคราะหโ์ จทย์และตอบคาถามตอ่ ไปน้ี โดยใช้ความรู้เร่อื ง หลักการจัดหมู่ของสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกันทง้ั หมด - 32 -

ข้อท่ี 1 ถ้าตอ้ งการเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี น 8 คน ซง่ึ ประกอบด้วยนักเรียนชาย 3 คน และนักเรียน
หญิง 5 คน จาก ผูส้ มัครนักเรียนชาย 7 คน และนักเรยี นหญงิ 9 คน จงหาจานวนวธิ ใี นการเลือก
คณะกรรมการนักเรยี นชุดน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 2 มีพนักงาน 10 คน ซงึ่ มี a , b และ c รวมอยู่ด้วย ตอ้ งการเลือกพนักงานทัง้ หมด 6 คน - 33 -
เพ่ือเข้าอบรม จะมวี ิธเี ลือกไดก้ ่วี ธิ ี ถา้ ใน 6 คนน้ันตอ้ งมี a , b และ c รวมอยู่ด้วยเสมอ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบทดสอบหลงั เรียน
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสับเปลย่ี น และการจดั หมู่

คาชแี้ จง : แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลอื ก ใหน้ กั เรียนเลอื กคาตอบที่ถูกทีส่ ดุ
เพียงข้อเดียวดว้ ยเครอื่ งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาตอบ
**********************************************************************************

1. 4! มีค่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี
1. 4
2. 8
3. 12
4. 24
n!
2. (n - 2)! สามารถเขยี นอยูใ่ นรูปไม่มีแฟกทอเรียลไดต้ รงกับข้อใด

1. n
2. n2
3. n(n – 1)
4. n(n + 1) - 34 -

3. กาหนดให้ (n + 1)! = 56 แล้วคา่ ของ n มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้
(n - 1)!

1. -8
2. -7
3. 8
4. 7
4. มีนกั เรยี น 3 คน ตอ้ งการนานักเรยี น 3 คนน้ีไปถา่ ยรูปเป็นแถวหน้ากระดาน จะสามารถจัดแถวเพอ่ื ถ่ายรูป
ไดท้ ัง้ หมดกีว่ ิธี
1. 3 วิธี

2. 6 วิธี
3. 9 วธิ ี
4. 27 วธิ ี

5. พรตอ้ งการนารองเทา้ 5 คูไ่ ปวางเรียงบนช้ันวางรองเทา้ โดยทศี่ รีสดุ ามรี องเท้าแตะ 3 คู่ รองเทา้ ผา้ ใบ 2 คู่ - 35 -
ถ้าพรตอ้ งการให้รองเทา้ ผา้ ใบวางในตาแหนง่ ที่ 1 แลว้ พรจะสามารถเรยี งรองเท้าได้ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี
1. 120 วิธี
2. 48 วธิ ี
3. 24 วิธี
4. 6 วิธี

6. หวานมหี นงั สอื คณติ ศาสตร์ทแ่ี ตกต่างกนั 12 เลม่ ตอ้ งการนาไปเรยี งบนชน้ั หนงั สอื ชนั้ หนึง่ จานวน 3 เล่ม
แลว้ หวานจะสามารถนาหนังสอื คณติ ศาสตรไ์ ปเรียงไดท้ ้ังหมดกีว่ ิธี
1. 1,320 วธิ ี
2. 132 วธิ ี
3. 12 วธิ ี
4. 3 วธิ ี

7. รหัสบัตร ATM ประกอบดว้ ยตวั เลข 0 – 9 จานวน 4 ตวั โดยไม่มีตวั เลขซ้ากนั จงหาว่าจะสามารถสร้าง
รหัสบัตร ATM ได้ทง้ั หมดกร่ี หสั
1. 5,040 รหสั
2. 210 รหัส
3. 40 รหสั
4. 4 รหัส

8. ในการเลือกตวั แทนนักเรยี น 4 คน จากนกั เรยี นทั้งหมด 10 คน จะสามารถเลอื กตัวแทนนักเรยี นได้ทง้ั หมด
กีว่ ิธี
1. 14 วธิ ี
2. 40 วธิ ี
3. 210 วธิ ี
4. 5,040 วิธี

9. ขอ้ สอบชุดหนงึ่ มี 10 ข้อ โดยในการสอบให้นักเรียนเลือกทาขอ้ สอบ 3 ขอ้ นกั เรยี นสามารถเลอื กทาข้อสอบ
ในคร้ังนีไ้ ด้ทัง้ หมดกีว่ ธิ ี
1. 30 วธิ ี
2. 120 วธิ ี
3. 720 วิธี
4. 10! วิธี

10. กลอ่ งใบหนงึ่ มลี กู บอลทแ่ี ตกตา่ งกนั 8 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 5 ลูก และลูกบอลสนี ้าเงนิ 3 ลูก ถา้ ตอ้ งการ
หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอ่ งใบนี้ จงหาจานวนวธิ ีการหยิบลูกบอลโดยทีไ่ ด้ลกู บอลหมดทกุ สี
1. 15 วธิ ี
2. 28 วธิ ี
3. 56 วธิ ี
4. 120 วิธี

- 36 -

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรือ่ ง

คาชแี้ จง : ให้นักเรยี นเลือกคาตอบท่ีถกู ทสี่ ุดเพียงขอ้ เดียวด้วยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาตอบ - 37 -

ข้อที่ 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไ่ี ด้

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ :

โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กนกวลี อษุ ณกรกุล และ รณชัย มาเจรญิ ทรัพย์. (2553). แบบฝึกหดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

พ้ืนฐาน ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 เลม่ 2. กรงุ เทพมหานคร : สานักพมิ พ์เดอะบคุ ส์.

กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนคิ การเรียนคณิตศาสตร์ : ความนา่ จะเปน็ กรุงเทพมหานคร :

สานักพมิ พ์ฟสิ กิ ส์เซน็ เตอร์.

ทินกฤต เรือนสม. (2560). รายงานการพัฒนาแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความนา่ จะเป็น วิชาคณติ ศาสตร์

พ้นื ฐาน สาหรับนกั เรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5.

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรียนรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร์

เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลาง

การศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. - 38 -
. (2554). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลมุ่ สาระ

การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน พทุ ธศักราช 2551.

กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.